Presentación1 recta
- 1. Universidad Fermín Toro Decanato de Ciencias Económicas y Sociales Escuela de Relaciones Industriales Materia: Matemática I Facilitador: Prof. José Linares Alumno: Armando Lugo Carpio C.I.: 19.886.865 Email: cox_lugo@hotmail.com
- 2. Introducción En la presente investigación se hablara de la importancia de la ecuación de la recta, sus tipos y la relación fundamenta en la administración, siendo esta base primordial en modelos empresariales. Es importante el estudio de diversas ecuaciones de la recta ya que ella nos indica los puntos a analizar, solo se debe obtener dos puntos en el plano para obtenerla. Así cuando es aplicada a la administración es fundamental para conocer la maximización de utilidades y por ende proveer el mejor servicio posible y la subsistencia. En la investigación se destacara los tipos de recta como los son la ecuación general de la recta, siendo esta la base para dar comienzo a las demás formulas como lo son las Perpendiculares, Paralelas, Intersecantes y la Intersección de dos Rectas. Por medio de la investigación se establecerá la amplia relación de la ecuación de la resta con la administración ya que esta funciona al momento de calcular la demanda, la oferta, el precio y la cantidad de producto. Asimismo, por medio de sus grafica estudiar las estrategias futuras de las empresas al momento de introducir en el mercado un bien o servicio.
- 3. La Ecuación de la Recta: Es el conjunto infinito de puntos alineados, en una única dirección. Desacuerdo a uno de los postulados de la geometría Euclidiana, para determinar una línea recta solo es necesario dos puntos en un plano. Dicha expresión algebraica recibe el nombre de Ecuación de la Recta. La Ecuación General: Ax+By+C=0 y su afín Y=mx + n Forma Pendiente Ordenadas Cuando conseguimos la formula general, la podemos convertir a forma Pendiente Ordenada se tiene que: Ax+By+C=0 despejamos By = -Ax –c luego para despejar solo a Y, despejamos B y nos queda Y= -Ax – C esta seria “Forma Pendiente Ordenada”. B B m = -= -A ; n=– C B B Ejemplo: Convertir la siguiente ecuación en forma general X + Y = 1 para convertirla debemos multiplicar por medio de la operación de suma 6 5 5X + 6Y = 1 luego despejamos a 30 pasándolo a la igualdad 30
- 4. 5X + 6Y =30.1 es 30 Luego igualamos a cero y nos queda 5X + 6Y - 30 = 0 obtenemos la ecuación general. Además conseguimos la forma canoníca de la recta Forma Punto Pendiente Y- Yo = m(X-Xo) Y P2 Y2 P1 Y1 X Es una de las ecuaciones de la recta más utilizada Ejemplo: Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos (0,-5) y (2,1) Sabemos que: P1 = X1, Y1 y P2 = X2, Y2 0 -5 2 1
- 5. Luego según la fórmula m = 1-(-5) simple suma m = 1+5 2–0 2 m = 3/1 m=3 Luego nos vamos a la formula completa donde Y1 y X1 pasan a ser Yo y Xo Sustituyendo en la formula Y-(-5) = 3(x-0) así tenemos que Y + 5 =3X luego la llevamos a la formula genera despejando 3X-Y-5 = 0 Otra manera de ver la ecuación de la recta, es la forma de dos puntos donde conseguimos que: (Y – Y1) = Y2 – Y1 (X - X1) X2 – X1 Variables Para demostrar dicha fórmula pasaremos al ejemplo: hallar la ecuación de la recta que pasa por (1,3) y (5,-4). Puntos conocidos {P1 (1,3) y P2 (5,-4)} Luego aplicamos formula (Y – 3) = -4-3 (X-1) simple suma 5-1 Y – 3 = 7 (X-1) despejamos 4
- 6. 4( Y – 3) = 7 (X-1) propiedad distributiva 4Y – 12 = 7X-7 igualamos a 0 7X-4Y-5=0 así obtenemos la ecuación general de la recta Recta Paralelas: se dice que dos restas L1 y L2 son paralelas si su pendiente son iguales. Es decir si cumple que m1 = m2 además dos restas L1 y L2 son coincidente, cuando aparte de tener la misma pendiente, pasan un mismo punto. L1 Y m1 L2 m2 X Para verificar la teoría haremos un ejemplo: ¿Serán paralelas las rectas? L1: 8x-16y-20 = 0 L2: 4x-8y-10 = 0 Sabiendo que A1 y A2 va a ser el valor que acompaña a la x B1 y B2 va a ser el valor que acompaña a la y Formula L1: m1 = - A1 L2: m2 = - A2 B1 B2
- 7. A1 = 8 B1 = -16 A2 = 4 B2 = -8 L1: m1 = - 8 -16 L1: m1 = 4 8 L1: m1 = 2 4 L1: m1 = 1 2 Luego buscamos el valor de m2 L2: m2 = - 4 -8 L2: m2 = 2 4 L2: m2 = 1 2 Con los resultados obtenidos de m1 y m2 vemos son iguales por lo tanto son paralelas m1 = m2 ½=½
- 8. Recta Perpendiculares: dos restas L1 y L2 son perpendiculares si forman un angula de 90 grados entre sí. Y L2 L1 Infinito 2 Infinito 1 90° m1 m2 X Cuando las rectas son perpendiculares: infinito2 Es igual a infinito1 mas 90° tomando la tangente De los ángulos en ambos miembros. m2 = tan infinito2 = tan (infinito1 mas 90°) = -cot infinito1. Pero como la tangente y la cotangente son funciones reciprocas se tiene: -cot infinito1 = -1 = -1 tan infinito2 m1 Por lo tanto la condición de perpendicularidad entre dos rectas L1 y L2 se cumple siempre que el producto de su pendiente sea -1 m1 * m2 Para comenzar a demostrar si son perpendiculares las rectas abordemos con un ejemplo: ¿Será perpendicular las rectas?
- 9. L1: 3x-6y-11 = 0 y L2: 10x+5y-18 = 0 Como vimos en el anterior ejercicio de paralelas debemos primero identificar a la formula el valor que acompaña A=XyB=Y Formula L1: m1 = - A1 L2: m2 = - A2 B1 B2 A1 = 3 B1 = -6 A2 = 10 B2 = 5 L1: m1 = - 3 simplificamos -6 L1: m1 = 1 2 L2: m2 = - 10 dividimos y nos queda 5 L2: m2 = -2 teniendo ya a m1 y m2 sustituimos en la formula m1 * m2 = -1 ½ * -2 = -1 ya que m1 y m2 cumple con que su multiplicación da -1 se puede decir que son rectas perpendiculares.
- 10. : Rectas Intersecantes: Dos rectas L1 y L2 con ecuaciones a1 x + b1 y + c1 = 0 y a2 x + b2 y + c2 = 0 son intersecantes si y sólo si: A1 B1 A2 B2 Ejemplo: las rectas con ecuaciones 2X+ Y -3 = 0 y X + 3Y + 5 = 0 son entersecantes debido a que ½ 3/1 Cuando las rectas son intersecantes podemos hallar el punto de intersección y el ángulo entre ellas Y L1: a1x+b1y+c1 = 0 L2: a2x+b2y+c2 = 0 Po (Xo, Yo) X Para encontrar el punto bastará con resolver el sistema simultáneo: A1Xo + B1Yo + C1 = 0 A2Xo + B2Yo + C2 = 0 El ángulo de intersección entre las rectas será el mismo que el de los vectores normales o el de los vectores directrices. Es decir:
- 11. = arcos n1 n2 = arcos S1 * S2 n1 n2 s1 s2 Otro ejemplo seria: hallar los ángulos de intersección entre las rectas, cuya ecuación son: L1:(X,Y) = (1,2) + t (1, 3) L2:(X,Y) = (-1,2) + t (- 3 , 1) Solución: S1 = (1, 3 ) y S2 = (- 3 , 1) por lo tanto = arcos (1, 3) (2)(2) = arcos - 3 2
- 12. = arcos 5 se ha encontradoL1el ángulo mayo 6 = arcos 5 el ángulo menor seria este 6 Intersección de dos Rectas: L1 y L2 vienen dadas por la solución del sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas de forma: A1Xo + B1Yo + C1 = 0 L1 A2Xo + B2Yo + C2 = 0 Y P( X,Y) L2 En donde las rectas de la formula Ax+By+C=0 Deben transformase a expresiones que cumplan Con: A1Xo + B1Yo + C1 = -C1 X A2Xo + B2Yo + C2 = -C2
- 13. Puede emplearse cualquiera de los métodos para resolver el sistema: igualación, suma, resta, sustitución o determinante. Si la solución no existe geométricamente se interpreta que son rectas paralelas, para demostrar dicha teoría procedemos a resolver mediante el sistema de determinante. Ejemplo tenemos 4x-10y+52 = 0 y 10x-4y-80 = 0 Procedemos a resolver, pasando a la igualdad, y así obtener C. L1: 4x-10y = -52 L2: 10x-4y = 80 Formula de determinación Aplicando dicha técnica en el ejercicio será, según la fórmula general de la recta es Ax+By+C=0 Clasificamos C1 B1 A1 C1 X = C2 B2 Y = A2 C2 A1 B1 A1 B1 A2 B2 A2 B2 Procedemos a sustituir los datos:
- 14. 52 -10 X = 80 -4 = 208 + 800 = 1008 = 12 4 -10 -16 + 100 84 10 -4 4 -52 Y = 10 80 = 320 + 520 = 840 = 10 4 -10 -16 + 100 84 10 -4 Luego de la aplicación de la formula conseguimos que el puno solución es: P (12,10) Para asegurarnos sustituimos el valor de X y el valor de Y en la formula que despejamos al principio Ax + By =C L1: 4(12) – 10(10) = -52 L1: 48 – 100 = -52 L1: - 52 = -52 L2: 10(12) – 4(10) = 80 L2: 120 – 40 = 80 L2: 80 = 80 Donde se comprueba el valor de L1 y L2 cuando despejamos la función.
- 15. Para qué sirve(n) la(s) recta(s) como aplicación a la administración: la ecuación de la recta es muy utilizada en la administración y economía de una empresa ya que algunas funciones de producción de bienes y servicios son medidos por rectas, como lo son la Oferta, la Demanda y la depreciación de un bien. Dicha ecuación nos permite conocer los beneficios o pérdidas de la producción de un bien o servicio debido a la medición de las graficas, donde se visualiza representando como funciones lineales. Donde en general son en cero o positivos en algunos casos que sea negativa. Ellas nos demostraran por ejemplo: con la Demanda si es positiva es que los precios son satisfactorios para el bien o el servicio, en caso que sea cero la Demanda es constante con relación a la Oferta y el último caso cuando es negativa indica que el precio del bien o servicio es tan elevada impidiendo la actividad dentro del mercado del bien o servicio que se ofrece, afectando así la producción del bien o servicio y por ende obligando a disminuir sus precio. Para conocerla la aplicación de la recta en la administración podemos aplicarla para conocer el movimiento de bienes y servicios dentro del mercado, y asi demostrar los beneficios y perdidas del producto.
- 16. P q = Cantidad de artículos fabricados O P = Precio O = Oferta D D = Demanda Q La intersección de las dos rectas determina el precio, por ende dicho resultado es muy utilizado por administradores y economistas, y así determinar la actividad del producto en dicho mercado. Ejemplo: cuando el precio de 80 (u.m) se vende 10 relojes; en cambio cuando el precio es de la 60(u.m) se vende 20 relojes. Determinar la ecuación de la Demanda? Solución: cuando vemos que nos dan dos funciones seria como dos puntos en la ecuación de la recta por lo tanto utilizamos la forma dos puntos que sería: (Y – Y1) = Y2 - Y1 (X – X1) X2 X1
- 17. Nuestra incógnita es la Demanda, ya que conocemos el precio y la cantidad abastecida en el mercado. Y=P formamos nuestra formula X=q Serán P1 = 80 (u.m) q1 = 10 P2 = 60 (u.m) q2 = 20 procedemos a reemplazar los datos: (P - 80)= 60 - 80 (q – 10) 20 10 P - 80 = -20 (q – 10) 10 10 (p – 80) = -20 (q – 10) aplicamos distributiva 10p – 800 = -20q + 200 10p + 20q – 800 – 200 = 0 simplificamos los ceros 1p + 2q – 100 = 0 Otro ejemplo seria: para conseguir la curva de la Oferta lineal Cuando el precio es de so (un) hay disponible en el marcado su cámara fotográficas ; cuando el precio es de 75(un) hay disponible 100 cámaras. ¿Cuál es la ecuación de oferta? Es conveniente utilizar la ecuación de la recta. Forma de dos puntos
- 18. (Y – Y1) = Y2 - Y1 (X – X1) X2 X1 Nuestra incógnita es la oferta del bien o servicio, ya que, tenemos precio y la cantidad abastecida en el mercado X=q Y=p resultado (P – P1) = P2 - P 1 (q – q1) conocemos que q2 q1 q1 = 50 P1 = 50 (P – 50) = 75 - 50 (q – 50) 100 - 50 q2 = 100 P2 = 75 P – 50 = 25 (q – 50) 50 50(p – 50) = 25(q – 50) aplicamos distributiva 50p – 2500 = 25q – 1250 5p – 25q = 125 5p – 25q -1250 = 0 P – 5q – 250 = 0 Asimismo podemos también conseguir el Punto de Equilibrio seria:
- 19. Halla el punto de equilibrio de las siguientes ecuaciones de Oferta y Demanda. Tenemos que Demanda P = 10 - 2q Oferta P = 3/2q + 1 Oferta = Demanda 3/2q + 1 = -2q + 10 3/2q + 2q = 10 – 1 3,5q = 9 q = 9 / 3,5 q = 2,57 Reemplazando en la ecuación de la Oferta tenemos P = 3/2(2,57) + 1 P = 3,855 + 1 P = 4,855 Reemplazando en la ecuación de la Demanda tenemos P = 10 - 2(2,57) P = 10 - 5,14 P = 4,855
- 20. O = 10 - 2q P = 4,86 D = 10 - 2q q = 2,57
- 21. La finalidad de la ecuación de la recta con la administración: la ecuación de la recta es afín con la administración ya que, ayuda a representar, analizar y resolver problemas en situaciones como la asignación de precio por tramo de consumo. Además a Establecer relaciones entre las expresiones gráficas y algebraicas de los sistemas de ecuaciones lineales y sus soluciones dentro de la administración, así como también el estudio de situaciones de la vida empresarial, y representan gráficamente los datos obtenidos en las reportes que se llevan a cabo dentro de la empresa. Una de las funciones que establece las ecuaciones de la recta es el análisis de las variables dependiente e independiente al momento de la producción de un bien o servicio para ser introducido en el mercado.
- 22. Conclusión El sentido de esta actividad, es permitir al administrador o economista, por medio de las matemáticas, las diferentes herramientas, que se pueden aplicar dentro de una empresa, y por ende demostrar los distintos problemas por medio de las ecuaciones y sus graficas. Sabiendo así que la ecuación de la recta según los postulados de la geometría euclidiana donde establece que para determinar una línea recta solo son necesario dos puntos en un plano. Sin las ecuaciones los problemas administrativos dentro de la organizaciones no serian resueltos jamás, pues la formulación de un problema se resuelve mas fácilmente haciendo uso de las ecuaciones en este caso de la ecuaciones de las rectas, ya sean ecuaciones lineales, ecuaciones de las rectas paralelas, de las rectas perpendiculares, de las rectas interesantes y las intersección de dos rectas. Además la relación de la ecuación de la recta y su finalidad con la administración, por medio del estudio grafico de la ecuación de demanda, ecuación de la oferta, el precio y la cantidad. Asimismo el comportamiento de fenómenos que tienen que ver con el crecimiento y decremento de las estrategia empresariales por medio de la producción, así calcular los posibles beneficios o perdidas a la hora de introducir un producto o servicio dentro del mercado. Como conclusión de esta investigación puede señalarse que es frecuente en múltiples problemas que deben enfrentar a diario los especialistas de diversas ramas del conocimiento, la necesidad básica del estudio matemático como una estrategia fundamental para la solución de problemas dentro de sus aéreas de trabajo, en este caso particular la administración.
- 23. Referencias Bibliografía www.profesorenlinea.cl/geometria/Recta_Ecuacion_de.html www.ematematicas.net/ecrecta.php?a=3 www.ematematicas.net/ecrectaplano.php?a=&pot=2 huitoto.udea.edu.co/Matematicas/4.4.html matematicatuya.com/GRAFICAecuaciones/S5.html