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- 1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA UNIVERSIDAD POLITÉCNICA TERRITORIAL “Andrés Eloy Blanco” Definición y operaciones con conjuntos Estudiante: Rivero Reyner C.I. 31.536.135 Sección: IN0403R
- 2. Definición de Conjuntos Un conjunto es una agrupación de diferentes elementos que tienen características o propiedades comunes y pueden trabajar juntos. Para describir los elementos de un conjunto, puedes mencionarlos individualmente. Esto se llama descripción por extensión. Definamos Q como el conjunto formado por los colores del arco iris. En este caso podemos describir el conjunto Q mediante una extensión de la siguiente manera: Q = {rojo, naranja, amarillo, verde, índigo, azul, violeta} Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es: P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …} E j e m p l o
- 3. Operaciones con Conjuntos Las operaciones sobre conjuntos, llamadas álgebra de conjuntos, nos permiten realizar operaciones sobre conjuntos para obtener otro conjunto. Unión o reunión de conjuntos. Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para formar otro conjunto que contendrá a todos los elementos que queremos unir pero sin que se repitan. Es decir dado un conjunto A y un conjunto B, la unión de los conjuntos A y B será otro conjunto formado por todos los elementos de A, con todos los elementos de B sin repetir ningún elemento. E j e m p l o 1 Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la unión de estos conjuntos será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8, 9}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente: E j e m p l o 2 Dados los dos conjuntos A={3, 5, 6, 7} y B={5,6}, en donde B está incluido en A, la unión será AUB={3,5,6,7}. Usando diagramas de Venn se tendría
- 4. Números Reales Los números reales son todos los valores numéricos contenidos en una recta real, desde el infinito negativo hasta el infinito positivo. Es el conjunto de números la cual resulta de la unión de números racionales e irracionales, los cuales se dividen al mismo tiempo en subconjuntos como los números naturales y los enteros. Este conjunto está representado por la letra “R”. Estos números se utilizan en matemáticas para todo tipo de cálculos y mediciones, al mismo tiempo están conectados con otras ramas de la ciencia que los necesitan para una mejor comprensión. E j e m p l o 1 Sitúa cada número en su lugar correspondiente dentro del diagrama: 3,42; 5 6 ; − 3 4 ; 81; 5; − 1; π 4 ; 1,4555… Solución: E j e m p l o 2 Representa sobre la recta los siguientes números: 2,3; 7 4 ; −3 Solución:
- 5. Desigualdades Es aquella Proposición que asocia dos expresiones algebraicas con valores distintos. Es una Proposición sobre la asociación entre dos elementos distintos, ya sea por la desigualdad mayor, menor, mayor o igual, o menor o igual. Cada uno de los distintos tipos de desigualdades debe expresarse con un signo diferente (> o <, etc). Los problemas y ejercicios de desigualdades pueden ser resueltos con un proceso similar al que usamos para resolver ecuaciones. La diferencia principal con respecto a las desigualdades es que, tenemos que cambiar el lado del signo de desigualdad cuando multiplicamos o dividimos por números negativos. E j e m p l o 1 Resolver x. X + 3 < 5 Despejar la variable restando 3 de ambos X + 3 < 5 lados de la desigualdad. −3−3 𝑥 <2 Respuesta: 𝑥 < 2 La gráfica de la desigualdad x < 2 se muestra a continuación. E j e m p l o 2 Resuelva a. a − 17 > − 17 Despeja la variable sumando 17 a ambos a − 17 > − 17 lados de la desigualdad. +17 +17 𝑎 > 0 Respuesta: 𝑎 >0
- 6. Definición de Valor Absoluto El valor absoluto de un número es el propio número sin importar de si su signo es positivo o negativo. Si los sitúas en la recta numérica, se apreciara que hay cierta distancia entre el número y el cero. Ahí está la clave para encontrar su valor absoluto. Puedes representar el valor de un número en la recta numérica, calculando la distancia entre dicho número y cero. Suponiendo que debes calcular el valor absoluto de − 4, debes contar cuántos saltos debes realizar desde su ubicación en la recta, hasta 0. Cuatro ¿verdad? ¿Qué tal si fuera 4 positivo? Son cuatro saltos. El valor absoluto, tanto de 4, como de −4 es cuatro. Sin signos, ya que no afecta la ubicación en la recta , si está al lado Dcha / Izda del cero, hay que fijarse en la distancia o número de saltos que debes hacer hasta llegar al punto de origen 0. E j e m p l o
- 7. Desigualdades con Valor Absoluto Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que contiene un signo de valor absoluto con una variable dentro. Estas desigualdades están caracterizadas porque existen dos posibles soluciones, una para el caso en que el valor absoluto es positivo y otra para el caso en que es negativo. Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a considerar. Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva. Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa. E j e m p l o 1 Resuelva y grafique: | x – 7| < 3 Para resolver este tipo de desigualdad, necesitamos descomponerla en una desigualdad compuesta. x – 7 < 3 Y x – 7 > –3 –3 < x – 7 < 3 Sume 7 en cada expresión. -3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7 4 < x <10 La gráfica se vería así: E j e m p l o 2 Resuelva y grafique: |x + 2|≥ 4 Separe en dos desigualdades. x + 2 ≥ 4 O x + 2 ≤ –4 Reste 2 de cada lado en cada desigualdad. x ≥ 2 O x ≤ –6 La gráfica se vería así: