Problemario 2017.pdf

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA CHAPINGO
PREPARATORIA AGRÍCOLA
ÁREA DE MATEMÁTICAS
ACADEMIA DE GEOMETRÍA
Nota: Los exámenes extraordinario, título 1 y título 2, se basarán en la estructura
y/o contenido del presente problemario.

Diseño de Portada:
García Martínez Guillermo Pablo
Palmeros Rojas Oscar
Ramírez Negrete Noé
Diseño de Fondo:
Revisión de Problemario
Bernal Ramos Raúl
Caso Alfaro Luís Antonio
Castillo Beltrán Alfonso
Gaona Pelaez Ruperto
López Chimil Humberto
Ramírez Gonzalez Roberto

Índice general
1. UNIDAD I: Conceptos Básicos 1
1.1. EJERCICIOS: Conceptos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. SOLUCIONES: Conceptos Básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2. UNIDAD II: Linea Recta 7
2.1. EJERCICIOS: Linea Recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2. APLICACIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3. SOLUCIONES: Linea Recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3. UNIDAD III: CIRCUNFERENCIA 14
3.1. EJERCICIOS: Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2. PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3. SOLUCIONES: Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4. UNIDAD IV: PARÁBOLA 19
4.1. EJERCICIOS: Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2. SOLUCIONES: Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5. UNIDAD V: ELIPSE 22
5.1. EJERCICIOS: Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.2. SOLUCIONES: Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
i

ii ÍNDICE GENERAL
6. UNIDAD VI: HIPÉRBOLA. 28
6.1. EJERCICIOS: Hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6.2. SOLUCIONES: Hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
7. UNIDAD VII: LUGARES GEOMÉTRICOS. 31
7.1. EJERCICIOS: Lugares Geométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
7.2. SOLUCIONES: Lugares Geométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

UNIDAD I: Conceptos Básicos
EJERCICIOS: Conceptos Básicos
1. La base de un triángulo isósceles mide 8 unidades y cada
uno de sus lados iguales mide 5u. Si la base coincide con el
eje de las abscisas siendo bisecada por el origen de coorde-
nadas, ¾cuáles son las coordenadas de los vértices? (existen
dos soluciones)
2. Utilizando la fórmula de la distancia entre dos puntos, de-
muestre que los tres puntos siguientes son colineales (están
sobre una misma recta).
a) M(−3, 1); N(0, 2); C(6, 4)
b) R(8, −3); S(5, −1); T(−1, 3)
3. Demuestre que los puntos L(1, −3), N(4, 1) y K(4, −3) co-
rresponden a los vértices de un triángulo rectángulo.
4. Determine el punto de abscisa 6 que diste 5 unidades del
punto Q(3, −2). Existen dos soluciones
5. ¾Cuál es la ordenada del punto de abscisa −1, que equidista
de los puntos A(6, 8) y B(−3, 4).
6. ¾Cuál es la abscisa del punto de ordenada
1
2
que equidista
de los puntos A(−1, 0) y B

5
2
, −3

.
7. Obtenga las coordenadas del punto A que está sobre el eje
X y que equidista de los puntos B(0, 6) y C(5, 1).
8. Obtenga en el eje Y , el punto equidistante de los puntos
A(10, 8) y B(−6, 4).
9. ¾Qué coordenadas tiene el punto del eje X que equidista
de A(−3, −2) y de B(4, 5)? De acuerdo a la medida de sus
lados, qué tipo de triángulo forman estos tres puntos.
10. ¾Qué coordenadas tiene el punto del eje Y que equidista de
A(5, 5) y de B(4, 2)? De acuerdo a la medida de sus lados,
qué tipo de triángulo forman estos tres puntos.
11. Obtenga el punto equidistante de los ejes de coordenadas y
del punto A(1, 2). Dos soluciones.
12. La base de un triángulo isósceles es el segmento que une
los puntos A(−1, 2) y B(6, 1). Siendo 3 la abscisa del otro
vértice, encuentre su ordenada.
13. Obtenga las coordenadas del punto del eje X que equidista
de los puntos A(0, 5) y B(4, 2).
14. Determine las coordenadas del punto K en el segmento que
une M(−6, −12) y N(−9, 4), y que se encuentra a cuádruple
distancia de M que de N.
1

2 CAPÍTULO 1. UNIDAD I: CONCEPTOS BÁSICOS
15. Determine la razón en la cual el punto P(2, 3) divide al seg-
mento que une A(3, 8) con B(−1, −12).
16. El punto P(7, −4) divide al segmento AB en la razón 3:4;
siendo las coordenadas de A(10, −25). ¾Cuáles son las coor-
denadas del punto B?
17. El segmento con extremos en P(1, −3) y Q(4, 3) ha sido di-
vidido en tres partes iguales. Determine las coordenadas de
los puntos de división.
18. Determine las coordenadas de los extremos P y Q de un seg-
mento que es dividido en tres partes iguales por los puntos
R(3, 3) y S(2, 6).
19. Dados los puntos P(−3, −4) y Q(5, 2), determine las coor-
denadas de los puntos M y N que divide al segmento PQ
en las razones
PM
MQ
= −
2
3
y
PN
NQ
=
3
2
respectivamente.
20. El punto M(2, 6) es un extremo de un segmento cuyo pun-
to medio es N(3, 3). ¾Cuáles son las coordenadas del otro
extremo?.
21. Compruebe que las diagonales del cuadrilátero con vértices
en A(4, 5), B(9, 7), C(7, 3) y D(2, 1) se bisecan entre sí.
22. Los vértices de un paralelogramo son A(−4, −1), B(−4, −5),
C(4, −9) y D(4, −5). Obtenga las coordenadas del punto de
intersección de las diagonales.
23. Los puntos A(−3, −4), B(3, −2), C(5, 5) y D(−1, 3), son en
este orden, los vértices consecutivos de un paralelogramo.
Considerando que sus diagonales se cortan mutuamente por
mitad, ¾cuáles son las coordenadas del punto de intersec-
ción?
24. Dados A(4, 2) y B(5, 7) dos vértices consecutivos de un pa-
ralelogramo y el punto de intersección de sus diagonales es
M 1
2
, 3

. Obtenga sus vértices restantes.
25. Los puntos medios de los lados de un triángulo son P(2, 0),
Q(0, 5) y R(−2, 3). Determine sus vértices.
26. Los puntos medios de los lados de un triángulo son
R(−2, −1), S(6, −3) y T(4, 5). Obtenga sus vértices.
27. Tres moléculas del mismo elemento se ubican en los puntos
A(1, 1), B(−2, 3) y C(5, −2), respectivamente. Determine su
centro de gravedad.
28. Determine la abscisa x de modo que la pendiente de la recta
que une a P(2, 1) con Q(x, 7) sea igual a 3.
29. Tres puntos A, B y C pertenecen a una misma recta si y
sólo si, la pendiente de AB es igual a la de BC. En cada
uno de los problemas siguientes dibuje la gráca de los tres
puntos dados y determine después si pertenecen o no a la
misma recta.
a) A(−1, −2), B(2, 1), C(4, 3)
b) A(−1, 6), B(1, 2), C(4, −2)
c) A(3, −5), B(0, −2), C(−3, 1)

1.1. EJERCICIOS: CONCEPTOS BÁSICOS 3
30. En los problemas siguientes use el concepto de pendiente
para demostrar que los puntos A, B, C y D son los vértices
de un paralelogramo.
a) A(−1, 3), B(5, 0), C(7, 4), D(1, 7)
b) A(7, −1), B(−2, 2), C(1, 4), D(10, 1)
31. Dado el triángulo con vértices en A(5, 3), B(−3, 5) y
C(2, −1), obtenga la pendiente del segmento que une el vér-
tice B con el punto K que está a
1
3
de la distancia de A a
C.
32. Determine si la recta que pasa por los puntos P(6, 0), Q(0, 4)
y la que pasa por M(0, 2), N(3, 0) son paralelas.
33. Si la recta que pasa por A(6, −4) y B(−3, 2) es paralela a
la que pasa por M(2, 1) y N(0, y). Calcule el valor de la
ordenada y.
34. Los puntos A(2, 1), B(3, 5) y C(7, 3) son los vértices de un
triángulo. Pruebe que la recta que contiene a los puntos
medios de AB y BC es paralela a AC.
35. Para qué valor de la ordenada y, la recta que pasa por
A(−1, y) y B(3, 8) es perpendicular a la que pasa por C(4, 5)
y D(2, 4).
36. Si la recta que pasa por M(2, 5) y N(−3, −2) es perpendi-
cular a la que pasa por P(4, −1) y Q(x, 3). Calcule el valor
de la abscisa x.
37. Obtenga las pendientes de las medianas del triángulo cuyos
vértices son A(2, 6), B(8, 3) y C(−2, −1).
38. Pruebe que los puntos A(7, 8), B(10, 1), C(−1, −2) y
D(−4, 5) son los vértices consecutivos (en orden alfabético)
de un paralelogramo.
39. Obtenga el valor del ángulo que forman la recta de pendiente
m = 3
4
y la recta que pasa por los puntos P(2, 3) y Q(5, 1).
40. Obtenga el valor del ángulo que forma la recta que pasa por
los puntos U(2, −3) y V (2, 4) con la recta que une el origen
de coordenadas y el punto P(6, 2).
41. Un triángulo tiene sus vértices en A(−2, 6), B(−5, −1) y
C(6, −2). Calcule la medida de las pendientes de sus lados,
así como las de sus ángulos interiores. Construya el dibujo
de la gráca respectiva.
42. Dado el triángulo cuyos vértices son: A(−6, 2), B(5, 6) y
C(10, −5), determine:
a) El valor de la pendiente de cada una de sus medianas.
b) El valor de la pendiente de cada una de sus alturas.
c) La medida del ángulo de inclinación de cada lado.
d) La medida del ángulo que forman los lados AB y BC,
utilizando para ello sus respectivos ángulos de inclina-
ción.
43. Obtenga el valor de la pendiente de la recta que pasa por el
punto medio del segmento que une a los puntos A(−4, 4) y
B(2, 2) y el punto que está a los
3
5
de la distancia de C(5, 3)
a D(−3, −2).

44. Obtenga la pendiente de la recta l1, tal que la medida del
ángulo entre l1 y la recta l2 es arctan

2
3

, y l2 contiene los
puntos A(2, 1) y B(4, −5).
45. Determine el valor de la pendiente de la recta l1, si el ángulo
entre l1 y la recta l2 es igual 45◦
, y el valor de la pendiente
de l2 es −2.
46. Determine el valor de la pendiente de la recta l2 si la tan-
gente del ángulo entre la recta l1 y l2 es igual −1
2
, y l1 es
una vertical.
47. Si A, B y C, son los vértices de un triángulos, calcule las me-
didas de los ángulos interiores, las medidas de sus medianas,
así como su área.
a) A(5, 3), B(−3, 5), C(2, −1)
b) A(0, 2), B(10, −2), C(3, −5)
48. Pruebe que los puntos A(−7, −3), B(0, 4) y C(−3, 1) están
en línea recta, usando el concepto área.
49. Determine el valor de la abscisa x en el punto A(x, −8) situa-
do sobre la recta que pasa por los puntos B(3, 4) y C(2, 1).
50. Si el área del triángulo cuyos vértices son P(a, 6), Q(2, a) y
R(4, 2) es igual a 28 u
2
. Determine el valor de a (dos solu-
ciones).
SOLUCIONES: Conceptos Básicos
1. A(−4, 0), B(4, 0), C(0, 3);
A(−4, 0), B(4, 0), C(0, −3)
2. a) d(M, C) = 3
√
10
d(M, N) =
√
10
d(N, C) = 2
√
10
∴
d(M, C) = d(M, N) + d(N, C)
b) d(R, T) = 3
√
13
d(R, S) =
√
13
d(S, T) = 2
√
13
∴
d(R, T) = d(R, S) + d(S, T)
3. Se cumple el reciproco del teo-
rema de Pitágoras: [d(L, N)]2
=
[d(N, K)]2
+ [d(K, L)]2
entonces, el
∆LNK, es rectángulo.
4. S1(6, −6), 2(6, 2)

1.2. SOLUCIONES: CONCEPTOS BÁSICOS 5
5. Ordenada: y = 93
8
6. Abscisa: x = 69
28
7. A(−1, 0)
8. C(0, 14)
9. P(2, 0), El triángulo es Isósceles
10. P(0, 5), El triángulo es Isósceles
11. S1(5, 5), S2(1, 1).
12. Ordenada: y = 5
13. C(−5
8
, 0)
14. K −42
5
, 4
5

15. Razón
AP
PB
: 1 : 3
16. B(3, 24)
17. R(2, −1), S(3, 1)
18. P(4, 0), Q(1, 9)
19. M(−19, −16), N 9
5
, −2
5

20. P(4, 0)
21. PmAC
= PmBD
= 11
2
, 4

22. PmAC
= PmBD
= (0, −5)
23. PmAC
= PmBD
= 1, 1
2

24. C(−3, 4), D(−4, −1)
25. A(0, −2), B(4, 2), C(−4, 8)
26. A(−4, 7), B(12, 3), C(0, −9)
27. G 4
3
, 2
3

28. x = 4
29. Solución:
a) Sí: mAB = mBC = 1
b) No: mAB = −2; mBC = −4
3
;
mAC = −8
5
c) Sí: mAB = mBC = −1
30. Las pendientes de sus lados opuestos
son iguales a:
a) mBC = mAD = 2 y
mAB = mCD = −1
2
,
∴ es un paralelogramo.
b) mAB = mCD = −1
3
y
mAD = mBC = 2
3
,
∴ es un paralelogramo.
31. mBK = −10
21
32. Son paralelas porque sus pendientes
son iguales a m = −2
3
33. y = 7
3
34. Son paralelas porque sus pendientes
son iguales a m = 2
5
35. y = 16
36. x = −8
5
37. Pendiente de la mediana de:
C, mC = 11
14
A, mA = −5
B, mB = 1
6
38. Las pendientes de sus lados opuestos
son iguales a −7
3
y
3
11
.
39. 109.4◦
40. 71.6◦
41. mAB = 7
3
, mBC = − 1
11
, mCA = −1,
∠A = 68.2◦
, ∠B = 72◦
, ∠C = 39.8◦

42. a) −1
9
,
5
2
, −6
7
b) −11
4
,
5
11
,
16
7
c) 20◦
, 114◦
, 156.4◦
d) 85.5◦
43. m = −5
2
44.
11
3
ó −7
9
45. m = 3 ó m = −1
3
46. m = 2
47. a) ∠A = 67.16◦
, ∠B = 36.2◦
,
∠C = 76.67◦
medianas
5
√
5
2
,
√
26,
√
233
2
Área = 19 u
2
.
b) ∠A = 45◦
, ∠B = 45◦
, ∠C =
90◦
medianas
√
290
2
,
√
29,
√
290
2
Área = 29 u
2
.
48. Área del ∆ABC = 0 (cero)
49. x = −1
50. 10, −4

UNIDAD II: Linea Recta
EJERCICIOS: Linea Recta
1. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto
R(4, 3) y tiene pendiente m = 1
2
.
2. Determinar la ecuación general de la recta que pasa por el
punto P(0, 5) y tiene pendiente m = −2.
3. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto
A(2, −3) y tiene un ángulo de inclinación de 60◦
.
4. Obtener las ecuación de la recta que pasa por el punto
P(−2, 6) y tiene un ángulo de inclinación de 135◦
.
5. Obtener la ecuación general de la recta que pasa por los
puntos K(−2, −3) y L(4, 2).
6. Obtener la ecuación general de la recta que pasa por los
puntos M(−5, 1) y N(7, 4).
7. Determinar la ecuación general de la recta, si tanto la abs-
cisa como su ordenada al origen es 1.
8. Determinar la ecuación general de la recta, si la abscisa al
origen es 2 y la ordenada al origen es 5.
9. Obtener la ecuación de la mediatriz, del segmento cuyos ex-
tremos son los puntos P(−8, −1) y Q(−4, −3).
tremos son los puntos A(−3, −4) y B(7, 2).
11. Obtener los valores de la abscisa y la ordenada al origen
y expresar la ecuación en la forma pendiente-ordenada al
origen y simétrica, en cada una de las siguientes rectas:
a) x = 5y − 20
b) 3x = y − 5
c) 2x + 8y + 3 = 0
d) 3y − 4x + 18 = 0
punto de intersección de otras dos, cuyas ecuaciones están
dadas por 3x − 5y + 9 = 0, 4x − 7y − 28 = 0 y además pasa
por el punto Q(−3, −5).
punto A(−1, −3) y es paralela a la recta 4x − 8y − 5 = 0.
punto K(−1, 7) y es paralela a
x
2
+
y
3
= 1.
15. Obtener la ecuación de la recta que pasa por el pun-
to A(−1, 3) y es paralela a la que pasa por los puntos
Q(−2, −2) y R(4, 1).
16. Obtener la ecuación de la recta que pasa por el punto
Q(−1, 7) y es paralela a la determinada por los puntos
A(−3, 5) y B(1, 4).
7

8 CAPÍTULO 2. UNIDAD II: LINEA RECTA
17. Para cada uno de los incisos siguientes, obtener la ecuación
de la recta que satisfaga las condiciones dadas:
a) Pasa por el punto P(1, −7) y es paralela al eje de las
abscisas.
b) Pasa por el punto K(−5, 2) y es paralela al eje de las
abscisas.
c) Pasa por el punto A(2, 6) y es paralela al eje de las
ordenadas.
d) Pasa por el punto M(−3, −4) y es paralela al eje de las
ordenadas.
punto J(−5, −3) y es perpendicular a 4x + y − 4 = 0.
punto R(−3, −1) y es perpendicular a
x
−3
+
y
−5
= 1.
20. Determinar la ecuación general de la recta con ordenada al
origen igual a 3 y perpendicular a la que pasa por los puntos
S(3, −2) y T(−2, 1).
21. Obtener la ecuación de la recta que pasa por el punto
F(−3, −1) y es perpendicular a la que pasa por P

1
2
, 3

y
Q

3
2
, −5

.
tremos son M(−1, −7) y N(5, −1).
23. Obtener el punto de la recta 4x + 3y − 4 = 0 que equidista
de los puntos A(−3, −1) y B(7, 3).

2.1. EJERCICIOS: LINEA RECTA 9
24. Una recta L1 pasa por los puntos R(3, 2) y S(−4, −6), otra
llamada L2 pasa por A(−7, 1) y el punto cuya ordenada es
6. Obtener la abscisa de este punto sabiendo que L1 es
perpendicular a L2.
25. Una diagonal de un paralelogramo une los vértices A(4, −2)
y C(−4, −4); un extremo de la otra diagonal es B(1, 2). De-
terminar la ecuación de esta diagonal.
26. Determinar el valor de k
k
k si la ecuación de una recta es
kx + (3 − k)y + 7 = 0 y su pendiente es igual a 7.
27. Determinar el valor de p
p
p para que la recta
(p − 1)y + px − 18 = 0 sea paralela a 4x + 3y + 7 = 0.
28. Determinar el valor de t
t
t para que la recta t2
x+ty+y = −3
sea perpendicular a 2y − 3x + 11 = 0.
29. Calcular el ángulo ángulo formado por las rectas 3x − 2y +
8 = 0 y 2x + 5y + 15 = 0.
30. Las ecuaciones de dos rectas son 3x − 4y + 12 = 0 y
5x − By + 10 = 0. Si uno de los ángulos que forman es
de 35◦
, calcular el valor de B.
31. Si A(−2, 1), B(4, 7) y C(6, −3) son los vértices de un trián-
gulo, obtener la ecuación de la recta que pasa por el vértice
A y es paralela al lado BC.
32. Dados los vértices de un triángulo A(1, −1), B(−2, 1) y
C(3, 5), determinar la ecuación general de la perpendicular
bajada desde el vértice A (altura).
33. Calcular el área del triángulo formado por la recta que pasa
por los puntos P(5, 2) y Q(9, −1) con los ejes coordenados.
34. Calcular el área del triángulo formado por la recta
2x − 5y + 6 = 0 con los ejes coordenados.
35. Determinar el valor de k para que la recta 4x + 5y + k = 0
forme con los ejes de coordenadas un triángulo rectángulo
de área igual a
5
2
u
2
.
36. Determinar el valor de k para que la recta 2x + y + k = 0
forme con los ejes de coordenadas un triángulo rectángulo
de área igual a 1u
2
.
37. Uno de los vértices de un cuadrado es A(2, 4) y el punto
donde se cortan las diagonales es P(3, 7). Determinar las
ecuaciones de los lados del cuadrado.
38. Los vértices de un triángulo son los puntos A(−5, 6),
B(−1, −4) y C(3, 2). Obtener:
a) Las ecuaciones de sus lados.
b) Las ecuaciones de sus mediatrices.
c) Las ecuaciones de sus medianas.
d) Las ecuaciones de sus alturas.
e) Las coordenadas del circuncentro, baricentro y orto-
centro.
39. Determinar los vértices del triángulo cuyas ecuaciones de
sus lados se encuentran sobre las rectas: x − y + 2 = 0,
2x + 3y − 1 = 0 y 4x + y − 17 = 0. Posteriormente calcular
su perímetro, área y ángulos interiores.

40. Comprobar que las rectas: 2x−3y −23 = 0, 4x−y −21 = 0
y 3x+5y +13 = 0, son concurrentes (se cortan en un mismo
punto). ¾Cuáles son las coordenadas de éste?.
41. Calcular la distancia del punto T(−2, −3) a la recta
8x + 15y − 24 = 0.
42. Calcular la distancia del punto B(0, 5) a la recta 3x − 4y =
10.
43. Calcular la distancia de la recta x + 4 = 0 al punto 3, −3
2

.
44. Obtener las longitudes de las alturas de un triángulo cuyos
vértices son A(4, 1), B(−3, 3) y C(−3, −4).
45. Calcular la distancia entre las rectas paralelas cuyas ecuacio-
nes están dadas por: 8x−15y +34 = 0 y 8x−15y +102 = 0.
46. Determinar la distancia entre las rectas paralelas cuyas ecua-
ciones son: 3y = 12 − 4x y 8x = 4 − 6y.
APLICACIONES
47. Un fabricante de dulces se sujeta en la venta de los artículos
que produce, a la siguiente norma: precio al público, igual
al triple del costo de los materiales empleados más $2.00
de impuestos. Expresar esta situación por medio de una
ecuación y una gráca.
48. El costo del transporte de pasajeros en los automóviles de
alquiler está sujeto a la siguiente norma: cinco pesos al abor-
dar el vehículo, y diez pesos por cada km recorrido. Obtener
la ecuación que liga el importe I con el número k de kms
recorridos y construir la gráca correspondiente.
49. El fabricante de cierto producto tiene un costo total consis-
tente en gastos generales semanales de $3000 (dólares) y un
costo de manufactura de $25 por unidad.
a) Suponiendo que se fabriquen x unidades por semana a
un costo total semanal y, escribir la ecuación de x e y.
b) Trazar la gráca de la ecuación.
50. El costo total de un fabricante está constituido por un costo
de fabricación de $20 (dólares) por unidad y gastos diarios
jos.
a) Suponiendo que el costo total para producir 200 uni-
dades en un día sea de $4500, determinar los gastos
generales diarios.
b) Suponiendo que se produzcan x unidades diariamente
con un costo diario total y, escriba la ecuación en x e
y.

2.3. SOLUCIONES: LINEA RECTA 11
51. El costo total de un fabricante está constituido por un costo
de fabricación de $30 (dólares) por unidad y gastos diarios
jos.
a) Suponiendo que el costo total para producir 200 uni-
dades en un día sea de $6600, determinar los gastos
generales diarios.
b) Suponiendo que se produzcan x unidades diariamente
con un costo diario total y, escriba la ecuación en x e
y.
52. Un productor sabe que el costo total de la manufactura de
1000 unidades de su producto es de $8500, mientras que el
costo total de la manufactura de 2000 unidades es de $11500.
Suponiendo que esta relación entre el costo y el número de
unidades fabricadas es lineal, encontrar la relación, gracar
la ecuación e interpretar la gráca. ¾Cuál es el costo total
de la producción de 2500 unidades?
53. Un productor sabe que le cuesta $2790 fabricar 2000 unida-
des de su producto cada mes, mientras que sus costos jos
son de otros $2500.por mes (el costo total de 2000 unida-
des es de $5290) Suponiendo que hay una relación lineal
para encontrar el costo variable por unidad para fabricar el
producto ¾cuál es el costo total de la fabricación de 1000
unidades?
SOLUCIONES: Linea Recta
1. x − 2y + 2 = 0
2. 2x + y − 5 = 0
3. 1.7x − y − 6.4 = 0
4. x + y − 4 = 0
5. 5x − 6y − 8 = 0
6. x − 4y + 9 = 0
7. x + y + 1 = 0
8. 5x + 2y + 10 = 0
9. 2x − y + 10 = 0
10. 5x + 3y − 7 = 0
11. a) a = −20; b = 4;
y = 1
5
x + 4;
x
−20
+
y
4
= 1
b) a = −5
3
; b = 5 ;
y = 3x + 5 ;
x
−5
3
+
y
5
= 1
c) a = −3
2
; b = −3
8
;
y = −1
4
x − 3
8
;
x
−3
2
+
y
−3
8
= 1
d) a = 9
2
; b = −6 ;
y = 4
3
x − 6 ;
x
9
2
+
y
−6
= 1
12. Punto de intersección de las rectas:
(-203,-120), La ecuación de la recta:
23x − 40y − 131 = 0
13. x − 2y − 5 = 0

14. 3x + 2y − 11 = 0
15. x − 2y + 7 = 0
16. x + 4y − 27 = 0
17. a) y + 7 = 0
b) y − 2 = 0
c) x − 2 = 0
d) x + 3 = 0
18. x − 4y − 7 = 0
19. 3x − 5y + 4 = 0
20. 5x − 3y + 9 = 0
21. x − 8y − 5 = 0
22. x + y + 2 = 0
23. (4, −4)
24. x = 1
25. 5x − y − 3 = 0
26. K = 7
2
27. p = 4
28. Hay dos valores:
t = 1.2152, y t = −0.5485
29. β = 78.07◦
30. B = 1.98
31. 5x + y + 9 = 0
32. 5x + 4y − 1 = 0
33. Área = 22.04 u
2
34. Área = 1.8 u
2
35. k = 10, k = −10
36. k = 2, k = −2
37. x − 2y + 6 = 0;
x − 2y + 16 = 0;
2x + y − 8 = 0;
2x + y − 18 = 0
38. a) 5x + 2y + 13 = 0;
x + 2y − 7 = 0;
3x − 2y − 5 = 0
b) 2x − 5y + 11 = 0;
2x − y + 6 = 0;
2x + 3y + 1 = 0
c) 7x + 6y − 1 = 0;
x + 1 = 0;
x − 6y + 9 = 0
d) 2x + 3y − 8 = 0;
2x − y − 2 = 0;
2x − 5y + 4 = 0
e) Circuncentro: −19
8
, 5
4

;
Baricentro: −1, 4
3

;
Ortocentro:
7
4
, 3
2

39. Vértices: A(−1, 1), B(3, 5),
C(5, −3);
Perímetro = 21.54 u;
Área = 20 u
2
,
Ángulos: A = 78◦
410
24”,
B = 59◦
020
10”, C = 42◦
160
25”.
40. (4, −5)
41. d = 5u
42. d = 6u
43. d = 7u
44. h1 = 7, h2 = 7
√
53
y h3 = 7
√
74
45. d = 8u
46. d = 2u
47. y = 3x + 2
48. l = 5 + 10k
49. y = 25x + 3000
50. a) $500
b) y = 20x + 500

2.3. SOLUCIONES: LINEA RECTA 13
51. a) $600
b) y = 30x + 600
52. 3x − y + 5500 = 0. El costo total
de la producción de 2500 unidades
es de $13000
53. 1.395x − y + 1.25 = 0. El costo total
de la producción de 1000 unidades
es de $1396.2

UNIDAD III: CIRCUNFERENCIA
EJERCICIOS: Circunferencia
1. Determinar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es
el punto C(−3, 4) y su radio mide 4u.
2. Dada la ecuación ordinaria de la circunferencia
(x + 1)2
+ (y − 2)2
= 25. Obtener su centro y su radio.
3. Determinar la ecuación de la circunferencia si su centro es
C(−3, −6) y pasa por (1, −1).
4. Obtener la ecuación de la circunferencia si los extremos de
un diámetro son los puntos (−2, 1) y (6, 5).
5. Una circunferencia de radio 5 es tangente a la recta 3x −
4y − 1 = 0 en el punto (3, 2). Determinar su ecuación.
6. Determinar la ecuación de la circunferencia con centro en
(2, 3) que es tangente a la circunferencia cuya ecuación es
x2
+ y2
− 12x − 6y + 41 = 0.
7. Determinar la ecuación de la circunferencia de radio 5 y cu-
yo centro es el punto de intersección de las rectas
3x − 2y − 24 = 0 y 2x + 7y + 9 = 0
8. Determinar la longitud de la cuerda de la circunferencia
(x − 2)2
+ (y − 4)2
= 10 que se divide por mitad en el
punto A(1, 2).
9. La ecuación de una circunferencia es (x−4)2
+(y−3)2
= 20.
Determinar la ecuación de la recta tangente a esta circunfe-
rencia en el punto (6, 7).
10. Un círculo es tangente a la recta 2x − y + 1 = 0 en el punto
(2, 5) y el centro está sobre la recta x + y = 9. Determinar
la ecuación de la circunferencia que limita al círculo.
11. El punto C(3, ˘1) es el centro de una circunferencia que in-
tersecta a la recta 2x − 5y + 18 = 0, determinando una
cuerda de longitud igual a 6. Determinar la ecuación de di-
cha circunferencia.
12. Obtener la ecuación del diámetro, de la circunferencia
(x − 2)2
+ (y + 1)2
= 16, que contiene al punto medio de la
recta secante determinada por la recta x − 2y − 3 = 0.
13. Obtener la ecuación de la circunferencia que es tangente a
la recta 5x − 12y + 9 = 0 y el centro está en (3, −4).
14. Determinar la ecuación de la línea recta que pasa por los
centros de las circunferencias dadas por: x2
+y2
−x+2y = 0
y x2
+ y2
+ 5x + 2y − 1 = 0.
14

3.1. EJERCICIOS: CIRCUNFERENCIA 15
15. En cada uno de los ejercicios siguientes, reduciendo la ecua-
ción dada a la forma ordinaria, determinar si representa o
no una circunferencia.
a) x2
+ y2
+ 6x + 6y + 9 = 0
b) 2x2
+ 2y2
− 6x + 10y + 7 = 0
c) x2
+ y2
− 10x + 4y + 29 = 0
16. Determinar si el punto A(1, −2) está en la región interior,
en la región exterior o en el contorno con relación a cada
una de las circunferencias dadas a continuación:
a) x2
+ y2
= 1
b) x2
+ y2
− 10x + 8y = 0
c) x2
+ y2
= 5
d) x2
+ y2
− 8x − 4y − 5 = 0
e) x2
+ y2
= 9
17. Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por
(−2, 4) y tiene el mismo centro que la representada por la
ecuación x2
+ y2
− 5x + 4y − 1 = 0.
(1, −4) y que es concéntrica con la circunferencia dada por
x2
+ y2
− x + 10y + 18 = 0.
19. Calcular la distancia mínima del punto Q(−7, 2) a la cir-
cunferencia x2
+ y2
− 10x − 14y − 151 = 0
20. Determinar el valor de la constante m
m
m para que
x2
+ y2
− 8x + 10y + m = 0 sea la ecuación de una circun-
ferencia de radio 7.
21. Obtener la ecuación de la circunferencia circunscrita al
triángulo que tiene vértices en los puntos A(−2, −2),
B(10, −8) y C(7, 1).
22. Obtener la ecuación de la circunferencia que pasa por los
puntos P(4, −1), Q(−2, −5) y R(5, 4).
23. Obtener la ecuación de la circunferencia que es tangente a
la recta 5x + y = 3, en el punto (2, −7), si su centro está en
la recta x − 2y = 19.
24. Determinar la ecuación de la circunferencia tangente a las
rectas x − 3y + 9 = 0; y 3x + y − 3 = 0 que tenga su centro
en la recta 7x + 12y − 32 = 0.
25. Determinar las ecuaciones de las circunferencias que pasan
por el punto A(1, 0) y son tangentes a las dos rectas paralelas
2x + y + 2 = 0 y 2x + y − 18 = 0.
26. Determinar la ecuación de la circunferencia tangente a las
rectas x − 2y + 4 = 0 y 2x − y − 8 = 0 y que pase por el
punto (4, −1).
27. Obtener la ecuación de la circunferencia inscrita al trián-
gulo determinado por las rectas: L1 : 7x + 6y − 11 = 0 ;
L2 : 9x − 2y + 7 = 0 y L3 : 6x − 7y − 16 = 0.
28. Obtener las ecuaciones de las circunferencias que son tan-
gentes a dos rectas concurrentes L1 : 7x − y − 5 = 0 y
L2 : x + y + 13 = 0 y a una de ellas en el punto M(1, 2).

16 CAPÍTULO 3. UNIDAD III: CIRCUNFERENCIA
29. La ecuación de una circunferencia es
4x2
+ 4y2
− 16x + 20y + 25 = 0. Obtener la ecuación
de la circunferencia concéntrica que es tangente a la recta
5x − 12y = 1.
30. ¾Cuál es la posición que guardan la recta y la circunferencia
dadas? Verique el resultado trazando las grácas respecti-
vas. x2
+ y2
= 10 y x − 2y + 5 = 0
31. ¾Qué posición guardan entre sí la circunferencia y la recta
dadas? x − 4y − 25 = 0 y x2
+ y2
+ 4y − 13 = 0.
32. ¾Se intersectan la circunferencia y la recta dadas por las
ecuaciones x + y + 6 = 0 y x2
+ y2
+ 2x + 2y − 3 = 0.
33. Determinar la ecuación de la tangente a la circunferencia
x2
+ y2
− 2x − 6y − 3 = 0, en el punto P(−1, 6).
34. Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia
4x2
+ 4y2
+ 8x + 4y − 47 = 0, que tenga por pendiente
m = −3
2
.
35. Determinar las ecuaciones de las tangentes a la circunferen-
cia x2
+ y2
+ 4x − 10y + 21 = 0, que son paralelas a la recta
5x − 5y + 31 = 0.
36. Obtener la ecuación de la tangente a la circunferencia
x2
+y2
−10x = 0, en cada uno de sus puntos de intersección
con la recta 4x + 3y = 20.
37. Dadas las circunferencias x2
+ y2
− 8x − 6y + 17 = 0 y
x2
+ y2
− 18x − 4y + 67 = 0. ¾Cuál es la posición que guar-
dan entre sí? Verique su respuesta, gracando las ecuacio-
nes dadas.
38. Demostrar que las circunferencias dadas son tangentes
x2
+ y2
− 3x − 6y + 10 = 0 y x2
+ y2
− 5 = 0.
39. ¾Cuál es la posición que guardan entre sí las circunferencias:
x2
+ y2
− 2x − 2y = 0 y x2
+ y2
+ 10x − 6y + 33 = 0
40. Demostrar que las circunferencias x2
+y2
+4x+6y −23 = 0
y x2
+ y2
− 8x − 10y + 25 = 0, son tangentes exteriormente.
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
41. Hallar la ecuación de una circunferencia que pasa por los
puntos S(−8, 9), R(1, 0) y tiene su centro sobre la recta
Lc : −x − 5y − 14 = 0.
42. Hallar la ecuación de la circunferencia, que tiene como diá-
metro, la cuerda que la recta secante 2x+4y +26 = 0 forma
con la circunferencia x2
− 10x + y2
− 2y − 59 = 0.
43. Calcular la longitud de la cuerda común de las circunferen-
cias:
c1 : x2
− 6x + y2
− 8y − 25 = 0
c2 : x2
+ 10x + y2
+ 8y − 9 = 0
44. Una circunferencia c2, es tangente a la circunferencia
c1 : x2
− 10x + y2
+ 12y − 139 = 0, en el punto G(3, 8) y
pasa por el punto H(−3, 0). Calcular su ecuación.

3.3. SOLUCIONES: CIRCUNFERENCIA 17
los puntos: E(−1, 3) y F(0, −2) y es tangente a la recta
2x + 3y − 20 = 0:
46. Determinar la ecuación de la circunferencia de centro en el
punto B(−2, 0) y es tangente a la circunferencia:
x2
− 4x + y2
+ 8y − 142 = 0.
47. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el pun-
to N(−6, −6) y por las intersecciones de la circunferencia:
x2
+ y2
+ 8y − 64 = 0 y la recta 4x − 12y + 32 = 0.
48. Una circunferencia de radio r = 2
√
10 pasa por los puntos
E(4, 3) y F(0, −5), calcular su ecuación.
49. Una circunferencia de radio r = 3
√
2 es tangente a la cir-
cunferencia: x2
+ 6x + y2
+ 6y − 14 = 0 en el punto B(1, 1).
Calcular su ecuación:
50. Determinar la ecuación de la circunferencia, que pasa por
los puntos de intersección de las circunferencias:
x2
+ y2
+ 2y − 24 = 0 y x2
− 8x + y2
+ 6y = 0 y tiene un
radio r =
√
65.
SOLUCIONES: Circunferencia
1. (x + 3)2
+ (y − 4)2
= 16
2. C(−1, 2), r = 5
3. (x + 3)2
+ (y + 6)2
= 41
4. (x − 2)2
+ (y − 3)2
= 20
5. a) (x − 6)2
+ (y + 2)2
= 25
b) x2
+ (y − 6)2
= 25
6. a) (x − 2)2
+ (y − 3)2
= 4
b) (x − 2)2
+ (y − 3)2
= 36
7. (x − 6)2
+ (y + 3)2
= 25
8. 2
√
5
9. x + 2y − 20 = 0
10. (x − 6)2
+ (y − 3)2
= 20
11. (x − 3)2
+ (y + 1)2
= 38
12. 2x + y − 3 = 0
13. (x − 3)2
+ (y + 4)2
= 5184
169
14. y + 1 = 0
15. a) Si representa a una circunfe-
rencia
b) Si representa a una circunfe-
rencia
c) Representa a un punto (radio
cero)
16. a) A está en el interior de la cir-
cunferencia
b) A es un punto de la circunfe-
rencia
c) A está en el interior de la cir-
cunferencia
d) A es un punto de la circunfe-
rencia
e) A está en el interior de la cir-
cunferencia
17. x − 5
2
2
+ (y + 2)2
= 225
4
18. x − 1
2
2
+ (y + 5)2
= 5
4

18 CAPÍTULO 3. UNIDAD III: CIRCUNFERENCIA
19. La distancia mínima es de 2 unida-
des
20. m = −8
21. (x − 4)2
+ (y + 5)2
= 45
22. (x + 3)2
+ (y − 3)2
= 65
23. (x − 7)2
+ (y + 6)2
= 26
24. (x + 4)2
+ (y − 5)2
= 10
x + 4
31
2
+ y − 85
31
2
= 40
961
25. (x − 5)2
+ (y + 2)2
= 20
x − 9
5
2
+ y − 22
5
2
= 20
26. (x − 15)2
+ (y + 3)2
= 125
(x − 35)2
+ (y + 23)2
= 1445
27. x − 6
17
2
+ y + 7
17
2
= 121
85
28. (x − 29)2
+ (y + 2)2
= 800
(x + 6)2
+ (y − 3)2
= 50
29. (x − 2)2
+ y + 5
2
2
= 9
30. La recta es secante a la circunferen-
cia.
31. La recta es tangente a la circunfe-
rencia.
32. La recta y la circunferencia no se in-
tersectan.
33. 2x − 3y + 20 = 0
34. 3x + 2y − 9 = 0
3x + 2y + 17 = 0
35. x − y + 3 = 0
x − y + 11 = 0
36. 3x − 4y − 40 = 0
3x − 4y + 10 = 0
37. Se intersectan en los puntos P1(6, 5)
y P2 = 66
13
, 5
13

38. El único punto de intersección es
T(1, 2)
39. Las circunferencias no se intersectan
40. Las circunferencias se intersectan
sólo en T 8
5
, 9
5

41. c : x2
+ 18x + y2
+ 2y − 19 = 0
42. x2
− 2x + y2
+ 14y + 45 = 0
43. d = 6
√
2
44. x2
− 8x + y2
− 2y − 33 = 0
45. c1 : x2
+ 36x + y2
+ 6y + 8 = 0
c2 : x2
− 4x + y2
− 2y − 8 = 0
46. c1 : x2
+ 4x + y2
− 46 = 0
c2 : x2
+ 4x + y2
− 334 = 0
47. x2
+ 2x + y2
+ 2y − 48 = 0
48. x2
+ 4x + y2
− 2y − 35 = 0 y
x2
− 12x + y2
+ 6y + 5 = 0
49. x2
− 8x + y2
− 8y + 14 = 0 y
x2
+ 4x + y2
+ 4y − 10 = 0
50. r =
√
65

UNIDAD IV: PARÁBOLA
EJERCICIOS: Parábola
1. Obtener por métodos algebraicos la ecuación de la parábola
con los datos dados en los siguientes incisos; construya la
gráca respectiva.
a) Vértice en (1, −1), foco en (4, −1).
b) Vértice en (2, −3), foco en (2, 4).
c) Vértice en (−1, 1), con y − 3 = 0, como ecuación de la
directriz.
d) Vértice en (−2, −1), con x + 4 = 0, como ecuación de
la directriz.
e) Vértice en (3, −2), con y = −5, como ecuación de la
directriz.
f) Foco en (−5, 2), usando x = −1, como ecuación de la
directriz.
g) Foco en (−1, 0), con y − 4 = 0, como ecuación de la
directriz.
h) Extremos del lado recto en (−3, 0) y (9, 0); vértice en
(3, −3).
i) Extremos del lado recto en (−1, 5) y (−1, −11); vértice
en (−5, −3).
j) Vértice en (4, −3), eje focal paralelo al eje X , pasando
por (0, −4).
k) Vértice en (3, 4), eje focal paralelo al eje Y , pasando
por (−7, 9).
l) Lado recto igual a 12, eje focal paralelo al eje X, y
pasando por (−1, −3) y (2, 3).
m) V (0, 0), su eje focal coincide con el eje Y , pasando por
(−2, 4).
n) Pasa por (5, 4), (5, −4) y por (0, 0); su eje focal coincide
con el eje X.
ñ) Eje focal paralelo al eje Y , pasa por los puntos (−2, 3),
(2, 1) y (10, 9).
2. Reduzca cada una de las siguientes ecuaciones, de parábolas,
a su forma ordinaria y determine sus elementos:
a) y2
+ 12x − 6y + 45 = 0
b) x2
− 8x + 4y + 12 = 0
c) y2
+ 16x + 8y + 16 = 0
d) 4y2
− 48x − 20y = 71
e) 9x2
+ 24x + 72y + 16 = 0
f) y2
+ 4x = 7
g) 4x2
+ 48y + 12x = 159
h) y = ax2
+ bx + c
3. Obtener los puntos comunes de la recta x + y − 3 = 0 y la
parábola x2
= 4y.
4. Obtener los puntos comunes de la recta 3x + 4y − 12 = 0 y
la parábola y2
= −9x.
19

20 CAPÍTULO 4. UNIDAD IV: PARÁBOLA
5. En los casos siguientes, determine si la recta y la parábola
se cortan, son tangentes o son ajenas.
a) x − y + 2 = 0; y2
= 8x
b) 8x + 3y − 15 = 0; x2
= −3y
c) 5x − y − 15 = 0; y2
= −5x
6. Determinar la ecuación de la parábola que pasa por los pun-
tos (2, 3) y (11, 9), su eje de simetría es paralelo al eje X y
la longitud de su lado recto es de 12 unidades.
7. Obtener la ecuación de una parábola cuyo vértice está sobre
la recta 2y − 3x = 0, eje de simetría paralelo al eje X y que
contiene a los puntos (3, 5) y (6, −1).
8. Determinar la ecuación de la parábola que pasa por los pun-
tos (5, −3) y (14, −9), con eje de simetría paralelo al eje X
y longitud de su lado recto 12 unidades.
9. Obtener la ecuación de la parábola cuyo eje de simetría es
paralelo al eje X, sabiendo que contiene a los puntos (3, 3),
(6, 5) y (6, −3).
10. Obtener la ecuación de la parábola cuyo eje de simetría
es vertical y que contiene a los puntos (4, 5), (−2, 11) y
(−4, 21).
11. Determinar la ecuación de la circunferencia que tiene como
diámetro el lado recto de la parábola y2
= 10x.
12. Obtener la ecuación de la circunferencia que tiene como diá-
metro el lado recto de la parábola (x − 3)2
= −10(y + 3).
SOLUCIONES: Parábola
1. a) (y + 1)2
= 12(x − 1)
b) (x − 2)2
= 28(y + 3)
c) (x + 1)2
= −8(y − 1)
d) (y + 1)2
= 8(x + 2)
e) (x − 3)2
= 12(y + 2)
f) (y − 2)2
= −8(x + 2)
g) (x + 1)2
= −8(y − 2)
h) (x − 3)2
= 12(y + 3)
i) (y + 3)2
= 16(x + 5)
j) (y + 3)2
= −1
4
(x − 4)
k) (x − 3)2
= 20(y − 4)
l) (y + 3)2
= 12(x + 1)
m) x2
= y
n) y2
= (16
5
)x
ñ) x2
− 4x − 8y + 12 = 0
2. a) V (−3, 3), L.r = 12, F(−6, 3),
Ec. dir x = 4
b) V (4, 1), L.r = 2, F(4, 0)
c) V (0, −4), L.r = 4, F(−4, −4)
d) V −2, 5
2

, F 1, 5
2

Directriz
x = 1
e) V −4
3
, 0

, F −4
3
, −2

, y = 2
f) V 7
4
, 0

, F 3
4
, 0

, x = 11
4
g) V −3
2
, 7
2

, F −3
2
, 1
2

, y = 13
2
h) V

− b
2a
, b2−4ac
4a

, F

− b
2a
, 4ac−b2+1
4a

,
y = 4ac−1−b2
4a

4.2. SOLUCIONES: PARÁBOLA 21
3. (−6, 9), (2, 1)
4. (−4, 6)
5. a) Tangente en (2, 4)
b) La corta en (3, −3) y 5, −25
3

c) No la corta
6. (y + 3)2
= 12(x + 1)
7. y − 49
11
2
= 108
11
x − 98
33

(y − 3)2
= 4(x − 2)
8. (y − 3)2
= 12(x − 2)
9. y2
− 4x − 2y + 10 = 0
10. −x2
− 4x − 2y + 10 = 0
11. −4x2
+ 4y2
− 20x − 75 = 0
12. −4x2
+ 4y2
− 24x + 44y + 57 = 0

UNIDAD V: ELIPSE
EJERCICIOS: Elipse
1. Denir la elipse como lugar geométrico.
2. Dibujar una elipse e indicar:
a) Los focos
b) El Centro
c) Una cuerda focal
d) El eje focal
e) El eje normal
f) Un lado recto
g) Los vértices
h) El eje menor
i) Un diámetro
j) El eje mayor
k) Una cuerda
l) Un radio vector
Explicar el signicado geométrico de la excentricidad de la
elipse.
3. Para cada una de las siguientes elipses determinar: el cen-
tro, los vértices, los extremos del eje menor, los focos, las
longitudes de los ejes: mayor y menor, y la excentricidad.
Después trazar un esquema de la curva, con los parámetros
obtenidos.
a) x2
25
+ y2
9
= 1
b) x2
289
+ y2
225
= 1
c) x2
9
+ y2
25
= 1
d) x2
25
+ y2
169
= 1
e) 4x2
+ 9y2
= 36
f) 4x2
+ 25y2
= 100
g) 13x2
+ 9y2
= 117
h) 100x2
+ 64y2
= 6400
i) (x−3)2
25
+ (y−2)2
9
= 1
j) (x+3)2
9
+ (y+2)2
16
= 1
4. Para cada uno de los siguientes ejercicios, obtenga la ecua-
ción ordinaria que satisfaga las condiciones dadas.
a) Vértices en (0, 6) y (0, −6), y con focos en (0, 4) y
(0, −4).
b) Vértices en (0, 8) y (0, −8), y con focos en (0, 5) y
(0, −5).
c) Vértices en (5, 0) y (−5, 0), y con focos en (4, 0) y
(−4, 0).
d) Vértices en (−10, 0) y (10, 0), y con focos en (−8, 0) y
(8, 0).
e) Vértices en (±6, 0) y un foco en (−1, 0)
22

5.1. EJERCICIOS: ELIPSE 23
f) Vértices en (0, ±13) y un foco en (0, −5)
g) Vértices en (±5, 0) y contiene al punto (
√
15, 2)
h) Vértices en (0, ±4) y pasa por (1, 2)
i) Vértices en (±6, 0) y longitud del lado recto igual a 3.
j) Vértices en (±5, 0) y longitud del lado recto igual a 4.
k) Focos en (2, 0) y (−2, 0) y excentricidad e = 2
3
l) Focos en (±6, 0) y con e = 3
5
.
m) Focos en (3, 0) y (−3, 0) y la longitud de uno cualquiera
de sus lados rectos es 9.
n) Extremos del eje menor en (±8, 0) y lado recto igual a
4.
ñ) Extremos del eje menor en (0, 3), pasa por (5, −2).
o) Focos en (0, ±7), pasa por (12, −2).
p) Focos en (±15, 0), pasa por (20, 12).
q) Focos en (−4, 2) y (4, 2) y longitud del eje mayor igual
a 10.
r) Focos en (3, 8) y (3, 2) y longitud del eje mayor igual a
10.
s) Vértice en (−1, −3), focos en (−1, −1) y (−1.3).
t) Centro en (−4, −2), e = 2
3
, un vértice en (2, −2).
u) Vértices en (1, 4) y (−5, 4) y excentricidad e = 1
3
.
v) Vértice en (2, −2) y un extremo del eje menor en
(5, −1).
w) Vértices (7, −2) y (−5, −2) y pasa por (3, 2).
5. Reducir cada una de las ecuaciones dadas a la forma ordina-
ria de la ecuación de la elipse. Determinar las coordenadas
del centro, vértices y focos, las longitudes de los ejes: mayor
y menor, y la de cada lado recto, y la excentricidad. Elaborar
la gráca en cada caso, con los parámetros obtenidos.
a) 9x2
+ 16y2
− 54x − 64y + 1 = 0
b) 16x2
+ 25y2
− 224x + 100y + 484 = 0
c) 9x2
+ 4y2
− 72x − 24y + 144 = 0
d) 16x2
+ 9y2
− 32x − 36y − 92 = 0
e) 169(x − 1)2
+ 25(y + 2)2
= 4225
f) 9(x − 6)2
+ 25(y − 5)2
= 225
6. El perímetro de un triángulo es igual a 30 y los puntos
A(−5, 0) y B(5, 0) son dos de sus vértices. Demostrar que el
lugar geométrico del tercer vértice genera una elipse, cuyos
focos son los puntos A y B.
7. El perímetro de un triángulo es 20 y los puntos A = (−2, −3)
y B = (−2, 3) son dos de sus vértices. Obtenga la ecuación
del lugar geométrico del tercer vértice.
8. El lado recto de una parábola es el eje menor de la elipse
41x2
+ 16y2
= 656 Obtener su ecuación. (Dos soluciones).
9. Calcular elipse las longitudes de los radios vectores del punto
(2, 1) de la elipse 9x2
+ y2
− 18x − 2y + 1 = 0
10. Dada la elipse 4x2
+ 9y2
− 32x + 54y + 109 = 0, determine
la ecuación de la circunferencia que tiene como centro el de
la elipse y como radio la longitud del semieje menor.

24 CAPÍTULO 5. UNIDAD V: ELIPSE
11. Determinar la ecuación de la parábola que tiene como vér-
tice el centro de la elipse 3x2
+ 2y2
+ 24x − 32y + 170 = 0,
que abre hacia abajo y pasa por el punto P(−2, 0).
12. Encontrar la ecuación de la elipse con centro en C = (0, 0)
y e = 1
3
y que tiene como uno de sus vértices el centro de la
circunferencia x2
+ y2
− 6x − 7 = 0
13. Encontrar los puntos de intersección de las elipses 16x2
+
25y2
− 400 y 16x2
+ y2
− 16
14. Encontrar los puntos de intersección de la elipse x2
+ 8y2
+
12x−64y +148 = 0 y el círculo x2
+y2
+12x−8y +43 = 0.
15. La órbita de la Luna alrededor de la Tierra es una elipse
con la Tierra en uno de sus focos. La longitud del eje mayor
es de 608 202 Km y la excentricidad 0.0549. Encontrar las
distancias máxima y mínima de la Tierra a la Luna.
16. El eje mayor de la órbita de la Tierra mide 186 000 000 de
millas, y la excentricidad de la órbita es
1
62
. Calcular las dis-
tancias máxima y mínima de la Tierra al Sol. (El Sol es uno
de los focos de la elipse).
17. La distancia mínima del planeta Mercurio al Sol es aproxi-
madamente de 28 millones de millas y la excentricidad de
la órbita es
1
5
. Hallar la diferencia de sus distancias mayor y
menor al Sol. Comparar estos resultados con los correspon-
dientes a la Tierra.
18. La Tierra se mueve en órbita elíptica alrededor del Sol, y
éste está en uno de los focos de la elipse. Las distancias mí-
nima y máxima de la Tierra al Sol son 91 446 000 millas
y 94 560 000 millas respectivamente. ¾Cuál es la excentrici-
dad de la elipse? ¾Qué longitudes tienen el eje mayor y el
eje menor?
19. Suponiendo que la órbita de un planeta tiene la forma de
una elipse con un eje mayor cuya longitud es 500 millones
de kilómetros, si la distancia entre los focos es 400 millones
de kilómetros, obtener una ecuación de la órbita.
20. Encontrar la ecuación del lugar geométrico de los puntos
medios de las ordenadas de la circunferencia cuya ecuación
es x2
+ y2
= 96 Trazar la circunferencia y la elipse en el
mismo sistema coordenado.
21. Un arco de luz, de forma semielíptica, tiene una altura máxi-
ma de 30 metros y longitud del eje menor de 80m. Hallar la
altura del arco en un punto situado a 15 metros del centro.
22. Un arco de forma semielíptica subtiende un claro de 104
metros. Si la altura del arco es de 15 metros a una distancia
de 4 metros medida desde un extremo, ¾cuál es su altura
máxima?
23. El arco de un túnel es una semielipse de 20m de ancho y 7m
de alto. Determinar la altura en la orilla de un carril si la
orilla está a 7m del centro.
24. La elipse que se forma al sur de la Casa Blanca, en Wa-
shington. D.C., mide 3 525 pies de longitud y 1 265 pies de
ancho. Deducir una ecuación que la represente si los ejes se
colocan con el origen en el centro y el eje mayor en el eje X.
¾Dónde quedan los focos?

5.1. EJERCICIOS: ELIPSE 25
25. Un vestíbulo de 10 pies de ancho tiene el techo semielíptico.
Las paredes tienen 10 pies de altura y la bóveda se eleva a
12 pies en su centro. Determinar la ecuación de la bóveda
con el eje X horizontal y el origen en el centro de la elipse.
26. El techo de un pasadizo o galería de 10 metros de anchura,
tiene perl de semielipse, con 9 metros de altura en el centro
y 6 metros en los extremos de los muros, como se muestra
en la gura. Determinar la altura del techo a 2 metros de
cualquiera de los muros.
27. El arco de un puente tiene forma semielíptica con un cla-
ro total de 40 m y una altura de 16 m en el centro, co-
mo se muestra en la gura siguiente. ¾Cuál es la altura
del arco a 9 m a la derecha o la izquierda del centro?
28. Un arco tiene la forma de una semielipse. Su anchura es de
48 pies en la base y tiene una altura de 20 pies. ¾Cuál es la
anchura del arco a una altura de 10 pies sobre la base?
29. Se va a construir un puente de arco de concreto, de forma
semielíptica. Debe salvar un espacio de 20 pies y, los 14 pies
centrales deben tener una altura mínima de 8 pies. ¾Qué
altura máxima tiene el arco?
30. Un arco de entrada a un Zoológico tiene una sección trans-
versal como se muestra en la gura de abajo, donde la curva
es una semielipse.
a) Calcule las alturas del arco, medidas desde el suelo,
cada 5 metros de distancia desde el punto P.
b) Si tiene 10 metros de grosor, obtenga el número de me-
tros cúbicos de concreto que requiere su construcción.
(El área de una elipse de semiejes a y b está dada por
πab).

26 CAPÍTULO 5. UNIDAD V: ELIPSE
SOLUCIONES: Elipse
3. a) C(0, 0), V (±5, 0),
B(0, ±3), F(±4, 0),
2a = 10, 2b = 6, e = 4
5
b) C(0, 0), V (±17, 0),
B(0, ±15), F(±8, 0),
2a = 34, 2b = 30, e = 8
17
c) C(0, 0), V (0, ±5),
B(±3, 0), F(0, ±4),
2a = 10, 2b = 6, e = 4
5
d) C(0, 0), V (0, ±13),
B(±5, 0), F(0, ±12),
2a = 26, 2b = 10, e = 12
13
e) C(0, 0), V (±3, 0),
B(0, ±2), F(±
√
5, 0),
2a = 6, 2b = 4, e =
√
5
3
f) C(0, 0), V (±5, 0),
B(0, ±2), F(±
√
21, 0),
2a = 10, 2b = 4, e =
√
21
5
g) C(0, 0), V (0, ±
√
13),
B(±3, 0), F(0, ±2),
2a = 2
√
13, 2b = 6, e = 2
√
13
h) C(0, 0), V (0, ±10),
B(±8, 0), F(0, ±6),
2a = 20, 2b = 16, e = 3
5
i) C(3, 2), V (3 ± 5, 2),
B(3, 2 ± 3), F(3 ± 4, 2),
2a = 10, 2b = 6, e = 4
5
j) C(−3, −2), V (−3, −2 ± 4),
B(−3 ± 3, 0), F(−3, −2 ±
√
7),
2a = 8, 2b = 6, e =
√
7
4
4. a)
x2
20
+
y2
36
= 1
b)
x2
39
+
y2
64
= 1
c)
x2
25
+
y2
9
= 1
d)
x2
100
+
y2
36
= 1
e)
x2
36
+
y2
35
= 1
f)
x2
144
+
y2
169
= 1
g)
x2
25
+
y2
10
= 1
h) 12x2
+ y2
= 16
i)
x2
36
+
y2
9
= 1
j) 2x2
+ 5y2
= 50
k)
x2
9
+
y2
5
= 1
l)
x2
100
+
y2
64
= 1
m)
x2
36
+
y2
27
= 1
n) 16x2
+ y2
= 1024
ñ) x2
+ 5y2
= 45
o)
x2
147
+
y2
196
= 1
p)
x2
625
+
y2
100
= 1
q)
x2
25
+
(y − 2)2
9
= 1
r)
(x − 3)2
16
+
(y − 5)2
25
= 1
s)
(x + 1)2
12
+
(y − 1)2
16
= 1
t)
(x + 4)2
36
+
(y + 2)2
20
= 1
u)
(x + 2)2
9
+
(y − 4)2
8
= 1
v)
(x − 5)2
9
+
(y + 2)2
1
= 1
w)
(x − 1)2
36
+
(y + 2)2
18
= 1

5.2. SOLUCIONES: ELIPSE 27
5. a)
(x − 3)2
16
+
(y − 2)2
9
= 1
C(3, 2), V (3 ± 4, 2),
F(3 ±
√
7, 2), B(3, 2 ± 3)
b)
(x − 7)2
25
+
(y + 2)2
16
= 1
C(7, −2), V (3 ± 5, −2),
F(7 ± 3, −2), B(7, −2 ± 4)
c)
(x − 4)2
4
+
(y − 3)2
9
= 1
C(4, 3), V (4, 3 ± 3),
F(4, 3 ±
√
5), B(4 ± 2, 3)
d)
(x − 1)2
9
+
(y − 2)2
16
= 1
C(1, 2), V (1, 2 ± 4),
F(1, 2 ±
√
7), B(1 ± 3, 2)
e)
(x − 1)2
25
+
(y + 2)2
169
= 1
C(1, −2), V (1, −2 ± 13),
F(1, −2 ± 12), B(1 ± 5, −2)
f)
(x − 6)2
25
+
(y − 5)2
9
= 1
C(6, 5), V (6 ± 5, 5),
F(6 ± 4, 5), B(6, 5 ± 3)
6.
x2
100
+
y2
75
= 1
7.
(x + 2)2
40
+
y2
49
= 1
8. x2
= 8(y + 2),
x2
= −8(y − 2)
9. 3u
10. (x − 4)2
+ (y + 3)2
= 4
11. (x + 4)2
= −1
2
(y − 8)
12.
x2
9
+
y2
8
= 1
13. P(0, 4), Q(0, −4)
14. (−2 ±
√
2, 3), (−2 ±
√
2, 5)
15. Distancia máxima 320,796.14 Km. y
distancia mínima 287,405.86 Km.
16. Distancia máxima 94 500 000 millas
y distancia mínima 91 500 000 mi-
llas.
17. 14 millones millas.
18. e=0.0167,
eje mayor:186 006 millas,
eje menor: 185 953 860
19. 9x2
+ 25y2
= 562500
20.
x2
96
+
y2
24
= 1
21. 28 metros
22. 39 metros
23.
7
10
√
51 metros
24.
x2
(1762.5)2
+
y2
(632.5)2
= 1
Los focos están en (±1645, 0)
25.
x2
25
+
y2
4
= 1
26. 8.4 metros
27.
4
5
√
319 metros
28. 24
√
3 pies
29.
80
√
51
30. a) 6
7
√
33,
8
7
√
27,
9
7
√
20,
6
7
√
24
b) 141 m
3

UNIDAD VI: HIPÉRBOLA.
EJERCICIOS: Hipérbola
1. En los incisos siguientes, determine la ecuación de la hipér-
bola que satisfaga las condiciones dadas respectivas:
a) Su centro es C(0, 0), tiene un vértice en (2, 0) y eje
conjugado con medida 6 unidades.
b) Su eje conjugado es horizontal y mide 6 unidades, la
curva pasa por (−8, 3) y su centro está en el origen.
c) Con centro en C(0, 0), eje transverso horizontal de lon-
gitud 4 y distancia focal 2
√
13
d) Los focos son (±6, 0) y la longitud de cada lado recto
es 18.
e) Los focos son (±6, 0) y los vértices son (±4, 0).
f) Los focos son (0, ±5) y el vértice en (0, 2).
g) Asíntotas y = ±2
3
x, vértice en (6, 0)
h) Asíntotas y = ±3
4
x, foco en (0, −10)
i) Vértices en (±5, 0), contiene a (5
√
2, −4)
j) Vértices en (0, ±3), e = 5
3
k) C(−1, −2), foco(−9, −2) y vértice (5, −2).
l) Vértice (11, 2), foco (12, 2) y
extremo del eje conjugado (7, 5).
m) Extremos del eje conjugado (6, 3), (−4, 3) y vértice
(1, 10).
n) C(2, −1), longitud del lado recto igual con
9
2
y vértice
(6, −1).
ñ) Vértices en (4, 1) y (0, 1) y foco en (6, 1).
o) Vértice en (6,-1) y asíntotas representadas por 3x −
2y − 6 = 0 y 3x + 2y − 2 = 0
p) Focos en (4, 0) y (−6, 0), y excentricidad e = 5
2
2. En las siguientes hipérbolas, obtener las coordenadas de los
vértices, focos, longitudes de los ejes real e imaginario, lon-
gitud del lado recto, centro, ecuaciones de las asíntotas y
gracar. Además dominio y rango.
a)
x2
9
−
y2
16
= 1
b) x2
− y2
− 36 = 0
c) x2
− y2
+ 16 = 0
d) 3x2
− 4y2
− 48 = 0
e) 4x2
− 5y2
+ 20 = 0
f) (x − 1)2
−
(y − 1)2
4
= 1
g)
y − 1
2
2
4
−
(x + 2)2
12
= 1
h) 25x2
− 4y2
− 250x − 80y + 325 = 0
i) 4x2
− 9y2
+ 16x + 36y + 124 = 0
28

6.2. SOLUCIONES: HIPÉRBOLA 29
3. Los focos de una hipérbola son respectivamente (−8, 1) y
(10, 1). Si la diferencia de las distancias de un punto M(x, y)
a los focos es constantemente igual a 6. ¾Cuál es la ecuación
de la hipérbola?
4. Determine los elementos de la hipérbola del ejercicio ante-
rior y trace su gráca.
SOLUCIONES: Hipérbola
1. a)
x2
4
−
y2
9
= 1;
9x2
− 4y2
− 36 = 0
b)
y2
81
73
−
x2
9
= 1;
9x2
− 73y2
+ 81 = 0
c)
x2
4
−
y2
9
= 1;
9x2
− 4y2
− 36 = 0
d)
x2
9
−
y2
27
= 1;
3x2
− y2
− 27 = 0
e)
x2
16
−
y2
20
= 1;
5x2
− 4y2
− 80 = 0
f)
y2
4
−
x2
21
= 1;
4x2
− 21y2
+ 84 = 0
g)
x2
36
−
y2
16
= 1;
4x2
− 9y2
− 144 = 0
h)
y2
36
−
x2
64
= 1;
9x2
− 16y2
+ 576 = 0
i)
x2
25
−
y2
16
= 1;
16x2
− 25y2
− 400 = 0
j)
y2
9
−
x2
16
= 1;
9x2
− 16y2
+ 144 = 0
k)
(x + 1)2
36
−
(y + 2)2
28
= 1;
7x2
−9y2
+14x−36y−281 = 0
l)
(x − 7)2
16
−
(y − 2)2
9
= 1;
9x2
−16y2
−126x+64y+233 =
0
m)
(y − 3)2
49
−
(x − 1)2
25
= 1;
49x2
− 25y2
− 98x + 150y +
1049 = 0
n)
(x − 2)2
16
−
(y + 1)2
9
= 1;
9x2
−16y2
−36x−32y−124 = 0
ñ)
(x − 2)2
4
−
(y − 1)2
12
= 1;
3x2
− y2
− 12x + 2y − 1 = 0
o)
9 x − 4
3
2
196
−
(y + 1)2
49
= 1;
9x2
− 4y2
− 24x − 8y − 184 = 0
p)
(x + 1)2
4
−
y2
21
= 1;
21x2
− 4y2
+ 42x − 63 = 0
2. a)
x2
9
−
y2
16
= 1, Eje real = 6,
eje imaginario = 8, longitud del
lado recto =
32
3
, ecuaciones
de las asíntotas y = ±4
3
x,
dominio= (−∞, −3] ∪ [3, ∞),
rango= (−∞, ∞).
b) x2
− y2
= 36, Eje real = 12,
eje imaginario = 12, longitud
del lado recto = 12, ecuaciones
de las asíntotas y = ±x,
dominio= (−∞, −6] ∪ [6, ∞),
rango= (−∞, ∞).
c) x2
− y2
= 16, Eje real = 8,

30 CAPÍTULO 6. UNIDAD VI: HIPÉRBOLA.
lado recto = 8, ecuaciones
de las asíntotas y = ±x,
dominio= (−∞, ∞),
rango= (−∞, −4] ∪ [4, ∞).
d) 3x2
− 4y2
= 48, Eje real = 8,
eje imaginario = 4
√
3, longitud
de las asíntotas y = ±
√
3
2
x,
dominio= (−∞, −4] ∪ [4, ∞),
rango= (−∞, ∞).
e) 4x2
− 5y2
+ 20 = 0,
Eje real = 4,
eje imaginario = 2
√
5, longitud
de las asíntotas y = ± 2
√
5
x,
rango= (−∞, −2] ∪ [2, ∞).
f) (x − 1)2
−
(y − 1)2
4
= 1,
Eje real = 2,
lado recto = 8, ecuaciones
de las asíntotas
y − 1 = ±2(x − 1),
dominio= (−∞, −0] ∪ [2, ∞),
rango= (−∞, ∞).
g)
y − 1
2
2
4
−
(x + 2)2
12
= 1,
Eje real = 4,
eje imaginario = 4
√
3, longitud
de las asíntotas
y − 1
2
= ±
√
3
3
(x + 2),
rango= −∞, −3
2

∪
5
2
, ∞

.
h) 25x2
−4y2
−250x−80y+325 =
0,
Eje real = 10,
lado recto =
8
5
, ecuaciones
de las asíntotas
y + 10 = ±5
2
(x − 5),
rango= (−∞, −15] ∪ [−5, ∞).
i) 4x2
−9y2
+16x+36y+124 = 0,
Eje real = 8,
eje imaginario = 12, longitud
de las asíntotas
y − 2 = ±2
3
(x + 2),
rango= (−∞, −15] ∪ [−5, ∞).
3.
(x − 1)2
9
−
(y − 1)2
72
= 1 ó
8x2
− y2
− 16x + 2y − 65 = 0
4. Centro: C(1, 1);
Eje transverso: V V 0
= 6;
Eje conjugado: BB0
= 12
√
2;
Distancia focal: FF0
= 18;
Vértices: V (4, 1), V 0
(−2, 1),
B(1, 1 + 6
√
2), B0
(1, 1 − 6
√
2);
Focos: F(10, 1), F0
(−8, 1);
Lado Recto = 48;
Excentricidad: e = 3;
Asíntotas: y − 1 = ±2
√
2(x − 1)

UNIDAD VII: LUGARES GEOMÉTRICOS.
EJERCICIOS: Lugares Geométricos
GRÁFICAS DE ECUACIONES.
1. En cada uno de los siguientes ejercicios, analizar la ecua-
ción, estudiando las intercepciones, simetrías y la extensión.
Hacer la gráca correspondiente.
a) x2
+ y2
− 4y = 0
b) x2
+ y2
− 2x − 2y = 14
c) x2
+ 4x + 3y + 1 = 0
d) y2
− 2x − 8y + 12 = 0
e) x2
+ 4y2
− 2x − 16y + 13 = 0
f) 4x2
− y2
− 2y = 2
g) 8x3
− y = 0
h) x3
− x − y = 0
i) 4x2
− 9y2
− 36 = 0
2. Trazar la gráca de las siguientes curvas, indicando sime-
trías, intercepciones, extensión y asíntotas verticales y hori-
zontales.
a) xy − 3x − y = 0
b) xy − 2x − 2y + 2 = 0
c) x2
+ 2xy + y2
+ 2x − 2y − 1 = 0
d) x2
y − 4y − x = 0
e) xy2
− 9x − y − 1 = 0
f) x2
y − x2
− 4xy + 4y = 0
g) x2
y2
− 4x2
− 4y2
= 0
h) y3
+ x2
y − x2
= 0
PARA CADA UNO DE LOS EJERCICIOS SI-
GUIENTES OBTENER LA ECUACIÓN DEL LU-
GAR GEOMETRICO COORRESPONDIENTE.
3. La ecuación del lugar geométrico de los puntos P(x, y) que
equidistan de los jos (−3, 1) y (7, 5).
4. La ecuación del lugar geométrico de los puntos P(x, y) cuyas
distancias al punto jos (3, 2) sean la mitad de sus distancias
al punto (−1, 3).
5. La ecuación del lugar geométrico de los puntos P(x, y) que
equidistan del punto (2, 3) y de la recta x + 2 = 0.
6. La ecuación del lugar geométrico de los puntos P(x, y) cuya
distancia a la recta y + 4 = 0 sea igual a los dos tercios de
su distancia al punto (3, 2).
7. La ecuación del lugar geométrico de los puntos P(x, y) cuya
suma de cuadrados de distancias a los ejes coordenados sea
igual a 9.
31

32 CAPÍTULO 7. UNIDAD VII: LUGARES GEOMÉTRICOS.
8. La ecuación del lugar geométrico del punto medio de un
segmento de doce unidades de longitud cuyos extremos se
apoyan constantemente en los ejes coordenados.
9. Dados los puntos A(−2, 3) y B(3, 1), determine la ecuación
del lugar geométrico de los puntos P(x, y) de manera que la
pendiente de PA sea el recíproco con signo contrario de la
pendiente de PB.
10. Dados los puntos A(0, −2), B(0, 4) y C(0, 0), determine la
ecuación del lugar geométrico de los puntos P(x, y) de ma-
nera que el producto de las pendientes de PA y PB sea
igual a la pendiente de PC.
11. Un círculo de radio 4 tiene su centro en el punto C(1, −1).
Determine la ecuación del lugar geométrico de los puntos
medios de todos sus radios.
SOLUCIONES: Lugares Geométricos
1. a) Intersecciones: (0, 0), (0, 4);
Simetrías: Sólo existe respecto
al eje y
Extensión: −2 ≤ x ≤ 2 y
0 ≤ y ≤ 4
b) Intersecciones: (1 ±
√
15, 0),
(0, 1 ±
√
15);
Simetrías: No existen
Extensión: −3 ≤ x ≤ 5 y
−3 ≤ y ≤ 5
c) Intersecciones: (2 ±
√
3, 0),
(0, −1
3
);
Extensión: −∞ ≤ x ≤
√
2 − 1
y 1 −
√
2 ≤ y ≤ ∞
d) Intersecciones: (0, 2), (0, 6);
Extensión: −2 ≤ x ≤ ∞ y
−∞ ≤ y ≤ ∞
e) Intersecciones:

0, 2 ±
√
3
2

;
Extensión: −1 ≤ x ≤ 3 y 1 ≤
y ≤ 2
f) Intersecciones:

± 1
√
2

;
Simetrías: Respecto al eje y
Extensión: x ∈ −∞, −1
2

∪
1
2
, ∞

y −∞ ≤ y ≤ ∞
g) Intersecciones: (0, 0);
Extensión: −∞ ≤ x ≤ ∞ y
−∞ ≤ y ≤ ∞
h) Intersecciones: (0, 0),(±1, 0);
Extensión: −∞ ≤ x ≤ ∞ y
−∞ ≤ y ≤ ∞
i) Intersecciones: (±3, 0),(±1, 0);
Simetrías: Em ambos ejes y el
origen
Extensión: x ∈ (−∞, −3] ∪
[3, ∞) y −∞ ≤ y ≤ ∞
2. a) Simetrías: No existe;
Intersecciones: (0, 0);
Extensión: −∞ x ∞ y
−∞ y ∞;
Asíntota: x = 1, y = 3.
b) Simetrías: No existe;
−∞ y ∞;
c) Simetrías: No existe;
Intersecciones: (−1 ±
√
2, 0) y
(0, 1 ±
√
2);

7.2. SOLUCIONES: LUGARES GEOMÉTRICOS 33
Extensión: −∞ x
√
2 − 1
y 1 −
√
2 y ∞;
Asíntota: No existen.
d) Simetrías: No existe;
Extensión: x ∈ (−∞, −2) ∪
(−2, 2) ∪ (2, ∞) y −∞ ≤ y
∞;
Asíntota: x = ±2.
e) Simetrías: No existe;
Intersecciones: (0, −1) y
−1
9
, 0

;
y ∈ (−∞, −3) ∪ (−3, 3) ∪
(3, ∞);
Asíntota: x = 0, y = ±3.
f) Simetrías: No existe;
Intersecciones: (0, 0)
Extensión: x ∈ (−∞, 2) ∪
(2, ∞) y
0 ≤ y ∞;
g) Simetrías: Si existe, para los
ejes x2
y2
el origen;
Intersecciones: No existe
Extensión: x ∈ (−∞, −2) ∪
(2, ∞) y y ∈ (−∞, −2) ∪
(2, ∞);
Asíntota: x = ±2, y = ±2.
h) Simetrías: para el eje y;
Intersecciones: (0, 0)
0 ≤ y 1;
Asíntota: y = 1.
3. 5x + 2y − 16 = 0
4. 3x2
+ 3y2
− 26x − 10y + 42 = 0
5. y2
− 6x − 6y + 9 = 0
6. 4x2
− 5y2
− 24x − 88y − 92 = 0

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