Problemas resueltos separata 3. cap 3
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El documento presenta la solución a un problema de física cuántica. Se calcula el nivel de energía de un electrón confinado en una caja unidimensional de 0,200 nm de ancho, dibujando el diagrama de niveles hasta n=4. Luego se calculan las longitudes de onda de los fotones emitidos en las transiciones entre los diferentes niveles de energía al decaer el electrón del estado n=4 al n=1.
Problemas resueltos separata 3. cap 3
- 1. S3P12) Una mujer sobre una escalera tira pequeños perdigones hacia una mancha sobre el piso. a) Muestre que, de acuerdo con principio de incertidumbre, la distancia 1/2 1/ 4 H errada debe ser al menos de ∆x = donde H es la altura m 2g inicial de cada perdigón sobre el suelo y m es la masa de cada uno. b) Si H = 2,0 m y m = 0,50 g ¿Cuál es ∆x? SOLUCION: Y t=0 m v(0) g H t 0 x X Analizando las componentes de movimiento, X: x ≡ 0 + v(0)t → x ≡ v (0)t...α 1 2H Y: 0 ≡ H + 0 − gt 2 → t ≡ ...β 2 g 2H De α y β se obtiene, x ≡ v(0) ...γ g Transformando γ, 2H 2H 2H x ≡ v(0) → mx ≡ mv (0) ≡ px g g g 2H → m∆x ≡ ∆px g
- 2. Ahora, usando el Principio de indeterminación de W Heisenberg, , ∆x∆px ≥ 2 g ∆x∆px ≥ → ∆x m∆x ≥ 2 2 2H 1 2H 2H → ( ∆x ) 2 ≥ × ≡ 2 m g 2m g 1 1 1 1 2 2H 4 2 H 4 → ∆x ≥ → ∆x ≥ 2m g m 2g 1 1 2 H 4 ∆x ≥ m 2g b) Evalúe ∆x para, H= 2,0 , m= 5x10-4 …?
- 3. S3P11) a) Suponga que un electrón está confinado dentro de un núcleo de 5.0 x 10-15 m de diámetro. Emplee el principio de incertidumbre para determinar si este electrón es relativista o no relativista. b) Si este núcleo contiene sólo protones y neutrones, ¿algunas de estás son partículas relativistas? Explique. SOLUCION: a) Analizando para el electrón mediante el principio de incertidumbre de W Heisenberg, ∆x∆px ≥ , 2 → ∆x∆px ≥ → ∆x { m∆v} ≥ , m: masa del electrón, m= 9,1x10-31, 2 2 → ∆v ≥ , ∆x: confinamiento del electrón, ∆x= 5x10-15, 2∆xm 6, 63 ×10−34 → ∆v ≥ ≡ ≡ 0, 012 × 1012 : c 2∆xm 4π × 9,1× 10 × 5 × 10 −31 −15 → v : c , ¡Por lo tanto el electrón podría ser relativista! b) Análogamente, considerando protones mp= 1,67x10-27, 6, 63 ×10−34 → ∆v ≥ ≡ ≡ 0, 065 ×108 : 0, 022c 2∆xm 4π ×1, 67 × 10 × 5 ×10 −27 −15 → v : 0, 022c , ¡Por lo tanto los ps o ns no serian necesariamente relativistas!
- 4. S3P17) Un electrón Un electrón está contenido en una caja unidimensional de 0,200 nm de ancho. a) Dibuje un diagrama de nivel de energía para el electrón en niveles hasta n = 4 b) Encuentre la longitud de onda de todos los fotones que pueden ser emitidos por el electrón al hacer transiciones que a la larga lo llevarán del estado n = 4 al estado n = 1. SOLUCION: De acuerdo al modelo de partícula confinada en una caja, los niveles de energía accesibles están dados por la siguiente ecuación, h2 2 En ≡ 2 n , por lo tanto, 8mL a) Para el diagrama de niveles de energía hasta n=4, ( 6, 63 ×10−34 ) 2 2 En ≡ 2 n ≡ 15,1×10−19 ≡ 9, 44n 2 (eV ) 8 ( 9,1× 10 ) ( 0, 2 ×10 ) −31 −9 Calculando, E1 ≡ 9, 44 (1) 2 ≡ 9, 44 eV , E2 ≡ 37, 76 , E3 ≡ 84,96 , E4 ≡ 151, 04 b) Para todas las combinaciones posibles en la desexcitacion electrónica, usamos la ecuación, hc ( 6, 63 ×10 ) ( 3 ×10 ) ≡ 1243 −34 8 hc ∆E ≡ hν ≡ →λ ≡ ≡ λ ∆E ∆E ∆E 1243 λ( nm) ≡ , ∆E (eV ) E4 − E3 ≡ 66, 08 → λ1 ≡ 18,8 ,
- 5. E3 − E2 ≡ 47, 2 → λ2 ≡ 26,3 , E2 − E1 ≡ 28,32 → λ3 ≡ 43,9 , E3 − E1 ≡ 75,52 → λ4 ≡ 16,5 , E4 − E2 ≡ 113, 28 → λ5 ≡ 11, 0 y E4 − E1 ≡ 141, 6 → λ6 ≡ 8,8