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- 1. Métodos Cuantitativos Métodos Cuantitativos Presenta: Dr. Sebastián Madrigal Olán
- 3. Métodos Cuantitativos Dr. Sebastián Madrigal Olán Introducción a la programación lineal La programación lineal se aplica a modelos de optimización en los que las funciones objetivo y restricción son estrictamente lineales. La técnica se aplica en los campos de agricultura, industria, transporte, economía, salud, ciencias sociales y de la conducta y militar.
- 4. Métodos Cuantitativos Dr. Sebastián Madrigal Olán MODELO DE PROGRAMACION LINEAL CON DOS VARIABLES La compañía Reddy Mikks (RM) RM produce pinturas para interiores y exteriores. La tabla siguiente proporciona los datos básicos del problema. Pintura para exteriores Pinturas para interiores Disponibilidad diaria máxima (ton) Materia prima M1 6 4 24 Materia prima M2 1 2 6 Utilidad por ton ($) 5 4 Ton de materia prima de
- 5. Métodos Cuantitativos Dr. Sebastián Madrigal Olán La compañía Reddy Mikks (RM) • Una encuesta de mercado indica que la demanda diaria de pintura para interiores no puede ser mayor que 1 tonelada más que la pintura para exteriores. • También, que la demanda máxima diaria de pintura para interiores es de 2 toneladas. • RM desea determinar la mezcla óptima (la mejor) de productos para exteriores y para interiores que maximice la utilidad diaria total.
- 6. Métodos Cuantitativos Dr. Sebastián Madrigal Olán La compañía Reddy Mikks (RM) El modelo de programación lineal tiene tres componentes básicos • Las variables de decisión que se trata de determinar • El objetivo (meta) que se trata de optimizar • Las restricciones que se deben satisfacer
- 7. Métodos Cuantitativos Dr. Sebastián Madrigal Olán Variables Se necesita determinar las cantidades a producir de pinturas para exteriores e interiores. Por lo que las variables del modelo se definen como: x1 = toneladas producidas diariamente, de pintura para exteriores x2 = toneladas producidas diariamente, de pintura para interiores
- 8. Métodos Cuantitativos Dr. Sebastián Madrigal Olán Función objetivo La empresa desea aumentar sus utilidades, si z representa la utilidad diaria total, el objetivo de la empresa se expresa como sigue: z = 5x1 + 4x2 Pintura para exteriores Pinturas para interiores Disponibilidad diaria máxima (ton) Materia prima M1 6 4 24 Materia prima M2 1 2 6 Utilidad por ton ($) 5 4 Ton de materia prima de
- 9. Métodos Cuantitativos Dr. Sebastián Madrigal Olán Restricciones Las restricciones que limitan el uso de las materias primas Uso de una materia prima para ambas pinturas ≤ Disponibilidad máxima de materia prima Según los datos del problema: Uso de la materia prima M1, por día = 6x1 + 4x2 toneladas Uso de la materia prima M2, por día = 1x1 + 2x2 toneladas
- 10. Métodos Cuantitativos Dr. Sebastián Madrigal Olán Restricciones Ya que la disponibilidad de las materias primas M1 y M2 se limita a 24 y 6 toneladas, respectivamente, las restricciones correspondientes se expresan como sigue: 6x1 + 4x2 ≤ 24 (Materia prima M1) 1x1 + 2x2 ≤ 6 (Materia prima M2) Restricciones de la demanda x2 – x1 ≤ 1 x2 ≤ 2 Una restricción implícita es que las variables x1 y x2 no puede asumir valores negativos. Las restricciones de no negatividad x1≥0, x2 ≥ 0 expresan este requisito.
- 11. Métodos Cuantitativos Dr. Sebastián Madrigal Olán Modelo RD completo Maximizar z = 5x1 + 4x2 Sujeta a: 6x1 + 4x2 ≤ 24 1x1 + 2x2 ≤ 6 -x1 + x2 ≤ 1 x2 ≤ 2 x1, x2 ≥ 0 Cualquier valor de x1 y x2 que satisfaga todas las restricciones del modelo es una solución factible.
- 12. Métodos Cuantitativos Dr. Sebastián Madrigal Olán Solución gráfica de la programación lineal El procedimiento de solución gráfica comprende dos pasos: 1. determinación del espacio de soluciones que define todas las soluciones factibles del modelo 2. determinación de la solución óptima, entre todos los puntos factibles del espacio de soluciones.
- 13. Métodos Cuantitativos Dr. Sebastián Madrigal Olán Solución gráfica de la programación lineal Paso 1 • Determinar el espacio de soluciones factibles • Primero se tendrán en cuenta las restricciones de no negatividad x1≥0 y x2≥0 • Lo anterior limita la solución al primer cuadrante arriba de x1 y a la derecha de x2
- 14. Métodos Cuantitativos Dr. Sebastián Madrigal Olán Solución gráfica de la programación lineal
- 15. Métodos Cuantitativos Dr. Sebastián Madrigal Olán Solución gráfica de la programación lineal • Para tener en cuenta las otras cuatro restricciones se sustituye cada desigualdad con una ecuación y se gráfica la recta resultante. • A continuación se considera el efecto de la desigualdad. La desigualdad divide al plano (x1, x2) en dos semiespacios que en este caso son semiplanos, uno a cada lado de la línea graficada. • Sólo una de las dos mitades satisface la desigualdad. • Para determinar cuál es el lado correcto, se elige cualquier punto de referencia en el primer cuadrante, si satisface la desigualdad, el lado en el que está es el semiplano factible. • Es común utilizar(0,0) a menos que la recta pase por el origen.
- 16. Métodos Cuantitativos Dr. Sebastián Madrigal Olán Determinación de la solución óptima • El espacio factible de la figura está delimitado por los segmentos de recta que unen a los vértices A, B, C, D, E y F. • Todo punto dentro o en la frontera del espacio ABCDEF es factible, porque satisface todas las restricciones. • El espacio ABCDEF está formado por una cantidad infinita de puntos para encontrar la solución óptima se requiere identificar la dirección en la que aumenta la función utilidad z= 5x1 + 4x2 (recuerde que está maximizando a z). • Para identificar esta dirección se asignan valores arbitrarios crecientes a z.
- 17. Métodos Cuantitativos Dr. Sebastián Madrigal Olán Determinación de la solución óptima La solución óptima se encuentra en C, que es el punto, en el espacio de soluciones (más allá cualquier aumento sacaría de ABCDEF).
- 18. Métodos Cuantitativos Dr. Sebastián Madrigal Olán Determinación de la solución óptima Los valores x1 y x2 correspondientes al punto óptimo C, se calculan resolviendo las ecuaciones asociadas a las rectas (1) y (2) 6x1 + 4x2 = 24 X1 + 2x2 = 6 La solución es x1 = 3 y x2 = 1.5
- 19. Métodos Cuantitativos Dr. Sebastián Madrigal Olán Determinación de la solución óptima La solución es x1 = 3 y x2 = 1.5 Por lo que z = 5(3) + 4(1.5) = 21. • Eso equivale a una mezcla de productos de 3 toneladas de pintura para exteriores y 1.5 toneladas de pintura para interiores. • La utilidad diaria correspondiente es $21, 000 • La solución óptima se encuentra en un punto de esquina del espacio de soluciones, donde se cruzan dos líneas. • Esto es clave para desarrollar el algoritmo símplex general.
- 20. Métodos Cuantitativos Dr. Sebastián Madrigal Olán Solución óptima
- 21. Métodos Cuantitativos Dr. Sebastián Madrigal Olán Problema de minimización