Programacion dinamicaaaa

La programación dinámica es un enfoque
general para la solución de problemas en los que
es necesario tomar decisiones en etapas
sucesivas. Las decisiones tomadas en una etapa
condicionan la evolución futura del
sistema, afectando a las situaciones en las que el
sistema se encontrará en el futuro (denominadas
estados), y a las decisiones que se plantearán en
el futuro. Conviene resaltar que a diferencia de la
programación lineal, el modelado de problemas de
programación dinámica no sigue una forma
estándar. Así, para cada problema será necesario
especificar cada uno de los componentes que
caracterizan un problema de programación
dinámica.
Programación
Dinámica

El Método de la Burbuja o Intercambio se basa en el
principio de comparar pares de elementos adyacentes
e intercambiarlos entre sí hasta que estén todos
ordenados.
METODO DE
ORDENAMIENTO DE
LA BURBUJA

Vemos un ejemplo sencillo. Supongamos que queremos ordenar estos valores
con el algoritmo de la burbuja: 45, 52, 21, 37, 49, así pues, n=5 .
(45, 52, 21, 37, 49)
METODO DE ORDENAMIENTO DE LA BURBUJA

1ª pasada: comparamos cada uno de los cuatro primeros (n-1) con los que le
siguen. Si un elemento no está en orden con respecto al siguiente, los
intercambiamos de sitio y seguimos. El elemento de mayor valor (52) irá
"ascendiendo" hasta la última posición.
45, 52, 21, 37, 49 → Comparar 45 y 52. (1º y 2º) Están en orden. Seguimos.
45, 52, 21, 37, 49 → Comparar 52 y 21. (2º y 3º) No están en orden. Intercambio.
45, 21, 52, 37, 49 → seguimos
45, 21, 52, 37, 49 → Comparar 52 y 37 (3º y 4º). No están en orden. Intercambio.
45, 21, 37, 52, 49 → seguimos
45, 21, 37, 52, 49 → Comparar 52 y 49. (4º y 5º). No están en orden. Intercambio.
45, 21, 37, 49, 52 → Ya hemos terminado esta pasada.
45, 21, 37, 49, 52 → El 5º elemento ya está en su sitio.

2ª pasada: comparamos cada uno de los tres primeros (n-2) con los que le siguen.
No llegamos a hacer comparaciones que involucren al 5º elemento, porque la
primera pasada hizo que el mayor de todos los elementos ocupara la última
posición, con lo cual, sabemos que ese ya está en su sitio. Trabajaremos sólo con
los cuatro que quedan.
45, 21, 37, 49, 52 → Comparar 1º y 2º. No están en orden. Intercambio.
21, 45, 37, 49, 52 → seguimos
21, 45, 37, 49, 52 → Comparar 2º y 3º. No están en orden. Intercambio.
21, 37, 45, 49, 52 → seguimos
21, 37, 45, 49, 52 → Comparar 3º y 4º. Están en orden. Pasada terminada.
21, 37, 45, 49, 52 → El 4º elemento ya está en su sitio. (Fíjate en que el array ya
está en orden, pero algoritmicamente, eso no lo sabemos).

3ª pasada: Comparamos cada uno de los dos primeros (n-3) con los siguientes.
21, 37, 45, 49, 52 → 1º y 2º. Están en orden. Seguimos.
21, 37, 45, 49, 52 → 2º y 3º. Están en orden. Pasada terminada.
21, 37, 45, 49, 52 → Ya tenemos tres en orden.

4ª y última pasada: Comparamos el primero con el segundo.
21, 37, 45, 49, 52 → 1º y 2º están en orden. Pasada terminada.
21, 37, 45, 49, 52 → Ya tenemos los cuatro últimos en orden.
21, 37, 45, 49, 52 → Así pues, el primero también lo está
Las solucion es:
21,37,45,49,52

El ordenamiento Shell (Shell sort en inglés) es
un algoritmo de ordenamiento . El método se
denomina Shell en honor de su inventor Donald
Shell. Su implementación original, requiere O(n2)
comparaciones e intercambios en el peor caso.
METODO DE SHELL
SORT

Veamos el siguiente arreglo:
75, 15, 22, 45, 39, 98, 12, 79, 66, 89, 31
Se debe empezar con k=n/2 , siendo n el número de elementos de
arreglo, y utilizando siempre la división entera.... después iremos variando
k haciéndolo más pequeño mediante sucesivas divisiones por 2, hasta
llegar a k=1.
METODO DE SHELL SORT

Empezamos con k=5. Así pues, vamos a dividir nuestro arreglo original en
5 sub-arreglo, en los cuales, sus elementos estarán separados por 5
lugares del arreglo original (el salto o gap es 5). Vamos a hacerlo con
colores. Tomamos el primer elemento (el 75) contamos 5 lugares y
tomamos también otro elemento (el 98) volvemos a contar 5 y tomamos
otro (el 31) y acabamos porque se nos acaba el arreglo. El primer sub-
arreglo con k=5 es el formado por 75, 98 y 31. Vamos a pintarlos en rojo
75, 15, 22, 45, 39, 98, 12, 79, 66, 89, 31
METODO DE ORDENAMIENTO DE SHELL SORT

Ahora, ordenaremos los elementos del sub-arreglo rojo pero sólo entre
ellos, utilizando el algoritmo de Inserción directa.
31 , 15, 22, 45, 39, 75 , 12, 79, 66, 89, 98
Fíjate qué curioso. El 31, un elemento relativamente pequeño se ha ido
hacia el principio y el 98 hacia el final... ¡pero dando saltos ( gap ) de 5 en
5 lugares! Cada uno ha avanzado en saltos de 5 hacia una posición
cercana a su ubicación definitiva.

.
Formemos ahora otro sub-arreglo con salto k=5... partiendo del segundo
elemento (el 14) y contando 5 (tomamos también el 12) y ya está, porque
se acaba el arreglo.
31 , 15 , 22, 45, 39, 75 , 12 , 79, 66, 89, 98

Vamos a ordenarlos entre ellos con Inserción directa, el 12 primero y el 15
después.
31 , 12 , 22, 45, 39, 75 , 15 , 79, 66, 89, 98

Ahora a por otro... el 22 y el 79
31 , 12 , 22, 45, 39, 75 , 15 , 79, 66, 89, 98
Están en orden entre ellos, así que se quedan como están.
Ahora le toca al sub-arreglo formado por el 45 y el 66
31 , 12 , 22, 45, 39, 75 , 15 , 79, 66, 89, 98
Que también están en orden entre ellos y finalmente el 39 y el 89, que
también están en orden.
31 , 12 , 22, 45, 39, 75 , 15 , 79, 66, 89, 98

Hemos formado 5 sub-arreglos en los cuales los elementos están separados por 5
lugares (porque k=5). Hemos ordenado cada sub-arreglo por separado utilizando
inserción directa, y hemos logrado que cada elemento se dirija hacia su ubicación
definitiva en pasos de 5 lugares.
Por supuesto, no hemos terminado todavía, pero resulta evidente que algunos
elementos, como el 31, el 98 o el 12 han dado un gran salto y que no deben andar
muy lejos de su sitio final.
Para continuar con el algoritmo, debemos ir reduciendo progresivamente k
dividiéndolo sucesivamente por 2 y k-ordenando los sub-arreglos que nos salgan
(recuerda que nos salen k sub-arreglo). Cuando lleguemos a k=1 habremos
terminado. Pero de momento, nuestra k valía 5, así que ahora
k←k/2=5/2=2 Nuestra nueva k vale 2. Repetimos todo el tinglado, pero ahora nos
saldrán 2 sub-arreglo cuyos elementos están separados por 2 lugares.

El primero (en marrón) y el segundo (en verde):
31, 12 , 22 , 45 , 39 , 75 , 15 , 79 , 66 , 89 , 98
Ordenamos por un lado los marrones entre ellos y los verdes entre ellos... es
decir, 2-ordenamos el arreglo (curiosamente, los verdes ya están ordenados....
probablemente ha contribuido a ello la 5-ordenación que ya hemos hecho.
En ese caso, la ordenación ha requerido muy poco esfuerzo)
15 , 12 , 22 , 45 , 31, 75 , 39 , 79 , 66 , 89, 98

.
Ahora que k=1 y que vamos a aplicar el algoritmo de inserción directa tal
cual, haremos muchas menos comparaciones e intercambios que si lo hubiéramos
aplicado con en arreglo tal como lo teníamos al empezar.
El algoritmo de inserción directa se comporta tanto mejor cuanto más cerca está
cada elemento de su sitio definitivo. Finalmente, el arreglo queda de ésta manera:
12, 15, 22, 31, 39, 45, 66, 75, 79, 89, 98
Cada elemento descolocado ha tenido que moverse pocos lugares. Muchos de
ellos ni siquiera se han movido.

se basa en el divide y vencerás paradigma. Su
tiempo de ejecución del peor caso tiene un
orden de crecimiento menor que la ordenación
por inserción. Dado que se trata de
subproblemas, declaramos cada subproblema
como ordenar una submatriz A [p .. r].
Inicialmente, p = 1 y r = n, pero estos valores
cambian a medida que recurse a través
subproblemas.
METODO MERGER
SORT

TENEMOS EL SIGUIENTE ARREGLO:
[6, 3, 5, 7, 1, 4, 3, 7]
PRIMERO DIVIDIMOS EL ARRGELO EN DOS PARTES IGUALES
APROXIMADAMENTE Y NOS QUEDARIA:
[6, 3, 5, 7] [1, 4, 3, 7]
METODO DE ORDENAMIENTO DE MERGER SORT

Ahora se divide cada uno de los sub-arreglos en partes iguales:
Y que así:
[6, 3, 5, 7] [1, 4, 3, 7]
[6, 3] [5, 7] [1, 4] [3, 7]
Ahora se ordena
[3, 6] [5, 7] [1, 4] [3,7]
[3] [6] [5] [7] [1] [4] [3] [7]

TENEMOS EL ARREGLO ORDENADO Y SU SOLUCION QUEDA ASI :
[1, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 7 ]

En algoritmia, el problema de la
mochila, comúnmente abreviado
por KP (del inglés Knapsack problem) es un
problema deoptimización combinatoria. Modela
una situación análoga al llenar
una mochila, incapaz de soportar más de un
peso determinado, con todo o parte de un
conjunto de objetos, cada uno con un peso
y valor específicos. Los objetos colocados en la
mochila deben maximizar el valor total sin
exceder el peso máximo.
METODO DE LA
MOCHILA O DE LA
BOLSA DE PAPEL

Problema de la Mochila
Modelo
Un excursionista planea salir de campamento. Hay cinco artículos que desea llevar
consigo, pero entre todos sobrepasan las 60 libras que considera puede cargar.
Para ayudarse en la selección ha asignado un valor a cada artículo en orden
ascendente de importancia.
METODO DE ORDENAMIENTO DE LA MOCHILA
Articulo 1 2 3 4 5
Peso 42 23 21 15 7
Valor 100 60 10 15 15

Planteamiento
Puesto que el modelo es binario, la variable puede tomar solo dos posibles
valores:
Xi = 0 no se lleva el articulo i, 1 sí se lleva el articulo i.
Max Z= 100X1 + 60X2 + 70X3 + 15X4 + 15X5
s.a.
42X1 + 23X2 + 21X3 + 15X4 + 7X6 <= 60
Xi ∈ {0,1}
METODO DE LA MOCHILA

Solución
Z = 145
X1 = 0
X2 = 1
X3 = 1
X4 = 1
X5 = 0
Interpretación
El que alguna variable del valor de 1, significa que nos llevamos en la mochila el
artículo. En este caso nos llevamos los artículos 2, 3 y 4. El valor de Z nos indica el
beneficio de llevar los tres artículos. Por último, de acuerdo con la restricción, no
sobrepasamos el peso permitido.
METODO DE LA MOCHILA

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