Movimiento Parabólico (Lanzamiento de un proyectil)
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El documento describe un experimento sobre el movimiento parabólico de proyectiles, diseñado para verificar teóricamente las fórmulas aplicadas. Se realizaron dos experimentos que midieron la distancia máxima y el tiempo de vuelo de los proyectiles a diferentes ángulos, utilizando un lanzador de proyectiles y diversos materiales. Los resultados apoyan la aplicabilidad de las ecuaciones del movimiento parabólico en diversos contextos.
![Movimiento Parab´lico
o
Lanzamiento de Proyectiles
R. Pardo, G. Vargas
Departamento de Ingenier´ıa
Universidad Privada Boliviana
1 de febrero de 2013
Resumen
Con el fin de poder observar con mayor exactitud el movimiento pa-
rab´lico sobre una superficie plana y poder comprobar que las f´rmulas
o o
utilizadas en el an´lisis te´rico eran correctas, se realiz´ un experimento
a o o
dividido en dos partes: El primero, donde se estudi´ la distancia m´xima
o a
y el tiempo de vuelo de un proyectil en diferentes ´ngulos; y en la segunda
a
donde tomamos en cuenta una altura base para primeramente observar las
variaciones en la distancia m´xima del proyectil y finalmente, junto con la
a
constante de la gravedad en nuestra ciudad, poder obtener una velocidad
inicial promedio del respectivo disparo.
1. Introducci´n
o
La composici´n de un movimiento uniforme y otro uniformemente acelerado
o
resulta un movimiento cuya trayectoria es una par´bola.
a
Un MRU horizontal de velocidad Vx constante.
Un MRUA vertical con velocidad inicial Vo hacia arriba.
Este movimiento est´ estudiado desde la antiguedad. Se recoge en los libros m´s
a a
antiguos de bal´ıstica para aumentar la precisi´n en el tiro de un proyectil.
o
Denominamos proyectil a todo cuerpo que una vez lanzado se mueve solo bajo
la aceleraci´n de la gravedad. [V´ase la Figura 1] [2]
o e
No se toma en cuenta:
La rotaci´n de la Tierra.
o
El cambio de gravedad.
La forma del proyectil.
La fricci´n del aire.
o
La curvatura de la Tierra.[3]
1](https://image.slidesharecdn.com/proyectil-130201165144-phpapp01/85/Movimiento-Parabolico-Lanzamiento-de-un-proyectil-1-320.jpg)
![Figura 1: Movimiento Parab´lico
o
2. Marco Te´rico
o
Se denomina movimiento parab´lico al desplazamiento realizado por un ob-
o
jeto cuya trayectoria describe una p´rabola. Corresponde con la trayectoria ideal
a
de un proyectil que se mueve en un medio que no ofrece resistencia al avance y
que est´ sujeto a un campo gravitatorio uniforme.
a
Puede ser analizado como la composici´n de dos movimientos rectil´
o ıneos: un
movimiento rectil´ıneo uniforme horizontal y un movimiento rectil´ıneo uniforme-
mente acelerado vertical (gravedad). [1]
2.1. Ecuaciones
x
v= => x = v t (1)
t
Entonces:
x = V o cosα t (2)
1
y = V o sinα t − g t2 (3)
2
De la ecuaci´n (2)
o
x
t= (4)
V o cosα
Para hallar la m´xima distancia se reemplaza la ecuaci´n de tiempo (4) en la
a o
ecuaci´n(3)
o
x 1 x2
y = V o sin( ) − g( 2 2 ) (5)
V o cosα 2 V o cos α
2](https://image.slidesharecdn.com/proyectil-130201165144-phpapp01/85/Movimiento-Parabolico-Lanzamiento-de-un-proyectil-2-320.jpg)
![1 2
h= gt (22)
2
Sustituyendo (21) en (22)
1 x2
h= g (23)
2 V2
g x2
V = (24)
2h
3. Materiales
Los materiales utilizados en el experimento son:
1. Perdig´n
o
2. Transportador
3. Lanzador de proyectiles
4. Papel carb´nico
o
5. Papeles en blanco
6. Medidor de ´ngulos
a
7. Soporte universal
8. Cuerda
9. Plomada
10. Cron´metro
o
11. Flex´metro
o
El sistema para el lanzamiento de proyectiles consiste de un ca˜ on con un im´n
n a
para el soporte del proyectil, unido a un transportador de madera el cual se
encunentra pegado a un soporte armado por la combinaci´n de dos bases y tres
o
varas met´licas empleados para la aliaci´n de los mismos. [V´ase la Figura 2]
a o e
Para la obtenci´n de resultados mas precisos se hizo uso de un transportador
o
adicional en la parte inferior de dicho sistema de lanzamiento.
4. Procedimiento
4.1. Experimento 1
En este experimento se analiz´ el tiempo de vuelo y la distancia m´xima de
o a
los proyectiles a diferentes ´ngulos, utilizando el lanzador de proyectiles como
a
mecanismo fundamental, adem´s de papel carb´nico, hojas bond, flex´metro y
a o o
4](https://image.slidesharecdn.com/proyectil-130201165144-phpapp01/85/Movimiento-Parabolico-Lanzamiento-de-un-proyectil-4-320.jpg)
![N. ´
Angulo Tiempo(s) Distancia(cm)
1 15 0.52 160
2 20 0.53 192
3 25 0.55 249
4 30 0.58 273.5
5 35 0.72 309.5
6 40 0.82 316.5
7 45 0.84 318.5
8 50 0.87 321.5
9 55 0.92 305.5
10 60 1.03 282.5
11 65 1.05 243
12 70 1.06 204.5
13 75 1.07 150.5
Cuadro 1: Datos Experimentales
un cron´metro como herramientas adicionales [V´ase la Figura 3]. El experi-
o e
mento consiste en expulsar el perdig´n con el objetivo de que este aterrice sobre
o
el papel carb´nico y de esta forma dejar una marca en la hoja bond la cual nos
o
ser´ util para su posterior medici´n; y paralelamente obtener el tiempo de vuelo
a´ o
haciendo uso del cron´metro.
o
4.1.1. Datos
Seg´n la descripci´n de dicho experimento se obtuvo los siguientes datos:
u o
[V´ase el Cuadro 1]
e
En la (Figura4) podemos comparar los datos obtenidos del experimento con los
datos te´ricos del tiempo de vuelo con respecto a los ´ngulos correspondientes.
o a
En la (Figura5) podemos comparar los datos obtenidos del experimento con
los datos te´ricos de la distancia m´xima con respecto a los ´ngulos correspon-
o a a
dientes.
4.2. Experimento 2
Usando el sistema de lanzamiento de proyectiles desde una superficie alta,
con el objetivo de hallar la velocidad inicial promedio, se desarroll´ cinco lan-
o
zamientos los cuales marcaron cinco diferentes distancias. El m´todo utilizado
e
para este experimento es similar al anterior. Con la ayuda de un flex´metro se
o
realiz´ la medici´n de los puntos marcados en el papel bond por los perdigones.
o o
6](https://image.slidesharecdn.com/proyectil-130201165144-phpapp01/85/Movimiento-Parabolico-Lanzamiento-de-un-proyectil-6-320.jpg)
![N. Distancia(cm)
1 260
2 259.8
3 261
4 258.5
5 257
Cuadro 2: Datos Experimentales 2
4.2.1. Datos
Seg´n la descripci´n de dicho procedimiento se obtuvo los siguientes datos:
u o
(Cuadro2)
m
g = 9,775 2 (25)
s
La gravedad en La Paz bolivia esta dada por la constante 9.775, dada por el
Instituto de Investigaciones F´
ısics de la Universidad Mayor de San Andr´s. [4]
e
h = 85,57cm (26)
4.3. C´lculo de Velocidad Inicial
a
Para el c´lculo de la Velocidad inicial promedio se utiliz´ la siguiente ecua-
a o
ci´n
o
g x2
V = (27)
2h
En la ecuaci´n (27) reemplazamos los valores del (Cuadro2)
o
977,5 cm · (260cm)2
s2
V = V = 566,38 (28)
2 · 103cm
977,5 cm · (259,8cm)2
s2
V = V = 565,93 (29)
2 · 103cm
977,5 cm · (261cm)2
s2
V = V = 568,56 (30)
2 · 103cm
977,5 cm · (258,5cm)2
s2
V = V = 563,10 (31)
2 · 103cm
977,5 cm · (257cm)2
s2
V = V = 559,83 (32)
2 · 103cm
566,38 m
s + 565,93 m + 568,56 m + 563,10 m + 559,83 m
s s s s
Vpromedio = ( ) (33)
5
m
Vpromedio = 564,03 (34)
s
8](https://image.slidesharecdn.com/proyectil-130201165144-phpapp01/85/Movimiento-Parabolico-Lanzamiento-de-un-proyectil-8-320.jpg)
![5. Resultados
Debido a la aproximaci´n de los datos experimentales a los datos te´ri-
o o
cos, se puede concluir que las ecuaciones del movimiento parab´lico son
o
aplicables en distintos medios para diferentes prop´sitos.
o
6. Conclusiones y Recomendaciones
Se debe manejar un buen procedimiento a la hora de tomar las l´ ıneas de
partida, como llegada del proyectil para evitar el margen de error en las
medidas.
Para el calculo de la velocidad promedio en la parte experimental, es
preciso obtener m´s de tres datos para llegar a un resultado mas exacto.
a
Referencias
[1] http://movimientoparabolicokrisia.blogspot.com/
[2] http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_
didacticos/comp_movimientos/parabolico.htm
[3] Serway, F´
ısica 1, 5ta Edici´n
o
[4] http://www.scielo.org.bo/scielo.php?pid=
S1562-38232010000100007&script=sci_arttext
A. R. TICONA BUSTILLOS y G. M. RAMIREZ AVILA
9](https://image.slidesharecdn.com/proyectil-130201165144-phpapp01/85/Movimiento-Parabolico-Lanzamiento-de-un-proyectil-9-320.jpg)
Movimiento Parabólico (Lanzamiento de un proyectil)
- 1. Movimiento Parab´lico o Lanzamiento de Proyectiles R. Pardo, G. Vargas Departamento de Ingenier´ıa Universidad Privada Boliviana 1 de febrero de 2013 Resumen Con el fin de poder observar con mayor exactitud el movimiento pa- rab´lico sobre una superficie plana y poder comprobar que las f´rmulas o o utilizadas en el an´lisis te´rico eran correctas, se realiz´ un experimento a o o dividido en dos partes: El primero, donde se estudi´ la distancia m´xima o a y el tiempo de vuelo de un proyectil en diferentes ´ngulos; y en la segunda a donde tomamos en cuenta una altura base para primeramente observar las variaciones en la distancia m´xima del proyectil y finalmente, junto con la a constante de la gravedad en nuestra ciudad, poder obtener una velocidad inicial promedio del respectivo disparo. 1. Introducci´n o La composici´n de un movimiento uniforme y otro uniformemente acelerado o resulta un movimiento cuya trayectoria es una par´bola. a Un MRU horizontal de velocidad Vx constante. Un MRUA vertical con velocidad inicial Vo hacia arriba. Este movimiento est´ estudiado desde la antiguedad. Se recoge en los libros m´s a a antiguos de bal´ıstica para aumentar la precisi´n en el tiro de un proyectil. o Denominamos proyectil a todo cuerpo que una vez lanzado se mueve solo bajo la aceleraci´n de la gravedad. [V´ase la Figura 1] [2] o e No se toma en cuenta: La rotaci´n de la Tierra. o El cambio de gravedad. La forma del proyectil. La fricci´n del aire. o La curvatura de la Tierra.[3] 1
- 2. Figura 1: Movimiento Parab´lico o 2. Marco Te´rico o Se denomina movimiento parab´lico al desplazamiento realizado por un ob- o jeto cuya trayectoria describe una p´rabola. Corresponde con la trayectoria ideal a de un proyectil que se mueve en un medio que no ofrece resistencia al avance y que est´ sujeto a un campo gravitatorio uniforme. a Puede ser analizado como la composici´n de dos movimientos rectil´ o ıneos: un movimiento rectil´ıneo uniforme horizontal y un movimiento rectil´ıneo uniforme- mente acelerado vertical (gravedad). [1] 2.1. Ecuaciones x v= => x = v t (1) t Entonces: x = V o cosα t (2) 1 y = V o sinα t − g t2 (3) 2 De la ecuaci´n (2) o x t= (4) V o cosα Para hallar la m´xima distancia se reemplaza la ecuaci´n de tiempo (4) en la a o ecuaci´n(3) o x 1 x2 y = V o sin( ) − g( 2 2 ) (5) V o cosα 2 V o cos α 2
- 3. si Y=0 1 x2 tgα x − g( 2 2 ) = 0 (6) 2 V o cos α 1xg x(tgα − )=0 (7) 2V o2 cos2 α 1xg tgα − =0 (8) 2V o2 cos2 α tgα 2 V o2 cos2 α =x (9) g 2 V o2 sinα cosα xmax = (10) g 2 V o2 sin2α xmax = (11) g Para hallar la f´rmula de la altura m´xima o a g x2 y = tgα x − (12) 2 V o2 cos2 α Se remplaza la f´rmula de la distancia m´xima (11) en la ecuaci´n (13) o a o xmax g xmax 2 ymax = tgα ( )− 2 cos2 α ( ) (13) 2 2 Vo 2 sinα 2sinα cosα V o2 g 2sinα cosα V o2 2 ymax = ( )− ( ) (14) cosα 2g 2 V o2 cos2 α 2g Simplificando: sin2 α V o2 sin2 α V o2 ymax = − (15) g 2g sin2 α V o2 1 ymax = (1 − ) (16) g 2 sin2 α V o2 ymax = (17) 2g Para el c´lculo del tiempo de vuelo, de la ecuaci´n (3) a o g t2 V o t sinα = (18) 2 gt V o t sinα = (19) 2 2V o sinα t= (20) g Para hallar la f´rmula de velocidad o x t= (21) v 3
- 4. 1 2 h= gt (22) 2 Sustituyendo (21) en (22) 1 x2 h= g (23) 2 V2 g x2 V = (24) 2h 3. Materiales Los materiales utilizados en el experimento son: 1. Perdig´n o 2. Transportador 3. Lanzador de proyectiles 4. Papel carb´nico o 5. Papeles en blanco 6. Medidor de ´ngulos a 7. Soporte universal 8. Cuerda 9. Plomada 10. Cron´metro o 11. Flex´metro o El sistema para el lanzamiento de proyectiles consiste de un ca˜ on con un im´n n a para el soporte del proyectil, unido a un transportador de madera el cual se encunentra pegado a un soporte armado por la combinaci´n de dos bases y tres o varas met´licas empleados para la aliaci´n de los mismos. [V´ase la Figura 2] a o e Para la obtenci´n de resultados mas precisos se hizo uso de un transportador o adicional en la parte inferior de dicho sistema de lanzamiento. 4. Procedimiento 4.1. Experimento 1 En este experimento se analiz´ el tiempo de vuelo y la distancia m´xima de o a los proyectiles a diferentes ´ngulos, utilizando el lanzador de proyectiles como a mecanismo fundamental, adem´s de papel carb´nico, hojas bond, flex´metro y a o o 4
- 5. Figura 2: Lanzador de Proyectiles Figura 3: Lanzador de Proyectiles 5
- 6. N. ´ Angulo Tiempo(s) Distancia(cm) 1 15 0.52 160 2 20 0.53 192 3 25 0.55 249 4 30 0.58 273.5 5 35 0.72 309.5 6 40 0.82 316.5 7 45 0.84 318.5 8 50 0.87 321.5 9 55 0.92 305.5 10 60 1.03 282.5 11 65 1.05 243 12 70 1.06 204.5 13 75 1.07 150.5 Cuadro 1: Datos Experimentales un cron´metro como herramientas adicionales [V´ase la Figura 3]. El experi- o e mento consiste en expulsar el perdig´n con el objetivo de que este aterrice sobre o el papel carb´nico y de esta forma dejar una marca en la hoja bond la cual nos o ser´ util para su posterior medici´n; y paralelamente obtener el tiempo de vuelo a´ o haciendo uso del cron´metro. o 4.1.1. Datos Seg´n la descripci´n de dicho experimento se obtuvo los siguientes datos: u o [V´ase el Cuadro 1] e En la (Figura4) podemos comparar los datos obtenidos del experimento con los datos te´ricos del tiempo de vuelo con respecto a los ´ngulos correspondientes. o a En la (Figura5) podemos comparar los datos obtenidos del experimento con los datos te´ricos de la distancia m´xima con respecto a los ´ngulos correspon- o a a dientes. 4.2. Experimento 2 Usando el sistema de lanzamiento de proyectiles desde una superficie alta, con el objetivo de hallar la velocidad inicial promedio, se desarroll´ cinco lan- o zamientos los cuales marcaron cinco diferentes distancias. El m´todo utilizado e para este experimento es similar al anterior. Con la ayuda de un flex´metro se o realiz´ la medici´n de los puntos marcados en el papel bond por los perdigones. o o 6
- 7. Datos del experimento 2 Tiempo de vuelo 1.5 1 0.5 0 10 20 30 40 50 60 70 80 Angulo ´ Figura 4: Cuadro Comparativo (Tiempo de Vuelo y Angulo) Datos del experimento 340 320 300 Distancia Max. 280 260 240 220 200 180 160 10 20 30 40 50 60 70 80 Angulo ´ Figura 5: Cuadro Comparativo (Distancia Max. y Angulo) 7
- 8. N. Distancia(cm) 1 260 2 259.8 3 261 4 258.5 5 257 Cuadro 2: Datos Experimentales 2 4.2.1. Datos Seg´n la descripci´n de dicho procedimiento se obtuvo los siguientes datos: u o (Cuadro2) m g = 9,775 2 (25) s La gravedad en La Paz bolivia esta dada por la constante 9.775, dada por el Instituto de Investigaciones F´ ısics de la Universidad Mayor de San Andr´s. [4] e h = 85,57cm (26) 4.3. C´lculo de Velocidad Inicial a Para el c´lculo de la Velocidad inicial promedio se utiliz´ la siguiente ecua- a o ci´n o g x2 V = (27) 2h En la ecuaci´n (27) reemplazamos los valores del (Cuadro2) o 977,5 cm · (260cm)2 s2 V = V = 566,38 (28) 2 · 103cm 977,5 cm · (259,8cm)2 s2 V = V = 565,93 (29) 2 · 103cm 977,5 cm · (261cm)2 s2 V = V = 568,56 (30) 2 · 103cm 977,5 cm · (258,5cm)2 s2 V = V = 563,10 (31) 2 · 103cm 977,5 cm · (257cm)2 s2 V = V = 559,83 (32) 2 · 103cm 566,38 m s + 565,93 m + 568,56 m + 563,10 m + 559,83 m s s s s Vpromedio = ( ) (33) 5 m Vpromedio = 564,03 (34) s 8
- 9. 5. Resultados Debido a la aproximaci´n de los datos experimentales a los datos te´ri- o o cos, se puede concluir que las ecuaciones del movimiento parab´lico son o aplicables en distintos medios para diferentes prop´sitos. o 6. Conclusiones y Recomendaciones Se debe manejar un buen procedimiento a la hora de tomar las l´ ıneas de partida, como llegada del proyectil para evitar el margen de error en las medidas. Para el calculo de la velocidad promedio en la parte experimental, es preciso obtener m´s de tres datos para llegar a un resultado mas exacto. a Referencias [1] http://movimientoparabolicokrisia.blogspot.com/ [2] http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_ didacticos/comp_movimientos/parabolico.htm [3] Serway, F´ ısica 1, 5ta Edici´n o [4] http://www.scielo.org.bo/scielo.php?pid= S1562-38232010000100007&script=sci_arttext A. R. TICONA BUSTILLOS y G. M. RAMIREZ AVILA 9