Rectasyplanos r3
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Este documento describe los conceptos básicos de planos y rectas en el espacio tridimensional. Explica que un plano puede definirse mediante un punto en el plano, un vector normal al plano y la ecuación del plano. También describe cómo determinar las ecuaciones de un plano dado sus condiciones. Luego, explica que una recta puede definirse como el conjunto de puntos que pueden expresarse como una combinación lineal de dos puntos distintos, y presenta las formas de describir una recta mediante ecuaciones paramétricas y simétric
Rectasyplanos r3
- 1. Geometría en el espacio Laura Hidalgo Solís Planos en el espacio Rectas en el espacio Geometría en el espacio Planos y Rectas Laura Hidalgo Solís Universidad Autónoma Metropolitana Unidad Iztapalapa 19 de Marzo de 2012
- 2. Geometría en el espacio Laura Hidalgo Solís Planos en el espacio Rectas en el espacio Planos en el espacio Anteriormente vimos que es posible encontrar un número infinito de vectores, no paralelos entre si, que sean perpendiculares a un vector dado en R3, y que las representaciones geométricas ordinarias de estos vectores estén en el mismo plano. Usando éstos hechos se puede especificar un plano en el espacio. Plano Si P es un plano y S un punto en P, y si n es un vector no nulo cuya representación geométrica es perpendicular a P, entonces un punto U(x, y, z) está sobre P si y sólo si (u − s) · n = 0 (1) La ecuación 1 es una ecuación del plano P.
- 3. Geometría en el espacio Laura Hidalgo Solís Planos en el espacio Rectas en el espacio P
- 4. Geometría en el espacio Laura Hidalgo Solís Planos en el espacio Rectas en el espacio Puesto que U(x, y, z) es cualquier punto de P, la ecuación 1 es simplemente una afirmación de que el vector n tiene una representación geométrica que es perpendicular a todo vector geométrico cuyo punto inicial sea S y este sobre P. Un vector no nulo perpendicular a un plano P recibe el nombre de vector normal a P. Si U(x, y, z), n = (A, B, C) y s · n = −D, la ecuación 1 puede reescribirse como AX + BY + CZ + D = 0 (2)
- 5. Geometría en el espacio Laura Hidalgo Solís Planos en el espacio Rectas en el espacio Nótese que la ecuación Ax + By + Cz = D es una ecuación de primer grado con respecto a las variables x, y, z, y que los coeficientes de estas variables son las componentes respectivas del vector normal n. Recíprocamente, si T(x2, y2, z2) es un punto cuyas coordenadas satisfacen la ecuación 2 y, por tanto, a la ecuación 1, se verifica que A(x2 − x1) + B(y2 − y1) + C(z2 − z1) = 0 y como esta igualdad establece que la recta , que pasa por los puntos T y S es perpendicular al vector normal n y, por tanto, está sobre el plano P, resulta que el punto T que está sobre está también sobre el plano. Por tanto, la ecuación 2 es la ecuación del plano. Se le llama la ecuación cartesiana general del plano .
- 6. Geometría en el espacio Laura Hidalgo Solís Planos en el espacio Rectas en el espacio Esto es: Teorema La ecuación general de un plano es de la forma Ax + By + Cz + D = 0, en donde A, B, C y D son constantes, y n = (A, B, C) son es su vector normal. Reciprocamente: Teorema Toda ecuación lineal de la forma Ax + By + Cz + D = 0 en la que por lo menos uno de los tres coeficientes A, B y C es diferente de cero, representa un plano cuyo vector normal es n = (A, B, C).
- 7. Geometría en el espacio Laura Hidalgo Solís Planos en el espacio Rectas en el espacio Ejemplo 1 Podemos obtener la ecuación cartesiana del plano que pasa por S(1, 2, 3) y tiene vector normal n = (−1, 3, 5) como sigue: De la ecuación 1 tenemos: (u − s) · n = 0 o equivalentemente, u · n = s · n Si U(x, y, z), sustituyendo los valores tenemos −x + 3y + 5z = −1 + 6 + 15 = 20 Por lo que, la ecuación cartesiana del plano que pasa por S(1, 2, 3) y tiene vector normal n = (−1, 3, 5) está dada como −x + 3y + 5z = 20
- 8. Geometría en el espacio Laura Hidalgo Solís Planos en el espacio Rectas en el espacio Ejemplo 2 De geometría euclidiana sabemos que tres puntos no colineales determinan un plano, si A(3, 4, 1), B(−1, −2, 5) y C(1, 7, 1) podemos encontrar la ecuación del plano P que contiene a estos puntos de, al menos, dos formas distintas. Primeramente, sean v1 = b − a = (−4, −6, 4), v2 = c − a = (−2, 3, 0). entonces n = v1 × v2 = i j k −4 −6 4 −2 3 0 = (−12, −8, −24) de donde, una ecuación de P es −12x − 8y − 24z = (3, 4, 1) · (−12, −8 − 24) = −92 o equivalentemente 3x + 2y + 6z = 23
- 9. Geometría en el espacio Laura Hidalgo Solís Planos en el espacio Rectas en el espacio Nuesto segundo método, como A, B y C no son colineales, estos se encuentran en un plano, cuya ecuación es de la forma Ax + By + Cz + D = 0 y por tanto, satisfacen esta ecuación, es decir, 3A + 4B + C + D = 0 −A − 2B + 5C + D = 0 A + 7B + C + D = 0 Resolviendo este sistema de 3 ecuaciones en 4 variables tenemos: a = 3 2 t, b = t, c = 3t, d = − 23 2 t, t ∈ R. Tomando b = 2, tenemos a = 3, c = 6 y d = −23, por lo que, una ecuación para P es 3x + 2y + 6z − 23 = 0.
- 10. Geometría en el espacio Laura Hidalgo Solís Planos en el espacio Rectas en el espacio Definiciones Si P1 es un plano con vector normal n1, y P2 es otro plano con vector normal n2, entonces 1 P1 y P2 son paralelos si y sólo si n1 × n2 = 0. 2 P1 y P2 son perpendiculares si y sólo si n1 · n2 = 0. Obsérvese que de esta definición, todo plano es paralelo a si mismo, ya que, para todo vector n se tiene que n × n = 0.
- 11. Geometría en el espacio Laura Hidalgo Solís Planos en el espacio Rectas en el espacio Rectas en el espacio Si S(x1, y1, z1) y T(x2, y2, z2) son dos puntos distintos, ellos determinan una recta , así el vector v = t − s = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1) tiene una representación geométrica que está sobre y que por lo tanto es paralela a . Entonces el vector v = t − s es un vector de dirección de . Mediante un razonamiento análogo al realizado en R2 podemos demostrar que si U(x, y, z) representa un punto en el espacio entonces u = s + λ(t − s), λ ∈ R es una ecuación paramétrica vectorial de .
- 12. Geometría en el espacio Laura Hidalgo Solís Planos en el espacio Rectas en el espacio Esto es, si U(x, y, z) es un punto en la recta , entonces el vector w = u − s tiene una representación geométrica que también está sobre , y por lo tanto, w es paralelo a v, esto es, w = λv para algún λ ∈ R, es decir: w = λv u − s = λ(t − s) ∴ u = s + λ(t − s) Así, podemos decir que la recta es {U ∈ R3 ; u = s + λ(t − s), λ ∈ R} o equivalentemente {U ∈ R3 ; u = s + λv, λ ∈ R}
- 13. Geometría en el espacio Laura Hidalgo Solís Planos en el espacio Rectas en el espacio
- 14. Geometría en el espacio Laura Hidalgo Solís Planos en el espacio Rectas en el espacio Así, una ecuación paramétrica vectorial de la recta que pasa por S(x1, y1, z1) y T(x2, y2, z2) es: (x, y, z) = (x1, y1, z1) + λ(x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1) o bien (x, y, z) = (x1 + λ(x2 − x1), y1 + λ(y2 − y1), z1 + λ(z2 − z1) La recta tiene asociado el siguiente sistema de ecuaciones paramétricas cartesianas: x = x1 + λ(x2 − x1) y = y1 + λ(y2 − y1) z = z1 + λ(z2 − z1)
- 15. Geometría en el espacio Laura Hidalgo Solís Planos en el espacio Rectas en el espacio Si las diferencias x2 − x1, y2 − y1, y z2 − z1 no son todas cero entonces v = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1) es un vector de dirección de , y por lo tanto x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1 son números directores de . Si x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1 son todos distintos de cero entonces x − x1 x2 − x1 = y − y1 y2 − y1 = z − z1 z2 − z1 son las ecuaciones simétricas de la recta dada. Si el vector de dirección v se escribe como v = (v1, v2, v3) entonces: x − x1 v1 = y − y1 v2 = z − z1 v3 son las ecuaciones simétricas de .
- 16. Geometría en el espacio Laura Hidalgo Solís Planos en el espacio Rectas en el espacio Notamos que podemos reescribir las ecuaciones simétricas de como: x − x1 v1 = y − y1 v2 x − x1 v1 = z − z1 v3 o equivalentemente v2x − v1y + (v2y1 − x1v1) = 0 v3x − v1z + (v3z1 − v1x1) = 0 Pero cada una de estas ecuaciones corresponde a un plano, es decir, en R3 podemos visualizar una recta como la intersección de dos planos.
- 17. Geometría en el espacio Laura Hidalgo Solís Planos en el espacio Rectas en el espacio Si una recta es paralela a un eje de coordenadas, entonces dos de los números directores son cero, y en lugar de las ecuaciones simétricas se tiene simplemente las ecuaciones que expresan las dos coordenadas constantes en cada punto sobre la recta. De esta manera, 1 si la recta que es paralela al eje z pasa por el punto S(x1, y1, z1) la recta se puede especificar mediante las ecuaciones x = x1, y y = y1 2 si la recta que es paralela al eje y pasa por el punto S(x1, y1, z1) la recta se puede especificar mediante las ecuaciones x = x1, y z = z1 3 si la recta que es paralela al eje x pasa por el punto S(x1, y1, z1) la recta se puede especificar mediante las ecuaciones y = y1, y z = z1
- 18. Geometría en el espacio Laura Hidalgo Solís Planos en el espacio Rectas en el espacio Si una recta es paralela a un plano de coordenadas, entonces uno de los números directores es cero, en este caso tenemos sólo una ecuación simétrica, y la otra ecuación expresa simplemente la coordenada constante de un punto sobre la recta. 1 si la recta que es paralela al plano xy pasa por el punto S(x1, y1, z1) la recta se puede especificar mediante las ecuaciones x − x1 v1 = y − y1 v2 , y z = z1. 2 si la recta que es paralela al plano yz pasa por el punto S(x1, y1, z1) la recta se puede especificar mediante las ecuaciones y − y1 v2 = z − z1 v3 , y x = x1. 3 si la recta que es paralela al plano xz pasa por el punto S(x1, y1, z1) la recta se puede especificar mediante las ecuaciones x − x1 v1 = z − z1 v3 y y = y1.
- 19. Geometría en el espacio Laura Hidalgo Solís Planos en el espacio Rectas en el espacio Ejemplo 1 Deseamos obtener las ecuaciones paramétrica vectorial, el sistema de ecuaciones paramétricas cartesianas y las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por los puntos S(2, 3, −1) y T(1, 0, 3). Como S = T, entonces v = t − s = (−1, −3, 4) es un vector de dirección de . Por lo que, un punto U(x, y, z) ∈ si, y sólo si u = s − λv λ ∈ R ∴ (x, y, z) = (2, 3, −1) + λ(−1, −3, 4) λ ∈ R es la ecuación paramétrica vectorial de la recta .
- 20. Geometría en el espacio Laura Hidalgo Solís Planos en el espacio Rectas en el espacio La recta por S(2, 3, −1) y T(1, 0, 3)
- 21. Geometría en el espacio Laura Hidalgo Solís Planos en el espacio Rectas en el espacio De la ecuación (x, y, z) = (2, 3, −1) + λ(−1, −3, 4) podemos deducir el sistema de ecuaciones paramétricas cartesianas de la recta . x = 2 − λ y = 3 − 3λ z = −1 + 4λ con λ ∈ R Despejando el parámetro λ tenemos: x − 2 −1 = y − 3 −3 = z + 1 4 = λ obteniéndose así las ecuaciones simétricas de la recta . x − 2 −1 = y − 3 −3 = z + 1 4
- 22. Geometría en el espacio Laura Hidalgo Solís Planos en el espacio Rectas en el espacio De la igualdad x − 2 −1 = y − 3 −3 obtenemos la ecuación del plano 3x − y − 3 = 0, y de la igualdad x − 2 −1 = z + 1 4 obtenemos la ecuación del plano 4x + z − 7 = 0. Por lo que, en particular podemos ver a la recta como la intersección de los planos 3x − y − 3 = 0 y 4x + z − 7 = 0. También podemos usar la ecuación y − 3 −3 = z + 1 4 , por lo que la recta también está sobre el plano 4y + 3z − 9 = 0.
- 23. Geometría en el espacio Laura Hidalgo Solís Planos en el espacio Rectas en el espacio La recta por S(2, 3, −1) y T(1, 0, 3) vista como la intersección de los planos 3x − y − 3 = 0 y 4x + z − 2 = 0.
- 24. Geometría en el espacio Laura Hidalgo Solís Planos en el espacio Rectas en el espacio Ejemplo 2 Si S(1, 2, 3) y T(3, 4, 3), entonces v = t − s = (2, 2, 0), por lo que, la ecuación paramétrica cartesiana de la recta que pasa por S y T es (x, y, z) = (1, 2, 3) + λ(2, 2, 0) El sistema de ecuaciones paramétricas cartesianas está dado por x = 1 + 2λ, y = 2 + 2λ, z = 3 de donde, x − 1 2 = y − 2 2 , z = 3 Así, es la intersección de los planos x − y + 1 = 0, z = 3
- 25. Geometría en el espacio Laura Hidalgo Solís Planos en el espacio Rectas en el espacio La recta por S(1, 2, 3) y T(3, 4, 3)
- 26. Geometría en el espacio Laura Hidalgo Solís Planos en el espacio Rectas en el espacio Ejemplo 3 Si S(2, 3, 4) y T(3, 3, 4), entonces v = t − s = (1, 0, 0), de donde la ecuación paramétrica vectorial de la recta que pasa por S y T está dada como (x, y, z) = (2, 3, 4) + λ(1, 0, 0) De aquí, deducimos el sistema de ecuaciones paramétricas cartesianas x = 2 + λ, y = 3, z = 4 de donde, podemos ver a como la intersección de los planos y = 3 y z = 4.
- 27. Geometría en el espacio Laura Hidalgo Solís Planos en el espacio Rectas en el espacio La recta por S(2, 3, 4) y T(3, 3, 4)
- 28. Geometría en el espacio Laura Hidalgo Solís Planos en el espacio Rectas en el espacio Rectas dirigidas Tal como sucede en R2, si un vector v ∈ R2 es un vector de dirección de una recta , entonces −v es también un vector de dirección de y se puede considerar que la dirección de es la de v o la de −v. Cuando se asocia una recta , a un vector de dirección particular v, se dice que es una recta dirigida, y que su dirección es la de v. Por ejemplo la recta que pasa por S(2, 3, −1) y que tiene al vector v = (−1, −3, 4) como vector de dirección es la misma recta que pasa por S y que tiene al vector −v = (1, 3, −4), como vector de dirección; pero estas dos descripciones de especifican dos rectas dirigidas distintas puesto que sus sentidos son opuestos.
- 29. Geometría en el espacio Laura Hidalgo Solís Planos en el espacio Rectas en el espacio El ángulo que forman dos rectas dirigidas se define como el ángulo φ, con 0 ≤ φ ≤ π, que forman sus vectores de dirección. Nótese que esta definición se aplica a todas las rectas dirigidas en el espacio, sin importar si se intersecan o no. Por ejemplo, si 1 y 2 son las rectas cuyos vectores de dirección son v1 = (−1, −1, 0) y v2 = (1, 1, √ 6, respectivamente, entonces cos φ = v1 · v2 v1 v2 = − 1 2 de donde φ = 2π/3.
- 30. Geometría en el espacio Laura Hidalgo Solís Planos en el espacio Rectas en el espacio Una recta es paralela a un plano P, si y sólo si un vector de dirección de es perpendicular a un vector normal a P. Nótese que puede estar contenida en P. Una recta es perpendicular a un palno P, si y sólo si un vector de dirección de es paralelo a un vector normal de P. Definiciones Si v es un vector de dirección de la recta y n es un vector normal al plano P, entonces 1 es paralela a P si y sólo si v · n = 0 2 es perpendicular a P si y sólo si v × n = 0.
- 31. Geometría en el espacio Laura Hidalgo Solís Planos en el espacio Rectas en el espacio Recta paralela a un plano
- 32. Geometría en el espacio Laura Hidalgo Solís Planos en el espacio Rectas en el espacio Recta perpendicular a un plano
- 33. Geometría en el espacio Laura Hidalgo Solís Planos en el espacio Rectas en el espacio Relaciones entre rectas y planos Al estudiar geometría notamos que dos planos dados o son paralelos (coinciden o nunca se cortan), o se intersectan en una recta. Propiedad Dos planos cuyos vectors normales no sean paralelos se intersectan en una recta. Esta recta recibe el nombre de recta de intersección de los planos.
- 34. Geometría en el espacio Laura Hidalgo Solís Planos en el espacio Rectas en el espacio Si P1, P2 son tales planos, con vectores normales n1 y n2 respectivamente, entonces cualquier recta contenida en Pj debe tener vector de dirección perpendicular a nj para j = 1, 2. Por tanto, un vector de dirección v de la recta de intersección de estos planos no paralelos debe ser perpendicular a las normales a ambos planos, puesto que el producto cruz de dos vectores dados es un vector perpendicular a cada uno de los vectores dados, entonces v = n1 × n2 es un vector de dirección de la recta de intersección de dichos planos.
- 35. Geometría en el espacio Laura Hidalgo Solís Planos en el espacio Rectas en el espacio Propiedad Si n1 es un vector normal al plano P1 y v2 es un vector normal al plano P2, y si P1 y P2 se intersectan en una recta , entonces v = n1 × n2 es un vector de dirección de . Si se desea determinar , entonces deberá obtenerse además las coordenadas de un punto S en .
- 36. Geometría en el espacio Laura Hidalgo Solís Planos en el espacio Rectas en el espacio Ejemplo Deseamos obtener una ecuación paramétrica vectorial de la recta de intersección de los planos x + 2y − 6 = 0, z = 4. Un vector normal al plano x + 2y − 6 = 0 es n1 = (1, 2, 0), y un vector normal al plano z = 4 es n2 = (0, 0, 1), de donde, un vector de dirección v de es v = i j k 1 2 0 0 0 1 = (2, −1, 0) Una solución particular del sistema de ecuaciones x + 2y = 6 z = 4 es S(6, 0, 4), por lo que, una ecuación paramétrica vectorial de la recta es : (x, y, z) = (6, 0, 4) + λ(2, −1, 0).
- 37. Geometría en el espacio Laura Hidalgo Solís Planos en el espacio Rectas en el espacio Existen varias relaciones posibles entre las posiciones relativas y las intersecciones comunes de tres planos en el espacio: 1 Si los tres planos son paralelos: entonces no existe intersección común a menos que los tres planos coincidan, en cuyo caso la intersección común es todo el plano. 2 Si dos, pero no los tres, planos son paralelos entonces no existe intersección común a menos que los dos planos paralelos coincidan, en cuyo caso la intersección común es una recta. 3 Si no hay un par de planos paralelos, pero sus rectas de intersección (por pares) son paralelas, entonces no existe intersección común, a menos que las rectas de intersección coincidan, en cuyo caso la intersección común es una recta.
- 38. Geometría en el espacio Laura Hidalgo Solís Planos en el espacio Rectas en el espacio 4 Si no hay ningún par de planos paralelos y sus rectas de intersección no son paralelas, entonces los planos se intersectan en un único punto. En este caso, las coordenadas del punto se pueden obtener resolviendo tres ecuaciones lineales simultáneas, que representan a los planos. Las intersecciones de un plano con los ejes de coordenadas resultan también útiles para trazar una gráfica del plano. Estas intersecciones tienen coordenadas de la forma (a, 0, 0), (0, b, 0) y (0, 0, c), respectivamente. Puesto que estas intersecciones son también los puntos donde las trazas cortan a los ejes de coordenadas, se pueden también emplear para trazar las gráficas de las trazas.
- 39. Geometría en el espacio Laura Hidalgo Solís Planos en el espacio Rectas en el espacio Intersecciones de rectas y planos Dados una recta y un plano en el espacio hay tres posibles configuraciones: 1 La recta es paralela al plano pero no lo intersecta. 2 La recta es paralela al plano y está completamente contenida en el plano. 3 La recta intersecta al plano en un sólo punto. Pero la recta es paralela al plano si y sólo si un vector de dirección de la recta es perpendicular a un vector normal del plano.
- 40. Geometría en el espacio Laura Hidalgo Solís Planos en el espacio Rectas en el espacio Propiedad Si no es paralela a P, entonces intersecta a P en un sólo punto. Si v es un vector de dirección de y n es un vector normal a P esto sucede si v · n = 0.
- 41. Geometría en el espacio Laura Hidalgo Solís Planos en el espacio Rectas en el espacio Ejemplo Encuentre las coordenadas del punto S de intersección de la recta : x − 2 = −y − 1 = −z − 6 y el plano 3x − 2y + 3z + 16 = 0. Notamos que v = (1, −1, −1) y n = (3, −2, 3), así v · n = (1, −1, −1) · (3, −2, 3) = 3 + 2 − 3 = 2 = 0 Por lo que no es paralela a P, de donde, se intersectarán en un único punto. Para obtener este punto, consideremos a como la intersección de los planos x − 2 = −y − 1 y x − 2 = −z − 6, despejando y y z en términos de x obtenemos x − 1 = −y, x + 4 = −z o equivalentemente y = 1 − x, z = −x − 4.
- 42. Geometría en el espacio Laura Hidalgo Solís Planos en el espacio Rectas en el espacio Sustituyendo estos valores en la ecuación P : 3x − 2y + 3z + 16 = 0 obtenemos 0 = 3x − 2(1 − x) + 3(−x − 4) + 16 = 3x − 2 + 2x − 3x − 12 + 16 = 2x + 2 Por lo cual x = −1, sustituyendo en los valores de y y z tenemos y = 2, z = −3, ∴ S(−1, 2, −3). Comprobación: S ∈ : −1 − 2 = −2 − 1 = 3 − 6 y −3 − 4 − 9 + 16 = 0.
- 43. Geometría en el espacio Laura Hidalgo Solís Planos en el espacio Rectas en el espacio F órmulas de distancia Distancia de un punto a un plano Si S es un punto y P es un plano, si T es cualquier punto sobre P, y n es un vector normal a P, entonces la distancia que separa a S de P, que denotaremos d(S, P), es igual al valor absoluto de la componente escalar de s − t paralela a n. Es decir d(S, P) = |(s − t) · n| n .
- 44. Geometría en el espacio Laura Hidalgo Solís Planos en el espacio Rectas en el espacio Para obtener una expresión cartesiana de d(S, P), nótese que la ecuación cartesiana Ax + By + Cz + D = 0 de P se puede escribir como (x, y, z) · (A, B, C) + d = 0; es decir, para cualquier punto T sobre P, se tiene t · n + d = 0, o sea t · n = −d. Tomando en cuenta esto, sea S(x1, y1, z1) y sustitúyanse estas coordenadas en la ecuación d(S, P) = |(s − t) · n| n = |(x1, y1, z1) · (A, B, C) + d √ A2 + B2 + C2 = |Ax + By + Cz + D| √ A2 + B2 + C2
- 45. Geometría en el espacio Laura Hidalgo Solís Planos en el espacio Rectas en el espacio Ejemplo Deseamos encontrar el lugar geométrico de los puntos U(x, y, z) ∈ R3 que son equidistantes de los planos cuyas ecuaciones son P1 : 2x + 2y − z − 1 = 0 y P2 : x − 2y + 2z + 1 = 0. Esto es L : {U(x, y, z); d(U, P1) = d(U, P2)}. Usando la fórmula de la distancia de un punto a un plano tenemos: |2x + 2y − z − 1| √ 22 + 22 + 12 = |x − 2y + 2z + 1| 12 + (−2)2 + 22 de donde |2x + 2y − z − 1| = |x − 2y + 2z + 1| o equivalentemente: 2x + 2y − z − 1 = ±(x − 2y + 2z + 1) Por lo cual L = {(x, y, z) ∈ R3; x + 4y − 3z − 2 = 0} ∪ {(x, y, z) ∈ R3; 3x + z = 0} es decir, L es la unión de dos planos perpendiculares.
- 46. Geometría en el espacio Laura Hidalgo Solís Planos en el espacio Rectas en el espacio Distancia de un punto a una recta La distancia de un punto S a una recta se define como la longitud del segmento perpendicular a la recta que va de la recta al punto. Para calcular la distancia de S a : u = t + λv, λ ∈ R, que denotaremos d(S, ), procederemos de la siguiente forma: La distancia de S a un punto T en es s − t , y que d(S, ) = s − t sen θ Pero, como demostramos anteriormente, para cualesquier dos vectores u, v ∈ R3 se tiene que u × v = u v sen θ. Entonces, si v = 0, u sen θ = u × v v Sustituyendo en esta ecuación u = s − t tenemos d(S, ) = (s − t) × v v
- 47. Geometría en el espacio Laura Hidalgo Solís Planos en el espacio Rectas en el espacio Ejemplo 7,6,5 Calculemos la distancia que separa el punto S(7, 6, 5) de la recta : x − 1 6 = y − 1 7 = z − 1 8 . Notamos que un punto T ∈ es T(1, 1, 1), y un vector de dirección v de es v = (6, 7, 8), de donde s − t = (7, 6, 5) − (1, 1, 1) = (6, 5, 4) Así (s − t) × v = i j k 6 5 4 6 7 8 = (12, −24, 12) de donde (s − t) × v = 122 + (−24)2 + 122 = √ 864 y v = √ 62 + 72 + 82 = √ 149 Por lo que, d(S, ) = 864 149 2.408