Resolucion problemas MATEMATICOS_SIGMA 10

La resolución de problemas
Sigma nº 10, 1991 1
Si contemplo las obras de los maestros
veo lo que ellos han hecho
Si considero mis realizaciones
me doy cuenta de lo que debiera haber hecho
(GOETHE)
LA RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS
SANTIAGO FERNÁNDEZ FELIZ ALAYO
AMAIA BASARRATE
FERNANDO FOUZ
Las matemáticas se aprenden haciendo matemáticas, enfrentarse con un problema
matemático e intentar resolverlo es la forma más segura de aprender matemáticas. LUIS
SANTALO, uno de los mejores matemáticos españoles, dice que: «enseñar matemáticas
debe ser equivalente a enseñar a resolver problemas. Estudiar matemáticas no
debe ser otra cosa que pensar en la solución de problemas».
El problema suele encontrarse en el terreno de lo desconocido y a priori no tenemos
caminos claros para llegar a su solución. MARIO BUNGE, define el PROBLEMA: Aquel que
designa una dificultad que no puede resolverse automáticamente, sino que requiere una
investigación conceptual o empírica. Sigue diciendo que: El problema es el primer eslabón de
la cadena.
PROBLEMA - - - INVESTIGACIÓN - - - SOLUCIÓN
En contraposición con un ejercicio, podemos decir que en un problema no se sabe muy
bien cómo empezar ni tampoco cómo seguir.
SCHOENFELD (1985) dice que la enseñanza de la Resolución de Problemas comienza
a finales de la década de los 70, fundamentado pedagógicamente en el rechazo tanto de la
matemática moderna como al intento de vuelta atrás que supuso el «back to basics» (se
vio rápidamente que comprender lo fundamental no era suficiente, sobre todo si lo
fundamental se consideraba la solución de ejercicios repetitivos y el dominio de técnicas
algorítmicas).
Después de varios años de investigación y cientos de artículos y libros publicados se va
vislumbrado con cierta claridad la importancia de la Resolución de Problemas. Pero, ¿cómo
enseñar a resolver problemas a nuestros alumnos?
Hay que dejar claro de entrada, que resolver problemas es una actividad mental
compleja, requiere ciertos conocimientos, y poner en escena una buena dosis de
talento y creatividad. La persona que se enfrenta al problema en principio no sabe por
dónde tirar, pero si ha tenido experiencias diversas en la resolución de otros problemas es
probable que consiga bastantes más éxitos.
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El Grupo Cero (1987), respecto a la Resolución de Problemas dice que en una mirada
poco atenta puede parecer que esta actividad es generalmente caótica o, como poco,
desordenada, pero observando a un buen resolutor de problemas lo cierto es que sigue un
«método en su locura».
La mejor forma de convertirse en un buen resolutor de problemas es tener un experto a
nuestro lado que nos guíe y oriente en ese aparente caos, a falta de experto se puede seguir
ciertos métodos, procedimientos y actitudes.
En primer lugar hay que conocer ciertas técnicas que sino proporcionan una garantía de
éxito, si al menos una confianza en el hecho que uno no está «desarmado» completamente.
Hay que tener en cuenta que el aprendizaje de la resolución de problemas es un
proceso a largo plazo, el profesor puede servir de ayuda inestimable pero el mismo tiene
que interesarse muy activamente por la resolución de problemas.
EL EXPERTO ANTE UN PROBLEMA
Problema: con 6 palillos iguales construir 4 triángulos equiláteros idénticos
El experto comienza a hurgar en su memoria, al mismo tiempo reorganiza los
elementos del problema de modo que se acomoden a la solución. Dibuja, calcula, se pone
metas más simples, busca problemas análogos...
Después de varios intentos quizás se le ocurra pensar que en el plano no existe tan
disposición. ¿Yen el espacio?... Surge el ¡Ajá!... Ya lo tengo.
Cuál es el retrato robot de un experto resolutor de problemas?
1. Tiene una estructura clara y conexionada de los conocimientos básicos que posee.
— Sabe lo que sabe.
— Ha usado lo que sabe.
— Sabe que hay cosas que todavía no domina, pero sabe para qué sirven y dónde
buscarlas...

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2. Tiene un buen método general para atacar los problemas. No se bloquea. No es
anárquico...
3. Es perseverante. Goza retándose a sí mismo, aunque fracase.
4. Reflexiona sobre los problemas que resuelve o que ve resueltos por otros (nuevos
conocimientos).
También nosotros podemos llegar a ser «expertos» resolviendo problemas. Para eso
estamos aprendiendo cosas nuevas de matemáticas, pero tenemos que reflexionar
sobre lo que sabemos y utilizarlo más a menudo.
También podemos ser perseverantes, ejercitarnos resolviendo problemas de todo tipo
y reflexionar sobre ellos.
Nos falta saber cuál es su método...
TIPOS DE ESTRATEGIAS
Reflexionando sobre el proceso de la resolución de problemas, podemos señalar
algunas pautas, procedimientos o estrategias, que suelen aparecer en el proceso de la
resolución, algunas de ellas son:
1) Codificar (utilizar un método de expresión adecuado: algebraico, verbal,
gráfico...).
2) Experimentar y Sacar Pautas (inducir).
3) Empezar el problema desde atrás.
4) Resolver Problemas análogos (analogía).
5) Empieza por lo fácil, resuelve un problema más simple.
6) Descompón el problema en pequeños problemas.
7) Conjetura y lleva adelante la conjetura.
8) Saca partido de la Simetría.
9) Ensayo-Error.
10) Supón que NO (Reducción al absurdo).
11) Organización.
12) Deduce y saca conclusiones (Deducir).
13) Haz un esquema, dibujo, tabla...
14) Haz recuento (Conteo).
15) Problemas de Cambio de Estados.
16) Analiza los Casos límites.
17) Utiliza el Principio del Palomar.
18) Problemas lógicos.
19) Reformulación del Problema.
20) Problemas Singulares.
21) Problemas-Ejercicios.
22) Problemas de Investigación.
23) Problemas de Estrategias.
Un uso planificado de estas estrategias no implica necesariamente el éxito en la
búsqueda de la solución del problema, pero sí garantiza una cierta estructuración en ese
aparente caos.

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Hay que dejar claro, además, que un problema requiere a veces de varias estrategias.
Ilustramos aquí algunos problemas resueltos por las estrategias anteriormente citadas.
Conviene recordar:
Ser buenos resolviendo problemas es muy importante para «hacer» matemáticas.
Hacer matemáticas es prepararnos y ejercitarnos para ser buenos resolviendo
problemas.
Resolver un problema requiere un esfuerzo; tenemos que entenderlo bien, hacerlo
nuestro, pensar y darle vueltas, buscar y construir un camino, justificarlo...
La habilidad para resolver problemas se puede adquirir y mejorar, pero tenemos que
esforzarnos y ejercitarnos.
Hemos visto que no tenemos buenos hábitos a la hora de abordar problemas.
Sin embargo, para realizar cualquier tarea un poco complicada (poner algunos
ejemplos), es necesario tener recursos y también una estrategia, un buen método,
para guiar nuestras acciones, si no la mayoría de las veces fracasaremos.
— No queremos quedarnos bloqueados ante un problema y esperar que llegue una
luz misteriosa que nos ilumine. Esa bombilla está fundida.
— No queremos empezar a dar bandazos, buscando sin ton ni son, o haciendo
operaciones sin más. Queremos ser lógicos, tener un camino que recorrer, saber
qué pasos dar.
Sabemos, por supuesto, que no hay ningún método mágico e infalible que nos lleve
directamente a la solución de cualquier problema; si no, no habría «problemas».
¿Cuál será el mejor método?
Evidentemente el método mejor para abordar problemas será el que utilizan los que
son buenos resolviendo problemas (los expertos).

Listado y ejemplificación de estrategias
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LISTADO Y
EJEMPLIFICACIÓN DE
ESTRATEGIAS
SANTIAGO FERNÁNDEZ
FELIX ALAYO
AMAIA BASARRATE
FERNANDO FOUZ
1. CODIFICAR
Problema 1
Tenemos 3 cajas iguales y 5 guantes de la mano izquierda, todos ellos
iguales. ¿De cuántas maneras se pueden distribuir en las tres cajas?
Después de jugar un poco con el problema, se puede llegar a definir un código que nos
organice la búsqueda. Así, si los guantes los representamos por A y las cajas por B. La
secuencia BAA BA BAA nos indica que en la primera caja hay dos guantes, en la segunda
un guante y en la tercera dos guantes. Quizás este código nos resulte más fácil de manejar y
así resolver el problema.
2. EXPERIMENTAR Y SACAR PAUTAS (Inducir)
Problema 2
Toma cuatro números naturales consecutivos y multiplícalos, ¿qué
observas?

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Problema 3
Observa que:
1+3 = 4
1+3+5 = 9
1+3+5+7 = 16 1+3+5+7+9 = 25
¿Cuál es la ley general? Expresarla de manera conveniente y pruébala.
Parece que la suma de impares consecutivos es un número cuadrado perfecto y
además tiene relación con el número de sumandos. Seguramente ya ha pensado en la regla:
1+3+5+7+ ... + (2n–1) = n2
.
Utilizando el principio de inducción matemática (que aparece en varios textos)
seguramente será usted capaz de demostrar el planteamiento anterior.
3. EMPEZAR UN PROBLEMA DESDE ATRAS Problema 4 Se ha construido una casa
con 10 palillos, su forma es:
Cambiando de posición dos palillos. ¿Podría cambiar la forma de la casa a la
nueva situación?

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Si suponemos el problema resuelto (empiezo desde atrás) y comparo con los datos,
rápidamente me doy cuenta
4. RESOLVER PROBLEMAS ANALOGOS (Analogía)
Problema 6
Calcular el área lateral del tronco de cono que aparece en la figura

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5. EMPIEZA POR LO FACIL, RESUELVE UN PROBLEMA SIMPLE
Problema 7
16 jugadores de tenis participan en un sorteo para emparejarse entre si en
la primera ronda.
¿De cuántas maneras se pueden hacer los emparejamientos? Comenzamos por 2
jugadores; claramente hay una sola forma. Si los jugadores son 4 tenemos los siguientes
grupos:
{1,2} {2,}3 {3,4}
{1,3} {2,4}
{1,4}
6 grupos
Si son 6 los jugadores, aparecen 15 grupos (compruébalo). ¿Serías capaz de sacar una
ley y deducir cuántos emparejamientos hay con 16 jugadores?

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Otra forma de resolver el problema es visualizar las diversas situaciones en diagramas
y sacar conclusiones.
6. DESCOMPÓN EL PROBLEMA EN PEQUEÑOS PROBLEMAS
Problema 8
Halla el área de la parte rayada.

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7. CONJETURA Y LLEVA ADELANTE TU CONJETURA
¿Qué es una conjetura? Si preguntas a un científico, la respuesta que recibirás puede
ilustrarse muy bien con el siguiente ejemplo:
Observa que
4 = 2+2
6 = 3+3
8 = 3+5
10 = 3+7
12 = 5+7
20 = 3+17
¿Será cierto que todo números par (mayor que 2) se puede descomponer como suma
de dos números primos? El dar este paso supone hacer una conjetura (ésta se conoce como
conjetura de Goldbach). La conjetura es una afirmación que parece razonable.
En cierta manera las conjeturas forman la columna vertebral del razonamiento
matemático. Se hace una conjetura en base a intuiciones, experimentaciones... Y luego se
intenta demostrar que es cierta (o falsa).
Problema 9
Dado un número cualquiera que acabe en 2, observa que es divisible por 2, si acaba
en 5 es divisible por 5, si acaba en 25 es divisible por 25. Si acaba en 00 es divisible por
100...
Haciendo una lista de tales números, parece que son buenas las terminaciones:
1,2,5,0,25,50,00,000,...
Una conjetura puede ser que la terminación es de la forma 2P 5q, osea estos números
tan extraños son todos los que acaban en la expresión 2P 5q con p,q enteros y mayores o
iguales que cero. ¿Será verdad?
8. SACA PARTIDO DE LA SIMETRÍA
Hay problemas que tienen un marcado carácter simétrico, tanto en la expresión como
en el dibujo. Ejemplos de lo dicho:

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Problema 10
Calcula el área rayada de la siguiente figura:
Es claro que la figura tiene un marcado carácter simétrico. De hecho si adjuntamos dos
figuras iguales.
9. ENSAYO-ERROR
Es, sin duda alguna, uno de los métodos más sencillos para resolver problemas.
Consiste en 1) elegir un resultado u operación aceptable; 2) llevar a cabo ese resultado su
operación sobre las antecedentes y 3) probar si ha logrado el objetivo. Si la respuesta en 3)
es negativa, se repite el proceso hasta alcanzar el objetivo o bien hasta que se demuestre
que el problema es imposible de resolver.
Problema 11
Calcular en número tal que al elevarle al cuadrado y sumarle el número
buscado resulte como resultado 132. -
Probemos con X = 10 — 102
+10 = 110
luego el número es mayor que el 10. Tomemos el 15
x = 15 — 152
+15 = 240, el número es menor que 15. Esta entre 10 y 15...

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10. SUPON QUE NO (Reducción al absurdo)
Para demostrar la veracidad de algo que estamos buscando, a veces resulta más
sencillo suponer que no es cierto y deducir consecuencias de esta apreciación. Para llegar
por fin a algún contrasentido o absurdo.
Por tanto la suposición de que era falso no se tiene en pie y tiene que ser verdadero.
Problema 12
Demostrar que existen infinitos números primos.
Si suponemos que no. Tenemos un número finito de números primos. Estos son:
nPPPP ,...,, 32,1
Construimos ahora el número T = 1,...,32,1 nPPPP
No puede ser primo, pues es mucho mayor que el conjunto de todos los primos. Por
tanto será compuesto pero, sin embargo, no es múltiplo de ninguno de los primos (pues el
resto de la división es 1); así pues llegamos a que T no puede ser compuesto. Por tanto, la
suposición inicial no puede ser cierta y esto demuestra que hay un número infinito de
números primos.
11. ORGANIZACIÓN
Uno de los primeros pasos a dar en la resolución de un problema consiste en
organizarse y formular un plan de ataque.
Una buena organización es un buen punto de arranque y a veces allí se encuentra la
clave del éxito.
Problema 13
Hay varias formas de sumar 10, mediante números impares y con cuatro
sumandos tenemos:
10 = 1+1+1+1+7; 10 = 1+3+3+3 ; 10 = 1+1+1+3+5
Tenemos tres formas (los cambios de orden en los números no cuentan como
nuevas soluciones).
Para obtener 20 con ocho sumandos impares. ¿Cuántas formas hay?
Desde luego hay que organizarse un poco y ser sistemático
20 = 1+1+1+1+1+1+1+13
20 = 1+1+1+1+1+1+7+7
20 = 1+1+1+1+1+1+3+11
así llegamos hasta 11 posibles combinaciones.

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12. DEDUCE Y SACA CONCLUSIONES (Deducir)
La Deducción e Inducción son el eje vertebrado de las Matemáticas, las dos están
presentes en todo quehacer matemático.
Mediante la deducción vamos construyendo un cuerpo de verdad fuerte y potente.
13. HAZ UN ESQUEMA, DIBUJO, TABLA
Este proceso está dentro de la organización, pero tiene relación con la búsqueda de
pautas y otros procesos ya vistos. Desde luego muchos problemas se resuelven
inmediatamente si se ha logrado una buena re-presentación. El apoyo con imágenes, tablas
es una ayuda importantísima.
Problema 15
En tu bolsillo tienes las siguientes 5 monedas:
1 ptas., 5 ptas., 25 ptas., 50 ptas. y 100 ptas.
¿Cuántas cantidades distintas puedes formar?
Si empezamos una búsqueda peco organizada seguramente nos liaremos, así 1+5 = 6;
1+25 = 26; 1+50 = 51 ... , 50+100 = 150… 1+5,+25+50+100 = 181.
Pero ¿cuántas combinaciones hay?
Un esquema como el siguiente nos lleva a la solución.
Contando todas las ramificaciones llegamos a la solución:

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14. HAZ RECUENTO (Conteo)
Se trata de contar sistemática y ordenadamente para sacar leyes generales, el conteo
también puede hacerse al azar (en problemas relativos a probabilidad) y de aquí sacar
conclusiones.
Problema 16
¿Cuántos rectángulos (no cuadrados) hay en la red?
15. PROBLEMAS DE CAMBIOS DE ESTADOS
Muchos problemas se resuelven siguiendo una serie de pasos que nos van acercando
al objetivo final. Así el problema va pasando por varios estados, se va- transformando. De
manera que a veces es conveniente analizar un estado y ver si es posible llegar a él para
luego pasar al siguiente estado. Tiene relación estrecha con la estrategia vista anterior-
mente (descomponer el problema).

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Problema 17.
Un hombre quiere transportar a la otra orilla del río a un lobo, una cabra y
una col en una barca en la que cabe la col, el hombre y alguno de los animales. No
puede dejar solos a la cabra ni al lobo, ni a la cabra con la col. ¿Cómo los puede
transportar?
16.
ANALIZA LOS CASOS LIMITES
En algunas situaciones se nos pide comprobar o demostrar ciertas fórmulas. ¿Cómo
hacerlo? Un recurso es el utilizar «situaciones límites». Veámoslo con un ejemplo.
Problema 18
Se nos dice que el volumen del tronco de cono de la siguiente figura es:

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17. UTILIZA EL PRINCIPIO DEL PALOMAR
Es una estrategia poco conocida y se basa en la siguiente idea: «Si 20 palomas se
meten en 19 huecos, necesariamente en algún hueco debe de haber más de una paloma».
Principio del palomar:
Si m palomas ocupan n nidos y m>n, entonces hay al menos un nido con dos o más
palomas.
Esta idea tan sencilla tiene aplicaciones interesantes.
Problema 19
¿Cuántas veces se debe lanzar un solo dado para obtener la misma
puntuación por lo menos dos veces?
Los casos posibles (huecos) son 6 (1, 2, 3, 4, 5 y 6) y las veces que se debe lanzar
como mínimo (palomas) serán por tanto 7.
Problema 20
Dado el triángulo ABC equilatero y de lado = 1. Si se eligen cinco 1 puntos
de su interior hay como mínimo dos que distan menos de ½.
Esta es una situación más complicada y sutil que lo anterior.
Para desmontarla, dividamos el triángulo en cuatro triángulos equiláteros, tal como
indica la figura:

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18. PROBLEMAS LOGICOS
Es una categoría de problema que aparece en casi todas las pasa-tiempos, revistas...
Son muy populares y en ellos se aplican una variedad de estrategias. Como muestras
presentamos algunos:
Problema 21
Una balanza está equilibrada en las tres situaciones siguientes:
Cuántas tazas sin plato se necesitan para equilibrar la jarra?
Seguramente el lector habrá resuelto muchos problemas de este tipo y llegará a la
solución después de un adecuado «camino lógico». En consecuencia, una jarra se equilibra
con tres trazas.
Problema 22
En una clase de E.G.B. de 30 alumnos a 22 les gusta el dulce y 23 les gusta
sabores amargos. ¿Cuántos alumnos les gusta los dos sabores? Además todos los
alumnos de la clase les gusta el dulce o lo amargo.
Desgraciadamente, con la casi desaparición de la teoría de conjuntos estos problemas
no suelen presentarse en nuestras aulas.
Un esquema como el siguiente nos lleva rápidamente a la solución.
A = conjunto de alumnos a los que les gusta el dulce
B = conjunto de alumnos a los que les gusta el amargo

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Por tanto, los dos sabores le gustan a 15 alumnos.
19. REFORMULACIÓN DEL PROBLEMA
Se trata de ir cambiando el enunciado del problema y así obtener un mejor ataque del
mismo. Veámoslo con un ejemplo:
Problema 22
Dado un cuadrilátero cualquiera. Sobre sus lados construimos los puntos
medios y los unimos entre sí, dando lugar a otro cuadrilátero. Demostrar que es
un paralelogramo.
Desde luego conviene hacernos una pequeña figura y seguramente aparece de forma
natural la siguiente reformulación.

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20. PROBLEMAS SINGULARES
Llamamos problemas singulares a aquellos problemas que no están «bien definidos».
Esto es los datos que nos dan son insuficientes o bien todo lo contrario (abundantes),
pueden ser datos contradictorios o bien no pertinentes, etc.
Problema 23
Encontrar dos números consecutivos cuya suma sea igual a 126.
Si son consecutivos tienen que ser necesariamente uno par y otro impar luego su suma
es un número impar, por tanto el problema tiene datos contradictorias con la solución.
Problema 24
Juan compró dos lapiceros y una pluma en total costaron 1.528 ptas. ¿Cuánto
cuesta el lapicero .
Claramente tiene datos insuficientes, por tanto no se puede resolver el problema.
21. PROBLEMAS-EJERCICIOS
Son situaciones cercanas a los ejercicios pero que conviene trabajar especialmente en
clase, ya que con ellos se refuerzan determinados conceptos y se experimentan algoritmos.

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Problema 25
Es un triángulo rectángulo se construyen tres cuadrados sobre cada uno de
sus lados, la superficie de los cuadrados mayores es igual a 256 y 400 m2
. ¿Cuál es
el área del triángulo?
Aplicando el teorema de Pitágoras tenemos que la superficie del cuadrado más
pequeño es igual a 400–256 = 144 m , por tanto, los lados perpendiculares del triángulo
(catetos) miden 12 y 16 m, luego el área del triángulo mide
22. PROBLEMAS DE INVESTIGACION
Es difícil definir la diferencia que existe entre los términos «problema» e
«investigación». La investigación, muchas veces, no tiene un objetivo obvio ni inmediato; son
situaciones muy abiertas o también muy cerradas (en el sentido que tienen un objetivo
concreto). La investigación es un proceso que incluye una serie de discusiones y trabajos
prácticos, que se pueden utilizar para resolver problemas.
Problema 26
Un polígono de n lados. ¿Cuál es el máximo número de ángulos rectos que puede
tener?
23. PROBLEMAS DE ESTRATEGIAS
Son problemas relacionados con «juegos» y generalmente se trata de elegir
estrategias ganadoras o perdedoras (obtener un número, hacer el último movimiento,
explicitar un determinado camino, etc.).
Problema 27
Dos jugadores disponer de piezas de dominó, se trata de rellenar un tablero
de ajedrez de manera que el último que ponga una pieza gana, juegan
alternativamente y no está permitido salir fuera del con-torno ni poner encima de
otra ya existente. Cada pieza de dominó ocupa dos cuadraditos del tablero de
ajedrez.
Problema 28
Tenemos dos montones de piedras, uno con 7 piedras y el otro con 8 y dos
jugadores que alternativamente pueden quitar 1 ó 2 piedras pero solo eligiendo
uno de los montones. El que retire la última piedra pierde.

Problemas propuestos
Sigma nº 10, 1991 1
PROBLEMAS
PROPUESTOS
Selección realizada por: SANTIAGO FERNANDEZ
FELIX ALAYO
AMAIA BASARRATE
FERNANDO FOUZ
1. ENGAÑANDO A LA BALANZA
Deduzca cuánto pesa cada niña
Cinco niñas que descubrieron que pesándose de a dos, e intercambiándose de a una
por vez, podían conocer el peso de todas gastando una sola moneda, encontraron que de a
pares pesaban 129 libras, 125, 124, 123, 122, 121, 120, 118, 116 y 114. Hay que descubrir
ahora el peso de cada una, por separado.
2. TRES NUMEROS
Escribe tres números cualesquiera. Por ejemplo: 7 12 22
Cuenta: el número de ceros que aparecen
el número de unos
el número de doses
Así obtienes 3 nuevos números: 0 1 3
Cuenta de nuevo los ceros, unos y doses y obtienes otros tres números: 1 1 0
Cuenta otra vez... 1 2 0
Cuenta otra vez, y otra y...
Investiga qué ocurre.
Inténtalo con cuatro números, contando el número de ceros, unos, doses y treses.

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3. CELDAS NUMÉRICAS
En esta fila de celdas se comienza con 3 y 4:
Luego se suman 3 y 4 y dan 7, luego 4 y 7 y dan 11…
Pero si te dan solo el primer número y el último…
¿Cuáles son los otros números?
Para diferentes valores del primer número y del último, investiga formas de calcular los
números que faltan.
Amplía tu trabajo a otras longitudes de celdas.
4. DIVIDIENDO EL TABLERO
Aquí tienes dos formas de cortar un tablero 4x4 en dos partes iguales.
¿De qué otras formas puedes hacerlo?
Investiga con tableros de otros tamaños.

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5. TIRAS DE CUADRADOS
Se hacen tiras de cuadrados y se pintan en dos colores. Decimos que dos tiras son
equivalentes si se pueden reflejar o girar de forma que una coincida con la otra:
¿Cuántas tiras diferentes se pueden hacer con 5 cuadrados?
Investiga lo que ocurriría para tiras formadas con un número diferente de cuadrados.
¿Y si cambiamos el número de colores o formamos anillos de cuadrados?
6. FECHAS CAPICUAS
El 19 de noviembre de 1991 es una fecha capicúa: 19-11-91 (se lee igual hacia atrás
que hacia adelante).
¿Cuál será la siguiente fecha capicúa?
¿Qué años producen el máximo de fechas capicúas?
¿Qué años no producen ninguno?
Nota: Observar las diferencias entre 01 ó 1 para los meses y días.

Sigma nº 10, 1991 4
9. CASTILLO DE CARTAS
10. LA ESCALADA
Es un juego para dos personas.
Se coloca una ficha en el punto marcado como «salida» y, por
turnos, los jugadores van desplazando hacia arriba la ficha según las
siguientes reglas:
En carda turno sólo se puede mover la ficha a un punto adyacente
más alto que la posición que ocupe en ese momento.
Por lo tanto, cada movimiento sólo se puede realizar en una de
estas tres posiciones:
El primer jugador que coloque la ficha en el punto señalado como
«meta» gana.
(i) Este diagrama muestra el principio de una partida, jugada entre
Sara y Pablo. Los movimientos de Sara vienen marcados por una
flecha continúa.
Los de Pablo por una flecha punteada. Es el turno de Sara.
Tiene dos movimientos posibles. Uno de ellos le asegura a Sara
la victoria, pero el otro se la puede asegurar a Pablo. ¿Cuál?
(ii) Si el juego comienza desde el principio y Sara mueve la primera,
puede con-seguir ganar siempre si juega correctamente.
Explica cómo debería jugar Sara para estar segura de ganar.

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11. LA TORRE
(I) ¿Cuántos cubos son necesarios para construir esta torre?
(II) ¿Cuántos cubos son necesarios para construir otra torre como ésta pero 12 cubos
más alta?
(III) Explica cómo has trabajado para responder al apartado II.
(IV) ¿Cómo calcularías el número de cubos necesarios para una torre de altura n?
12. LLEGARA 100
Es un juego para dos jugadores.
Los jugadores eligen por turnos un número entero entre 1 y 10, y lo suman a los
números elegidos anteriormente.
El primer jugador que consigue sumar exactamente 100 es el ganador. Ejemplo:
Primer jugador Segundo jugador Suma total
10
8
2
9
8
9
4
5
8
9
9
9
10
10
15
23
31
33
42
51
60
68
77
86
96
100
¡Gana el primer jugador!
Juega unas cuantas partidas con tu compañero. ¿Puedes hallar alguna estrategia ganadora?

Sigma nº 10, 1991 6
• Modifica el juego de alguna manera, por ejemplo:
— suponer que el primero en llegar a 100 pierde (y no vale pasarse).
— suponer que sólo se pueden elegir números entre 5 y 10.
13. EL JUEGO DE LA ESPIRAL
Es un juego para dos jugadores. Se coloca una ficha en el punto marcado « ».
Por turnos, se mueve la ficha entre 1 y 6 puntos a lo largo de la espiral, siempre hacia
dentro. El primer jugador que llega al punto marcado « » gana de partida.
Intenta hallar una estrategia ganadora.
Cambia de alguna forma las reglas para mover la ficha e investiga las estrategias
ganadoras.
14. LOS BORDES DEL ESTANQUE
Pepe trabaja en una empresa especializada que vende estanques cuadrados y grandes
losetas para rodearlos. Las losetas tiene forma de cuadrado de un metro de lado.
Los clientes le dicen a Pepe las dimensiones del estanque, y él tiene que calcular
cuántas losetas necesitan.

Sigma nº 10, 1991 7
¿Cuántas losetas hacen falta para rodear un gran estanque de 115 metros
por 115 metros?
Busca una regla para calcular el número correcto de losetas para
cualquier estanque cuadrado.
Supón ahora que la empresa decide comercializar estanques
rectangulares. Busca una nueva regla.
Algunos clientes quieren adquirir losetas para rodear estanques
irregulares como el siguiente:
(Este estanque necesita 18 losetas. Compruébalo). Intenta hallar
una regla para calcular el número de losetas necesarias cuanto te
dan las dimensiones globales (en este caso 3 m por 4 m).
Explica por qué funciona tu regla.
15. TRIÁNGULOS
¿Cuántos triángulos isósceles distintos pueden dibujarse en una trama 4x4 (Los
vértices deben estar sobre puntos de la trama).
16. SOLAPAMIENTO DE CUADRADOS
Un cuadrado tiene uno de sus vértices en el centro de otro cuadrado del mismo lado
que el anterior. ¿Qué área hay encerrada en la intersección de ambos?
Una modificación: Plantéate el mismo problema en el caso de que los lados de los dos
cuadrados no sean iguales.

Sigma nº 10, 1991 8
17. JAIMITO GENEROSO
Jaimito sale con un montón de cromos y vuelve sin ninguno. Su madre le pregunta qué
ha hecho con los cromos.
— A cada amigo con que me encontré le di la mitad de los cromos que llevaba más
uno.
— ¿Con cuántos amigos te encontraste?
— Con seis.
¿Con cuántos cromos salió Jaimito?
18. SUMAR 15
Nueve fichas marcadas del 1 al 9 se ponen sobre la mesa. Juegan dos jugadores. Cada
uno coge una ficha por turnos. Gana el que primero sume 15 con 3 fichas.
19. MUCHOS CEROS
¿En cuántos ceros termina el número 100! = 100 x 99 x 98 x 97 x ...3x2x1?
20. CAZA CARTESIANA
Es un juego para los jugadores A y B En un tablero 8x8 se coloca una ficha en la
esquina inferior izquierda. Juega A y debe mover la ficha un cuadrado hacia arriba, hacia la
derecha o en la dirección de la diagonal NE. Juega B y, del mismo modo, debe mover la
ficha, desde la posición que ahora ocupa, un cuadro hacia el N, E, o bien NE. Juega A... Gana
quien coloque la ficha en la esquina superior derecho. ¿Puedes encontrar una estrategia para
alguno de los jugadores?
21. ESTACIONES NUEVAS
En cada estación de una red ferroviaria se venden tantos billetes distintos como
estaciones a las que puede ir desde una estación determinada o estaciones desde las que se
va a ella (el billete de A o B es distintos del de B a A). Se inaugura una nueva línea con
varias estaciones y eso obliga a imprimir 34 nuevos billetes distintos. ¿Cuántas estaciones
había y cuántas nuevas se han inaugurado?

Sigma nº 10, 1991 9
22. CAMINANDO JUNTOS
Un hombre y una mujer pasean juntos. El hombre da dos pasos al tiempo que la mujer
da tres. En un cierto instante ambos pisan con el pie derecho. ¿Al cabo de cuántos pasos del
hombre pisan por primera vez ambos al tiempo con el pie izquierdo?
23. LOS MARIDOS CELOSOS
Un grupo de matrimonios que deben cruzar el río utilizando una barca con capacidad
para dos personas... pero los maridos son celosos, y ninguno está dispuesto a que en ningún
momento quede su mujer en compañía de otros hombres si él no está presente.
Resuelva usted el problema para dos y tres parejas, pero no se moleste para cuatro:
hace tiempo que se ha mostrado que es insoluble. Pero puede todavía resolverse en este
caso con la introducción de alguna pequeña variante. Pruebe con cada una de estas dos:
a) Suponiendo que hay una isla en medio del río.
b) Suponiendo que en la barca caben tres personas.
Si le gusta el tema, puede seguir introduciendo variantes: aumente el número de
parejas, suponga que hay varios maridos polígamos, considere que las esposas no pueden
remar... la variedad es infinita, y, que se sepa, ni las computadoras de la última generación
han conseguido hallar la solución en el caso más general.
24. MODELOS
¿Cuál es el número mínimo de cubos necesarios hacer esto?
25. Se inscribe un cuadrado en un semicírculo. Calcula la relación entre a y b.

Sigma nº 10, 1991 10
26.
153=13
+53
+33
Halla otros números de tres cifras que verifiquen esta ley.
27.
Sea A un conjunto de seis enteros positivos menores que 15. Mostrar que las sumas de
los elementos de todos los subconjuntos de A no pueden ser distintas.
28.
Dado el cuadrado de lado unidad. Muéstrese que si se seleccionan cinco puntos de su
interior, debe haber al menos dos puntos que disten menos de
29.
Una cabra está atada mediante una cuerda de 9 metros en el vértice de una tapia de
6x4 metros. ¿Qué superficie máxima puede pastar?
2
1

Sigma nº 10, 1991 11
30. ENCONTRAR NUMEROS
Se trata de encontrar un número de cuatro cifras. Se han realizado varios intentos por
adivinarlo. Si coincide la cifra y su posición recibe una calificación de B, si coincide la cifra
pero no su posición su calificación es R.
Las calificaciones proporcionan pistas suficientes para deducir el número oculto:
Descubre el número oculto en los dos casos:
a) b)
8476 R 2687
1247 RRR 1496 RR
5891 BB 9239 B
4674 R 2861 B
3582 RR ? BBBB
? BBBB
31.
Las letras dentro de cada círculo representan a los números del 1 al 9.
Se sabe que:
a) C2
= 1
b) DxF=E
c) A, E, 1 son números consecutivos
d) la suma de la columna izquierda (A, D, G) es mayor que la de cualquier otra
columna o hilera.
¿Qué número representa cada letra?

Sigma nº 10, 1991 12
32.
Dos amigos compran una tinaja de vino de 8 litros, quieren repartirla a partes iguales,
pero sólo disponer de dos recipientes de 5 litros y 3 litros respectivamente. ¿Cómo lo
consiguen?
33.
¿Cuántos cuadrados y cuantos rectángulos hay en una red como esta que aparece en
la figura?
34. ¿Cuántos triángulos hay en la red inferior? ¿Cuántos tendrán un vértice hacia arriba?
¿Cuántos tendrán un vértice hacia abajo?
35.
Toma un número de cuatro cifras, ordena sus dígitos de mayor a menor y luego de
menor a mayor y luego resta los dos números obtenidos.
Ejemplo 5217
7521 — 1257 = 6264
Continúa el proceso igual que en el caso anterior
6642 — 2466 = 4176
Continúa
7641 — 1467 = 6174
Continúa
7641 — 1471 = 6174
Hemos caído en un número compuesto por las cifras 7, 6, 4 y 1. ¿Será cierto para todos
los números de 4 cifras? ¿Por qué?

Sigma nº 10, 1991 13
36.
Toma un número de tres cifras, con todas sus cifras desiguales, por ejemplo, 523. Dale
la vuelta, 325. Resta el menor del mayor 523—325 = 198. Ahora invierte el número, 891 y
suma los dos últimos números obtenidos 198+891 = 1089.
Haz lo mismo con otros números de tres cifras. ¿Qué observas? ¿Puedes justificar el
resultado?
Estudia números de 4 cifras.
37. Dado un segmento A B se trata de
duplicar el segmento pero utilizando solamente un compás (hay que hallar el punto inicial y
final del nuevo segmento).
38. De un cuadrilátero convexo. Se conocen tres de sus ángulos: 140°, 130° y 30°. ¿Puede
inscribirse este cuadrilátero en una circunferencia?
39.
Aquí aparece el plano de un solar.
Un gato quiere llegar a la posición de salida.
¿Cuántos caminos diferentes tiene? Se supone que no puede pasar dos veces por el
mismo sitio.

Sigma nº 10, 1991 14
Encuentra ahora la solución para los siguientes solares.

Sigma nº 10, 1991 15
40. CAMINOS Y MININOS
Para ir de la posición 1 a la 6 hay varios caminos.
i) 1-2-3-4-6 (suma 16 = 1+2+3+4+6)
ii) 1-2-3-4-5-6 (suma 17)
iii)1-4-3-5-6 (suma 19)
iv)1-4-6 (suma 11)
La suma menor es 11 y la mayor 19.
Obtener a y b para que el mínimo de las sumas sea 20 y el máximo 33.
(a y b se consideran positivos)
41.
Dos personas mondaron 400 naranjas. Una de ellas mondaba 3 naranjas por minuto y
la otra 2. La segunda trabajó 25 minutos más que la primera.
¿Cuánto tiempo trabajó cada una?

Sigma nº 10, 1991 16
42. EL ATASCO
En un pequeño aparcamiento los coches están aparcados como si fuesen sardinas en
una lata, tan apretados están que la única maniobra posible es dar marcha atrás y adelante.
El coche del jefe del aparcamiento está señalado con el número 1. ¿Qué maniobras
tiene que realizar para salir? ¿Cuántos coches se tienen que desplazar de su lugar?
Para resolver este problema puedes ayudarte de unas cuantas fichas de dominó, cada
una simulando un coche.

Sigma nº 10, 1991 17
43. EL CUBO
Aquí tenemos un cubo, al que vamos a cortar por un plano que pasa por los puntos A,
B y C, la sección que nos queda es un triángulo equilátero (ver figura).
Si el plano pasa por los puntos señalados ¿qué figura nos resulta?

Sigma nº 10, 1991 18
44. EL MENÚ
Un restaurante decide un día proponer una carta para que los clientes escojan su
menú. Así se puede escoger del primer plato de entre 4 posibilidades (ensalada, alubias,
arroz y patatas) para segundo plato son 5 las posibilidades...
Un cliente, que come todos los días del año en el restaurante, decide hacerse un menú
diferente cada día. ¿Hasta cuando podrá llegar con su objetivo?
EJEMPLOS
1.
er
Día ............................Ensalada, cordero, guisantes y flan
2.° Día ............................Ensalada, pollo, guisantes y flan
3.er
Día ............................Ensalada, Ternera, guisantes y flan
MARCA TU UNA ESTRATEGIA PARA HACER TU MENU, ¿qué día comerás arroz,
sardinas, coliflor y helado?

Sigma nº 10, 1991 19
Este cuadrado rellenado de números se
le llama CUADRADO MAGICO.
Su disposición es notable.
La suma de los números en una misma
fila, columna o diagonal es la misma.
2+7+6 = 15 (suma de los números de la 1.a
fila)
fila)
2+5+8 = 15 (suma de los números de una diagonal)
columna)
AL NUMERO 15 se le llama CARACTERISTICA DEL C. MAGICO
Problema. Construir C. MAGICOS de característica 24, 375 y -120 (considera cuadrados de
3X3)
Analiza cuadrados tales que el producto de los números de una misa fila o columna o
diagonal sea el mismo y construye algunos de ellos.
46.
Se tienen 12 bolas de billar numeradas respectivamente del 1 al 12. Una de ellas, no se
sabe cual, pesa diferente a las otras, a simple vista no se observa el defecto o exceso de
peso. ¿Cómo podríamos determinar con sólo tres pesadas en una balanza de brazos iguales
cuál es la defectuosa y, si es más pesada o ligera que las otras?

Sigma nº 10, 1991 20
Así la primera fila contiene a 26; 66; 106 (Progresión arti. de razón 40), la segunda
columna 66; 58; 50; de razón -8, ...
Problema:
¿Será posible rellenar los espacios vacíos en el cuadrado 4x4 de manera que sea aritmético?
48.
Calcular el ÁNGULO marcado en cada uno de los casos.

Sigma nº 10, 1991 21
49. ESCRIBE UN NÚMERO
Realiza las siguientes operaciones, una a continuación de la otra:
1.a
Escribe un número de dos cifras
2.a
Multiplícalo por 2
3.a
Suma al resultado el número que has escrito en primer lugar 4.a
Añade seis
unidades
5.a
Divide entre 3
6.a
Resta al cociente el número de pensaste
7.a
Multiplica el resultado por 25
8.a
Dobla el resultado obtenido.
Si has hecho bien las operaciones, habrás obtenido como resultado el número 100.
Justifica la respuesta.
50. EL NIM
Es un juego muy antiguo, consta de 12 piedras distribuidas en tres montones de 3, 4 y
5 piedras por montón.
Hay dos jugadores y el objetivo del juego consiste en retirar la última piedra. Hay unas
reglas:
1.a
Se juega de forma alternativa.
2.a
Cada jugador, toma una o más o piedras, pero de un solo montón.
Encuentra una estrategia ganadora, varía el número total de piedras y su distribución.
51. ¿CUALES ERAN LOS NUMEROS?
El resultado de dividir dos números de dos cifras en una calculadora ha sido
0, 9310344
¿Cuáles eran esos dos números?
52. JUEGA CON TU CALCULADORA
a) 357.627 es el producto de tres números impares consecutivos. Halla dichos números.
b) 15.252 es el producto de dos números consecutivos. ¿Cuáles?
c) 206.725 es la suma de dos cuadrados perfectos consecutivos. ¿Cuáles son esos
cuadrados?
d) Un cubo tiene un volumen de 600 cm3
. Calcula la longitud de su arista con toda la
exactitud que permita tu calculadora de cuatro operaciones.

Sigma nº 10, 1991 22
53.
Dos amigos tienen la costumbre de subir andando por la escalera mecánica del Metro
mientras funciona. El primero de los amigos sube 20 escaleras con su paso y tarda 60
segundos exactamente y el segundo tarda en subir 16 escalones con su paso, 72 segundos.
Si un día la escalera no funciona. ¿Cuántos escalones tendría que subir?
54.
¿Puede terminar el cuadrado de un número entero por tres cifras idénticas distintas de
0?
55.
Dos modistas deben hacer un vestido. Trabajando solas la primera de ellas tarda 8 días
en hacer el vestido y la segunda tarda 13 días. ¿Cuánto tiempo necesitarán trabajando
juntas?
56. EN EL CIRCO
Fui el otro día al circo con intención de ver a los elefantes. Pero había muy pocos; sólo
había siete octavos de los elefantes más siete octavos de elefante. Ese era el número total.
¿Cuántos elefantes había?
56. PRIMOS CURIOSOS
En la sucesión de números primos hay muchos que son casi seguidos: 11 y 13; 17 y
19; 29 y 31...
Demostrar que el número comprendido entre esos primos especiales es siempre un
múltiplo de 6 (exceptuando la pareja 3 y 5).
58. PROBLEMA DE GUARINI
Se trataba de intercambiar las posiciones de los caballos blancos y negros en el mínimo
número de movimientos, considerando que de forma/ alternativa se mueve un caballo negro
y uno blanco.

Sigma nº 10, 1991 23
59.
Cada una de estas tres figuras se puede recortar, doblar y pegar para construir dados.
En cada una de ellas faltan tres números. Numéralos de manera que se cumpla la condición
de que los números correspondientes a dos caras opuestas de cada uno de los dados
siempre sumen siete.
60. EL CUBO SOMA
El CUBO SOMA es un puzzle matemático formado por siete piezas que reunidas dan
lugar a un cubo de 3 x 3 x 3 cubitos (27 cubitos en total).
Forma las piezas pegando pequeños cubitos de madera o de plástico e intenta
construir con ellas el cubo SOMA (hay muchas formas diferentes de hacerlo).
Busca algún método (dibujo, código, etc.) que te permita recordar las soluciones que
obtengas.

Sigma nº 10, 1991 24
61. NOMBRES EN EL CUBO
Las figuras que aparecen abajo son desarrollos planos de un cubo. Escribe el resto de
las letras para que al montar el cubo se puede leer la palabra PEPE.
62. EL PROBLEMA DE TARTAGLIA
Se trata de dividir el contenido de una jarra de 24 litros en tres partes iguales,
utilizando solamente la jarra original y otras de 5, 11 y 13 litros, respectivamente.
Este problema fue propuesta por el ilustre matemático Tartaglia (1500-1557) en el
tratado «Questi et invenzioni diverse».
63. CRUCES EN EL CANAL
Hay un pequeño canal por el que pasa solamente un navío a lo ancho, pero existe en
el mismo un pequeño desvío en el cual se puede estacionar un solo navío.
Un día se encuentran en el canal dos flotillas de tres barcos cada una. ¿Podrán
continuar las dos flotillas su camino? ¿Cómo?

Sigma nº 10, 1991 25
64.
Calcula la suma:
65.
Tenemos una mesa de billar rectangular, de dimensiones 3x5. Una bola es golpeada
desde una de las esquinas con un ángulo de 45°. ¿Cuántas veces rebotará en las bandas
antes de entrar por el agujero situado en la esquina D?
66.
Un fabricante ansiaba diseñar un bloque de cemento que tuviera la propiedad de que
al cortarlo por la mitad por el plano de simetría que divide en dos a los lados mayores. Las
mitades resultantes tuvieran exactamente las mismas proporciones que el bloque de partida.
El fabricante necesita que el menor de los dos del bloque mida 10 cm. ¿Qué
dimensiones han de tener los otros lados?

Sigma nº 10, 1991 26
67.
Una caja cuadrada, se traslada haciéndola girar en torno a sus aristas laterales.
Dibuja el camino que seguirá:
1. El vértice A de la caja
2. El punto medio de una arista lateral B
3. El centro de una de las caras que no se apoya nunca en el suelo.
68.
Con todos los ases, sotas, caballos y reyes de una baraja (16 cartas) construye un
cuadrado 4x4 de forma que:
a) En cada fila y columna sólo haya una carta de cada figura.
b) Amplía la misma condición a las diagonales.
c) Cada fila, cada columna y cada diagonal contenga una carta de cada palo y una
de cada figura.
69.
Este dibujo representa el plano de un piso de seis habitaciones entre las que se
distribuyen una nevera, un piano, una cama una mesa y una biblioteca.
Las habitaciones son tan pequeñas que en cada una de ellas cabe sólo un mueble.
El inquilino quiere permutar entre sí el piano y la biblioteca con el menor número de
cambios posibles. ¿Cómo lo hará?

Sigma nº 10, 1991 27
70.
1. ¿Qué ángulo forman las manecillas del reloj a las 3.12 h?
2. En cada hora, la manecilla del minutero coincide con la del horario en algún punto de
la esfera del reloj. Sabiendo que las manecillas coinciden y que la hora es entre las 7
y las 8, ¿qué hora es?
71.
Supongamos un reloj que tenga las saetas en las 12. Si en esta posición el minutero y
el horario cambiaran de función, la hora marcada sería la misma; pero esto no ocurre
siempre. ¿Cuándo y cada cuánto tiempo ocupan las manecillas de un reloj tal posición en la
cual al cambiar éstas de función entre sí se producen nuevas situaciones posibles en un reloj
normal?
72.
¿En cuántas posiciones pueden coincidir el horario y el minutero de un reloj que
marche normalmente?
73.
Una cuadrilla de segadores debía segar dos prados, uno de doble superficie que el
otro. Durante medio día trabajó todo el personal en el prado grande; después de la comida,
la mitad de la gente quedó en el prado grande y la otra mitad trabajó en el pequeño.
Durante esa tarde se terminaron los dos campos, a excepción de un reducido sector del
prado pequeño, cuya siega ocupó el día siguiente completo a un solo segador. ¿Cuántos
segadores componían la cuadrilla?

Sigma nº 10, 1991 28
74. LA PIRAMIDE TRUNCADA
Considerar una pirámide recta truncada de base cuadrada. Llamamos «sección media»
a la intersección de la pirámide truncada con un plano paralelo a la base (las dos bases) y a
la misma distancia de ellas. Llamamos «rectángulo intermedio» al rectángulo que tiene un
lado igual a la base mayor y el otro lado igual a un lado de la base menor.
Se quiere investigar la siguiente situación: calcular el volumen de la pirámide truncada,
para lo cual se dice que el volumen es igual a la altura multiplicada por una cierta área.
El área buscada se supone que es una de las cuatro posibilidades siguientes:
(1) La sección media
(2) La media de la base mayor y menor
(3) La media de la base mayor, menor y de la secc. Media
(4) La media de la base mayor, de la menor y del rectángulo intermedio.
Si suponemos que «H» es la altura de la pirámide, a el lado mayor y b el lado menor.
Expresar cada una de las cuatro propuestas anteriores con notación matemática, decidir si es
correcta o errónea y probar la respuesta.
75. UNA DE PRIMOS
Supongamos que P es cualquier número primo mayor que 3. De-muestra que P2
da de
resto 1 cuando se divide por 12.
76. EL JUEGO
Aitor ha jugado dos veces en un bar con una máquina tragaperras. En la primera
partida ha perdido 15 monedas de cinco duros y en segunda ha ganado 38 monedas de
cinco duros. Al final cuenta su dinero y tiene 800 ptas.
¿Cuánto tenía al entrar en el bar?
77. LA FERIA
Camino de la feria un casero se encuentra con un hombre acompañado de siete
mujeres, cada mujer tiene 7 sacos y en cada sacos hay 7 gatos, cada uno de los cuales tiene
7 cascabeles. Entre mujeres, sacos, gatos, y cascabeles. ¿Cuántos van a la feria?
78. EL TREN
Un tren de 1 km de longitud atraviesa un túnel de 1 km de largo a una velocidad de 60
km/h. ¿Cuánto tiempo necesitará el tren para cruzarle totalmente?

Sigma nº 10, 1991 29
79.
Se trata de encontrar los dígitos que corresponden a dichas sumas. Cada letra tiene un
valor distinto.
80.
Con 5 cubos de igual tamaño. ¿Cuántas configuraciones distintas se pueden hacer?
Sólo pueden juntarse por las caras entre sí.
81.
Utilizando dos colores. ¿De cuántas formas se puede colorear la siguiente figura?
¿Y tres colores? ¿Y si la red es de 3x3, con dos colores? ¿Y de nxn?
82.
Un museo tiene tres salas, que se muestran en la figura. En cada una de ellas hay un
vigilante (situado en la garita). ¿Le puedes ayudar al vigilante a según un camino, desde su
garita, que le permita recorrer todos los pasillos sin pasar dos veces por un mismo pasillo y
volver hasta la garita?

Sigma nº 10, 1991 30

Sigma nº 10, 1991 31
87. CUADRADOS PERFECTOS
Observa:
16= 4²
1156=34²
111556=334²
11115556=3334²
¿Cómo sigue la secuencia? Por qué?
88. LOS HUEVOS DE GALLINA Y DE PATA
El huevero tiene ante sí seis cestas con huevos. Algunas son de gallina y otras de pata.
En las cestas hay 6, 12, 14, 15, 23 y 29 huevos, respectivamente.
El huevero dice: Si vendo esta cesta me quedarán doble de huevos de gallina que de
pata. ¿De qué cesta está hablando?
89. UNA PIRAMIDE DE BALAS DE CAÑON
En la época en que los cañones lanzaban bolas, éstas eran alma-cenadas en parques
de artillería en forma de pirámide de base cuadrada; cada lado del cuadrado de la base
contaba con 15 bolas.
¿Cuál era el número de balas por pirámide?
90. LAS CARAVANAS
Dos Caravanas se ponen en marcha en el mismo momento. Una va de Palmira a Petra
y la otra al revés. Cuando se cruzaron las Palmirenses recorrieron 1/5 más que los de Petra
de la distancia que hay entre las dos ciudades.
A partir de ese punto de encuentro los palmirenses tardan 8 días en llegar a Petra.
¿Cuántos días tardan unos más que los otros para llegar a su destino?
91. LA RAIZ CUBICA
Se trata de calcular la ³ 1536 (raíz cúbica de 1536) utilizando una calculadora
elemental y haciendo uso de la tecla correspondiente a la raíz de cuadrada.

Sigma nº 10, 1991 32
92. DISCOS
Aquí tienes dos discos circulares. En la cara superior de cada uno de ellos hay escrito
un número. En la otra cara tiene escrito otro número. Si lanzamos los dos discos al aire y
sumamos los dos números que salen, podemos obtener estos resultados: 11, 12, 16, 17.
Investiga qué números están escritos en la cara oculta de cada disco.
Prueba ahora con estos tres discos sabiendo que los resultados que se obtienen son:
15, 16, 17, 19, 20, 21, 22, 23.
93. PLEGANDO PAPEL
Pliega una hoja de papel de izquierda a derecha, luego de abajo arriba; repite la
operación... siguiendo siempre el mismo orden. Abre el papel y observa las marcas de los
pliegues: unas «hacia arriba» y otras «hacia abajo».
Intenta hallar alguna pauta que te permita predecir el número de pliegues hacia arriba
y hacia abajo que aparecerán si seguimos doblando el papel.

Sigma nº 10, 1991 33
94. VIGILANCIA
Imagina una ciudad cuyas calles forman una red cuadrada, en la que cada manzana
tiene una longitud de 100 metros. Supón que un guardia colocado en una esquina puede ver
a un sospechoso a 100 metros; por lo tanto, puede vigilar un máximo de 400 metros de calle
así:
Si tenemos un bloque de casas, con cuatro esquinas, necesitamos dos guardias:
Para dos bloques alineados necesitaremos 3 guardias:
¿Cuántos guardias son necesarios para 3 bloques? ¿Y para 4 bloques? ¿Para 5
bloques?
¿Y si los bloques se colocan formando cuadrados?
¿Y si forman rectángulos?
Investiga otras posibilidades e intenta obtener algunas reglas.
95. ARITMOGONOS
En un aritmógono, el número que está en un cuadrado es la suma de los que están a
cada lado en los círculos. Por ejemplo:

Sigma nº 10, 1991 34
96. EL JUEGO AUDAZ
Tengo 1 millón de pesetas y necesito urgentemente 5 millones. Puedo conseguirlos
jugando a doble o nada.
He decidido por una estrategia audaz: en cada jugada apuesto una cantidad de dinero
que me acerque lo más posible a mi meta.
Esto quiere decir que si en un momento del juego tengo uno o dos millones, lo apuesto
todo. Pero si tengo 3 ó 4 millones sólo apuesto lo que necesito para llegar a los 5 millones.
Esto se puede representar así:
¿Qué probabilidad tengo de ganar?
97. ¿CUANTOS CUBOS?
¿Cuántos cubos componen cada figura?
¿Se pueden formar con más cubos? ¿Y con menos?
¿Cuál es el número máximo de cubos que puede haber en cada uno? ¿Y el número
mínimo?

Sigma nº 10, 1991 35
98. SERIES
¿Cuál será el siguiente elemento?
99. EDIFICIOS
El edificio A y el edificio B tienen el mismo número de pisos. El edificio A tiene 3 pisos
más que el edificio C. El edificio C tiene 5 pisos menos que el edificio D. ¿Cuál es la diferencia
en el número de pisos entre los edificios B y D?
100. UNOS
Calcula los siguientes productos y continúa, mientras pueda, la siguiente secuencia,
imaginando primero el resultado y comprobando después con la calculadora:
1 x=1
11 x11=121
111 x111=12321

Soluciones
Sigma nº 10, 1991 1
SOLUCIONES
SANTIAGO FERNANDEZ
FELIX ALAYO
AMAIA BASARRATE
FERNANDO FOUZ
1. Pesan 65, 64, 60, 58 y 56 libras.
Si observamos tiene que haber 10 pesadas y además cada una de las niñas se ha
pesado exactamente 4 veces, por tanto el peso de las cinco niñas es:
(129+125+124+123+122+121+120+118+116+114):4 = 303
Además las dos más ligeras pesan 114 y las dos más pesadas pesan 129. Luego la
mediana pesa 303 – (129+114) = 60. Con un poco de cuidado y organización podemos
llegar a la solución.
2. Experimente y saque pautas.
3. Mediante una adecuada codificación llegará al resultado.
4. Es un problema de investigación. Experimente, juegue con la simetría del problema. Si
quiere una información amplia, véase el artículo «La mitad de un cuadrado» de D. José
Antonio Mora. Publicado en Revista SUMA (n.° 8).
5. Haga un recuento con organización. -El problema más general es claramente una
investigación.
Con cinco cuadrados hay 20 tiras diferentes.
6. Organización, Recuento. Antes de resolver el problema debe llegarse a un acuerdo sobre
la notación que se va a emplear para los días y los meses. Si suponemos que siempre se
escribirán con dos cifras, la siguiente fecha capicúa será el 29-11-92. Si se pueden escribir
con una cifra, la próxima fecha capicúa sería el 29-1-92. Aceptando que se pueden escribir
con una sola cifra, el máximo número de fechas capicúas se producirán en los años
terminados en 1 ó 2 (10 fechas capicúas). Por el contrario los años terminados en 0-4-5-6-7-
8-9 no tienen ningún día capicúa.

Soluciones
Sigma nº 10, 1991 2
7. Intente algunos casos sencillos, busque un diagrama adecuado, organízate, ..., se
sistemático, generaliza.
Si A es el número de puntos y L el número de líneas totales se verifica que:
8. Cuenta azulejos blancos por una parte y luego los negros por otra. Así te darás cuenta de
una regla sencilla. Para 149 azulejos se tiene
Número de azulejos, Blancos = 74²
Número de azulejos, Negros = 75²
Número total de azulejos = 11.101
9. Intenta casos sencillos, busca un diagrama adecuado, organízate, se sistemático.
Si C = N.°S
de cartas necesarias N = N.°s
de pisos
Se verifica que
Para 10 pisos, hacen falta 155 cartas y para 62 pisos necesitaríamos 5.797 cartas.
10. Es claramente un problema de estrategias, para resolver bien el problema uno de los
caminos más prometedores es analizar qué puntos son ganadores (si estoy en ellos gano el
juego, haga lo que haga mi contrario) y qué puntos son perdedores. Para ello es conveniente
comenzar hacia atrás (desde la Meta a la Salida).
11. Respuestas
I) 66 IV) Número de Cubos = n (2n—1)
12. Es un problema de marcha atrás, pues para ganar hay que decir 100 pero si se dice 89
nos aseguramos el 100 y para asegurarnos el 89 tenemos que decir 78... la secuencia
ganadora será por tanto:
1, 12, 23, 34, 45, 56, 67, 78, 89 y 100.
Por tanto, si el primer jugador elige 1, al margen de lo que escoja el segundo jugador
siempre puede ganar introduciéndose en la secuencia ganadora. Es un Problema equivalente
al siguiente. Son problemas análogos.

Soluciones
Sigma nº 10, 1991 3
13. Véase problema anterior, numerando adecuadamente los puntos se ve rápidamente
que son problemas de estrategias análogos.
14. Para un estanque de 115 losetas de lado (115x115) el número de losetas es de 464
(115x4 + 4).
Para un estanque de mxn hacen falta 2m+2n+4 losetas.
16. Siempre el área es la cuarta parte del cuadrado.
17. El número es 126 cromos.
Al encontrarse con el último amigo. Jaimito llevaba x6 cromos y después se quedó con 0.
18. Para resolver este problema resulta ventajoso conocer el de la construcción de un
cuadrado mágico de orden 3 (disponer los nueve primeros números en una red de 3x3 de
manera que cada fila, columna o diagonal sumen lo mismo). Analizando este problema
podemos ver rápidamente que la suma constante es igual a 15. ¿De que nos sirve esto? Pues
verás fácilmente que al jugar con los números así dispuesto sobre el tablero, el juego
propuesto es... ¡jugar al tres en raya! Que como sabrás jugando bien no hay nunca
vencedor.
19. El número de ceros totales vendrá de contar el número de veces que se puede dividir
por 10. Lo que es lo mismo el número de veces que se puede dividir por 2x5, pero como
doses hay muchos solamente me interesa contar los cincos. El cinco aparece en 5, 10, 15,
20, 25 (dos veces), ..., 45, 50 (dos veces), ..., 100 (dos veces). Total hay 24 ceros.

Soluciones
Sigma nº 10, 1991 4
20. Es interesante jugar con tableros más pequeños, por ejemplo, es claro que un tablero
2x2 está fácil ver que gana el primero que juegue. En un tablero 3x3 la disposición sería:
mientras que en 8x8 la disposición es:
G significa posiciones ganadoras y P, perdedoras.
21. Si llamamos A número de estaciones iniciales y N el número de las nuevas estaciones
se cumple:
(A+N) (A+N–1) A • (A–1) = 34
de donde
N • (2A+N–1) = 34 -
De donde, o bien N = 1 y A = 17
o bien N = 2 y E = 8
Como el problema dice que se han inaugurado varias estaciones. Había 8 estaciones y
se han inaugurado dos.

Soluciones
Sigma nº 10, 1991 5
22. Después de hacer una pequeña simulación, con un adecuado esquema se ve que al
cabo de 12 segundos están en la situación de partida y no han puesto el pie izquierdo nunca
al mismo tiempo en el suelo. Por tanto, queda claro que nunca lo van a poner.
23. Es un problema de cambio de estados, análogo al del pastor, col, ... Experimenta un
poquito y seguro que llegas a la solución.
24. Si te has ocupado en serio con éste problema habrás observado que es una situación
altamente interesante y nada fácil de resolver.
Parece que la mejor solución es:
25. Utilizando el teorema de la altura, tenemos que:

Soluciones
Sigma nº 10, 1991 6
26. Otros números que también cumplen esa propiedad son: 370 ; 371 y 407
27. Cualquier subconjunto no vacío de A tiene como suma de todos sus elementos un valor
que llamaremos Sc, donde C es un subconjunto de A. Además se verifica que
1 S 9+10+11+12+13+14 = 69
Pero el número de subconjuntos posibles es 26
—1 = 63.
Aplicando el principio del palomar, tenemos 63 nidos y 69 posibles palomas, por tanto,
en algún nido hay más de una paloma lo que demuestra el problema.
28. Si dividimos el cuadrado de lado unidad en cuatro cuadrados iguales, tal como muestra
la figura, al repartir los 5 puntos, necesariamente uno de los pequeños cuadrados contendrá
al menor dos puntos (estamos aplicando el principio del palomar).
Y como la distancia máxima en este cuadrado viene dada por la longitud de la
diagonal, se tiene:
Esto demuestra nuestro problema.

Soluciones
Sigma nº 10, 1991 7

Soluciones
Sigma nº 10, 1991 8
30. Solución al a) 5721 El 1247 tiene 3 de las 4 cifras buscadas.
El 3582 (RR) confirma al 2 e indica que la cuarta buscada en un 3, un 5 o un 8.
El 4674 confirma el 7 y elimina al 4 (ya que de no ser así, tendría dos marcas).
Las cifras son pues: 1-2-7 y (3,5 u 8).
El 5891 confirma al 1 en la posición de las unidades y al 5 en la posición de los
millares, dejando dos posibilidades: 5271 ó 5721.
El 8476 confirma que el 7 no ocupa la posición de las decenas (por tener calificación
de R), dejando sólo una posibilidad: 5721.
Solución del b) 4531
El 2687 (sin calificación) indica que el número buscado ésta entre 1, 3, 4, 5 y 9.
El 2861 indica que el 1 ocupa el lugar de las unidades.
El 1496 marca una R para el 1 y ya que no existe el 6, la otra R debe ser un 9 ó un 4.
Los otros números son pues un 3 y un 5. Es decir, 3, 5 y 4 ó 3, 5 y 9.
El 9239 obviamente marca B para el 3 en la posición de las decenas, eliminando el 9
(de lo contrario habría tres calificaciones). Los números que faltan son el 4 y el 5. El 4 no
puede estar en la posición de las centenas (pues tendría una Bel 1496) así que el único
número posible es el 4531.
31. Primeramente consideremos que C no puede ser más que un 2 o un 3 y por lo tanto 1
un 4 o un 9. Combinando esto con la pista 3 tenemos que A, E, 1, sólo pueden ser las series
2-3-4, 6-5-4 ó 7-8-9. La pista 2 elimina las dos primeras series (no tenemos números que
multiplicado por otro sea igual a 3 ó a 5) por lo que E = 8 y D, F, igual a 2, 4, ó 4, 2. La
última pista no deja más alternativa que hacer D = 4 (ya que si F = 4 no habría forma de
superar la suma de la columna derecha con un 7 y un 2 en la izquierda). También resulta
evidente que G = 6 (si fuera 5 la suma de A, D, G, sería igual a la de A, B, C). En resumen:
A=7 B=5 C.=3 D=4
E=8 F=2 G=6 H=1 I=9

Soluciones
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32. La solución se explica mediante el siguiente esquema:
El primer paso consiste en vertir 5 de los 8 litros sobre la tinaja de 5 litros. El segundo
paso muestra como de la tinaja de 5 litros se han vertido 3 1 sobre la tinaja más pequeña...
33. El número total del rectángulo es de:
540. 2
6
2
ccq (El rectángulo se obtiene con dos segmentos horizontales y dos verticales).
El número de cuadrados es:
8.
5+7.
4+6.
3+5.
2+4.
1 = 100
34. La siguiente tabla da el número de triángulos con la punta hacia arriba:
Tamaño del triángulo 1X1 2X2 3X3 4X4 5X5 6X6 7X7 8X8
Número 36 28 21 15 10 6 3 1
Mientras que el número de triángulos con la punta hacia abajo viene dada por la tabla.
Tamaño del triángulo 1X1 2X2 3X3 4X4
Número 28 15 6 1
Luego en esta red de 8x8 hay 170 triángulos, 120 con la punta hacia arriba y 50 con la
punta hacia abajo.
En general en una red triangular nxn.
Hay 1/6 n (n+1) (n+2) triángulos apuntando hacia arriba.
La Organización es fundamental para llegar a buen puerto.

Soluciones
Sigma nº 10, 1991 10
38. Si suponemos que sí tenemos una figura del siguiente tipo. El ángulo situado sobre el
vértice C será, por tanto, igual a:
360° – (140°+130°+30°) = 60°
Como los cuatro son ángulos inscritos en una circunferencia su medida es la mitad del
arco que abarcan, así:
Arco (CDA) = 2.
130° = 260°
Arco (DAB) = 2.
60° = 120°
Arco (CBA) = 2.
30° = 60°
Arco (DCB) = 2.
140° = 280°
Pero, por ejemplo
Arco (CDA) + Arco (CBA) = 360° (toda la circunferencia) y, sin embargo, nos da
260°+60° = 320°.
Por tanto, no es posible inscribir el cuadrilátero de esas medidas. Hemos procedido por
reducción al absurdo.

Soluciones
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39. Para llegar a buen término hay que ser un poco organizado y realizar un esquema
apropiado.
Así en el primer caso. Un camino posible sería 1-2-3-7-8 otro diferente 1-5-6-7-8 el
árbol nos muestra todos los caminos, que son 8.

Soluciones
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40. Atacando el problema igual que el caso anterior, podemos desglosar todos los posibles
caminos. Son éstos:
9 + a + 4 + 5 = 18 + a 9 + a + 6 + 5 = 20 + a
9 + b + 6 + a + 4 + 5 = 24 + a + b
9 + b + 6 + 5 = 20 + b
Corresponden al esquema:
41. El tiempo en minutos empleado por la primera persona es t, mientras que la segunda
(t+25), por tanto 3•t + 2 (t+25) = 400.
De donde t = 70. Por tanto, una empleó 70 minutos y la otra 95 minutos.
42. Haciendo unas intentonas nos damos cuenta que el coche que estorba especialmente
es el 10, pero para moverle es necesario mover el 13 y a su vez es necesario mover el 12 y
para ello hay que quitar el 11... Es un problema de marcha atrás.
Para resolverlo hace falta ser un poco organizado. Poniendo unos códigos se puede
explicar la solución.
Los coches tienen una anchura de 1 y longitud 2. El garaje es de 6x6. Si llamamos D,
1, A, B derecha, izquierda, arriba y abajo la sucesión de movimientos será: 3(11) (el coche 3
va hacia la izquierda 1 lugar), 4 (Al); 5 (D2); 11 (A2); 6 (Al); 7 (A2); 12 (14); 8 (11); 13 (Al);
10 (D1); 1 (B6).

Soluciones
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Soluciones
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46. Se dividen en tres grupos de cuatro.
Se pesa el primero con el segundo grupo. Pueden presentarse dos situaciones:
a) Equilibrio
b) Desequilibrio
Para la situación a) la bola defectuosa está en el tercer grupo y para determinarla se
toman tres bolas de este grupo y se pesan con tres normales; si hay equilibrio, entonces una
tercera pesada determinará para la bola restante su defecto; si hay desequilibrio, el defecto
se hará evidente para estas tres bolas, así, con una tercera pesada se precisa cuál de éstas
es la defectuosa.
Para la situación b) se sustituyen tres bolas del primer grupo por tres normales, y la
cuarta bola del primer grupo se intercambia con una del segundo grupo; se efectúa así la
segunda pesada. Si la balanza se inclina hacia el lado contrario, es que alguna de las dos
bolas del par que se intercambió es la defectuosa y con una tercera pesada, en la cual se
pese una de ellas con la normal, se determinará cuál de éstas dos es la defectuosa y su
defecto.
Si la balanza se mantuvo inclinada hacia el mismo lado, esto significa que entre las tres
bolas del segundo grupo que no se intercambiaron se encuentra la defectuosa, y su defecto
se determinará según la inclinación de la balanza; con una tercera pesada se podrá saber
cuál de estas tres bolas es la defectuosa.
Si en esta segunda pesada se presentó una situación de equilibrio, esto significa que en
las tres bolas que se sustituyeron se encuentra la defectuosa, según el lado hacia el que
haya estado inclinada la balanza en la primera pesada, y con una tercera pesada se
determinará cuál de estas tres bolas es la defectuosa y su defecto.
47. Solución
49. Si tomamos un número cualquiera, por ejemplo, A, los tres primeros pasos lo
transforman en 3.A los dos pasos siguientes le llevan a: A+2, los dos pasos siguientes
25•(A+2–A) = 50 y, por último, 2.
50 = 100.
50. Esta es una versión «complicada» del Nim, para ver un comentario completo del juego
véase el libro «El juego y la Matemática». Luis Ferrero. Ed. La Muralla 1991.

Soluciones
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51. Para resolver este problema hay varios caminos, uno de los, es «complicado» y consiste
en ir encajando por la derecha e izquierda el número dado mediante números racionales,
hasta obtener el resultado buscado.
Otro procedimiento consiste en multiplicar el número dado por números de dos cifras
hasta que nos de un número natural, así:
0,9310344 x 29 = 26, 999997
Por tanto, la solución es: 27/29
Corresponde a una estrategia de ensayo-error.
52.
a) 69x71 x73
b) 123x124
c) 321 y 322
d) 8, 4343267
53. Si x es el número de peldaños desconocidos, cuando toma el primer amigo la escalera,
ésta recorre x–20 escalones en 60 segundos, mientras que con el segundo amigo recorre x-
16 escalones en 72 segundos. Por tanto en 12 segundos recorre en el primer caso x–20/5
mientras que en el segundo son x–16/6
Luego x-40/5 =x-16/6 x=40
Así la escalera tiene 40 escalones. Es un problema de codificación.
54. Observamos en primer lugar que el cuadrado de un número entero acaba
necesariamente en 0, 1, 4, 5, 6 ó 9. Además, el cuadrado de un número entero es múltiplo
de 4 (si el número es par) o múltiplo de 4 más 1 (si el número es impar). Comprobamos
entonces que los números que acaban en 11, 55, 66 ó 99 no son múltiplos de 4 ni múltiplos
de 4 más 1. Queda por examinar el caso de los números que acaban en 44, y por tanto en
444. Una rápida exploración prueba que, si bien 444 no es un cuadrado, 1444 es al contrario
cuadrado de 38. Existen pues números cuyo cuadrado acaba en tres cifras idénticas
diferentes de 0.

Soluciones
Sigma nº 10, 1991 16
55. En un día la primera hace 1/8 de vestido, mientras que la segunda realiza 1/13 de
vestido. Trabajando juntas en un día realizan:
1/8 + 1/13 =21/104
Por tanto juntas lo hacen en:
104/21=4.95 días
56. Es claramente un problema de codificación. Llamando x al número total de elefantes,
se tiene que:
7/8.x+7/8 =x x = 7 (elefantes)
57. Jugando un poco con los números efectivamente vemos que se cumple esta conjetura.
Así el 12, 18, 30,... son múltiplos de 6.
¿Será cierto para todos? Si observamos esos números son pares y además múltiplos de
3, ya que el anterior y posterior no pueden ser. Por tanto, es efectivamente siempre múltiplo
de 6.

Soluciones
Sigma nº 10, 1991 17
58. Este problema fue propuesto por Guarini, es uno de los problemas más antiguos
relacionados con el ajedrez. Fue propuesto en 1.512.
La solución viene explicada en los siguientes diagramas.

Soluciones
Sigma nº 10, 1991 18
61. Este problema admite dos soluciones por figura según el sentido en que giremos el
dado para leerlo (en torno a un eje horizontal o a un eje vertical). Es una actividad que exige
un gran esfuerzo de visualización que en muchos casos deberá ser apoyado por la
construcción del modelo.

Soluciones
Sigma nº 10, 1991 19
62. Es un problema similar a otros ya vistos (véase problema 32)r la solución es:
63. Los esquemas adjuntos explican claramente la solución:

Soluciones
Sigma nº 10, 1991 20
64. Si observamos cada uno de los términos se puede descomponer en la diferencia de dos
fracciones.
65. Un esquema adecuado nos lleva a la solución. Produciéndose 6 rebotes antes de entrar
en la esquina D.
Como se puede ver la trayectoria quebrada ha sido reemplazada por una línea recta.
Si la razón de los lados es p:q el número de rebotes más p+q-2 (compruébalo).

Soluciones
Sigma nº 10, 1991 21
66. Las dimensiones del bloque, con precisión de un milímetro, tendrán que ser
159x126x100 mm.
Para ver que es así, supongamos que el bloque inicial tenga dimensiones
axbxc, con a>b>c
Entonces, después de cortarlo, lo que era la cara estrecha del bloque original
corresponderá a la cara superior del semibloque, cuyo lado menor medirá a/2. Por
consiguiente,
a:b:c = b:c:a/2,=> a/b = b/c = 2c/a
de donde deducimos que ac = b2
, y que ab = 2c2
.
Al eliminar a entre esta dos ecuaciones se tiene b3
= 2c3
.
Por lo tanto,
b
a
c
b 3
2
así que a:b:c = 22/3
:21/3
:1.
Basándose en esta igualdad resulta interesante observa que todas las caras
rectangulares del bloque original (y de los semibloques) tiene la misma forma, y que sus
lados se encuentran en la razón 21/3
-1, que es aproximadamente 1,26:1.
Dado que los semibloques tienen que ser geométricamente semejantes al original,
también ellos pueden ser divididos en dos para producir bloques de su misma forma, y así
sucesivamente. Esta actividad viene a ser la equivalente tridimensional de la propiedad de los
formatos A de papel normalizado UNE.
¿Por qué no hacerse una colección de tales bloques, cortándolos en espuma de
poliestireno (también conocido por porexpán)?
67. Todas las trayectorias están formadas por arcos de circunferencias (cuadrantes, de
hecho), debido a que la caja gira en todos los casos alrededor de una de sus aristas.
Trayectoria descrita por el punto A.

Soluciones
Sigma nº 10, 1991 22
68. El problema es muy parecido a la construcción de cuadrados mágicos literales y de
hecho, se puede empezar por uno de ellos para practicar: colocar las letras ABCD en un
cuadrado 4x4 de forma que en cada fila y en cada columna y en cada diagonal no se repitan
las letras.
En el caso de las cartas se pueden hacer dos cuadrados mágicos: uno con las figuras y
otro con los palos, uniéndose después.
Utilizando las iniciales correspondiente:
As oros
Sota bastos
Caballo copas
Rey espadas
una solución puede ser:
Ao Rb Sc Ce
Se Cc Ab Ro
Cb So Re Ac
Rc Ae Co Sb
pero hay otras 71.
69. A la habitación libre, y a las que sucesivamente van quedando libres, se trasladan los
muebles por este orden: piano, biblioteca, mesa, piano, nevera, cama, piano, mesa,
biblioteca, nevera, mesa, piano, cama, mesa, nevera, biblioteca y piano.

Soluciones
Sigma nº 10, 1991 23

Soluciones
Sigma nº 10, 1991 24
71. Dividimos la esfera en 60 partes (60 minutos) a partir de las 12 supongamos que en
una de las posiciones buscadas el horario se encuentra en la división x y el minutero en la
división y.
Cada hora, el horario recorre 5 divisiones luego las x divisiones las recorre en x/5
horas: han pasado x/5 horas desde que el reloj dio las 12.
El minutero recorre y partes en y minutos: Y/60 horas.
Por tanto ha pasado la cifra 12 hace y/60 horas, es decir, al cabo de x/5 – y/60 horas
después de que las dos saetas estaban en las 12.
El número de horas es un número entero comprendido entre 0 y 11. Si cambiamos las
manecillas de función, a partir de las 12 habrán pasado y/5- x/60 horas completas.
Dando valores a m y n (entre 0 y 11) obtendremos las posiciones buscadas. m toma
12 valores y n otros 12 por tanto aparecen 144 soluciones pero cuando m=0, n=0 y m=11,
n=11 representan una misma posición (ambas en las 12).
72. Nos sirven las misas ecuaciones del problema anterior, sólo que ahora x=y por tanto
queda x/5 – x/60 = m => x= 60m/11 donde m está comprendido entre 0 y 11

Soluciones
Sigma nº 10, 1991 25
73. Se puede resolver el problema mediante ecuaciones, pero realmente es un tanto
complicado el camino habida cuenta de lo fácil que resulta su resolución acudiendo a una
buena representación gráfica.
Si el prado mayor fue segado por todo el personal de
la cuadrilla en medio día y por la mitad de ella en el resto
del día, la mitad de la cuadrilla segó en medio día 1/3 del
campo grande.
Por tanto, en el campo pequeño quedaba sin segar 1/2 - 1/3 = 1/6 es decir, el
equivalente a 1/6 del campo grande.
Si un trabajador siega 1/6 en un día y fueron segados 6/6 de campo grande más el
pequeño que equivale a 3/6 de los cuales 1/6 quedó para el día siguiente, en el primer día se
segaron 6/6 + 2/6 =8/6 lo cual significa que había 8 segadores en la cuadrilla.
75. Es lo mismo que demostrar lo que pide que P2
-1 sea múltiplo de 12, pero P2
-1 = (P-1)
(P+1) que evidentemente es múltiplo de 3 y de 4.

Soluciones
Sigma nº 10, 1991 26
76. Aitor ha ganado 38–15 = 23 monedas de cinco duros, lo que es igual a 23x25 = 575
ptas. Por tanto, al entrar en el bar tenía 800–575 = 225 ptas. Pero como perdió 15x25 = 375
ptas. no pueden cumplirse las condiciones del problema.
78. 2 minutos.
82. La sala norte no es posible recorrerla según las condiciones impuestas.
83. Si construye el simétrico de R respecto a n, se le llama R„ luego el simétrico de éste
respecto a m y se le llama R2. Por fin se une P con R2 dando lugar a M y uniendo M con R, da
lugar a N.
85. Experimenta con casos sencillos y si quieres demostrarlo aplica la inducción.

Soluciones
Sigma nº 10, 1991 27
87. Una conjetura que surge de la experimentación es que el cuadrado de un número
formado por n treses y un cuatro en un número de la forma.
la conjetura parece cierta teniendo en cuenta el proceso de inducción y la igualdad:
88. Se refiere a la cesta de 12 huevos.
89. Experimentando un poco, llegamos rápidamente a la solución: 152
+ 142
+ 132
+ ... +
22
+ 12
= 1.240 bolas.
90. Los Palmirenses marchan durante 20 días y los de Petra (nabateos) lo hacen en 30
días.
91. La idea está en considerar la equivalencia de las dos igualdades
92. Para obtener los resultados 11, 12, 16, 17, cada número ha sido sumado dos veces
(una con cada cara de la otra moneda). Por lo tanto la suma de los cuatro números será:
(11+12+16+17):2 = 28 y los dos números ocultos sumarán 11. A partir de aquí el método
en ensayo-error nos lleva a dos resultados posibles 2-9 y 6-5.
Siguiendo un razonamiento análogo, y teniendo en cuenta que cada número ha sido
sumado cuatro veces, la suma de los seis números será (15+16+17+19+20+21+22+23):4
= 153/4. El problema, pues, no tiene solución entera.

Soluciones
Sigma nº 10, 1991 28
93. Una buena forma de aproximación al problema puede ser resolverlo previamente en
una dimensión: con una tira de papel que se va plegando siempre en el mismo sentido.
Igualmente conveniente resulta buscar una notación sencilla para los pliegues hacia arriba y
hacia abajo. La siguiente tabla nos da la solución en función del número de pasos que se den
(un paso significa plegar de izquierda a derecha y luego de abajo hacia arriba, dos pasos
significa hacer este proceso dos veces, etc.):
95. Una primera aproximación a este tipo de problemas puede ser la de ensayo-error, pero
pronto se ve la conveniencia de utilizar el lenguaje algebraico. Transformando los
aritmógenos en sistemas de ecuaciones, se observa fácilmente que en ocasiones la solución
será única (como en el primero de los propuestos), en otras ocasiones habrá infinitas
soluciones (como en el segundo de los propuestos) y en otros no habrá ninguna (como en el
tercero).

Soluciones
Sigma nº 10, 1991 29
96. Aunque el cálculo teórico pueda ser complicado, puede resolverse fácilmente
imaginando la suerte que correrán 2, 4, 8... jugadores que jugarán una serie de partidas
estándar.
Comienzan dos jugadores: uno pierde directamente y otro se coloca con 2 millones.
Duplicamos el número de jugadores: 2 han perdido ya y otros 2 están con 2 millones. Uno de
éstos pierde (ya son 3) y el otro se coloca con 4 millones.
Duplicamos: 6 han perdido y dos tienen 4 millones. Uno de ellos ganará y consigue los
5 millones que pretendía; el otro perderá y se colocará con 3 millones.
Duplicamos: 12 han perdido, 2 han ganado y 2 están con 3 millones. Uno gana y se
retira (ya con 3) y el otro pierde y vuelve a empezar a jugar con 1 millón. Podemos
prescindir de éste como si no hubiera jugado y tendremos que 12 han perdido y 3 han
ganado. La probabilidad de ganar será P = 3/15 = 1/5.
Este resultado, por otro lado, era lógico si el juego es limpio: en caso de triunfar
ganamos 4 millones y en caso de salir derrotados perdemos 1 millón. Lógicamente las
probabilidades de ganar tienen que ser la cuarta parte de la probabilidad de perder.
Ganaremos pues una de cada 5 veces: P=1/5.
97. El número «normal» de cubos es de 22 en la primera figura y de 27 en la segunda. Sin
embargo, podría ocurrir que existieran «huecos» en la parte oculta o que por el contrario
algunas zonas que parecen huecas estuvieran ocupadas por cubos invisibles desde nuestro
lugar de observación. La investigación sobre el número máximo y mínimo es una actividad
abierta que admite distintas aproximaciones.

Soluciones
Sigma nº 10, 1991 30
Número «normal» de cubos: 27
Máximo: 35 Mínimo: 18
* Este cubo es necesario para ensamblar la figura.
**Al menos uno de estos dos cubos (aunque no los dos a la vez) es necesario para
ensamblar la figura.
98. En la primera de las series propuestas cada elemento se forma sumando los tres
anteriores; por lo tanto, el siguiente número serán el 125. En la segunda, la letra F se va
desplazando cada vez una lugar hacia la izquierda; el siguiente elemento es AFBCDE. En la
tercera, se van introduciendo la siguiente letra del abecedario y además las letras van
girando en sentido antihorario. En la cuarta conviene analizar cada una de las cuatro partes
que conforman cada elemento.
99. El edificio D tiene dos pisos más que el edificio B. Un sencillo diagrama puede ayudar a
una mejor comprensión del enunciado.

Problemas clasificados por estrategias
Sigma nº 10, 1991 1
PROBLEMAS CLASIFICADOS
POR ESTRATEGIAS
ESTRATEGIAS NÚMERO DEL PROBLEMA
CODIFICAR
1, 3, 13, 17, 21, 22, 25, 36, 41, 42, 47, 49, 53, 55, 56,
60, 66, 68, 73, 81, 88, 90, 93, 95
EXPERIMENTA Y SACAR PAUTAS
2, 4, 7, 8, 9, 10, 11, 14, 22, 35, 36, 54, 64, 75, 81, 84,
85, 86, 87, 89, 93, 94, 100
Marcha ATRAS 10, 12, 13, 17, 20, 42
ANALOGÍA 12, 13, 18, 23, 45, 55, 68, 81
Empieza por lo FÁCIL 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 20, 54, 81
Descomponer el PROBLEMA 29, 89
CONJETURA 35, 36, 65, 81, 100
SIMETRÍA 4, 7, 8, 11, 15, 65, 84
ENSAYO-ERROR 26, 42, 47, 51, 52, 60, 68, 79, 88, 92, 95
SUPÓN que NO 38
ORGANIZACIÓN 5, 6, 14, 15, 19, 33, 34, 39, 40, 44, 51, 93
DEDUCIR 1, 30, 31, 57, 98
Haz ESQUEMA, DIBUJO, TABLA 7, 8, 9, 14, 16, 21, 22, 29, 39, 40, 44, 67, 77, 89, 93
CONTEO 5, 6, 7, 8, 9, 15, 19, 33, 34, 39, 40, 44
CAMBIO de ESTADOS 23, 32, 58, 62, 63, 69
Casos LÍMITES 16, 74
PRINCIPIO del PALOMAR 27, 28
PROBLEMAS LÓGICOS 30, 31, 79, 98, 99
PROBLEMAS SINGULARES 76
PROBLEMAS EJERCICIOS
25, 29, 37, 45, 55, 56, 59, 61, 66, 70, 71, 72, 73, 75, 77,
78, 83, 91, 96
PROBLEMAS de INVESTIGACIÓN 4, 5, 14, 43, 80, 81, 94, 97
PROBLEMAS DE ESTRATEGIAS 10, 20, 24, 46, 50

Bibliografía
Sigma nº 10, 1991 1
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