resumen-metodos-2-parcial-1-ii.pdf

METODOS CUANTITATIVOS 2
RESUMEN DE GRAFICAS
1. DOMINIO Y RANGO
2. FUNCION LINEAL
3. FUNCION CUADRATICA
4. FUNCION VALOR
ABSOLUTO
5. FUNCION RADICAL
(IRRACIONAL)
6. FUNCION RACIONAL

Dominio y Rango de una Función Ing. José Luis Albornoz Salazar - 0 -
Titulo: DOMINIO Y RANGO
DE UNA FUNCIÓN
Año escolar: 4to. Año de Bachillerato
Autor: José Luis Albornoz Salazar
Ocupación: Ing Civil. Docente Universitario
País de residencia: Venezuela
Correo electrónico: martilloatomico@gmail.com
I N D I C E Página
Funciones Polinómicas 1
Funciones Racionales 3
Funciones Irracionales 6
Funciones Exponenciales 8
Funciones Logarítmicas 9
Funciones Combinadas
(Racionales – Irracionales)
10
El autor de este trabajo solicita su valiosa colaboración en el
sentido de enviar cualquier sugerencia y/o recomendación a la
siguiente dirección :
martilloatomico@gmail.com
Igualmente puede enviar cualquier ejercicio o problema que
considere pueda ser incluido en el mismo.
Si en sus horas de estudio o práctica se encuentra con un
problema que no pueda resolver, envíelo a la anterior dirección y
se le enviará resuelto a la suya.

DOMINIO Y RANGO DE UNA
FUNCIÓN
Función: Una función entre dos conjuntos numéricos es una
correspondencia tal que a cada número del conjunto de partida le
corresponde una sola imagen del conjunto de llegada.
Así, en la figura siguiente podemos observar gráficamente el
comportamiento de la función raíz cuadrada de un número.
Del lado izquierdo observamos el conjunto de partida (representado por
los valores que le asignemos a la variable independiente “X”), del lado
derecho observamos el conjunto de llegada (representado por los
valores que toma la variable dependiente “Y” una vez que se extrae la
raíz cuadrada del valor que se le asignó a “X”) y sobre la flecha está
indicada la relación matemática (función) que transforma los valores del
conjunto de partida en los valores del conjunto de llegada (imagen).
Dominio de una función : Es el conjunto formado por los
elementos que tienen imagen. Los valores que le damos a “X” ( variable
independiente) forman el conjunto de partida. Gráficamente lo miramos
en el eje horizontal ( abscisas), leyendo como escribimos de izquierda
a derecha.
El dominio de una función está formado por aquellos valores de “X”
(números reales) para los que se puede calcular la imagen f(x).
En la gráfica anterior notamos que si le asignamos los valores “-2” y “-1”
a la “X” estos no tienen imagen, por lo tanto no pertenecen al dominio de
la función estudiada. Esto es lógico ya que los números negativos no
tienen raíces reales sino raíces imaginarias.
Rango de una función: Es el conjunto formado por las imágenes.
Son los valores que toma la función "Y" (variable dependiente), por eso
se denomina “f(x)”, su valor depende del valor que le demos a "X".
Gráficamente lo miramos en el eje vertical (ordenadas), leyendo de
abajo a arriba.
El Rango de una función es el conjunto formado por las imagenes
f(x) de los valores de “X” que pertenecen al Dominio de dicha
función.
La manera más efectiva para determinar el Rango
consiste en graficar la función y ver los valores que
toma “Y” de abajo hacia arriba.
CÁLCULO DEL DOMINIO Y RANGO DE FUNCIONES
Vamos a calcular de forma numérica y gráfica el dominio y rango de
varias funciones para fijar los conceptos anteriores.
FUNCIONES POLINÓMICAS:
Aquellas funciones cuya expresión algebraica es un polinomio, es decir,
las funciones polinómicas, tienen como dominio todo el conjunto de los
números reales: R, puesto que a partir de una expresión polinómica, se
puede sustituir el valor de “X” por cualquier número real que hayamos
elegido y se puede calcular sin ningún problema el número real imagen
“Y”.
Son funciones polinómicas : La recta (función lineal o afín), la parábola
(función de segundo grado) y los polinomios de grado superior.

EJERCICIO 1 : Determinar Dominio y Rango de
f(x) = X + 3
Como es una función lineal el dominio será todo el conjunto de los
números reales.
Dom f(x) = R
El Rango será todo el conjunto de los números reales. Seguimos el eje
“Y” de abajo hacia arriba y podemos leer valores siempre.
Rango = (– ! , + ! )
f(x) = X2
– 2X – 3
Como es una función polinómica de segundo grado el dominio será todo
el conjunto de los números reales.
Dom f(x) = R
El eje “Y” empieza a tomar valores (de abajo hacia arriba) a partir de -4.
Rango = [– 4 , + ! )
f(x) = – X2
+ 5X – 4
Dom f(x) = R
El eje “Y” empieza a tomar valores (de abajo hacia arriba) desde menos
infinito y llega hasta el vértice de la parábola (hasta Y = 2,25).
Rango = (– ! , 2.25]

f(x) = X3
– 6X2
+ 8X
Como es una función polinómica de tercer grado el dominio será todo el
conjunto de los números reales.
Dom f(x) = R
El Rango será todo el conjunto de los números reales. Seguimos el eje
“Y” de abajo hacia arriba y podemos leer valores siempre.
Rango = (– ! , + ! )
FUNCIONES RACIONALES :
Para calcular el dominio de este tipo de funciones el primer paso es
igualar el denominador a cero y resolver esa ecuación, una vez resuelta
esa ecuación el dominio estará formado por todos los reales excepto las
soluciones de la ecuación.
!(") =#
$#%#&
$#'#*
Igualando el denominador a cero :
X – 3 = 0 ; X = 3
El dominio estará formado por todos los reales excepto el número 3.
Dom f(x) = R – {3} ; (– ! , 3) U (3 , + ! )
Esta gráfica presenta una asíntota horizontal en “Y = 1”, Luego la función
estará definida en todos los valores de Y menos en “Y = 1”.
Rango = R – {1} ; (– ! , 1) U (1 , + ! )

!(") =#
$'#+
&$%#*
2X + 3 = 0 ; 2X = –3 ; , =#
'-
.
#=#/105
El dominio estará formado por todos los reales excepto el número -1,5.
Dom f(x) = R – {-1.5} ; (– ! , -1.5) U (-1.5 , + ! )
Esta gráfica presenta una asíntota horizontal en Y =
2#
.
. Luego la
función estará definida en todos los valores de Y menos en Y =
2#
.
.
Rango = R – {
+#
&
# } ; (– ! ,
+#
&
#) U (##
+#
&
, + ! )
!(") =#
$&
/ +
$# / #+
X – 1 = 0 ; X = 1
El dominio estará formado por todos los reales excepto el número 1.
Dom f(x) = R – {1} ; (– ! , 1) U (1 , + ! )
Esta gráfica presenta un “hueco” en “Y = 2”, Luego la función estará
definida en todos los valores de Y menos en “Y = 2”.
Rango = R – {2} ; (– ! , 2) U (2 , + ! )

!(") =#
3$&%#3
&$&'#4
Las raíces del polinomio 2X2 – 8 son : X = 2 y X = - 2
Estas raíces las puede obtener aplicando la formula general de segundo
grado o el método de factorización que te sea más cómodo.
El dominio estará formado por todos los reales excepto los números “2”
y “ -2”
Dom f(x) = R – {-2,2} ; (– ! , -2) U (-2,2) U (2 , + ! )
X -6 -5 -4 -3 -1 0 1 3 4 5 6
Y 2,31 2,47 2,83 4 -1,33 -0,5 -1,33 4 2,83 2,47 2,31
La gráfica presenta una asíntota horizontal en “Y = 2”, pero además
podemos notar que la curva que está debajo del eje “X” corta al eje “Y”
en el punto (0,-0.5). Luego el Rango será :
Rango = (– ! , -0.5] U (2 , + ! )
Verifique que los valores de “Y” entre “Y = -0.5” y “Y = 2” no están
señalados en la gráfica, por lo tanto no pertenecen al Rango.
!(") =#
3$&%#3
&$&%#4
Al igualar el denominador a cero puedo notar que el polinomio 2X2 + 8
no tiene raíces reales, luego no existen valores que anulen al
denominador y el Dominio estará representado por todos los números
reales.
Dom f(x) = R
La gráfica presenta una asíntota horizontal en “Y = 2”, pero además
podemos notar que la curva corta al eje “Y” en el punto (0,0.5). Luego el
Rango será :
Rango = [ 0.5 , 2 )

!(") =#
$*
6 #*$&
6 &$
$& 6 #*" 6 &
Las raíces del polinomio $&
6 #*" 6 & son : X = -2 y X = - 1
grado o el método de factorización que te sea más cómodo.
El dominio estará formado por todos los reales excepto los números “-2”
y “ -1”
Dom f(x) = R – {-2,-1} ; (– ! , -2) U (-2,-1) U (-1 , + ! )
Rango = (– ! , -2) U (-2,-1) U (-1 , + ! )
FUNCIONES IRRACIONALES :
Funciones irracionales son las que vienen expresadas a través de un
radical que lleve en su radicando la variable independiente.
Si el radical tiene índice impar, entonces el dominio será todo el
conjunto R de los números reales porque al elegir cualquier valor de X
siempre vamos a poder calcular la raíz de índice impar de la expresión
que haya en el radicando.
Pero si el radical tiene índice par, para los valores de X que hagan el
radicando negativo no existirá la raíz y por tanto no tendrán imagen.
Cuando queremos hallar el dominio de este tipo de funciones lo primero
que debemos hacer es tomar lo que hay dentro de la raíz y hacer que
sea mayor o igual que cero. A continuación se resuelve esa
inecuación y la solución de dicha inecuación conforma el dominio
de la función.
f(x) = 7/#&$ 6 3
*
##
Raíz de índice impar :
Dom f(x) = R
Rango = R

APUNTES DE ÁLGEBRA Ing. José Luis Albornoz Salazar - 68 -
Titulo: COMO GRAFICAR UNA FUNCION LINEAL
Año escolar: 4to. año de bachillerato

COMO GRAFICAR UNA FUNCIÓN
LINEAL (AFÍN O DE 1er. GRADO) :
La representación gráfica de una función algebraica se hace sobre
un SISTEMA RECTANGULAR DE COORDENADAS CARTESIANAS.
Dos líneas rectas que se cortan constituyen un sistema de ejes
coordenados. Cuando las líneas son perpendiculares entre sí, se
denomina sistema de ejes coordenados rectangulares o sistema
rectangular de coordenadas cartesianas.
II I
III IV
Los ejes dividen al plano del papel en cuatro partes llamadas
cuadrantes (I, II, III y IV).
El punto donde se cortan los dos ejes se denomina “origen”.
Cualquier distancia medida sobre el eje horizontal desde el
“origen” hacia la derecha es positiva y desde el “origen” hacia la
izquierda es negativa.
Cualquier distancia medida sobre el eje vertical desde el “origen”
hacia arriba es positiva y desde el “origen” hacia abajo es negativa.
Cualquier representación se inicia con la ubicación de los puntos
que están contenidos en la función, es decir : Los puntos que cumplen
con la función que va a ser graficada.
Dado un punto P(x,y), su ubicación en el sistema de coordenadas
se realizará de la siguiente manera:
“x” representará el número de unidades que se encuentra alejado
del eje vertical (a la derecha o a la izquierda del “origen”).
“y” representará el número de unidades que se encuentra alejado
del eje horizontal (arriba o debajo del “origen”).
Para fijar mejor la idea realizaremos algunos ejemplos :
Ejemplo: Graficar el punto A(2,3)
Sobre el eje de coordenadas grafico una recta auxiliar que pase
por donde el eje horizontal indica 2 unidades positivas (a la derecha del
“origen”)
Y
-X X
-Y
Esta recta auxiliar que acabamos de trazar no tiene ninguna
utilización significativa en la gráfica, “simplemente” es una ayuda visual
para la localización del punto que queremos graficar (se recomienda
hacerlo en un trazo “suave” o “claro” para evitar confusiones).
Recuerde que el número que aparece a la izquierda dentro del
paréntesis siempre se refiere a las unidades del eje horizontal (eje X) y
el número que aparece a la derecha se refiere a las unidades del eje
vertical (eje Y).

Ejemplo: Graficar el punto B(4,0)
Y
-X X
Ejemplo: Graficar el punto C(-3,0)
Y
-X X
Ejemplo: Graficar el punto D(0,2)
Y
-X X
B
C
D

Una RECTA puede ser indicada con la siguiente
ecuación general : aX + bY – c = 0 , en donde para cada valor de
“x” existirá UNO Y SOLO UN valor de “y” (y viceversa). El par de
números o “par ordenado” (x,y) obtenido por medio de esta
ecuación representa un punto que está ubicado o contenido en la
recta indicada por dicha ecuación.
Para calcular cualquier punto perteneciente o contenido en
una recta basta con dar CUALQUIER valor a “x” y obtener el ÚNICO
valor correspondiente a “y” (o viceversa).
Conocidos dos puntos de una recta puedo graficarla
trazando una línea recta que pase por dichos puntos.
Vamos a utilizar un ejemplo para fijar mejor la idea :
Ejemplo: Graficar la recta identificada por la ecuación 3X + 2Y – 6 = 0
Cuando estudiamos bachillerato nos enseñaron a dibujar “una
cruz” donde colocábamos del lado izquierdo los valores que le
asignamos a “x” y al lado derecho los valores que calculábamos de “y” (o
viceversa).
X Y
Respetando este criterio, procederemos de la siguiente manera:
Para X = 0
Sustituyo este valor en la ecuación 3X + 2Y – 6 = 0
3 (0) + 2Y = 6 ; 0 + 2Y = 6 : Y = 6 / 2 ; Y = 3
X Y
0 3

En tal sentido el primer punto o par ordenado calculado será A(0,3)
Ahora le doy CUALQUIER OTRO VALOR a “x” o “y”. Entiéndase
bien, cualquier valor que se nos ocurra. La ecuación de una recta se
cumple para cualquier valor de “x” o para cualquier valor de “y”.
Para Y = 0
Sustituyo este valor en la ecuación 3X + 2Y – 6 = 0
3X + 2 (0) = 6 ; 3X + 0 = 6 : X = 6 / 3 ; X = 2
X Y
0 3
2 0
Los dos puntos que hemos calculado y que están contenidos en la
recta 3X + 2Y – 6 = 0 son :
A(0,3) y B(2,0)
Conocidos los dos puntos procederemos a graficarlo en el sistema
de coordenadas recordando lo explicado en las páginas anteriores:
Graficados como han sido los dos puntos calculados, solo nos
queda trazar la recta que pase por los mencionados puntos.
Se aclara que la recta abarcará todo el plano ya que los valores
que pueden tomar “x” y “y” van desde - ! hasta +!
Y
-X X
3X+2Y=6
-Y
Ejemplo: Graficar la recta identificada por la ecuación -X + Y – 2 = 0
Algunos autores suelen utilizar una tabla escribiendo debajo de
cada valor de “x” el correspondiente valor de “y”. Resaltando que aunque
solo es necesario conocer dos puntos para graficar la recta, los otros
puntos sirven para verificar que la misma fue bien trazada al notar que
todos están contenidos en ella.
X -3 -2 -1 0 1 2 3
Y -1 0 1 2 3 4 5
Para calcular los valores anteriores utilizo el procedimiento
explicado en el ejercicio anterior. REPITO: Le damos cualquier valor a
“x” y calculamos el respectivo valor de “y” (y viceversa).
Escojamos los puntos P(-3,-1) y Q(3,5) y tracemos la recta por
ellos dos. Después verifiquemos que todos los demás puntos estén
contenidos en ella.
A
B

Ejemplo: Graficar la recta identificada por la ecuación X – 2Y = 0
Generalmente, para facilitar el cálculo de los dos puntos
necesarios para graficar la recta, procedemos a utilizar “X=0” y después
“Y=0” obteniendo los dos puntos donde la recta corta a los dos ejes
(horizontal y vertical).
Pero en aquellas rectas que pasan por el “origen” (como en este
caso) los dos cálculos nos llevarán al mismo resultado (0,0). Esto es
lógico ya que hemos visto que para cada valor de “x” existe UNO Y
SOLO UN valor de “y” (y viceversa).
Este “problema” lo evitamos si nos acostumbramos a darle
CUALQUIER valor a alguna de las dos variables y calcular el valor de la
otra (no siempre “X=0” y “ Y=0”) .
Para Y = 0 ; X – 2 (0) = 0 ; X = 0
Para Y = 2 ; X – 2 (2) = 0 ; X = 4
Y
X-2Y=0
-X X
-Y
Ejemplo: Graficar la recta identificada por la ecuación X = 3
Este tipo especial de rectas no necesitan del calculo de alguno de
sus puntos ya que ella “nos dice” que “pasará” por todos aquellos donde
X = 3 , y esto sucede en una recta paralela al eje vertical alejada tres
unidades en sentido positivo (a la derecha del origen).
Y X=3
-X X
-Y
x y
0 0
4 2

Ejemplo: Graficar la recta identificada por la ecuación Y = -3
Este tipo especial de rectas no necesitan del calculo de alguno de
sus puntos ya que ella “nos dice” que “pasará” por todos aquellos donde
Y = -3 , y esto sucede en una recta paralela al eje horizontal alejada tres
unidades en sentido negativo (debajo del origen).
NOTA: La recta Y = 0 estará representada por el eje
horizontal (eje X).
Sobre un mismo sistema rectangular de coordenadas se pueden
graficar varias rectas
Y
-X X
-Y

COMO GRAFICAR UNA FUNCION DE SEGUNDO GRADO Ing. José Luis Albornoz Salazar - 0 -
Titulo: COMO GRAFICAR UNA FUNCION DE
SEGUNDO GRADO

COMO GRAFICAR UNA FUNCION
DE SEGUNDO GRADO
Lo primero que debemos hacer para empezar a graficar
una función de segundo grado es ordenarla en forma
descendente de manera que quede expresada como :
f(x) = aX2
+ bX + c
EJERCICIO 1 : Graficar f(x) = X2
– 2X – 3
Solución :
Para graficar una función de segundo grado se pueden seguir los
siguientes pasos :
Primer paso : Se identifican los valores de a, b y c de la función.
a = 1 ; b = – 2 ; c = – 3
Cuando a > 0 la parábola es cóncava hacia arriba ;
Segundo paso : Se calcula el eje de simetría con la fórmula : X =
!"#
$%
X =
!"&
'(
; X =
!)!'*
')+*
; X =
'
'
; X = 1
Esto significa que por X = 1 pasará una recta perpendicular al eje X que
representa al eje de simetría de la parábola.
Se introduce este valor en la función f(x) = X2 – 2X – 3 para
determinar el vértice de la parábola.
f(1) = (1)2 – 2(1) – 3 = 1 – 2 – 3 = – 4 ; f(1) = – 4
Esto nos indica que el vértice de la parábola es el punto. ( 1, – 4 )
Tercer paso : Se determina si la función intercepta o no al eje X con el
uso de la formula conocida como discriminante ( b2 – 4ac ).
Recuerde que la intercepción o corte con el eje X lo indican las raíces de
la función.
· Si b2 – 4ac > 0 la función tiene 2 raíces diferentes
(corta al eje X en dos puntos).
· Si b2 – 4ac = 0 la función tiene 2 raíces iguales (tiene
su vértice en un punto contenido en el eje X).
· Si b2 – 4ac < 0 la función no tiene raíces reales (NO
corta al eje X).
b2 – 4ac = (- 2)2 – 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16
Como b2 – 4ac > 0 la función tiene 2 raíces diferentes (corta al eje X
en dos puntos).
Cuarto paso : Se calculan las raíces de la función con el uso de la
fórmula general de segundo grado o resolvente:
, =
-. ± /.' - 401
20
Este cálculo se nos facilita por el hecho de que la cantidad sub-radical o
radicando es la misma conocida como discriminante y ya fue calculada.

, =
!)!'*±3)!'*5!6)+*)!7*
')+*
""""" =
' ± /+8
'
=
' ± 6
'
X1 =
'9"6
'
=
8
'
""""""""""; X1 = 3
Esto nos indica que la parábola pasa por el punto .(3,0)
X2 =
'!"6
'
=
!'
'
""""""""""; X2 = – 1
Esto nos indica que la parábola pasa por el punto. (–1,0)
Quinto paso : Se indican los puntos calculados en un sistema de
coordenadas rectangulares y posteriormente se grafica la parábola.
El hecho de calcular el eje de simetría y el vértice de la parábola nos
facilita el procedimiento para graficarla debido a que nos permite
visualizar inmediatamente como será su configuración y sobre todo su
concavidad y su punto más alto o más bajo (vértice) según sea el caso.
En este caso en particular si unimos los tres puntos se deduce
fácilmente que la parábola quedará graficada así :
+ 4
Solución :
Para graficar una función de segundo grado se pueden seguir los
siguientes pasos :
a = 1 ; b = 0 ; c = 4
!"#
$%
Vértice (1,-4)
Eje de
simetría
(-1, 0) (3,0)
(1,-4)

X =
!"&
'(
; X =
!):*
')+*
; X =
:
'
; X = 0
Esto significa que por X = 0 pasará una recta perpendicular al eje X
que representa al eje de simetría de la parábola (en este caso el eje de
simetría será el eje “Y” del sistema de coordenadas).
Se introduce este valor en la función f(x) = X2 + 4 para determinar el
vértice de la parábola.
f(0) = (0)2 + 4 = 0 + 4 = 4 ; f(0) = 4
Esto nos indica que el vértice de la parábola es el punto. ( 0 , 4 )
Recuerde que la intercepción o corte con el eje X lo indican las raíces de
la función.
· Si b2 – 4ac > 0 la función tiene 2 raíces diferentes
(corta al eje X en dos puntos).
· Si b2 – 4ac = 0 la función tiene 2 raíces iguales (tiene
su vértice en un punto contenido en el eje X).
· Si b2 – 4ac < 0 la función no tiene raíces reales (NO
corta al eje X).
b2 – 4ac = (0)2 – 4(1)(4) = 0 – 16 = – 16
Como b2 – 4ac < 0 la función no tiene raíces reales ( NO corta al eje
X ).
Cuarto paso : Como no se pueden calcular las dos raíces de la función
se procede a calcular dos puntos de la parábola, uno ubicado al lado
izquierdo del eje de simetría y el otro al lado derecho, esto nos facilitará
visualizar fácilmente la configuración de la parábola.
Como el eje de simetría es X = 0 puedo calcular los puntos cuando
X = – 1 y cuando X = 1, para lo cual sustituyo estos valores en la
función f(x) = X2 + 4
Para X = – 1 ; f(-1) = (-1)2 + 4 = 1 + 4 = 5
Esto nos indica que la parábola pasa por el punto (–1,5)
Para X = 1 ; f(1) = (1)2 + 4 = 1 + 4 = 5
Esto nos indica que la parábola pasa por el punto (1,5)
(-1,5) (1,5)
(0,4)
Y
X

EJERCICIO 3 : Graficar f(x) = – X2
+ 5X – 4
Solución :
a = –1 ; b = 5 ; c = – 4
Cuando a < 0 la parábola es cóncava hacia abajo ;
!"#
$%
X =
!"&
'(
; X =
!)<*
')!+*
; X =
!<
!'
; X = 2,5
Esto significa que por X = 2,5 pasará una recta perpendicular al eje X
que representa al eje de simetría de la parábola.
Se introduce este valor en la función f(x) = – X2 + 5X – 4 para
f(2,5) = – (2,5)2 + 5(2,5) – 4 = – 6,25 + 12,5 – 4 = 2,25
f(2,5) = 2,25
Esto nos indica que el vértice de la parábola es el punto. ( 2.5 , 2.25 )
b2 – 4ac = (5)2 – 4(-1)(-4) = 25 – 16 = 9
en dos puntos).
, =
-. ± /.' - 401
20
, =
!<"±"/>
')!+*
=
!<"±"7
!'
Vértice (0,4)
Eje de
simetría
X
Y

X1 =
!<9"7
!'
=
!'
!'
""""""""""; X1 = 1
X2 =
!<!"7
!'
=
!?
!'
""""""""""; X2 = 4
Esto nos indica que la parábola pasa por el punto. (4,0)
– 8X + 16
Solución :
a = 1 ; b = - 8 ; c = 16
!"#
$%
X =
!"&
'(
; X =
!)!?*
')+*
; X =
?
'
; X = 4
Esto significa que por X = 4 pasará una recta perpendicular al eje X
Se introduce este valor en la función f(x) = X2 – 8X + 16 para
f(4) =(4)2 – 8(4) + 16 = 16– 32 + 16 = 0 ; f(4) = 0
Esto nos indica que el vértice de la parábola es el punto. ( 4 ,0 )
b2 – 4ac = (8)2 – 4(1)(16) = 64 – 64 = 0
Como b2 – 4ac = 0 la función tiene 2 raíces iguales (tiene su vértice
en un punto contenido en el eje X).
Eje de
simetría
Vértice (2.5,2.25)

Otra particularidad que presenta el hecho de que el determinante sea
igual a cero es que al calcular el punto donde la parábola corta al eje X
es el mismo vértice.
Esta consideración anterior nos obliga a aplicar el cuarto paso como si
no existieran raíces reales.
Cuarto paso : Se procede a calcular dos puntos de la parábola, uno
ubicado al lado izquierdo del eje de simetría y el otro al lado derecho,
esto nos facilitará visualizar fácilmente la configuración de la parábola.
Como el eje de simetría es X = 4 puedo calcular los puntos cuando
X = 3 y cuando X = 5, para lo cual sustituyo estos valores en la
función f(x) = X2 – 8X + 16
Para X = 3 ; f(3) = (3)2 – 8(3) + 16 = 9 – 24 + 16 = 1
Para X = 5 ; f(5) = (5)2 – 8(5) + 16 = 25 – 40 + 16 = 1
En este caso en particular si unimos los tres puntos se deduce
fácilmente que la parábola quedará graficada así :
+ 4X
Solución :
a = 1 ; b = 4 ; c = 0
!"#
$%
Vértice (4,0)
Eje de
simetría
X
(5,1)
(3,1)

X =
!"&
'(
; X =
!)6*
')+*
; X =
!6
'
; X = -2
Esto significa que por X = - 2 pasará una recta perpendicular al eje X
Se introduce este valor en la función f(x) = X2 + 4X para determinar el
vértice de la parábola.
f(-2) = (-2)2 + 4(-2) = 4 – 8 = – 4 ; f(-2) = – 4
Esto nos indica que el vértice de la parábola es el punto. ( -2 ,-4 )
b2 – 4ac = (4)2 – 4(1)(0) = 16 – 0 = 16
en dos puntos).
, =
-. ± /.' - 401
20
, =
!6"±"/+8
'
=
!6"±"6
'
X1 =
!69"6
'
=
:
'
""""""""""; X1 = 0
X2 =
!6!"6
'
=
!?
'
""""""""""; X2 = – 4
Esto nos indica que la parábola pasa por el punto. (–4,0)

EJERCICIO 6 : Graficar f(x) = – 8X2
+ 24X – 16
– 2X – 3
Vértice (1.5,2)
Vértice (1,-4)
Eje de
simetría

/D)XQFLyQ9DORU$EVROXWR
(ODERUDGRSRU/LFGR(OLH]HU0RQWRDKWWSHOLPDWKMLPGRFRP
/DIXQFLyQ9DORU$EVROXWR
/DIXQFLyQ9DORU$EVROXWRHVXQDIXQFLyQUHDOGHYDULDEOHUHDO
I →
GHILQLGDDVL

[ VL [
I [ [
[ VL [
≥

°
= ®
°−
¯

(OYDORUDEVROXWRPLGHODGLVWDQFLDTXHKDGHVGHHOFHURKDFXDOTXLHUSXQWRGHODUHFWD
GLFKDGLVWDQFLDHVPDRURLJXDOTXHFHUR

[
I [ [
=

9HULILTXHPRVODFXHQWDSDUDXQYDORUQHJDWLYR
3DUD[ HQWRQFHV
I − = − = − − =
$KRUDSDUDFXDOTXLHUYDORUSRVLWLYR
3DUD[ HQWRQFHV
I = =
/DJUiILFDGHODIXQFLyQ I [ [
= YLHQHGDGDSRU

(O'RPLQLRGHODIXQFLyQYDORUDEVROXWR I [ [
= HVWRGRVORVQ~PHURVUHDOHV
( )

'RP I [ = −∞ +∞ =
(OUDQJRGHODIXQFLyQYDORUDEVROXWR I [ [
= HVWDIRUPDGRSRUORVQ~PHURV
UHDOHVSRVLWLYRLQFOXHQGRHOFHUR [ )

5JR I [ +
= +∞ =

/DIXQFLyQYDORUDEVROXWRHQIRUPDJHQHUDOOLQHDOHVWDGHILQLGDDVt
( )
(OYHUWLFHYLHQHGDGRSRU
[ K N VL [ K
I [ [ K N K N
[ K N VL [ K
− + ≥

°
= − + ∴
®
°− − +
¯

,DVRRQVLGHUHPRVKGLIHUHQWHGHFHURNLJXDODFHUR

+
= [
[
I
(OYpUWLFHGHGLFKDIXQFLyQHVHO3XQWR DTXH
[ [
+ = ⇔ =− GHHVWDPDQHUD
ODIXQFLyQHVWDUiGHILQLGDSRUGRVUHFWDRIXQFLRQHVDILQHVFRPRVHPXHVWUD

( )

'RP I [ = −∞ +∞ =

[ )

5JR I [ +
= +∞ =

3DUD
[ ≥ − WHQHPRV
[ +∞
[ +∞
3DUD
[ −
[ −∞
[ +∞

/DJUiILFDGH
+
= [
[
I

( )

[ VL [
I [ [
[ VL [
+ ≥ −
°
= + = ®
°− + −
¯


−
= [
[
I
[ [
− = ⇔ = GHHVWDPDQHUDOD
IXQFLyQHVWDUiGHILQLGDSRUGRVUHFWDRIXQFLRQHVDILQHVFRPRVHPXHVWUD

( )

'RP I [ = −∞ +∞ =

[ )

5JR I [ +
= +∞ =

3DUD
[ ≥ WHQHPRV
[ +∞
[ +∞
3DUD
[
[ −∞
[ +∞

/DJUiILFDGH
−
= [
[
I HVWDGDGDSRU

,,DVRRQVLGHUHPRVTXHKNVRQGLIHUHQWHVGHFHUR

I [ [
= + +

[ [
+ = ⇔ =− GHHVWD
PDQHUDODIXQFLyQHVWDUiGHILQLGDSRUGRVUHFWDVRIXQFLRQHVDILQHVFRPRVHPXHVWUD

( )

[ VL [
I [ [
[ VL [
− ≥
°
= − = ®
°− −
¯


3DUD
[ ≥ − WHQHPRV
[ +∞
[ +∞
3DUD
[ −
[ −∞
[ +∞

/DJUDILFDGHODIXQFLyQ
I [ [
= + +

I [ [
= − −

[ [
− = ⇔ = GHHVWD
PDQHUDODIXQFLyQHVWDUiGHILQLGDSRUGRVUHFWDVRIXQFLRQHVDILQHVFRPRVHPXHVWUD

( )

'RP I [ = −∞ +∞ =

[ )

5JR I [ +
= +∞ =
( )
( )

[ VL [
I [ [
[ VL [
+ + ≥ −

°
= + + =®
°− + + −
¯


( )

'RP I [ = −∞ +∞ =

[ )

5JR I [ +
= − +∞ =

3DUD
[ ≥ WHQHPRV
[ +∞
[ +∞
3DUD
[
[ −∞

[ +∞

/DJUiILFDGHODIXQFLyQ
I [ [
= − − HV

( )
( )

[ VL [
I [ [
[ VL [
− − ≥

°
= − − = ®
°− − −
¯

COMO GRAFICAR UNA FUNCION IRRACIONAL Ing. José Luis Albornoz Salazar - 0 -
Titulo: COMO GRAFICAR UNA FUNCIÓN
iRRACIONAL

COMO GRAFICAR UNA FUNCIÓN
iRRACIONAL
Antes de iniciar el procedimiento de cómo graficar este tipo de función,
consideramos necesario recordar algunos aspectos importantes sobre
los SIGNOS DE LAS RAÍCES :
1 ) Las raíces impares de una cantidad tienen el mismo signo
que la cantidad sub-radical o radicando.
Así,
o !27#
$
= 3a porque (3a)3 = 27a3
o !%27#
$
= –3a porque (–3a)3 = –27a3
o !'(
)
= X2 porque (X2)5 = X10
o !%'(
)
= –X2 porque (–X2)5 = –X10
2 ) Las raíces pares de una cantidad positiva tienen doble
signo.
Así,
o !25* = 5X ó –5X porque (5X)2 = 25X2 y (–5X)2= 25X2
Esto se indica de este modo : !25* = 5X
o !16+
,
= 2a y –2a porque (2a)4 = 16a4 y (–2a)4 =
16a4
Esto se indica : !16+
,
= 2a
3 ) Las raíces pares de una cantidad negativa no se pueden
extraer. Estas raíces se llaman cantidades imaginarias.
Así,
!%4 no se puede extraer. La raíz de – 4 no es 2 porque “22 = 4” y
no – 4, y tampoco es – 2 porque (– 2)2 = 4 y no – 4.
“!%4 “ es una cantidad imaginaria.
EJERCICIO 1 : Graficar f(x) = !- . /0//
Primero se determina el dominio de la función a graficar.
Como la función está determinada por una Raíz Cuadrada (índice par) y
las raíces pares de una cantidad negativa no se pueden extraer (son
cantidades imaginarias) significa que el dominio de la función estará
conformada únicamente por aquellos valores que garanticen que la
cantidad sub-radical o radicando sea mayor o igual a cero.
Luego: X + 3 tiene que ser mayor o igual a cero.
X + 3 ! 0 ; X ! – 3
Tomando en cuenta lo indicado anteriormente se deben asignar valores
mayores e igual a menos tres (-3) a la función para graficarla.
Es recomendable hacerlo con cuatro o más valores para calcular puntos
suficientes de manera que la gráfica sea lo más representativa posible :
Para X = - 3 ; f(-3) = !%3 . /3// ; f(-3) = !8//= 8/
Esto nos indica que la función pasa por el punto (-3,0)
Para X = - 2 ; f(-2) = !%2 . /3// ; f(-2) = !1//= 1/
Esto nos indica que la función pasa por el punto (-2,1)
Para X = - 1 ; f(-1) = !%1 . /3// ; f(-1) = !2//= 1941/
Esto nos indica que la función pasa por el punto (-1,1.41)
Para X = 0 ; f(0) = !8 . /3// ; f(0) = !3//= 1973/
Esto nos indica que la función pasa por el punto (0,1.73)
Para X = 1 ; f(1) = !1 . /3// ; f(1) = !4//= 2/
Esto nos indica que la función pasa por el punto (1,2)

X - 3 - 2 - 1 0 1
Y 0 1 1,41 1,73 2
EJERCICIO 2 : Graficar f(x) = !%:- . /;//
El dominio de la función estará conformada únicamente por aquellos
valores que garanticen que la cantidad sub-radical o radicando sea
mayor o igual a cero.
- 2X + 4 ! 0 ; -2X ! – 4 por menos uno ; 2X 4 ; X 2
Tomando en cuenta lo indicado anteriormente se deben asignar valores
menores e igual a dos (2) a la función para graficarla.
Es recomendable hacerlo con cuatro o más valores para calcular puntos
suficientes de manera que la gráfica sea lo más representativa posible :
Para X = 2 ; f(2) = %22? . /4//; f(2) = !8//= 8/
Para X = 1 ; f(1) = %21? . /4//; f(1) = !2//= 1941/
Esto nos indica que la función pasa por el punto (1,1.41)
Para X = 0 ; f(0) = %28? . /4//; f(0) = !4//= 2/
Para X = -1 ; f(-1) = %2%1? . /4//; f(-1) = !6//= 2945/
Para X = -2 ; f(-2) = %2%2? . /4//; f(-2) = !@//= 29@3/
X - 2 - 1 0 1 2
Y 2,83 2,45 2 1,41 0

EJERCICIO 3 : Graficar f(x) = !-//
X 0
EJERCICIO 4 : Graficar f(x) = !%-//
- X 0 multiplicando por menos uno X ! 0
EJERCICIO 5 : Graficar f(x) = !- % :
0
//
Las raíces impares de una cantidad tienen el mismo signo que la
cantidad sub-radical o radicando.
Esto nos indica que la X puede tomar cualquier valor y que el dominio de
la función es el conjunto de los números reales. Luego, para graficar la
función, lo único que debemos hacer es asignar valores (cualesquiera) a
la X para determinar los puntos que conforman la gráfica.
Sin embargo, se recomienda calcular los cortes con los ejes para
visualizar mejor la gráfica.
Para calcular el corte con el eje “X” igualamos la cantidad sub-radical o
radicando a cero.
X – 2 = 0 ; X = 2
Para calcular el corte con el eje “Y” hacemos X = 0, es decir calculamos
el valor de la función cuando X vale cero [ f(0) ].
Para X = 0 ; f(0) = !8 % 2
$
////; f(0) = !%2
$
///= %1926/
Esto nos indica que la función pasa por el punto (0,-1.26)
Para que la función sea graficada de la manera más exacta posible se
recomienda calcular dos puntos antes o después de cada corte con los
ejes y dos puntos entre los ejes.
Estudiando dos puntos antes del corte con el eje “Y” :
Para X = - 1 ; f(-1) = !%1 % 2
$
////; f(-1) = !%3
$
///= %1944
Para X = - 2 ; f(-2) = !%2 % 2
$
////; f(-2) = !%4
$
///= %195A
Estudiando dos puntos entre los cortes con los ejes :
Para X = 1 ; f(1) = !1 % 2
$
////; f(1) = !%1
$
///= %1

Para X = 1,5 ; f(1,5) = 195 % 2
$
////; f(1,5) = %895
$
/= %897A
Estudiando dos puntos después del corte con el eje “X” :
Para X = 3 ; f(3) = !3 % 2
$
////; f(3) = !1
$
///= 1
Para X = 4 ; f(4) = !4 % 2
$
////; f(4) = !2
$
///= 1926
X -2 -1 0 1 1,5 2 3 4
Y -1,59 -1,44 -1,26 -1 -0,79 0 1 1,26
EJERCICIO 6 : Graficar f(x) = !%/:- . ;
0
//
X -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Y 2,15 2 1,81 1,59 1,26 0 -1,26 -1,59
Recomendamos ver los videos a los que podrás acceder de
manera gratuita en la página web :
www.lamatematicadefidel.com
identificados como :
· Propiedades y grafica de una función irracional .

COMO GRAFICAR UNA FUNCION RACIONAL Ing. José Luis Albornoz Salazar - 0 -
Titulo: COMO GRAFICAR UNA FUNCION
RACIONAL

COMO GRAFICAR UNA FUNCION
RACIONAL
Graficar este tipo de función requiere mayor atención
que las otras, sobre todo por la presencia de las
“ASÍNTOTAS” y “HUECOS”.
Una ASÍNTOTA es una recta a la cual se aproxima la gráfica, al
crecer indefinidamente “X” o “Y”, pero nunca la toca.
La figura muestra la gráfica de la función !() =#
$#%#
$#'#*
y podemos
observar la presencia de una “asíntota vertical” en X = 3.
Un HUECO representa el valor que no se le puede asignar a la
función por presentar una indeterminación al sustituir la variable “X en la
misma. Recuerde que
+
+
es una indeterminación.
Así, en la gráfica de !() =#
$'#,
$#'#,
podemos observar un “hueco”
cuando X = 1.
Tipos de asíntotas :
ASÍNTOTA HORIZONTAL :
Para saber si una función racional tiene asíntota horizontal solo se
comparan los grados del numerador y denominador.
Si en la función #########-(.) =# /#0
1
2# 332#4
5#0
6
2# 332#7
1) n m f(x) NO posee asíntota horizontal
2) n = m f(x) SI posee asíntota horizontal y es la recta 8 =#
9
:
3) n m f(x) SI posee asíntota horizontal y es el eje X.
Asíntota

Ejemplo del caso 1 : n m f(x) NO posee asíntota vertical.
!() =#
$'#,
$#'#,
n = 2 ; m = 1
Ejemplo del caso 2 : n = m f(x) SI posee asíntota horizontal y es
la recta 8 =#
9
:
!() =#
;$#%#
$#'#
n = 1 ; m = 1
Como a = 4 y b = 2 la asíntota horizontal será la recta 8 =#

?
#= @
Ejemplo del caso 3 : n m f(x) SI posee asíntota horizontal y es
el eje X.
!() =#
#
$#'#,
; n = 0 ; m = 1
y = 2 (Asíntota horizontal)

ASÍNTOTA VERTICAL :
Para encontrar una asíntota vertical se iguala el denominador a cero. Las
raíces del polinomio que conforma el denominador de la función
representarán los valores de X por donde pasa la asíntota vertical
(Perpendicular al eje X).
Ejemplo 1 : !() =#
$#%#
$#'#*
Cuando X – 3 = 0 ; X = 3 ; nos indica que por X=3 pasará una
asíntota vertical (perpendicular al eje X) :
Una función puede tener más de una asíntota vertical, todo depende
de las raíces que posee el denominador. Sin embargo, algunas
veces, una de las raíces del denominado indica la presencia de un
“hueco” de la función (este caso será explicado más adelante con
un ejemplo).
Ejemplo 2 : ##!() =#*$

2#,
$

A#,
Como el denominador posee dos raíces : X = 4 y X = - 4, nos indica la
presencia de dos asíntotas verticales (una en cada raíz).
Una función puede poseer asíntotas horizontales y verticales a la vez.
Asíntota vertical
en X=3

ASÍNTOTA OBLICUA :
La asíntota oblicua es una asíntota que no es horizontal ni vertical.
¿Cómo identificar una asíntota oblicua en una función?
Si en una función el grado del numerador es una unidad mayor que el
denominador, la función tiene asíntota oblicua.
Ejemplo : !() =#
$'#B$%,,
$#'#
Una función puede poseer asíntotas oblicuas y verticales a la vez.
Observe bien la gráfica anterior y notará que además de la asíntota
oblicua señalada también hay una asíntota vertical en X = 2. Aspecto
que resulta lógico ya que el denominador de la función es X - 2
Tomando en cuenta los aspectos señalados
anteriormente se sugieren los siguientes pasos para
graficar una función racional :
1) Identificar y graficar en “líneas punteadas” las posibles
asíntotas que pueda tener la función.
2) Determinar si existen cortes con el eje “X” (Esto se obtiene
igualando el numerador a cero).
3) Determinar si existen cortes con el eje “Y” (Esto se obtiene
haciendo “X=0” en la función). En otras palabras calculando
f(0).
4) Calcular tres o cuatro puntos de la función en cada uno de
los intervalos en que quedó dividido el sistema de
coordenadas una vez graficadas las asíntotas verticales.
Con la finalidad de fijar bien los pasos indicados anteriormente se
procederá a resolver varios ejercicios de menor a mayor grado de
dificultad.
Ejercicio 1 : Graficar la función !() =#
$#%#
$#'#*
Primero : Identificar y graficar en “líneas punteadas”
las posibles asíntotas que pueda tener la función.
Si en la función #########-(.) =# /#0
1
2# 332#4
5#0
6
2# 332#7
Asíntota oblicua

9
:
Esta función cumple con el caso 2, luego la asíntota horizontal es la
recta “Y = 1” ( C =#
D
D
#)
Cuando X – 3 = 0 ; X = 3
Esto nos indica que por “X = 3” pasará una asíntota vertical
(perpendicular al eje X) :
ASÍNTOTA OBLICUA :
Como en este caso ambos grados son iguales no hay asíntota oblicua.
Segundo : Determinar si existen cortes con el eje “X”
(Esto se obtiene igualando el numerador a cero).
X + 2 = 0 ; X = – 2
Esto nos indica que la función corta al eje X en el punto (– 2,0)
Tercero : Determinar si existen cortes con el eje “Y”
(Esto se obtiene haciendo “X=0” en la función). En
otras palabras calculando f(0).

-(.) =#
E#%#?
E#'#F
; -(G) =#
+#%#?
+#'#F
; -(G) =#
#?
#'#F
= -0,67
Esto nos indica que la función corta al eje Y en el punto (0 , – 0.67)
Graficando estos “puntos de corte” en el plano se nos va facilitando la
visualización de la futura gráfica :
Cuarto : Calcular tres o cuatro puntos de la función en
cada uno de los intervalos en que quedó dividido el
sistema de coordenadas una vez graficadas las
asíntotas verticales.
Notamos que el eje X quedó dividido en dos intervalos, uno a la
izquierda y otro a la derecha de la asíntota vertical en X = 3.
En el intervalo de la izquierda ya están graficados dos puntos (los cortes
con los ejes), luego sería necesario graficar uno o dos puntos más.
Para X = 1
-(.) =#
E#%#?
E#'#F
; -(H) =#
D#%#?
D#'#F
; -(H) =#
#F
#'#?
= -1,5
Esto nos indica que la función “pasa” por el punto (1 , -1.5)
Para X = 2
-(.) =#
E#%#?
E#'#F
; -(@) =#
?#%#?
?#'#F
; -(@) =#
#
#'#D
= -4
Esto nos indica que la función “pasa” por el punto (2 , -4)
Dando valores a la derecha de la asíntota vertical :
Para X = 4
-(.) =#
E#%#?
E#'#F
; -(I) =#
#%#?
#'#F
; -(I) =#
#J
#D
= 6
Esto nos indica que la función “pasa” por el punto (4,6)
Para X = 5
-(.) =#
E#%#?
E#'#F
; -(K) =#
L#%#?
L#'#F
; -(K) =#
#M
#?
= 3,5
Esto nos indica que la función “pasa” por el punto (5 , 3.5)
Para X = 6
-(.) =#
E#%#?
E#'#F
; -(N) =#
J#%#?
J#'#F
; -(N) =#
#O
#F
= 2,67
Para X = 7
-(.) =#
E#%#?
E#'#F
; -(P) =#
M#%#?
M#'#F
; -(P) =#
#Q
#
= 2,25
Todos estos puntos se grafican sobre el mismo sistema de coordenadas

Una vez graficados los puntos y recordando el concepto de asíntota, la
gráfica quedará expresada así :
X -2 0 1 2 4 5 6 7
Y 0 -0,67 -1,5 -4 6 3,5 2,67 2,25
Este ejercicio está explicado de manera excelente y “paso a paso” en el
video 2 de PROPIEDADES Y REPRESENTACION GRAFICA DE
FUNCIONES RACIONALES que podrás ver gratuitamente en la página
web :
$'#,
$%#*
Si en la función #########-(.) =# /#0
1
2# 332#4
5#0
6
2# 332#7
9
:
recta Y =
,

= 0,5

Cuando 2X + 3 = 0 ; 2X = –3 ; C =#
'F
?
#=#AHRK
Esto nos indica que por “X = -1,5” pasará una asíntota vertical
ASÍNTOTA OBLICUA :
X – 1 = 0 ; X = 1
Esto nos indica que la función corta al eje X en el punto ( 1,0 )
-(.) =#
E'#D
?E%#F
; -(G) =#
+'#D
?(+)%#F
; -(G) =#
'D
#F
= -0,33
Graficando estos “puntos de corte” en el plano se nos va facilitando la
visualización de la futura gráfica :
izquierda y otro a la derecha de la asíntota vertical en X = -1,5.
En el intervalo de la derecha ya están graficados dos puntos (los cortes
con los ejes), luego sería necesario graficar uno o dos puntos más.

Para X = -1
-(.) =#
E'#D
?E%#F
; -(AH) =#
'D'#D
?('D)%#F
; -(AH) =#
'?
#D
= -2
Esto nos indica que la función “pasa” por el punto (-1 , -2)
Para X = 2
-(.) =#
E'#D
?E%#F
; -(@) =#
?'#D
?(?)%#F
; -(@) =#
D
#M
= 0,14
Dando valores a la izquierda de la asíntota vertical :
Para X = -2
-(A@) =#
'?'#D
?('?)%#F
; -(A@) =#
'F
'D
= 3
Esto nos indica que la función “pasa” por el punto (-2,3)
Para X = -3
-(AS) =#
'F'#D
?('F)%#F
; -(AS) =#
'
'F
= 1,33
Esto nos indica que la función “pasa” por el punto (-3 , 1.33)
Para X = -4
-(AI) =#
''#D
?(')%#F
; -(AI) =#
'L
'L
= 1
Esto nos indica que la función “pasa” por el punto (-4 , 1)
Para X = -5
-(AK) =#
'L'#D
?('L)%#F
; -(AK) =#
'J
'M
= 0,86
Todos estos puntos se grafican sobre el mismo sistema de coordenadas.
Una vez graficados los puntos y recordando el concepto de asíntota, la
gráfica quedará expresada así :
X -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
Y 0,86 1 1,33 3 -2 -0,33 0 0,14
Este ejercicio está explicado de manera excelente y “paso a paso” en el
video 3 de PROPIEDADES Y REPRESENTACION GRAFICA DE
FUNCIONES RACIONALES que podrás ver gratuitamente en la página
web :

$'#,
$#'#,
Cuando observe que una función racional presenta un polinomio igual o
mayor de segundo grado (en el numerador o en el denominador) es
recomendable efectuar su factorización.
Esto nos permitirá visualizar si existen raíces comunes en el numerador
y denominador.
Si existe alguna raíz o raíces comunes esto nos indicará que existe uno
o varios puntos donde la función posee una indeterminación del tipo
“cero entre cero” (##
+
+
##). Esta raíz representará la presencia de un
“hueco” y no de asíntotas.
En la función que queremos graficar observamos que el numerador es
un polinomio de segundo grado. Al factorizarlo (diferencia de cuadrados)
obtendremos :
X2 – 1 = (X +1).(X – 1)
Luego la función quedará expresada como :
-(.) =#
(0 2 H)3 (0 A H)
0 A H
El factor “X – 1” se encuentra tanto en el numerador como en el
denominador. Cuando este factor se “haga” igual a cero es evidente que
se generará una indeterminación del tipo cero sobre cero.
Para que X – 1 = 0 ; X = 1 ; entonces X = 1 es una raíz común
del numerador y denominador.
Si tomamos en cuenta que se puede suprimir el factor (X – 1) tanto en el
numerador como en el denominador notaremos que surge una función
equivalente a la estudiada :
-(.) =
(E%D)3(E'D)
(E'D)
= 0 2 H
El hecho de factorizar la función nos facilita el procedimiento para
graficarla, ya que la función equivalente obtenida es de menor grado y es
más fácil calcular sus puntos.
Sin embargo, NO SE DEBE OLVIDAR que se debe graficar el “hueco”
que generará la raíz que es común al numerador y el denominador.
En este ejercicio ese valor está representado por “X = 1”. Introduciendo
este valor en la función equivalente obtendré la ubicación del “hueco”.
-(.) = #0 2 H ; -(H) = #H 2 H#### = #####@
Esto nos indica que la función tiene un “hueco” en (1 , 2)
Ahora grafico la función equivalente -(.) = #0 2 H e indico la
presencia del “hueco”.

$%#*%
$'#$'*
y denominador.
+
+
En la función que queremos graficar observamos que tanto el numerador
como el denominador son polinomios de segundo grado. Al factorizarlos
obtendremos :
-(.) =#
ET%#FU%?
ET'#?E'F
; -(.) =#
(E%?)(E%D)
(E'F)(E%D)
El factor “X + 1” se encuentra tanto en el numerador como en el
denominador. Cuando este factor se “haga” igual a cero es evidente que
se generará una indeterminación del tipo cero sobre cero.
Para que X + 1 = 0 ; X = –1 ; entonces X = –1 es una raíz
común del numerador y denominador.
Si tomamos en cuenta que se puede suprimir el factor (X + 1) tanto en el
numerador como en el denominador notaremos que surge una función
equivalente a la estudiada :
-(.) =#
(E%?)(E%D)
(E'F)(E%D)
; -(.) =#
(E%?)
(E'F)
El hecho de factorizar la función nos facilita el procedimiento para
graficarla, ya que la función equivalente obtenida es de menor grado y es
más fácil calcular sus puntos.
Sin embargo, NO SE DEBE OLVIDAR que se debe graficar el “hueco”
que generará la raíz que es común al numerador y el denominador.
En este ejercicio ese valor está representado por “X = –1”. Introduciendo
este valor en la función equivalente obtendré la ubicación del “hueco”.
-(.) =#
(E%?)
(E'F)
; -(AH) =#
('D%?)
('D'F)
# = #
H
AI
## = # AGR@K
Esto nos indica que la función tiene un “hueco” en (-1 , -0.25)
Ahora grafico la función equivalente -(.) =#
(E%?)
(E'F)
e indico la
presencia del “hueco”.
La gráfica de esta función equivalente está explicada en el ejercicio 1 de
esta guía.

;$%#;
$'#V
y denominador.
+
+
En la función que queremos graficar observamos que tanto el numerador
como el denominador son polinomios de segundo grado.
Al tratar de factorizar el numerador (4X2 + 4) notaremos que es un
polinomio “NO FACTORIZABLE” (al aplicar la formula general de
segundo grado o resolvente notaremos que dentro de la raíz cuadrada
se presentará un número negativo y éstos generan una raíz imaginaria).
Esto nos indica que no existen “huecos” en la función ni cortes con el eje
X.
Ahora procedo de acuerdo a lo indicado en los ejercicios 1 y 2 de esta
guía.
Si en la función #########-(.) =# /#0
1
2# 332#4
5#0
6
2# 332#7
9
:
recta “ Y = #
;

#= #”
Las raíces del polinomio 2X2 – 8 son :

X = 2 y X = - 2
grado o el método de factorización que le sea más cómodo.
Esto nos indica que la gráfica presentará dos asíntotas verticales, una
en X = 2 y otra en X = - 2
ASÍNTOTA OBLICUA :
Como ya pudimos notar al principio de este ejercicio, el polinomio que
conforma el numerador no tiene raíces reales, por lo tanto LA FUNCIÓN
NO “CORTA” AL EJE X.
-(.) =#
ET%#
?ET'#O
; -(G) =#
(+)T%#
?(+)T'#O
; -(G) =#
#
'#O
-(G) =##
#I
A#W
#=#AGRK
Notamos que el eje X quedó dividido en tres intervalos, uno a la
izquierda de “-2”, uno entre “-2” y “2”, y otro a la derecha de “2”.
Estudiando el intervalo a la izquierda de “-2” :
Para X = -6
-(.) =#
ET%#
?ET'#O
; -(AN) =#
('J)T%#
?('J)T'#O
#= ##@RSH

Para X = -5
-(.) =#
ET%#
?ET'#O
; -(AK) =#
('L)T%#
?('L)T'#O
#= ##@RIP
Para X = -4
-(.) =#
ET%#
?ET'#O
; -(AI) =#
(')T%#
?(')T'#O
#= ##@RWS
Para X = -3
-(.) =#
ET%#
?ET'#O
; -(AS) =#
('F)T%#
?('F)T'#O
#= ##I
Esto nos indica que la función “pasa” por el punto (-3 , 4)
Estudiando el intervalo entre “-2” y “2” :
En este intervalo sabemos que existe el corte con el eje “Y”. Fue
calculado en el paso 3 [ la función corta al eje Y en el punto (0 , – 0.5) ]
Luego es necesario estudiar un punto antes y otro después del corte con
el eje Y. Esto nos permite visualizar fácilmente si la concavidad es
positiva o negativa.
Para X = -1
-(.) =#
ET%#
?ET'#O
; -(AH) =#
('D)T%#
?('D)T'#O
#=#AHRSS
Esto nos indica que la función “pasa” por el punto (-1 , -1.33)
Para X = 1
-(.) =#
ET%#
?ET'#O
; -(H) =#
(D)T%#
?(D)T'#O
#=#AHRSS
Esto nos indica que la función “pasa” por el punto (1 , -1.33)
Estudiando el intervalo a la derecha de “2” :
Para X = 3
-(.) =#
ET%#
?ET'#O
; -(S) =#
(F)T%#
?(F)T'#O
#= ##I
Esto nos indica que la función “pasa” por el punto (3 , 4)
Para X = 4
-(.) =#
ET%#
?ET'#O
; -(I) =#
()T%#
?()T'#O
#= ##@RWS
Para X = 5
-(.) =#
ET%#
?ET'#O
; -(K) =#
(L)T%#
?(L)T'#O
#= ##@RIP
Para X = 6
-(.) =#
ET%#
?ET'#O
; -(N) =#
(J)T%#
?(J)T'#O
#= ##@RSH
Con esta información podemos graficar la función de una manera
bastante precisa.
Se recomienda que se vaya graficando intervalo por intervalo y tomando
mucho en cuenta la definición de asíntota y los cortes con el eje
horizontal y el eje vertical cuando los haya.

X -6 -5 -4 -3 -1 0 1 3 4 5 6
Y 2,31 2,47 2,83 4 -1,33 -0,5 -1,33 4 2,83 2,47 2,31 Ejercicio 6 : Graficar !() =#
$'#B$%,,
$#'#
y denominador.
+
+
En la función que queremos graficar observamos que el numerador es
un polinomio de segundo grado.
Al tratar de factorizar el numerador notaremos que es un polinomio “NO
FACTORIZABLE” (al aplicar la formula general de segundo grado o
resolvente notaremos que dentro de la raíz cuadrada se presentará un
número negativo y éstos generan una raíz imaginaria).
Esto nos indica que no existen “huecos” en la función ni cortes con el eje
X.
Ahora procedo de acuerdo a lo indicado en los ejercicios 1 y 2 de esta
guía.
Si en la función #########-(.) =# /#0
1
2# 332#4
5#0
6
2# 332#7

9
:
Esta función cumple con el caso 2, n m f(x) NO posee asíntota
horizontal
X – 2 = 0 ; X = 2
Esto nos indica que por “X = 2” pasará una asíntota vertical
ASÍNTOTA OBLICUA :
Como en este caso la afirmación anterior se cumple, se procede a
calcular la ecuación de la asíntota oblicua.
Para calcular la ecuación de la asíntota oblicua se divide el numerador
por el denominador y el cociente obtenido representará la ecuación
buscada (se recomienda “repasar” DIVISION DE POLINOMIOS).
En este caso en particular :
ET'#LE%DD
E#'#?
#=##(#0 A #S#) 2 #K
Cociente Resto
El cociente obtenido (X – 3) es la ecuación de una recta y su gráfica
representará la asíntota oblicua de la función estudiada.
Como ya pudimos notar al principio de este ejercicio, el polinomio que
conforma el numerador no tiene raíces reales, por lo tanto LA FUNCIÓN
NO “CORTA” AL EJE X.
-(.) =#
ET'#LE%DD
E#'#?
##########; -(G) =#
(+)T'#L(+)%DD
+#'#?
#
-(G) =##
#HH
A#@
#=#AKRK
izquierda y otro a la derecha de la asíntota vertical en X = 2.
Con esta información podemos graficar la función de una manera
bastante precisa.
Se recomienda que se vaya graficando intervalo por intervalo y tomando
mucho en cuenta la definición de asíntota y los cortes con el eje
horizontal y el eje vertical cuando los haya.

X -2 -1 0 1 3 4 5 6
Y -6,25 -5,67 -5,5 -7 5 3,5 3,67 4,24
;$%#;
$%#V
$*%#*$%$
$%#*%
Este ejercicio ha “asustado” a muchos de los estudiantes de bachillerato
y de la universidad. Al ver que el numerador es un polinomio de tercer
grado se imaginan que la gráfica resultará muy difícil.
Vean lo fácil que es graficar esta función :
Factorizando el numerador y denominador tendremos :
-(.) =#
EX%#FET%?E
ET%#FU%?
; -(.) =#
E3(ET%#FE%?)
ET%#FE%?
-(.) =#
E3(E%?)3(E%D)
(E%?)3(E%D)
; -(.) = 0
Lo que nos indica que la función a graficar será “Y = X” pero
presentando “huecos” cuando X+2=0 y cuando X+1=0 (X=-2 y X=-1)
Asíntota oblicua
f(x) = X - 3

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