Rutas matematica-iv (1)

¿Qué y cómo aprenden nuestros
niños y niñas?
Área Curricular
3.° y 4.° grados de Educación Primaria
Matemática
IV
Ciclo
Versión 2015

2 3
Índice
Presentación .............................................................................................................................................. Pág. 5
Introducción ................................................................................................................................................ 7
1. Fundamentos y definiciones ..................................................................................................................... 8
1.1 ¿Por qué aprender matemática? ..................................................................................................... 8
1.2 ¿Para qué aprender matemática? .................................................................................................. 10
1.3 ¿Cómo aprender matemática? ....................................................................................................... 12
2. Competencias y capacidades ................................................................................................................. 16
2.1 Competencias matemáticas............................................................................................................ 18
1. Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad............................................ 18
2. Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad,
equivalencia y cambio............................................................................................................... 20
3. Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento
y localización .............................................................................................................................. 22
4 . Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de gestión de datos
e incertidumbre .......................................................................................................................... 24
2.2 Capacidades matemáticas ............................................................................................................. 25
Capacidad 1: Matematiza situaciones .......................................................................................... 25
Capacidad 2: Comunica y representa ideas matemáticas ........................................................ 26
Capacidad 3: Elabora y usa estrategias ....................................................................................... 28
Capacidad 4: Razona y argumenta generando ideas matemáticas......................................... 29
2.3 ¿Cómo se desarrolla las competencias en el IV ciclo? ................................................................ 30
2.3.1 Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad........................................ 30
2.3.2 Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad,
equivalencia y cambio .......................................................................................................... 49
2.3.3 Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma,
movimiento y localización .................................................................................................... 62
2.3.4 Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de gestión de datos
e incertidumbre ..................................................................................................................... 73

En vista de que en nuestra opinión, el lenguaje escrito no ha encontrado aún una manera
satisfactoria de nombrar a ambos géneros con una sola palabra, en este fascículo se ha optado por
emplear términos en masculino para referirse a ambos géneros.
Ministerio de Educación
Av. De la Arqueología, cuadra 2 - San Borja
Lima, Perú
Teléfono 615-5800
www.minedu.gob.pe
Versión 1.0
Tiraje: 228,100 ejemplares
Elaboración:
Nelly Gabriela Rodríguez Cabezudo, Giovanna Karito Piscoya Rojas, Pedro David Collanqui Díaz,
Marisol Zelarayan Adauto. María Isabel Díaz Maguiña. SINEACE - Programa de Estándares de
Aprendizaje: Gina Patricia Paz Huamán, Lilian Edelmira Isidro Cámac.
Colaboradores:
Félix Rosales Huerta, Elwin Contreras, Edith Bustamante, Sonia Laquita, Lorena Puente de la Vega,
Alicia Veiga, Ramiro Febres, José Raúl Salazar La Madrid, Guillermo Liu, Fernando Escudero, Rodrigo
Valera, Andrea Soto.
Cuidado de edición:
Fernando Carbajal Orihuela.
Correción de estilo:
Gustavo Pérez Lavado.
Ilustraciones:
Gloria Arredondo Castillo.
Diseño y diagramación:
Hungria Alipio Saccatoma.
Fotografías:
Paula Yzaguirre, Félix Rosales, Elba Mayna.
Impreso por:
Quad/Graphics Perú S.A.
Av. Los Frutales 344 Ate – Lima
RUC: 20371828851
© Ministerio de Educación
Todos los derechos reservados. Prohibida la reproducción de este material por cualquier medio,
total o parcialmente, sin permiso expreso de los editores.
Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú: Nº 2015 - 03215
Impreso en el Perú / Printed in Peru

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Presentación
3. Orientaciones didácticas........................................................................................................................ 81
3.1 Orientaciones para el desarrollo de la competencia: Actúa y piensa matemáticamente
en situaciones de cantidad ............................................................................................................. 81
3.1.1 Estrategias para la construcción del número..................................................................... 81
3.1.2 Estrategias para la resolución de problemas..................................................................... 86
3.1.3 Estrategias para sumar o restar fracciones ....................................................................... 105
3.1.4 Estrategias de cálculo multiplicativos .................................................................................. 105
3.1.5 Estrategias de cálculo mental............................................................................................... 107
en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio................................................................ 108
3.2.1 Patrones de repetición geométricos con simetría.............................................................. 108
en situaciones de forma, movimiento y localización.................................................................... 123
3.3.1 Estrategias didácticas............................................................................................................ 123
en situaciones de gestión de datos e incertidumbre ................................................................... 133
3.4.1 Situaciones de gestión de datos........................................................................................... 133
3.4.2 Juegos para usar la probabilidad........................................................................................ 137
3.4.3 Uso de materiales manipulativos........................................................................................ 141
Referencias bibliográfícas............................................................................................................................. 142
Anexo 1: Matrices de las cuatro competencias ......................................................................................... 144
Anexo 2: Mapas de progreso ...................................................................................................................... 152
Las Rutas del Aprendizaje son orientaciones pedagógicas y didácticas para una
enseñanza efectiva de las competencias de cada área curricular. Ponen en manos de
nosotros, los docentes, pautas útiles para los tres niveles educativos de la Educación
Básica Regular: Inicial, Primaria y Secundaria.
Presentan:
• Los enfoques y fundamentos que permiten entender el sentido y las finalidades de
la enseñanza de las competencias, así como el marco teórico desde el cual se están
entendiendo.
• Las competencias que deben ser trabajadas a lo largo de toda la escolaridad, y las
capacidades en las que se desagregan. Se define qué implica cada una, así como
la combinación que se requiere para su desarrollo.
• Los estándares de las competencias, que se han establecido en mapas de progreso.
• Los indicadores de desempeño para cada una de las capacidades, por grado o
ciclos, de acuerdo con la naturaleza de cada competencia.
• Orientaciones didácticas que facilitan la enseñanza y el aprendizaje de las
competencias.
Definiciones básicas que nos permiten entender y trabajar con las Rutas del Aprendizaje:
1. Competencia
Llamamos competencia a la facultad que tiene una persona para actuar
conscientemente en la resolución de un problema o el cumplimiento de exigencias
complejas, usando flexible y creativamente sus conocimientos y habilidades,
información o herramientas, así como sus valores, emociones y actitudes.
La competencia es un aprendizaje complejo, pues implica la transferencia y
combinación apropiada de capacidades muy diversas para modificar una
circunstancia y lograr un determinado propósito. Es un saber actuar contextualizado
y creativo, y su aprendizaje es de carácter longitudinal, dado que se reitera
a lo largo de toda la escolaridad. Ello a fin de que pueda irse complejizando de
manera progresiva y permita al estudiante alcanzar niveles cada vez más altos de
desempeño.
2. Capacidad
Desde el enfoque de competencias, hablamos de «capacidad» en el sentido
amplio de «capacidades humanas». Así, las capacidades que pueden integrar una
competencia combinan saberes de un campo más delimitado, y su incremento
genera nuestro desarrollo competente. Es fundamental ser conscientes de que si

6 7
Introducción
bien las capacidades se pueden enseñar y desplegar de manera aislada, es su
combinación (según lo que las circunstancias requieran) lo que permite su desarrollo.
Desde esta perspectiva, importa el dominio específico de estas capacidades, pero
es indispensable su combinación y utilización pertinente en contextos variados.
3. Estándar nacional
Los estándares nacionales de aprendizaje se establecen en los Mapas de progreso
y se definen allí como «metas de aprendizaje» en progresión, para identificar
qué se espera lograr respecto de cada competencia por ciclo de escolaridad.
Estas descripciones aportan los referentes comunes para monitorear y evaluar
aprendizajes a nivel de sistema (evaluaciones externas de carácter nacional) y de
aula (evaluaciones formativas y certificadoras del aprendizaje). En un sentido amplio,
se denomina estándar a la definición clara de un criterio para reconocer la calidad
de aquello que es objeto de medición y pertenece a una misma categoría. En este
caso, como señalan los mapas de progreso, se indica el grado de dominio (o nivel
de desempeño) que deben exhibir todos los estudiantes peruanos al final de cada
ciclo de la Educación Básica con relación a las competencias.
Los estándares de aprendizaje no son instrumentos para homogeneizar a los
estudiantes, ya que las competencias a que hacen referencia se proponen como un
piso, y no como un techo para la educación escolar en el país. Su única función es
medir logros sobre los aprendizajes comunes en el país, que constituyen un derecho
de todos.
4. Indicador de desempeño
Llamamos desempeño al grado de desenvoltura que un estudiante muestra en
relación con un determinado fin. Es decir, tiene que ver con una actuación que logra
un objetivo o cumple una tarea en la medida esperada. Un indicador de desempeño
es el dato o información específica que sirve para planificar nuestras sesiones de
aprendizaje y para valorar en esa actuación el grado de cumplimiento de una
determinada expectativa. En el contexto del desarrollo curricular, los indicadores de
desempeño se encuentran asociados al logro de una determinada capacidad. Así,
una capacidad puede medirse a través de más de un indicador.
Estas Rutas del Aprendizaje se han ido publicando desde el 2012 y están en revisión
y ajuste permanente, a partir de su constante evaluación. Es de esperar, por ello, que
en los siguientes años se sigan ajustando en cada una de sus partes. Estaremos muy
atentos a tus aportes y sugerencias para ir mejorándolas en las próximas reediciones,
de manera que sean más pertinentes y útiles para el logro de los aprendizajes a los que
nuestros estudiantes tienen derecho.
El presente fascículo es la segunda versión de Rutas del Aprendizaje, mejorada y más
completa, fruto del trabajo de investigación y validación en las aulas, del que tú formaste
parte con tu opinión y tus sugerencias en los diversos talleres y eventos. Esta nueva versión
te proporciona pautas para responder a dos preguntas fundamentales: ¿qué enseñar? y
¿cómoenseñar?Elquéenseñarserelacionaconloscontenidosylascapacidades,yelcómo
enseñar, con la variedad de estrategias y recursos que te permitirán generar aprendizajes
significativos en los niños.
Sin duda, la matemática cobra mayor significado y se aprende mejor cuando se aplica
directamente a situaciones de la vida real. Nuestros estudiantes sienten mayor satisfacción
cuando pueden relacionar cualquier aprendizaje matemático nuevo con algo que saben y
con la realidad que los rodea. Esa es una matemática para la vida, donde el aprendizaje se
genera en el contexto de las relaciones humanas y sus logros van hacia ellas.
Por otro lado, la sociedad actual requiere de ciudadanos reflexivos, críticos, capaces de
asumir responsabilidades en su conducción, y la matemática debe ser un medio para ello,
formando estudiantes con autonomía, conscientes de qué aprenden, cómo aprenden y
para qué aprenden. En este sentido, es muy importante el rol del docente como agente
mediador,orientadoryprovocadordeformasdepensaryreflexionardurantelasactividades
matemáticas. Conscientes de esta responsabilidad, mediante el presente fascículo te
brindamos una herramienta pedagógica orientadora para generar esos aprendizajes. Con
tal fin, se adopta un enfoque centrado en la resolución de problemas desde el cual, a partir
de una situación problemática, se desarrollan las capacidades matemáticas configurando
el desarrollo de la competencia.
En el presente fascículo encontrarás:
Capítulo I: los fundamentos teóricos de por qué y para qué se aprende matemática,
asumiendo la resolución de problemas como la centralidad del quehacer matemático.
Capítulo II: los elementos curriculares que permiten generar aprendizajes significativos, así
como los estándares de aprendizaje que constituyen los hitos o las metas de aprendizaje a
donde deben llegar los estudiantes al culminar el IV ciclo.
Capítulo III: las orientaciones didácticas en cada una de las competencias que te guiarán
para lograr los aprendizajes significativos en los estudiantes.
Finalmente, es necesario señalar que la intención del presente fascículo no es entregar
recetas “aplicables” de manera directa y mecánica, sino proporcionar herramientas
pedagógicas que, haciendo las adaptaciones convenientes, puedan servir para generar
aprendizajes en los niños y así complementen y refuercen tu labor cotidiana.

8 9
Fundamentos y definiciones1.
1.1 ¿Por qué aprender matemática?
La matemática está presente en diversos espacios de la actividad humana, tales como
actividades familiares, sociales, culturales o en la misma naturaleza. También se
encuentra en nuestras actividades cotidianas. Por ejemplo, al comprar el pan y pagar
una cantidad de dinero por ello, al trasladarnos todos los días al trabajo en determinado
tiempo, al medir y controlar la temperatura de algún familiar o allegado, al elaborar el
presupuesto familiar o de la comunidad, etc.
Permite entender el mundo y desenvolvernos en él.
Las formas de la naturaleza y las regularidades que se presentan
en ella pueden ser comprendidas desde las nociones matemáticas
de la geometría y de los patrones. La matemática nos permite
entenderlas, representarlas y recrearlas.
Asimismo, el mundo en que vivimos se mueve y cambia rápidamente; por ello, es
necesario que nuestra sociedad actual demande una cultura matemática para
aproximarse, comprender y asumir un rol transformador en el entorno complejo y global
de la realidad. En este sentido, se requiere el desarrollo de habilidades básicas que nos
permitan desenvolvernos en la vida cotidiana para relacionarnos con el entorno, con el
mundo del trabajo, de la producción y del estudio.
De lo dicho se desprende que la matemática está incorporada en las diversas
actividades de las personas, de tal manera que se ha convertido en clave esencial para
poder transformar y comprender nuestra cultura y generar espacios que propicien el
uso, reconocimiento y valoración de los conocimientos matemáticos propios.
En los pueblos originarios también se reconocen
prácticas propias y formas de estructurar la realidad
como, por ejemplo, agrupar objetos o animales en
grupos de 2 o 3, adoptando un sistema de numeración
binario o terciario. Ello nos conduce a la necesidad de
desarrollar competencias y capacidades matemáticas
asumiendo un rol participativo en diversos ámbitos del
mundo moderno, pues se requiere el ejercicio de la
ciudadanía con sentido crítico y creativo. La matemática
aporta en esta perspectiva cuando es capaz de
ayudarnos a cuestionar hechos, datos y situaciones
sociales, interpretándolas y explicándolas.
Es la base para el progreso de la ciencia y la tecnología, por lo
tanto, para el desarrollo de las sociedades.
En la actualidad, las aplicaciones
matemáticas ya no representan un
patrimonio únicamente apreciable en
la física, ingeniería o astronomía, sino
que han desencadenado progresos
espectaculares en otros campos
científicos. Por ejemplo, especialistas
médicos leen obras sobre la teoría de
la información, los psicólogos estudian
tratados de teoría de la probabilidad,
etc. Así, existen muchas evidencias
para que los más ilustres pensadores y
científicos hayan aceptado sin reparos
que en los últimos tiempos se ha
vivido un intenso periodo de desarrollo
matemático.
Diseñar y elaborar una cometa
es una actividad divertida y
mediante la cual se pueden
construir conocimientos
geométricos y de medida.

10 11
El pensar matemáticamente es un proceso complejo y dinámico que resulta de la
interacción de varios factores (cognitivos, socioculturales, afectivos, entre otros), el
cual promueve en los niños formas de actuar y construir ideas matemáticas a partir
de diversos contextos (Cantoral Uriza, 2000). Por ello, para pensar matemáticamente
tenemos que ir más allá de los fundamentos de la matemática y la práctica exclusiva de
los matemáticos, y tratar de entender que se trata de aproximarnos a todas las formas
posibles de razonar, formular hipótesis, demostrar, construir, organizar, comunicar
ideas y resolver problemas matemáticos que provienen de un contexto cotidiano, social,
laboral, científico, etc.
En este sentido, se espera que los estudiantes aprendan matemática desde los
siguientes propósitos:
La matemática es funcional. Se busca proporcionar las herramientas mate-
máticas básicas para su desempeño en contexto social, es decir, en la toma
de decisiones que orientan su proyecto de vida. Es de destacar aquí la contri-
bución de la matemática a cuestiones tan relevantes como los fenómenos po-
líticos, económicos, ambientales, de infraestructura, transportes o movimien-
tos poblacionales.
La matemática es instrumental. Todas las profesiones requieren una base de
conocimientos matemáticos y, en algunas, como en la matemática pura, en la
física, en la estadística o en la ingeniería, la matemática es imprescindible.
En la práctica diaria de las ciencias se hace uso de la matemática. Los concep-
tos con que se formulan las teorías científicas son esencialmente conceptos
matemáticos. Por ejemplo, en el campo biológico, muchas de las caracterís-
ticas heredadas en el nacimiento no se pueden prever de antemano: sexo,
color de cabello, peso al nacer, estatura, etc. Sin embargo, la probabilidad
permite describir estas características.
La matemática es formativa. El desenvolvimiento de las competencias mate-
máticas propicia el desarrollo de capacidades, conocimientos, procedimien-
tos y estrategias cognitivas, tanto particulares como generales, que promue-
van un pensamiento abierto, creativo, crítico, autónomo y divergente.
Así, la matemática posee valores formativos innegables, tales como:
Desarrollar en los niños capacidades y actitudes para determinar hechos,
establecer relaciones, deducir consecuencias y, en definitiva, potenciar su
autonomía,surazonamiento,lacapacidaddeacciónsimbólica,elespíritucrítico,
la curiosidad, la persistencia, la imaginación, la creatividad, la sistematicidad,
etc.
La utilidad para promover y estimular el diseño, elaboración y apreciación de
formas artísticas, a través del material concreto, así como el uso de gráficos y
esquemas para elaborar y descubrir patrones y regularidades.
En este contexto, las ciencias se sirven de la matemática como medio de comunicación,
pues hay un lenguaje común que es el lenguaje matemático para todas las civilizaciones
pormuydiferentesquesean,yestesaberestáconstituidoporlascienciasylamatemática.
La razón está en que las leyes de la naturaleza son idénticas en todas partes. En este
sistema comunicativo-representativo está escrito el desarrollo de las demás ciencias;
gracias a él ha habido un desarrollo dinámico y combinado de la ciencia-tecnología
que ha cambiado la vida del ciudadano moderno.
Al día de hoy, la necesidad de desarrollar competencias y capacidades matemáticas se
ha hecho no solo indispensable, sino apremiante para el ejercicio de cualquier actividad
científica en la que tanto ciencias como humanidades han recibido ya visiblemente su
tremendo impacto.
Promueve una participación ciudadana que demanda toma de
decisiones responsables y conscientes.
La formación de ciudadanos implica desarrollar una actitud problematizadora capaz
de cuestionarse ante los hechos, los datos y las situaciones sociales; así como sus
interpretaciones y explicaciones por lo que se requiere saber más allá de las cuatro
operaciones y exige, en la actualidad, la comprensión de los números en distintos
contextos, la interpretación de datos estadísticos, etc. El dominio de la matemática para
el ejercicio de la ciudadanía requiere no solo conocer el lenguaje matemático y hechos,
conceptos y algoritmos, que le permitirá interpretar algunas situaciones de la realidad
relacionadas con la cantidad, forma, cambio o la incertidumbre, sino también procesos
más complejos como la matematización de situaciones y la resolución de problemas
(Callejo de la Vega, 2000).
En virtud de lo señalado, los niños deben aprender matemática porque:
Permite comprender el mundo y desenvolvernos adecuadamente en él.
Es la base para el progreso de la ciencia y la tecnología; por ende, para el
desarrollo de las sociedades.
Proporciona las herramientas necesarias para desarrollar una práctica
ciudadana responsable y consciente.
1.2 ¿Para qué aprender matemática?
La finalidad de la matemática en el currículo es desarrollar formas de actuar y pensar
matemáticamente en diversas situaciones, que permitan a los niños interpretar e intervenir
en la realidad a partir de la intuición, el planteamiento de supuestos, conjeturas e hipótesis
haciendoinferencias,deducciones,argumentacionesydemostraciones;comunicarseyotras
habilidades, así como el desarrollo de métodos y actitudes útiles para ordenar, cuantificar y
medir hechos y fenómenos de la realidad e intervenir conscientemente sobre ella.

12 13
Actuar y pensar
matemáticamente Resolución de
problemas
Enseñanza
Aprendizaje
Enfoque
centrado en la
resolución de
problemas
"A través de"
"Sobre la"
"Para la"
Explícame
cómo lo has
resuelto tú.
¿Y si en vez de un
cuarto hubiera sido
un quinto?
Voy a intentar
resolverlo de otra
manera para ver si
sale igual.
Usando tapas lo
resolví más rápido.
Mi estrategia
es más fácil.
¿Cómo han resuelto
el problema?
1.3 ¿Cómo aprender matemática?
En diversos trabajos de investigación en antropología, psicología social y cognitiva,
afirman que los estudiantes alcanzan un aprendizaje con alto nivel de significatividad
cuando se vinculan con sus prácticas culturales y sociales.
Por otro lado, como lo expresó Freudenthal1
, esta visión de la práctica
matemática escolar no está motivada solamente por la importancia de su
utilidad, sino principalmente por reconocerla como una actividad humana;
lo que implica que hacer matemática como proceso es más importante
que la matemática como un producto terminado.
Enestemarco,seasumeunenfoquecentradoenlaresolucióndeproblemas
con la intención de promover formas de enseñanza y aprendizaje a partir
del planteamiento de problemas en diversos contextos. Como señaló
Gaulin (2001), este enfoque adquiere importancia debido a que promueve
el desarrollo de aprendizajes “a través de”, “sobre” y “para” la resolución
de problemas.
1 La educación matemática realista (EMR) fue fundada por el profesor alemán Hans Freudenthal (1905-
1990).
El cambio fundamental
es pasar de un aprendizaje,
en la mayoría de los casos
memorístico de conocimientos
matemáticos (como supuestos
prerrequisitos para aprender
a resolver problemas), a un
aprendizaje enfocado en la
construcción de conocimientos
matemáticos a partir de la
resolución de problemas.
“A través de” la resolución de problemas inmediatos y del entorno de los niños, como
vehículo para promover el desarrollo de aprendizajes matemáticos, orientados en
sentido constructivo y creador de la actividad humana.
“Sobre” la resolución de problemas, que explicita el desarrollo de la comprensión del
saber matemático, la planeación, el desarrollo resolutivo estratégico y metacognitivo,
es decir, la movilidad de una serie de recursos y de competencias y capacidades
matemáticas.
“Para” la resolución de problemas, que involucran enfrentar a los niños de forma
constante a nuevas situaciones y problemas. En este sentido, la resolución de
problemas es el proceso central de hacer matemática; asimismo, es el medio
principal para establecer relaciones de funcionalidad de la matemática con la
realidad cotidiana.
Estimular el trabajo cooperativo, el ejercicio de la crítica, la participación y
colaboración, la discusión y defensa de las propias ideas, y para asumir la
toma conjunta de decisiones.
Desarrollar capacidades para el trabajo científico, la búsqueda, identificación y
resolución de problemas.
Las situaciones que movilizan este tipo de conocimiento, enriquecen a los niños
al sentir satisfacción por el trabajo realizado al hacer uso de sus competencias
matemáticas.
El enfoque centrado en la resolución de problemas orienta la actividad matemática en el
aula, situando a los niños en diversos contextos para crear, recrear, investigar, plantear y
resolver problemas, probar diversos caminos de resolución, analizar estrategias y formas
de representación, sistematizar y comunicar nuevos conocimientos, entre otros.
La resolución de problemas como enfoque orienta y da sentido a la educación matemática,
en el propósito que se persigue de desarrollar ciudadanos que “actúen y piensen
matemáticamente” al resolver problemas en diversos contextos. Asimismo, orienta la
metodología en el proceso de la enseñanza y el aprendizaje de la matemática.

14 15
Elenfoqueeselpuntode
partidaparaenseñary
aprendermatemática
Matemático
Científico
Social
Problemasendiversos
contextos
Lúdico
Resolución
de
problemas
Pintaremos la
cuarta parte que
nos corresponde.
El cambio fundamental, entonces, para enseñar y
aprender matemática radica en proponer a los niños,
en cada sesión de clase, situaciones o problemas
que los obliguen todo el tiempo a actuar y pensar
matemáticamente.
Rasgos esenciales del enfoque
La resolución de problemas debe plantearse en situaciones de contextos
diversos, pues ello moviliza el desarrollo del pensamiento matemático. Los
estudiantes desarrollan competencias y se interesan en el conocimiento
matemático, si le encuentran significado y lo valoran, y pueden establecer
la funcionalidad matemática con situaciones de diversos contextos.
La resolución de problemas sirve de escenario para desarrollar
competencias y capacidades matemáticas.
La matemática se enseña y se aprende resolviendo problemas. La
resolución de problemas sirve de contexto para que los estudiantes
construyan nuevos conceptos matemáticos, descubran relaciones
entre entidades matemáticas y elaboren procedimientos matemáticos,
estableciendo relaciones entre experiencias, conceptos, procedimientos y
representaciones matemáticas.
Los problemas planteados deben responder a los intereses y necesidades
de los niños. Es decir, deben presentarse retos y desafíos interesantes que
los involucren realmente en la búsqueda de soluciones.
La resolución de problemas permite a los niños hacer conexiones entre
ideas, estrategias y procedimientos matemáticos que le den sentido e
interpretación a su actuar en diversas situaciones.
Un problema es un desafío,
reto o dificultad a resolver y
para el cual no se conoce de
antemano una solución.
Una situación se describe
como un acontecimiento
significativo, que le da
marco al planteamiento
de problemas
con cantidades,
regularidades, formas,
etc. Por ello, permite dar
sentido y funcionalidad
a las experiencias
y conocimientos
matemáticos que
desarrollan los
estudiantes.
Laresolucióndeproblemas
debeplantearseendiversos
contextos,loquemovilizael
pensamientomatemático.
orientaeldesarrollode
competenciasycapacidades
matemáticas.
Sirvedecontextoparaconstruir,
comprenderyestablecerrelaciones
entreexperiencias,conceptos,
procedimientosyrepresentaciones
matemáticas.
respondealosinteresesy
necesidadesdelosniños.
Rasgosesencialesdel
enfoque
A nuestro salón le ha tocado
cultivar un cuarto del terreno
del huerto. Ayer lo visité y
observé que estaba dividido así:

16 17
Competencias y capacidades2.
Actúa y piensa
matemáticamente
en situaciones de
cantidad.
Actúa y piensa
matemáticamente
en situaciones de
gestión de datos e
incertidumbre.
Actúa y piensa
matemáticamente
en situaciones
de forma,
movimiento y
localización.
Actúa y piensa
matemáticamente
en situaciones
de regularidad,
equivalencia y
cambio.
MATEMÁTICA
Los niños de hoy necesitan enfrentarse a los diferentes retos que demanda la sociedad,
con la finalidad de que se encuentren preparados para superarlos tanto en la actualidad
como en el futuro. En este contexto, la educación y las actividades de aprendizaje deben
orientarse a que los estudiantes sepan actuar con pertinencia y eficacia en su rol de
ciudadanos, lo cual involucra el desarrollo pleno de un conjunto de competencias,
capacidades y conocimientos que faciliten la comprensión, construcción y aplicación de
una matemática para la vida y el trabajo.
Los niños en la educación básica regular tienen un largo camino por recorrer para
desarrollar competencias y capacidades, las cuales se definen como la facultad de
toda persona para actuar conscientemente sobre una realidad, sea para resolver un
problema o cumplir un objetivo, haciendo uso flexible y creativo de los conocimientos,
las habilidades, las destrezas, la información o las herramientas que tengan disponibles
y considere pertinentes a la situación (Minedu, 2014).
Tomando como base esta concepción es que se promueve el desarrollo de aprendizajes
en matemática explicitados en cuatro competencias. Estas, a su vez, se describen como
el desarrollo de formas de actuar y de pensar matemáticamente en diversas situaciones,
donde los niños construyen modelos, usan estrategias y generan procedimientos para la
resolución de problemas, apelan a diversas formas de razonamiento y argumentación,
realizan representaciones gráficas y se comunican con soporte matemático.
Según Freudenthal (citado por Bressan y otros 2004), la matemática es pensada como
una actividad; así, el actuar matemáticamente consistiría en mostrar predilección por:
Usar el lenguaje matemático para comunicar sus ideas o argumentar sus conclusiones, es
decir, para describir elementos concretos, referidos a contextos específicos de la matemática,
hasta el uso de variables convencionales y lenguaje funcional.
Cambiar de perspectiva o punto de vista y reconocer cuándo una variación en este aspecto
es incorrecta dentro de una situación o un problema dado.
Captar cuál es el nivel de precisión adecuado para la resolución de un problema dado.
Identificar estructuras matemáticas dentro de un contexto (si es que las hay) y abstenerse de
usar la matemática cuando esta no es aplicable.
Tratar la propia actividad matemática como materia prima para la reflexión, con miras a
De otro lado, pensar matemáticamente se define como el conjunto de actividades
mentales u operaciones intelectuales que llevan al estudiante a entender y dotar de
significado a lo que le rodea, resolver un problema sobre conceptos matemáticos,
tomar una decisión o llegar a una conclusión en los que están involucrados procesos
como la abstracción, justificación, visualización, estimación, entre otros (Cantoral, 2005;
Molina, 2006; Carretero y Ascencio, 2008).
Las competencias propuestas en la Educación Básica Regular se organizan sobre la
base de cuatro situaciones. La definición de estas se sostiene en la idea de que la
matemática se ha desarrollado como un medio para describir, comprender e interpretar
los fenómenos naturales y sociales que han motivado el desarrollo de determinados
procedimientos y conceptos matemáticos propios de cada situación (OECD, 2012). En
este sentido, la mayoría de países ha adoptado una organización curricular basada
en estos fenómenos, en la que subyacen numerosas clases de problemas, con
procedimientos y conceptos matemáticos propios de cada situación. Por ejemplo,
fenómenos como la incertidumbre, que pueden descubrirse en muchas situaciones
habituales, necesitan ser abordados con estrategias y herramientas matemáticas
relacionadas con la probabilidad. Asimismo, fenómenos o situaciones de equivalencias
o cambios necesitan ser abordados desde el álgebra; las situaciones de cantidades
se analizan y modelan desde la aritmética o los números; las de formas, desde la
geometría.
Por las razones descritas, las competencias se formulan como actuar y pensar
matemáticamente a través de situaciones de cantidad; regularidad, equivalencia y
cambio; forma, movimiento y localización y gestión de datos e incertidumbre.

18 19
2.1 Competencias matemáticas
En la actualidad, la presencia de la información cuantitativa se ha incrementado de
forma considerable. Este hecho exige al ciudadano construir modelos de situaciones en
las que se manifiesta el sentido numérico y de magnitud, lo cual va de la mano con la
comprensión del significado de las operaciones y la aplicación de diversas estrategias
de cálculo y estimación.
Actuar y pensar en situaciones de cantidad implica resolver problemas relacionados con
cantidades que se pueden contar y medir para desarrollar progresivamente el sentido
numérico y de magnitud, la construcción del significado de las operaciones, así como
la aplicación de diversas estrategias de cálculo y estimación. Toda esta comprensión
se logra a través del despliegue y la interrelación de las capacidades de matematizar
situaciones, comunicar y representar ideas matemáticas, elaborar y usar estrategias
para resolver problemas o al razonar y argumentar generando ideas matemáticas a
través de sus conclusiones y respuestas.
Conocer los múltiples usos que les damos a los números naturales y
a las fracciones.
Representar los números y las fracciones en sus variadas formas.
Realizar procedimientos como conteo, cálculo y estimación de
cantidades.
Comprender las relaciones y las operaciones.
Comprender el sistema de numeración decimal.
Reconocer patrones numéricos con números
de hasta cuatro cifras.
Utilizar números para representar atributos
medibles de objetos del mundo real.
Comprender el significado de las operaciones
con cantidades y magnitudes.
competencia
Actúa y piensa
matemáticamente
en situaciones de
cantidad1
Matematiza situaciones
Razona y argumenta
generando ideas matemáticas
Expresar problemas
diversos en modelos
matemáticos
relacionados con
los números y las
operaciones.
Justificar y validar
conclusiones,
supuestos,
conjeturas
e hipótesis
relacionadas con
los números y las
operaciones.
Comunica y representa
ideas matemáticas
Elabora y usa estrategias
Planificar, ejecutar
y valorar estrategias
heurísticas,
procedimientos de
cálculo, comparación
y estimación usando
diversos recursos para
resolver problemas.
Expresar el
significado de
los números y
operaciones de
manera oral y escrita,
haciendo uso de
representaciones y
lenguaje matemático.
S/. 1,00
Kg
S/. 1,00
Kg
S/. 5,00
la cabeza
S/. 3,00
Kg
Actúa y piensa
matemáticamente
en situaciones de
cantidad.
La necesidad de cuantificar y organizar lo que se encuentra en nuestro entorno nos
permite reconocer que los números poseen distinta utilidad en diversos contextos.
Treffers (citado por Jan de Lange) hace hincapié en la importancia de la capacidad
de manejar números y datos, y de evaluar los problemas y situaciones que implican
procesos mentales y de estimación en contextos del mundo real.
Por su parte, The International Life Skills Survey (Policy Research Initiative Statistics Canada,
2000) menciona que es necesario poseer “un conjunto de capacidades, habilidades,
conocimientos, creencias, disposiciones, hábitos de la mente, para resolver problemas
que las personas necesitan para participar eficazmente en situaciones cuantitativas
que surgen en la vida y el trabajo”.
Lo dicho anteriormente pone de manifiesto la importancia de promover aprendizajes
vinculados con la aritmética asociada a la idea de cantidad, lo cual implica lo siguiente
en el IV ciclo:

20 21
Ana Bressan (2010) menciona que el descubrimiento de las leyes que rigen
patrones, y su reconstrucción con base en estas mismas leyes, cumple
un papel fundamental para el desarrollo del pensamiento matemático.
Ambas actividades están vinculadas estrechamente con el proceso de
generalización, que forma parte del razonamiento inductivo, entendido
tanto como pasar de casos particulares a una propiedad común (conjetura
o hipótesis), como transferir propiedades de una situación a otra. Asimismo,
el estudio de patrones y la generalización de estos abren las “puertas” para
comprender la noción de variable y de fórmula, así como para distinguir las
formas de razonamiento inductivo y deductivo, y el valor de la simbolización
matemática.
La competencia de Actuar y pensar matemáticamente en situaciones de regularidad,
equivalencia y cambio implica promover aprendizajes relacionados con el álgebra:
Identificar, interpretar y representar
regularidades que se reconocen
en diversos contextos, incluidos los
matemáticos.
Comprender que un mismo patrón se
puede hallar en situaciones diferentes,
ya sean físicas, geométricas, aleatorias,
numéricas, etc.
Generalizar patrones y relaciones usando símbolos, lo que conduce a
crear procesos de generalización.
Interpretaryrepresentarlascondicionesdeproblemas,medianteigualdades
o desigualdades.
Determinar valores desconocidos y establecer equivalencias entre
expresiones algebraicas.
Identificar e interpretar las relaciones entre
dos magnitudes.
Analizar la naturaleza del cambio y
modelar situaciones o fenómenos del
mundo real mediante funciones, con
la finalidad de formular y argumentar
predicciones.
competencia
Actúa y piensa
matemáticamente en
situaciones de regularidad,
equivalencia y cambio2
Razona y argumenta
ideas matemáticas
Actúa y piensa
matemáticamente
en situaciones
de regularidad,
equivalencia y
cambio.
En el entorno se producen múltiples relaciones temporales y permanentes que se
presentan en los diversos fenómenos naturales, económicos, demográficos, científicos,
entre otros. Estas relaciones influyen en la vida del ciudadano exigiéndole que desarrolle
capacidades matemáticas para interpretarlas, describirlas y modelarlas (OCDE, 2012).
La interpretación de los fenómenos supone comprender los diferentes tipos de cambios
y reconocer cuándo se presentan, con el propósito de utilizar modelos matemáticos
para describirlos.
Actuar y pensar en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio implica desarrollar
progresivamente la interpretación y generalización de patrones, la comprensión y el uso
de igualdades y desigualdades, y la comprensión y el uso de relaciones y funciones.
Por lo tanto, se requiere presentar el álgebra no solo como una traducción del lenguaje
natural al simbólico, sino también usarla como una herramienta de modelación de
distintas situaciones de la vida real.
Las cuatro capacidades de esta competencia se definen de la siguiente manera:
Asociar problemas
diversos con modelos
que involucran
patrones, igualdades,
desigualdades y
relaciones.
conclusiones, supuestos,
conjeturas e hipótesis
respaldadas en leyes
que rigen patrones,
propiedades sobre la
igualdad y desigualdad y
las relaciones de cambio.
heurísticas,
procedimientos de
cálculo, estimación,
usando diversos
recursos, para
resolver problemas.
Expresar el
significado de
patrones, igualdades,
desigualdades y
relaciones, de manera
oral y escrita haciendo
uso de diferentes
representaciones y

22 23
Esta forma de promover aprendizajes relacionados con la geometría involucra lo
siguiente:
competencia
Actúa y piensa matemáticamente en
situaciones de forma, movimiento y
localización
3 Matematiza situaciones
Razona y argumenta
ideas matemáticas
Usar relaciones espaciales al interpretar y
describir de forma oral y gráfica trayectos
y posiciones de objetos y personas, para
distintas relaciones y referencias.
Construir y copiar modelos de formas
bidimensionales y tridimensionales, con
diferentes formas y materiales.
Expresar propiedades de figuras y cuerpos
según sus características, para que los
reconozcan o los dibujen.
Explorar afirmaciones acerca de características
de las figuras y argumentar su validez.
Estimar, medir y calcular longitudes y superficies
usando unidades arbitrarias.
Actúa y piensa
matemáticamente
en situaciones de
forma, movimiento y
localización.
En el mundo en que vivimos la geometría está presente en diversas manifestaciones de
la cultura y la naturaleza. En nuestro alrededor podemos encontrar una amplia gama de
fenómenos visuales y físicos, las propiedades de los objetos, posiciones y direcciones,
representaciones de los objetos, su codificación y decodificación (PISA, 2012). Esto nos
muestra la necesidad de tener una percepción espacial, de comunicarnos en el entorno
cotidiano haciendo uso de un lenguaje geométrico, así como de realizar medidas y
vincularlas con otros aprendizajes matemáticos. En este sentido, aprender geometría
proporciona a la persona herramientas y argumentos para comprender el mundo; por
ello, la geometría es considerada como la herramienta para el entendimiento y es la
parte de las matemáticas más intuitiva, concreta y ligada a la realidad (Cabellos Santos,
2006).
Actuar y pensar en situaciones de forma, movimiento y localización implica desarrollar
progresivamente el sentido de la ubicación en el espacio, la interacción con los objetos,
la comprensión de propiedades de las formas y cómo se interrelacionan, así como
la aplicación de estos conocimientos al resolver diversos problemas. Esto involucra
el despliegue de las cuatro capacidades: matematizar situaciones, comunicar y
representar ideas matemáticas, elaborar y usar estrategias y razonar y argumentar
generando ideas matemáticas.
Estas cuatro capacidades matemáticas se interrelacionan entre sí, para lograr que el
estudiante sea capaz de desarrollar una comprensión profunda de las propiedades y
relaciones entre las formas geométricas, así como la visualización, la localización y el
movimiento en el espacio; todo lo cual permite resolver diversos problemas.
Asociar problemas
diversos con
modelos referidos a
propiedades de las
formas, localización
y movimiento en el
espacio.
conclusiones,
supuestos, conjeturas
e hipótesis respecto
a las propiedades
de las formas, sus
transformaciones
y localización en el
espacio.
heurísticas y
procedimientos
de localización,
construcción, medición
y estimación, usando
diversos recursos para
resolver problemas.
Expresar las
propiedades de las
formas, localización
y movimiento en el
espacio, de manera
oral y escrita, haciendo
uso de diferentes
representaciones y

24 25
2.2 Capacidades matemáticas
La matematización destaca la relación entre las situaciones reales y la matemática,
resaltando la relevancia del modelo matemático, el cual se define como un sistema que
representa y reproduce las características de una situación del entorno. Este sistema
está formado por elementos que se relacionan y por operaciones que describen cómo
interactúan dichos elementos, haciendo más fácil la manipulación o el tratamiento de
la situación (Lesh y Doerr, 2003).
Identificar características, datos, condiciones y variables del
problema que permitan construir un sistema de características
matemáticas (modelo matemático), de tal forma que
reproduzca o imite el comportamiento de la realidad.
Usar el modelo obtenido estableciendo conexiones con
nuevas situaciones en las que puede ser aplicable. Esto
permite reconocer el significado y la funcionalidad del
modelo en situaciones similares a las estudiadas.
Contrastar, valorar y verificar la validez del modelo
competencia
Actúa y piensa
matemáticamente en
situaciones de gestión de
datos e incertidumbre4
Razona y argumenta generando
ideas matemáticas
ideas matemáticas
Actúa y piensa
matemáticamente
en situaciones de
gestión de datos
e incertidumbre.
Matematiza situacionesCapacidad 1
Por ejemplo, un estudiante expresar un problema con diferentes modelos:
En una tienda de juguetes hay carritos de dos clases:
bombero y camión, trompos rojos, azules y verdes.
¿Cuántas parejas de carrito y trompo se puede tomar?
Carros : 2
Trompos : 3
2 3
Problema referido a
cantidades
Modelo matemático
Se expresa
en un...
Con diagramas
de árbol
Usando una
tabla
Mediante una
operación
En la actualidad, nos encontramos en un contexto social cambiante e impredecible,
donde la información, el manejo del azar y la incertidumbre juega un papel relevante.
En este contexto, la información es presentada de diversas formas; por ejemplo, los
resultados de las encuestas se presentan en diagramas y gráficos, motivo por el cual
la estadística se convierte en una herramienta para comprender el mundo y actuar
sobre él. De otro lado, también se presentan situaciones de azar, impredecibles y
de incertidumbre en la que nos sentimos inseguros sobre cuál es la mejor forma de
tomar decisiones, es por ello que la probabilidad se presenta como una herramienta
matemática para fomentar el pensamiento aleatorio y estas nociones se desarrollarán
de forma intuitiva e informal en el nivel primario.
Actuar y pensar en situaciones de gestión de datos e incertidumbre implica desarrollar
progresivamente la comprensión sobre la recopilación y el procesamiento de datos, su
interpretación y valoración, y el análisis de situaciones de incertidumbre. Esto involucra
el despliegue de las capacidades de matematizar situaciones, comunicar y representar
ideas matemáticas, elaborar y usar estrategias, razonar y argumentar generando ideas
matemáticas.
Asociar problemas
diversos con
modelos
estadísticos y
probabilísticos.
conclusiones,
supuestos,
conjeturas
e hipótesis
respaldados
en conceptos
estadísticos y
probabilísticos.
Expresar el
significado
de conceptos
estadísticos y
probabilísticos
de manera oral o
escrita, haciendo
uso de diferentes
representaciones
y lenguaje
matemático.
heurísticas y
procedimientos para
la recolección y el
procesamiento de
datos y el análisis
de problemas de
incertidumbre.
Es la capacidad de expresar en un modelo matemático, un problema reconocido en
una situación. En su desarrollo se usa, interpreta y evalúa el modelo matemático, de
acuerdo con el problema que le dio origen. Por ello, esta capacidad implica:
¿Cuántos
me faltan?

26 27
1
Entendemos por representación escrita también lo gráfico y lo visual.
Dibujos e íconos.
Tablas, cuadros,
gráficos de
barras.
Estructurado:
material Base Diez,
ábaco, regletas de
colores, balanza,
etc.
No estructurado:
semillas, piedritas,
palitos, tapas,
chapas, etc.
Acciones motrices:
juegos de roles y
dramatización.
Símbolos,
expresiones
matemáticas.
Representación
pictórica
Representación con
material concreto
Representación
gráfica
Representación
simbólica
Representación
vivencial
Diferentes formas de representar
Comunica y representa ideas matemáticasCapacidad 2 Por ejemplo, un estudiante puede representar distintas fracciones con diferentes
representaciones:
En forma vivencial Con regletas Con gráficos Con símbolos
8
2
1
1
En los primeros grados de la educación primaria, el proceso
de construcción del conocimiento matemático se
vincula estrechamente con el proceso de desarrollo del
pensamiento del niño. Este proceso comienza con un
reconocimiento a través de su cuerpo interactuando con
el entorno, y con la manipulación del material concreto; se
va consolidando cuando el niño pasa a un nivel mayor de
abstracción, al representar de manera pictórica y gráfica
aquellas nociones y relaciones que fue explorando en
un primer momento a través del cuerpo y los objetos. La
consolidación del conocimiento matemático, es decir, de
conceptos, se completa con la representación simbólica
(signos y símbolos) de estos y su uso a través del lenguaje
matemático, simbólico y formal.
Es importante resaltar que en cada nivel de representación se evidencia ya un nivel de
abstracción. Es decir, cuando el niño es capaz de transitar de un material concreto a
otro, o de un dibujo a otro, va evidenciando que está comprendiendo las nociones y
conceptos y los va independizando del tipo de material que está usando. Por ejemplo,
representar una cantidad con billetes y monedas, con material Base Diez o con
símbolos de decenas y unidades, ello implica para el niño ir construyendo el significado
del sistema de numeración decimal. De igual manera, sucede con las representaciones
pictóricas, gráficas y simbólicas.
Se debe fomentar que antes de pasar de un tipo de representación a otra, se trabaje
de diversas formas dentro del mismo tipo de representación. Por ejemplo, dentro de
la representación concreta, se puede transitar por el material no estructurado (bolitas,
chapas u otros objetos agrupados o embolsados, etc.) y luego con material estruturado
Para la construcción
del significado de los
conocimientos matemáticos
es recomendable que
los estudiantes realicen
diversas representaciones,
partiendo de aquellas que
son vivenciales hasta llegar
a las gráficas o simbólicas.
Es la capacidad de comprender el significado de las ideas matemáticas y expresarlas de
forma oral y escrita1
usando el lenguaje matemático y diversas formas de representación
con material concreto, gráfico, tablas y símbolos, y transitando de una representación
a otra.
La comunicación es la forma de expresar y representar información con contenido
matemático, así como la manera en que se interpreta (Niss,2002). Las ideas
matemáticas adquieren significado cuando se usan diferentes representaciones y se
es capaz de transitar de una representación a otra, de tal forma que se comprende la
idea matemática y la función que cumple en diferentes situaciones.
1
2
1
8
Se lee: un medio
Se lee: un octavo

28 29
Abril 2015
2
9
16
23
30
1
8
15
22
29
3
10
17
24
4
11
18
25
5
12
19
26
7
14
21
28
6
13
20
27
El manejo y uso de las expresiones y símbolos que constituyen el lenguaje matemático,
se va adquiriendo de forma gradual en el mismo proceso de construcción de
conocimientos. Conforme el estudiante va experimentando o explorando las nociones
y las relaciones, va expresándolas de forma coloquial al principio, para luego pasar al
lenguaje simbólico y, finalmente, dar paso a expresiones más técnicas y formales que
permitan expresar con precisión las ideas matemáticas y que además responden a
una convención.
Las estrategias se definen como actividades conscientes e intencionales que guían el
proceso de resolución de problemas; estas pueden combinar la selección y ejecución
tanto de procedimientos matemáticos como de estrategias heurísticas, de manera
pertinente y adecuada al problema planteado.
La capacidad Elabora y usa estrategias implica que los niños:
Elaboren y diseñen un plan de solución.
Seleccionen y apliquen procedimientos y estrategias de diversos tipos
(heurísticos, de cálculo mental o escrito).
Realicen una valoración de las estrategias, procedimientos y los recursos
que fueron empleados; es decir, que reflexione sobre su pertinencia y si le
fueron útiles.
Tránsito para la adquisición del lenguaje matemático
Lenguaje
coloquial
Lenguaje
simbólico
Lenguaje
técnico y
formal
Elabora y usa estrategiasCapacidad 3
Maestra, una regleta rosada
puede representar la mitad
del terreno. Entonces, la
fracción es 1/2.
Maestra, también
dos regletas rojas
representa 2/4.
Maestra, yo
encontré
cuatro blancas:
4/8.
Es cada 6 días. Contaré
a partir del 21: 22, 23,
24, 25, 26, 27.
Si trazo una línea
oblícua toca el 27.
Los estudiantes han marcado en el calendario las fechas para
ordenar la biblioteca usando diversas estrategias. ¿Qué día les
tocará ordenar en la última semana?
Es la capacidad de planificar, ejecutar y valorar una secuencia organizada de estrategias
y diversos recursos, entre ellos las tecnologías de información y comunicación,
empleándolos de manera flexible y eficaz en el planteamiento y la resolución de
problemas. Esto implica ser capaz de elaborar un plan de solución, monitorear su
ejecución, pudiendo incluso reformular el plan en el mismo proceso con la finalidad
de resolver el problema. Asimismo, implica revisar todo el proceso de resolución,
reconociendo si las estrategias y herramientas fueron usadas de manera apropiada y
óptima.

30 31
2.3 ¿Cómo se desarrollan las competencias
en el IV ciclo?
2.3.1 Actúa y piensa matemáticamente en situaciones
de cantidad
Los niños en este ciclo se enfrentan a situaciones y problemas de contextos cada vez más
amplios. Ya no solo resuelven problemas de contexto personal, familiar y escolar, sino
que también comienzan a enfrentarse a contextos sociales y comerciales, por ejemplo,
a situaciones de compra-venta, situaciones del pago de pasajes, situaciones de reparto
de cantidades, entre otras. Asimismo, en el ámbito personal comienzan a tener un mejor
manejo del tiempo, con la lectura de relojes, la estimación y de la duración de eventos
cotidianos, lo que les permite organizarse mejor en todos los aspectos de su vida.
Ejemplo: Se presenta a los estudiantes el siguiente problema:
La muñeca de María tiene dos blusas y tres faldas. ¿De cuántas maneras podrá
vestir María a su muñeca?
Lo haré
mentalmente.
Voy a vestir a
la muñeca.
Utilizaré una tabla.
3 x 2 = ¿?
Es por ello que actuar y pensar matemáticamente en situaciones de cantidad implica
que los estudiantes realicen acciones orientadas a matematizar situaciones al plantear
relaciones y expresarlas en modelos de solución aditivos y multiplicativos; comunicar y
representar ideas matemáticas sobre el significado de las operaciones de multiplicación
y división y sobre las diferentes formas de representar números de hasta cuatro cifras
y fracciones usuales; elaborar y usar estrategias y procedimientos de cálculo escrito y
mental para resolver problemas; y razonar y argumentar al establecer conjeturas
sobre las propiedades de los números y operaciones. En este afán es importante la
consolidación de ideas y conceptos fundamentales de la matemática, como el sistema
de numeración decimal al trabajar con números hasta cuatro cifras, del significado de las
operaciones aditivas y multiplicativas, a través de los problemas PAEV, y del significado de
las fracciones, mediante problemas de reparto equitativo y partición.
Es importante mencionar que en este ciclo se da inicio al estudio de los números racionales
con la introducción de fracciones usuales con denominadores 2, 4, 8, 3, 6, 5 y 10, lo cual
demanda un cambio en las concepciones e ideas de los niños sobre los números que hasta
ahora conocen. La noción de fracciones es construida a partir de los problemas de reparto
y de dividir el todo en partes iguales, ya no está relacionada con el sistema de numeración
decimal, por lo que su enseñanza y aprendizaje tienen también una lógica diferente.
La capacidad Razona y argumenta generando ideas matemáticas implica que el
estudiante:
Capacidad 4 Razona y argumenta generando
ideas matemáticas
Explique sus argumentos al plantear
supuestos, conjeturas e hipótesis.
Observe los fenómenos y
establezca diferentes relaciones
matemáticas.
Elabore conclusiones a partir de sus
experiencias.
Defienda sus argumentos y
refute otros sobre la base de sus
conclusiones.
1
2
1
6
1
6
1
6
Todas las fracciones
se pueden dividir
en fracciones más
pequeñas
Eslacapacidaddeplantearsupuestos,conjeturasehipótesisdeimplicanciamatemática
mediante diversas formas de razonamiento, así como de verificarlos y validarlos usando
argumentos. Para esto, se debe partir de la exploración de situaciones vinculadas a las
matemáticas, a fin de establecer relaciones entre ideas y llegar a conclusiones sobre la
base de inferencias y deducciones que permitan generar nuevas ideas matemáticas.

32 33
Estándares(mapasdeprogreso)
IIIcicloIVcicloVciclo
Identificadatosensituacionesreferidasaaccionesdejuntar,
separar,agregar,quitar,igualarocompararcantidadesy
losexpresaenmodelosdesoluciónaditivas1
,dobleymitad.
Expresaloscriteriosparaclasificarobjetosengruposy
subgrupos,ordenarnúmerosnaturaleshasta100,estimar
ycompararladuracióndeeventos,empleandolenguaje
cotidianoyalgunostérminosmatemáticosocuantificadores
“todos”,“algunos”y“ninguno”.Realizarepresentaciones
haciendousodesucuerpo,materialesconcretos,dibujos,
tablasdedobleentradayenformasimbólica.Proponey
realizaunasecuenciadeaccionesparaexperimentaro
resolverunproblema,empleandoestrategiasheurísticasy
procedimientoscomoestimar,contaryordenarcantidades
hasta100,medirycompararlamasadeobjetoscon
unidadesarbitrarias;conapoyodematerialconcreto.
Compruebalosprocedimientosyestrategiasusados.
Elaborasupuestosyexplicaelporquédesusafirmaciones,
procedimientosoresultadosconejemplos.
Plantearelacionesentrelosdatosensituacionesque
combinanunaomásaccionesdeagregar,combinar,
igualar,comparar,repetirorepartirunacantidad,y
losexpresaconmodelosaditivosomultiplicativoscon
númerosnaturalesyfraccionesusuales.Relacionael
modelotrabajadoconotrassituacionessimilares.Describe
conlenguajematemáticosucomprensiónsobre:reagrupar
concriteriosdistintos,ordenarnúmerosnaturaleshasta
millares,medirlamasadeobjetosengramosykilogramos,
medirladuracióndeeventosenhoras,mediashoras
ocuartosdehora,elsignificadodelanocióndedivisión
yfracción,problemasaditivos2
ymultiplicativos3
;los
representamediantetablasdedobleentradaysímbolos.
Proponeyrealizaunasecuenciadeaccionesorientadas
aexperimentaroresolverunproblemaempleando
estrategiasheurísticas,procedimientosdecálculomental
yescrito,conteo,ordenconcantidadesdehastacuatro
cifras;estimar,medirycompararlamasadeobjetosyla
duracióndeeventosempleandounidadesconvencionales,
conapoyodematerialconcreto.Compruebasus
procedimientosyestrategias.Elaboraconjeturasbasadas
enexperienciasoenrelacionesmatemáticastrabajadasy
lasjustificausandoejemplos.
Interpretadatosyrelacionesnoexplícitasdesituaciones
diversasreferidasaunaovariasaccionesdecomparar
eigualardoscantidadesconnúmerosnaturales,
expresionesdecimales,fraccionariasoporcentajes,y
losrelacionaconmodelosaditivos4
ymultiplicativos5
.
Determinaenquéotrassituacionesesaplicable.Describe,
utilizandoellenguajematemático,sucomprensión
sobreelsignificadode:laequivalenciaentrefracciones,
decimalesyporcentajesylanocióndepotencia;compara
yestimalamasadeobjetosenunidadesconvencionales,
yladuracióndeeventosenminutosysegundos.Elabora
yempleadiversasrepresentacionesdeunamismaidea
matemática,congráficosysímbolos;relacionándolasentre
sí.Elaborayejecutaunplanorientadoaexperimentaro
resolverproblemas,empleandoestrategiasheurísticas,
procedimientosdecálculoyestimaciónconporcentajes
usuales6
ynúmerosnaturales,fraccionesydecimales;
estimar,medirdirectaoindirectamentelamasadeobjetos
yladuracióndeeventos;conapoyoderecursos.Compara
losprocedimientosyestrategiasempleadasendistintas
resoluciones.Establececonjeturassobreprocedimientos,
propiedadesdelosnúmerosylasoperacionestrabajadas
ylasjustificausandoejemplosocontraejemplos.
Matematizasituaciones
SegundogradoTercergradoCuartogradoQuintogrado
Problemasaditivosconnúmerosnaturales:
Ordenadatosenproblemasdeunaetapa1
quedemandanaccionesdejuntar-separar,
agregar-quitar,avanzar-retroceder,comparar
eigualar,connúmerosdedoscifras,
expresándolosenunmodelodesolución
aditivaconsoporteconcreto,pictóricoo
gráfico.
Usaunmodelodesoluciónaditivaparacrear
unrelatomatemáticosobresucontexto.
Plantearelacionesentrelosdatos,en
problemasdeunaetapa3
,expresándolosen
modelosdesoluciónaditivaconcantidades
dehastatrescifras.
Empleaunmodelodesoluciónaditiva
alresolverunproblemaocrearunrelato
matemáticoensucontexto.
Plantearelacionesentrelosdatosen
,expresándolos
enunmodelodesoluciónaditivadehasta
cuatrocifras.
Empleaunmodelodesoluciónaditivaal
plantearoresolverunproblemaensu
contexto.
Interpretadatosyrelacionesnoexplícitas
enproblemasaditivosdeunaetapa13
,
expresándolosenunmodelodesolucióncon
númerosnaturales.
Usaunmodelodesoluciónaditivaal
plantearoresolverunproblemaensu
contexto.
Problemasaditivosdedosomásetapascon
númerosnaturales:
Identificadatosenproblemasdedosomás
etapas2
quecombinenaccionesdejuntar-
juntar,agregar-agregar,avanzar-avanzar,
agregar-quitar,avanzar-retroceder,con
númerosdehastadoscifras,expresándolos
enunmodelodesoluciónaditivaconsoporte
concretoopictórico.
númerosnaturales:
problemas4
quecombinenaccionesde
agregar-quitar,comparar,combinareigualar;
expresándolasenunmodelodesolución
aditivaconcantidadeshastadetrescifras.
númerosnaturales:
problemasaditivosdedosomásetapas9
quecombinenaccionesdejuntar-juntar,
juntar-agregar-quitar,juntar-comparar,
juntar-igualarexpresándolasenunmodelo
desoluciónaditivaconnúmerosnaturales
Problemasdevariasetapasconnúmeros
naturales:
Plantearelacionesaditivasymultiplicativas
enproblemasdevariasetapas14
que
combinenaccionesdeagregar,quitar,juntar,
comparar,igualar,repetir,repartiroagrupar
unacantidad;expresándolasenunmodelo
desoluciónaditivaymultiplicativacon
númerosnaturales.
Problemasdedobleymitad:
Identificadatosdehasta20objetosen
problemasderepetirdosvecesunamisma
cantidadorepartirlaendospartesiguales,
expresándolasenmodelosdesoluciónde
dobleymitad,conmaterialconcreto.
Problemasmultiplicativos:
Organizadatosenproblemas5
queimpliquen
accionesderepetirunacantidadengrupos
iguales,enfilasycolumnas,ocombinar
doscantidadesdehasta100objetos,
expresándolosenunmodelodesoluciónde
multiplicación.
Relacionadatosenproblemas6
,queimpliquen
accionesderepartiryagruparencantidades
exactasynoexactas,quitarreiteradamente
unacantidad,combinardoscantidadesde
hasta100objetos,expresándolosenunmodelo
desolucióndedivisión,consoporteconcreto.
,queimpliquen
accionesdeampliaroreducirunacantidad,
doble,triple,mitad,tercia,consoporteconcreto
ygráfico.
Relacionaunmodelodesoluciónmultiplicativa
conproblemasdediversoscontextos.
Problemasmultiplicativosconnúmeros
naturales:
,
multiplicativoconnúmerosnaturaleshasta
cuatrocifras.
Reconocedatosrelevantesenproblemas11
ylosexpresaenunmodelodesoluciónde
divisionesexactaseinexactasconnúmeros
naturaleshastaconcuatrocifras.
Relacionadatosensituaciones12
,que
impliquenaccionesdereducirunacantidad,
mitad,tercia,etc.concantidadesdehasta
cuatrocifras.
Relacionaunmodelodesolución
multiplicativoasituacionesdediversos
contextos.
Problemasmultiplicativosconnúmeros
naturales:
Interpretarelacionesentrelosdatosen
problemasdedivisión15
,ylosexpresaenun
modelodesoluciónconnúmerosnaturales.
Usaunmodelodesoluciónaditivao
multiplicativaalplantearoresolverun
problema.
Acontinuaciónlespresentamosunamatrizquemuestrademaneraintegradaelestándardeaprendizaje(mapadeprogreso),asícomolosindicadoresdedesempeño
delascapacidadesparaeldesarrollodelacompetenciaenelciclo.Losnivelesdelosmapasdeprogresomuestranunadefiniciónclarayconsensuadadelasmetas
deaprendizajequedebenserlogradasportodoslosestudiantesalconcluirunciclooperiododeterminado.Enestesentido,sonunreferenteparalaplanificación
anual,elmonitoreoylaevaluación,puesnosmuestraneldesempeñoglobalquedebenalcanzarnuestrosestudiantesencadaunadelascompetencias.Lasmatrices
conlosindicadoresdedesempeñodelascapacidadessonunapoyoparadiseñarnuestrassesionesdeaprendizaje;sonútilestambiénparadiseñarinstrumentosde
evaluación,perononosolvidemosqueenunenfoquedecompetencias,alfinal,debemosgenerarinstrumentosquepermitanevidenciareldesempeñointegralde
estas.Enresumen,ambosinstrumentosnosayudantantoalaplanificacióncomoalaevaluación,perounonosmuestradesempeñosmásacotados(indicadoresde
desempeños),mientrasqueelotronosmuestraundesempeñocomplejo(mapasdeprogreso).
Hemoscolocadoelnivelanterioryposterioralciclocorrespondienteparaquepuedanidentificarenquéniveldedesempeñoseencuentracadaunodenuestros
estudiantes,yasídiseñaractividadesadecuadasparacadaunodeellos.
1
ProblemasAriméticosElementalesVerbales(PAEV):Cambio3y4,Combinación2yComparacióneigualación1y2.
2
ProblemasAriméticosElementalesVerbales(PAEV):Cambio5y6,Comparacióneigualación3y4.
3
Problemasmultiplicativos(proporcionalidadsimple).
4
ProblemasAriméticosElementalesVerbales(PAEV):Comparacióneigualación5y6.
5
Problemasmultiplicativosconocidoscomodeproductocartesiano.
6 10%,20%,25%,50%,75%.
1 (PAEV)Problemasaditivosdecombinación2;cambio3y4;comparación1,2;igualación1y2
concantidadesdehastadoscifras.
2 Problemasaditivosdedosomásetapasquecombinencambio1ycambio1(agregary
agregar),combinación1-combinación1(juntaryjuntar),cambio3y4(agregaryquitar)o
cambio-cambio-cambiooagregar-agregar-agregar.
3 (PAEV)Problemasaditivosdecomparación3,4;cambio3y4;igualación1y2,combinación1y
2concantidadesdehastatrescifras.
4 Problemasaditivosdedosomásetapasquecombinenproblemasdecambio-cambio,
cambio-comparación,cambio-igualación,cambio-combinación.
5 (PAEV)Problemasmultiplicativosdeproporcionalidadsimplederepeticióndeunamedida.
Problemadeproductodedosmedidas(filasycolumnas)queimpliquenunaorganización
rectangular.
6 PAEVmultiplicativosdeproporcionalidadsimplequeimpliquenrepartir,partir,agruparuna
cantidad.Problemasdeiteración,porejemplo:estoyenlaposición27ydoysaltosparaatrásde
dosendos.
7 (PAEV)Problemasmultiplicativosdecomparaciónquerequieranampliarunamagnitudocomparaciónenmásyproblemasquerequieran
reducirunamagnitudocomparaciónenmenos.
8 (PAEV)Problemasaditivosdecambio,comparacióneigualación5y6.
9 Problemasaditivosdedosomásetapasquecombinenproblemasdecombinación-combinación,combinación-cambio,combinación-
comparación,combinación–igualación,etc.
10 Problemasmultiplicativosdeproporcionalidadsimple,problemasdecomparación-amplificaciónocomparacióndelaforma“vecesmásque”.
Problemasdeorganizacionesrectangulares.
11 Problemasmultiplicativosdeproporcionalidadsimple:derepartonoexacto,análisisdelresiduo,problemasdeiteración(“Estoyenelnúmero
238.Doysaltosparaatrásde12en12.¿Aquénúmerollegomáscercanoal0?).Problemasdeutilizacióndelarelación:D=d.q+r;r<d.
12 (PAEV)Problemasmultiplicativosdecomparaciónquerequieranreducirunamagnitudocomparardelaforma“vecesmenosque”.
13 (PAEV)Problemasaditivosdeigualación3y4.
14 Problemasdevariasetapasquecombinenproblemasaditivosconproblemasmultiplicativos.
15 Problemasdeanálisisdelresiduo,problemasdeutilizacióndelarelación:D=d.q+r;r<d.Problemasparareconstruirelrestodeladivisión.
Matriz:Actúaypiensamatemáticamenteensituacionesdecantidad

34 35
Problemasconfracciones:
Identificadatosenproblemas20
queimpliquen
repartirunacantidadenformaequitativa,
expresándolosenunmodelodesolucióncon
fraccionesusualescondenominadores2,4,8,
3,6,5y10.
Problemasaditivosconfracciones:
queimpliquen
partireltodoolaunidadenpartesiguales,
aditivoconfraccionesusuales.
,expresándolosen
unmodelodesoluciónaditivaconfracciones.
Empleaunmodelodesoluciónreferidoa
lasfraccionescomopartetodoorepartoal
plantearoresolverunproblema.
Problemasconfraccionescomorepartoy
medida:
problemas24
queimpliquenrepartir,medir
longitudes,partirsuperficies;expresándolos
enunmodelodesoluciónconfracciones.
,expresándolosen
unmodelodesoluciónaditivaconfracciones.
Problemasmultiplicativosconfracciones:
problemas26
,expresándolosenunmodelode
soluciónmultiplicativodeunafracciónporun
natural.
Empleaunmodelodesoluciónaditivoo
multiplicativoconfraccionesalplantearo
resolverunproblema.
Problemasaditivoscondecimales:
Interpretadatosyrelacionesenproblemas
aditivos27
,ylosexpresaenunmodelode
soluciónaditivocondecimaleshastael
centésimo.
Comunicayrepresentaideasmatemáticas
Agrupacióndeobjetos:
Expresalaspropiedadesdelosobjetossegún
dosatributos;porejemplo:escuadradoyrojo,
usandolasexpresiones"todos","algunos"y
"ninguno".
Representalascaracterísticasoagrupación
deobjetossegúnelcolor,laforma,eltamaño,
elgrosoryatributosnegativos16
,condibujos,
íconos,ygráficos17
.
Describeunoomáscriteriosparaformary
reagrupargruposysubgrupos.
Expresalaspropiedadesdelosobjetossegún
tresatributos;porejemplo:escuadrado,rojoy
grande.
Representalascaracterísticasdelosobjetos
segúntresatributosenundiagramadeárbol,
entablasdedobleentradacontresatributos.
Númerosnaturales:
Expresadeformaoraloescritaelusodelos
númerosencontextosdelavidadiaria(conteo,
estimacióndeprecios,cálculodedinero,orden
hastaeldécimoquintolugar,etc.).
Describelacomparaciónyelordendelos
númeroshasta100usandolasexpresiones
“mayorque”,“menorque”e“iguala”,con
apoyodematerialconcreto.
Elaborarepresentacionesdenúmerosde
hastadoscifras,deformavivencial,concreta,
pictórica,gráficaysimbólica18
.
Númerosnaturales:
Expresaenformaoraloescrita,elusode
losnúmerosencontextosdelavidadiaria
(medicióncondistintasunidades,cálculode
tiempoodedinero,etc.).
Describelacomparaciónyelordende
númerosdehastatrescifrasenlarecta
numéricayentableroposicional,consoporte
concreto.
Elaborarepresentacionesdenúmeroshasta
trescifrasenformavivencial,concreta,
pictórica,gráficaysimbólica19
.
Númerosnaturales:
Expresaenformaoraloescrita,elusodelos
númerosnaturalesencontextosdelavida
diaria(peso,tiempo,sueldos,etiquetas,etc.).
Describelacomparacióndenúmerosdehasta
cuatrocifras,enlarectanuméricayentablero
posicional.
cuatrocifrasenformaconcreta,pictórica,
gráficaysimbólica23
.
Númerosnaturales:
losnúmeroshastaseiscifrasendiversos
contextosdelavidadiaria(sueldos,distancias,
presupuestoscomunales,regionales,aforode
unlocal,etc.).
seiscifrasenformaconcreta,pictórica,gráfica
ysimbólica28
.
Describelacomparaciónyelordende
númerosdehastaseiscifras.
23 Materialconcreto(ábaco,yupana,monedasybilletes),dibujos,gráficos(rectanumérica)orepresentaciónsimbólica
(números,palabras,composiciónydescomposiciónaditivaymultiplicativa,valorposicionalenmillares,centenas,
decenasyunidades).
24 Problemasdefraccionesqueimplicanreparto,problemasdemedidaqueimpliquencomparacióndelongitudesyáreas.
25 (PAEV)Problemasaditivosdecambio,comparacióneigualación.
26 Problemasmultiplicativosdeproporcionalidadsimplederepeticióndeunamedida.Problemasdeárea.
27 Problemasaditivosdeunaomásetapasqueimpliquencombinarproblemasdecambio-cambio,cambio-combinación,
cambio-comparación,etc.;connúmerosdecimaleshastaelcentésimo.
28 Materialconcreto(ábaco,monedasybilletes),dibujos,gráficos(rectanumérica)orepresentaciónsimbólica(números,
palabras,composiciónydescomposiciónaditivaymultiplicativa,valorposicionalencentena,decenayunidaddemillar,
centenas,decenasyunidades).
16 Noesgrande,noesrojo,noesgrueso,noesdelgado,etc.
17 Representacióngráfica:diagramasdeVennytablassimplesdedobleentrada.
18 Materialconcreto(chapitas,piedritas,BaseDiez,ábaco,yupana,regletasdecolores,monedasybilletes),dibujos,gráficos
(cintanumérica,rectanumérica)orepresentaciónsimbólica(números,palabras,composiciónydescomposiciónaditiva,valor
posicionalendecenasyunidades).
19 Materialconcreto(chapitas,piedritas,BaseDiez,ábaco,yupana,monedasybilletes),dibujos,gráficos(rectanumérica)o
representaciónsimbólica(números,palabras,composiciónydescomposiciónaditiva,valorposicionalencentenas,decenasy
unidades).
20 Problemasderepartoenloscualeselrestosedistribuyeequitativamente.
21 Problemasqueimpliquenpartirunaunidadenpartesiguales(nocióndefraccióncomoparte-todo).
22(PAEV)Problemasaditivosdecambioocomparación.
Tiempoypeso:
Expresalaestimaciónola
comparacióndeltiempoalubicar
fechasenelcalendarioen:“días”,
“semanas”,horasexactasyotros
referentesregionalesolocales.
Leeeinterpretaelcalendarioylos
relojesenhorasexactas.
Expresalaestimaciónyla
comparacióndelpesodelosobjetos
conunidadesdemedidaarbitrarias
desucomunidad;porejemplo:
puñado,montón,etc.
Tiempoypeso:
Describelaestimaciónocomparación
deltiempodeeventosusando
unidadesconvencionalescomoaños,
meses,horaymediahora.
Leeeinterpretaelcalendario,la
agendaylosrelojesenhorasexactas
ymediahora.
Describelamedidadelpesode
objetosexpresándoloenkilogramos
yunidadesarbitrariasdesu
comunidad;porejemplo:manojo,
atado,etc.
Tiempoypeso:
Describeladuración,estimaciónycomparaciónde
eventosusandoaños,meses,hora,1/2horao1/4de
hora.
Expresalamedida,estimaciónylacomparación
delpesodeobjetosenunidadesoficiales(gramoy
kilogramo)yfraccióndeunamedida,como1/2kg,1/4
kg.
Expresaenformaoraloescrita,elusodefraccionesusuales
encontextosdemedida(peso,tiempo,longitud,capacidad,
superficie,etc.).
Tiempoypeso:
eventosempleandominutosysegundos.
Expresalamedida,estimaciónylacomparacióndelpeso
deobjetosenunidadesoficiales(gramoykilogramo)
usandosusequivalenciasynotaciones.
Expresalamedidadelatemperaturaenformavivencial,
concreta,pictórica,gráficaysimbólica.
Adiciónysustracción:
Elaborarepresentaciones
concretas,pictóricas,gráficasy
simbólicasdelossignificadosdela
adiciónysustraccióndeunnúmero
dehastadoscifras.
Elaborarepresentaciones
concretas,pictóricas,gráficasy
simbólicasdeldobleolamitadde
unnúmerodehastadoscifras.
Multiplicaciónydivisión:
Elaborarepresentacionesconcreta,
pictórica,gráficaysimbólicadelos
significadosdelamultiplicaciónyla
divisiónconnúmeroshasta100.
Elaborarepresentacionesconcretas,
pictóricas,gráficasysimbólicasdel
doble,triple,mitadoterciadeun
númerodehastatrescifras.
Expresamedianteejemplossucomprensiónsobrelas
propiedadesdelamultiplicación.
División:
Expresamedianteejemplossucomprensiónsobrelas
propiedadesdeladivisión.
Expresaconsuspropiaspalabrasloquecomprendedel
problema.
Fraccionesysusoperaciones:
Expresaenformaoraloescrita,elusodelasfracciones
usualesendiversoscontextosdelavidadiaria(recetas,
medidasdelongitud,tiempo,etc.).
Elaborarepresentacionesconcreta,pictórica,gráfica
ysimbólica29
delasfraccionescomopartedeuntodo,
comoreparto,númerosmixtos,fraccioneshomogéneasy
heterogéneas,fraccionesusualesequivalentes.30
Describelacomparaciónyordendelasfraccionesusuales
conigualydistintodenominador;conmaterialconcretoy
gráfico.
Elaborarepresentacionesconcreta,pictórica,gráficay
simbólicadelossignificadosdelaadiciónysustraccióncon
fraccionesdeigualdenominador.
Expresaenformaoraloescrita,elusodelasfraccionesen
diversoscontextosdelavidadiaria(recetas,medidasde
longitud,capacidad,tiempo,precios,etc.).
simbólica31
delasfraccionespropias,impropias,números
mixtosyfraccióndeunacantidadcontinua.
Describelacomparaciónyordendelasfraccionespropias
ynúmerosmixtos,consoporteconcretoygráfico.
simbólicadelossignificadosdelaadiciónysustracción
confracciones.
Númerosdecimalesysusoperaciones.
Expresaenformaoraloescrita,elusodelosdecimalesen
diversoscontextosdelavidadiaria(medidasdelongitud,
capacidad,tiempo,etc.).yenelsistemamonetario
nacional(billetesymonedas)
Elaborarepresentacionesconcreta,gráficaysimbólicade
losdecimaleshastaelcentésimoydesusequivalencias.
Describelacomparaciónyordendelosdecimaleshastael
centésimoenlarectanumérica,eneltableroposicionaly
segúnelvalorposicionaldesuscifras.
simbólicadelossignificadosdelaadiciónysustracciónde
decimaleshastaelcentésimo.
29 Materialconcreto(regletasdecolores,tirasdefraccionesequivalentes,fraccionesequivalentescirculares,dobladodelpapel),dibujos,gráficos(figuras,rectanumérica)orepresentaciónsimbólica(números,palabras,fracciones
menoresymayoresquelaunidad).
30 Fraccionesequivalentesconlasfraccionesusuales(denominadores2,4,8,3,6,5y10.Porejemplo:½=2/4=4/8;1/3=2/6;1/5=2/10)
31 Materialconcreto(regletasdecolores,tirasdefraccionesequivalenteslinealesycirculares),dibujos,gráficos(rectanumérica)orepresentaciónsimbólica(números,palabras,notacióndefracciones).

36 37
Elaborayusaestrategias
Proponeaccionespararesolver
problemas.
Proponeunasecuenciadeaccionesorientadasaexperimentaroresolverun
problema.
Elaborayejecutaunplanorientadoa
experimentaroresolverproblemas.
Númerosnaturales:
Empleaprocedimientosparacontar,
comparar,ordenaryestimarcantidades
dehastadoscifras.
Númerosnaturales:
Empleaprocedimientosparacontar,
estimar,compararyordenarcon
númerosnaturalesdehastatrescifras.
Númerosnaturales:
Realizaprocedimientosparacomparar,
ordenaryestimarconnúmeros
naturaleshastacuatrocifrasconapoyo
dematerialconcreto.
Númerosnaturales:
Empleaprocedimientosparacomparar,
ordenaryestimaroredondearcon
númerosnaturales.
Tiempoypeso:
Empleaprocedimientosyrecursosal
resolverproblemasqueimplicanmedir,
estimarycomparareltiempoyelpeso
delosobjetos.
Tiempoypeso:
Empleaprocedimientosyrecursospara
medir,estimar,compararycalcular
equivalencias,alresolverproblemas
sobreladuracióndeltiempoyelpeso
delosobjetos.
Tiempoypeso:
Empleaprocedimientosyrecursospara
equivalencias,alresolverproblemas
sobreladuracióndeltiempoyelpeso
delosobjetos.
Tiempoypeso:
Empleaprocedimientosdemedida,
estimaciónyconversiónalresolver
problemasqueimpliquenestimar,medir
directaoindirectamenteeltiempoy
pesodelosobjetos.
Empleaestrategiasheurísticascomo
lasimulación,ensayoyerrorohacer
dibujos,alresolverproblemasaditivos32
deunaetapa,dedobleymitadcon
resultadosdedoscifras.
Empleapropiedadesyestrategias
decálculoparasumaryrestarcon
resultadosdehastadoscifras.
Problemasaditivosymultiplicativoscon
númerosnaturales:
Empleaestrategiasheurísticas
considerandoestableceranalogías,
búsquedadepatrones,entreotros,
alresolverunproblemaaditivode
unaodosetapasconcantidadesy
magnitudes(tiempoypeso).
Emplealarelacióninversaentrela
adiciónylasustracción,suspropiedades
yestrategiasdecálculoparasumary
restarconresultadosdehastatrescifras.
Empleaestrategiasheurísticascomo
lasimulación,ensayoyerroro
hacerdibujos,alresolverproblemas
multiplicativos.
Empleapropiedadesyprocedimientos
decálculomentalyescritopara
multiplicarconresultadoshasta100.
Empleapropiedadesyprocedimientos
decálculomentalyescritoparadividir
númeroscondivisoreshasta10y
dividendoshasta100.
númerosnaturales:
comohacerunesquema,buscar
regularidades,haceranalogías
alresolverproblemasaditivoso
multiplicativosdeunaovariasetapas
connúmerosnaturalesconcantidades
ymagnitudes(tiempoypeso).
Empleapropiedadesdelasoperaciones
yprocedimientosoestrategiasde
cálculomentalyescritoparamultiplicary
dividirnúmerosnaturalesconresultados
hastacuatrocifras.
númerosnaturales:
Empleapropiedadesojerarquíade
lasoperacionescombinadascony
sinparéntesisconnúmerosnaturales,
multiplicativosdevariasetapas.
Fracciones:
Realizaprocedimientosparacomparar,
ordenaryestimarconfracciones
usualesyfraccionesequivalentes,con
apoyodematerialconcreto.
Empleaestrategiasheurísticaso
procedimientos33
parasumaryrestar
fraccionesusualescondenominadores
igualesydiferentes,yfraccionesmixtas.
Fracciones:
Empleaprocedimientosparacomparar
yordenarconfraccionesyfracción
decimal.
Empleaestrategiasheurísticaso
procedimientosparasumaryrestar
alresolverproblemasconfracciones
heterogéneasofraccióndeunconjunto.
Empleaprocedimientos(fracciones
equivalentesyalgoritmos)parasumar,
restarymultiplicarfracciones.
Empleaprocedimientosparacomparar,
ordenar,estimaryredondearnúmeros
decimalesalenteromáspróximo.
Empleaestrategiasorecursospara
ubicaryestablecerequivalenciasentre
unafracción,fraccióndecimalyun
decimal(1
10
=0,1;35
100
=3
10
+5
100
)yentre
diferentesunidadesdelongitud(1m5
cm=1,05m)
Empleaestrategiasheurísticas34
y
procedimientosoestrategiasdecálculo
parasumaryrestarcondecimales
exactosyfraccionesdecimales.
Compruebasusprocedimientosy
estrategiasusandomaterialconcretoo
apoyopictóricoográfico.
Compruebasuprocedimientooestrategiayeldesuscompañerosy,desernecesario,
loreplantea.
Comparalosprocedimientosy
estrategiasempleadasendistintas
resoluciones.
Emplealacalculadorapararesolver
problemasyverificarsusresultados
33 Estrategiasheurísticascomohacerunasimulaciónconmaterialconcreto,dobladodelpapel,hacerunesquema,undibujo.Enesteciclosesugieretrabajarlaadiciónysustraccióndefraccionesconfraccionesequivalentescon
apoyoconcreto(regletasdecolores,tirasdefraccionesequivalentes,fraccionescirculares)ygráficoparapropiciarlacomprensiónconsentidosobreelcálculoyevitarlamecanizaciónsinreflexión.
34 Estrategiasheurísticascomohacerunasimulaciónconmaterialconcreto,hacerunesquema,rectanumérica.
32 (PAEV)Problemasaditivosdecombinación2;cambio3y4;comparación1,2;igualación1.

38 39
Modelos concretos
Descripción y ejemplos de algunos indicadores
Indicador para el tercer grado:
Plantearelacionesentrelosdatos,enproblemasdeunaetapa*,expresándolos
en modelos de solución aditiva con cantidades de hasta tres cifras.
Descripción del indicador:
Este indicador implica que los niños reconozcan las cantidades que aparecen en el
problema y lo que ocurre con ellas; si cambian, si se juntan dos partes, si una es mayor
que la otra, si una debe igualar a la otra, etc., de esta manera podrán establecer cómo
se relacionan dichas cantidades.
Capacidad Matematiza situaciones
Estas son las relaciones que se pueden establecer entre los datos:
Combinación 1 y 2: Se juntan o separan dos colecciones de objetos
de diferente clase.
Cambio 3 y 4: Se agregan o quitan algunos objetos. Las cantidades
se transforman: aumentan o disminuyen.
Comparación 3 y 4: Se comparan dos cantidades conociendo que
una cantidad tiene más que o menos que la otra.
Igualación 1 y 2: Se igualan cantidades considerando cuánto
deben perder o se debe quitar para tener tantos como la primera o
segunda cantidad.
La definición de modelo
como “esquematización
construida con una
multiplicidad de datos
de la experiencia o la
realidad y proporciona una
abstracción satisfactoria
de cómo funcionan las
cosas”(Castro y otros,
1995)
Estas relaciones halladas pueden ser expresadas mediante un modelo aditivo con
material concreto, con esquemas o mediante una operación aditiva.
Julio tiene S/.140. Martha tiene S/.30 menos que Julio. ¿Cuánto dinero tiene Martha?
Plantear relaciones
entre los datos implica
que se reconozca,
quién tiene la cantidad
mayor y quién la
menor, y por cuánto
menos. ¿Qué acciones
se están realizando?
Martha tiene
S/.30 menos
que Julio.
S/.30 menos
?
Razonayargumentagenerandoideasmatemáticas
Realizasupuestosbasadosenla
observacióndedosomásejemplos
sobrelasformasdeagruparobjetos
segúndoscriterios.
Realizasupuestosapartirdemásde
unaexperienciaconcretasobrelas
relacionesopropiedadesentrelos
números.
Realizaconjeturasapartirdemásdeun
casoexperimentadouobservadosobre
lasrelacionesdeorden,comparacióno
propiedadesentrelosnúmerosdetres
cifras.
lasrelacionesdeorden,comparación
yequivalenciaentrefraccionesusuales
ylosdiferentestiposdefracciones
(fracciónpropia,impropia,homogéneay
heterogénea).
Establececonjeturassobrelasrelaciones
deorden,comparaciónyequivalencia
entrefraccionesydecimaleshastael
centésimo.
Explicaatravésdeejemploslas
diferentesformasderepresentarun
númerodedoscifrasysusequivalencias
endecenasyunidades.
diferentesformasderepresentarun
númerodetrescifrasysusequivalencias
endecenasyunidades.
diferentesformasderepresentar
unnúmerodecuatrocifrasysus
equivalenciasencentenas,decenasy
unidades.
diferentesformasderepresentar
fraccionesusualesyfracciones
equivalentes.
Explicaatravésdeejemplosy
contraejemplos35
lasdiferentesformas
derepresentarunnúmeronaturaldeseis
cifrasysusequivalenciassegúnsuvalor
posicional.
Explicaatravésdeejemplosy
contraejemploslasdiferentesformas
derepresentarfracciones,fracciones
decimalesyfraccionesequivalentes.
Establecediferenciasentrefracciones
propiaseimpropias,heterogéneasy
homogéneas
Explicaatravésdeejemplosconapoyo
concretoográfico,lossignificados
sobrelasoperacionesdeadicióny
sustracciónyloquecomprendesobre
suspropiedades.36
concretoográfico,lossignificados
sobrelasoperacionesdeadicióny
sustracciónyloquecomprendesobre
suspropiedades.
concretoográfico,lossignificadossobre
lasoperacionesdeadiciónysustracción
defracciones.
Explicaatravésdeejemploscon
apoyoconcretoográficolapropiedad
distributivadelamultiplicacióncon
númerosnaturales.
Explicaatravésdeejemploscon
apoyoconcreto,gráficoosimbólico,los
significadossobrelasoperacionesde
adiciónysustraccióncondecimales.
Explicasusprocedimientosoresultados
conapoyodematerialconcretoo
gráfico.
Explicaprocedimientosoresultados
propiosodeotros,conapoyoconcretoo
gráfico.
Explicasusprocedimientosyresultados
enlasolucióndeproblemas.
Justificaydefiendesusargumentos
oconjeturas,usandoejemploso
contraejemplos.
Explicasusprocedimientosyresultados.
35 Uncontraejemploconsisteenproponeralestudiantedesafíoscontradictoriosquetienequeresolver,contrarioalasideasmatemáticasdesarrolladas.Porejemplo:Seproponelasiguienteafirmación:“Todoslosmúltiplosde2terminanen
2,4y8”.Elcontraejemploconsisteenformularunejemploquemuestrequelaafirmaciónseñaladanoesválida.Enestecaso,noesverdadpues10esmúltiplode2porque2×5=10yterminaencero.Uncontraejemplotambiénpermite
construirdefiniciones,expresandoejemplosquenocumplenconlacondiciónopropiedadestudiada.
36 Explicarsobreelsignificadodelaadición:2+5=7porquesijuntamos2chapitascon5chapitas,hayentotal7chapitas.Enestenivelnoesnecesariohacerexplícitalaspropiedadesconsusnombresmatemáticos,perosíexplicar,por
ejemplo,quesumar12+5+10lopuedohaceragrupando12y5yluegosumando10(propiedadasociativa).
Julio
Martha

40 41
Esquema
Un esquema que expresa un modelo
longitudinal.
Operación
Una operación que expresa un modelo funcional
donde el minuendo representa la cantidad referente y
el sustraendo es la cantidad a la que hay que agregar
para alcanzar al referente.
César tiene 120 taps y José tiene 55 menos
que César. ¿Cuántos taps tiene José?
Karla ahorró S/.300 y Fermín ahorró S/. 269. ¿Cuánto
más debe ahorrar Fermín para tener tanto como Karla?
Modelo: Modelo:
Karla S/.300
Fermín S/.269
300 – 269 = ?
Fermín tiene que ganar: 300 – 269, para igualar a
Karla.
Las siguientes preguntas y consignas permiten evidenciar el indicador:
¿Cuántos sacos llegaron al mercado? ¿Todos los sacos contienen la misma fruta?
¿Cuántos tipos de fruta hay? ¿Puedes separar las frutas en dos partes o dos tipos?
¿Claudia sabe cuántos sacos hay de cada tipo?
¿Qué relación hay entre la cantidad total de sacos de fruta y los sacos de naranja?
Dibuja una barra que represente el total de sacos de frutas. ¿Cómo expresarías la
Ejemplo de indicador precisado:
Plantea relaciones entre los datos, en problemas de una etapa
(combinación 2), expresándolos en modelos de solución aditiva
con cantidades de hasta tres cifras.
Al mercado llegó un cargamento con
250 sacos de fruta. Claudia sabe
que 136 sacos son de naranjas y los
demás son de maracuyá. ¿Cuántos
sacos de maracuyá llegaron?
Modelo que expresa la relación entre las partes y el todo
Frutas (250)
Naranja Maracuyá
Los sacos de fruta
son el total y los
sacos de naranja y
de maracuyá son
las partes.
Indicador para el cuarto grado:
Identifica datos en problemas* que impliquen repartir una cantidad en
forma equitativa, expresándolos en un modelo de solución con fracciones
usuales con denominadores 2, 4, 8, 3, 6, 5 y 10.
Para evidenciar el desempeño que describe este indicador los niños deben reconocer
qué se va a repartir, cuál es la cantidad de objetos a repartir en forma equitativa, en
cuántas partes se va a dividir o a cuántas personas se les va a repartir. Es importante
también identificar si la cantidad de objetos es mayor o menor que la cantidad de partes
a obtener, lo cual da origen a la formulación de una fracción o de un número mixto.
Los problemas que se resuelven para el logro de este desempeño son aquellas
situaciones de reparto en las que se debe analizar si es posible repartir el resto. Por
ejemplo:
Se reparten equitativamente 5 barras de plastilina entre 3 niños.
¿Cuánto recibe cada niño?
Modelo concreto donde se evidencian las cantidades.
A cada niño le toca 1 barrita y
2
3
. Es decir: 1
2
3
, el cual es un
número mixto.
A cada uno nos
corresponde una
barrita. Las barritas
que sobran las
dividimos en 3 partes
cada una para poder
repartirlas.
?
120
tiene 55
menos
César
José
Modelo simbólico con una operación
3
1
5
2
sobran 2 barras entre 3 = 2
3

42 43
En este caso la herramienta de resolución es la división entre números naturales y una
vez resuelto el problema se propone analizar lo que sobra. Este tipo de problema tiene la
intención de promover relaciones entre la división de números naturales y es importante
someter a discusión si lo que sobra puede seguir repartiéndose. Así también, la noción
de la fracción como parte de la unidad es la que se usa aquí al repartir el resto en
fracciones de la unidad. En el ejemplo la unidad es la barrita de plastilina.
Otro ejemplo es el siguiente:
En este caso el número de unidades repartidas es menor que la cantidad de mesas,
por lo que ya no hay resto que repartir; así los moldes de queso se fraccionan para
repartirlos equitativamente. La fracción que resulta del reparto es una fracción propia.
Para el desayuno, se reparten equitativamente 3
moldes de queso entre 4 mesas. ¿Cuánto queso
recibe cada mesa?
Modelo:
Mesa 1 Mesa 2 Mesa 3 Mesa 4
Repartimos
cada molde
de queso en 4
partes iguales.
A cada mesa en un primer reparto le toca
1
4
de cada molde. Al terminar el reparto le toca
3
4
del molde de queso a cada mesa.
1
4
1
4
1
4
1
4
Modelos concretos:
Con chapitas que expresan la cantidad: Con regletas que expresan un modelo
longitudinal, del número como longitud:
Modelos simbólicos que expresan una operación referida a las cantidades que se repiten:
3 veces 6
6 + 6 + 6
3 veces 6
3 × 6
Este indicador implica que los estudiantes sean capaces de expresar modelos
multiplicativos a partir de tres tipos de problemas multiplicativos:
Problemas de repetición de una medida, en los cuales deben identificar la cantidad que
se repetirá o el grupo que se repetirá y la cantidad de veces que se va a repetir una
cantidad. Por ejemplo:
Organiza datos en problemas*, expresándolos en un modelo de solución
multiplicativo con números naturales de hasta cuatro cifras.
* Problemas multiplicativos de proporcionalidad simple, problemas de comparación-amplificación
o comparación de la forma “veces más que”. Problemas de organizaciones rectangulares.
En una caja hay 6 galletas. ¿Cuántas galletas habrá en 3 cajas?
Las seis galletas
se repetirán tres
veces porque hay
3 cajas.

44 45
Problemas de organizaciones rectangulares, en los cuales el estudiante identifica que
las cantidades están expresadas en una organización de filas y columnas. Por ejemplo:
Problemas de amplificación, en los cuales deben identificar una cantidad que representa
el doble, el triple o varias veces la otra cantidad. Por ejemplo:
Las siguientes preguntas permiten evidenciar el desempeño descrito en el indicador:
¿De qué se trata? ¿Hay alguna cantidad o grupo de objetos que se repite?
¿Cuántas veces?
¿Los objetos están organizados en filas y columnas?, ¿cuántas de cada una?
¿Hay dos cantidades que se comparan? ¿Cómo es una con respecto de la otra?
¿Cómo puedes organizar los datos o las cantidades?
¿Cómo podríamos presentar las cantidades en un gráfico o en un esquema?
Bruno tiene S/. 2 y Norma, 3 veces más.
¿Cuántos huevos hay en la jaba?
Modelo concreto Modelo gráfico Modelo simbólico
Filas: 4
Columnas: 5
Total : 4 × 5
Modelo concreto Modelo gráfico Modelo simbólico
Bruno S/.2
Norma: 3 veces más
S/.2 + S/.2 + S/.2
3 veces S/.2
3 × 2
2
2
22
Bruno NormaNorma
3 veces
más
que
Bruno
Bruno
Describe la comparación y el orden de números de hasta tres cifras en la recta
numérica y en el tablero posicional, con soporte concreto.
Observar el desempeño de este indicador implica que los niños a través del lenguaje,
se refieran a las semejanzas y diferencias entre las cantidades, con el fin de comparar
y ordenar números de hasta tres cifras.
Para comparar y ordenar pueden usar el tablero posicional, en el cual identificarán
cuántas centenas o decenas tienen los números, lo que les permitirá describir cómo
se comparan, con apoyo de material concreto (por ejemplo, el material Base Diez).
También pueden usar la recta numérica, en la cual los números mayores se encuentran
a la derecha y donde pueden ubicar las centenas y las decenas.
El siguiente ejemplo es un problema que se puede presentar en el aula para que los
niños comuniquen y representen ideas matemáticas en el proceso de resolución de
problemas:
Capacidad Comunica y representa ideas matemáticas
Describe la comparación y el orden de números hasta 200 en el
tablero posicional, con soporte concreto.
Susy Hugo Lola
Recolecté
148 botellas.
Recolecté
141 botellas.Recolecté
112 botellas.
Observa cuántas botellas de plástico recolectaron Susy, Hugo y Lola.
Explica, ¿quién ha recolectado más botellas y quién menos botellas?

46 47
Elabora representaciones concretas, pictóricas, gráficas y simbólicas de las
fracciones como parte de un todo, como reparto, números mixtos, fracciones
homogéneas y heterogéneas, y fracciones usuales equivalentes*.
*
Fracciones equivalentes con las fracciones usuales (denominadores 2, 4, 8, 3, 6, 5 y 10; por
ejemplo: 1
2
= 2
4
= 4
8
; 1
3
= 2
6
; 1
5
= 2
10
).
Este indicador permite evidenciar el desempeño de los niños al transitar por diversas
representaciones de las fracciones. En este grado se trabajará la fracción como parte
de un todo y como reparto para construir la noción de números mixtos, fracciones
homogéneas, heterogéneas y fracciones equivalentes.
Las siguientes preguntas y consignas permiten evidenciar la capacidad comunica y
representa ideas matemáticas:
¿Cuántas botellas ha recolectado cada uno de los amigos?
Escribe las cantidades de botellas que ha recolectado cada uno, usando el tablero
de valor posicional y el material Base Diez para representar los números.
¿Desde qué cifra puedes comparar primero, desde las unidades o centenas? ¿Qué
puedes decir de las centenas? ¿Si son iguales se pueden seguir comparando? ¿Y qué
observas con las decenas? ¿Ya puedes tomar una decisión entre quien comparar?
¿Qué número es el mayor?, ¿por qué?
Ordena las cantidades de forma ascendente de izquierda a derecha: ¿qué número
colocarás primero?, ¿por qué?, ¿qué número colocarás al final?, ¿por qué?
C D U
1 4 8
C D U
1 4 1
C D U
1 1 2
C D U
1 4 8
C D U
1 1 2
C D U
1 4 1
Los tres números tienen
una centena, pero 112
tiene menos decenas
que los otros números.
112 es el menor.
Fracción como parte de un todo (la unidad): la fracción indica la “división en partes
iguales” o “la partición” de la unidad. El denominador indica el número de partes en que
está dividida la unidad y el numerador las partes consideradas.
En este grado se iniciará el trabajo con fracciones con denominadores usuales, 2, 4 y
8; 3 y 6; y 5 y 10, que nos permiten lograr una mejor construcción de las nociones de
fracción, su comparación y fracciones equivalentes.
La fracción como parte de la unidad da pie a la existencia de números mixtos que
surgen de problemas en situaciones de reparto (ver página 41).
Representación concreta Representación gráfica
Con regletas: Con gráficos: Con tiras de fracciones:
Representación simbólica
1
2
2
4
= = 4
8
Emplea procedimientos para contar, estimar, comparar y ordenar con números
naturales de hasta tres cifras.
Este indicador implica el uso de distintos procedimientos, los cuales son un conjunto de
acciones ordenadas y secuenciadas que se aplican de igual forma aunque los datos o
números cambien. Un ejemplo de procedimientos son los algoritmos de las operaciones.
También lo son las reglas para comparar números (comenzar con las unidades de orden
superior y continuar con las demás, en orden) y las agrupaciones para contar.
Capacidad Elabora y usa estrategias
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
10
1
5
1
5
1
5
1
5
1
4
1
4
1
4
1
3
1
3
1
2
1
10
la unidad
un medio
dos cuartos
cuatro cuartos

48 49
Este indicador engloba el uso de procedimientos para contar, estimar, comparar y
ordenar. Sin embargo, para cada uno hay procedimientos distintos, es por eso que
para observar el desempeño de los niños es necesario precisar el indicador según lo
requiera el problema que se resuelve.
Por otro lado, el conteo es un procedimiento que permite resolver distintos tipos de
problemas: cuantificar, producir y comparar cantidades.
La estimación consiste en valorar una cantidad o el resultado de una operación. Por lo
general se hace de forma mental, con rapidez y empleando números sencillos, donde
Las siguientes preguntas permiten evidenciar la capacidad de elaborar y usar
estrategias:
¿Qué podemos hacer para contar? ¿Se pueden agrupar las cajas? ¿Qué cajas
puedes agrupar?, ¿por qué?
Representa con material Base Diez las cajas de libros. ¿Cómo puedes agruparlas
para facilitar el conteo?, ¿por qué?
Emplea procedimientos para contar, con números naturales de
hasta tres cifras.
¿Cuántos libros ha donado el municipio?
10 libros
10 libros
10 libros
10 libros
100 libros 100 libros
10 libros 10 libros 10 libros 10 libros
10 libros
10 libros
El municipio donó
estos libros.
En cada caja chica
hay 10 libros y en
las cajas grandes
100 libros.
¿Cuántos libros
ha donado?
de regularidad, equivalencia y cambio
El desarrollo de esta competencia en el IV ciclo de Primaria implica que los niños observen
regularidades en las formas o en una secuencia numérica y que resuelvan problemas
referidos a patrones de repetición con objetos y formas geométricas cuya regla de
formación está relacionada con una figura u objeto que se repite por simetría o traslación,
comosemuestraenlafigura1.Tambiénseesperaquelosniñosencuentreneltérminoque
continúa en una secuencia numérica cuya regla de formación implica una multiplicación
o una división. Asimismo, en este ciclo se inicia el camino de la generalización propia
del álgebra, al buscar que los niños planteen conjeturas para predecir qué elementos
se encuentran más adelante en el patrón, a partir de la observación de la regla de
formación y de la posición del elemento. Por ejemplo: todos los elementos pares son de
una determinada forma y los impares de otra forma.
Figura 1. Patrón de repetición por simetría.
Mapas de Progreso. Matemática: Cambio y Relaciones (2013)
Por otro lado, el desarrollo del pensamiento variacional se inicia en este ciclo a través
de problemas donde los estudiantes identifican relaciones entre cantidades y entre
magnitudes. Por ejemplo, analizan el crecimiento de la planta (longitud) a través del
Pieza 1 Pieza 2 Pieza 3 Pieza 4 Pieza 5

50 51
tiempo o de la temperatura durante el día. En estas situaciones identifican cómo cambian
la magnitudes una con respecto de la otra, los datos se organizan en tablas simples y
describen esta relación utilizando lenguaje matemático, pudiendo elaborar conjeturas
sobre los cambios que se podrían producir. Así también se presentan situaciones en
las que las relaciones entre cantidades son de equivalencia, en estas, se expresan
igualdades y términos desconocidos utilizando íconos. Por ejemplo, los problemas de
equilibrio con balanzas u otros objetos, están referidos a buscar un valor desconocido
para equilibrar la balanza, mientras que en los problemas de trencitos con regletas
permiten encontrar varias equivalencias para una misma cantidad.
Ejemplo de un problema de equivalencia
Figura 2: El juego de las sogas. Mapas del Progreso (Ibidem)
Cinco niñas empatan con cuatro niños.
Las cinco niñas y su profesor empatan con siete niños.
¿A cuántos niños equivale la fuerza del profesor?
Estándares(mapadeprogreso)
Identificadatosensituacionesderegularidad,equivalencia
ycambio,ylasexpresaconpatronesderepetición1
y
patronesaditivos,igualdadesquecontienenadicionesy
sustracciones.Describepatrones,equivalenciasyrelaciones
empleandolenguajecotidianoyalgunostérminos
matemáticos.Realizarepresentacioneshaciendousode
sucuerpo,materialesconcretos,dibujos,tablassimples
ysímbolos.Proponeyrealizaunasecuenciadeacciones
paraexperimentaroresolverunproblema,empleando
estrategiasheurísticasyprocedimientosparaampliar,
completarocrearpatrones,encontrarequivalencias
agregandooquitandocantidades2
oparahallarunvalor
desconocido,conapoyodematerialconcreto.Comprueba
susprocedimientosoresultados.Elaborasupuestos
basadosenloobservadoenexperienciasconcretasylos
explicausandoejemplossimilares.
Plantearelacionesentrelosdatosensituacionesde
regularidad,equivalenciaycambio;ylaexpresacon
patronesderepetición3
opatronesmultiplicativos,
igualdadesconmultiplicacionesyrelacionesdecambioentre
dosmagnitudes.Relacionaelmodelotrabajadoconotras
situacionessimilares.Describeconlenguajematemático
sucomprensiónsobrepatrones,equivalenciasycambio.
Elaborayempleatablassimples,gráficosysímbolos.
aexperimentaroresolverunproblemaempleando
estrategiasheurísticas,procedimientosparaampliar,
completarocrearpatrones,encontrarequivalenciascon
expresionesmultiplicativasohallarelvalordesconocido
enunaigualdadmultiplicandoodividiendo,establecer
equivalenciasentreunidadesdemedidadeunamisma
magnitud,conapoyodematerialconcreto.Compruebasus
procedimientosyestrategias.Elaboraconjeturasbasadas
enexperienciasoenrelacionesmatemáticasylasjustifica
usandoejemplos.
Interpretadatosyrelacionesnoexplicitasensituaciones
deregularidad,equivalenciaycambioentredos
magnitudes;ylosexpresaconmodelosreferidosa
patronesgeométricos,patronescrecientesydecrecientes,
ecuaciones,desigualdades,yproporcionalidaddirectay
determinaenquéotrassituacionesesaplicable.Describe
utilizandolenguajematemáticoacercadesucomprensión
sobre:patrones,ecuacionesydesigualdades,yrelaciones
deproporcionalidaddirecta.Elaborayempleadiversas
representacionesdeunamismaideamatemática,con
tablas,gráficosysímbolos;relacionándolasentresí.
Elaborayejecutaunplanorientadoaexperimentaro
resolverproblemas,empleandoestrategiasheurísticasy
procedimientosparacompletartérminosdeunasucesión
gráficaonuméricadeacuerdoasuposición,simplificar
expresionesoecuacionesempleandopropiedadesaditivas
ymultiplicativasoestablecerequivalenciasentreunidades
deunamismamagnitud;conapoyoderecursos;ycompara
losprocedimientosyestrategiasempleadasendistintas
resoluciones.Establececonjeturassobreregularidades,
equivalenciasyrelacionesentredosmagnitudes,ylas
justificausandoejemplosocontraejemplos.
1 Patronesderepeticióncondoscriteriosperceptuales.
2 Equivalenciasconigualdadesqueinvolucranadicionesysustraccionesconcantidadeshasta20.
3 Patronesderepeticiónquecombinancriteriosperceptualesydeposición.
Matriz:Actúaypiensamatemáticamenteensituacionesderegularidad,equivalenciaycambio

52 53
Patronesderepetición:
Identificaelementosqueserepitenen
problemasderegularidad1
yloexpresa
enunpatrónderepeticióncondos
criterios2
.
Proponepatronesderepeticióncuya
regladeformacióncontienedoscriterios.
Plantearelacionesentreloselementos
deproblemasderegularidad3
ylo
expresaenunpatrónderepetición
gráficoconcriteriodesimetría.
Proponepatronesderepeticióngráficos.
Plantearelacionesentreloselementos
deproblemasderegularidad,ylas
expresaenunpatrónderepetición
quecombineuncriteriogeométricode
simetríaycriteriosperceptualesdecolory
tamaño.
Proponeunpatrónderepeticiónque
combineuncriteriogeométricode
simetríaycriteriosperceptualesdecolory
tamaño.
Interpretarelacionesenloselementosde
problemasderegularidadylosexpresa
enunpatrónderepeticiónquecombine
uncriteriogeométricodetraslaciónyun
criterioperceptual(color).
Proponeproblemasderegularidada
partirdepatronesderepeticiónque
combinenuncriteriogeométricode
traslaciónyuncriterioperceptual(color).
Patronesaditivos:
Identificadatosenproblemasde
regularidadnumérica,expresándolos
enunpatrónaditivoconnúmerosde
hastadoscifrasenformacrecienteo
decreciente.
Proponepatronesaditivosconnúmeros
hastadoscifras,conapoyodematerial
concretoográfico.
Patronesaditivos:
Identificalaregladeformacióndelos
datosenproblemasderegularidad,
expresándolosenunpatrónaditivocon
númerosdehastatrescifras.
Proponepatronesaditivosconnúmeros
dehastatrescifrasencontextosdiversos.
Patronesaditivosymultiplicativos:
Identificalaregladeformacióndelos
datosenproblemasderegularidad,
expresándolasenunpatrón
multiplicativoconnúmerosdehasta
cuatrocifras.
Proponepatronesaditivoso
multiplicativosconnúmerosdehasta
cuatrocifras.
Interpretalosdatosenproblemas
deregularidadgráfica5
ynumérica,
expresándolasenunpatrónaditivocon
númerosnaturalesofracciones.
Creaunaregularidadapartirdeun
patrónaditivoconnúmerosnaturales.
Igualdades:
Identificadatosyrelacionesen
problemasdeequivalenciaoequilibrio,
expresándolosenunaigualdad(con
adiciónysustracciónconnúmeroshasta
20)conmaterialconcreto.
Igualdades:
expresándolosenunaigualdadcon
adiciónysustracción
Igualdades:
problemasdeequivalencia,
expresándolosenunaigualdad
coníconos(conadición,sustracción,
multiplicaciónodivisión).
Ecuacionesydesigualdades:
Interpretadatosyrelacionesen
expresándolosenecuacionessimples
delaformaa±=b.
Relacióndecambio:
Identificalosdatosyrelacionesapartir
deunasituaciónexperimentalde
variacióndeunamagnitudconrespecto
altiempo4
,ylosrelacionaentablas
simples.
Relacióndecambio:
Recogedatosexperimentalesdedos
magnitudesenproblemasdevariacióny
losrelacionaentablassimples.
Relacionesproporcionales:
Interpretalosdatosenproblemas
devariaciónentredosmagnitudes,
expresándolosenunarelaciónde
proporcionalidaddirectausandotablas.
1 Situacionescongráficos,dibujosomaterialconcreto.
2 Patronescuyaregladeformacióntengaelementosquesediferencienendoscriterios,porejemplo:botóngranderojo,botónpequeñoazul,botóngranderojo,botónpequeñoazul(ladiferenciaestáeneltamañoycolor).
3 Situacionescreadasconguardillas,losetas,frisos,gráficos,dibujosymaterialconcreto.
4 Porejemplo:elcrecimientodeunaplanta(longitud)enunmes(tiempo).
5 Configuracionespuntuales,arreglos,figuras,etc.
Patrones:
Describeconlenguajecotidianoo
matemáticoloscriteriosquecambianen
loselementosdepatrónderepetición.
Expresaunmismopatrónderepetición
yunmismopatrónaditivoatravésde
dosomásrepresentacionesconmaterial
concreto,pictóricoográficoosimbólico
(códigos,letras).
Patrones:
Utilizalenguajematemáticopara
expresarelcriteriogeométrico(simetría)
queintervieneenlaformacióndelpatrón
derepetición.
Patrones:
describirlaregularidadenlospatrones
geométricosynuméricos.
Patrones:
expresarelcriteriogeométrico(traslación)
queintervieneenelpatrónylareglade
formacióncrecientedelpatrónnumérico.
Igualdades:
Expresaenformaoralográficaloque
comprendesobreelsignificadodel
equilibrioylaequivalencia.
Representaunaigualdad,enforma
concreta(regletas,balanzas,monedas,
etc.),gráficaysimbólica(conexpresiones
deadiciónysustracciónyelsigno“=”).
Igualdades:
Representaunaigualdadconvalores
conocidosodesconocidosconobjetos,
deformaconcreta(regletas,balanzas,
monedas,etc.),gráficaysimbólica(con
expresionesaditivasyelsigno“=”)
Igualdades:
Representaunaigualdadconvalores
conocidosodesconocidosconíconos,de
formaconcreta,gráficaysimbólica(con
expresionesdemultiplicaciónydivisión)y
elsigno“=”).
Representaelvalordesconocidodeuna
igualdadconíconos.
Relacionesdecambio:
Describerelacionesnúmericas6
entre
elementosdedoscolecciones,con
soporteconcretoygráfico.
Relacionesdecambio:
Describelarelacióndecambioentredos
magnitudes.
Relacionesdeproporcionalidad:
Expresalasrelacionesde
proporcionalidaddedosmagnitudes.
Relacionesdeproporcionalidad:
Expresalasrelacionesde
proporcionalidaddedosmagnitudes.
6 Relacionesdedobleymitad,unomásyunomenos,relacionesdecomparación.

54 55
Proponeaccionespararesolver
problemas.
Proponeunasecuenciadeaccionesorientadasaexperimentaroresolverunproblema. Elaborayejecutaunplanorientadoa
experimentaroresolverproblemas.
Empleaalgunaestrategiaheurísticapara
ampliar,completarocrearpatronesde
repeticiónyaditivos,deformavivencialy
usandomaterialconcreto.
Empleaestrategiasorecursoscomo
elespejoogeoplanopararesolver
problemasdepatronessimétricos.
Empleaalgunasestrategiasheurísticas
paraampliarocrearpatronesde
repeticióngeométricos,usandomaterial
concreto.
Empleaestrategiasheurísticas7
para
ampliarocrearpatronesderepetición
geométricosdetraslaciónycriterios
perceptuales.
Patronesaditivos:
Empleaprocedimientosdeconteoode
cálculoparaampliar,completarocrear
patronesaditivos.
Patronesaditivos:
Empleaprocedimientosdeconteoo
decálculoparaampliar,encontrarel
términointermedioocrearpatrones
aditivos,usandomaterialconcreto,
recursos,incluyendoelusodela
calculadora.
Empleaprocedimientosdecálculopara
ampliar,encontrareltérminointermedio
ocrearpatronesaditivosymultiplicativos,
usandomaterialconcreto,recursos,
incluyendoelusodelacalculadora.
Patronesaditivosymultiplicativoscon
fraccionesynaturales:
Empleaprocedimientosdecálculo
paraampliarocrearpatronesaditivos
confraccionesynúmerosnaturales,
incluyendoelusodelacalculadora.
Igualdades:
Empleaprocedimientosdeagregary
quitarconmaterialconcretoylarelación
inversadelaadiciónconlasustracción,
paraencontrarequivalenciasolosvalores
desconocidosdeunaigualdad.
Igualdades:
Empleaestrategiasyprocedimientos
aditivos(agregaryquitar),larelación
inversadelaadiciónconlasustracción
ylapropiedadconmutativa,para
encontrarequivalenciasolosvalores
desconocidosdeunaigualdad.
Igualdades:
Empleamaterialconcretoygráficopara
desconocidosdeunaigualdadcon
multiplicación.
multiplicativos,larelacióninversaentrela
multiplicaciónyladivisión,lapropiedad
conmutativadelamultiplicación,para
resolversituacionesdeequivalenciao
igualdadohallarunvalordesconocido
conexpresionesaditivasymultiplicativas.
Empleaprocedimientosportanteo,
sustituciónoagregando,quitandoo
repartiendoparaencontrarelvalorolos
valoresdesconocidosdeunaigualdado
ecuaciónyunadesigualdad.
Empleapropiedadesdelasigualdades
(sumar,restar,multiplicarodividiren
ambosladosdelaigualdad)parahallar
eltérminodesconocidodeunaigualdad.
Aplicalapropiedaddistributivadela
multiplicaciónrespectodelaadiciónpara
formularigualdades.
Problemasdecambio:
Empleaesquemasyprocedimientosde
comparaciónparaencontrarlarelación
decambioentreunamagnitudyel
tiempo.
Problemasdecambio:
Empleaesquemas,procedimientos
decomparaciónyoperacionespara
encontrarrelacionesnuméricasentredos
magnitudes.
Problemasdeproporcionalidad:
Empleaestrategiasdeensayoyerror,
experimentación,tablas,recojode
datosuoperacionespararesolver
problemasderelacionesdecambioode
proporcionalidad.
Compruebasusprocedimientosy
estrategiasusandomaterialconcretoo
apoyopictóricoográfico.
Compruebasuprocedimientooestrategiayeldesuscompañerosy,desernecesario,
loreplantea.
Comparalosprocedimientosy
estrategiasempleadasendistintas
resoluciones.
7 Tablas,empezarporatrás.
Razonayargumentagenerandoideasmatematicas
Explicasusresultadosyprocedimientosal
continuarocrearunpatrónderepetición
condoscriterios.
Elaborasupuestossobrelostérminos
queaúnnoseconocendelpatrónde
repeticióngeométricodesimetría.
Elaborasupuestossobrelostérminos
queocupanunaposiciónmásadelante
enelpatrónderepeticióngeométricode
simetríaysegúncriterioperceptual.
Justificasusconjeturassobrelostérminos
noconocidosdelpatrónylareglade
formacióncrecienteoconstante,delos
patronesaditivosconnúmerosnaturales
ofracciones.
Patronesaditivos:
Explicasusresultadosyprocedimientosal
continuarocrearunpatrónaditivode
hastadoscifras.
Patronesaditivos:
Explicasusresultadosyprocedimientos
alcontinuarocrearunpatrónaditivode
hastatrescifras.
Patronesaditivos:
Explicasusresultadosyprocedimientos
alcontinuarocrearunpatrónaditivoo
multiplicativodehastacuatrocifras.
Justificasusconjeturassobrelos
términosnoconocidosenpatrones
multiplicativosconnúmerosnaturaleso
fracciones.
Igualdades:
Explicalosqueocurrealagregaroquitar
unamismacantidaddeobjetosaambos
ladosdeunaigualdadgráficaouna
balanzaenequilibrio,basándoseenlo
observadoenactividadesconcretas.
Igualdades:
Elaborasupuestossobreloqueocurre
alagregaroquitarunamismacantidad
deobjetosonúmerosaamboslados
deunaigualdad,basándoseenlo
Elaboraconjeturasquepermitan
establecerlapropiedadconmutativade
laadición.
Igualdades:
Elaborasupuestossobreloqueocurre
enunaigualdadalmultiplicarodividir
unamismacantidaddeobjetoso
númerosaambosladosdeuna
igualdad,basándoseenloobservadoen
actividadesconcretas.
Justificaydefiendesusargumentaciones,
usandoejemplos,sobrelos
procedimientosusadospara
resolverproblemasdeigualdadeso
desigualdades.
Relacionesdecambio:
Elaborasupuestossobrelarelación
decambioentreunamagnitudyel
tiempo,basándoseenloobservado
enactividadesvivenciales,concretasy
gráficas.
Relacionesdecambio:
decambioentredosmagnitudes,
basándoseenloobservadoen
actividadesvivenciales,concretasy
gráficas.
Relacionesproporcionales:
Justificasusconjeturas,usando
ejemplos,paraafirmarquedos
magnitudessondirectamente
proporcionales.
Justificasusconjeturas,usandoejemplos
ycontraejemplos.

56 57
Descripción y ejemplos de indicadores
Indicador para cuarto grado:
Identifica datos y relaciones en problemas de equivalencia,
expresándolos en una igualdad con íconos (con adición,
sustracción, multiplicación o división).
Identificar datos y relaciones implica reconocer cuáles son las cantidades que intervienen
en el problema, cómo se logra el equilibrio o la equivalencia y descubrir que hay una
equivalencia entre las cantidades del problema o que hay varias formas de obtener el
mismo resultado.
Equivalencia: igual valor.
Igualdad: dos expresiones equivalentes relacionadas con el signo “=”.
Expresar la igualdad implica escribir las expresiones aditivas o multiplicativas cuyo
resultado es el mismo e igualarlas mediante el signo “=”.
Veamos el siguiente ejemplo:
José está jugando a equilibrar la balanza y desea saber cuánto pesa la botella.
1 2
Indicador de tercer grado:
Describe la relación de cambio entre una magnitud y el tiempo.
Describir implica que se exprese de forma oral o escrita todo lo que ocurre con el
comportamiento de ambas magnitudes, siempre una con respecto de la otra, es decir,
que se exprese si la magnitud aumenta o disminuye en función del tiempo, por ejemplo:
“a mayor tiempo, mayor será el crecimiento de una persona”. Los datos pueden ser
recogidos de una situación experimental o de otras fuentes, como: periódicos, tablas
de crecimiento, etc.; dichos datos se organizan en tablas o gráficos.
Las siguientes preguntas permitirán identificar los datos y las relaciones de
equivalencia entre ellos, para expresar el problema en una igualdad:
¿La balanza qué idea nos proporciona?, ¿de equilibrio o desequilibrio?
¿Qué datos presenta el problema?, ¿solo son datos numéricos?
= 600 g + 1 pelota
En la primera balanza, ¿qué datos tenemos? ¿Qué objetos se equilibran? ¿Qué
equivalencia tenemos? Escribe la equivalencia como una igualdad.
600 g = 3
¿Con qué se equilibra el peso de la botella? ¿Conocemos el peso de la pelota?
Escribe el peso de la botella con los datos que nos da la segunda balanza.
Exprésalo como una igualdad.
600
g
600
g
600 gramos
equivale a 3
pelotas.

58 59
Describe qué pasa con la talla de Daniela cuando aumenta su edad:
Figura 3. Tarea que evidencia la relación entre dos magnitudes: edad y estatura.
Mapas de Progreso. Matemática: Cambio y Relaciones (2013)
Veamos un ejemplo11
de este desempeño:
EDAD TALLA
0 años 52 cm
3 años 105 cm
6 años 112 cm
9 años 122 cm
12 años 155 cm
15 años 165 cm
18 años 165 cm
21 años 165 cm
24 años 165 cm
Los datos de la siguiente tabla muestran la talla
de Daniela en diferentes momentos de su vida:
EL CRECIMIENTO
DE DANIELA
Indicador de tercer grado:
Emplea estrategias y procedimientos aditivos (agregar y quitar),
la relación inversa de la adición con la sustracción y la propiedad
conmutativa, para encontrar equivalencias o los valores
desconocidos de una igualdad.
En este grado los estudiantes resolverán problemas en los que deberán expresar una
igualdad con expresiones equivalentes, en las que puede haber valores desconocidos que
encontrar. Para encontrar estos valores o equivalencias, el estudiante puede hacer uso de:
Estrategias como la de ensayo y error, en la que se pueden ir sustituyendo los valores
desconocidos por números tentativos, hasta encontrar el valor que cumple con la
igualdad.
Si pesa 5, no llega a 22;
si pesa 6, tampoco,
si pesa 7, ¡sí! 7 + 15 es 22
Procedimientos aditivos de agregar o quitar la misma cantidad de objetos en ambos
lados de los platillos. Es decir, si en el platillo de tu izquierda se quita una pesa de 5 kg,
en el otro platillo también quitarás una pesa de 5 kg.
+ 15 = 22?

60 61
Indicador de cuarto grado:
Elabora supuestos sobre los términos que ocupan una posición más
adelante en el patrón de repetición geométrico de simetría y criterio
perceptual.
Elaborar supuestos en este tipo de problemas implica que los estudiantes puedan
predecir el término en una posición que se desconoce y no sea observable o deducible
a simple vista, y explicar el porqué de sus afirmaciones. Para ello, los niños deberán
Aplicando la relación inversa entre la adición y la sustracción en un problema de
igualdad, donde hay que hallar el valor del ícono (bolsa):
Aplicando la propiedad conmutativa de la adición:
+ 15 = 22? 22 - 15 = 7
+ 15 = 15 + 7? + 15 = 7 + 15?
Quitando a ambos lados del platillo Restando a ambos lados de la igualdad
5kg
5kg 2
?
Quitamos en ambos
lados
Resolvemos
+ 15 – 15 = 22 – 15? = 7?
+ 15 = 22?
Veamos un ejemplo:
Enesteproblema,ademásdeencontrarcuáleslamayólicaquecontinúa,losestudiantes
pueden hacer supuestos sobre cómo serán las piezas que se colocarán más adelante.
Por ejemplo, se darán cuenta de que cada 6 piezas todo se repite: la pieza 1 se repite
en la posición 7 y luego en la 13; de igual forma, la pieza 6 se repite en la posición 12 y
luego en la 18. Esto permite que los niños formulen supuestos como este: “La mayólica
de la posición 24 es la misma que la mayólica de la posición 6”.
Estas son algunas preguntas que pueden ayudar a que los estudiantes realicen supuestos:
Un albañil coloca mayólicas en un local y así forma una secuencia decorativa.
¿Qué pieza continúa?
Mapa de progreso de Matemática: Cambio y Relaciones (2013)
¿Cuántas piezas diferentes hay en el patrón? ¿Dónde vuelves a encontrar
una pieza igual a la pieza 1?, ¿ y a la pieza 2?, ¿y a la pieza 3?...
¿Puedessabercómoseránlaspiezasquenovessinnecesidaddedibujarlas
todas?, ¿cómo lo harías?, ¿cómo podrías organizar la información?
¿Qué pasaría si las piezas 3 y 4 se quitan?, ¿cómo seria la nueva secuencia?
¿En qué posición estaría la pieza 13?
identificarlaregladeformacióndelpatrónderepeticióngeométrico,aparitrdeensayoso
exploración con el material concreto, lo cual permitirá que expresen cómo se relacionan
los elementos, cómo cambian y qué cambia. Además, los estudiantes deben explorar
relaciones entre los elementos y el número de posición que estos ocupan, reconocer
cómo son los elementos que ocupan posición par o impar, o cada cuánto se repite una
forma o un color, de tal manera que estén en la posibilidad de hacer supuestos sobre
cuál elemento correspondería a una posición cualquiera. Podrán llegar a supuestos
como el siguiente: “El elemento de posición 10 y el 12 son iguales porque…”.
Pieza 1 Pieza 2 Pieza 3 Pieza 4 Pieza 5
Capacidad Razona y argumenta generando
ideas matemáticas
5kg 5kg 5kg 5kg

62 63
de forma, movimiento y localización
Desarrollar esta competencia en el IV ciclo implica que los niños actúen y piensen
matemáticamente al resolver problemas geométricos de diversos contextos vinculados
con las formas tridimensionales y bidimensionales; problemas referidos al movimiento
o las transformaciones geométricas como la simetría y la traslación de figuras; y
problemas de localización que conllevan a ubicar objetos o figuras en una cuadrícula.
Uno de los principales problemas en la enseñanza de la geometría es que se basa
en una transmisión ostensiva1
, de conceptos completamente desvinculados de los
problemas para los cuales son útiles, y en la memorización de nombre y definiciones.
En este sentido, el cambio fundamental consiste en proponer a los estudiantes
problemas que los conduzcan a explorar su entorno, ubicarse en él, situar objetos,
identificar y caracterizar formas, representarlas, aplicarles movimientos, anticipar
transformaciones; todo ello acompañado de la reflexión sobre los procedimientos y
resultados obtenidos.
Así, los niños en este ciclo podrán matematizar situaciones a partir de una experiencia
vivencial con su entorno para expresar la realidad o los objetos que hay en ella en
formas tridimensionales o bidimensionales; ubicarse en el entorno y expresarlos en una
maqueta o en un plano; aplicar movimientos a las figuras y expresarlo en una figura
simétrica o una figura que se traslada; comunicar y representar las ideas geométricas
relacionadas con las formas y sus elementos básicos empleando lenguaje matemático,
así el uso del lenguaje geométrico será necesario cuando quieran comunicar posiciones,
describir e identificar a los objetos e indicar oralmente los movimientos. La adquisición
del vocabulario geométrico se produce a partir de su utilidad para resolver problemas
y es en el marco de estos que surge la necesidad de usar expresiones cada vez menos
ambiguas.
Los estudiantes en este ciclo también elaborarán y usarán estrategias al construir
formas mediante el plegado, recortado, modelado y el dibujo; medir la longitud,
capacidad y superficie de los objetos; y construir figuras simétricas y trasladarlas con
material concreto, usando instrumentos de dibujos y diversos materiales. En este
proceso también es necesario que razonen y argumenten con el objetivo de construir
o generar nuevas ideas geométricas al elaborar conjeturas sobre las propiedades de
las formas y verificarlas. Al explicar sus procedimientos y resultados consolidarán lo que
aprendieron.
1 La ostensión es el procedimiento privilegiado para la introducción precoz de las nociones matemáticas.
Por ejemplo: pegar en la pizarra figuras recortadas y mostrarlas con un solo “golpe de imágen“
(Chamorro, 2006)
Estándares(mapadelprogreso)
Identificalascaracterísticasdeobjetosdelentornoylos
relacionaconelementos1
deformasbidimensionales
ytridimensionales,determinasuubicación,longitud,
superficieocapacidad.Describelasformasbidimensionales
ytridimensionales,ubicaciónymovimientodeobjetosylas
formassimétricas,losatributosmediblesdelosobjetos
(longitud,superficie,ycapacidad);empleandolenguaje
cotidianoyalgunostérminosmatemáticos.Realiza
representacionesconsucuerpo,materialesconcretos,
dibujos,gráficosysímbolos.Proponeyrealizauna
secuenciadeaccionesparaexperimentaroresolverun
problema,empleaestrategiasheurísticasyprocedimientos
comomedir,compararyestimarlongitudes,superficies
ycapacidadesdeobjetosconunidadesarbitrarias,con
apoyodematerialconcretoyrecursos;compruebasus
procedimientosyestrategiasusandomaterialconcreto.
Elaborasupuestossobrelascaracterísticasyatributos
mediblesdelasformasgeométricasydelosobjetos,a
partirdelaobservaciónenexperienciasconcretas,ylos
explicausandoejemplossimilares.
Relacionacaracterísticas,atributos,localizacióny
movimientodelosobjetosdelentorno,conlasformas
geométricas,ubicaciónenelplanoyelespacio,simetría
ytraslación.Relacionaelmodelotrabajadoconotras
situacionessimilares.Describeconlenguajematemático
sucomprensiónsobrecaracterísticasdelasformas
bidimensionalesytridimensionales;longitud,perímetro,
superficieycapacidaddeobjetos;simetríaytraslaciones.
Elaborayemplearepresentacionesmediantetablasde
dobleentrada,gráficos,croquisysímbolos.Proponey
realizaunasecuenciadeaccionesparaexperimentaro
solucionarunproblemaempleandoestrategiasheurísticas,
procedimientosparaubicarobjetosyrutas,mediryestimar
lalongitud,perímetro,superficieycapacidaddeobjetos
seleccionandoelinstrumentoylaunidadarbitrariao
convencionalapropiada,reflejarotrasladarformasen
cuadrículas,conapoyodematerialconcreto.Comprueba
susprocedimientosyestrategias.Elaboraconjeturassobre
semejanzasydiferenciasentreformasgeométricasylas
justificausandoejemplos.
Interpretadatosyrelacionesnoexplícitasdelocalización
ymovimientodelosobjetos,conlasformasgeométricas
biytridimensionales,surotación,ampliaciónoreducción
ydeterminaenquéotrassituacionesesaplicable.
Expresasucomprensiónutilizandolenguajematemático
sobrelaspropiedadesdelasformasbidimensionales
otridimensionales2
;ángulos,superficies,volumeny
capacidad;ampliaciones,reducciones,girosylaposición
deunobjetoenelplanocartesiano;Elaboradiversas
representacionesdeunamismaideamatemática,
congráficosysímbolos,relacionándolasentresí.
Elaborayejecutaunplanorientadoaexperimentaro
resolverproblemasempleandoestrategiasheurísticasy
procedimientoscomoestimarymedirángulos,calcular
perímetro,superficie,capacidadyvolumenseleccionando
elinstrumentoylaunidadconvencionalpertinente;
conapoyoderecursos.Comparalosprocedimientosy
estrategiasempleadasendistintasresoluciones.Elabora
conjeturassobrerelacionesentrepropiedadesdelas
formasgeométricastrabajadasylasjustificausando
ejemplosocontraejemplos.
1 Lados,caras,esquinas
2 Triángulos,cuadriláteros,ángulos,círculos,circunferencias,prismasypirámides.
Matriz:Actúaypiensamatemáticamenteensituacionesdeforma,movimientoylocalización

64 65
Formastridimensionales:
Identificaelementosesenciales1
delos
objetosdesuentornoylosexpresadeforma
tridimensional2
conmaterialconcreto.
Relacionalaformatridimensionaldematerial
concretoconobjetosdesuentorno.
Formatridimensionales:
Identificapropiedadesenlosobjetos
delentornosegúnsusladosparalelosy
perpendiculares,laformadesuscarasode
susbases,ylosrelacionaconprismasrectos
rectangularesycubos.
Relacionaunaformatridimensionalconcreta
ygráficaconobjetosdesuentornoyconsus
vistas.
Identificapropiedadesenlosobjetos
delentornosegúnsusladosparalelosy
perpendiculares,laformadesuscarasosus
basesy,losrelacionaconprismasrectos.
Relacionalosprismasrectosconsuproyección
vistadesdeabajo,desdearribaodesdeun
costado.
Reconoceelementosypropiedadesde
losobjetossegúnsuscaras,bases,altura,
superficielateralylosrelacionaconprismasy
cilindros.
Relacionaunprismaconcubosysusdiferentes
vistas.
Seleccionalaestructuradelsólidoconcubos,
pararesolverunproblemadeconstrucciónde
prismas.
Formasbidimensionales:
Identificaelementosesenciales3
delos
objetosdesuentornoylosexpresadeforma
bidimensional4
conmaterialconcreto.
Relacionala“huella”dejadaporunobjeto
tridimensionalconunafigurabidimensional.
Identificacaracterísticasdelosobjetosdesu
entornosegúnsuslados,ángulosyvértices,
perímetroysuperficieylosrelacionaconuna
figurabidimensionalregularoirregular.
Relacionalascaracterísticasdelasfiguras
alplantearoresolverunproblemade
construccióndefigurascompuestas.
Formabidimensionales:
entornosegúnsuslados,ángulos,paralelismo
operpendicularidadyloexpresaenunmodelo
basadoenparalelogramos.
Usaunmodelobasadoenparalelogramosal
Identificacaracterísticasypropiedades
geométricasexplicitassegúnsuperímetroy
áreaenobjetosysuperficiesdesuentorno,
expresándolosenunmodelobasadoen
cuadriláterosytriángulos.
Aplicalaspropiedadesdeloscuadriláteroso
triángulosalplantearoresolverunproblema.
Simetría:
Identificalaimagensemejantedelosobjetosy
figurasapartirdedoblarlafiguraporlamitad,
expresándolosenunafigurasimétricacon
materialconcreto5
.
Reconocefigurassimétricasenobjetosyfiguras
desuentornoapartirdeunejedesimetría.
Simetría:
Identificacaracterísticasycondicionesdelos
objetos,expresándolosenunafigurasimétrica
usandomaterialconcretoyunacuadrícula.
Reconocefigurassimétricasenobjetosy
figurasdesuentornoconunoomásejesde
simetría.
Simetríaytraslación:
Identificacondicionesycaracterísticas
relevantesenproblemasdedesplazamiento,
expresándolosenunmodelodetraslaciónde
formasbidimensionalesenunacuadrículade
coordenadas.
Reconocelatraslacióndeunafiguraenotros
problemas.
Ampliaciónyreducción:
Identificacondicionesycaracterísticasdelos
objetosdesuentorno,expresándolosenun
modelodeampliaciónyreduccióndefiguras
enunplanocuadriculado.
Aplicalaampliaciónyreduccióndefigurasa
otrosproblemassimilares.
Ubicaciónydesplazamiento:
Identificadatosdeubicaciónydesplazamiento
deobjetosenentornoscercanos,segúnun
referente,expresándolosenunamaquetaoen
unbosquejoconmaterialconcretoygráfico.
Empleadibujosounacuadrículaalresolver
problemasdelocalización.
Verificasilamaquetaoeldibujoempleado
permiteresolverproblemasdelocalizacióno
posicióndeobjetosypersonas.
Identificadatosocaracterísticasrelevantesen
situacionesdelocalizaciónydesplazamiento
deobjetos,enentornoscotidianos,
expresándolosenunbosquejorealizadoen
cuadrículas.
Empleaunacuadrículaalresolverproblemas
delocalización.
Verificasielbosquejoolacuadrícula
correspondealarealidadypermiteubicary
localizarconprecisión.
Identificalasreferenciasnecesariasen
situacionesdelocalizaciónydesplazamientos,
enelentornoescolar,expresándolos
enuncroquisapoyadoencuadriculasy
coordenadas.
Empleauncroquisconcuadrículascon
coordenadasalresolverproblemasde
localización.
Verificasielcroquisempleadocorrespondea
larealidadypermitelocalizarodesplazarse
conprecisión.
Organizadatosrespectoalalocalizaciónde
lugaresydesplazamientodelosobjetosen
lalocalidad,expresándolosenuncroquis
usandopuntoscardinalesenunsistemade
coordenadas.
Empleaunsistemadecoordenadascon
puntoscardinalesalresolverproblemasde
localización.
1 Elementosesencialesdeloscuerposgeométricos:esquinas,caras,líneasrectas,líneascurvas.Cuerposredondos(cono,cilindro,esfera).Cuerposnoredondos(cubo,prisma).
2 Prismarectangular,cubo,esfera,cilindroycono.
3 Elementosesencialesdelasfigurasgeométricas:ladosyesquinas,líneasrectasylíneascurvas.
4 Triángulo,cuadrado,rectánguloycírculo.
5 Hojasconformassimétricas,etc.,dobladodepapel,figurasgeométricas,mosaicos,bloquesdeconstrucción,geoplano.
Expresaloselementosesencialesdelas
formastridimensionales(caras,bordes,
esquinas,líneasrectas,líneascurvas,etc.).
Representalosobjetosdesuentornodeforma
tridimensional,conmaterialgráfico-plástico,
concretoygráfico.
Expresalamedidadelacapacidaddelos
objetosusandounidadesarbitrarias:cucharas,
cucharitas,goteros,tazas,conpuñado,manos,
etc.
Expresalamedidadelongituddelosobjetos
(largo,ancho,alto,etc.)usandosucuerpo:
dedos,manos,pies,pasosyobjetoscomoclip,
lápices,palillos,etc.
Expresalamedidadesuperficiedelosobjetos
usandounidadesdemedidaarbitrariacon
objetos:servilletas,tarjetas,cuadrados,etc.
Describelasformastridimensionales8
según
suselementos(caras,aristas,vértices).
Construyefigurastridimensionalesconel
modelopresenteoausente,atravésdel
moldeado,materialconcreto9
oconuna
plantilla.
Construyefigurastridimensionalesenforma
concreta,apartirdeinstruccionesescritasy
orales.
Expresalamedidaylaestimacióndela
capacidaddelosrecipientesenlitros.
Expresalamedidadelongitudoelperímetro
delosobjetos(largo,ancho,alto,etc.)usando
elmetroyelcentímetro.
usandocomounidaduncuadradoymaterial
concreto(losetacuadrada,cartonescuadrados)
Describelasformastridimensionalessegún
suselementos(caraslaterales,aristas,vértices,
bases).
Construyefigurastridimensionalescon
diferentesmaterialesconcretosyapartirde
unaplantilla.
concreta,apartirdeinstruccionesescritasy
orales.
Describelaestimaciónylacomparacióndela
medidadecapacidadenfraccionesdelitro,
galones.
Expresalaspropiedadesyelementosde
cubos,prismasocilindrosnombrándolas
apropiadamente.
Representagráficamentelasdiferentes
vistasbidimensionalesquetieneunaforma
tridimensional.
concreta(origamimodular),apartirdesu
medidaeinstruccionesescritasyorales.
Expresaloselementosesencialesdelas
formasbidimensionales(puntas,lados,líneas
rectas,líneascurvas,etc.).
Representalosobjetosdesuentornodeforma
bidimensionaloplanaconmaterialgráfico-
plásticoyconcreto6
conelmodelopresenteo
ausenteyapartirdesuselementosesenciales.
Describelasfigurasbidimensionalessegún
suselementos(lados,vértices,ángulosrectosy
ángulosmenoresqueunángulorecto).
Construyeydibujafigurasbidimensionales10
condiferentesmaterialesconcretos,deforma
gráfica(cuadrícula,malladepuntos)ycon
regla,escuadraytransportador.
Construyefigurasbidimensionalessimplesy
compuestasenformaconcreta11
,apartirde
instruccionesescritasyorales.
Describelascaracterísticasdelospolígonosy
paralelogramos,segúnsunúmerodelados
yvértices,nombrándolosadecuadamente
(triángulos,cuadriláteros,pentágonos,etc.).
Representaenformaconcreta(sogas,
geoplano,etc.)ygráfica(encuadrículas),
diferentesformasbidimensionalesquetienen
elmismoperímetro.
Representaenformaconcreta(sogas,
geoplano,origami,etc.)ygráfica(en
cuadrículas)diferentesrectángulos,cuadrados,
rombosyromboidesconelmodelopresentey
ausente.
Construyeparalelogramossegúnindicaciones
oralesyescritas.
Describelaestimaciónylacomparacióndela
medidadelalongitud,perímetro,superficiede
lasfigurasapartirdeunidadesarbitrariaso
convencionales.
Describelascaracterísticasypropiedades
básicasdeloscuadriláterosytriánguloscon
respectoasusladosyángulosydiagonales,
paralelismoyperpendicularidad.
Describelaconstruccióndeformas
bidimensionalesapartirdesuselementoso
propiedades.
Representaenformaconcreta(tangram,
geoplano,origami)ygráfica(encuadrículas,
malladepuntos),cuadriláterosytriángulos,
dadoslamedidadesuslados,ángulos,el
perímetrooelárea.
Simetría:
Representalosobjetosdesuentornoquesean
simétricossegúnsiseparteporlamitadosi
tienenunejedesimetría,conmaterialgráfico-
plásticoyconcreto7
conelmodelopresenteo
ausente
Construyefigurassimétricasusandomaterial
gráfico-plástico,doblandoorecortandoel
papelymaterialconcreto,apartirdeunejede
simetría.
Simetría:
Describelasrelacionesdesimetríadelas
figurasgeométricasplanasyelreflejodeuna
figuraapartirdelejedesimetría.
Representaconmaterialconcreto(geoplanos,
bloqueslógicos,etc.)pictóricoygráfico(enla
cuadrícula)elreflejodeunafiguraapartirdel
ejedesimetría.
Traslaciónysimetría:
Describelasrelacionesdetraslacióndefiguras
geométricasplanasyelreflejodeunafiguraa
partirdelejedesimetríaverticalyhorizontal.
Representaenformaconcreta(geoplano),
gráfica(encuadrícula)y,latraslacióndefiguras
partirdelejedesimetríaverticaluhorizontal.
Describelatransformacióndeampliación
yreduccióndeunafiguraenelplano
cuadriculado.
Construyedeunamismafiguradosomás
ampliacionesoreduccionesenunplano
cuadriculadooenelplanocartesiano.
6 Geoplano,mosaicos,etc.
7 Geoplano,mosaicos,etc.
8 Cubos,prismasrectangulares,esferasyconos.
9 Poliedros,plastilinaymondadiente.
10 Triángulos,cuadrados,rectángulosycírculos.
11 Tangram,geoplano,dobladodepapel.

66 67
Describelosdesplazamientosque
realizaparairdeunlugaraotroopara
ubicarobjetosypersonasconrelación
asímismo,aotrosobjetosypersonas,
usandolasexpresiones“sube”,“baja”,
“entra”,“sale”,“haciaadelante”,“hacia
atrás”,“haciaarriba”,“haciaabajo”,“ala
derecha”,“alaizquierda”y“porelborde”.
Representaelrecorridoodesplazamiento
ylaubicacióndeobjetos,deforma
vivencial,pictórica,gráficaencuadrículas
ysimbólicaconflechas.
Expresalamedidadelongituddesu
recorridoenunidadesarbitrariasatravés
desucuerpo:pasos,pies,brazoso
convencionales(metro).
Describerutasyubicacionesusando
comoreferentesobjetosylugares
cercanosporlosquedebepasar.
Representaelrecorridoo
desplazamientoylaubicaciónde
objetos,deformavivencial,pictórica,
gráficaencuadrículasycoordenadasde
filasycolumnas.
Expresalamedidadelongituddesu
recorridoenunidadesconvencionales
(metroycentímetro).
Describerutasoubicaciones,usando
comoreferentesobjetosylugares
cercanosoporlosquedebepasar.
Elaboracroquis,mapasusando
referentesparalelos,perpendicularesy
oblicuos,paraubicarobjetosyexpresar
rutas
Ubicaiónydesplazamiento:
Describerutasdedesplazamientoen
guías,planosdeciudadesutilizando
referentesespacialesyotrasreferencias.
Graficaenunplanocuadriculadola
posicióndeunobjeto.
Empleamaterialesconcretoso
instrumentos,pararesolverproblemas
sobreformasbidimensionalesy
tridimensionalesconelmodelopresente
yausente.
Usaobjetosysupropiocuerpocomo
unidadesdemedidaarbitrariaspara
medir,estimarycompararlongitudesde
losobjetos.
Usarecursosdesuentorno(servilletas,
tarjetas,cuadrados,etc.)comounidades
arbitrariasparamedir,estimary
compararlasuperficiedelosobjetos.
Experimentayusarecipientespequeños
(vasos,puñados,etc.)comounidadesde
medidaarbitrariasparamedir,estimary
compararlacapacidaddeunrecipiente.
instrumentos,pararesolverproblemas
sobreconstruccióndeformas
tridimensionalesconelmodelopresente
yausente.
Empleanestrategiaseinstrumentos
comolacintamétricaparamedir
longitudesenunidadesconvencionales.
Usaestrategiasparaconstruircuerpos
geométricos,figurasconelmodelo
ausentesegúnsusángulosylasimetría,
usandodiversosmateriales.
Usadiversosrecipientescomojarras,
envasesdebotellas,recipientes
graduados,paramedir,comparary
estimarlacapacidaddelosrecipientes.
Usainstrumentosdemedición(cinta
métricayreglasgraduadas)yunidades
convencionalesparamedirycomparar
longitudesydistanciascortas.
geométricosydibujarfigurassegún
susvistas,usandodiversosmaterialese
instrumentosdedibujo.
instrumentos,paraconstruirformas
bidimensionalesconelmodelopresente
yausentesegúnsuscaracterísticasy
medidas.
Compruebasuprocedimientoyelde
otrosparamedirlongitudesysuperficies.
Usaunidadespatrón(cuadradosde
1cmporlado,ladosdeunapiezade
unbloquelógicoodemosaicosola
cuadrícula)afindedeterminarcuántas
unidadescuadradassenecesita
paracubrirsuperficiesdefiguras
bidimensionalessimplesycompuestas.
Empleaestrategiasdeensayoyerror
osuperposiciónparacomponero
descomponerunafigura,conapoyo
concreto.
Usaunidadespatrónparamedir
elperímetrodefigurassimpleso
compuestasenformaconcretaygráfica
(ladode1cm,fichasconladosiguales)
Compruebamediantelavivenciación
losprocedimientosyestrategiasusados
paracompararyestimarlongitudesy
superficies.
Usaunidadespatrón(cartón,cartulina,
etc.)quemidanunmetrocuadradopara
determinarcuántasunidadescuadradas
necesitaparacubrirsuperficiesde
figurasbidimensionales
Usaestrategiasqueimplicantrazarel
recorridodelosvérticesdelasformas
bidimensionales,utilizarrecortesde
figurasdepapelparatrasladarlasobre
uncuadriculado.
Empleadiversosmaterialesyrecursos
paraconstruirodibujarfiguras
bidimensionales.
Empleaprocedimientoscomocomponer
orotarfiguras,estrategiasdeconteode
cuadraditosocomposicióndetriángulos
paracalculareláreadeparalelogramos
ylostrapeciosapartirdeláreadel
rectángulo.
Calculaeláreadeltriánguloapartirdel
áreadelrectángulo.
Empleaestrategiasdeensayoyerror,y
estrategiasqueimpliqueneltrazode
líneasrectasentreunobjetoyotro,entre
elpuntodepartidayeldellegadaen
situacionesdedesplazamientos.
Empleaestrategiasdeensayoyerror,y
estrategiasqueimpliqueneltrazode
líneasrectasentreunobjetoyotro,entre
elpuntodepartidayeldellegada.
Empleaestrategiasorecursospara
ubicarconprecisiónunobjetoenun
planocuadriculado.
Simetría:
Empleaestrategiasderecorte,armado
derompecabezas,recursos(periódicos,
revistas,figurasdeobjetosyanimales)
pararesolverproblemasqueimpliquen
simetría.
Simetría:
Proponeaccionesoprocedimientospara
resolverproblemasdesimetría.
Empleaestrategiasderecorte,armado
derompecabezas,recursos(periódicos,
revistas,figurasdeobjetosyanimales),
asícomolacuadrícula,pararesolver
problemasqueimpliquensimetría.
Traslaciónysimetría:
Usaestrategiasparatrasladarunafigura
sobreunplanocartesiano.
Empleaprocedimientosdecálculoy
relacionesdeproporcionalidadpara
ampliaroreducirunafigura.
Comparalosprocedimientosyestrategiasempleadasendistintasresoluciones.
Elaboraoejecutaunplanorientadoaexperimentaroresolverproblemas.

68 69
Descripción y algunos ejemplos de indicadores
Identifica propiedades en los objetos del entorno
según sus lados paralelos y perpendiculares, la
forma de sus caras o sus bases, y los relaciona con
prismas rectos.
Este indicador propone que los niños exploren, visualicen y descubran en los objetos de
su entorno propiedades geométricas relacionadas con la forma y el número de caras,
bases y aristas, así como la relación entre estos, es decir, si las aristas son paralelas o
perpendiculares, qué aristas son paralelas y cuáles perpendiculares, si las bases son
paralelas, si tienen igual forma, si todas las caras son iguales, etc.
Los estudiantes a partir de un objeto de su entorno plantearán un modelo tridimensional
utilizando materiales concretos (palitos y plastilina). Cabe señalar que se considera
modelo tridimensional a las formas geométricas que tienen alto, ancho y largo (tres
dimensiones).
Razonayargumentagenerandoideasmatematicas
Explicaconsupropiolenguajelas
semejanzasodiferenciasdelas
formastridimensionalessegúnsus
características.
Elaborasupuestosylosverifica,sobre
laestimacióndemedidasdelongitud,
superficieycapacidadenunidades
demedidaarbitrarias,basándoseen
experienciasvivenciales.
Establecerelacionesentrela
formatridimensionalylasformas
bidimensionalessegúnsus
característicasoelementos.
Elaboraconjeturassobrecuálessonlas
característicasgeométricascomunesde
lasformastridimensionales.
Justificasusconjeturasusandoejemplos
sobrelosprocedimientosaplicadosen
problemasdecálculodecapacidadcon
unidadespatrón.
Elaboraconjeturassobrelas
característicassemejantesgeométricas
delosprismas.
Elaboraconjeturassobrelos
procedimientosmatemáticosaaplicaren
lasolucióndeproblemasdecálculode
volumen.
Justificalarelaciónentrelaclasificación
deprismassegúnsubase,conla
clasificacióndepolígonossegúnel
númerodelados.
Explicaconsupropiolenguajelas
semejanzasodiferenciasdelas
formasbidimensionalessegúnsus
características.
Elaborasupuestosylosverificasobrela
estimacióndeunamedidadelongitud,
superficieocapacidadenunidades
demedidaarbitrarias,basándoseen
Explicaelprocedimientousadoen
lamedidadelongitud,superficiey
capacidaddelosobjetos.
Elaborasupuestosylosverificasobrela
estimacióndeunamedidadelongitud
osuperficiedeunobjeto,basándoseen
Establecesemejanzasodiferencias
entrelasfigurasgeométricassegúnsus
características.
Elaboraconjeturasylasverificasobreel
perímetroylamedidadelasuperficie
deunafigurasimpleocompuestaen
unidadespatrón.
Justificasusconjeturasusandoejemplos
sobrelosprocedimientosaplicadosen
problemasdecálculodeperímetro,
superficieycapacidadconunidades
patrón.
Elaboraconjeturassobrecuálessonlas
característicasgeométricascomunesde
lasformasbidimensionales
procedimientosaaplicarenelcálculo
deperímetro,superficieycapacidadcon
unidadespatrón.
Establecesemejanzasydiferenciasentre
cuadradoyrectángulo,entrecuadradoy
rombo,etc.
Elaboraconjeturassobrelas
propiedadesdeloscuadriláterosy
triángulos.
Explicaconejemplosycontraejemplos
lascaracterísticasdeloscuadrados,
rectángulos,rombos,triángulo
rectánguloyequilátero,etc.
Establecediferenciasentreeláreayel
perímetrodeunafigura.
Simetría:
Explicaelprocedimientousadopara
construirelladosimétricodeunafigura,
conmaterialesconcretos,plegandoo
recortandounpapel.
Simetría:
Explicaelprocedimientousadopara
construirelladosimétricodeunafigura
conmaterialesconcretosygráficos.
Traslación:
Elaboraconjeturassobreel
procedimientopararepresentar
traslacionesdeformasbidimensionales
encuadrículas.
Elaboraconjeturassobrelarelación
entrelaampliaciónyreducciónconla
proporcionalidad.
Tiene dos bases iguales cuadradas y
son paralelas.
Sus caras opuestas son iguales y
paralelas.
Las caras vecinas son
perpendiculares.
Tiene caras laterales y son
rectangulares.
Tiene forma de prisma rectangular.
Alfajores
cara
vértice
base
arista

70 71
Sofía ha elaborado un
almanaque de escritorio y
desea dibujarlo. ¿Qué forma
tiene el almanaque?
Identifica propiedades en los objetos del entorno según sus lados paralelos y
perpendiculares, la forma de sus caras o sus bases, y los relaciona con prismas de
base triangular.
Veamos un ejemplo:
Las siguientes preguntas ayudan a evidenciar el indicador:
¿Cómo es el almanaque?
¿Tiene caras? ¿Todas las caras son de cartón? ¿Cuántas caras tiene?
¿Tiene pares de caras iguales? ¿Estas caras iguales son además paralelas?
¿Qué forma tienen? ¿Son las bases?
¿Qué forma tienen las demás caras? ¿Tienen la misma forma?
¿Qué tipo de forma geométrica tiene dos bases iguales y paralelas?
Tiene dos bases de forma triangular y son
paralelas.
Las caras triangulares son las bases.
Tiene tres caras de forma rectangular que no son
paralelas.
Las otras 3 caras son rectangulares.
Es un prisma triangular, por la forma
de sus bases.
Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado
Domingo
Emplea estrategias de recorte, armado de
rompecabezas, instrumentos,asícomolacuadrícula,
para resolver problemas que impliquen simetría.
En el desarrollo de este indicador, los niños pueden hacer uso de diferentes estrategias,
por ejemplo:
La técnica del recorte: para construir figuras simétricas se dobla
un pedazo de papel y se procede a delinear una silueta y luego
a cortarla. Al desdoblar el papel se obtiene una figura simétrica.
Armado de rompecabezas: a través del tangram se
puede generar figuras simétricas.
Uso del geoplano: para formar figuras simétricas.
Uso de la cuadrícula: una forma de completar o
reflejar una figura sobre un eje de simetría dado,
es trazar una cuadrícula y sobre ella identificar la
ubicación de puntos, vértices o líneas claves en la
estructura de la figura.

72 73
Representa en forma concreta (sogas, geoplano,
etc.) y gráfica (en cuadrículas) diferentes formas
bidimensionales que tienen el mismo perímetro.
Este indicador implica que los estudiantes realicen representaciones concretas y gráficas
que les permitan apropiarse de la noción de perímetro y a la vez darse cuenta de que
el perímetro es independiente del tamaño, superficie o forma de una figura.
El geoplano es un material estructurado muy útil para este trabajo, pero también el uso
de cuerdas, sogas o lanas que permiten a los niño formar diversas figuras cerradas de
diferentes formas y que encierran superficies distintas y tienen el mismo perímetro.
Representación concreta
Representación gráfica
En cuadrículas
Con cuerdas, lanas, sogas, hilos, etc. Con el geoplano
Con el mismo pedazo de
lana formé también el
triángulo. Ambos tienen
el mismo perímetro.
de gestión de datos e incertidumbre
El desarrollo de esta competencia posibilita a las personas ocuparse del diseño de
estudios referidos al análisis de datos recogidos y la predicción o toma de decisiones a
partir de los resultados obtenidos.
“La cultura estadística es la capacidad de interpretar, evaluar críticamente y
comunicar la información estadística de los mensajes”.
Iddo Gal (2002)citado de http://www.sinewton.org/numeros/numeros/75/Articulos_05.pdf
Para desarrollar esta competencia en el IV ciclo, los estudiantes se enfrentarán a
problemas en los que será necesario plantearse preguntas apropiadas y coherentes
con un tema de estudio, con el fin de recoger los datos pertinentes que los lleven a la
resolución del problema. Es muy conveniente que los temas de estudio involucrados en
los problemas planteados sean sencillos y de contextos cercanos, como son el personal
y el escolar. Los niños deben estar en la posibilidad de recoger sus propios datos
directamente, para ello elaborarán preguntas sencillas o encuestas cortas y aplicarán
diversas estrategias para el recojo de esos datos.
La elaboración de tablas de frecuencia, tablas de doble entrada, pictogramas con escala
y gráficos de barra simples implica saber cuáles son las variables cuyos datos han sido
recogidos y reconocer si son cualitativas o cuantitativas. Esta forma de organizar los
datos y sus relaciones moviliza la capacidad de matematizar en los estudiantes.
La lectura de la información que se obtenga en los gráficos realizados requerirá de
la movilización de la capacidad de los niños de comunicar y representar, al describir
la información y hacer comparaciones para responder las preguntas del problema
planteado. Asimismo a partir de la lectura de la información; podrán hacer supuestos y
sacar conclusiones.
Las situaciones que se presenten deberán estar
basadas en la frecuencia de eventos, de manera
que los estudiantes puedan utilizar las nociones
“posible”, “seguro” e “imposible”. Así, se iniciarán
en las nociones de probabilidad e incertidumbre, al
reconocer qué es un suceso, así como la frecuencia
y posibilidad de ocurrencia.
En todas las
formas de
representar
las figuras
tienen el
mismo
perímetro.
Material reciclado por las instituciones educativas
finalistas Campaña de reciclaje 2015
Tipos de material
Cantidaddematerial
recolectado(kg)
0
I.E.A I.E.B
5
10
15
20
25
Orgánicos
9
1
Pilas
6
8
Papel
20
10
Vidrio
10
8

74 75
Estándares(mapadeprogreso)
Identificadatosensituacionesdesuentornofamiliar
odeaula,losorganizaenlistasotablassimplesode
dobleentrada.Expresaempleandolenguajecotidianoy
algunostérminosmatemáticos,loquecomprendesobrela
informacióncontenidaentablassimples,dedobleentrada
ográficos,elsignificadodelaposibilidadoimposibilidad
desucesoscotidianos,ypreguntaspararecogerdatos.
aexperimentaroresolverunproblema,empleando
estrategiasoprocedimientospararecopilar,organizary
presentardatos,conapoyodematerialconcreto.Elabora
supuestosreferidosacaracterísticasqueserepitenen
lasactividadesrealizadasylosexplicausandoejemplos
similares.
Plantearelacionesentrelosdatosdesituacionesdesu
entornoescolar,losorganizaentablas,barrassimples,
pictogramasconescalasomediantelanocióndemoda.
Describeconlenguajematemáticosucomprensión
sobre,lafrecuenciaymodadeunconjuntodedatos,la
comparacióndedatosenpictogramasobarrasdoble
agrupadas,sucesosmásomenosprobablesqueotros1
.
Elaborayemplearepresentacionesmediantegráficosde
barrasdoblesopictogramas2
,ysímbolos.Proponeyrealiza
unasecuenciadeaccionesorientadasaexperimentar
osolucionarunproblemaempleandoestrategiaso
procedimientospararecopilardatoscuantitativosyhallar
eldatoquemásserepite;conapoyodematerialconcreto.
Compruebasusprocedimientosyestrategias.Elabora
conjeturasbasadasenexperienciasorelacionesentre
datosylasexplicaojustificausandoejemplos.
Interpretalosdatosendiversassituaciones,losorganiza
entablasdefrecuenciaylosexpresamediante,variables
cualitativasocuantitativasdiscretas,lamediaaritmética
olaprobabilidaddeunsuceso.Determinaenqueotras
situacionessonaplicables.Describeutilizandolenguaje
matemáticosucomprensiónsobrelaspreguntasyposibles
respuestasparaunaencuesta,lainformacióncontenida
entablasygráficos,elsignificadodelamediaaritmética
ylamedianadeungrupodedatos,losresultadosdeuna
situaciónaleatoriaylaprobabilidaddeunevento.Elabora
yempleadiversasrepresentacionesdedatosmediante
gráficosdelíneasodepuntosylaprobabilidadcomo
fracciónocociente;relacionándolasentresí.Elaboray
ejecutaunplanorientadoarecopilardatosatravésde
unaencuesta,organizarlosypresentarlos;determinar
lamedia;determinartodoslosposiblesresultadosde
unexperimentoaleatorio;calcularlaprobabilidadde
uneventocomounafracción;conapoyoderecursos.
Comparalosprocedimientosyestrategiasempleadasen
distintasresoluciones.Establececonjeturasbasadasen
experienciasorelacionesentredatosylasjustificausando
ejemplosocontraejemplos.
1 Elestudianteindicaintuitivamentesiunsucesoesmásprobableomenosprobablequeotro.
2 Pictogramasconescala.
Matriz:Actúaypiensamatemáticamenteensituacionesdegestióndedatoseincertidumbre
Problemascondatos.
Identificadatos(cualitativos)en
situaciones,expresándolosenlistaso
tablassimplesdeconteo,pictogramas
odiagramasdebarrasimples(con
escaladadadedosendosocincoen
cinco).
Problemascondatos.
Plantearelacionesentrelosdatos
(cualitativosycuantitativosdiscretos)
ensituacionesdecontextopersonal,
expresándolosentablassimplesde
conteo,barrassimplesopictogramas
(conescaladada).
Problemascondatos.
Plantearelacionesentrelosdatos
(cuantitativosdiscretosycualitativos)
ensituacionesencontextoescolar,
expresándolosentabladedobleentradao
gráficodebarrassimplesconescala.
Problemascondatos.
Interpretadatosyrelaciones(hastados
variablescualitativasocuantitativasdiscretas)
endiversosproblemasestadísticosylos
expresaentablasdedobleentrada,gráficos
debarrasdoblesográficosdepuntos.
Problemasaleatorios.
Identificatodoslosposiblesresultadosde
unasituaciónaleatoriaylosresultados
favorablesdeunevento,expresandosu
probabilidadcomofracción.
Problemascondatos.
Proponepreguntassencillas
pararecogerdatoscualitativosy
cuantitativosdiscretosensituaciones
decontextofamiliaryescolar.
Transitadeunarepresentacióna
otra,porejemplode:pictogramas
conequivalenciasagráficodebarras
simples,usandomaterialconcreto.
Respondepreguntassobrela
informacióncontenidaentablas
simples,pictogramasconescalay
diagramasdebarrassimples,con
datoscualitativos.
Problemascondatos.
Realizapreguntasrelevantes
pararecogerdatosrelacionados
coneltemadeestudioyaporta
consugerenciasalaspreguntas
formuladasporsuscompañeros.
Transitadeunarepresentaciónaotra,
porejemplo:detablasdeconteoa
barrassimples.
Respondeapreguntassobre
informacióndetablas,pictogramasy
gráficosdebarrassimples,condatos
cualitativosycuantitativos.
Problemascondatos.
Realizapreguntasrelevantespararecoger
datosrelacionadosconeltemadeestudio
yaportaconsugerenciasalaspreguntas
Describeinformacióncontenidaencuadros
dedobleentrada,pictogramas,gráficosde
barrasdoblesagrupadas.
Organizalosdatosentablasylos
representaengráficosdebarras.
Expresaelsignificadodelamodadeun
conjuntodedatos.
Problemascondatos.
Realizapreguntasrelevantesparauntema
deestudioysusposiblesopcionesde
respuestaatravésdeencuestas.
Describeinformaciónnoexplícitacontenida
entablas,gráficosdebarrasdobles,gráficos
depuntos,aportandoalasexpresionesde
losdemás
Organizalosdatosentablasylosrepresenta
engráficodebarrasdoblesográficode
puntos.
Describeelcomportamientodeungrupode
datos,usandocomoreferencialamodadel
conjuntodedatos.
Describelaocurrenciade
acontecimientoscotidianosusandolas
expresiones:posible,imposible.
Describelaocurrenciade
acontecimientoscotidianosusando
lasexpresiones:seguro,posiblee
imposible.
Describelaocurrenciadeacontecimientos
cotidianosusandolasexpresiones:seguro,
posibleeimposible.
Registralosdatosentablasapartirde
experimentosaleatorioscondadoso
monedas.
Utilizaexpresionescomo"másprobable",
"menosprobable"paracompararla
ocurrenciadedossucesosprovenientesde
lamismasituaciónaleatoria.
Registralosdatosendiagramadeárbol
partirdeexperimentosaleatorios.

76 77
Descripción y ejemplos de algunos indicadores
Plantean relaciones entre los datos (cuantitativos discretos y
cualitativos) en situaciones de contexto escolar, expresándolos en
La identificación de datos, en primer lugar tiene que ver con el problema a investigar,
cuál es la población de la que se quiere recoger los datos. También se considera
la categoría de los datos: mascotas, animales, frutas, colores, etc., reconocer las
características de los datos; por ejemplo, si son mascotas, qué mascotas hay, de qué
razas, etc. También implica reconocer que no todas los datos aparecen igual cantidad
de veces y la información que se puede recoger es muy variada.
Frecuencia: es la cantidad de veces que se repite un dato. Por
ejemplo: 5 niños dijeron que les gustan los gatos, la frecuencia es 5.
Datos cualitativos: expresan distintas cualidades, características o
modalidad, y se expresan mediante palabras. Por ejemplo: deporte
favorito, color, fruta o mascota preferida, número de orden en una
premiación (primero, segundo, tercero…), etc.
Datos cuantitativos discretos: expresan cantidades que se puedan
contar. Por ejemplo: el número de hermanos, el número de años, la
cantidad de ventas diarias, etc.
Expresar en tablas de doble entrada, pictogramas o diagramas de barras con escala
implica dibujar o completar una tabla con cada tipo de dato y su frecuencia. Dibujar un
ícono o pintar un cuadrito de la barra por la cantidad de veces que aparece un dato.
Veamos un ejemplo en el que se evidencia este indicador:
Se aplicó una encuesta a los niños y a las niñas del cuarto grado para saber cuál es
su fruta preferida, pues tanto ellos como ellas desean elegir las que más les gustan
a fin de preparar deliciosas mermeladas. Estos fueron los resultados:
Manzana: 6 niños y 6 niñas
Mandarina: 12 niños y 18 niñas
Naranja: 12 niños y 10 niñas
Plátano: 18 niños y 16 niñas
Mostraremos los resultados a los padres de familia y se decidirá que frutas usar
para la mermelada.
Problemascondatos.
Realizapreguntassencillasasus
compañerosyfamiliarespara
recolectardatos.
Problemascondatos.
Proponeideaspararecogery
organizardatoscualitativoso
cuantitativosensituacionesdesu
entornofamiliaryescolar.
Empleaprocedimientosde
recoleccióndedatos:preguntas
oralesyescritas,encuestas,registro
dehechos,etc.
Problemascondatos.
Proponeideaspararecogeryorganizar
datoscualitativosocuantitativosen
situacionesdesuentornofamiliaryescolar.
Empleaprocedimientosderecolección
dedatosapartirde:preguntasoralesy
escritas,encuestas,registrodehechos,etc.
Ordenalosdatosdemayoramenor
frecuenciaparahallarlamoda.
Problemascondatos.
Planteaunasecuenciaordenadade
accionesquedemandanrecogeryorganizar
datoscualitativosocuantitativos.
Empleaprocedimientosderecolección
dedatoscomofuentesdeinformación
indirectas(recortesdeperiódico,encartesde
supermercado,revistas,lecturas,etc.)
Calculalamodadeungrupodedatos
ordenandolosdatosentablasdefrecuencia
ográficodebarra.
Empleamaterialconcretoyla
vivenciaciónparareconocersucesos
ofenómenosquesonposibleso
imposibles.
Empleamaterialconcretoyla
vivienciaciónparareconocer
sucesosofenómenosqueson
seguros,posiblesoimposibles.
Registraenunatablalafrecuencia
deocurrenciadeeventoso
fenómenos.
Empleamaterialconcretoylavivienciación
parareconocersucesosofenómenosque
sonseguros,posiblesoimposibles.
Registraenunatablalafrecuenciade
ocurrenciadeeventosofenómenos.
Registraenunatablalafrecuenciade
ocurrenciadeloseventosofenómenos.
Razonayargumentagenerandoideas
Elaborasupuestossobreloscriterios
comunesparaorganizarlosdatosen
formagráfica.
Establecesupuestossobrelos
posiblesresultadossobrela
informaciónrecolectada.
Expresasusconclusionesrespectoala
informaciónobtenida.
Justificasusprediccionessobrelatendencia
delcomportamientodelosdatos,apartirdel
gráficolineal.
Explicaconejemploslaposibilidad
oimposibilidaddeocurrenciade
sucesoscotidianos.
Explicaconejemplosbasándoseenexperienciasconcretassiunsucesoesseguro,
posibleoimposible.
Elaborasupuestossobrelaocurrenciade
sucesosconlomásprobableymenos
probable,basadasenexperiencias
concretas.

78 79
Las siguientes preguntas y consignas ayudan a obtener el desempeño descrito en el
indicador:
¿Qué datos se han recogido?
¿A quiénes se les ha preguntado? ¿Se necesita saber
la preferencia sobre la fruta de los niños y las niñas por
separado?
¿Cuálessonlosdostiposdedatosquesedebenconsiderar
para organizar la información?
Elabora una tabla en la que se muestren los datos
obtenidos.
Para visualizar cómo se comportan los datos recogidos y poder
interpretarlos, ¿qué gráfico puedes elaborar? ¿Vas a elaborar un gráfico
para las niñas y otro para los niños?, ¿necesitas la información por
separado?
Para elaborar los gráficos de barras, ¿cuántos niños representa un
FRUTA PREFERIDA
Manzana Mandarina Naranja Plátano
Niños 6 12 12 18
Niñas 6 18 10 16
Númerosdeniñas
Manzana
2
4
6
8
10
12
14
16
18
NaranjaMandarina Plátano
Tipos de frutas
En la tabla debo
considerar a los
niños, las niñas y las
frutas.
Frutas preferidas por las niñas
¿Crees que los gráficos muestran el problema y sus datos?
En ambos gráficos puedo ver
cómo se comportan los datos
para tomar decisiones adecuadas
y solucionar el problema.
Númerosdeniños
Manzana
2
4
6
8
10
12
14
16
18
NaranjaMandarina Plátano
Describe información contenida en tablas de doble entrada,
pictogramas o gráficos de barras.
En este grado los estudiantes conocerán cada una de estas representaciones de los
datos como las tablas de doble entrada, pictogramas o gráficos de barras y saber
organizar la información obtenida que ellos presentan.
Frutas preferidas por los niños
Tipos de frutas

80
Las siguientes preguntas propician el desarrollo del desempeño descrito en el indicador:
¿Cuál es el título del gráfico?
¿Qué información muestra el gráfico de barras?
¿Qué significan los ejes o las líneas verticales y horizontales?
¿Qué datos hay en cada uno de los ejes?
¿Cómo está graduado el eje vertical?
¿Qué significan las barras pintadas?
Describe lo que pasa en el mes de enero y febrero y en los meses de
julio y agosto.
¿Qué preguntas podrías hacer a partir del gráfico?
Díasdelluvia
Ene Feb Mar JunAbr May Jul Ago Set Oct Nov Dic
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Meses del año
LAS LLUVIAS EN HUÁNUCO
Los estudiantes de un colegio de Huánuco desean elegir el mes en
que realizarán el principal paseo del año. Como en esa región llueve
algunos meses, analizarán la frecuencia de las lluvias del año anterior,
así evitarán elegir un mes en que se produzcan lluvias que puedan
afectar el paseo.
Analiza con ellos el gráfico de barras y sugiéreles dos meses en los que
puedan viajar sin problemas de lluvia.
Asímismo, se espera que interpreten la información organizada en cuadros de doble
entrado o gráficos de barras con el fin de utilizarla para resolver problemas.
Para describir, leer o interpretar un gráfico de barras, se debe orientar a los estudiantes
a fin de que identifiquen, el sentido (significado) de los ejes, el valor de la graduación de
los ejes y la cantidad que representan cada una de las barras.
Veamos un ejemplo en el que se evidencia este indicador:

81
3. Orientaciones didácticas
3.1 Orientaciones para el desarrollo de la
competencia: Actúa y piensa matemáticamente
en situaciones de cantidad
1. Visita al mercado o a la tienda de artefactos para resolver y
formular problemas
Descripción
A partir de esta situación se generará un conjunto de actividades para hacer matemática
en contextos reales, relacionados con los números naturales y las fracciones. Esta actividad
permitirá generar problemas para recoger datos e información sobre los productos,
cantidades que se venden, precios de los productos, organización del mercado, etc. En
el desarrollo de las actividades surgirán muchas situaciones auténticas en las que la
matemática se presentará como algo real e integrado al quehacer cotidiano del estudiante
dando mucho sentido a su aprendizaje.
Para desarrollar esta actividad es necesario contar con el apoyo de los padres de familia
para organizarse y velar por la seguridad de los niños. También se requiere del permiso
de los administradores de la tienda o vendedores del mercado para que los estudiantes
puedan ser atendidos con amabilidad.
Relación con las capacidades e indicadores
El propósito de esta actividad es que los niños matematicen al plantear un problema y
expresarlo en un modelo de solución aditivo o multiplicativo; comunican y representan
al registrar y expresar de diversas formas los precios de los productos; elaboran y usan
diversas estrategias de cálculo escrito o mental al resolver los problemas y razonan y
argumentan cuando explican en forma coherente y clara sus procedimientos y evalúan si
los resultados son factibles de ser reales.
Estaactividadtambiénpuedeestarrelacionadacondesarrollarlacompetenciarelacionada
con las formas, pues los chicos pueden elaborar una maqueta del mercado o un croquis
de ubicación.
3.1.1 Estrategias para la construcción del número

82 83
Aplicación de la estrategia
Aplicación 1. Visitan al mercado para recoger datos
El propósito es que los estudiantes escriban y recolecten la mayor información
posible con respecto a:
Productos que se venden.
Precios de los productos.
Tipo de venta de los productos, si se venden por paquete, atados, kilogramo,
litro, etc.
En grupos los estudiantes se organizan para recoger información de una sección
del mercado o de un puesto, por ejemplo, la sección de abarrotes o el puesto de
venta de papas verduras, haciendo las siguientes preguntas:
¿Cuántos puestos hay en la sección de abarrotes?
¿Cuántos tipos de granos o menestras hay?
¿Cuántos kilogramos venden por día?
¿Cuántos sacos de papa vende por día? ¿Y cuál es el costo?
¿Qué instrumentos utilizan?
En el puesto de abarrotes los productos los venden por ejemplo: por
unidad, por docena, por paquete, por kilogramo. Elabora una tabla
donde se muestre cómo se venden los productos.
Aplicación 2. Elaboran el catálogo de los precios de los productos
Plantea a los estudiantes que elaboren el catálogo de precios de productos por
categorías, por ejemplo: de ropa, artefactos, verduras, juguetes, etc. Y puedan
escribir los precios de los productos usando tres o cuatro cifras.
Aplicación 3. Representan de diferentes formas
Solicita a los niños que representen el precio de los productos de distintas formas,
usando billetes y monedas, Base Diez, el ábaco, usando descomposiciones
aditivas o multiplicativas. Así por ejemplo:
Elpreciodeunacasaca deS/.285puedeserexpresadodediferentesmaneras:
Aplicación 4. Plantean y resuelven problemas
Solicita a los estudiantes que expongan en tablas, cuadros o esquemas y puedan
formular y resolver problemas aditivos o multiplicativos.
Aplicación 5. Resuelven problemas usando diferentes estrategias
Propicia que los estudiantes resuelvan los problemas usando diferentes
procedimientos o estrategias.
Aplicación 6. El cajero
Organiza a los alumnos en grupos de 5 o 6. Uno de ellos será el cajero y el otro
su ayudante. Los demás son los clientes.
Cada cliente verá el catálogo y solicitará 2 o 3 artículos y dará al cajero la cantidad
exacta que debe pagar por ellos. Los clientes no deben dar al cajero más de 9
monedas o billetes de una misma denominación.
El cajero y su ayudante verifican que le den la cantidad correcta y anotarán en un
recibo el nombre del cliente, los precios de los artículos que compró y el total de
cada venta.
La actividad termina cuando todos los clientes hayan entregado la cantidad
exacta. La actividad puede repetirse con otros catálogos.
Aplicación 7. Los precios de los productos en tablas
A los niños, organizados en parejas o en tríos,
se les pide que recojan los artículos de la mesa
con sus respectivos precios.
Entregar una tabla como la que se muestra.
Completarán la tabla según el artículo
escogido.
Formularán y resolverán problemas a partir de
la tabla. Por ejemplo: Marisol quiere comprar
3 blusas. ¿Cuánto tendrá que ahorrar para
comprarlas?
Expondrán sus problemas y sus procedimientos
de resolución.
Con esta actividad se propiciará resolver
problemas de proporcionalidad simple
aplicando diversas estrategias para multiplicar.
Solicita a los estudiantes que organicen los datos recolectados en tablas o
esquemas y pueda ser visibilizado por todos los estudiantes
Producto ¿cómo se vende?
Costo por unidad, por kilogramo, por
paquete, etc.
Arroz Por kilogramo Costo por kilogramo S/. 3.00
Aceite Por litro
Cliente Artículos Precio
Marisol 1 chompa
1 par de zapatos
S/.56
S/.79
Total S/.135
En sumandos Descomposición multiplicativa Según su valor posicional
200 + 80 + 5 2 × 100 + 8 × 10 + 5 2C 8 D 5 U
Otras formas no usuales
100 + 100 + 80 + 5
100 + 100 + 50 + 30 + 5
2 × 10 × 10 + 8 × 2 × 5 + 5
2C 7D 15U
1C 17 D 15 U
Cantidad
de polos
Precio (S/.)
1 15
2
3
4
5
6
S/. 15
S/. 2
S/. 8
Recibo

84 85
Paso 5. Simbolización. Se pide a los estudiantes que describan el proceso y sus
representaciones usando primero lenguaje materno o coloquial, para luego reemplazar
algunas palabras por lenguaje matemático.
Paso 6. Generalización. El maestro orienta la construcción formal de la matemática a
partir de los hallazgos y el trabajo de los niños. Además, el niño expone lo aprendido de
manera segura usando lenguaje matemático y lo aplica a otros problemas, estudian las
propiedades de la representación y las relaciones matemáticas.
Paso1.Juegolibre.Elestudiantesefamiliarizaconlosmateriales(lasfichasyelesquema
para que vaya descubriendo por sí mismo las propiedades matemáticas. Por ejemplo:
que vaya descubriendo cuáles son los números pares e impares, ¿por qué se llaman
así? ¿Por qué hay cuadrados y círculos? En el esquema, ¿cuántos números pares e
impares hay? ¿Qué pasa cuando sumas dos pares y dos impares?
Paso 2. Juego orientado. Se darán las reglas de juego según lo que se pretenda lograr.
Realice preguntas para comprender el problema, por ejemplo: di el problema con tus
propias palabras, ¿qué datos o información tienes? ¿Qué es lo que se pide?
Paso 3. Abstracción. Los niños observan la regularidad en el juego, las relaciones
matemáticas involucradas o crean otros juegos con estructura parecida al anterior.
Pide a los estudiantes que creen un problema parecido al resuelto.
Las regularidades encontradas en este juego están relacionadas con que si sumas un
par con un par, ¿qué obtengo?, ¿otro par? Comienza con ejemplos sencillos para que
puedan generalizar, por ejemplo: 2 + 2 = 4; 2 + 6= 8; 8 + 2 = 10; de estos ejemplos
podemos concluir que si sumamos un número par con otro par, me da un número
par. ¿Y qué sucede con un impar más otro impar? ¿Y un número par con un impar?
Proporciona ejemplos para que los niños conjeturen con respecto a estas relaciones
y que luego sean verificadas con ejemplos. Pregunte también sobre todas las
combinaciones posibles con los números pares e impares y cuáles según el esquema
quedan descartadas.
Paso 4. Representación. Los estudiantes
representan las regularidades
matemáticas encontradas en un
esquema. Por ejemplo:
Paso 1. Juego libre. El estudiante se familiariza con los materiales, y que vaya descubriendo
por sí mismo las propiedades matemáticas en los materiales.
Paso 2. Juego orientado. Esta actividad estará orientada por el docente y se darán las
reglas de juego según lo que se pretenda lograr.
Paso 3. Abstracción. Los niños observan la regularidad en el juego, las relaciones
matemáticas involucradas o crean otros juegos con estructura parecida al anterior.
Paso 4. Representación. Se representa la regularidad o relaciones matemáticas en un
gráfico o un esquema.
En este juego se aplican estrategias
de cálculo mental y la estrategia
heurística de ensayo y error, si es
que no se conoce el juego. También
se puede emplear la estrategia
de empezar por atrás. Luego de
jugar, se sugiere encontrar formas
diferentes de resolver el juego.
2. Juegos para aplicar o construir conocimientos
numéricos
“En mi opinión, el objetivo primordial de la enseñanza básica y media no consiste
en embutir en la mente del niño un amasijo de información que, pensamos, le va a
ser muy necesaria como ciudadano en nuestra sociedad. El objetivo fundamental
consiste en ayudarle a desarrollar su mente y sus potencialidades intelectuales,
sensitivas, afectivas, físicas, de modo armonioso. Y para ello nuestro instrumento
principal debe consistir en el estímulo de su propia acción, colocándole en
situaciones que fomenten el ejercicio de aquellas actividades que mejor pueden
conducir a la adquisición de las actitudes básicas más características que se
pretende transmitir con el cultivo de cada materia”.
Miguel de Guzmán (1984)
“Juegos matemáticos en la enseñanza”. Actas de las IV Jornadas sobre Aprendizaje y Enseñanza
de las Matemáticas. Santa Cruz de Tenerife, 10-14 de setiembre de 1984. Sociedad Canaria de
Profesores de Matemáticas Isaac Newton.
Descripción
Los juegos numéricos constituyen una herramienta de ayuda para la construcción o aplicación
de diversos conocimientos matemáticos. También permite desarrollar el pensamiento
estratégicoporloquepotenciaeldesarrollodediversasestrategiasheurísticasyusarestrategias
de cálculo mental o escrito con los números naturales y las fracciones. Se recomienda usar los
juegos numéricos para reemplazar a las planas de ejercicios.
La estrategia que aplicaremos es la de Zoltan Dienes.
El propósito de esta actividad es que los niños matematicen al plantear un problema y
expresarlo en un modelo de solución aditivo; comunican y representan al usar los términos
técnicos de la adición; elaboran y usan diversas estrategias de cálculo escrito o mental al
resolver problemas, y razonan y argumentan cuando elaboran conjeturas respecto a los
resultados posibles. Además explican en forma coherente y clara sus procedimientos y
resultados.
Aplicación 1. Pares e impares en la adición
¿Qué necesitamos?
Elabora fichas de cartulina o papel del 1 al 9, cuadrados para los pares y círculos para
los impares, y así puedan mover las piezas sin necesidad de usar lápiz y papel.
Pasos de la estrategia de Zoltan Dienes
Reto: Coloca los números del 1 al 9 y
realiza la adición que aparece en el
tablero, colocando los números pares
en los cuadrados y los impares en los
círculos. ¿Cuántas formas diferentes
has encontrado de solución?
impar + impar
par
par + par
par
par + impar
impar

86 87
Paso 5. Simbolización. Solicita a los niños que describan el proceso de solución e
incorporen en su lenguaje los términos técnicos de la adición: sumandos y suma. De
otro lado, también es preciso identificar el valor posicional de sus cifras y si es una
adición con canjes o “llevadas”.
Paso 6. Generalización. Este juego numérico puede ser el punto de partida para
hacer precisiones con respecto a las propiedades de los números pares e impares,
a los términos técnicos de la adición y el valor posicional de sus cifras.
Cada jugador elige una fracción y comienza el juego. En su turno, un jugador lanza los dos
dados y construye la fracción resultante. Si la fracción es equivalente a la que el jugador
eligió, se anota un punto, si no es así, no se anota nada y pasa el turno al siguiente jugador.
Gana quien tenga más puntos después de 15 turnos.
a. Después de jugar algunas partidas, investiga qué fracción (o fracciones) merece la
pena elegir para tener más posibilidades de ganar el juego.
b. Vuelve a jugar después de haber hecho la investigación. ¿Te ha ido mejor ahora?
AutorescomoPolya,Burton,Mason,StaceyyShoenfieldsugierenpautasparalaresolución
de problemas. Los siguientes pasos (García, 1992) se basa en los modelos de los autores.
Pasos de la estrategia
1. Comprender el problema
Lee el problema despacio.
¿De qué trata el problema?
¿Cómo lo dirías con tus propias palabras?
¿Cuáles son los datos? ¡Lo que conoces! ¿Cuál es la incógnita? ¡Lo que buscas!
¿Cuáles son las palabras que no conoces en el problema?
¿Encuentras relación entre los datos y la incógnita?
Si puedes haz un esquema o dibujo de la situación.
2. Concebir un plan o diseñar una estrategia
¿Este problema es parecido a otro que ya conoces?
¿Podrías plantear el problema de otra forma?
Imagínate un problema parecido pero más sencillo.
Supón que el problema ya está resuelto ¿Cómo se relaciona la situación de
llegada con la de partida?
¿Utilizas todos los datos cuando haces el plan?
3. Llevar a cabo el plan o ejecutar la estrategia
Al ejecutar el plan, compruebas cada uno de los pasos.
¿Puedes ver claramente que cada paso es el correcto?
Antes de hacer algo, piensa: ¿qué consigo con esto?
Acompaña cada operación matemática de una
explicación contando lo que haces y para qué lo haces.
Cuando tropieces con una dificultad que te deja
bloqueado, vuelve al principio, reordena las ideas y
prueba de nuevo.
4. Reflexionar sobre el proceso seguido
Lee de nuevo el enunciado y comprueba que lo que te pedían es lo que has
averiguado.
Fíjate en la solución, ¿te parece que lógicamente es posible?
¿Puedes comprobar la solución?
¿Puedes hallar alguna otra solución?
Acompaña la solución con una explicación que indique claramente lo que
has hallado.
Utiliza el resultado obtenido y el proceso que has seguido para formular y
plantear nuevos problemas.
Aplicación 2. El producto con nueve números
Ordena las cifras del 1 al 9 sobre el esquema,
de forma que el producto resultante sea el
correcto.
El objetivo de este juego es que se refuerce
el algoritmo de la multiplicación, las tablas
de multiplicar y los términos técnicos de la
multiplicación.
Puedes buscar otros
juegos numéricos que
te permitan construir o
aplicar conocimientos
numéricos en el
siguiente artículo:
“Juegos numéricos”.
En: Suma, número 39,
2002.
O en la página web
de Divulgamat. Centro
virtual de Divulgación
de las matemáticas.
http://revistasuma.es/IMG/
pdf/39/107-109.pdf
Aplicación 3. Dados y fracciones equivalentes
Es un juego para dos o más jugadores y se necesita
un dado (con caras del 1 al 6) para el numerador
de la fracción, y otro dado cuyas caras lleven los
valores 2, 4, 6, 8, 10 y 12, que se utilizará para el
denominador.
3.1.2 Estrategias para la resolución de problemas

88 89
¿Cómo diferenciar un problema de un ejercicio?
Veamos el siguiente cuadro:
Problemas aritméticos elementales verbales (PAEV) sugeridos para el IV ciclo
Los problemas aritméticos nos muestran las diferentes situaciones de la realidad en las
cuales se aprecia fenómenos que responden al campo aditivo (adición y sustracción) o
al campo multiplicativo (multiplicación o división).
En el IV ciclo se recomienda el planteamiento de problemas aritméticos para la
construcción y aplicación de las nociones de adición-sustracción-multiplicación y
división.
Los problemas aritméticos pueden ser de una etapa en cuya solución se requiere
solo de una operación, problemas aritméticos de dos etapas que requieren de dos
operaciones y problemas de varias etapas en cuya solución se usan dos o más
operaciones aritméticas.
Los problemas pueden ser de contexto real (ocurren efectivamente en la realidad) o
factibles de producirse. También pueden ser fruto de la imaginación, sin base real.
Ejercicio Problema
Según las
acciones
La actividad es simple y reproductiva.
Apliquen un algoritmo, una fórmula,
conocimientos ya adquiridos.
Requiere un tiempo de la
comprensión de la situación.
Diseñar estrategias y
desarrollarlas.
Evaluar sus resultados y
consecuencias.
Cantidad y
calidad
Resolver una gran cantidad de
ejercicios no garantiza ser un buen
resolutor de problemas.
Los buenos resolutores
invierten tiempo en dos
procesos: la comprensión y la
metacognición o evaluación de
sus resultados.
Desarrollo de
capacidades
Replican conocimientos aprendidos. Los desafía y los motiva a
investigar, experimentar, hallar
regularidades y desarrollar
estrategias de resolución.
Desarrollo de
cualidades
personales
Reproducir conocimientos,
procedimientos, técnicas y métodos
genera con el tiempo pasividad en los
estudiantes.
Despierta una alta motivación
y participación por querer
resolver el problema.
Movilizan experiencias previas
y conocimientos adquiridos.
Hacen supuestos,
experimentan, trazan
planes y, por último, sienten
la satisfacción de haber
solucionado el problema.
Orientaciones para el planteamiento de problemas
El verdadero problema es aquel que pone a los estudiantes en una situación nueva,ante
la cual no disponen de procedimientos inmediatos para su resolución. Por ende, un
problema se define en cuanto a su relación con el sujeto que lo enfrenta y no en cuanto
a sus propiedades intrínsecas; es un reactivo que involucra a los estudiantes en una
actividad orientada a la abstracción, la modelación, la formulación, la discusión, etc.
(Isoda y Olfos, 2009).
Un buen problema para la clase es aquel accesible a la mayor parte de los estudiantes
y cuya resolución admite varios métodos o caminos, tanto intuitivos como formales. Si
bien el proceso de exploración es lento, lleva a una comprensión más profunda (Isoda
y Olfos, 2009).
Problemas aditivos de una etapa de adición o sustracción
Cambio (CA) Cambio 3 (CA3)
Cambio 4 (CA4)
3.º grado
Cambio 5 (CA5)
Cambio 6 (CA6)
4.º grado
Combinacion (CO) Combinación 1 (CO1)
Combinación 2 (CO2)
3.º grado
Con cantidades
hasta de tres cifras
Comparacion
(CM)
Comparación 3 (CM3)
3.º grado
4.º grado
Igualación (IG) Igualación 1 (IG1)
Igualación 2 (IG2)
3.º grado
Igualación 5 (IG5)
Igualación 6 (IG6)
4.º grado
Rosa tenía algunos lápices
y le dio a Carlos 6 y
ahora tiene 9. ¿Cuántos
lápices tenía Rosa?

90 91
Problemas aditivos de dos etapas en cuya solución interviene la adición o sustracción
en forma consecutiva
Problemas aditivos-sustractivos.
Los problemas admiten 16
posibilidades. Por ejemplo, se
pueden combinar problemas de
Cambio-cambio (CA, CA),
Cambio-combinación,
Cambio-comparación.
Cambio-igualación
Y en cada problema se dan
4 variantes referidos a las
operaciones involucradas.
Así en el problema de cambio-
cambio hay 4 posibilidades de
combinar las operaciones: (+, +)
(+, -) (-, +) (-, -).
Problemas con la misma estructura
repetida y las operaciones de (+,+)
(-,-); (+,-) (-,+).
Tenemos 8 problemas de:
(CA, CA) ; (CO, CO) ; (CM, CM); (IG, IG).
3.º grado
Problemas donde se combina la
estructura y también se combina las
operaciones (+,+)(+,-) (-,+) (-,-).
Así tenemos 16 problemas para
cambio :
(CA, CA) y la combinación de las dos
operaciones: (+, +)(+, -) (-, +) (-, -).
(CA, CO): (+, +)(+, -) (-, +) (-, -).
(CA, CM): (+, +)(+, -) (-, +) (-, -).
(CA, IG): (+, +)(+, -) (-, +) (-, -).
16 problemas para combinación:
(CO, CO) y la combinación de las dos
operaciones: (+, +)(+, -) (-, +) (-, -).
(CO, CA): (+, +)(+, -) (-, +) (-, -).
(CO, CM): (+, +)(+, -) (-, +) (-, -).
(CO, IG): (+, +)(+, -) (-, +) (-, -).
4.º grado
Problemas aditivos de dos o más etapas
o de varias etapas
Problemas
donde se repite
o se combina la
estructura aditiva
Se combinan la
estructura aditiva de
tal manera que se
repita, por ejemplo:
CA, CA, CA
4.º grado
Problemas de estructura multiplicativa de una etapa: multiplicación o división
Para este ciclo se
desarrollarán dos tipos de
problemas:
1. Multiplicación-división-
razón
Son problemas de
proporcionalidad directa.
Multiplicación-razón 1
División partición-razón
División cuotición o
agrupamiento.
3.º grado
2. Problemas de
comparación
Multiplicación- Comparación en
más
División-partitiva-comparación
en más.
División agrupación-
comparación en más.
3.º grado
4.º grado
Problemas aritméticos de varias etapas
Problemas en los cuales se
resuelven por operaciones
de adición, sustracción,
multiplicación o división.
Problemas de operaciones
combinadas.
4.º grado
En Rutas 2013, se dio una
versión acotada y simplificada
de los tipos de problemas.
En esta versión 2015 se está
proporcionando una versión
más completa de estos tipos
de problemas y para efectos
didácticos, optamos por una
denominación más sencilla.
Sin embargo, autores
como Vernaud y Puig a los
problemas multiplicativos
los denominan de forma
diferente, por lo que se
sugiere ahondar en su
investigación.
Ejemplos de los problemas aditivos de una etapa
Describiremos los problemas aditivos-sustractivos sugeridos para el IV ciclo, en los
cuales se darán sugerencias sobre los tipos de modelos de solución planteados con
material concreto, pictórico y gráfico.
1. Problemas de cambio (CA)
Estos problemas presentan las siguientes características:
Se evidencian las acciones de agregar-quitar, avanzar-retroceder, ganar-perder.
La cantidad inicial y la que se agrega o quita son de la misma naturaleza.
Se parte de una cantidad inicial, la cual se modifica o se transforma en el tiempo
para dar lugar a otra cantidad final.
Las cantidades están relacionadas a la cantidad inicial, al cambio o la
transformación y a la cantidad final.
La cantidad inicial crece o la cantidad inicial decrece.
Surgen 6 tipos de problemas, según donde esté la incógnita o sean problemas
para aumentar o disminuir.
A continuacion, describimos los problemas para el IV ciclo.

92 93
Cambio 3 (CA3)
Se conoce la cantidad inicial
y por una transformación se
llega a la cantidad final, que es
mayor que la cantidad inicial. Se
pregunta por el aumento que es
el cambio o la transformación a
la cantidad inicial.
Es un problema de sustracción.
Sugerido para
3.er
grado.
Esther tiene ahorrado 545 soles. Recibe una cierta cantidad por un
trabajo extra; ahora tiene 638 soles ¿Cuánto le pagaron a Esther por
el trabajo extra?
Modelo donde se expresa la operación a realizar, donde el primer
sumando es el estado inicial, el segundo sumando es el operador o la
transformación de aumento y el resultado es el estado final.
En este modelo la operación es una máquina que transforma
números en otros números, mediante una ley determinada.
La operación 545 + ¿? = 638, se esquematiza por:
Cambio 4 (CA4)
Se conoce la cantidad inicial y
la cantidad final, que es menor
que la cantidad inicial. Se
pregunta por la disminución que
es el cambio o la transformación
a la cantidad inicial.
Es un problema de sustracción.
Sugerido para
3.er
grado.
Andrea se compró una falda que medía 38 cm y le hizo un dobladillo
para convertirla en minifalda y midiera 31 cm. ¿De cuántos centímetros
es el dobladillo o la basta?
Cambio 5 (CA5)
Se conoce la cantidad final y su
aumento. Se pregunta por la
cantidad inicial. Sugerido para
3.er
y 4.° grado.
Pedro tenía algunos caramelos.
Nati le regaló 12 y ahora tiene 20.
¿Cuántos caramelos tenía
Pedro al inicio?
Cambio 6 (CA6)
Se conoce la cantidad final y su
disminución. Se pregunta por la
cantidad inicial.
Sugerido para 4.° grado.
Rosa tenía algunos lápices.
y le dio a Carlos 6 y ahora
tiene 9. ¿Cuántos lápices
tenía Rosa?
2. Problemas de comparación (CM)
En este problema se comparan dos cantidades a través de “más que”, “menos
que” y se establece una relación de comparación entre las dos cantidades.
Los datos son las cantidades y la diferencia que existe entre ellas.
La diferencia es la distancia que se establece entre las dos cantidades o la
cantidad en que un conjunto excede al otro.
Dado que una cantidad se compara con otra, una cantidad es el referente y la otra
cantidad es la comparada, es decir, la cantidad que se compara con respecto al
referente.
A continuación, se describen los problemas para el IV ciclo.
545 638? 545 638
cantidad
inicial
cantidad
final
cambio
?
38 31? 38 31
medida
inicial
medida
final
cambio
?
Cantidad inicial
de Pedro
Cantidad final
de Pedro
12 más
? 20
Te regalé12.Tenía algunos
caramelos.
Ahora tengo
9 lápices.
Me diste 6.
Cantidad inicial
de Rosa
Cantidad
final de Rosa
algunos menos
? 9
Se conoce la cantidad referente y
la diferencia en más. Se pregunta
por la cantidad comparada.
Se conoce la primera cantidad,
menor que la segunda y su
diferencia en más respecto a
ella. Se pregunta por la segunda
cantidad.
Sugerido para 3.er
grado.
Marisol tiene ahorrado 120 nuevos soles. Giovanna tiene 25 nuevos
soles más que Marisol. ¿Cuánto dinero tiene Giovanna?
Modelo de solución longitudinal
Se conoce la cantidad referente
y la diferencia en menos.
Se pregunta por la cantidad
comparada.
mayor que la segunda y la
diferencia en menos de la
segunda respecto a la primera.
Se pregunta por la segunda
cantidad.
Sugerido para 3.er
grado.
Roger tiene ahorrado 80 nuevos soles. Óscar tiene 15 nuevos soles
menos que Roger. ¿Cuánto dinero ahorrado tiene Óscar?
Modelo de solución
Situación en la que se quiere
averiguar la cantidad referente
conociendo la comparada y la
diferencia en más de esta.
mayor que la segunda y la
diferencia en más con la del
primero. Se pregunta por la
segunda cantidad.
Jesús mide 130 cm, 12 cm más que Juana. ¿Cuánto mide Juana?
120
25
Marisol Giovanna
?
+
80
?
Roger Oscar
–15
130
?
Jesús Juana
+12
?
120Marisol
Giovanna
+25
le dio 6 a Carlos

94 95
Comparación 6
Se conoce la cantidad del primero
y su diferencia en menos con la
del segundo. Se pregunta por la
cantidad del segundo.
La primera cantidad es menor que
la segunda cantidad.
Miguel pesa 48 kg, y pesa 9 kg menos que José. ¿Cuánto pesa José?
Multiplicación-razón 1.
Repetición de una
medida.
Se da como dato
una cantidad
de determinada
naturaleza y esta se
repite un “número de
veces”, se pregunta
por la cantidad
resultante (producto)
que es de la misma
naturaleza.
Sugerido para 3.er y
4.° grado.
Oscar lleva 8 envases de plástico y siempre lleva el mismo
número de envases 4 veces a la semana. ¿Cuántos
envases ha llevado en total durante la semana?
Modelo cardinal donde se expresa la cantidad:
Modelo longitudinal con regletas, el número como longitud.
También se puede expresar en un modelo de organización
rectangular con cantidades y también en el geoplano (se
cuentan 32 cuadraditos que sería el producto)
Modelo numérico
4 veces 8 = 8 + 8 + 8 + 8 = 4 × 8
3. Problemas de igualación (IG)
En el enunciado se incluyen las palabras “tantos como”, “igual que”
En este problema se trata de igualar dos cantidades.
Se actúa en una de las cantidades aumentándola o disminuyéndola hasta
conseguir hacerla igual a la otra.
Es al mismo tiempo un problema de cambio y otro de comparación, pues
una de las cantidades se modifica creciendo o disminuyendo para ser igual
a la otra cantidad.
Surgen 6 tipos de problemas.
A continuación, describiremos los problemas sugeridos para el IV ciclo.
4. Problemas multiplicativos
Iniciar a los estudiantes en la multiplicación no es una tarea sencilla. Es conveniente
reforzar lo realizado en el ciclo anterior, donde se generó la noción de doble como la
suma reiterada de una misma cantidad y la noción de mitad como reparto en partes
iguales. Encontramos tres tipos de problemas multiplicativos: los de proporcionalidad
simple, de combinación y comparación. Para el IV ciclo se sugiere el trabajo con los
problemas de proporcionalidad directa, es decir, que al aumentar o disminuir una o
ambas medidas, el resultado aumenta o disminuye en la misma proporción.
A continuación, describimos los problemas sugeridos para el IV ciclo:
Igualación 1 (IG1)
Se conocen las dos cantidades
a igualar. Se pregunta por el
aumento de la cantidad menor
para ser igual a la mayor.
Es un problema de restar.
Sugerido para 3.er
grado.
Marisol tiene ahorrado 26 nuevos soles.
Giovanna tiene 17 nuevos soles.
¿Cuántos nuevos soles más tiene
que ahorrar Giovanna para tener
lo mismo que Marisol?
Igualación 2 (IG2)
Se conocen las dos cantidades
a igualar. Se pregunta por la
disminución de la cantidad mayor
para ser igual a la menor.
Es un problema de restar.
Sugerido para 3.er
grado.
En un platillo de la balanza hay 27 kg, en el otro 18 kg. ¿Cuántos kg
hay que retirar de la cantidad mayor para que la balanza se equilibre?
Modelo de solución con medidas
Igualación 5 (IG 5)
Se conoce la cantidad a igualar
y la igualación (añadiendo o
en más), debiendo averiguar la
cantidad que sirve de referente.
Flavio gana 645 nuevos soles. Si le
dieran 120 soles más, ganaría lo
mismo que Ernesto. ¿Cuánto
gana Ernesto?
Igualación 6 (IG 6)
Se conoce la cantidad a igualar
y la igualación (quitando o en
menos), debiendo averiguar la
cantidad que sirve de referente.
En el salón A hay 34 estudiantes.
Si se retiran 6, habría la misma
cantidad de estudiantes que en el
salón B. ¿Cuántos estudiantes
hay en el segundo salón?
S/. 26
S/. 17
Marisol Giovanna
+?
27
18
Cantidad
mayor
Cantidad
menor
120
645
Flavio Ernesto
¿?
–6
36
Salón A Salón B
¿?
18
kg
27
kg
1 vez 8 2 veces 8 3 veces 8 4 veces 8
8 columnas
4filas
1 2 3 4 5 6 7 8
También se puede usar un
modelo lineal, usando la
línea o cinta numérica.
Plantea un problema
donde sea más adecuado
usar la línea o cinta
numérica.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
4
8
48
kg
?
–9
JoséMiguel

96 97
Varios grupos de una misma
cantidad.
Hay 2 cantidades de la misma
naturaleza. Hay un grupo de
objetos y en cada grupo hay
otra cantidad de objetos de la
misma naturaleza. El producto
es de la misma naturaleza.
Hay 3 montones de manzanas. Cada montón tiene 7 manzanas.
¿Cuántas manzanas hay en total en los 3 montones?
Modelo cardinal donde se expresa la cantidad.
Producto de dos medidas.
En este tipo de problemas la
relación de proporcionalidad
está definida entre dos
conjuntos de medidas (las
pelotas y su precio). La
presencia de la unidad (cada
pelota cuesta 8 nuevos soles).
Lo que se repite es la cantidad
de soles según el número de
pelotas.
El producto resultante es de
la misma naturaleza que el
multiplicador.
Roger compra 5 pelotas. Cada pelota cuesta 8 nuevos soles.
¿Cuánto dinero pagó?
Este problema también se puede expresar en un cuadro simple.
Así:
División-partición
Partición o reparto de los
elementos del conjunto en
partes iguales.
Dada una cantidad de
naturaleza “A” (dividendo) y
otra de naturaleza “B” (divisor).
resultante (cociente) de la
misma naturaleza que el
dividendo.
Se resuelve con una división
partitiva porque el dividendo se
divide o parte en subconjuntos
iguales.
Sugerido para 3.er
grado.
María tiene 18 figuritas y desea regalar figuritas a sus tres amigos,
de tal manera que a cada uno le toque la misma cantidad.
¿Cuántas figuras le corresponde a cada amigo?
La cantidad a repartir (dividiendo) son las figuras.
Se reparte entre sus tres amigos, (divisor).
Figuras y amigos son cantidades de diferente naturaleza.
El cociente debe ser de la misma naturaleza del dividendo, es
decir, la respuesta debe ser en figuras.
Modelo cardinal de solución, como reparto
Al terminar de repartir una figurita para cada niño, se obtienen 6
figuras para cada niño.
Modelo longitudinal con regletas.
El dividendo es 18 (10 y 8) y el divisor es 3 (cuántas regletas de 3,
entran exactamente en 18). El cociente es la cantidad de regletas
de 3, es decir, 6 regletas de 3, corresponden exactamente con 18.
Modelo numérico, de restas reiteradas. Se puede restar 6 veces 3
de 18, hasta llegar a cero,
De esta manera, se ha restado 6 veces 3 de 18, luego 18 3 = 6
División cuotición o
agrupamiento
El dividendo y el divisor son de
de la misma naturaleza. Se
pregunta por la cuota o parte.
El resultado que es el cociente
es de distinta naturaleza.
Sugerido para 3.er
grado
Para pagar a sus empleados José tiene 960 nuevos soles, si a
cada uno le paga 320 nuevos soles. ¿Cuántos empleados tiene
José?
El dividendo es 960 nuevos soles. El divisor 320 nuevos soles.
Ambas cantidades son de la misma naturaleza. Se pide el
cociente que es la cantidad de empleados de José, por lo que es
de distinta naturaleza que el dividendo y el divisor.
El modelo numérico de restas reiteradas, pagar a cada empleado
320 nuevos soles hasta llegar a nada, por lo que se resta 3 veces
320 de 960, luego 960 320 = 3.
Problemas
multiplicativos de
comparación.
En los problemas de comparación se utilizan
los términos “veces más”, “veces menos”,
“doble”, “triple”
Multiplicación o amplificación de la
magnitud o comparación en más.
División partitiva o comparación en más.
División por agrupamiento o comparación
en más.
pelotas precio (S/.)
1
2
3
4
5
8
16
?
3 grupos de manzanas
12
3
9
–15
3
12
–18
3
15
– 9
3
6
– 6
3
3
– 3
3
0
–
18

98 99
De multiplicación
(ampliación de la magnitud)
Comparación en más.
Dada la cantidad de uno
(multiplicando) y las veces
que otro la tiene de más.
resultante (producto) que es de
la misma naturaleza.
La primera cantidad está
contenida “n veces” en la
segunda cantidad.
Sugerido para 3.er
grado.
Juan ahorró 32 nuevos soles y su hermano Pedro logró ahorrar
tres veces más dinero que Juan. ¿Cuánto dinero tiene Pedro?
Este problema expresa la regla de proporción entre el dinero de
ambos hermanos. 32 soles está contenido 3 veces en la cantidad
de Pedro.
El problema se puede expresar a partir de estos modelos donde
se expresa la cantidad a través de esquemas.
También se puede expresar como un modelo funcional, ya que se
puede considerar cada operación como una máquina-operador
que transforma estados.
División partitiva
(comparación en más)
Dada la cantidad de uno
(dividendo) y las veces que
otro la tiene de más (divisor).
resultante (cociente) que es de
la misma naturaleza que el
dividendo.
La primera cantidad contiene
“n veces” a la segunda
cantidad.
Andrés tiene 45 años y es tres veces mayor que la edad de su hijo.
¿Cuántos años tiene su hijo?
A continuación, describimos los problemas sugeridos para el IV ciclo.
32 ?x 3
S/. 32
S/. 32
S/. 32
S/. 32
Juan Pedro
3 veces más
dinero que Juan
x 3
32
?
Juan
Pedro
División cuotitiva
por agrupación
(comparación en
más)
Dadas dos
cantidades de la
misma naturaleza
(dividendo y divisor)
se pregunta por el
número de veces
(cociente) que una es
mayor que la otra.
Sugerido para 4.°
grado
Anita tiene 14 años y su mamá 56. ¿Cuántas veces mayor es la
mamá de Anita?
Es un problema de pura comparación, puesto que no hay nada
que se parezca a un reparto. Y una de las cantidades está
contenida exactamente en la otra “una cantidad de veces”. Se
resuelve por una división pues la cantidad mayor se divide en
partes o cuotas. No se da como dato la relación multiplicativa.
14Anita
56mamá de
Anita¿Cuántas
veces está
contenido
14 en 56?
mamá de
Anita
56
Andrés
45
hijo
3 veces
mayor
3
?
Hijo ?
Andrés 45
Problemas aditivos de dos etapas
Los problemas aditivos de dos etapas son los problemas cuyas soluciones implican solo
sumas y restas, y en todos los casos, son necesarias dos de estas operaciones.
Caracterización:
Por las operaciones implicadas, los problemas aritméticos de dos etapas admiten cuatro
posibilidades, que notamos mediante los pares ordenados: (+,+)(+,-) (-,+) (-,-).
Las categorías semánticas empleadas son las denominadas:
Cambio (ca), combinación (Co), comparación (Cm) e igualación (Ig). Si atendemos a
las posibilidades que ofrecen estas cuatro estructuras en los problemas de dos etapas,
encontraremos 16 opciones:
CA, CA
CA, CO
CA, CM
CA, IG
CO, CO
CO, CA
CO, CM
CO, IG
CM, CM
CM,CA
CM, CO
CM, IG
IG, IG
IG, CA
IG, CO
IG, CM

100 101
Problemas de combinación-combinación (CO,CO)
( + , + )
Juntar-juntar
las partes.
Implica
realizar
dos sumas
consecutivas.
Mónica tiene figuras de animales, de las cuales, 14 son de mamíferos, 8
de aves y 7 de reptiles. ¿Cuántas figuras tiene en total?
Se puede expresar en un modelo de solución donde se evidencie las partes
y otro modelo numérico donde se evidencie las operaciones a realizar
entre las can tidades.
Los niños también podrían modelizar el problema usando las regletas de
colores o la recta numérica.
( -, - )
Hallar las
partes.
Implica
realizar dos
restas.
José tiene 40 figuras, de las cuales 12 son de mamíferos y el resto son de
aves. De las figuras de aves, 5 son aves de la costa y las demás de la selva.
¿Cuántas figuras de aves de la selva tiene José?
Problemas de cambio-cambio ( CA, CA)
( + , + )
Agregar-
agregar si son
magnitudes.
Avanzar-
avanzar si son
posiciones
de objetos
de la misma
naturaleza.
Implica
realizar
dos sumas
consecutivas.
Mónica avanza en la primera jugada hasta el casillero 14, luego en la
segunda avanza 7 casillas más y, finalmente, en la tercera jugada avanzó
8 casillas más. ¿Hasta qué casillero avanzó?
Problemas de comparación-comparación (CM, CM)
( + , + )
Pedro tiene 23 carritos. José tiene 16 carritos más que Pedro y Juan 8 más
que José. ¿Cuántos carritos tiene Juan?
( - , - )
Lila tiene 25 cuyes. Rosalía tiene 12 cuyes menos que Lila y Flora 4 cuyes
menos que Rosalía. ¿Cuántos cuyes tiene Flora?
Problemas de Igualación-Igualación (IG, IG)
( + , + )
Pedro tiene 23 carritos. Para tener igual cantidad de carritos que Fernando
necesita que le den 8 más y para que Fernando tenga igual que Santiago,
le deben regalar 12 más. ¿Cuántos carritos tiene Santiago?
( - , - )
Killa ahorró 35 nuevos soles. Para que Killa tenga igual cantidad que Illari
debe gastar 13 nuevos soles y para Illari tenga igual cantidad que Joaquín
tiene que gastar 7 nuevos soles. ¿Cuánto dinero tiene Joaquín?
Para ampliar la información, puedes consultar los
siguientes artículos de investigación en la web:
Problemas aritméticos de dos etapas de
Encarnación Castro, Luis Rico y Enrique Castro.
Problemas aritméticos de varias operaciones
combinadas de Luis Puig y Fernando Cerdán.
Problemas con fracciones
El sentido de enseñar los números racionales se crearon para resolver problemas que no
puedan ser resueltos con los números naturales. Los números naturales y los racionales
tienen características diferentes, por lo que en los primeros ciclos de la educación básica
implica ciertas rupturas con lo que se aprendió respecto a los números naturales, y esto
ya lo torna complejo. Por ejemplo, en los primeros grados se tiene la certeza que 2 es
menor que 3; pero esta misma característica no se puede emplear con las fracciones al
indicar, por ejemplo, que
1
2
es menor que
1
3
. ¿Cómo hacer comprender a los niños que
esta afirmación es errónea y que ya no funciona como en los números naturales? En tal
sentido, se sugiere enseñar las fracciones en problemas de contexto real, que impliquen
expresar repartos, medidas o relaciones entre las partes y el todo. En el enfoque de
resolución de problemas se cambia la organización de enseñar por contenidos en forma
aislada y desconectada por la enseñanza de las fracciones a partir de problemas; así los
conceptos de fracción y su denominación, fracciones mixtas y equivalentes aparecerán
de forma natural y relacionada, por lo que su aprendizaje queda garantizado y será
duradero. Enseñar las fracciones de forma separada o aislada, puede resultar más
fácil, pero es superficial y menos duradero, porque se olvida fácilmente aquello que
no aparece relacionado dentro de una organización y donde las distintas nociones
aparecen desconectadas.
animales
14 mamiferos
8 aves
7 reptiles
29
722
814
+
+
?
5?
1240
-
-
12 mamif
40 figuras
5
costa
?
selva
+ 8
14
+ 7

102 103
En estos problemas se utilizarán las fracciones para medir longitudes. Se
proponen situaciones de medición donde la unidad no puede ser dividida una
cantidad entera de veces. Con esto se provoca la necesidad de fraccionar la
unidad. En el siguiente ejemplo, al utilizar la longitud de la tira roja (dos o tres
veces), esta no corresponde exactamente en la tira azul.
Por ejemplo:
¿Cuál es la longitud de la tira azul? Solo usa la tira roja para medir.*
* Con el fin de poder manipular estos materiales, la tira azul debe medir 12 cm y
la roja, 5 cm.
En estos problemas se pretende analizar si es posible seguir repartiendo lo que
queda y además seguir repartiendo en forma equitativa.
Estos problemas se conectan con los conocimientos previos de los niños con
respecto a la división, por lo que la “estrategia” de resolución es la división entre
números naturales. Analizar lo que sobra lleva necesariamente a que los niños
sigan repartiendo, por lo que aparecerá de manera natural el concepto de fracción,
donde ya los números naturales, no son pertinentes para dar la respuesta.
Porejemplo:Sereparten17floresentre4mamás.Todasrecibenlamismacantidad.
¿Cuántas flores le toca a cada una?
Problema 2: Se tienen 11 panes para repartir entre 4 niños. Todos reciben la misma
cantidad. ¿Cuántos panes les toca a cada una?
Problemas
de
reparto
Problemas
de medida
Si observamos, hay cantidades las cuales se pueden seguir repartiendo como en el caso
de los panes, pero en el caso de las flores no. ¿Qué otras cantidades se puede repartir?
Esas cantidades que se puedan repartir son objeto de este tipo de problemas, como los
chocolates, alfajores, monedas y billetes, etc.
Dos modelos de solución, donde se observa el reparto de las cantidades y la partición de
la unidad y también el modelo numérico.
Estos problemas donde a cada estudiante le toca una cantidad entera y una parte del
chocolate que le sobra, permitirá establecer una primera definición de fracción. El partir
el pan en dos mitades, servirá para verificar también que dos mitades forman la unidad
o que 2 veces
1
2 equivale a 1. De otro lado, también servirá para expresar el resultado
según una cantidad entera y una fracción (número mixto). De la partición de uno de los
panes que sobra, se observa que
1
2
=
2
4
(fracciones equivalentes).
Estos problemas favorecen la aparición simultánea de fracciones mayores y menores
que el entero, y con iguales y distintos denominadores, lo que permite salir de la lógica
según la cual es necesario enseñar primero un tipo de fracciones (por ejemplo, los
menores que la unidad) para recién después utilizar otras.
Según esta lógica, permite ir configurando un entramado que vincule unas fracciones
con otras, que pueda ir complejizándose y creciendo. Por ejemplo, al poder establecer
conexiones entre medios y cuartos, octavos y medios, quintos y décimos, tercios y
sextos, se amplia progresivamente el repertorio de fracciones usuales a otras fracciones
con otros denominadores.
Por lo que corroboramos que a partir de un problema se puede desarrollar varios
conceptos matemáticos relacionados a la fracción que están interrelacionados por lo
que permite un aprendizaje significativo y duradero.
Si se utilizan solo números naturales, no es posible expresar cuántas tiras rojas se
necesitan para medir la longitud de la tira azul, por lo que es necesario expresar el
resultado en fracciones, y fraccionar la unidad, es decir, la tira roja. Al relacionar la tira
roja con la azul, podrás darte cuenta que la azul se corresponde con 2 unidades rojas y
algo más. Para expresar ese algo más, hay necesidad de fraccionar la tira roja en partes
iguales, de tal manera que se pueda determinar qué fracción sería.
Otros ejemplos de problemas de medida.
1. Dibuja una tira que mida la cuarta parte de la tira azul.
2. Usando la tira roja como unidad, indica la medida de estas otras tiras.
3. Si la tira roja representa de la unidad, ¿cuál fue la unidad utilizada? Y si la tira roja
representara
1
3
, determina la unidad utilizada.
2 + + 1
4
1
2
1
2
4
2-
2 enteros y 3
4
Para cada niño le corresponde:
Para cada
niño 2 panes
3
4
de pan

104 105
En estos problemas se pone en juego reconstruir el entero a partir de una parte.
Este tipo de problemas supera a los problemas de “mirar” un rectángulo partido en
partes iguales, con algunas de esas partes pintadas.
Para esto se propone usar el tangram para realizar estas composiciones y
descomposiciones del todo y las partes y viceversa.
Ejemplo:
Se sabe que este triángulo
representa
1
4
,del tangram. Dibuja la figura entera con esta misma pieza.
Componer
una
cantidad
a partir de
otras
Las posibles respuestas para este problema pueden ser las siguientes:
El tangram de 7 piezas es un recurso muy valioso para introducir a los estudiantes en las
operaciones de adición y sustracción de fracciones. Para ello, recortamos las piezas del
tangram y anotamos sus representaciones en fracciones.
Construye 4 rectángulos de estas dimensiones usando como unidad los cuadraditos:
5 × 4, 5 × 3, 6 × 4 y 6 × 3 usando papel cuadriculado. Recórtalos y construye con estas
piezas otro rectángulo más grande.
Por ejemplo, si se quiere sumar
1
4 +
1
8 se cogen las piezas que representan dichas
fracciones:
Luego :
1
4 +
1
8 =
3
8 .
=
3
8
Así:
Con las otras piezas del tangram, dibuja las posibles figuras enteras.
3.1.3 Estrategias para sumar o restar fracciones
3.1.4 Estrategias de cálculo multiplicativos
1. Sumar y restar con el tangram
1. La técnica de los recortados
1
4
1
8
1
16
+ =
1
4
1
4
1
8
1
8
1
8
+ 1
8
1
8
1
8
1
8
1
4
1
4
1
16
1
16
1
8

106 107
Con todas ellas se puede obtener una cuadrícula de 11 × 7.
Luego 7 × 11 = 5 × 4 + 6 × 4 + 5 × 3 + 6 × 3. (Cada una de las partes)
Tambien: 7 × 11 = ( 5 + 6 ) ( 4 + 3) (Observando todo)
Te toca a ti: multiplica 12 8 utilizando esta estrategia. ¿Hay una sola forma de
hacerlo?
Tener un
repertorio de
estrategias
de cálculo le
permitirá al niño
comprobar sus
procedimientos
de cálculo usando
otros algoritmos.
El objetivo del cálculo mental
es que recurran a dibujos, uso
de material concreto u otros
procedimientos diferentes
al algoritmo (procedimiento
tradicional) para hallar la
respuesta.
3.1.5 Estrategias de cálculo mental
1. Con números naturales
2. Con fracciones
a. ¿Cuál es el número multiplicado por 5, que nos da 45?
b. Multiplicaciones por 10 y 100 o 1000. Por ejemplo: 4 × 1000 ; 40 × 10; 12 × 100.
c. Divisiones entre 1000, 100 y 10, por ejemplo: 4000 : 1000; 4000 : 100; 4000 : 10
d. Por decenas enteras: 4 × 70; 15 × 30; 180 : 3; 180: 10
e. 3 × 19 = 3 × ( 20 – 1) = 3 × 20 – 3 × 1 = 60 – 3 = 57
a. ¿Cuál de las siguientes fracciones son mayores que un entero? Explica por qué.
¿Cómo puedes multiplicar 9 × 8 sin usar la tecla 8?
Por ejemplo:
9 × 4 × 2.
Usando la técnica de los recortados de la página anterior: 9 × 5 + 9 × 3 = 45 + 27 = 72.
, , , ,3
4
5
4
4
4
7
6
b. ¿Cuánto le falta a para ser igual a la unidad?
+ =1
2
+ =3
4
+ =2
3
+ =4
8
d. ¿Cuánto le falta a para ser igual a 2?
+ =21
2
2+ =3
4
2+ =2
3
2+ =4
8
c. Calcula la fracción equivalente a:
=1
2
=1
3
=1
4 8
=2
4 8
2. La técnica de la reja o de la celosía
6 × 4
11
4
( 4 + 3 )
5 6
3
5 × 4
5 × 3 6 × 3
5 + 6
4
8
6
8
6 8 = 48
Técnica de celosía
Multiplicamos: 356 84
Luego: 356 84 = 29904
sumamos
2
3
992
5
0
6
4
1
4
2
4(1)
2
4
2
0
0
8
4
4
8
El objetivo de realizar
cálculos mentales, es que
los niños a partir de la
observación, puedan deducir
la regla para calcular.
Por ejemplo:
5 × 10 = 50 escribimos el 5 y
le agregamos un cero.
5 × 100 = 500 escribimos el
5 y le agregamos dos ceros.
5 × 1000 = 5000 escribimos
el 5 y le agregamos tres
ceros.
En general, para cualquier
caso:
Escribimos el número y le
agregamos la cantidad de
ceros que tenga el 10, 100
o 1000, es decir uno, dos o
tres ceros.
3. Usando la calculadora

108 109
Un patrón geométrico está relacionado con las formas y transformaciones geométricas.
Estas transformaciones están referidas a que las figuras se reflejen (simetría), se
trasladen, se muevan (traslación) o roten (giren o den vueltas).
Entendemos por patrón de repetición cuando los elementos se repiten en forma
periódica o en forma reiterada, en dicho patrón o secuencia a los elementos que se
repiten se les denomina núcleo de repetición
Actualmente, en todas
las comunidades nativas
de la selva se puede
observar que hay una
riqueza en la utilización de
patrones geométricos en
mantos, bolsos, cusmas,
etc., lo mismo sucede en
comunidades costeñas y andinas de nuestro país.
Los niños pueden iniciarse identificando patrones con simetría, al observar estos diseños
en mantos, cenefas, colchas de tejido a crochet, etc.
Descripción
Un modo de descubrir patrones por simetría o “reflexión” es usando un espejo. Al
colocar un objeto frente a este, los niños descubren la simetría de una figura geométrica
en el reflejo de su imagen. Así los estudiantes pueden formar patrones de repetición
con reflexiones.
Con la estrategia del espejo, los niños serán capaces de identificar la simetría que
presentan los elementos de una secuencia y determinar su conformación. De esa
manera podrán matematizar al plantear relaciones entre los elementos de un patrón
de repetición con simetría. Asimismo, podrán proponer nuevos patrones, al crear el
núcleo de repetición con elementos concretos, utilizando el espejo para formar simetría
por “reflexión”.
En esta actividad, utilizando figuras de triángulos rectángulos de colores en forma
concreta, prueban varias posibilidades para construir patrones con reflexión “horizontal”.
Esto significa que el espejo lo ubicará al lado de la última figura geométrica formada
y podrán encontrar la posición de la figura y el color que tiene y así sucesivamente
podrán armar cenefas, guardillas, frisos, etc.
¿Qué necesitamos?
Figuras de triángulos equiláteros de colores en papel lustre en un sobre.
Dos papelotes.
Goma.
Un espejo.
¿Cómo nos organizamos?
Se forman grupos de trabajo y se les entrega un sobre con triángulos
equiláteros cortados previamente por los niños en varios colores.
Aplicación 1:
Se pide a todos los grupos que en forma concreta (con los triángulos del sobre)
armen diversos diseños donde se evidencie la repetición de elementos (pegarán
en un papelote). Pregunte: ¿qué criterio utilizaron para su diseño?, ¿necesitaron
colocar los triángulos en una misma posición?, ¿cómo se combinaron los colores?,
¿qué tuvieron que hacer para seleccionar las piezas elegidas?
Orienta a que formen una figura con los triángulos y construyan la figura simétrica
con ayuda del espejo, al colocarlo al lado de la figura, inclinada adecuadamente.
Con la ayuda del espejo pueden seguir construyendo la secuencia.
1. Jugando con el espejo3.2 Orientaciones para el desarrollo
de la competencia: Actúa y piensa
matemáticamente en situaciones de
regularidad, equivalencia y cambio
3.2.1 Patrones de repetición geométricos con simetría
Los patrones
considerados
como una
sucesión de
signos orales,
gestuales,
gráficos,
etc., que se
construyen
siguiendo una
regla ya sea de
repetición o de
recurrencia.
Patrones o
secuencias se
pueden usar
indistintamente.
Otros autores
usan el término
patrón para
designar
estrictamente
el núcleo de la
secuencia.
(Bressan y
Bogisic, 1996)
Figura reflejada en el espejo
Espejo
En este ejemplo el núcleo de repetición del patrón es de la forma AB.
¿Qué pieza continúa?
A AB B

110 111
Aplicación 2: Reproducción de una secuencia con el espejo
Se les presenta el siguiente patrón en la pizarra con las piezas que previamente el
docente ha preparado. Los estudiantes observarán esta secuencia de banderitas
y cada grupo la armará con el material que recibieron en el sobre. Colocarán el
espejo en la última figura geométrica y reproducirán lo que observan en el espejo
en el papelote, con el color y la posición del triángulo que aparecen en la imagen.
Esta acción la repetirán en forma sucesiva hasta formar una franja significativa (8
repeticiones, aproximadamente).
Núcleo que se repite
Pregunte a los estudiantes:
¿Qué pieza sigue?
¿Qué figura formará?
¿Cómo te das cuenta que esa es la que sigue?
¿Qué grupo de figuras da origen a la secuencia formada? ¿Qué características
tiene? ¿Tiene un solo color? ¿Sí, no, por qué? ¿Está en la misma posición?
¿Podrían continuar con la secuencia sin utilizar el espejo? ¿Qué tienen que tomar
en cuenta? ¿Pueden explicarlo?
Descripción
Un problema común en el tema de patrones es el de poder predecir qué elemento del
patrón o qué pieza de la guardilla, loseta, etc., está en una determinada posición. Para
resolver esta cuestión es muy útil codificar los elementos que se repiten en el patrón
y tener en cuenta cuántos elementos tiene el núcleo de repetición. De esa manera
sabremos que si el núcleo del patrón tiene 4 elementos, entonces cada 4 posiciones se
repite el mismo elemento.
Esta estrategia permite al estudiante elaborar y usar estrategias para ampliar patrones,
codificando o usando una tabla y, además, desarrollar la capacidad de razonar y
argumentar mediante la cual el estudiante hace supuestos para predecir qué pieza
corresponde colocar en una posición muy posterior.
Con esta actividad se espera que los estudiantes consigan determinar cuál será la
posición y el color del primer triángulo de la banderita n.° 34.
Para encontrar un término desconocido en la secuencia, se puede optar por asignarle
un símbolo (letra) a cada pieza o banderita.
Descripción
El desarrollo del pensamiento variacional se inicia desde los primeros grados con el
tratamiento de los patrones de repetición o numéricos, los cuales propician el abordaje
de la generalización propia del álgebra. Para este proceso de generalización se
tomarán en cuenta las indicaciones propuestas por Mason (1985).
Relación con capacidades e indicadores
Los estudiantes matematizan al identificar en una secuencia las regularidades que hay
entre sus elementos y lleguen a expresar dicha secuencia como un patrón. Comunican
y representan al usar el lenguaje matemático y sus diferentes representaciones.
Paso 1. Percibir un patrón
En esta etapa se pueden presentar actividades con secuencias de figuras o de números,
donde se solicite a los alumnos la figura o el número siguiente. Se espera que el alumno
observe lo que está pasando de una figura a la otra, o de un número al siguiente y en
esta observación el alumno perciba la regularidad.
2. Prediciendo elementos del patrón 3. Generalización de patrones
Con esta estrategia se puede codificar los elementos del núcleo del patrón de la
siguiente manera:
Esta codificación nos permitirá saber si la banderita que seguirá en la secuencia será
la que representa a los números impares (A) o la que representa los números pares (B).
Si es A (impar): la banderita empezará con el triángulo de color rojo.
Si es B (par): la banderita empezará con el triángulo de color verde.
Es muy importante la mediación del docente que permita a los estudiantes encontrar
la relación entre esta codificación y la posición de los elementos. El docente puede
preguntar: ¿Cómo te ayudan estos símbolos a identificar elementos desconocidos?
¿Cómo identificarías la posición de un término desconocido en esta secuencia? ¿Es
necesario elaborar una tabla u otro organizador de información? ¿Basta saber si son
pares o impares? ¿Crees que te ayuda? ¿Cómo?
Si respondemos la interrogante planteada anteriormente, la banderita n.° 34 será
de color verde en el lado izquierdo y rojo en el lado derecho porque corresponde al
elemento B y es número par; si queremos averiguar cómo será la banderita n.° 67,
basta identificar si es A o B; en este caso el 67 es impar, por lo tanto, la banderita será
verde en el lado izquierdo y rojo en el lado derecho.
A
1 2 3 4 5
A AB B
A 1
B 2
A 3
B 4
...
...
...

112 113
Paso 2. Decir cuál es el patrón
El niño necesita expresar lo que observó y para ello es necesario incluir en las actividades
preguntas que indaguen sobre cómo encontró la figura o el número siguiente y que
comente este proceso con los demás compañeros. En esta reflexión puede percatarse
si lo que dice corresponde a lo que se espera.
Paso 3. Registrar el patrón
Se requiere que el niño exprese de forma sucinta con palabras dibujos o símbolos el
núcleo de repetición. Este registro puede ser expresado en una tabla horizontal o vertical
y es el punto de partida para elaborar supuestos. El registro del patrón puede iniciarse
con oraciones donde se mezclen palabras, dibujos y símbolos.
Paso 4. Prueba de la validez de las fórmulas
El alumno puede comprobar la regla de formación en la actividad de la que surgió
parte del registro de los datos. La prueba se puede realizar con cálculos aritméticos,
con dibujos o contando.
Paso 2. Expresando el patrón
Cuando el niño ejerce acción sobre los objetos (en este caso los corazones entregados
son de distinto tamaño y con dos colores a la vez) ha tenido la posibilidad de identificar
las características que le ha llamado la atención, lo cual también le ha permitido
aislarlos y/o separarlos para encontrar las semejanzas y las diferencias. Ahora tiene la
posibilidad de expresar sus acciones (pues ha comprendido), de identificar qué piezas
conforman el núcleo del patrón, y describir qué relaciones encontró.
Paso 3. Registrando el patrón
El niño registra o representa el patrón de varias formas. Puede hacer cuadros, asignar
valores numéricos a cada pieza, letras u otras representaciones pictóricas.
Paso 4. Probando la validez de la fórmula
En este nivel el niño tendrá que probar en otras situaciones que el núcleo que eligieron
forma todo el patrón al repetirse. Es decir, que la regularidad hallada funciona y es
válida. Para ello es necesario hacer un análisis cuidadoso del patrón observado, la
identificación de las regularidades le ayudará a visualizar algunas relaciones, por lo
tanto, estará en capacidad de hacer generalizaciones.
En este caso se observa que el núcleo tiene 6 elementos, es decir, que cada 6 posiciones
se repite un elemento. Si queremos averiguar qué tamaño y qué combinación de colores
tendrá el término 45 de la secuencia, tendremos que avanzar a partir del elemento 6,
de 6 en 6 hasta llegar lo más próximo antes del 45. Entonces, tendremos: 6, 12, 18, 24,
30, 36, 42. Significa que a partir del término 43 comienza nuevamente el núcleo de
repetición.
Esta fase de reproducción del patrón permite manipular las piezas, jugar y/o probar la
posición y el orden de estas, las acciones realizadas ayudarán a que perciban de mejor
manera el patrón.
Aplicación 1:
Elaborando guardillas para decorar cuadros
Una situación cotidiana en la que son muy útiles los patrones es la decoración de un
marco de fotos con guardillas en las que se utilizan patrones geométricos de repetición.
Esta actividad consiste en elaborar un marco para un collage de fotos familiares o
personales, el cual estará hecho de cartulina dúplex de color blanco.
¿Qué necesitamos?
Fotografías pegadas en una cartulina dúplex de 20 cm por 30 cm.
Tijeras, goma.
Regla.
Papel lustre de colores (verde y anaranjado).
Moldes de corazones (grande y pequeño).
El docente puede iniciar proponiendo una secuencia gráfica o concreta que describa un
patrón geométrico de simetría.
Paso 1. Percibiendo el patrón
Reproducen el patrón construido en la pizarra con ayuda de todos y del docente, con
los materiales recibidos.
A B C D E F
1 2 3 4 5 6
Observan y reconocen las características de las figuras: ¿Qué forma tienen? ¿Todas las
piezas tiene el mismo color? ¿Cómo son los tamaños? ¿En qué se parecen? ¿En qué se
diferencian? ¿Identifican el núcleo que se repite en el patrón? ¿De cuántas piezas está
constituido ese núcleo? ¿Por qué creen que hay dos piezas en una misma figura? ¿Qué
relaciones encuentran? ¿El patrón está formado con un criterio de simetría? ¿Sí, no, por
qué? ¿Cómo se dan cuenta de ello?
Se espera que los estudiantes respondan que el núcleo del patrón está constituido por 6
piezas y si tienen que simbolizarlo pueden asignarle, como en casos anteriores, letras:
A-B-C-D-E-F. El patrón está formado con un criterio de simetría, a su vez se evidencian
los criterios de tamaño y color. Hay corazones partidos por la mitad los cuales tienen
dos colores (anaranjado y verde); también se observa que unos son grandes y otros
pequeños; en algunos corazones está insertado un corazón pequeño, pero formado
con colores que no se corresponden respecto al color de sus mitades.
43 44 45

114 115
Otra estrategia es la de usar una tabla
Se espera que los estudiantes comprendan que los patrones tienen un origen, que es
el núcleo de repetición; una vez identificado este núcleo, es posible continuar con la
secuencia, determinar términos desconocidos. Al asumir como base las regularidades
encontradas, podrán llegar a generalizaciones.
A B C D E F
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
18
24
30
36
42
43 44 45
Descripción
Esta actividad se refiere a construir un
mosaico, utilizando el proceso de teselado
o teselación que es un patrón repetitivo de
figuras geométricas. La “tesela” es cada
pieza con la que se forma el mosaico; estas
encajan y cubren el plano sin superponerse
y sin dejar huecos. Estas teselas conforman
una regularidad o patrón de figuras que
cubre o pavimenta completamente una
superficie plana, de tal manera que no queden huecos ni se superpongan las figuras
unas sobre otras. En este sentido, teselar es sinónimo de embaldosar o colocar
cerámicos en una determinada superficie.
Los estudiantes vivenciarán la actividad de “teselar” una superficie rectangular de 120 cm2
.
La dimensión de cada pieza o “tesela” es de 5 cm2
.
El estudiante tendrá oportunidad de matematizar al plantear relaciones entre los
elementos que forman el patrón geométrico con criterio de simetría o traslación, también
matematizará cuando propone diseñar un mosaico con diversos núcleos de repetición.
Asimismo también razonan y argumentan al justificar o explicar sus supuestos sobre las
relaciones encontradas o sobre el núcleo de repetición. De otro lado, con esta actividad
los estudiantes realizan conexiones con las formas y la geometría, desarrollando su
creatividad al diseñar patrones geométricos, combinando color, forma y tamaño de
forma simétrica.
4. Construyendo mosaicos
Mosaico armado con teselas en forma simétrica (sala
de espera de un consultorio médico).
Materiales
Tijeras.
Goma.
Papel lustre para confeccionar cada “tesela” con cuadrados de 5cm en cada lado.
Una cartulina.
Regla.
Modelos de “teselas” para cubrir la superficie con diseños geométricos. Por
ejemplo:
Desarrollo de la estrategia:
Paso 1.
Formar grupos en el aula y designar responsabilidades.
Confeccionar las piezas “teselas” de 5 x 5 cm en cada lado, con las que se cubrirá
la superficie solicitada. Deberán ser pintadas de colores (las piezas presentadas
son referenciales).
Preparar la cartulina con las dimensiones solicitadas.
Paso 2.
Probarán varios diseños de núcleos para formar patrones. Este proceso requiere
del acompañamiento y mediación del docente. ¿Qué criterios de formación van a
considerar? ¿Cómo ubicarán las teselas? ¿Cómo las tienen que colocar para que
sean simétricas? ¿Una tesela se parece a una pieza de cerámica? ¿Qué significa
teselar?
Seleccionarán un diseño diferente (por cada grupo) del núcleo o estructura de
base para construir el patrón con el cual empezarán a “teselar”.
Extenderán este diseño por toda la superficie solicitada (30 x 40 cm) sin que quede
ningún espacio vacío.
Se puede orientar el trabajo con las siguientes interrogantes: ¿Lograron cubrir toda
la superficie solicitada? ¿Cómo se ubicaron las piezas del mosaico? ¿Cuántas
piezas de “tesela” han utilizado? Explica cuál es el núcleo o estructura base del
patrón.
Paso 3.
Finalmente, se puede hacer un museo con las construcciones de mosaicos de
todos los grupos.
Pueden elaborar distintos diseños por
grupos y socializarlos.

116 117
Se espera que en esta teselación, los estudiantes formen un mosaico con 6 filas y 8
columnas de teselas (superficie de 30 40 cm2
), utilizando cualquier diseño, explicando
y justificando el proceso de formación del núcleo.
4. Juegos de estrategias
Descripción:
El desafío de este juego consiste en que los estudiantes encuentren una regla que
les permita determinar la cantidad mínima de movimientos que deben realizar para
intercambiar de posición de fichas de dos colores en un tablero rectangular de 2 1, 2 2,
2 3, 2 4, etc. Es así que buscarán la solución haciendo uso de diferentes estrategias
heurísticas y habilidades con el propósito de identificar y determinar las reglas de
formación de patrones aditivos y multiplicativos.
El estudiante, en el proceso de resolución de este problema desarrollará con mayor
énfasis la capacidad de matematizar. Significa que transformará el problema
planteado a una forma matemática expresada en un modelo con expresiones aditivas
y multiplicativas, para ello identificará la regla de formación de un patrón aditivo y
multiplicativo.
¿Qué necesitamos?
Fichas o chapas de dos colores, hojas cuadriculadas, regla y lápiz.
Resolvemos situaciones como la siguiente:
Entrega 8 fichas o chapas, 4 de cada color y una hoja cuadriculada. Sugiere
que elaboren sus tableros en las hojas cuadriculadas teniendo en cuenta el
tamaño de las fichas. Una de las estrategias a utilizar será la simulación usando
material concreto (chapas y tableros). Permitirá vivenciar y experimentar el juego
propuesto.
Dales un tiempo prudente para que intenten intercambiar de posición las 4 fichas
de cada color. Promueve el análisis: ¿Cómo podemos hacer que el problema se
hagamássencillo?,¿cuántasfichassonmásfácilesdeintercambiar?Situviésemos
una, dos o tres fichas de cada color, ¿cuántos movimientos se necesitarían?,
¿cómo sería el tablero, ¿cuántos casilleros se utilizarían? Los estudiantes deben
justificar sus respuestas.
Propicia para que los estudiantes reflexionen y lleguen a la conclusión de que
es más fácil resolver el problema cuando se tiene una ficha de cada color. Que
experimenten con una ficha, luego con dos fichas y finalmente con tres fichas de
cada color. Los estudiantes deben comprender que con mayor cantidad de fichas
y realizarlo con material concreto demanda mayor tiempo y que necesitan una
estrategia que les permita determinar la cantidad de movimientos en el menor
tiempo.
Sugiere que utilicen una tabla para que registren los resultados de cada situación
experimentada. Por ejemplo: con 1 ficha de cada color se necesitan 3 movimientos
como mínimo y con 2 fichas de cada color se necesita 5 movimientos como
mínimo. Esta información se registra en la tabla.
Indica que observen
la tabla y pregunta:
¿Qué representan los
números de la primera y
segunda fila?, ¿observan
alguna relación en los
números?, ¿incrementan
o disminuyen los
números?, ¿en cuánto?,
¿cómo completaríamos
los números de
las columnas? Los
estudiantes deben
identificar que existe una
regla de formación en las secuencias de ambas columnas. Además, deben
establecer la relación (regla de formación) que existe entre el “número de
fichas por color” y el “número de movimientos”, y deben expresarla en forma
simbólica utilizando expresiones aditivas y multiplicativas.
Que completen la información en la tabla para dar respuesta a las preguntas
planteadas en el problema.
Edwin está jugando “saltos y brincos“ intercambiando todas las fichas
amarillas en el lugar de las fichas verdes y las fichas verdes en el lugar de
las fichas amarillas.
Para realizar el intercambio de fichas tiene en cuenta las siguientes reglas:
Mueve solo una ficha a la vez, hacia una casilla vacía en dirección
horizontal, vertical o diagonal. No pueden coincidir dos fichas en la
misma casilla.
Termina el juego cuando las fichas verdes y amarillas han
intercambiado sus posiciones; es decir, las amarillas están ubicadas
en la fila inferior y las verdes en la fila superior, esto se debe hacer en
la menor cantidad de movimientos.
Después de varios intentos, Edwin aún no puede responder las siguientes
preguntas:
¿Cuántos movimientos se necesitan como mínimo para intercambiar de
posición las 4 fichas verdes y las 4 amarillas?
Si tuviera 10 fichas de cada color ¿cuántos movimientos haría?
Ayudemos a Edwin a resolver este desafío!
Número de
fichas por
color
Número
mínimo de
movimientos
1 3
2 5
3 7
... ...
En la secuencia, los números se
van incrementando de 2 en 2.
El algoritmo
para
determinar
la cantidad
mínima de
movimientos:
Duplicar
el número
de fichas
por color y
sumarle una
unidad.
1 2+1=3
2 2+1=5
3 2+1=7
Juega con:
Con una ficha
Con dos fichas

118 119
5. Descubriendo patrones aditivos y multiplicativos en el tablero
del cien
Descripción
En esta estrategia se hará uso del tablero del cien para desarrollar actividades que
permitan a los estudiantes aprender sobre los patrones aditivos y multiplicativos.
Descubrirán patrones en los números que se encuentran distribuidos en la figura de
una cruz, la cual se formará en el tablero del cien. Luego, los estudiantes identificarán
las reglas de formación de patrones aditivos multiplicativos y a partir de ella propondrán
algoritmos de cálculo para determinar de manera rápida algunos elementos de la cruz
numérica.
Los estudiantes durante el proceso de ejecución de las actividades propuestas,
desarrollarán la capacidad de matematizar, al identificar la regla de formación
en problemas de regularidad númerica, expresándolas en un patrón aditivo o
multiplicativo. Comunica y representa ideas matemáticas al utilizar lenguaje matemático
para describir la regularidad. Elabora y usa estrategias al emplear procedimientos de
cálculo para ampliar o crear patrones y razona y argumenta al explicar sus conjeturas,
procedimientos o resultados.
¿Qué necesitamos?
Tablero del cien numerado, chapas o fichas numeradas del uno al cien, hoja
cuadriculada y lápiz.
Indica a los estudiantes que formen en su tablero una cruz con cuatro chapas o
fichas como se muestra en la figura. Menciónales que llamarán a esta figura cruz
numérica 25, porque el 25 es el número que se encuentra en el centro de la cruz.
Motiva para que observen la cruz e identifiquen algunas regularidades entre los
números que se encuentran en dicha figura. Por ejemplo:
Los números 24, 25 y 26 son consecutivos y se incrementan de 1 en 1.
Los números 15, 25 y 35 avanzan de 10 en 10.
Si ordenamos los números de las puntas de la cruz en sentido horario 15,
26, 35, 24 se observa que del 15 al 26 se incrementa en 11, del 26 al 35 se
incrementa en 9 , del 35 al 24 disminuye en 11 y si regresamos del 24 al 15
disminuye en 9.
Otra regularidad: al sumar 15 y 35 se obtiene 50 que es el doble del número
central de la figura, lo mismo sucede con 24 y 26 ambos suman 50 y es el
doble del número central.
Cada regularidad identificada por los estudiantes debe ser explicada y justificada.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Reta a los estudiantes a encontrar los números de las siguientes cruces: cruz
12, cruz 56, cruz 79 y que verifiquen si se cumple en ellas las regularidades
encontradas en la cruz 25. Que comenten sus hallazgos.
Problematiza a través de preguntas: ¿cuáles son los números que conforman
la cruz 48? ¿Cuánto suman los cuatro números ubicados en las puntas? ¿En
qué cruz, al sumar sus cuatro números se tiene como resultado 336? ¿Cómo
podemos responder de manera rápida estas preguntas sin observar el tablero?
Dé el tiempo necesario para que propongan alternativas de solución a las
interrogantes planteadas.
Sugiere a los estudiantes que hallen las sumas de los extremos de la cruz y que
las organicen en una tabla. En la cruz 25, se tiene 100 = 15 + 35 + 24 + 26. Esto
les permitirá establecer relaciones entre los números. Anímalos a formular sus
propias reglas.
Finalmente, realiza preguntas para validar sus propuestas:
¿Cuáles son los números que conforman la cruz 82?
¿Cuánto suman los cuatro números de la cruz 29?, ¿cuáles son esos números?
¿Cuál es el número de la cruz cuyo resultado de sumar sus cuatro números es 276?
Cada respuesta debe ser explicada y justificada.
Rétalos a que investiguen otras regularidades en las cruces formadas, al sumar
los cinco números, incluido el número del centro y que propongan algoritmos de
cálculo.
Número de la
cruz numérica
Suma de los
4 números
25 100
12 48
56 224
…
25 4 = 100 o 100 ÷ 4 = 25
12 4 = 48 o 48 ÷ 4 = 12
56 4 = 224 o 224 ÷ 4 = 56
¿Cuál es la relación?
100 es el cuádruplo de 25 o
25 es la cuarta parte de 100
15
24 25 26
35
-9 +11
+9-11
15
24 25 26
35

120 121
Motiva que observen la distribución de los números en cada sector y que identifiquen
alguna regularidad entre los números que lo conforman. Por ejemplo:
En el sector 3 3 de la imagen, el valor de la suma de los números que se
encuentran en cada diagonal son iguales: 14 + 22 + 30 = 66 = 16 + 22 + 28.
Si sumamos los dos números ubicados en los extremos de una diagonal y la
comparamos con la suma de la otra diagonal el resultado es el mismo número:
en el sector 3 3 sumamos 14 + 30 = 44 y la otra diagonal 16 + 28 = 44, se verifica
que ambos resultados son iguales.
Al sumar todos los números que se encuentran dentro del sector seleccionado,
el resultado es múltiplo de la cantidad de casilleros que tiene el sector, es decir,
si sumamos los números del sector 2 2 de la imagen 4 + 5 + 11 + 12 = 32,
este resultado es múltiplo de 4. Y si seleccionamos el sector 3 3, al sumar los
números 14 + 15 + 16 + 21 + 22 + 23 + 28 + 29 + 30 = 198, el resultado es múltiplo
de 9. Esta regularidad se cumple para cualquier sector de la forma N N formada
en el calendario.
Cada propuesta de regularidad que formulen los estudiantes debe ser explicada y
justificada por ellos.
Motive a que todas las regularidades descubiertas las verifiquen en los diferentes
meses del año. Cada hipótesis propuesta por los estudiantes debe ser verificada,
explicada y justificada por ellos.
7. Jugando a los investigadores aprendemos sobre las
equivalencias e igualdades
Descripción
A partir de un problema, los estudiantes manipularán siluetas de cajas, pesas, bolsitas,
latas o cilindros, para resolver el problema y establecerán equivalencias entre estos
objetos, al mantener en equilibrio una balanza.
Los niños matematizarán situaciones al identificar datos y relaciones de equivalencia;
razonan y argumentan al elaborar supuestos durante la búsqueda de equilibrio en
el peso de diversos objetos en una balanza, las cuales serán expresados mediante
igualdades en forma concreta, gráfica y simbólica, haciendo uso de expresiones
aditivas multiplicativas y del signo “=”.
¿Qué necesitamos?
Siluetas de cajas, pesas, bolsita, latas o cilindros.
6. Descubriendo patrones aditivos en el calendario
Descripción
Haciendo uso del calendario, los estudiantes
participarán en actividades como el análisis de
columnas y diagonales, demarcación de sectores
rectangulares (2 2, 3 3 y 4 4) o desplazamientos
(izquierda-derecha, arriba abajo), mediante
los cuales se promoverá que los estudiantes
identifiquenregularidadesnuméricasydeterminen
las reglas de formación para expresarlos como
algoritmos.
Los estudiantes desarrollarán la capacidad de matematizar a partir de identificar
patrones aditivos en los números establecidos en el calendario que ellos seleccionen,
luego, identificarán las reglas de formación de los patrones descubiertos expresándolos
en algoritmos que permitan identificar algún elemento del patrón numérico.
Materiales: Calendario 2015, hoja cuadriculada, colores y lápiz.
Pasos de la estrategia:
Solicita a los estudiantes que seleccionen en
el calendario el mes de su preferencia. Diles
que observen la distribución de los números en
columnas y en diagonales, luego pídeles que
descubran qué sucede con esos números. Se
espera que identifiquen regularidades:
En las columnas, los números se incrementan de 7 en 7; esto se debe a que los
días de la semana son siete.
En las diagonales que van desde la parte superior izquierda hacia la parte inferior
derecha, los números se incrementan de 8 en 8.
En las diagonales que van desde la parte superior derecha hacia la parte inferior
izquierda, los números se incrementan de 6 en 6.
Coméntales que continuarán identificando
regularidades en el calendario elegido. Pídeles
que marquen con colores los sectores que
tengan igual número de casillas por lado,
pueden ser de 2 2, 3 3 o 4 4, así como se
muestra en la imagen.
Lun. Mar. Miér. Jue. Vier. Sáb. Dom.
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31
Julio
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31
Julio
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31
Julio

122 123
Asegura la comprensión del problema de equilibrio mediante las preguntas:
¿de qué trata el problema?, ¿explica con tus propias palabras?, ¿cuáles son las
condiciones del problema?, ¿qué tenemos que averiguar?
Propicia que los estudiantes diseñen o adapten una estrategia a través de
preguntas: ¿cómo podemos resolver este problema?, ¿alguna vez han resuelto
un problema igual o similar?, ¿podemos utilizar algún material para resolver este
problema?
Una de las estrategias utilizadas por los estudiantes debe ser la simulación con
material representativo.
Entrega las siluetas de cajas, latas y bolsita como las que menciona el problema,
para que simulen el pesaje de los objetos que se indican y puedan establecer
relaciones entre ellas.
Luego,rétalos arepresentarsusoluciónmediantesimbolosoformasgeométricas.
Presenta el problema garantizando que todos los estudiantes lean:
RELACIONAR PARA DESCUBRIR
Un buen detective, además de ser un gran observador, debe saber
relacionar sus pistas y elaborar conclusiones. ¿Te pones a prueba?
1. Qué objetos del primer platillo se equilibran con el segundo platillo?
2. ¿Cuánto pesa la bolsita?
2.a
fase. Orientación dirigida
Orienta el diálogo sobre el juego, ¿en qué consistió el
juego? ¿Qué cambió en los niños que visitaron a las
parejas? ¿Cómo puedes representar el juego usando el
geoplano?
Representan en el geoplano la ubicación de las parejas
que no se mueven, con ligas de un color. También
representan cada parada de los niños que preguntan,
con ligas de otro color, de manera que se marque su
recorrido.
Se tomarán en cuenta las fases de aprendizaje de Van Hiele para orientar el proceso de
aprendizaje de la geometría.
1.a
fase. Discernimiento o información
Los estudiantes se familiarizan con el juego y dialogan sobre lo que están aprendiendo,
sobre sus habilidades y conocimientos puestos en juego.
Ya en el aula, reciben los materiales (bloques lógicos, poliedros desarmables, geoplano,
cuadrículas, regla), los observan y dialogan sobre la utilidad que podrían darle.
Se espera que los
estudiantes digan
con sus propias
palabras que el
único cambio que se
produjo fue que los
niños se trasladaron
sucesivamente de un
lugar a otro.
3.3 Orientaciones para el desarrollo
de la competencia: Actúa y piensa
matemáticamente en situaciones de forma,
movimiento y localización
3.3.1 Estrategias didácticas
1. Juego “¿tiene mantequilla?… en la otra esquinilla”, para
realizar traslaciones
Descripción
El juego consiste en que dieciocho niños en parejas se distribuyen formando un cuadrado,
en una parte del patio. Otra pareja de niños que la denominaremos “A” que no forma parte
del cuadrado, pregunta a una pareja de niños que forma el cuadrado : “¿tiene mantequilla?”
y esta pareja responde: “en la otra esquinilla”; en ese momento la pareja “A” se separa y uno
de ellos avanza en sentido de las agujas del reloj y el otro niño avanza en sentido contrario.
La ronda termina cuando se juntan los dos niños nuevamente. Gana el juego el que logró
preguntar a más parejas que forman el cuadrado. Se intercambian los roles con otra pareja
y el juego se repite algunas veces más.
El propósito de esta actividad es que los estudiantes matematicen situaciones al identificar
características y condiciones de los objetos, expresándolos en una figura que se traslada
usando material concreto y una cuadrícula.
¿Qué necesitamos?
Bloques lógicos, poliedros desarmables, geoplano, cuadrículas, regla.
Seis cajas se equilibran con tres latas.
Gráfico de
disposición de
los niños en el
patio
pareja A

124 125
4.a
fase. Orientación libre
Realizan otras experiencias de traslación
con objetos en la cuadrícula.
Ejemplo:
Hacen volar su cometa, observan y
expresan lo que pasa con ella.
Representan lo observado en el
geoplano con un punto.
Grafican la cometa en la cuadrícula
e identifican con una letra mayúscula
todos los puntos a trasladar.
Determinan el desplazamiento. Por ejemplo: 5
Es decir cada punto de la cometa se traslada 5 hacia abajo.
Grafica la cometa en su nueva ubicación y completa los puntos a los que ha
sido trasladada. Ejemplo: A A, B …, C …, D ….
Orienta la observación y explicación de las traslaciones representadas en el
geoplano y cuadrícula con apoyo de preguntas como: ¿hacia qué lado se ha
trasladado la cometa? ¿Cuántos cuadraditos se han trasladado?, etc.
En la traslación o
desplazamiento
se conservan las
características de tamaño
y forma de los objetos
porque solo cambian de
lugar.
Ahora representamos en la cuadrícula,
la ubicación inicial y el movimiento de los
niños Susy y Mario.
Representamos a Susy con una línea
verde y a Mario con una línea roja, el
desplazamiento que realizaron.
3.a
fase. Explicitación
Observamos y explicamos cómo
se ha movido cada uno.
Ejemplo:
Susy avanzó hacia adelante 8 pasos y hacia su derecha 4 pasos y Mario avanzó
5 pasos hacia adelante y 8 pasos hacia su izquierda.
Simboliza la traslación:
1.a
fase: Exploración, los estudiantes en esta fase salen a observar sin mayores
indicaciones del docente, se familiarizan con los materiales, esto permite concentrarse
exclusivamente en lo que hacen y también descubrir propiedades matemáticas.
5.a
fase. Integración
Considerando que en esta fase los estudiantes están preparados para asimilar el
nombre matemático de los objetos, así como para entender los signos, los símbolos y las
operaciones que hasta el momento han sido trabajados pero no dichos explícitamente,
conceptualizaremos la noción de traslación con la participación de los estudiantes.
La traslación es el movimiento que se hace al desplazar
o deslizar una figura en línea recta sin cambio de
orientación, manteniendo su forma y tamaño.
Pasos de la estrategia para aprender según Van Hiele
B
C
D
A’
B’
A
¡Hay poco viento, mi
cometa se está cayendo!
Susy: 8 4
Mario: 5 8
5
2. Construyendo la noción de superficie y área de un
rectángulo con los pasos de Van Hiele
Descripción
En esta actividad los estudiantes a partir de la vivenciación, mediante el cubrimiento de
superficies de diversos objetos con diferentes unidades de medida convencionales y no
convencionales, usando diferentes materiales, comprenderán la noción de superficie y
área y calcularán superficies rectangulares. El conjunto de las actividades propuestas
usando los pasos propuestos por Van Hiele permitirá construir la noción de superficie y
área con unidades arbitrarias y convencionales.
Con esta actividad el estudiante tendrá oportunidad de matematizar situaciones al
identificar características de los objetos de su entorno y lo expresa en un modelo basado
en rectángulos; comunicará y representará ideas matemáticas referidas al rectángulo
al representar en forma concreta y gráfica diferentes superficies, utilizando material
concreto como unidades de medida. Además elaboran y usan estrategias al usar
unidades patrón como los cubitos para cubrir su superficie y determinar el área y en
este proceso también se propiciará que razonen y argumenten al elaborar conjeturas
sobre sus procedimientos de cálculo para medir la superficie de las figuras y finalmente
expresarán el proceso vivido, justificando y argumentando sus respuestas.
¿Qué necesitamos?
Papel periódico, hojas bond, cuadrados de cartulina, poliedros desarmables, geoplano,
regletas de colores, Base diez
Papel cuadriculado, escuadra, regla.

126 127
Proporciona a cada grupo de estudiantes, hojas de papeles periódicos,
cuadrados de cartulina del tamaño de una loseta. Los estudiantes organizados
en grupo salen fuera del aula con la misión de observar los espacios u objetos de
la escuela y cómo estos son cubiertas por losetas, papeles decorativos, papeles
lustres, adobes, etc.
Es importante que verbalicen y describan lo que han observado, aunque estas
observaciones sean imprecisas que es característico de este nivel de pensamiento
geométrico, los estudiantes captarán varios indicios como por ej, “se parece a…
“, “tiene la forma de…”, “es como…”, porque tienen limitaciones para describirlas
con propiedades matemáticas. Es una etapa de reconocimiento.
Se espera que los estudiantes puedan usar los materiales para cubrir las
superficies de los objetos y puedan estimar la cantidad de papeles o losetas que
necesitarían, por ejemplo, para cubrir el mural o el aula, es decir, calcular el área
de la superficie en unidades arbitrarias.
2.a
fase: Orientación dirigida, en esta fase, se propone una secuencia graduada de
actividades a realizar y explorar, y se establecen las normas y reglas orientadas para la
construcción de las ideas matemáticas. Las actividades deben ser variadas, ya que el
concepto y los procesos no se construyen de la misma manera y a igual velocidad en
todos los estudiantes.
En este caso se proponen las siguientes actividades:
Solicita a los niños que seleccionen uno de los objetos encontrados como por
ejemplo: la pizarra, el mural de la escuela, la puerta, una pared, el piso, etc. y este
sea cubierto con distintas unidades patrón y calculen el área. Así por ejemplo,
podrían medir la superficie de la pizarra usando hojas periódicos, hojas bond y
papeles o cartulinas cuadradas o los cuadrados de los poliedros desarmables.
Indicar además que la medida no será exacta, así que podrían expresar la
medida de esta manera: 8 hojas y un poco más o 8 hojas y la mitad de una hoja o
casi la mitad de una hoja, etc. También se podría reflexionar sobre cual figura nos
puede proporcionar un cálculo más exacto si los rectángulos o los cuadrados.
3.a
fase: Explicitación, una vez realizadas las experiencias, los estudiantes expresan sus
resultados y comentarios. Durante esta fase se estructuran en esquemas o gráficos el
sistemaderelacioneshalladas,yseesperaqueutilicenlenguajematemáticoapropiado.
Pregunta a los estudiantes las características del rectángulo. Se espera que
reconozcan que el rectángulo tiene dos pares de lados paralelos y que un par es
más largo que el otro par y que además estos lados paralelos son iguales.
A partir del cubrimiento de las superficies con diferentes objetos como las hojas,
cuadrados de los poliedros o con las cartulinas cuadradas, se han realizado
acciones para cubrir la superficie y dicha acción es medir la superficie y a este
resultado le denominamos área. También hay que ayudarles a precisar que
los resultados de dicha medida se expresan con un número acompañado de la
unidad patrón que sirvió para medir, por ejemplo si midió con papeles, la medida
será: el área de la pizarra es un poco más de 8 hojas, el área del rectángulo mide
8 cuadraditos o 20 cubitos, etc.
Esas medidas podrían ser expresadas en una tabla.
Las piezas de los poliedros desarmables, podrían
actuar como unidades patrón y cubrir superficies.
Un cuadrado representa la unidad
de medida, entonces la cantidad de
cuadrados al interior del rectángulo
representan la medida del área.
Un cubito de 1 cm de lado representa
un centímetro cuadrado, entonces
la cantidad de cubitos es el área del
rectángulo.
Propicia que los niños representen uno de los objetos encontrados, en el geoplano
y luego en un papel. A partir de esta representación realizada por los estudiantes,
solicite que cuenten los cuadrados al interior del geoplano y esta será la medida
del área. También solicita que dibujen en un papel en blanco la figura y luego
esta que sea cubierta con cubitos del material Base Diez o con las regletas de
Cuisenaire y puedan así primero estimar la cantidad de cubitos que cubren la
superficie (al ojo) y luego calculen el área verificando su estimación con los cubitos
o las regletas.
Objeto a medir
su superficie
Unidad patrón
usada
Medida (área de
la superficie)
Respuesta
Carpeta Cuadrados (de
los poliedros)
25 cuadrados
25
El área de la carpeta
es 25
16 cm de lado

128 129
4.a
fase: Orientación libre, los estudiantes podrán aplicar los conocimientos adquiridos
de forma significativa en situaciones distintas a la presentadas, pero con estructura
comparable. Esta fase proporciona la práctica adecuada para aplicar los conceptos
adquiridos que han sido construidos.
Plantea a los estudiantes cubrir superficies, por ejemplo: deseas cubrir el mural
del salón con banderitas, ¿cuántas banderitas necesitarás?
Y si deseas cubrir la portada de tu cuaderno con cuadrados de colores, ¿cuántos
cuadrados necesitarías?
Presenta actividades en el geoplano y en cuadrículas para hallar el área de
rectángulos y otras figuras que impliquen calcular el área en unidades cuadradas
y en centímetros cuadrados.
Solicita que construyan superficies cuya medida sean 20, 22, 23, 24 y 25
cuadraditos. Pregunta en qué casos son rectángulos y en qué otros casos son
otro tipo de figura.
En estas figuras, en qué caso puedes hallar el área contando o descomponiendo
la figura para convertirla en rectángulo.
5.a
fase: Integración, considerando que en esta fase los estudiantes están preparados
para asimilar el nombre matemático de los objetos, así como para entender los signos,
los símbolos y las operaciones que hasta el momento han sido trabajados pero no
dichos explícitamente, conceptualizaremos la noción de superficie y área.
En este caso planteamos preguntas para que los niños planteen conjeturas sobre
los procedimientos empleados para calcular la superficie de un objeto y de una
figura, ¿será lo mismo medir la superficie o calcular el área de la superficie de un
objeto real? ¿será lo mismo calcular el área en el geoplano o en una cuadrícula
con medidas específicas?
¿Cómopodríangeneralizarparacalculareláreadesuperficiesrectangulares?¿Qué
estrategias utilizarán? En este caso se espera que los estudiantes usen diferentes
estrategias para calcular el área: contando cuadraditos o unidades patrón,
completando una figura para convertirla en rectángulo o expresando la solución
en una multiplicación.
Por ejemplo, en este caso, el paralelogramo está compuesto por un rectángulo
y dos triángulos, uno de los cuales pasa a completar una parte para formar el
rectángulo.
Aplicación de la estrategia:
Dibujen en un papel cuadriculado estas dos figuras, de tal
manera que tengan la misma altura y el mismo largo. ¿Quién
tiene mayor área?
Largo
Altura

130 131
3. Estrategias con dobleces de papel
Descripción
Haciendo dobleces al papel podemos construir variados objetos, animales o personas y
desarrollar o aplicar muchas ideas y conceptos matemáticos. También con esta entretenida
actividad podemos desarrollar la psicomotricidad fina así como la percepción espacial y
otras habilidades como saber escuchar indicaciones.
El propósito es que los estudiantes desarrollen las capacidades de: comunicar y representar
ideas matemáticas al describir las características de los cuadrados según su número de
lados, vértices, lados paralelos y perpendiculares; elaborar y usar estrategias al construir
cuadradosusandoreglayescuadras;yrazonaryargumentargenerandoideasmatemáticas
sobre las características del cuadrado y justificando sus conjeturas y procedimientos.
Procedimiento 2: cortar el romboide para formar un rectángulo.
Procedimiento 3: medir los lados de la figura y expresar el área con un producto
de factores.
16cmdelado
20 cm de lado
• Construyan un cuadrado solo doblando el papel,
sin usar regla ni tijera. Teniendo en cuenta las
siguientes preguntas: ¿Cuántos lados son?,
¿cómo son los lados?, ¿tienen lados paralelos?,
¿cuáles son?, ¿porqué son lados paralelos?, ¿y
lados perpendiculares?, ¿cuántos?, ¿por qué son
lados perpendiculares?
• Enotrahojaconstruyanuncuadradousandoregla
y tijera. Compara con la forma de construcción
anterior.
• Argumentar usando como apoyo sus construcciones. ¿Cómo estás seguro que es
un cuadrado? ¿Y estas figuras pueden ser cuadrados? (muestra un rectángulo,
un trapecio)?, ¿por qué? ¿Y estas figuras son cuadrados? (muestra figuras de
cuadrados de diferente tamaño y en diferente posición).
1 2
3 4
Los estudiantes para desarrollar la actividad podrían desarrollar los siguientes
procedimientos:
Procedimiento 1: cubrir las figuras con regletas de colores.
16 cm 20 cm = 320 cm2

132 133
• Analiza las características y formas de las piezas del tangram: ¿cuántas piezas
tiene el tangram?, ¿qué formas tienen dichas piezas?. Pide que expliquen la
relación entre los elementos: ¿cuántos lados tiene cada pieza?, ¿podemos
construir otras formas utlizando estas piezas?
Con las piezas del tangram construye lo siguiente:
a. Un cuadrado con dos piezas.
b. Un cuadrado con todas las piezas.
d. Unrectángulocon5piezas.
c. Rectángulos con solo 3 piezas.
e. Unrectángulocontodaslaspiezas.
f. Dostrapecioscontodaslaspiezas.
Estas estrategias
de manipulación y
experimentación son
también de carácter lúdico
y podrían constituirse
en proyectos o en una
secuencia de actividades
para construir diversos
conceptos matemáticos
como fracción, área,
perímetro, composición de
figuras.
4. Estrategias usando el tangram
Descripción
Haciendo uso del tangram podemos construir variados objetos, animales o personas
y desarrollar o aplicar muchas ideas y conceptos matemáticos como superficies,
perímetros, etc.
El propósito es que los estudiantes desarrollen las capacidades de comunicar y
representar ideas matemáticas al representar en forma concreta diferentes rectángulos,
cuadrados, romboides con el modelo ausente y describir sus características; elaborar
y usar estrategias al emplear el tangram, regla y escuadras para construir y dibujar
figuras geométricas; razonar y argumentar generando ideas matemáticas al elaborar
conjeturas sobre las características comunes de los cuadrados, rectángulos y trapecios.
1: Construyendo polígonos
• Construye el tangram a partir de una hoja cuadrada en papel cuadriculado, según
el modelo y luego describan las características y relaciones entre las piezas.
Una vez
construidas las
figuras, realiza
preguntas sobre
las características
de los cuadrados,
rectángulos y
trapecios para
que comuniquen y
representen ideas
matemáticas.
Descripción:
La resolución de problemas estadísticos no se limita al uso de tablas o gráficos o al
mero recojo de información sin ningún propósito, sino que puede ser considerado
como un proceso completo que va desde la definición de un tema de estudio y las
preguntas apropiadas para el tema, hasta la interpretación de los resultados y la toma
de decisiones. Un ejemplo de este proceso se plantea en GISE (2007), que considera
cuatro pasos que podemos adoptar como estrategias didáctica para plantear y resolver
problemas de gestión de datos:
Paso 1: Formular preguntas, que implica aclarar el problema en cuestión y formular una
o más preguntas que pueden ser respondidas con datos.
Paso 2: Recopilar datos, que implica diseñar un plan para recopilar datos apropiados
al problema en cuestión y emplear el plan para recoger los datos.
Paso 3: Análisis de datos, que implica seleccionar una gráfica o métodos numéricos
apropiados y utilizar estos métodos para analizar los datos.
Paso 4: Interpretar resultados, que implica comprender los resultados del análisis y
relacionarlos con el problema planteado, tomar decisiones si fuera el caso y comunicar
la información obtenida.
3.4 Orientaciones para el desarrollo de la
competencia: Actúa y piensa matemáticamente
en situaciones de gestión de datos e
incertidumbre
3.4.1 Situaciones de gestión de datos
1 Guidelines for assessment and instruction in statistics education (GAISE) report: a pre-k–12 curriculum
framework / Authors, Christine Franklin. 2007 by American Statistical Association Alexandria,
El propósito de esta estrategia es que los estudiantes matematicen situaciones al
plantear relaciones entre los datos cualitativos, expresándolos en tablas y gráficos de
barras. Comunican y representan al proponer preguntas adecuadas para obtener los
datos necesarios que se necesitan para la resolución del problema y para el tema en
estudio. Asimismo, se espera que elaboren y usen estrategias de recolección de datos
como la aplicación directa de encuestas. La resolución del problema estadístico continúa
con la elaboración de tablas de frecuencia, tablas de doble entrada, para modelar el
problema presentado. Finalmente, se espera que desarrollen su capacidad de razonar y
argumentar, al hacer algunos supuestos o conclusiones sobre la información obtenida.

134 135
Se recomienda realizar esta actividad a través del trabajo en grupos con un plan que
comprende un conjunto de tareas, organizadas y secuenciadas con el objetivo de
resolver el problema o una tarea específica.
Es necesario ayudar a los estudiantes a identificar las etapas que se requieren para
llegar a la solución, generar un ambiente de confianza y participación.
Es conveniente propiciar este tipo de actividad en el aula cuando se va a desarrollar
algún tema relacionado con el área curricular de Ciencia y Ambiente o que pudiera ser
sobre datos curiosos de los animales o sobre el cuidado del ambiente para realizar el
estudio completo y con el conocimiento necesario.
¿Qué necesitamos?
Hojas con las tablas de conteo para registrar las respuestas o con las fichas de
encuesta.
Paso 1. Formular preguntas
El docente y los niños conversan sobre el problema de interés y plantean preguntas que
pueden hacer a las personas que visitan el zoológico:
Antes de plantear las preguntas, el docente
propicia la conversación sobre los datos que
se necesitan para resolver el problema. ¿Qué
queremos saber? ¿qué preguntaremos?
¿Preguntaremos sobre los animales que hay
en el zoológico o sobre cualquier animal?
¿Cuál es la pregunta más clara?, ¿la más
corta? ¿Cuál se entiende mejor?
¿Cómo nos organizamos?
Los estudiantes de cuarto grado
irán al Parque de las Leyendas
y quieren saber qué saben las
personas que visitan el zoológico
sobre la especie de animal que
tienen más tiempo de vida. Y si
saben cuántos años viven estos
animales.
¿Qué animal
es el que más
años vive?
¡Yo creo
que es el
elefante!
Veamos cómo utilizamos la estrategia en un problema de contexto social. Los niños y niñas hacen preguntas relevantes para recoger datos relacionados
con el tema de estudio y aportan con sugerencias a las preguntas formuladas
por sus compañeros.
Eldocentepropiciaquesehaganensayosderealizarlaspreguntasyresponderlas.
De esa manera, se verifica si la pregunta está bien hecha y si las respuestas son
las que se esperan.
Paso 2. Recopilar datos
Los niños diseñan un plan para recopilar datos según las preguntas que han elaborado
relacionadas al animal más longevo y su edad:
Eldocentepropiciaquelosestudiantespreparenfichasparaquecadaentrevistado
escriba sus respuestas, es decir, que el recojo de datos se hará por medio de
recursos escritos. Otra forma de recoger datos es con preguntas orales. Para ello,
se preparan tablas de conteo en las que el estudiante registre las respuesta de
sus entrevistados.
Para la elaboración de los instrumentos de recolección de datos, los estudiantes
construyen nociones de variable y tipos de datos, a través de las siguiente
preguntas:
¿Las preguntas que van a realizar tienen respuestas de un mismo tipo?
¿cuántos tipos de respuesta hay? ¿Cómo las clasificarías? ¿Las respuestas son
numéricas o no? ¿qué tipos de datos estamos recogiendo?
Para la elaboración de las fichas o de las tablas de registro se necesita que
los estudiantes identifiquen los dos tipos de datos y los rotulen. Por ejemplo:
“Nombres de animales”. “Sabe cuántos años vive”, etc.
El siguiente modelo de ficha y el de tabla puede servir como pauta:
Paso 3. Análisis de datos
Proponen ideas para organizar los datos y deciden cuál es la mejor forma de
organizarlos para realizar el análisis deseado.
El docente orienta a cada grupo para que elaboren dos tablas de frecuencia:
la primera para la especie de animal y su frecuencia; y la segunda para las
respuestas “sí” y “no”, y su frecuencia. Luego realizan el conteo y completan las
tablas.
1. ¿Qué animal del zoológico es
el que vive más años?
Nombre:
2. ¿Sabe cuántos años vive?
Marca.
Sí: No:
Nombre del
animal
¿Sabes cuántos
años vive?

136 137
Deben considerar todos los elementos de la tabla: tipos de datos, título, cómo
registrar el conteo, la frecuencia y los totales. Presentamos algunos modelos que
los estudiantes pueden adecuar:
Es importante que comprueben que el total de fichas corresponde al total de
animales registrados en la tabla de frecuencias.
Discuten si puede poner ambos tipos de datos en un mismo gráfico. Si no es así,
cómo lo harían. El docente guía la elaboración de dos gráficos de barras que nos
permitan obtener la información que necesitamos.
Para la elaboración del gráfico de barras el docente debe tener en cuenta lo
siguiente:
Anotar los elementos del gráfico: títulos, leyenda, ejes con datos y escalas.
Elegir el gráfico adecuado a la información que se quiere presentar.
Poner los datos en los ejes vertical y horizontal, muy claros.
Comunican y representan, en un gráfico de barras la información registrada en
la tabla. La ventaja del gráfico de barras frente a la tabla es que los resultados se
visualizan fácilmente.
Determinan el dato que tiene mayor frecuencia y describen qué especie de animal
es el que más personas consideran que tienen mayor tiempo de vida. Construyen
la noción de moda:
La moda es el dato que tiene mayor frecuencia.
La moda representa un conjunto de datos.
Paso 4. Interpretar resultados
El docente propicia que los estudiantes den respuesta a la interrogante que se
plantearon desde el principio. En este caso querían conocer lo que sabían las
personas sobre el animal que tiene más tiempo de vida, es decir, que puede vivir
más años.
Tipo de animal Frecuencias
TÍTULO:
Respuestas Frecuencias
SÍ
NO
TÍTULO:
Título
Barras
Eje horizontal
Valores de
la variable
cualitativa
Eje vertical
Númerodepersonas
El animal más longevo
Animales
Tortuga Elefante Mono Jirafa León
30
25
20
10
5
El docente guía a los estudiantes para que relacionen la moda con la pregunta
planteada. Es importante comparar los resultados de cada grupo y discutir por
qué hay una diferencia. Esto implica darse cuenta que la moda representa un
conjunto de datos. Si el conjunto de datos cambia, la moda también puede
cambiar.
Los estudiantes reflexionan y comentan a través de algunas preguntas. Por
ejemplo:
Antes de realizar la investigación, ¿sabían si las personas que visitan el
zoológico conocían cuál es la especie de animal que tiene mayor tiempo de
vida? ¿para qué nos interesaba saber si conocían cuántos años podrían vivir
estas especies?
La información que hemos recogido nos dice cuál es la especie que tiene
mayor tiempo de vida?, ¿o nos muestra lo que creen las personas? ¿Cuál es la
diferencia?
Comparan los datos reales que pueden obtener de algún texto o de internet, con
los resultados de las encuestas y sacan conclusiones acerca de lo bien o mal
informadas que están las personas, si leen con atención las descripciones que
están en las jaulas de los animales que visitan, etc.
Es muy importante que los estudiantes repasen el proceso que realizaron para
desarrollar su investigación:
¿Cómohicieronparasaberquédatosnecesitabanycómolosibanaconseguir?
¿Cómo recolectaron los datos? ¿Cómo los organizaron? ¿Cómo los
representaron? ¿Les fue útil esta representación? ¿Por qué?
¿Todos los grupos trabajaron con los mismos datos? ¿Comprobaste los
resultados? ¿A tus compañeros y compañeras de grupo les salió igual? ¿Por
qué?
Evalúan la importancia de la estadística en el estudio de una situación concreta
de su realidad.
La investigación que han realizado sobre lo que saben las personas de los
animales, ¿les ha servido? ¿Para qué? ¿Qué acciones podemos tomar?
Descripción de la estrategia
Esta estrategia permitirá que los estudiantes se enfrenten a problemas y situaciones
de azar con material concreto como bolas de colores, dados, monedas, etc. en las
que estudien la posibilidad o imposibilidad de ocurrencia de sucesos. Se aplicará
una adaptación de los pasos de Zoltan Dienes a fin de motivar el aprendizaje de la
matemática mediante el juego.
El propósito es que los estudiantes analicen en una situación aleatoria propuesta la
posibilidad o imposibilidad de ocurrencia de sucesos, sustentando sus respuestas en
la ocurrencia del suceso. También señalarán algunos posibles sucesos de esta, siendo
3.4.2 Juegos para usar la probabilidad

138 139
capaz de seleccionar entre ellos el que tiene más probabilidad de suceder y lo explica
demostrando que comprende el significado de la probabilidad; y razonen y argumenten
al explicar sus procedimientos y resultados.
Paso 1. Juego libre
Los estudiantes se familiarizarán con los materiales e irán descubriendo en estos las
propiedades matemáticas.
Paso 2. Juego orientado
Esta actividad será dirigida. Se establecerán las reglas de juego según lo que se
pretenda lograr.
Paso 3. Abstracción
Los estudiantes observarán la regularidad en el juego y las relaciones matemáticas
involucradas, o crearán otros juegos con estructura parecida al anterior.
Paso 4. Representación
Serepresentarálaregularidadolasrelacionesmatemáticasenungráficoounesquema.
Se pedirá a los estudiantes que describan el proceso y sus representaciones; primero,
usando lenguaje coloquial y, luego, reemplazando algunos términos por lenguaje
matemático.
Paso 5. Generalización
El docente orientará la introducción de las relaciones y propiedades matemáticas
y construye los significados a partir de las elaboraciones de los estudiantes. Ellos
expondrán lo aprendido de manera segura usando lenguaje matemático y lo aplicarán
en otras situaciones. Así también, estudiarán las propiedades de la representación y las
relaciones matemáticas.
Con esta estrategia, los estudiantes desarrollarán habilidades para identificar sucesos
que dependen del azar y a reconocer cuándo un suceso es seguro, posible e imposible
que suceda, a través de la práctica concreta. Se organizarán en grupos de cuatro.
Simulan una carrera de mulitas, cada una tendrá un número del 1 al 12.
Materiales
Dos dados cúbicos,
fichas o botones de
distinto color para cada
jugador, cartilla como
la que mostramos para
registrar los resultados.
Meta
Juego 1: ¡Carrera de mulitas!
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Paso 1. Juego libre
Previamente, los estudiantes manipulan libremente los dados y reconocen sus
características. Por ejemplo, mencionarán que el dado tiene seis caras iguales de forma
cuadrada y los números del 1 al 6.
Luego, hacerles algunas preguntas para introducirles la noción de “aleatorio”:
a. ¿Han jugado alguna vez con un dado? ¿cuándo? ¿qué estaban jugando? Explica
cómo era el juego.
b. Al lanzar un dado, ¿saben que número saldrá?
c. ¿En cuáles de las siguientes experiencias no se puede saber el resultado con
anticipación?
Paso 2. Juego orientado
Se presentarán las reglas para jugar:
1. Eligen sus mulitas, cada jugador elige el número de 3 mulitas que corresponden
a la suma que consideran que saldrá más veces al lanzar los dos dados.
2. Deciden los turnos al azar, lanzan un dado y el que obtiene el número mayor,
inicia el juego. Se continúa el juego por la derecha.
3. Cada jugador apuesta por tres valores del 1 al 12 y colocan sus fichas en el tablero,
en el lugar de las mulitas que le corresponde.
4. Un valor no puede ser elegido por dos jugadores. Si no se ponen de acuerdo se
decide a la suerte. Se vuelve a lanzar un dado para decidir quién tiene la primera
opción de elegir sus 3 mulitas.
5. En cada ronda, un jugador lanza el dado y avanza el casillero correspondiente a
la suma obtenida, sea o no, la que él ha apostado.
6. Gana el que primero llega a la meta.
Pueden realizar el mismo juego ingresando a la siguiente dirección.
http://www3.gobiernodecanarias.org/medusa/agrega/visualizador-1/es/pode/presentacion/
visualizadorSinSecuencia/visualizar-datos.jsp
Aleatorio o no aleatorio
Lanzar una moneda y adivinar si sale cara o sello.
Si hoy es martes, decir qué día es mañana.
Sacar una bola roja de una bolsa que contiene 3 bolas rojas, 2
amarillas y 1 azul.
Lanzar dos dados y saber cuánto suman los puntos obtenidos.
Identifica los siguientes sucesos como seguro, posible e imposible que suceda, al lanzar
un dado:
a. Obtener 5. SEGURO POSIBLE IMPOSIBLE
b. Obtener un número menor que 7. SEGURO POSIBLE IMPOSIBLE
c. Obtener un número par. SEGURO POSIBLE IMPOSIBLE
d. Obtener un número mayor que 6. SEGURO POSIBLE IMPOSIBLE
Cuando un
resultado
depende de
la “suerte“,
el azar, se
dice que es
“aleatorio”.

140 141
Paso 3. Abstracción
Se establecerán las relaciones matemáticas y se formularán preguntas:
a. ¿Qué suma ha ganado?, ¿por qué creen que ha ganado?
b. ¿Qué sumas son las que más han salido?, ¿por qué?
c. ¿Qué sumas no han salido?
d. ¿Apostarías por la misma mulita en el próximo juego? ¿por qué?
Paso 4. Representación
Los estudiantes jugarán varias veces, volviendo a hacer sus
apuestas, eligen nuevamente sus mulitas. A partir del segundo
juego, pueden elegir 2 mulitas, quedando algunas sin ser
elegidas. Luego representarán las combinaciones que hallaron.
Por ejemplo, en una tabla se hallan las sumas que se obtienen
al lanzar los dos dados. Es posible que durante el juego ya se
hayan percatado que hay más ventaja al apostar por algunos
números, y que el 7 se tiene mayor probabilidad de ganar.
Mientras que al apostar por el 2 o el 12 hay muy pocas probabilidades y con el 1 no se
tiene ninguna probabilidad, ya que es una situación imposible que suceda.
Los estudiantes explicarán sus representaciones en lenguaje coloquial, para luego
introducirtérminosenlenguajematemático,enestecaso,el7tienelamayorprobabilidad
(6 opciones) de ganar porque:
Paso 5. Generalización
El docente deberá orientar a los estudiantes para que reconozcan que la probabilidad
se rige por el azar, pero que nos indica la mayor o menor posibilidad que un suceso
ocurra. Ahora el estudiante está en capacidad de hacer un estudio matemático cada
vez que tenga que dar su pronóstico a situaciones que dependen del azar. En este
caso, puede hacer un análisis más preciso, por ejemplo:
Señala los casos favorables, los casos posibles e indica la probabilidad como: poco
probable, probable, muy probable que suceda al lanzar dos dados.
Reforzar los conocimientos con las siguientes preguntas:
Si vuelves a jugar, ¿cuáles son los dos 2 valores que escogerías? ¿Por qué?
¿Cuáles son los dos valores que no escogerías? ¿Por qué?
Si juegas con el 7, ¿estás seguro que ganarás? Explica por qué.
+ 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
1 + 6 = 7, 2 + 5 = 7, 3 + 4 = 7,
6 + 1 = 7, 5 + 2 = 7, 4 + 3 = 7
Usar dados de colores diferentes
para que el estudiante entienda
porque 1 + 6 = 7 y 6 + 1 = 7 son
opciones diferentes.
Suma Casos favorables Probabilidad
2 1 Poco probable
3 2
4
5
6
7
8
9
3.4.3 Uso de materiales manipulativos
Los materiales concretos no estructurados cobran especial relevancia en el estudio de la
probabilidad. Para los experimentos aleatorios existen materiales comúnmente conocidos
que profesores y estudiantes pueden elaborar. Por ejemplo:
Dados: Cualquier objeto que presente un número finito de posiciones distintas,
como “trompos”, monedas, fichas bicolores, etc.
Bolas en urnas: cualquier colección de objetos (fichas, cartas, regletas, bloques,
etc.) que se puedan mezclar antes de extraer de una urna, caja, etc., de modo
que todas tengan la misma posibilidad de salir.
La diferencia con el caso anterior es que permite, por un lado introducir el número
de elementos diferentes que se desee, en lugar de estar restringido a un número
dado de elementos. Por otro lado, la mayor o menor proporción de elementos
de cada tipo en la urna permite cambiar a voluntad las probabilidades de los
distintos sucesos elementales.
Ruletas u otro dispositivo que permita plantear problemas de probabilidades
geométricas: pueden servir las ruletas construidas con cartulina por los propios
estudiantes, con áreas rayadas de formas diversas. Como eje de giro de estas
ruletas puede utilizarse un lápiz y como aguja un clip sujetapapeles desplegado
por uno de sus laterales.

142 143
Referencias bibliográficas
BATANERO, C. (2001). Los retos de la cultura estadística. Granada: Universidad de Granada. Recuperado
de: http://www.s-a-e.org.ar/losretos.pdf
BUTTO, C; ROJANO, T. (2004). Introducción temprana al pensamiento algebraico: abordaje basado en la
geometría. Educación Matemática, abril, 113-148. Fecha de consulta: 20/01/2015. http://www.redalyc.
org/articulo.oa?id=40516105
BRESSAN, A. y BOGISIC, B.E (1996). Las regularidades: fuente de aprendizajes matemáticos. Consejo
Provincial de Educación. Argentina. . Fecha de consulta: 20/01/2015. http://www.gpdmatematica.org.
ar/publicaciones/diseno_desarrollo/matematica3.pdf
BRESSAN, A.; ZOLKOWER, B. y GALLEGO, M.F. (2004). La educación matemática realista. Principios en
que se sustenta. Escuela de invierno en Didáctica de la Matemática. Fecha de consulta: 20/01/2015 en:
http://www.gpdmatematica.org.ar/publicaciones/articulo_escuela_invierno2.pdf
BAROODY, A.J. ( 2000 ). El pensamiento matemático de los niños. Madrid: Aprendizaje Visor.
CASTRO, E. (Editor) (2001). Didáctica de la matemática en la Educación Primaria. España: Editorial
Síntesis, S.A.
CASTRO, E.; RICO, L. y CASTRO, E. (1995). Estructuras aritméticas elementales y su modelización. Bogotá:
Editorial Iberoamérica. Fecha de consulta: 20/01/2015 en: http://cumbia.ath.cx:591/pna/Archivos/
CastroE95-2939.PDF
CALLEJO DE LA VEGA, María. (2000). Educación matemática y ciudadanía. Propuestas desde los derechos
humanos. Santo Domingo: Centro Poveda. Fecha de consulta: 26/12/2014 http://www.centropoveda.
org/IMG/pdf/matematicasDDHH.pdf
CANTORAL, R. y FARFÁN, R. M. (2005). “Matemática educativa”. Conversus donde la ciencia se convierte
en cultura. Revista del Instituto Politécnico Nacional, México. Octubre, n.º 44, 26-34.
CHAMORRO, C. (2006). Didáctica de las matemáticas para primaria. Madrid: Editorial Pearson Prentice
Hall.
CABELLO SANTOS, Lili (2006). La enseñanza de la geometría aplicando los modelos de recreación y
reflexión a través de la funcionalidad de materiales educativos. Ponencia presentada en el V Festival
Internacional de Matemáticas.
D´AMORE, B. (2006). Didáctica de la Matemática. Bogotá: Editorial Cooperativa Magisterio.
EQUIPO DE ORIENTACIÓN EDUCATIVA Y PSICOPEDAGÓGICA DE PONFERRADA. (2003). Resolución de
problemas aritméticos en educación primaria. Ponferrada: CFIE de Ponferrada. Fecha de consulta:
26/12/2014. http://www.juntadeandalucia.es/averroes/~cepco3/competencias/mates/primaria/
Resoluci_problemasEOE%20Ponferrada.pdf
FOUZ, F. Modelo de Van Hiele para la didáctica de la geometría. Fecha de consulta: 26/12/2014. http://
www.xtec.cat/~rnolla/Sangaku/SangWEB/PDF/PG-04-05-fouz.pdf
FERNÁNDEZ, J. (2000). Técnicas creativas para la resolución de problemas de matemática. Barcelona:
Cisspráxis.
FERNÁNDEZ, J. (2006). Didáctica de la Matemática en la educación infantil. Barcelona: Grupo Mayéutica-
Educación.
FERNÁNDEZ, K.; GUTIÉRREZ, I.; GÓMEZ, M.; JARAMILLO, L. y OROZCO, M. (2004). “El pensamiento
matemático informal de niños en edad preescolar. Creencias y prácticas de docentes de Barranquilla
(Colombia)”. Revista del Instituto de Estudios Superiores en Educación de la Universidad del Norte. Fecha
de consulta: 26/12/2014. http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=85300503.
FRANKLIN, C. (2007) Guidelines for assessment and instruction in statistics education (GAISE) report: a
pre-k–12 curriculum framework. American Statistical Association Alexandria.
FREUDENTHAL, Hans. (2000). “A mathematician on didactics and curriculum theory”. K. Gravemeijer1 y J.
Teruel. (2000). Curriculum studies, vol. 32, nº. 6, 777- 796.
GARCÍA, J. (1992). Ideas, pautas y estrategias heurísticas para la resolución de problemas. Aula de
Innovación Educativa. [Versión electrónica]. Revista Aula de Innovación Educativa 6.
GAULIN, Claude. (2001). “Tendencias actuales en la resolución de problemas”. Sigma n.º 19. Bilbao.
GODINO, J. (2003). Matemáticas y su didáctica para maestros. Granada, España: Universidad de
Granada. Fecha de consulta: 26/12/2014. http://www.ugr.es/~jgodino/edumat-maestros/
GODINO, J.; FONT, V. y WILHELMI, M. (2006). “Análisis ontosemiótico de una lección sobre la suma y la
resta”. Revista Latinoamericana de Investigación de Matemática Educativa, número especial, 131-155.
Fecha de consulta: 26/12/2014. http://www.ugr.es/~jgodino/funciones-semioticas/analisis_textos_
suma_resta.pdf
GOÑI, J. M. (Coord.). (2011). Didáctica de las matemáticas. Barcelona: Graó.
GUZMÁN, P. (1956). Cómo plantear y resolver problemas. México: Editorial Trillas.
INSTITUTO PERUANO DE EVALUACIÓN Y ACREDITACIÓN DE LA CALIDAD DE LA EDUCACIÓN BÁSICA.
(2012). Mapas de Progreso del Aprendizaje: Matemática: Números y operaciones. Lima: SINEACE-IPEBA.
ISODA, M. y OLFOS, R. (2009). El enfoque de resolución de problemas en la enseñanza de la matemática
a partir del estudio de clases. Valparaíso: Ediciones Universitarias de Valparaíso.
LESH, R. y DOERR, H. (2003).”Foundations of a models and modelling perspective on mathematics
teaching, learning, and problem solving”. LESH, R. y DOERR H. M. (eds.), Beyond constructivism: Models
and modeling perspectives on mathematics problem solving, learning, and teaching, pp. 3-34. New
Jersey: Lawrence Erlbaum Associates, Inc.
MALASPINA, U. (2008). Intuición y rigor en la resolución de problemas de optimización. Un análisis
desde el enfoque ontosemiótico de la cognición e instrucción matemática. Tesis doctoral. Lima: Pontificia
Universidad Católica del Perú.
MINEDU. (2014). Marco del Sistema Curricular Nacional. Tercera versión para el Diálogo. Lima: MINEDU.
MINEDU. (2011). Cómo mejorar el aprendizaje de nuestros estudiantes en matemática. Informe para el
docente de los resultados de la Evaluación Censal a Estudiantes-2011. Lima: MINEDU.
MINISTERIO DE EDUCACIÓN PÚBLICA. (2012). Programas de Estudio de Matemáticas. I y II Ciclo de la
Educación Primaria, III Ciclo de Educación General Básica y Educación Diversificada. San José: Ministerio
de Educación Pública.
NISS M. (2003). “Quantitative Literacy and Mathematical Competencies”. NATIONAL COUNCIL ON
EDUCATION AND THE DISCIPLINES QUANTITATIVE LITERACY. Why Numeracy Matters for Schools and
Colleges. New Jersey: National Council on Education and the Disciplines, pp. 215-220.
NATIONAL COUNCIL OF TEACHERS OF MATHEMATICS. (2003). Principios y estándares para la educación
matemática. Sevilla: Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales.
OECD (2012). Education at a Glance 2012: OECD Indicators. OECD Publishing. Fecha de consulta:
26/12/2014. http://dx.doi.org/10.1787/eag-2012-en
PISA 2012 Mathematics Framework to OECD, November 30, 2010. Fecha de consulta: 26/12/2014. http://
www.oecd.org/pisa/pisaproducts/46961598.pdf
SERRA, T., BATLLE, I. y TORRA, M. (1996). “Experimentos en clase de matemáticas de primaria”. En Revista
UNO. Didáctica de las Matemáticas. N.º 007 - Enero, Febrero, Marzo 1996.
SECRETARÍA DE EDUCACIÓN. (2004). Diseño Curricular para la Escuela Primaria. Educación General
Básica. Buenos Aires: Secretaría de Educación.
SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA. (2011). Programas de Estudio 2011: Guía para el maestro. Educación
Básica para Primaria. México D. F.: Secretaría de Educación Pública.

144 145
Competencia1:Actúaypiensamatemáticamenteensituacionesdecantidad
MatematizasituacionesComunicayrepresentaideasmatemáticasElaborayusaestrategias
matemáticas
Describeunoomáscriteriosparaformary
reagrupargruposysubgrupos.
Expresalaspropiedadesdelosobjetossegúntres
atributos;porejemplo:escuadrado,rojoygrande.
Representalascaracterísticasdelosobjetossegún
tresatributosenundiagramadeárbol,entablas
dedobleentradacontresatributos.
Númerosnaturales:
númerosencontextosdelavidadiaria(medición
condistintasunidades,cálculodetiempoode
dinero,etc.).
Describelacomparaciónyelordendenúmeros
dehastatrescifrasenlarectanuméricayen
tableroposicional,consoporteconcreto.
Elaborarepresentacionesdenúmeroshastatres
cifrasenformavivencial,concreta,pictórica,gráfica
ysimbólica1
.
Númerosnaturales:
Empleaprocedimientosparacontar,estimar,
compararyordenarconnúmerosnaturalesde
hastatrescifras.
Númerosnaturales:
Realizaconjeturasapartirdemásdeuncaso
experimentadouobservadosobrelasrelaciones
deorden,comparaciónopropiedadesentrelos
númerosdetrescifras.
Explicaatravésdeejemploslasdiferentesformas
derepresentarunnúmerodetrescifrasysus
equivalenciasendecenasyunidades.
Tiempoypeso:
Describelaestimaciónocomparacióndeltiempo
deeventosusandounidadesconvencionales
comoaños,meses,horaymediahora.
Leeeinterpretaelcalendario,laagendaylos
relojesenhorasexactasymediahora.
Describelamedidadelpesodeobjetos
expresándoloenkilogramosyunidadesarbitrarias
desucomunidad;porejemplo:manojo,atado,
etc.
Tiempoypeso:
Empleaprocedimientosparamedir,estimar,
compararycalcularequivalencias,yrecursosal
resolverproblemassobreladuracióndeltiempoy
elpesodelosobjetos.
Plantearelacionesentrelosdatos,enproblemas
deunaetapa2
,expresándolosenmodelosde
soluciónaditivaconcantidadesdehastatrescifras.
Empleaunmodelodesoluciónaditivaalresolver
unproblemaocrearunrelatomatemáticoensu
contexto.
Empleaestrategiasheurísticasconsiderando
estableceranalogías,búsquedadepatrones,
entreotros,alresolverunproblemaaditivodeuna
odosetapasconcantidadesymagnitudes(tiempo
ypeso).
Emplealarelacióninversaentrelaadiciónyla
sustracción,suspropiedadesyestrategiasde
cálculoparasumaryrestarconresultadosde
hastatrescifras.
Explicaatravésdeejemplosconapoyoconcretoo
gráfico,lossignificadossobrelasoperacionesde
adiciónysustracciónyloquecomprendesobre
suspropiedades.3
númerosnaturales:
Plantearelacionesentrelosdatosenproblemas4
quecombinenaccionesdeagregar-quitar,
comparar,combinareigualar;expresándolas
enunmodelodesoluciónaditivaconcantidades
hastadetrescifras.
1 Materialconcreto(chapitas,piedritas,BaseDiez,ábaco,yupana,monedasybilletes),dibujos,gráficos(rectanumérica)orepresentaciónsimbólica(números,palabras,composiciónydescomposiciónaditiva,valorposicionalen
centenas,decenasyunidades).
2 (PAEV)Problemasaditivosdecomparación3,4;cambio3y4;igualación1y2,combinación1y2concantidadeshastadetrescifras
3 Explicarsobreelsignificadodelaadición:2+5=7porquesijuntamos2chapitascon5chapitas,hayentotal7chapitas.Enestenivelnoesnecesariohacerexplícitalaspropiedadesconsusnobresmatemáticos,perosiexplicar
porejemploquesumar12+5+10lopuedohaceragrupando12y5yluegosumando10(propiedadasociativa)
4 Problemasaditivosdedosomásetapasquecombinenproblemasdecambio-cambio,cambio-comparación,cambio-igualación,cambio-combinación.
Problemasmultiplicativos
queimpliquen
accionesderepetirunacantidadengruposiguales,
enfilasycolumnas,ocombinardoscantidadesde
hasta100objetos,expresándolosenunmodelode
solucióndemultiplicación.
,queimpliquen
accionesderepartiryagruparencantidadesexactas
ynoexactas,quitarreiteradamenteunacantidad,
combinardoscantidadesdehasta100objetos,
expresándolosenunmodelodesolucióndedivisión,
consoporteconcreto.
,queimpliquen
accionesdeampliaroreducirunacantidad,
expresándolosenunmodelodesolucióndedoble,
triple,mitad,tercia.consoporteconcretoygráfico.
Relacionaunmodelodesoluciónmultiplicativacon
problemasdediversoscontextos.
Elaborarepresentacionesconcreta,pictórica,
gráficaysimbólicadelossignificadosdela
multiplicaciónyladivisiónconnúmeroshasta100
Elaborarepresentacionesconcretas,pictóricas,
gráficasysimbólicasdeldoble,triple,lamitado
terciadeunnúmerodehastatrescifras.
Problemasmultiplicativosconnúmerosnaturales
Empleaestrategiasheurísticascomolasimulación,
ensayoyerrorohacerdibujos,alresolver
problemasmultiplicativos.
Empleapropiedadesyprocedimientosdecálculo
mentalyescritoparamultiplicarconresultados
hasta100.
Empleapropiedadesyprocedimientosdecálculo
mentalyescritoparadividirnúmeroscondivisores
hasta10ydividendoshasta100.
Compruebasuprocedimientooestrategiayelde
suscompañerosy,desernecesario,loreplantea.
Proponeunasecuenciadeaccionesorientadasa
experimentaroresolverunproblema.
Explicaprocedimientosoresultadospropiosode
otros,conapoyoconcretoográfico.
Competencia2:Actúaypiensamatemáticamenteensituacionesderegularidades,equivalenciaycambio
MatematizasituacionesComunicayrepresentaideasmatemáticasElaborayusaestrategiasRazonayargumentagenerandoideasmatemáticas
Patronesderepetición
Plantearelacionesentreloselementosde
problemasderegularidad8
yloexpresaenun
patrónderepeticióngráficoconcriteriodesimetría.
Proponepatronesderepeticióngráficos.
Utilizalenguajematemáticoparaexpresarelcriterio
geométrico(simetría)queintervieneenlaformación
delpatrónderepetición.
Empleaestrategiasorecursoscomoelespejo,
geoplanopararesolverproblemasdepatrones
simétricos.
Elaborasupuestossobrelostérminosqueaúnno
seconocendelpatrónderepeticióngeométricode
simetría.
Patronesaditivos
Identificalaregladeformacióndelosdatosen
problemasderegularidad,expresándolosenun
patrónaditivoconnúmerosdehastatrescifras.
Proponepatronesaditivosconnúmerosdehasta
trescifrasencontextosdiversos.
Patronesaditivos
Empleaprocedimientosdeconteoodecálculo
paraampliar,encontrareltérminointermedioo
crearpatronesaditivos,usandomaterialconcreto,
recursos,incluyendoelusodelacalculadora.
Patronesaditivos
Explicasusresultadosyprocedimientosalcontinuar
ocrearunpatrónaditivodehastatrescifras.
Igualdades
Identificadatosyrelacionesenproblemasde
equivalenciaoequilibrio8,expresándolosenuna
igualdadconadiciónysustracción.
Igualdades
Representaunaigualdadconvaloresconocidos
odesconocidosconobjetos,deformaconcreta
(regletas,balanzas,monedas,etc.),gráficay
simbólica(conexpresionesaditivasyelsigno“=”).
Igualdades
Empleaestrategiasyprocedimientosaditivos
(agregaryquitar),larelacióninversadelaadición
conlasustracciónylapropiedadconmutativa,para
encontrarequivalenciasolosvaloresdesconocidos
deunaigualdad.
Igualdades
Elaborasupuestossobreloqueocurrealagregaro
quitarunamismacantidaddeobjetosonúmeros
aambosladosdeunaigualdad,basándoseenlo
Elaboraconjeturasquepermitanestablecerla
propiedadconmutativadelaadición.
Relacionesdecambio
Identificalosdatosyrelacionesapartirdeunasituación
experimentaldevariacióndeunamagnitudcon
respectoaltiempo9
,ylosrelacionaentablassimples.
Relacionesdecambio
Describelarelacióndecambioentreunamagnitud
yeltiempo.
Relacionesdecambio
Empleaesquemasyprocedimientosde
comparaciónparaencontrarlarelacióndecambio
entreunamagnitudyeltiempo.
Relacionesdecambio
Elaborasupuestossobrelarelacióndecambioentre
unamagnitudyeltiempo,basándoseenloobservado
enactividadesvivenciales,concretasygráficas.
Proponeunasecuenciadeaccionesorientadasa
experimentaroresolverunproblema.
Compruebasuprocedimientooestrategiayelde
suscompañerosy,desernecesario,loreplantea.
5 (PAEV)Problemasmultiplicativosdeproporcionalidadsimplederepeticióndeunamedida.Problemasdecombinación-multiplicaciónodeproductocartesiano.Problemadeproductodedosmedidas(filasycolumnas)queimpliquenunaorganizaciónrectangular.
6 PAEVmultiplicativosdeproporcionalidadsimple:queimpliquenrepartir,partir,agruparunacantidad..Problemasdeiteración,porejemplo:estoyenlaposición27ydoysaltosparaatrásdedosendos.¿Aquénúmerollegomáscercanoal0?
7 PAEVProblemasmultiplicativosdecomparaciónquerequieranampliarunamagnitudcomparaciónenmásyproblemasquerequieranreducirunamagnitudocomparaciónenmenos.
8 Situacionescreadasconguardillas,losetas,frisos,gráficos,dibujosymaterialconcreto.
9 Porejemplo:elcrecimientodeunaplanta(longitud)enunmes(tiempo)
MATRIZPARAELTERCERGRADODEPRIMARIA
ANEXO1:MATRICESPORGRADODELASCUATROCOMPETENCIAS

146 147
Competencia3:actúaypiensamatemáticamenteensituacionesdeformas,movimientoylocalización
matemáticas
Identificapropiedadesenlosobjetosdelentorno
segúnsusladosparalelosyperpendiculares,la
formadesuscarasosusbasesy,losrelaciona
conprismasrectosrectangularesocubos.
Relacionaunaformatridimensionalconcretay
gráficaconobjetosdesuentornoyconsusvistas.
Describelasformastridimensionales10
segúnsus
elementos(caras,aristas,vértices).
Construyefigurastridimensionalesconelmodelo
presenteoausente,atravésdelmoldeado,
materialconcreto11
oconunaplantilla.
concreta,apartirdeinstruccionesescritasyorales.
Empleamaterialesconcretosoinstrumentos,
pararesolverproblemassobreconstrucciónde
formastridimensionalesconelmodelopresentey
ausente.
Empleanestrategiaseinstrumentoscomolacinta
métricaoconstruyeneldecámetroparamedir
longitudesenunidadesconvencionales.
Establecerelacionesentrelaformatridimensional
ylasformasbidimensionalessegúnsus
característicasoelementos.
Expresalamedidaylaestimacióndelacapacidad
delosrecipientesenlitros.
Expresalamedidadelongitudoelperímetrode
losobjetos(largo,ancho,alto,etc.)usandoelmetro
yelcentímetro.
usandocomounidaduncuadradoymaterial
concreto(losetacuadrada,cartonescuadrados).
entornosegúnsuslados,ángulosyvértices,
perímetroysuperficieylosrelacionaconuna
figurabidimensionalregularoirregular.
Relacionalascaracterísticasdelasfigurasal
plantearoresolverunproblemadeconstrucción
defigurascompuestas.
Describelasfigurasbidimensionalessegún
suselementos(lados,vértices,ángulosrectosy
ángulosmenoresqueunángulorecto).
Construyeydibujafigurasbidimensionales12
con
diferentesmaterialesconcretos,deformagráfica
(cuadrícula,malladepuntos)yconregla,escuadra
ytransportador.
Construyefigurasbidimensionalessimplesy
compuestasenformaconcreta13
,apartirde
instruccionesescritasyorales.
Usaunidadespatrón(cuadradosde1cmpor
lado,ladosdeunapiezadeunbloquelógicoo
demosaicosolacuadrícula)afindedeterminar
cuántasunidadescuadradassenecesitapara
cubrirsuperficiesdefigurasbidimensionales
simplesycompuestas.
Empleaestrategiasdeensayoyerroro
superposiciónparacomponerodescomponer
unafigura,conapoyoconcreto.
Usaunidadespatrónparamedirperímetrode
figurassimplesocompuestasenformaconcretay
gráfica(ladode1cm,fichasconladosiguales).
Compruebamediantelavivenciaciónlos
procedimientosyestrategiasusadospara
compararyestimarlongitudesysuperficies.
Elaborasupuestosylosverificasobrelaestimación
deunamedidadelongitudosuperficiedeun
objeto,basándoseenexperienciasvivenciales.
Establecesemejanzasodiferenciasentrelas
figurasgeométricassegúnsuscaracterísticas.
Elaboraconjeturasylasverificasobreelperímetro
ylamedidadelasuperficiedeunafigurasimpleo
compuestaenunidadespatrón.
Identificadatosocaracterísticasrelevantesen
situacionesdelocalizaciónydesplazamientode
objetos,enentornoscotidianos,expresándolosen
unbosquejorealizadoencuadrículas.
Empleaunacuadrículaalresolverproblemasde
localización.
Verificasielbosquejoolacuadrículacorresponde
alarealidadypermiteubicarylocalizarcon
precisión.
Describerutasyubicacionesusandocomo
referentesobjetosylugarescercanosporlosque
debepasar.
Representaelrecorridoodesplazamientoyla
ubicacióndeobjetos,deformavivencial,pictórica,
gráficaencuadrículasycoordenadasdefilasy
columnas.
Expresalamedidadelongituddesurecorridoen
unidadesconvencionales(metro,centímetro).
Empleaestrategiasdeensayoyerror,yestrategias
queimpliqueneltrazodelíneasrectasentreun
objetoyotro,entreelpuntodepartidayelde
llegada.
Simetría:
Identificacaracterísticasycondicionesdelos
objetos,expresándolosenunafigurasimétrica
usandomaterialconcretoyunacuadrícula.
Reconocefigurassimétricasenobjetosyfigurasde
suentornoconunoomásejesdesimetría.
Simetría:
Describelasrelacionesdesimetríadelasfiguras
partirdelejedesimetría.
Representaconmaterialconcreto(geoplanos,
bloqueslógicos,etc.)pictóricoygráfico(enla
cuadrícula)elreflejodeunafiguraapartirdeleje
desimetría.
Simetría:
Proponeaccionesoprocedimientospararesolver
problemasdesimetría.
Empleaestrategiasderecorte,armadode
rompecabezas,recursos(periódicos,revistas,
figurasdeobjetosyanimales),asícomola
cuadrícula,pararesolverproblemasqueimpliquen
simetría.
Simetría:
Explicaelprocedimientousadoparaconstruir
elladosimétricodeunafigura,conmateriales
concretosygráficos.
10 Cubos,prismasrectangulares,esferasyconos.
11 Poliedros,plastilinaymondadiente.
12 Triángulos,cuadrados,rectángulosycírculos.
13 Tangram,geoplano,dobladodepapel.
Competencia4:Actúaypiensamatemáticamenteensituacionesdegestióndedatoseincertidumbre
matemáticas
Problemascondatos:
Plantearelacionesentrelosdatos(cualitativosy
cuantitativosdiscretos)ensituacionesdecontexto
personal,expresándolosentablassimplesde
conteo,barrassimplesopictogramas(conescala
dada).
Problemascondatos:
Realizapreguntasrelevantespararecogerdatos
relacionadosconeltemadeestudioyaportacon
sugerenciasalaspreguntasformuladasporsus
compañeros.
Transitadeunarepresentaciónaotra.Porejemplo
detablasdeconteoabarrassimples.
Respondeapreguntassobreinformaciónde
tablas,pictogramasygráficosdebarrassimples,
condatoscualitativosycuantitativos.
Problemascondatos:
Proponeideaspararecogeryorganizardatos
cualitativosocuantitativosensituacionesdesu
Empleaprocedimientosderecoleccióndedatos:
preguntasoralesyescritas,encuestas,registrode
hechos,etc.
Problemascondatos:
Establecesupuestossobrelosposiblesresultados
sobrelainformaciónrecolectada.
Ocurrenciasdesucesos:
cotidianosusandolasexpresiones:seguro,posible
eimposible.
Empleamaterialconcretoylavivienciaciónpara
reconocersucesosofenómenosquesonseguros,
posiblesoimposibles.
Registraenunatablalafrecuenciadeocurrencia
deeventosofenómenos.
Explicaconejemplosbasándoseenexperiencias
concretassiunsucesoesseguro,posibleo
imposible.

148 149
Competencia1:Actúaypiensamatemáticamenteensituacionesdecantidad
matemáticas
Númerosnaturales:
númerosnaturalesencontextosdelavidadiaria
(peso,tiempo,sueldos,etiquetas,etc.).
Describelacomparacióndenúmerosdehasta
cuatrocifras,enlarectanuméricayentablero
posicional.
cuatrocifrasenformaconcreta,pictórica,gráfica
ysimbólica6
.
Númerosnaturales:
Realizaprocedimientospara
comparar,ordenaryestimarcon
númerosnaturaleshastacuatro
cifrasconapoyodematerial
concreto.
Númerosnaturales:
Explicaatravésdeejemploslasdiferentes
formasderepresentarunnúmerodecuatro
cifrasysusequivalenciasencentenas,
decenasyunidades.
Tiempoypeso:
eventosusandoaños,meses,hora,1/2horao1/4
dehora.
Expresalamedida,estimaciónylacomparación
delpesodeobjetosenunidadesoficiales(gramoy
kilogramo)yfraccióndeunamedida,como1/2kg,
1/4kg.
fraccionesusualesencontextosdemedida(peso,
tiempo,longitud,capacidad,superficie,etc.).
Tiempoypeso:
Empleaprocedimientospara
equivalencias,yrecursosalresolver
problemassobreladuracióndel
tiempoyelpesodelosobjetos.
Plantearelacionesentrelosdatosenproblemasdeunaetapa1
,
expresándolosenunmodelodesoluciónaditivadehastacuatro
cifras.
Empleaunmodelodesoluciónaditivaalplantearoresolverun
problemaensucontexto.
númerosnaturales:
comohacerunesquema,buscar
regularidades,haceranalogías
multiplicativosdeunaovarias
etapasconnúmerosnaturalescon
cantidadesymagnitudes(tiempoy
peso).
Empleapropiedadesdelas
operacionesyprocedimientoso
estrategiasdecálculomentaly
escritoparamultiplicarydividir
númerosnaturalesconresultados
hastacuatrocifras.
Problemasaditivosymultiplicativosconnúmeros
naturales:
concretoográfico,lossignificadossobre
lasoperacionesdeadiciónysustracciónde
fracciones.
concretoográficolapropiedaddistributivade
lamultiplicaciónconnúmerosnaturales.
Problemasaditivosdedosomásetapasconnúmerosnaturales:
Plantearelacionesentrelosdatosenproblemasaditivosdedos
omásetapas2
quecombinenaccionesdejuntar-juntar,juntar-
agregar-quitar,juntar-comparar,juntar-igualarexpresándolasen
unmodelodesoluciónaditivaconnúmerosnaturales
Problemasmultiplicativosconnúmerosnaturales:
,expresándolosenunmodelode
soluciónmultiplicativoconnúmerosnaturaleshastacuatrocifras.
Reconocedatosrelevantesenproblemas4
ylosexpresaen
unmodelodesolucióndedivisionesexactaseinexactascon
númerosnaturaleshastaconcuatrocifras.
,queimpliquenaccionesdereducir
unacantidad,expresándolosenunmodelodesolucióndemitad,
tercia,concantidadesdehastacuatrocifras.
Relacionaunmodelodesoluciónmultiplicativoaproblemasde
diversoscontextos.
Expresamedianteejemplossucomprensiónsobre
laspropiedadesdelamultiplicación.
1 (PAEV)Problemasaditivosdecambio,comparacióneigualación5y6.
2 Problemasaditivosdedosomásetapasquecombinenproblemasdecombinación-combinación,combinación-cambio,combinación-comparación,combinación–igualación,etc.
3 Problemasmultiplicativosdeproporcionalidadsimple,problemasdecomparación-amplificaciónocomparacióndelaforma“vecesmásque”.Problemasdeorganizacionesrectangulares.
4 Problemasmultiplicativosdeproporcionalidadsimple:derepartonoexacto,análisisdelresiduo,problemasdeiteración(“Estoyenelnúmero238.Doysaltitosparaatrásde12en12.¿Aquénúmerollegomáscercanoal0?).Problemasdeutilizacióndela
relación:D=d.q+r,r<d
5 PAEVProblemasmultiplicativosdecomparaciónquerequieranreducirunamagnitud,ocomparardelaforma“vecesmenosque”.
6 Materialconcreto(ábaco,yupana,monedasybilletes),dibujos,gráficos(rectanumérica)orepresentaciónsimbólica(números,palabras,composiciónydescomposiciónaditivaymultiplicativa,valorposicionalenmillares,centenas,decenasyunidades).
Competencia2:Actúaypiensamatemáticamenteensituacionesderegularidad,equivalenciaycambio
Comunicayrepresenta
ideasmatemáticas
matemáticas
Plantearelacionesentreloselementosdeproblemasderegularidad,
ylasexpresaenunpatrónderepeticiónquecombineuncriterio
geométricodesimetríaycriteriosperceptualesdecolorytamaño.
Proponeunpatrónderepeticiónquecombineuncriteriogeométrico
desimetríaycriteriosperceptualesdecolorytamaño.
Patrones:
Utilizalenguajematemático
paradescribirlaregularidad
enlospatronesgeométricos
ynuméricos.
Empleaalgunasestrategiasheurísticasparaampliaro
crearpatronesderepeticióngeométricos,usandomaterial
concreto.
Elaborasupuestossobrelostérminosque
ocupanunaposiciónmásadelanteenelpatrón
derepeticióngeométricodesimetríaycriterio
perceptual.
Identificalaregladeformacióndelosdatosenproblemasde
regularidad,expresándolasenunpatrónmultiplicativoconnúmeros
dehastacuatrocifras.
Proponepatronesaditivosomultiplicativosconnúmerosdehasta
cuatrocifras.
Empleaprocedimientosdecálculoparaampliar,encontrarel
términointermedioocrearpatronesaditivosymultiplicativos,
usandomaterialconcreto,recursos,incluyendoelusodela
calculadora.
Patronesaditivos:
Explicasusresultadosyprocedimientosalcontinuar
ocrearunpatrónaditivoomultiplicativodehasta
cuatrocifras.
Problemasconfracciones:
queimpliquenrepartirunacantidad
enformaequitativa,expresándolosenunmodelodesolucióncon
fraccionesusualescondenominadores2,4,8,3,6,5,y10.
Expresaenformaoraloescrita,elusodelas
fraccionesusualesendiversoscontextosdelavida
diaria(recetas,medidasdelongitud,tiempo,etc.).
gráficaysimbólica10
delasfraccionescomo
partedeuntodo,comoreparto,númerosmixtos,
fraccioneshomogéneasyheterogéneas,fracciones
usualesequivalentes.11
Describelacomparaciónyordendelasfracciones
usualesconigualydistintodenominador;con
materialconcretoygráfico.
gráficaysimbólicadelossignificadosdelaadición
ysustracciónconfraccionesdeigualdenominador.
Realizaprocedimientospara
comparar,ordenaryestimarcon
fraccionesusualesyfracciones
equivalentes,conapoyodematerial
concreto.
oprocedimientos12
parasumar
yrestarfraccionesusualescon
denominadoresigualesydiferentes,
yfraccionesmixtas.
lasrelacionesdeorden,comparacióny
equivalenciaentrefraccionesusualesylos
diferentestiposdefracciones(fracciónpropia,
impropia,homogéneayheterogénea).
Explicaatravésdeejemploslasdiferentes
formasderepresentarfraccionesusualesy
fraccionesequivalentes.
queimpliquenpartireltodoo
launidadenpartesiguales,expresándolosenunmodelode
soluciónaditivoconfraccionesusuales.
Plantearelacionesentrelosdatosenproblemasdeunaetapa9
,
expresándolosenunmodelodesoluciónaditivaconfracciones.
Empleaunmodelodesoluciónreferidoalasfraccionescomo
partetodoorepartoalplantearoresolverunproblema.
Proponeunasecuenciadeacciones
orientadasaexperimentaroresolver
unproblema.
Compruebasuprocedimientoo
estrategiayeldesuscompañerosy,
desernecesarioloreplantea.
Explicasusprocedimientosyresultadosenla
solucióndeproblemas.
MATRIzPARAELCUARTOGRADODEPRIMARIA
7 Problemasderepartoenloscualeselrestosedistribuyeequitativamente.
8 Problemasqueimpliquenpartirunaunidadenpartesiguales(nocióndefraccióncomoparte-todo).
9 (PAEV)Problemasaditivosdecambioocomparación.
10 Materialconcreto(regletasdecolores,tirasdefraccionesequivalentes,fraccionesequivalentescirculares,dobladodelpapel),dibujos,gráficos(figuras,rectanumérica)orepresentaciónsimbólica(números,palabras,fraccionesmenoresy
mayoresquelaunidad).
11 Fraccionesequivalentesconlasfraccionesusuales(denominadores2,4,8,3,6,5y10.Porejemplo:½=2/4=4/8;1/3=2/6;1/5=2/10)
12 Estrategiasheurísticascomohacerunasimulaciónconmaterialconcreto,dobladodelpapel,hacerunesquema,undibujo.Enesteciclosesugieretrabajarlaadiciónysustraccióndefraccionesconfraccionesequivalentesconapoyo
concreto(regletasdecolores,tirasdefraccionesequivalentes,fraccionescirculares)ygráficoparapropiciarlacomprensiónconsentidosobreelcálculoyevitarlamecanizaciónsinreflexión.

150 151
Igualdades:
Identificadatosyrelacionesenproblemasde
equivalencia,expresándolosenunaigualdadcon
íconos(conadición,sustracción,multiplicacióno
división).
Igualdades:
Representaunaigualdadconvaloresconocidosodesconocidoscon
íconos,deformaconcreta,gráficaysimbólica(conexpresionesde
multiplicaciónydivisión)yelsigno“=”).
Igualdades:
Empleamaterialconcretoygráficopara
desconocidosdeunaigualdadcon
multiplicación.
multiplicativos,larelacióninversaentrela
multiplicaciónyladivisión,lapropiedad
conmutativadelamultiplicación,para
resolversituacionesdeequivalenciao
igualdadohallarunvalordesconocidocon
expresionesaditivasymultiplicativas.
Igualdades:
Elaborasupuestossobreloque
ocurreenunaigualdadalmultiplicar
odividirunamismacantidadde
objetosonúmerosaamboslados
deunaigualdad,basándoseenlo
Relacionesdecambio:
Recogedatosexperimentalesdedosmagnitudes
enproblemasdevariaciónylosrelacionaentablas
simples.
Relacionesdecambio:
Describelarelacióndecambioentredosmagnitudes.
Problemasdecambio:
Empleaesquemas,procedimientosde
comparaciónyoperacionesparaencontrar
relacionesnuméricasentredosmagnitudes.
Relacionesdecambio:
decambioentredosmagnitudes,
basándoseenloobservadoen
actividadesvivenciales,concretasy
gráficas.
Proponeunasecuenciadeacciones
orientadasaexperimentaroresolverun
problema.
Compruebasuprocedimientooestrategiay
eldesuscompañerosy,desernecesario,lo
replantea.
Competencia3:Actúaypiensamatemáticamenteensituacionesdeformas,movimientoylocalización
Razonayargumentagenerando
ideasmatemáticas
Identificapropiedadesenlosobjetosdelentorno
segúnsusladosparalelosyperpendiculares,la
formadesuscarasosusbasesy,losrelacionacon
prismasrectos.
Relacionalosprismasrectosconsuproyección
vistadesdeabajo,desdearribaodesdeun
costado.
Describelasformastridimensionalessegúnsuselementos
(caraslaterales,aristas,vértices,bases).
Construyefigurastridimensionalescondiferentesmateriales
concretosyapartirdeunaplantilla.
Construyefigurastridimensionalesenformaconcreta,apartir
deinstruccionesescritasyorales.
Describelaestimaciónylacomparacióndelamedidade
capacidadenfraccionesdelitro,galones.
geométricos,figurasconelmodelo
ausentesegúnsusmedidas,usando
diversosmateriales.
Usadiversosrecipientescomojarras,
envasesdebotellas,recipientes
graduados,paramedir,comparary
estimarlacapacidaddelosrecipientes.
Usainstrumentosdemedición(cinta
métricayreglasgraduadas)yunidades
convencionalesparamedirycomparar
longitudesydistanciascortas.
Elaboraconjeturassobrecuáles
sonlascaracterísticasgeométricas
comunesdelasformas
tridimensionales
Justificasusconjeturasusando
ejemplossobrelosprocedimientos
aplicadosenproblemasdecálculo
decapacidadconunidadespatrón.
entornosegúnsuslados,ángulos,paralelismo
operpendicularidadyloexpresaenunmodelo
basadoenparalelogramos.
Usaunmodelobasadoenparalelogramosal
Describelascaracterísticasdelospolígonosyparalelogramos,
segúnsunúmerodeladosyvértices,nombrándolos
adecuadamente(triángulos,cuadriláteros,pentágonos,etc.).
Representaenformaconcreta(sogas,geoplano,etc.)ygráfica
(encuadrículas),diferentesformasbidimensionalesquetienen
elmismoperímetro.
Representaenformaconcreta(sogas,geoplano,origami,etc.)
ygráfica(encuadrículas)diferentesrectángulos,cuadrados,
rombosyromboidesconelmodelopresenteyausente.
Construyeparalelogramossegúnindicacionesoralesyescritas.
Describelaestimaciónylacomparacióndelamedidadela
longitud,perímetro,superficiedelasfigurasapartirdeunidades
arbitrariasoconvencionales.
Usaunidadespatrón(cartón,cartulina,
etc.)quemidanunmetrocuadradopara
determinarcuántasunidadescuadradas
necesitaparacubrirsuperficiesdefiguras
bidimensionales.
Usaestrategiasqueimplicantrazarel
recorridodelosvérticesdelasformas
bidimensionales,utilizarrecortesde
figurasdepapelparatrasladarlasobreun
cuadriculado.
Justificasusconjeturasusando
ejemplossobrelosprocedimientos
aplicadosenproblemasde
cálculodeperímetro,superficiey
capacidadconunidadespatrón.
Elaboraconjeturassobrecuáles
sonlascaracterísticasgeométricas
comunesdelasformas
bidimensionales.
procedimientosaaplicarenel
cálculodeperímetro,superficiey
capacidadconunidadespatrón.
Identificalasreferenciasnecesariasensituaciones
delocalizaciónydesplazamientos,enelentorno
escolar,expresándolosenuncroquisapoyadoen
cuadriculasycoordenadas.
Empleauncroquisconcuadrículascon
coordenadasalresolverproblemasde
localización.
Verificasielcroquisempleadocorrespondeala
realidadypermitelocalizarodesplazarsecon
precisión.
Describerutasoubicaciones,usandocomo
referentesobjetosylugarescercanosoporlos
quedebepasar.
Elaboracroquis,mapasusandoreferentes
paralelos,perpendicularesyoblícuos,paraubicar
objetosyexpresarrutas.
Empleaestrategiasorecursosparaubicarcon
precisiónunobjetoenunplanocuadriculado.
Identificacondicionesycaracterísticas
relevantesensituacionesdedesplazamiento,
expresándolosenunmodelodetraslaciónde
formasbidimensionalesenunacuadrículade
coordenadas.
Reconocelatraslacióndeunafiguraenotros
problemas.
Describelasrelacionesdelatraslacióndefiguras
Representaenformaconcreta(geoplano),
gráfica(encuadrícula)y,latraslacióndefiguras
Usaestrategiasparatrasladarunafigurasobre
unplanocartesiano.
Elaboraconjeturassobreelprocedimiento
pararepresentartraslacionesdeformas
bidimensionalesencuadriculas.
Competencia4:Actúaypiensamatemáticamenteensituacionesdegestióndedatoseincertidumbre
matemáticas
Problemascondatos:
Plantearelacionesentrelosdatos(cuantitativos
discretosycualitativos)ensituacionesencontexto
escolar,expresándolosentabladedobleentrada
ográficodebarrassimplesconescala.
Problemascondatos:
Realizapreguntasrelevantespararecoger
datosrelacionadosconeltemadeestudio
yaportaconsugerenciasalaspreguntas
Describeinformacióncontenidaencuadrosde
dobleentrada,pictogramas,gráficosdebarras
doblesagrupadas.
Organizalosdatosentablasylosrepresenta
engráficosdebarras.
Expresaelsignificadodelamodadeun
conjuntodedatos.
Problemascondatos:
Proponeideaspararecogeryorganizardatos
cualitativosocuantitativosensituacionesdesu
Empleaprocedimientosderecoleccióndedatos
apartirdepreguntasoralesyescritas,encuestas,
registrodehechos,etc.
Ordenalosdatosdemayoramenorfrecuencia
parahallarlamoda.
Problemascondatos:
Expresasusconclusionesrespectoala
informaciónobtenida.
Problemasaleatorios:
cotidianosusandolasexpresiones:seguro,
posibleeimposible.
Empleamaterialconcretoylavivienciaciónpara
reconocersucesosofenómenosquesonseguros,
posiblesoimposibles.
Registraenunatablalafrecuenciadeocurrencia
deeventosofenómenos.
Explicaconejemplosbasándoseen
experienciasconcretassiunsucesoesseguro,
posibleoimposible.

152 153
viciclo/1.o
y2.o
desecundaria
Discrimina información e identifica relaciones no explícitas en situaciones referidas a determinar cuántas veces una
cantidad contiene o está contenida en otra y aumentos o descuentos sucesivos, y las expresa mediante modelos referidos
a operaciones, múltiplo o divisores, aumentos y porcentajes. Selecciona y usa el modelo más pertinente a una situación
y comprueba si este le permitió resolverla. Expresa usando terminologías, reglas y convenciones matemáticas10
, su
comprensión sobre las propiedades de las operaciones con números enteros y racionales, y variaciones porcentuales;
medir la masa de objetos en toneladas y la duración de eventos en décadas y siglos. Elabora y emplea diversas
representaciones de una misma idea matemática usando tablas y símbolos; relacionándolas entre sí. Diseña y ejecuta
un plan orientado a la investigación y resolución de problemas empleando estrategias heurísticas, procedimientos para
calcular y estimar con porcentajes, números enteros, racionales y notación exponencial; estimar y medir la masa, el tiempo
y la temperatura con unidades convencionales; con apoyo de diversos recursos y TIC. Evalúa ventajas y desventajas de
las estrategias, procedimientos matemáticos y recursos usados. Formula y justifica conjeturas referidas a relaciones
numéricas o propiedades de operaciones observadas en situaciones experimentales; e identifica diferencias y errores en
una argumentación.
VIIciclo/3.o
,4.o
y5.o
desecundaria
Relaciona datos de diferentes fuentes de información referidas a situaciones sobre magnitudes, números grandes y
pequeños, y los expresa en modelos referidos a: operaciones con números racionales e irracionales, notación científica,
tasasdeinteréssimpleycompuesto. Analiza losalcances ylimitaciones delmodelousado,evalúasilosdatosycondiciones
que estableció ayudaron a resolver la situación. Expresa usando terminologías, reglas y convenciones matemáticas las
relaciones entre las propiedades de los números irracionales, notación científica, tasa de interés. Elabora y relaciona
representaciones de una misma idea matemáticas, usando símbolos y tablas. Diseña y ejecuta un plan de múltiples
etapas orientadas a la investigación o resolución de problemas, empleando estrategias heurísticas y procedimientos
para calcular y estimar tasas de interés, operar con números expresados en notación científica, determinar la diferencia
entre una medición exacta o aproximada; con apoyo de diversos recursos y TIC. Juzga la efectividad de la ejecución o
modificación de su plan. Formula conjeturas sobre generalizaciones referidas a conceptos y propiedades de los números
racionales, las justifica o refuta basándose en argumentaciones que expliciten el uso de sus conocimientos matemáticos.
DESTACADO
Analiza datos de variadas fuentes de información, define las relaciones o restricciones de situaciones referidas a
determinar cantidades expresadas mediante logaritmos; y las expresa mediante operaciones en diferentes sistemas
numéricos y una combinación de modelos financieros. Formula modelos similares a los trabajados, y evalúa la pertinencia
de la modificación de un modelo reconociendo sus alcances y limitaciones. Expresa usando terminologías, reglas y
convenciones matemáticas su comprensión sobre: propiedades de los números y las operaciones en los sistemas
numéricos. Relaciona representaciones de ideas matemáticas e identifica la representación más óptima. Diseña y
ejecuta un plan orientado a la investigación o la solución de problemas, usando un amplio repertorio de recursos TIC,
estrategias heurísticas y las propiedades de los números y operaciones en los diferentes sistemas numéricos. Evalúa la
eficacia del plan en función de la optimización de los recursos, procedimientos y estrategias que utilizó. Formula hipótesis
sobre generalizaciones y relaciones entre conceptos y procedimientos de diferentes dominios de la matemática; y las
justifica con demostraciones y a través de argumentos matemáticos para convencer a otros..
10
Convenciones matemáticas: por ejemplo, convenir que el cero es múltiplo de todos los números.
ANEXO 2: MAPAS DE PROGRESO
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad
Identifica situaciones referidas a agregar o quitar objetos y las asocia con nociones aditivas1
. Expresa con su propio
lenguaje sobre agrupar objetos por características perceptuales, ordenar2
hasta 5 objetos, ordenar objetos en una fila
y señalar hasta el quinto lugar, comparar la duración de eventos cotidianos usando “antes” o “después”, comparar
de manera cuantitativa colecciones de objetos usando algunos términos matemáticos o cuantificadores: “más que”,
“menos que”, “pocos”, “ninguno” y “muchos”. Realiza representaciones haciendo uso de su cuerpo, materiales concretos
o dibujos. Propone acciones para experimentar o resolver situaciones de manera vivencial y con apoyo de material
concreto; emplea estrategias y procedimientos como agrupar, agregar y quitar objetos hasta 5, contar hasta 10 objetos,
y comparar el peso3
de dos objetos, con apoyo de material concreto. Explica el porqué de sus afirmaciones en base a su
experiencia.
Identifica datos en situaciones referidos a acciones de juntar, separar, agregar, quitar, igualar o comparar cantidades
y los expresa en modelos de solución aditivas4
, doble y mitad. Expresa los criterios para clasificar objetos en grupos y
subgrupos, ordenar números naturales hasta 100, estimar y comparar la duración de eventos, empleando lenguaje
cotidiano y algunos términos matemáticos o cuantificadores “todos”, “algunos” y “ninguno”. Realiza representaciones
haciendo uso de su cuerpo, materiales concretos, dibujos, tablas de doble entrada y en forma simbólica. Propone y
realiza una secuencia de acciones para experimentar o resolver un problema, empleando estrategias heurísticas y
procedimientos como estimar, contar y ordenar cantidades hasta 100, medir y comparar la masa de objetos con unidades
arbitrarias; con apoyo de material concreto. Comprueba los procedimientos y estrategias usados. Elabora supuestos y
explica el porqué de sus afirmaciones, procedimientos o resultados con ejemplos.
Plantea relaciones entre los datos en situaciones que combinan una o más acciones de agregar, combinar, igualar,
comparar, repetir o repartir una cantidad, y los expresa con modelos aditivos o multiplicativos con números naturales
y fracciones usuales. Relaciona el modelo trabajado con otras situaciones similares. Describe con lenguaje matemático
su comprensión sobre: reagrupar con criterios distintos, ordenar números naturales hasta millares, medir la masa de
objetos en gramos y kilogramos, medir la duración de eventos en horas, medias horas o cuartos de hora, el significado
de la noción de división y fracción, problemas aditivos5
y multiplicativos6
; los representa mediante tablas de doble entrada
y símbolos. Propone y realiza una secuencia de acciones orientadas a experimentar o resolver un problema empleando
estrategias heurísticas, procedimientos de cálculo mental y escrito, conteo, orden con cantidades de hasta cuatro cifras;
estimar, medir y comparar la masa de objetos y la duración de eventos empleando unidades convencionales, con apoyo
de material concreto. Comprueba sus procedimientos y estrategias. Elabora conjeturas basadas en experiencias o en
relaciones matemáticas trabajadas y las justifica usando ejemplos.
1
Problemas PAEV: Cambio 1 y 2.
2
Seriación
3
Coloquialmente se dice peso cuando nos referimos a la masa de un objeto, pero lo formal es decir masa.
4
Problemas PAEV: Cambio 3 y 4, Combinación 2, y Comparación e igualación 1 y 2.
5
Problemas PAEV: Cambio 5 y 6, Comparación e igualación 3 y 4.
6
Problemas multiplicativos (proporcionalidad simple)
7
Problemas PAEV: Comparación e igualación 5 y 6.
8
Problemas multiplicativos conocidos como de producto cartesiano.
9
10%, 20%, 25%, 50%, 75%.
Interpreta datos y relaciones no explicitas de situaciones diversas referidas a una o varias acciones de comparar e igualar
dos cantidades con números naturales, expresiones decimales, fraccionarias o porcentajes, y los relaciona con modelos
aditivos7
y multiplicativos8
. Determina en que otras situaciones es aplicable. Describe, utilizando el lenguaje matemático,
su comprensión sobre el significado de: la equivalencia entre fracciones, decimales y porcentajes y la noción de potencia;
compara y estima la masa de objetos en unidades convencionales, y la duración de eventos en minutos y segundos.
Elabora y emplea diversas representaciones de una misma idea matemática, con gráficos y símbolos; relacionándolas
entre sí. Elabora y ejecuta un plan orientado a experimentar o resolver problemas, empleando estrategias heurísticas,
procedimientos de cálculo y estimación con porcentajes usuales9
y números naturales, fracciones y decimales; estimar,
medir directa o indirectamente la masa de objetos y la duración de eventos; con apoyo de recursos. Compara los
procedimientos y estrategias empleadas en distintas resoluciones. Establece conjeturas sobre procedimientos,
propiedades de los números y las operaciones trabajadas y las justifica usando ejemplos o contraejemplos.
IIciclo/5añosIIIciclo/1.o
y2.o
deprmariaIVciclo/3.o
y4.o
deprmariavciclo/5.o
y6.o
deprmaria

154 155
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio
IIciclo/5años
Reconoce patrones de repetición1
en secuencias sonoras, de movimientos o perceptuales. Expresa con su propio lenguaje
patrones y relaciones entre objetos de dos colecciones. Realiza representaciones haciendo uso de su cuerpo, materiales
concretos o dibujos. Propone y realiza acciones para experimentar o resolver una situación de manera vivencial y con
material concreto, emplea estrategias y procedimientos propios para ampliar, completar o crear patrones con apoyo de
material concreto. Explica el porqué de sus afirmaciones en base a su experiencia.
IIIciclo/1.o
y2.o
deprmaria
Identifica datos en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio, y las expresa con patrones de repetición2
y patrones
aditivos, igualdades que contienen adiciones y sustracciones. Describe patrones, equivalencias y relaciones empleando
lenguaje cotidiano y algunos términos matemáticos. Realiza representaciones haciendo uso de su cuerpo, materiales
concretos, dibujos, tablas simples y símbolos. Propone y realiza una secuencia de acciones para experimentar o resolver
un problema, empleando estrategias heurísticas y procedimientos para ampliar, completar o crear patrones, encontrar
equivalencias agregando o quitando cantidades3
o para hallar un valor desconocido, con apoyo de material concreto.
Comprueba sus procedimientos o resultados. Elabora supuestos basados en lo observado en experiencias concretas y
los explica usando ejemplos similares.
IVciclo/3.o
y4.o
deprmaria
Plantea relaciones entre los datos en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio; y la expresa con patrones de
repetición4
o patrones multiplicativos, igualdades con multiplicaciones y relaciones de cambio entre dos magnitudes.
Relaciona el modelo trabajado con otras situaciones similares. Describe con lenguaje matemático su comprensión sobre
patrones, equivalencias y cambio. Elabora y emplea tablas simples, gráficos y símbolos. Propone y realiza una secuencia
de acciones orientadas a experimentar o resolver un problema empleando estrategias heurísticas, procedimientos
para ampliar, completar o crear patrones, encontrar equivalencias con expresiones multiplicativas o hallar el valor
desconocido en una igualdad multiplicando o dividiendo, establecer equivalencias entre unidades de medida de una
misma magnitud, con apoyo de material concreto. Comprueba sus procedimientos y estrategias. Elabora conjeturas
basadas en experiencias o en relaciones matemáticas y las justifica usando ejemplos.
vciclo/5.o
y6.o
deprmaria
Interpreta datos y relaciones no explicitas en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio entre dos magnitudes; y los
expresa con modelos referidos a patrones geométricos, patrones crecientes y decrecientes, ecuaciones, desigualdades,
y proporcionalidad directa y determina en qué otras situaciones es aplicable. Describe utilizando lenguaje matemático
acerca de su comprensión sobre: patrones, ecuaciones y desigualdades, y relaciones de proporcionalidad directa. Elabora
y emplea diversas representaciones de una misma idea matemática, con tablas, gráficos y símbolos; relacionándolas
entre sí. Elabora y ejecuta un plan orientado a experimentar o resolver problemas, empleando estrategias heurísticas
y procedimientos para completar términos de una sucesión gráfica o numérica de acuerdo a su posición, simplificar
expresiones o ecuaciones empleando propiedades aditivas y multiplicativas o establecer equivalencias entre unidades
de una misma magnitud; con apoyo de recursos; y compara los procedimientos y estrategias empleadas en distintas
resoluciones. Establece conjeturas sobre regularidades, equivalencias y relaciones entre dos magnitudes, y las justifica
usando ejemplos o contraejemplos.
1
Patrones de repetición con un criterio perceptual (color,forma,tamaño,grosor).
2
Patrones de repetición con dos criterios perceptuales.
3
Equivalencias con igualdades que involucran adiciones y sustracciones con cantidades hasta 20.
4
Patrones de repetición que combinan criterios perceptuales y de posición.
viciclo/1.o
y2.o
desecundaria
Discrimina información e identifica variables relaciones no explícitas en situaciones diversas referidas a regularidad,
equivalencia o cambio; y las expresa con modelos referidos a patrones geométricos5
, progresiones aritméticas,
ecuaciones e inecuaciones con una incógnita, funciones lineales y relaciones de proporcionalidad inversa. Selecciona
y usa el modelo más pertinente a una situación y comprueba si este le permitió resolverla. Usa terminologías, reglas
y convenciones al expresar su comprensión sobre propiedades y relaciones matemáticas referidas a: progresiones
aritméticas, ecuaciones lineales, desigualdades, relaciones de proporcionalidad inversa, función lineal y afín. Elabora y
emplea diversas representaciones de una misma idea matemática con tablas, gráficos, símbolos; relacionándolas entre
sí. Diseña y ejecuta un plan orientado a la investigación y resolución de problemas, empleando estrategias heurísticas
y procedimientos para determinar la regla general de una progresión aritmética, simplificar expresiones algebraicas
empleando propiedades de las operaciones; con apoyo de diversos recursos y TIC. Evalúa ventajas y desventajas de
las estrategias, procedimientos matemáticos y recursos usados. Formula y justifica conjeturas referidas a relaciones
entre expresiones algebraicas, magnitudes, o regularidades observadas en situaciones experimentales; e identifica
diferencias y errores en las argumentaciones de otros.
VIIciclo/3.o
,4.o
y5.o
desecundaria
Relaciona datos provenientes de diferentes fuentes de información, referidas a diversas situaciones de regularidades,
equivalencias, y relaciones de variación; y las expresa en modelos de: sucesiones6
con números racionales e irracionales,
ecuaciones cuadráticas, sistemas de ecuaciones lineales, inecuaciones lineales con una incógnita, funciones cuadráticas
o trigonométricas7
. Analiza los alcances y limitaciones del modelo usado, evalúa si los datos y condiciones que estableció
ayudaron a resolver la situación. Expresa usando terminología, reglas y convenciones matemáticas las relaciones entre
propiedades y conceptos referidos a: sucesiones, ecuaciones, funciones cuadráticas o trigonométricas, inecuaciones
lineales y sistemas de ecuaciones lineales. Elabora y relaciona representaciones de una misma idea matemática usando
símbolos, tablas y gráficos. Diseña un plan de múltiples etapas orientadas a la investigación o resolución de problemas,
empleando estrategias heurísticas y procedimientos para generalizar la regla de formación de progresiones aritméticas
y geométricas, hallar la suma de sus términos, simplificar expresiones usando identidades algebraicas y establecer
equivalencias entre magnitudes derivadas; con apoyo de diversos recursos y TIC. Juzga la efectividad de la ejecución o
modificación del plan. Formula conjeturas sobre generalizaciones y relaciones matemáticas; justifica sus conjeturas o
las refuta basándose en argumentaciones que expliciten puntos de vista opuestos e incluyan conceptos, relaciones y
propiedades de los sistemas de ecuaciones y funciones trabajadas.
DESTACADO
Analiza datos de variadas fuentes de información, define las variables, relaciones o restricciones de situaciones referidas a
regularidad, equivalencia o cambio; y las expresa con modelos referidos a sumatorias notables, sucesiones convergentes
o divergentes, idea de límite, funciones exponenciales, logarítmicas y periódicas y ecuaciones exponenciales. Formula
modelos similares a los trabajados y evalúa la pertinencia de la modificación realizada a un modelo, reconociendo sus
alcances y limitaciones. Expresa usando terminologías, reglas y convenciones matemáticas, relaciones entre propiedades
y conceptos referidos a: los sistemas de inecuaciones lineales, ecuaciones exponenciales y funciones definidas en
tramos. Relaciona representaciones de ideas matemáticas e identifica la representación más óptima. Diseña un plan
orientado a la investigación o la solución de problemas, empleando un amplio repertorio de recursos TIC, estrategias
heurísticas o procedimientos de: interpolar, extrapolar o calcular el valor máximo o mínimo de sucesiones y sumatorias
notables, plantear sistemas de inecuaciones lineales y exponenciales y definir funciones por tramos. Evalúa la eficacia
del plan en función de la optimización de los recursos, procedimientos y estrategias que utilizó. Formula hipótesis sobre
generalizaciones elaborando relaciones entre conceptos y procedimientos de diferentes dominios de la matemática; las
justifica con demostraciones y produce argumentos matemáticos para convencer a otros.
5
Que se generan al aplicar reflexiones o giros.
6
Considerar progresión aritmética y geométrica.
7
Función seno y coseno.

156 157
viciclo/1ro
y2do
desecundaria
Discriminainformacióneidentificarelacionesnoexplicitasdesituacionesreferidasaatributos,localizaciónytransformación
de objetos, y los expresa con modelos referidos a formas bidimensionales compuestas, relaciones de paralelismo
y perpendicularidad, posiciones y vistas de cuerpos geométricos3
. Selecciona y usa el modelo más pertinente a una
situación y comprueba si este le permitió resolverla. Expresa usando terminología, reglas y convenciones matemáticas
su comprensión sobre: propiedades de: formas bidimensionales y tridimensionales4
, ángulos, superficies y volúmenes,
transformaciones geométricas; elaborando diversas representaciones de una misma idea matemática usando gráficos
y símbolos; y las relaciona entre sí. Diseña y ejecuta un plan orientado a la investigación y resolución de problemas,
empleando estrategias heurísticas y procedimientos como calcular y estimar medidas de ángulos y distancias en mapas,
superficies bidimensionales compuestas y volúmenes usando unidades convencionales; rotar, ampliar, reducir formas
o teselar un plano, con apoyo de diversos recursos. Evalúa ventajas y desventajas de las estrategias, procedimientos
matemáticos y recursos usados. Formula y justifica conjeturas sobre relaciones entre propiedades de formas geométricas
trabajadas; e identifica diferencias y errores en las argumentaciones de otros.
VIIciclo/3ro
,4do
y5to
desecundaria
Relaciona datos de diferentes fuentes de información referidas a situaciones sobre formas, localización y desplazamiento
de objetos, y los expresa con modelos referidos a formas poligonales, cuerpos geométricos compuestos o de revolución,
relaciones métricas, de semejanza y congruencia, y razones trigonométricas. Analiza los alcances y limitaciones del
modelo usado, evalúa si los datos y condiciones que estableció ayudaron a resolver la situación.. Expresa usando
terminologías, reglas y convenciones matemáticas su comprensión sobre: relaciones entre las propiedades de: figuras
semejantes y congruentes, superficies compuestas que incluyen formas circulares y no poligonales, volúmenes de cuerpos
de revolución, razones trigonométricas. Elabora y relaciona representaciones de una misma idea matemática usando
mapas, planos, gráficos, recursos y TIC. Diseña un plan de múltiples etapas orientadas a la investigación o resolución de
problemas, empleando estrategias heurísticas, procedimientos como calcular y estimar medidas de ángulos, superficies
bidimensionales compuestas y volúmenes usando unidades convencionales; establecer relaciones de inclusión entre
clases para clasificar formas geométricas; con apoyo de diversos recursos y TIC. Juzga la efectividad de la ejecución o
modificación de su plan. Formula conjeturas sobre posibles generalizaciones estableciendo relaciones matemáticas;
justifica sus conjeturas o las refuta basándose en argumentaciones que expliciten puntos de vista opuestos e incluyan
conceptos y propiedades matemáticas.
Analiza datos de variadas fuentes de información, define las relaciones, restricciones de situaciones referidas a formas,
localización y desplazamiento de objetos, y los expresa con modelos referidos a composición y transformación de forma
bidimensionales, definición geométrica de la elipse e hipérbola. Formula modelos similares a los trabajados, y evalúa la
pertinencia de la modificación de un modelo reconociendo sus alcances y limitaciones. Expresa usando terminologías,
reglas y convenciones matemáticas, su comprensión sobre: relaciones entre propiedades de formas geométricas
compuestas, transformaciones geométricas en el plano; Relaciona representaciones de ideas matemáticas e identifica
la más óptima usando aplicaciones y entornos virtuales5. Diseña un plan orientado a la investigación o la solución de
problemas, estrategias heurísticas o procedimientos de: usar o combinar propiedades y teoremas de formas geométricas,
calcular volumen y superficie de solidos de revolución compuestos, determinar equivalencias entre composiciones de
transformaciones geométricas. Evalúa la eficacia del plan en función de la optimización de los recursos, procedimientos
y estrategias que disponía. Formula hipótesis sobre generalizaciones y relaciones entre conceptos y procedimientos
geométricos; y las justifica con demostraciones y a través de argumentos matemáticos para convencer a otros.
DESTACADO
3
Prisma, pirámide, círculo, cilindro.
4
Polígonos, prisma, pirámide, círculo, cilindro, rectas paralelas, perpendiculares y secantes.
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización
Relaciona objetos del entorno con formas bidimensionales y tridimensionales. Expresa con su propio lenguaje lo que
observa al comparar dos objetos de diferente longitud, desplazarse e identificar la posición de un objeto en el espacio
en relación a sí mismo u otro objeto; y realiza representaciones con su cuerpo, materiales concretos o dibujos. Propone
acciones para resolver una situación, empleando estrategias propias y procedimientos al realizar desplazamientos y
localización o caracterizar objetos con apoyo de material concreto. Explica el porqué de sus afirmaciones en base a su
experiencia.
Identifica las características de objetos del entorno y los relaciona con elementos1
de formas bidimensionales y
tridimensionales, determina su ubicación, longitud, superficie o capacidad. Describe las formas bidimensionales y
tridimensionales, ubicación y movimiento de objetos y las formas simétricas, los atributos medibles de los objetos (longitud,
superficie, y capacidad); empleando lenguaje cotidiano y algunos términos matemáticos. Realiza representaciones
con su cuerpo, materiales concretos, dibujos, gráficos y símbolos. Propone y realiza una secuencia de acciones para
experimentar o resolver un problema, emplea estrategias heurísticas y procedimientos como medir, comparar y estimar
longitudes, superficies y capacidades de objetos con unidades arbitrarias, con apoyo de material concreto y recursos;
comprueba sus procedimientos y estrategias usando material concreto. Elabora supuestos sobre las características y
atributos medibles de las formas geométricas y de los objetos, a partir de la observación en experiencias concretas, y los
explica usando ejemplos similares.
Interpreta datos y relaciones no explícitas de localización y movimiento de los objetos, con las formas geométricas bi
y tridimensionales, su rotación, ampliación o reducción y determina en qué otras situaciones es aplicable. Expresa su
comprensión utilizando lenguaje matemático sobre las propiedades de las formas bidimensionales o tridimensionales2
;
ángulos, superficies, volumen y capacidad; ampliaciones, reducciones, giros y la posición de un objeto en el plano
cartesiano; Elabora diversas representaciones de una misma idea matemática, con gráficos y símbolos, relacionándolas
entre sí. Elabora y ejecuta un plan orientado a experimentar o resolver problemas empleando estrategias heurísticas
y procedimientos como: estimar y medir ángulos, calcular perímetro, superficie, capacidad y volumen seleccionando
el instrumento y la unidad convencional pertinente; con apoyo de recursos. Compara los procedimientos y estrategias
empleadas en distintas resoluciones. Elabora conjeturas sobre relaciones entre propiedades de las formas geométricas
trabajadas y las justifica usando ejemplos o contraejemplos.
1
Lados, caras, esquinas.
2
Triángulos, cuadriláteros, ángulos, círculos, circunferencias, prismas y pirámides.
Relaciona características, atributos, localización y movimientos de los objetos del entorno, con las formas geométricas,
ubicación en el plano y el espacio, simetría y traslación. Relaciona el modelo trabajado con otras situaciones similares.
Describe con lenguaje matematico su comprensión sobre características de las formas bidimensionales y tridimensionales;
longitud,perímetro,superficieycapacidaddeobjetos;simetríaytraslaciones.Elaborayemplearepresentacionesmediante
tablas de doble entrada, gráficos, croquis y símbolos. Propone y realiza una secuencia de acciones para experimentar o
solucionar un problema empleando estrategias heurísticas, procedimientos para ubicar objetos y rutas, medir y estimar la
longitud, perímetro, superficie y capaodad de objetos seleccionando el instrumento y la unidad arbitraria o convencional
apropiada, reflejar o trasladar formas en cuadrículas, con apoyo de material concreto. Comprueba sus procedimientos y
estrategias. Elabora conjeturas sobre semejanzas y diferencias entre formas geométricas y las justifica usando ejemplos.
IIciclo/5añosIIIciclo/1.o
y2.o
deprmariaIVciclo/3.o
y4.o
deprmariavciclo/5.o
y6.o
deprmaria

158 159
Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de gestión de datos e incertidumbre
IIciclo/5años
Identifica datos de situaciones de su interés y los registra con material concreto en listas, tablas de conteo y pictogramas1
.
Expresa con sus propias palabras lo que comprende sobre la información contenida en las listas, tablas de conteo y
pictogramas y la ocurrencia de sucesos cotidianos. Representa los datos empleando material concreto, listas, tablas de
conteo o pictogramas. Propone acciones, estrategias o procedimientos propios para recopilar y registrar datos cualitativos
con apoyo de material concreto. Explica el porqué de sus afirmaciones en base a su experiencia.
IIIciclo/1.o
y2.o
deprmaria
Identifica datos en situaciones de su entorno familiar o de aula, los organiza en listas o tablas simples o de doble entrada
y los expresa mediante pictogramas sin escala, gráficos de barras. Expresa empleando lenguaje cotidiano y algunos
términos matemáticos, lo que comprende sobre: la información contenida en tablas simples, de doble entrada o gráficos,
el significado de la posibilidad o imposibilidad de sucesos cotidianos, y preguntas para recoger datos. Propone y realiza
una secuencia de acciones orientadas a experimentar o resolver un problema, empleando estrategias o procedimientos
para recopilar, organizar y presentar datos, con apoyo de material concreto. Elabora supuestos referidos a características
que se repiten en las actividades realizadas y los explica usando ejemplos similares.
IVciclo/3.o
y4.o
deprmaria
Plantearelacionesentrelosdatosdesituaciones desuentornoescolar,losorganizaentablas,barrassimples,pictogramas
con escalas o mediante la noción de moda. Describe con lenguaje matemático su comprensión sobre, la frecuencia y
moda de un conjunto de datos, la comparación de datos en pictogramas o barras doble agrupadas, sucesos más o
menos probables que otros . Elabora y emplea representaciones mediante gráficos de barras dobles o pictogramas, y
símbolos. Propone y realiza una secuencia de acciones orientadas a experimentar o solucionar un problema empleando
estrategias o procedimientos para recopilar datos cuantitativos y hallar el dato que más se repite; con apoyo de material
concreto. Comprueba sus procedimientos y estrategias. Elabora conjeturas basadas en experiencias o relaciones entre
datos y las explica o justifica usando ejemplos.
vciclo/5.o
y6.o
deprmaria
Interpreta los datos en diversas situaciones, los organiza en tablas de frecuencia y los expresa mediante, variables
cualitativas o cuantitativas discretas, la media aritmética o la probabilidad de un suceso. Determina en que otras
situaciones son aplicables. Describe utilizando lenguaje matemático su comprensión sobre: las preguntas y posibles
respuestas para una encuesta, la información contenida en tablas y gráficos, el significado de la media aritmética y la
mediana de un grupo de datos, los resultados de una situación aleatoria y la probabilidad de un evento. Elabora y emplea
diversas representaciones de datos mediante gráficos de líneas o de puntos y la probabilidad como fracción o cociente;
relacionándolas entre sí. Elabora y ejecuta un plan orientado a recopilar datos a través de una encuesta, organizarlos
y presentarlos; determinar la media; determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio; calcular
la probabilidad de un evento como una fracción; con apoyo de recursos. Compara los procedimientos y estrategias
empleadas en distintas resoluciones. Establece conjeturas basadas en experiencias o relaciones entre datos y las justifica
usando ejemplos o contraejemplos.
1
Pictogramas sin escala.
2
El estudiante indica intuitivamente si un suceso es más probable o menos probable que otro.
3
Pictogramas con escala.
viciclo/1ro
y2do
desecundaria
Discrimina y organiza datos de diversas situaciones y los expresa mediante modelos que involucran, variables cualitativas,
cuantitativas discretas y continuas, medidas de tendencia central y la probabilidad. Selecciona y usa el modelo más
pertinente a una situación y comprueba si este le permitió resolverla. Expresa usando terminología, reglas y convenciones
matemáticas su comprensión sobre: datos contenidos en tablas y gráficos estadísticos, la pertinencia de un gráfico a un
tipo de variable y las propiedades básicas de probabilidades. Elabora y emplea diversas representaciones usando tablas
y gráficos; relacionándolas entre sí. Diseña y ejecuta un plan orientado a la investigación y resolución de problemas,
usando estrategias heurísticas y procedimientos matemáticos para recopilar y organizar datos cuantitativos discretos y
continuos, calcular medidas de tendencia central, la dispersión de datos mediante el rango, determinar por extensión
y comprensión sucesos simples y compuestos, y calcular la probabilidad mediante frecuencias relativas; con apoyo de
material concreto y recursos. Evalúa ventajas y desventajas de las estrategias, procedimientos matemáticos y recursos
usados. Formula y justifica conjeturas referidas a relaciones entre los datos o variables contenidas en fuentes de
información, observadas en situaciones experimentales; e identifica diferencias y errores en una argumentación.
VIIciclo/3ro
,4do
y5to
desecundaria
Interpreta y plantea relaciones entre datos provenientes de diferentes fuentes de información, referidas a situaciones que
demandan caracterizar un conjunto de datos, y los expresa mediante variables cualitativas o cuantitativas, desviación
estándar, medidas de localización y la probabilidad de eventos. Analiza los alcances y limitaciones del modelo usado,
evalúa si los datos y condiciones que estableció ayudaron a resolver la situación. Expresa usando terminologías, reglas y
convenciones matemáticas su comprensión sobre relaciones entre: población y muestra, un dato y el sesgo que produce
en una distribución de datos, y espacio muestral y suceso, así como el significado de la desviación estándar y medidas
de localización. Realiza y relaciona diversas representaciones de un mismo conjunto de datos seleccionando la más
pertinente. Diseña y ejecuta un plan de múltiples etapas para investigar o resolver problemas, usando estrategias
heurísticas y procedimientos matemáticos de recopilar y organizar datos, extraer una muestra representativa de la
población, calcular medidas de tendencia central y la desviación estándar y determinar las condiciones y restricciones
de una situación aleatoria y su espacio muestral; con apoyo de diversos recursos y TIC. Juzga la efectividad de la
ejecución o modificación de su plan. Formula conjeturas4
sobre posibles generalizaciones en situaciones experimentales
estableciendo relaciones matemáticas; las justifica o refuta basándose en argumentaciones que expliciten sus puntos de
vista e incluyan conceptos y propiedades de los estadísticos..
Analiza datos de variadas fuentes de información, define las variables, relaciones o restricciones de situaciones referidas
a caracterizar un conjunto de datos, y expresarlos mediante coeficiente de variación y probabilidad condicional. Formula
modelos similares a los trabajados, y evalúa la pertinencia de la modificación de un modelo reconociendo sus alcances
y limitaciones. Expresa usando lenguaje matemático su comprensión sobre las relaciones entre medidas descriptivas, el
significado del coeficiente de variación, y la probabilidad condicional. Relaciona representaciones de ideas matemáticas
e identifica la representación más óptima. Diseña y ejecuta un plan orientado a la investigación o resolución de problemas,
usando un amplio repertorio de recursos TIC, estrategias heurísticas y procedimientos de: recopilar y organizar datos de
diversas variables, aplicar técnicas de muestreo, extraer la muestra aleatoria de la población y calcular la probabilidad
condicional. Evalúa la eficacia del plan en función de la optimización de los recursos, procedimientos y estrategias que
utilizó. Formula hipótesis sobre generalizaciones y relaciones entre conceptos y procedimientos de diferentes dominios
de la matemática, y las justifica con demostraciones y a través de argumentos matemáticos para convencer a otros.
DESTACADO
4
Tener en cuenta que el razonamiento probabilístico y estadístico no es exacto como en matemáticas. Por lo tanto, en general las conjeturas
que se puedan establecer no serán demostradas con rigor, serán afirmaciones con un grado de validez, porque se trata de elegir
representantes de un sistema de datos (media, mediana, moda), o cuantificar la posibilidad (probabilidad teórica, empírica, etc.) pero que
detrás de ello está la noción de incertidumbre.

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