3. LOGRO DE SESIÓN
Al finalizar la sesión de aprendizaje, el
estudiante resuelve problemas de contexto
real en variadas situaciones que involucran
gradientes, derivadas direccionales y sus
interpretaciones. Así, poder modelar
problemas de las Ciencias Básicas.
4. UTILIDAD
El gradiente de una función de dos variables,
nos permite calcular la dirección de máximo
crecimiento y decrecimiento de la temperatura
en una placa
La derivada direccional (o bien derivada según
una dirección) de una función de dos o más
variables, en la dirección de un vector dado,
representa la tasa de cambio de la función en la
dirección de dicho vector.
6. GRADIENTE
Sea una función, con sus derivadas parciales existiendo en .
El gradiente de en el punto , se denota por y su forma es:
Observación:
Otra notación para el gradiente es
El gradiente se puede generalizar para una función de variables.
∇ 𝑓 (𝑥 , 𝑦)=(𝜕 𝑓
𝜕 𝑥
(𝑥, 𝑦),
𝜕 𝑓
𝜕 𝑦
(𝑥 , 𝑦))
7. DERIVADAS DIRECCIONALES
Sea una función en dos variables, con dominio .
La derivada direccional de en el punto en la dirección del vector , es la
función de dos variables denotada por:
Siempre que este límite exista.
𝐷⃗
𝜐 𝑓 ( 𝑥, 𝑦)=lim
h→ 0
𝑓 (( 𝑥, 𝑦)+h⃗
𝜐)− 𝑓 (𝑥 , 𝑦)
h
8. DERIVADA DIRECCIONAL Y GRADIENTE
Sea una función en dos variables, con dominio . Y se un vector dado.
Consideremos un vector unitario en , en la dirección de y el vector gradiente
de en el punto . En este caso la derivada direccional de en la dirección del
vector es:
𝐷⃗
𝑢 𝑓 ( 𝑃 )=∇ 𝑓 (𝑃)∙⃗
𝑢
9. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA
DERIVADA DIRECCIONAL
es la pendiente en el punto de la
curva , orientada en la dirección de
generada por la intersección de la
gráfica de y el plano
perpendicular a que pasa por el
punto y y es paralelo a .
12. EJERCICIO EXPLICATIVO 2
Una partícula rastreadora de calor está situada en el punto de una placa metálica cuya temperatura en es:
Calcule la trayectoria de la partícula al moverse de forma continua en la dirección de más rápido crecimiento de
la temperatura.
Solución:
13. EJERCICIO EXPLICATIVO 2
Una partícula rastreadora de calor está situada en el punto de una placa metálica cuya
temperatura en es:
Calcule la trayectoria de la partícula al moverse de forma continua en la dirección de más
rápido crecimiento de la temperatura.
Solución:
∇𝑇 (𝑥 , 𝑦)=(−2 𝑥,−6 𝑦)
∇ 𝑇 (5,4)=(−10 ,− 24)
⃗
𝑢=(−
5
13
, −
12
13
)
14. EJERCICIO EXPLICATIVO 3
Calcule la derivada direccional de la función en el punto ) y en la dirección que va de a .
Solución:
15. EJERCICIO EXPLICATIVO 3
Calcule la derivada direccional de la función en el punto ) y en la dirección que va de a .
Solución:
⃗
𝑣=𝑃1𝑄1 =(1,−1, −1)
⃗
𝑢=( 1
√3
, −
1
√3
,−
1
√3 )
∇ 𝑓 =
( 2 𝑥
𝑥
2
+ 𝑦
2
+𝑧
2
,
2 𝑦
𝑥
2
+ 𝑦
2
+𝑧
2
,
2 𝑧
𝑥
2
+𝑦
2
+𝑧
2 )
𝐷⃗
𝑢 𝑓 (2,2,−4)=∇ 𝑓 (2,2,− 4)∙( 1
√3
,−
1
√3
,−
1
√3)
¿(1
6
,
1
6
,−
1
3)∙
( 1
√3
,−
1
√3
,−
1
√3)
¿0.192
16. EJERCICIO EXPLICATIVO 4
La altura de una colina sobre el nivel del mar está dada por
Donde e se miden en metros, son las coordenadas
𝑥 𝑦 Este-Oeste y Norte- Sur respectivamente.
Un atleta se encuentra en el punto .
a. ¿A qué altura se encuentra el atleta?
b. Si el atleta se mueve en dirección Sur-Este ¿está subiendo o bajando? ¿Cuál es su rapidez?
c. Describa el lugar geométrico de los puntos que el atleta debe caminar, para estar a la misma
altura sobre el nivel del mar que en el punto A.
17. Solución:
𝑎 . h0=200 𝑒−(1+1 )
2
+80 (0 ) 𝑒− 2 (0 )
2
=200 𝑒− 4
=3.66
𝑏.⃗
𝑢=
( 1
√2
;−
1
√2 ) ∇h(𝑥; 𝑦)=((−2 𝑥−2)200𝑒−(𝑥+1)
2
;−320 𝑦2
𝑒−2 𝑦
2
+80𝑒− 2𝑦
2
)
∇ h (1 ;0)=(− 800 𝑒−4
;80 )=(− 14.65 ;80)
𝐷⃗
𝑢 h(1 ;0 )=∇ h(1;0 )∙⃗
𝑢=(−14.65 ;80)∙( 1
√2
;−
1
√2 )=− 66.93
Como la velocidad es negativa, se deduce que el atleta está descendiendo. Su rapidez es m
𝑐 .h ( 𝑥 ; 𝑦 )=200 𝑒− ( 𝑥+1 )
2
+80 𝑦 𝑒−2 𝑦
2
=200 𝑒−4
19. EJERCICIO RETO
Dada la función:
Calcule la derivada direccional de en el punto , (siendo la curva de nivel 2 de la
𝑓 𝑃∈ 𝐶 𝐶
función ) y en la dirección del vector donde es la pendiente de la recta tangente a la
𝑓 𝑚
curva en el punto . Calcule la máxima tasa de crecimiento de en el punto donde la
𝐶 𝑃 𝑓
curva intersecta al eje .
𝐶 𝑦
Solución:
20. CIERRE
1. ¿Que tema vimos hoy?
2. ¿Qué entiendes por gradiente?
3. ¿Qué interpretación tiene la derivada direccional?
21. CONCLUSIONES
1. El gradiente de una función real de dos variables es un vector
2. El gradiente se puede generalizar para una función real de 𝑛
variables
3. La derivada direccional de una función real de dos variables en un
punto de su domino es un número real
4. La derivada direccional se puede interpretar como una rapidez o
razón de cambio en una dirección dada.
22. BIBLIOGRAFÍA
Calculus – Larson Edwuards
Calculus – James Stewart
Caculus – 12th Edition – George B. Thomas, Jr
Cálculo III – Máximo Mitacc Meza
