Sesión 10 (clase)
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Este documento describe el análisis de varianza (ANOVA), una técnica estadística para analizar datos experimentales. Explica que ANOVA separa la variación total en las partes atribuibles a cada fuente de variación en el experimento. Luego detalla dos esquemas de ANOVA, de un factor y de dos factores, y cómo se usa la técnica para determinar si existen diferencias significativas entre tratamientos. Finalmente, resume los componentes clave de un ANOVA como la tabla de resultados, sumas y medias de interés, y los supuestos del modelo.
Sesión 10 (clase)
- 1. Dr. Luis Cuautle Gutiérrez
- 2. Dr. Luis Cuautle Gutiérrez
- 3. El análisis de varianza (ANOVA) es la técnica central en el análisis de datos experimentales. La idea general de esta técnica es separar la variación total en las partes con las que contribuye cada fuente de variación en el experimento.
- 4. Existen dos esquemas para desarrollar un ANOVA: ◦ Esquema de una vía (Diseño de un Factor) ◦ Esquema de dos vías (Diseño de dos Factores)
- 5. En este análisis se compara la diferencia entre los tratamientos con la variación causada por las repeticiones dentro de cada tratamiento. Si la fuente de variación ”Entre tratamientos” es significativamente mayor que la fuente “Dentro del tratamiento”, se concluye que existe una diferencia entre tratamientos.
- 6. El objetivo del análisis de varianza de un factor es probar la hipótesis de igualdad de los tratamientos con respecto a la media de la correspondiente variable de respuesta: Lo cual se puede escribir en forma equivalente:
- 7. Los tratamientos tienen efecto (las medias Variabilidad son diferentes). Total Variabilidad Variabilidad debido a debida al tratamientos error. Cuando los tratamientos no dominan contribuyen igual o menos que el error (las medias son iguales). Variabilidad Total Variabilidad Variabilidad Variabilidad debida a debida a debida al tratamientos tratamientos error
- 9. Sirve para representar sumas y medias que se obtienen a partir de los datos experimentales. Las cantidades de interés son: Yi. =Suma de las observaciones del tratamiento i. Yi.=Media de las observaciones del i-ésimo tratamiento. .. Y =Suma total de las N = n1 +n2+…+nk mediciones. .. Y =Media global o promedio de todas las observaciones.
- 10. Note que el punto indica la suma sobre el correspondiente subíndice. De tal forma que: ni ni Yij Yi Yij Yi j 1 j 1 ni k ni Y Yij Y Y ; i 1,2,...,k i 1 j 1 N k N ni i 1
- 11. En la tabla de ANOVA se resume el análisis de varianza de un experimento que sirve para probar las hipótesis de interés. FV SC GL CM Fo Valor-p Tratamientos k Yi 2 Y2 k-1 SCTRAT CM TRAT P( F Fo) i 1 ni N k 1 CM E Error N-k SCT SCTRAT SCE N k Total k ni 2 Y2 N-1 Y ij i 1 j 1 N El ANOVA supone que la variable de respuesta se distribuye normalmente, con varianza constante y que las mediciones son independientes entre si.
- 12. En la tabla a continuación se muestran los resultados de dureza obtenidos de las muestras tomadas durante cada una de las condiciones de tratamiento seleccionadas.
- 13. Empleando Minitab se grafican los datos y se obtiene lo siguiente: ¿Que se puede decir acerca de los tratamientos?
- 18. Para determinar si existe una diferencia significativa entre tratamientos se realiza una prueba F.
- 21. Un equipo de mejora investiga el efecto de 4 métodos de ensamble A, B, C y D, sobre el tiempo de ensamble en minutos. Se hicieron 4 observaciones del tiempo de ensamble en cada método. Los valores obtenidos se muestran en la siguiente tabla. Método de ensamble A B C D 6 7 11 10 8 9 16 12 7 10 11 11 8 8 13 9 ¿Existen diferencias entre los 4 métodos de ensamble?
- 22. En el ANOVA de dos factores se consideran como fuentes probables de variación: ◦ Factor A ◦ Factor B ◦ Interacción Factor A x Factor B ◦ Error Experimental (Variación causada por repeticiones)
- 23. En el ejemplo anterior, se plantea un ANOVA de dos factores. Tiempo de Temperatura de Salida Horno 700OF 800OF 900OF 30’ 90 87 84 87 85 87 60’ 95 87 79 92 90 78
- 24. Captura de Datos ANOVA Valor-p < 0.05, existe efecto!
- 25. Esta muestra de manera gráfica el resultado promedio de cada uno de los niveles del factor.
- 26. Esta gráfica señala si dos factores dependen entre ellos en relación al efecto de ellos sobre el resultado.
- 27. El diseño de experimentos consiste en planear y realizar un conjunto de pruebas con el objetivo de generar datos que, al ser analizados estadísticamente, proporcionen evidencias objetivas que permitan responder las interrogantes planteadas por el experimentador sobre determinada situación. El uso de los DOE’s mejora la calidad, en corto tiempo, y reduce el retrabajo y el costo.
- 28. Factores estudiados: Son las variables que se investigan en el proceso para observar como afectan o influyen en la variable de respuesta. Factores controlables: Son variables de proceso y/o características de los materiales y los métodos experimentales que se pueden fijar en un nivel dado. Factores no controlables (ruido): Son variables que no se pueden controlar durante el experimento o la operación normal del proceso.
- 29. Variable de respuesta: A través de esta(s) variable(s) se conoce el efecto o los resultados de cada prueba experimental. Niveles: Los diferentes valores que se asignan a cada factor estudiado en un diseño experimental. Tratamientos o punto de diseño: Una combinación de niveles de todos los factores estudiados. Nivel de Nivel de Tratamiento Y velocidad temperatura 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 3 4 ?
- 30. Aleatorización: Consiste en hacer corridas experimentales en orden aleatorio(al azar); este principio aumenta la posibilidad de que el supuesto de independencia de los errores se cumpla. Repetición: Es correr mas de una vez un tratamiento o combinación de factores. Estas permiten distinguir mejor qué parte de la variabilidad total de los datos se debe al error aleatorio y cuál a los factores.
- 31. Diseño factorial: Diseño experimental que sirve para estudiar el efecto individual y de interacción de varios factores sobre una o varias respuestas. Factor cualitativo: Sus niveles toman valores discretos o de tipo nominal. Ejemplos: máquinas, lotes, marcas, etcétera. Factor cuantitativo: Sus niveles de prueba pueden tomar cualquier valor dentro de cierto intervalo. La escala es continua, como por ejemplo: temperatura, velocidad, presión, etc.
- 32. El tamaño de la muestra (el numero de valores de datos en cada combinación de prueba) también afecta la estimación del error experimental. Generalmente, entre más datos (más grados de libertad), mejor es la estimación. Sin embargo, las consideraciones prácticas se deben sopesar con las consideraciones estadísticas. Aunque pueden existir excepciones, una buena regla de “pulgar” es recolectar un mínimo de 3 valores de datos para cada combinación de prueba.
- 36. Hoja de Trabajo de Planeación de DOE Black Belt: ___________________ Depto. / Proceso:____________________________________ Título del Proyecto __Mejora del Proceso de Prototipo_ Fecha: ________ Objetivo del DOE: __ Reducir al Mínimo el Tiempo de Ciclo de Prototipo. __________________________________________ ___________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________ Antecedentes Relevantes:Actualmente, el tiempo de ciclo de prototipo promedio excede los 9 __________________________________________________________________________________ días___ (13,100 minutos). __________________________________________________________________________________ Características del Resultado Característica CT Qué / Cómo medir ¿Usar como Medida Especificaciones del Experimento?(s/n) Del recibo de confirmación del Fax Tiempo de Ciclo de del Cliente al recibo de confirmación Menos de 5400 Prototipo S sin error del Fax del Proveedor con minutos la Orden de Compra. Exactitud de las Ordenes Número de errores Sin errores N de Compra Número de iteraciones de retrabajo Sin retrabajo ¿Existe una sola medida de resultado que incluya todas (o varias) las características CT? Sí. __ tiempo de ciclo; también incluye el objetivo de reducir los errores y el retrabajo. Si se usa una medida de tiempo de ciclo que incluya el tiempo dedicado al retrabajo, la reducción del__
- 37. Factores Controlables (Proceso de Prototipo) Impacto sobre Y Fácil de cambiar Si es factor del DOE Si no es factor del DOE ¿Incluir como experimento experimento Factores factor en el Fuerza del durante el Controlables Nivel Nivel (es) ¿Cómo mantener Actual Propuesto (s) constante? ¿A qué nivel? Método de Orden de Compra S Manual Automatizado Lanzamiento del Coordinador y del Quién Introduce empleado que Cualquiera los Datos S introduce Datos (No ambos) ambos los introd. Método para una "Lista de crear Usa el método actual N (Manual). Selección" :Impacto fuerte, Fácil de cambiar Leyenda: :Impacto moderado, Moderadamente fácil de cambiar :Impacto débil, Difícil de cambiar 37
- 38. Factores de Ruido durante el experimento Incluir como factor en Si es factor del DOE Si no es factor del DOE el experimento? (s/n) Estrategia impacto sobre Y Fácil de cambiar Red de la variación contrarrestará Niveles a ¿Cómo mantener Fuerza del Si es fuerte, Robustez/ establecer constante? durante el ¿A qué nivel? Factores de Ruido experimento Hora en que se Mañana (8:00- recibió la Orden 11:00am) S 3 vs del cliente Tarde (1:00-4:00) :Impacto fuerte, Fácil de cambiar Leyenda: :Impacto moderado, Moderadamente fácil de cambiar :Impacto débil, Difícil de cambiar 38
- 39. Este diseño también puede ser estudiado a partir de la técnica de ANOVA, los valores-p menores a 0.10 implican efectos fuertes.
- 40. Factor Niveles Unidad A: Broca 1/16 1/8 Pulgadas B: Velocidad 40 90 rps Los datos obtenidos de las 16 pruebas se muestran a continuación A:Broca B:Velocidad AB X1 X2 Vibración 1/16 40 - - -1 -1 18.2 18.9 12.9 14.4 1/8 40 + - +1 -1 27.2 24.0 22.4 22.5 1/16 90 - + -1 +1 15.9 14.5 15.1 14.2 1/8 90 + + +1 +1 41 43.9 36.3 39.9
- 41. A:Broca B:Velocidad AB X1 X2 Vibración 1/16 40 - - -1 -1 18.2 18.9 12.9 14.4 1/8 40 + - +1 -1 27.2 24.0 22.4 22.5 1/16 90 - + -1 +1 15.9 14.5 15.1 14.2 1/8 90 + + +1 +1 41 43.9 36.3 39.9
- 43. Con α = 0.10, el tipo de broca, la velocidad y la interacción entre ambos factores son significativos
- 44. ¿Qué niveles de los factores deberán seleccionarse para minimizar la vibración?
- 45. Mejor Tratamiento: A-, B+ Mejor Tratamiento: 1/16”, 90 rps
- 46. Los supuestos del modelo de ANOVA: normalidad, varianza constante e independencia de los residuos deben verificarse antes de dar por válidas las conclusiones.
- 47. Nota: La técnica DOE es más eficiente con datos variables
- 48. Paso 1: Encuentra los factores que afectan la variación. Usa estos factores para minimizar la variación. Paso 2: Encuentra los factores que desplazan el promedio (y NO afectan la variación). Usa estos factores para ajustar la salida promedio con la meta deseada. Objetivo
- 49. En este modelo se estudian 3 factores en dos niveles cada uno. Consta de 23 = 8 tratamientos diferentes, los cuales se pueden identificar con las mismas notaciones del Diseño 22. La región Experimental ahora es un cubo regular centrado en el origen (0,0,0), cuyos vértices son los ocho tratamientos.
- 50. La matriz de diseño se A B C construye alternando el -1 -1 -1 signo menos y el signo +1 -1 -1 más en la primera columna, dos menos y -1 +1 -1 dos más en la segunda +1 +1 -1 columna y cuatro menos -1 -1 +1 y cuatro más en la +1 -1 +1 tercera; el diseño resulta acomodado en el orden -1 +1 +1 estándar o de Yates. +1 +1 +1
- 51. Sean A, B, C los factores que se quieren estudiar y sean (I), a, b, ab, c, ac, bc, y abc, los totales observados en cada uno de los 8 tratamientos escritos en su orden estándar. Los efectos en este diseño se pueden calcular a partir de la tabla de signos siguiente. Total A B C AB AC BC ABC (1) - - - + + + - a + - - - - + + b - + - - + - + ab + + - + - - - c - - + + - - + ac + - + - + - - bc - + + - - + - abc + + + + + + +
- 52. Una empresa de dispositivos electrónicos identificó que las fracturas de las obleas de silicio por choques térmicos era la principales causa de ruptura de obleas en la etapa de “grabado mesa”. Se identificaron tres factores principales (temperaturas) como las probables causas del problema. Por ello se utilizo un experimento factorial 23 con el objetivo de localizar una combinación de temperaturas en la cual se rompan un mínimo de obleas por efecto térmico.
- 53. Los tres factores controlados y sus niveles en unidades originales son: ◦ T1: Temperatura de grabado (-3oC, -1oC) ◦ T2: Temperatura de piraña (60oC, 98oC) ◦ T1: Temperatura de agua (20oC, 70oC) La respuesta medida a cada oblea procesada en el experimento es binaria con valor 1 si la oblea se rompe y 0 si no se rompe. A continuación se da la proporción de obleas rotas por cada 250 procesadas.
- 54. T1 T2 T3 P -1 -1 -1 0.04 1 -1 -1 0.012 -1 1 -1 0.036 1 1 -1 0.00 -1 -1 1 0.02 1 -1 1 0.00 -1 1 1 0.016 1 1 1 0.004 -1 -1 -1 0.032 1 -1 -1 0.008 -1 1 -1 0.028 1 1 -1 0.00 -1 -1 1 0.02 1 -1 1 0.016 -1 1 1 0.008 1 1 1 0.004
- 55. FV SC GL CM Fo Valor-p A 0.001521 1 0.001521 52.45 0.0001 B 0.000169 1 0.000169 5.83 0.0422 C 0.000289 1 0.000289 9.97 0.0135 AB 0.000001 1 0.000001 0.03 0.8573 AC 0.000361 1 0.000361 12.45 0.0078 BC 0.000001 1 0.000001 0.03 0.8573 ABC 0.000025 1 0.000025 0.86 0.3803 Error 0.000232 8 0.000029 R2 = 91.1 Total 0.002599 15 R2aj= 83.3
- 56. De tal forma que los Efectos de A (Temperatura de Grabado), B (Temperatura de Piraña,) C (Temperatura de Agua), la interacción AC están presentes. Estos efectos pueden graficarse en un diagrama de Pareto para visualizar cuáles tienen mayor impacto sobre la variable de respuesta. (Nota: Se grafican los efectos divididos entre su error estándar)Estimación del error estándar de un efecto ˆ efecto CM n2 E k 2
- 57. Con la información del Pareto Estandarizado se aprecia que los efectos que tienen un valor-p menor que 0.05 son los efectos principales A,B y C; y la interacción AC. De tal manera, con el objeto de aclarar mejor cuales fuentes de variación son significativas y obtener un modelo final en el que sólo se incluyan términos significativos, se construye el Mejor ANOVA. FV SC GL CM Fo Valor-p A 0.001521 1 0.001521 64.60 0.0000 B 0.000169 1 0.000169 7.18 0.0214 C 0.000289 1 0.000289 12.27 0.0049 AC 0.000361 1 0.000361 15.33 0.0024 Error 0.000259 11 0.000023 R2 = 90.03 5 R2aj= 86.4 Total 0.002599 15
- 58. De esta gráfica el mejor tratamiento sería (1,1,1)
- 59. De esta gráfica se observa que si se trabaja con temperatura alta de grabado, da lo mismo cualquiera de las dos temperaturas de agua.
- 60. De esta gráfica se observa que las dos mejores condiciones son: (1,1,1) y (1,1,-1). Es decir (-1oC, 98oC, 70oC) y ((-1oC, 98oC, 20oC) respectivamente.
- 61. Se grafican los residuos y bajo la prueba de Anderson Darling se comprueba la normalidad de los datos.
- 62. Se grafican los residuos vs cada uno de los factores y se comprueba la homogeneidad de las varianzas.
- 63. Rath & Strong Management Consultants (2006). Six Sigma Pocket Guide. Rath & Strong. Schmidt, S. y Launsby, R. (1998). Understanding Industrial Designed Experiments. Air Academy Express Curso de Entrenamiento Seis Sigma: Green Belt (Johnson Controls-UPAEP)