Simulaciones Gravitacionales de N cuerpos

Simulaciones Gravitacionales de N-Cuerpos

Eduardo Jeraldo D.

Departmento de Ciencias Físicas
Universidad Nacional Andrés Bello

16 de Diciembre de 2011

Esquema

1 Introducción
Marco Teórico.

2 Desarrollo
Creación del Programa.
Implementación del Programa.
Optimización del Programa.

3 Tiempos de Ejecución

4 Conclución

Eduardo Jeraldo (UNAB) Simulación de N-Cuerpos 16/11/2011 2 / 22

Introducción

Contenido

1 Introducción
Marco Teórico.

2 Desarrollo


4 Conclución


Introducción Marco Teórico.

Contenido

1 Introducción
Marco Teórico.

2 Desarrollo


4 Conclución



Marco Teórico

• ¿Que es una simulación de N-Cuerpos?



Marco Teórico

• ¿Que es una simulación de N-Cuerpos?

Deﬁnición
Una simulación de N-cuerpos es una simulación de un sistema
dinámico de las partículas, por lo general bajo la inﬂuencia de la
gravedad.



Marco Teórico

• ¿Para que sirve resolver este problema?



Marco Teórico

• ¿Para que sirve resolver este problema?

Respuesta
Estas simulaciones se utilizan para estudiar la evolución dinámica de
los cúmulos estelares, los procesos de formación, como el proceso de
formación de ﬁlamentos de galaxias y los halos de galaxias de materia
oscura en la cosmología física.


Desarrollo

Contenido

1 Introducción
Marco Teórico.

2 Desarrollo


4 Conclución


Desarrollo Creación del Programa.

Contenido

1 Introducción
Marco Teórico.

2 Desarrollo


4 Conclución



Creación del Programa

Para realizar la simulación necesitamos:
• Resolver la ecuación:
• Leyes de Newton.
• Constantes Unitarias.





La ecuación que debemos resolver es la ecuación de Newton.

F = ma





Además la fuerza F es la fuerza de interacción entre cuerpos que se
encuentran bajo potencial gravitatorio.

mi mj (ri − rj )
Fi = G 3
i=j ri − rj





Para no tratar con tantos números, al momento del cálculo, deﬁnimos
una manera de que G sea igual a 1. Para esto usamos:

L = α m
M = β Kg





Las siguientes ecuaciones las usamos para la siguiente relación:

3 3
L m
G =1 2
= 6, 693 ∗ 1011 2
M T Kg s





Para dejar esto bien implementado, despejamos cuanto tendrá que
valer el tiempo para que G = 1.

1
α3 2 11
T = ∗ 10− 2 s
6, 693β


Desarrollo Implementación del Programa.

Contenido

1 Introducción
Marco Teórico.

2 Desarrollo


4 Conclución



Implementaciación del Programa.

• Programa realizado en C.
• Usar un integrador de dos pasos.



Implementaciación del Programa.
La parte principal del programa es:
for(j=0;j<N;j++){
aa[0][j] = aa[1][j] = aa[2][j] = r = 0.0;
for(k=0;k<N;k++){
if(k!=j){
rx = s[0][j]-s[0][k];
ry = s[1][j]-s[1][k];
rz = s[2][j]-s[2][k];
r1 = 1/(rx*rx + ry*ry + rz*rz);
r = sqrt(r1*r1*r1);
aa[0][j] -= G*m[k]*rx*r;
aa[1][j] -= G*m[k]*ry*r;
aa[2][j] -= G*m[k]*rz*r;
}
}
}


Desarrollo Optimización del Programa.

Contenido

1 Introducción
Marco Teórico.

2 Desarrollo


4 Conclución



Optimización del Cálculo.

Para que la rutina de cálculo sea óptima debemos:
• Optimizar el cálculo:
• Cálculo Directo.
• Cálculo de parte de las aceleraciones.
• Cálculo usando Open MP.




• Cálculo Directo.

La primera rutina realiza un cálculo de manera directa.




• Cálculo de parte de las aceleraciones.

Solo calculamos una parte de la aceleraciones.
Gracias a que las aceleraciones representan una matriz de la forma:

   
0 a12 . . . a1n 0 a12 . . . a1n
a21 0 . . . a2n  −a12 0 . . . a2n 
= .
   
 . . . 
 .
. .   .
. . . 
.
an1 an2 . . . 0 −a1n −a2n . . . 0



La programación para el cálculo de la parte superior de la matriz de
aceleracion:
for(j=0;j<N;j++){
r = 0.0;
for(k=j;k<N;k++) {
ax = ay = az = 0.0;
if(k!=j){
rx = x[0][j]-x[0][k]; ry = x[1][j]-x[1][k];
rz = x[2][j]-x[2][k]; r1 = 1 /(rx*rx + ry*ry + rz*rz);
r = sqrt(r1*r1*r1);
ax = -G*m[k]*rx*r; ay = -G*m[k]*ry*r; az = -G*m[k]*rz*r;
}
aa[0][j] += ax; aa[0][k] -= ax;
aa[1][j] += ay; aa[1][k] -= ay;
aa[2][j] += az; aa[2][k] -= az;
}
}




Para que la rutina de cálculo sea optima debemos:

Open MP nos permite realizar el calcular de manera paralela en los
núcleos del computador en que se ejecuta el programa.



Agregamos la linea que comienza con #pragma para realizar la
paralelización
#pragma omp parallel for private(x,y,z,ax,ay,az,k,
rx,ry,rz,r1,r2,r)
for(j=0;j<N;j++){
x = s[0][j]; y = s[1][j]; z = s[2][j];
ax = ay =az = 0.0;
for(k=0;k<N;k++){
if(k!=j){
rx = x-s[0][k]; ry = y-s[1][k]; rz = z-s[2][k];
r1 = rx*rx + ry*ry + rz*rz; r2 = r1*r1*r1;
r = 1/sqrt(r2);
ax -= G*m[k]*rx*r; ay -= G*m[k]*ry*r; az -= G*m[k]*rz*r;
}
}
aa[0][j] = ax; aa[1][j] = ay; aa[2][j] = az;
}




Para que la rutina de cálculo sea optima debemos:

Open MP nos permite realizar el calcular de manera paralela en los
núcleos del computador en que se ejecuta el programa.


Otra paralelización es posible usando la siguiente rutina:
#pragma omp parallel for
for(j=0;j<3*n;j++) aa[0][j] = aa[1][j] = aa[2][j] = 0.0;
#pragma omp parallel for reduction(+:bb) private(gmj,x,y,z
,ax,ay,az,k,rx,ry,rz,r,r1,r2,f)
for(j=1;j<(n/2);j++){
gmj = G*mj; x = s[0][j]; y = s[1][j]; z = s[2][j];
ax = ay =az = 0.0; for(k=(j+1);k<n;k++){
r1 = rx*rx + ry*ry + rz*rz;
r2 = r1*r1*r1; r = 1/sqrt(r2);
f = G*mj*r; ax += f*rx; ay += f*ry; az += f*rz; f = gmj*r;
aa[0][k] -= f*rx; aa[1][k] -= f*ry; aa[2][k] -= f*rz;
} aa[0][j] += ax; aa[1][j] += ay; aa[2][j] += az;
m = n - j; if(m!=j){
gmj = G*mj; ax = ay =az = 0.0;
for(k=m+j;k<n;k++){
r1 = rx*rx + ry*ry + rz*rz;
r2 = r1*r1*r1; r = 1/sqrt(r2);
f = G*mj*r; ax += f*rx; ay += f*ry; az += f*rz;
f = gmj*r; aa[0][k] -= f*rx; aa[1][k] -= f*ry; aa[2][k] -= f*rz;
} aa[1][m] += ax; aa[1][m] += ay; aa[2][m] += az;
}}}

Tiempos de Ejecución

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4 Conclución



Estos son los tiempos de ejecución para una maquina con dos
núcleos:

Figura: Tiempos de ejecución para mil, diez mil y cien mil cuerpos


Conclución

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Marco Teórico.

2 Desarrollo


4 Conclución


Conclución

Conclusión

• El tiempo del programa, usando Open MP, depende del
compilador y la version de este mismo.
• Se debe explorar bien cual es el integrador mas optimo, y que
entrege los resultados mas reales.
• Algunos calculos de la libreria matematica se demoran mas que
otros.
• El uso de pow(a,b) demora mas que multiplicar a veces a.
• Es mas facil multiplicar que dividir.


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