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Optimización Evolutiva Multiobjetivo basada en el
Algoritmo de Kuhn-Munkres
José Antonio Molinet Berenguer
Director: Dr. Carlos Artemio Coello Coello
CINVESTAV-IPN
Departamento de Computación
23 de octubre del 2014
JOSÉ A. MOLINET BERENGUER (CINVESTAV) AEMO basado en Kuhn-Munkres 23 de octubre del 2014 1 / 60

Contenido
1 Introducción
Motivación
Planteamiento del problema
Objetivo
2 Optimización evolutiva de muchos objetivos
3 Propuesta
Evolución Diferencial Húngara EDH
Generación de vectores de pesos
4 Resultados experimentales
Análisis de las componentes de EDH
Comparación de EDH con otros algoritmos
5 Conclusiones
Trabajo futuro
6 Referencias

Introducción
Introducción
Un gran número de problemas presentes en diversas áreas del
conocimiento requieren la optimización simultánea de varios obje-
tivos en conﬂicto [1].
Estos problemas, denominados Problemas de Optimización Multi-
objetivo (POMs), no poseen una solución única, sino un conjunto
de soluciones que representan los distintos compromisos entre los
objetivos.
La noción de óptimo más comúnmente empleada en este tipo de
problemas es la optimalidad de Pareto, la cual considera como so-
luciones óptimas a las no dominadas.

Introducción
Introducción
Figura : Soluciones óptimas de un método de Localización de Objetos Basado
en Energía en una Red de Sensores Inalámbricos.

Introducción
Introducción
Durante la solución de un problema de optimización multiobjetivo
se busca la mejor aproximación posible del Frente de Pareto (FP).
En las últimas dos décadas se han considerado tres criterios fun-
damentales como medida de cuán bueno es un conjunto de solu-
ciones como aproximación del frente de Pareto [2]:
1 Convergencia de las soluciones, de tal forma que la distancia entre
el conjunto obtenido y el verdadero FP sea mínima.
2 Buena distribución de las soluciones en el espacio objetivo, es decir,
una distribución de las soluciones lo más uniforme posible.
3 La extensión del conjunto de soluciones en el espacio objetivo debe
cubrir la mayor región posible del FP.

Introducción
Introducción
f2
f1
(a)
f2
f1
(b)
f2
f1
(c)
f2
f1
(d)
Figura : Características del conjunto de soluciones que aproximan a un frente
de Pareto. En (a) las soluciones no poseen una distribución uniforme, en (b)
las soluciones no convergen al FP verdadero y en (c) las soluciones no se
extienden por todo el frente. En (d) las soluciones poseen las tres propiedades
deseables: distribución uniforme, convergencia y extensión.

Introducción
Introducción
Los Algoritmos Evolutivos Multiobjetivo (AEMOs) se han converti-
do en una de las técnicas más utilizadas para lidiar con problemas
de optimización multiobjetivos, pues han mostrado gran efectividad
al solucionar problemas con dos y tres objetivos [1].
Los AEMOs simulan los principios básicos de la evolución natural
planteados en el Neo-Darwinismo. Estos algoritmos aplican sobre
una población de individuos (soluciones) operadores de selección,
asignación de aptitud, mutación, reproducción y elitismo, con el ﬁn
de lograr la mejor aproximación posible del frente de Pareto.

Introducción
Introducción
Figura : Esquema general de un algoritmo evolutivo.

Introducción
Introducción
Durante varios años, el mecanismo de selección de los AEMOs
estuvo mayormente basado en la dominancia de Pareto, pues per-
mite diferenciar soluciones en problemas con dos o tres objetivos.
Entre los AEMOs basados en la dominancia de Pareto, algunos de
los más representativos son:
MOGA (Fonseca y Fleming, 1993)
NPGA (Horn y Nafpliotis, 1993)
NSGA (Srinivas y Deb, 1994) y NSGA-II (Deb et al., 2002)
SPEA (Zitzler y Thiele, 1999) y SPEA-II (Zitzler et al., 2002)
PAES (Knowles y Corne, 1999)

Introducción
Introducción
En años recientes, diversos estudios han comprobado que al in-
crementarse el número de funciones objetivo a optimizar, resulta
ineﬁcaz el uso de la dominancia de Pareto para lograr convergen-
cia y buena distribución de las soluciones [3].
Esto ocurre porque a medida que el número de objetivos aumenta,
la proporción de individuos no dominados en la población crece,
lo cual deteriora la capacidad de la dominancia de Pareto para
discriminar entre soluciones [4], [5].

Introducción
Introducción
Figura : Porcentaje de vectores no dominados entre 200 generados aleatoria-
mente en un hipercubo unitario k-dimensional (Ishibuchi et al., 2008)

Introducción
Introducción
Debido a que los AEMOs con esquemas de selección basados en
la dominancia de Pareto no son efectivos en problemas con más
de 3 objetivos, se han realizado un gran número de investigacio-
nes para mejorar el rendimiento de los AEMOs en este tipo de
problemas.
Las principales propuestas se han enfocado en el desarrollo de
mecanismos de selección alternativos, la reducción del número de
objetivos y la exploración de sólo algunas regiones del espacio de
soluciones.
Dentro de estas nuevas propuestas, los métodos de escalariza-
ción y los basados en indicadores se han convertido en los más
populares.

Introducción Motivación
1 Introducción
Motivación
Objetivo
3 Propuesta
5 Conclusiones
Trabajo futuro
6 Referencias

Motivación
Existe un gran número de problemas en los que se deben optimi-
zar varios objetivos en conﬂicto. En su mayoría poseen más de 3
funciones objetivo a optimizar simultáneamente.
Los algoritmos basados en dominancia de Pareto han demostra-
do ser ineﬁcientes para diferenciar los individuos en espacios de
solución de alta dimensión.
Se han propuesto relaciones de dominancia alternativas o enfo-
carse en determinas áreas del espacio de soluciones, pero esto
no permite obtener soluciones en todo el frente de Pareto.

Motivación
Los AEMOs basados en el hipervolumen han mostrado el mejor
desempeño en problemas de optimización con 4 o más objetivos.
No obstante, estos algoritmos poseen un costo computacional muy
elevado y los métodos que reducen el tiempo de cómputo obtienen
soluciones cuya calidad se degrada rápidamente al aumentar el
número de objetivos.
Otros AEMOs utilizan indicadores que poseen menor complejidad
computacional, pero la calidad de las soluciones que obtienen no
es comparable a la obtenida con el hipervolumen, pues no poseen
las propiedades matemáticas de este indicador.

Introducción Planteamiento del problema
1 Introducción
Motivación
Objetivo
3 Propuesta
5 Conclusiones
Trabajo futuro
6 Referencias

Introducción Planteamiento del problema
La mayoría de los AEMOs existentes no son capaces de obtener una
buena aproximación del frente de Pareto en problemas de optimiza-
ción con un gran número de funciones objetivo y los AEMOs que mejor
desempeño han mostrado en este tipo de problemas, poseen un costo
computacional que aumenta exponencialmente con el número de obje-
tivos.

Introducción Objetivo
1 Introducción
Motivación
Objetivo
3 Propuesta
5 Conclusiones
Trabajo futuro
6 Referencias

Objetivo
Proponer un algoritmo evolutivo multiobjetivo basado en un nuevo es-
quema de selección que mejore el desempeño de los algoritmos repre-
sentativos del estado del arte en la optimización de muchas funciones
objetivo.

Objetivos especíﬁcos
Estudio de los algoritmos evolutivos para la optimización de mu-
chos objetivos.
Adaptar el problema de la selección de individuos en una población
para ser resuelto con el algoritmo de asignación lineal de Kuhn-
Munkres.
Implementar un método de diseño uniforme para generar conjun-
tos de vectores de pesos uniformemente espaciados.
Implementar un algoritmo evolutivo multiobjetivo con un esquema
de selección basado en el algoritmo de Kuhn-Munkres.
Comparar el algoritmo propuesto con otros representativos del es-
tado del arte, utilizando diversos problemas de prueba.

Optimización evolutiva de muchos objetivos
1 Introducción
Motivación
Objetivo
3 Propuesta
5 Conclusiones
Trabajo futuro
6 Referencias

En la literatura actual, se han presentado diversos AEMOs para solu-
cionar problemas con más de tres funciones objetivo. A continuación,
se mencionarán algunas de los enfoques más populares.
1 basados en relaciones de preferencia
2 que reducen la dimensión del espacio objetivo
3 basados en información de preferencia
4 basados en indicadores
5 basados en descomposición

Optimización evolutiva de muchos objetivos AEMOs basados en relaciones de preferencia
AEMOs basados en relaciones de preferencia
Estos algoritmos utilizan como criterios de selección a relaciones
de preferencias distintas a la dominancia de Pareto. Algunos de
estos AEMOs se basan en modiﬁcaciones de la dominancia de
Pareto, otros consideran el número de objetivos en los cuales una
solución es mejor que otra, la magnitud de la mejora o el número
de subespacios en los que una solución permanece no dominada.
Aunque estos AEMOs obtienen mejores resultados que los basa-
dos en la dominancia de Pareto, las soluciones que producen son
solo un subconjunto del frente de Pareto. Además, gran parte de
las relaciones de preferencia requieren parámetros adicionales, lo
cual puede limitar su aplicación en ciertos problemas reales.

Optimización evolutiva de muchos objetivos AEMOs que reducen la dimensión del espacio objetivo
AEMOs que reducen la dimensión del espacio objetivo
Estos AEMOs intentan convertir el problema original en instancias
de menor dimensión (número de objetivos) que puedan solucionar-
se con técnicas ya existentes. Estos algoritmos se pueden agrupar
en dos clases principales: los métodos de partición del espacio y
los métodos que reducen el número de objetivos del problema.
Estas técnicas asumen la existencia de objetivos redundantes o la
independencia entre subconjuntos de objetivos. Sin embargo, gran
parte de los problemas no cumplen con estas características y por
tanto, el espacio objetivo no se reduce suﬁcientemente como para
que sean efectivos los criterios de selección utilizados. Además,
puede que se prescinda de objetivos fundamentales para descubrir
el frente de Pareto en su totalidad.

Optimización evolutiva de muchos objetivos AEMOs basados en información de preferencia
AEMOs basados en información de preferencia
En determinados problemas de optimización multiobjetivo, el to-
mador de decisiones (TD) solo está interesado en una región es-
pecíﬁca del frente de Pareto. Esto ha propiciado el desarrollo de
varios AEMOs que utilizan la información de preferencia del TD
para guiar la búsqueda hacia la región de interés.
Estos métodos requieren de la intervención del tomador de deci-
siones para identiﬁcar las regiones de interés. Sin embargo, cuan-
do aumenta el número de objetivos, la cantidad de información
requerida se hace mayor y más compleja de obtener por parte del
TD. Además, en ciertos problemas reales no se tiene información
previa sobre las soluciones requeridas.

Optimización evolutiva de muchos objetivos AEMOs basados en indicadores
AEMOs basados en indicadores
Un indicador de desempeño es una medida cuantitativa de la cali-
dad con que un conjunto de soluciones no dominadas representa
el frente de Pareto. Debido a que la efectividad de los AEMOs es
generalmente evaluada con estos indicadores, cada vez son más
las propuestas que transforman el problema multiobjetivo original
en el problema de optimizar uno de estos indicadores.
El hipervolumen se ha convertido en la opción más popular de los
AEMOs basados en indicadores. Sin embargo, su costo compu-
tacional aumenta exponencialmente con el número de objetivos.
Esto ha motivado el desarrollo de métodos más eﬁcientes para su
cálculo y el uso de indicadores alternativos que posean propieda-
des similares. Aunque estas propuestas han mejorado el tiempo
de cómputo, no logran mantener la calidad de las soluciones.

Optimización evolutiva de muchos objetivos AEMOs basados en descomposición
AEMOs basados en descomposición
Estos algoritmos utilizan una función de escalarización para trans-
formar un problema de optimización multiobjetivo en varios sub-
problemas de un solo objetivo, los cuales se optimizan simultánea-
mente mediante la evolución de una población de soluciones.
La efectividad de los AEMOs basados en descomposición depen-
de en gran medida de la función de escalarización (o función de
utilidad) que incorporen y de la distribución de los vectores de pe-
sos utilizados por dicha función. Esto ha motivado un reciente inte-
rés en el desarrollo de nuevas funciones de utilidad y de métodos
para generar vectores de pesos uniformemente espaciados.

Propuesta
1 Introducción
Motivación
Objetivo
3 Propuesta
5 Conclusiones
Trabajo futuro
6 Referencias

Propuesta
Propuesta
El AEMO que proponemos transforma el proceso de selección en un
problema de asignación lineal (PAL) utilizando un conjunto de vectores
de pesos uniformemente espaciados y una función de costo.
Figura : Población de individuos (soluciones) de la generación t.

Propuesta
Propuesta
Nuestra propuesta inicia con una población de n individuos generados
de forma aleatoria. Estos individuos serán los padres de n individuos
hijos que se obtendrán de aplicar la evolución diferencial.
Figura : Población de individuos de la generación t y su descendencia, obte-
nida al aplicar los operadores de recombinación.

Propuesta
Propuesta
Con los 2n individuos que se tienen al unir la población de padres y la
población de hijos y con los n vectores de pesos uniformemente distri-
buidos, se construye la matriz de costos del problema de asignación.
Figura : Población de individuos de los cuales se deben seleccionar los que
mejor aproximen el frente de Pareto (según los vectores de pesos a, b, c y d).

Propuesta
Propuesta
El problema de asignación se soluciona mediante el algoritmo de Kuhn-
Munkres (o método húngaro). Los individuos asignados a los vectores
de pesos serán los sobrevivientes y pasarán a la siguiente generación.
Figura : En azul los individuos seleccionados con el algoritmo de Kuhn-
Munkres para convertirse en la población de padres de la generación t + 1.

Propuesta
Propuesta
En caso de que no se utilice una estrategia de asignación óptima (como
el algoritmo de Kuhn-Munkres), la calidad de la aproximación del frente
de Pareto puede degradarse.
Figura : En rojo los individuos seleccionados con un método voraz para con-
vertirse en la población de padres de la generación t + 1.

Propuesta Evolución Diferencial Húngara EDH
Figura : Pseudocódigo de la Evolución Diferencial Húngara (EDH).

Propuesta Generación de vectores de pesos
Nuestra propuesta requiere de un conjunto de vectores uniformemente
dispersos en el espacio objetivo para aproximar el frente de Pareto. El
método más utilizado en los AEMOs ha sido el simplex-lattice, el cual
produce un conjunto de puntos igualmente espaciados. Sin embargo,
este método presenta tres problemas principales:
La distribución de los vectores de pesos no es muy uniforme.
El número de vectores generados aumenta de manera no lineal
con respecto al número de objetivos.
La mayor parte de los vectores están distribuidos en la frontera del
símplex.

101
10
2
10
3
10
4
10
5
10
6
2 3 4 5 6 7 8 9 10
Númerodevectoresdepesos
Número de objetivos
(b)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
w1 w2 w3 w4 w5 w6
(a)
20 %
40 %
60 %
80 %
100 %
2 3 4 5 6 7 8 9 10
Vectoresdepesosenlafrontera
Número de objetivos
(c)
Figura : Deﬁciencias del método simplex-lattice. En (a) se muestra la alta tasa
de repetición del valor de cada componente de los 126 vectores generados en
un espacio de 6 dimensiones. En (b) se presenta el crecimiento exponencial
del número de vectores y en (c) el aumento de la proporción de vectores
fronterizos.

Recientemente, algunos AEMOs han utilizado otros métodos para
generar el conjunto de vectores de pesos. Las dos tendencias fun-
damentales radican en usar métodos basados en el hipervolumen
o métodos del diseño uniforme.
Los primeros tratan de maximizar el hipervolumen cubierto por los
vectores de pesos en el espacio objetivo, pero el costo compu-
tacional de este proceso crece exponencialmente con el número
de objetivos.
En el segundo caso, combinan el método glp (good lattice point)
con métodos del diseño uniforme. Aunque obtienen resultados su-
periores a los basados en hipervolumen, su costo computacional
también crece exponencialmente con el número de objetivos.

En nuestro trabajo, proponemos sustituir el método glp por el método
de Hammersley, pues este último posee un costo computacional muy
inferior y obtiene vectores con una distribución cercana a la obtenida
por glp.

0
0.5
1
0
0.5
1
0
0.5
1
w3
Monte Carlo
w2w1
w3
0
0.5
1
0
0.5
1
0
0.5
1
w3
Diseño Uniforme
w2w1
w3
0
0.5
1
0
0.5
1
0
0.5
1
w3
Simplex−lattice
w2w1
w3
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
w1 w2 w3 w4
Monte Carlo
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
w1 w2 w3 w4
Diseño Uniforme
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
w1 w2 w3 w4
Simplex−lattice
Figura : Vectores de pesos obtenidos en los símplex de 3 y 4 dimensiones.

Resultados experimentales
1 Introducción
Motivación
Objetivo
3 Propuesta
5 Conclusiones
Trabajo futuro
6 Referencias

Resultados experimentales
La evaluación de nuestra propuesta EDH se realizó con base en
los resultados de dos experimentos. En el primero se variaron los
componentes de EDH para estudiar la inﬂuencia de éstos en el
desempeño del algoritmo. En el segundo experimento se compa-
raron los resultados de EDH con los obtenidos por tres AEMOs
representativos del estado del arte (MOEA/D, MOEA/D-DE y SMS-
EMOA).
En ambos experimentos se utilizaron 16 problemas que pertene-
cen a los conjuntos de prueba DTLZ y WFG. De estos 16 proble-
mas se obtuvieron 144 instancias al variar el número de objetivos
entre 2 y 10. La calidad de las soluciones obtenidas por cada al-
goritmo se evaluó con los indicadores hipervolumen y distancia
generacional invertida.

Resultados experimentales Análisis de las componentes de EDH
El algoritmo propuesto EDH utiliza un conjunto de vectores de pe-
sos uniformemente distribuidos y una función de costo para trans-
formar el proceso de selección en un problema de asignación.
En la versión que proponemos, los vectores de pesos son gene-
rados con un método de diseño uniforme y como función de costo
utilizamos la descomposición de Tchebycheff modiﬁcada.
Otras tres versiones se pueden obtener si variamos estos elemen-
tos de EDH:
EDH-Tch utiliza la descomposición de Tchebycheff original en lugar
de la modiﬁcada.
EDH-SL utiliza el método de simplex-lattice para generar los vecto-
res de pesos.
EDH-Tch-SL utiliza tanto la descomposición de Tchebycheff original
como el método de simplex-lattice.

Figura : Ranking de las variantes de EDH en los problemas DTLZ y WFG.

Figura : Soluciones obtenidas por las distintas variantes de EDH en problemas
DTLZ con 3 objetivos.

Figura : Soluciones obtenidas por las distintas variantes de EDH en problemas
WFG con 3 objetivos.

Resultados experimentales Comparación de EDH con otros algoritmos
Este segundo experimento consiste en validar EDH comparando su
desempeño con respecto a tres algoritmos representativos del estado
del arte:
Los AEMOs basados en descomposición MOEA/D y MOEA/D-DE
El AEMO basado en el hipervolumen SMS-EMOA

Figura : Ranking de los distintos AEMOs en los problemas DTLZ y WFG.

Figura : Soluciones obtenidas por EDH, MOEA/D, MOEA/D-DE y SMS-EMOA
en los problemas DTLZ1 y 2 con 3 objetivos.

en los problemas WFG1 y 3 con 3 objetivos.

en los problemas WFG6 y 7 con 3 objetivos.

Figura : Tiempo de ejecución promedio de EDH, MOEA/D, MOEA/D-DE y
SMS-EMOA en problemas DTLZ y WFG.

Conclusiones
1 Introducción
Motivación
Objetivo
3 Propuesta
5 Conclusiones
Trabajo futuro
6 Referencias

Conclusiones
Conclusiones
Se realizó una revisión de los principales AEMOs propuestos para
solucionar problemas con más de tres objetivos, resaltando sus
ventajas y limitaciones.
Los algoritmos basados en indicadores y los basados en descom-
posición se han convertido rápidamente en las alternativas más
populares. Sin embargo, la efectividad de estos AEMOs se degra-
da al aumentar el número de objetivos.
En el presente trabajo se propuso un algoritmo evolutivo para so-
lucionar problemas con mas de tres objetivos. El aspecto principal
de nuestra propuesta es que transforma el proceso de selección
en un problema de asignación lineal.

Conclusiones
Conclusiones
Para construir el problema de asignación lineal se emplea un con-
junto de vectores de pesos uniformemente distribuidos en el espa-
cio objetivo y una función de utilidad (o función de costo).
Se propuso generar los vectores de pesos utilizando una combi-
nación entre un métodos de diseño uniforme y un métodos quasi
Monte Carlo, que logra una distribución cercana a la uniforme.
El AEMO propuesto, denominado evolución diferencial húngara
EDH, se comparó con respecto a MOEA/D, MOEA/D-DE y SMS-
EMOA, que poseen un amplio reconocimiento en la literatura es-
pecializada.

Conclusiones
Conclusiones
Los resultado experimentales indican que:
El tiempo de ejecución de SMS-EMOA asciende a días cuando el
número de objetivos es mayor o igual a 5.
SMS-EMOA presenta diﬁcultad para converger en problemas con
múltiples óptimos locales o con frentes de Pareto degenerados.
En un gran número de problemas SMS-EMOA genera soluciones
con una pobre distribución.
MOEA/D y MOEA/D-DE pierden capacidad de convergencia en la
medida que aumenta el número de objetivos.
Además, la diversidad de la soluciones generadas por MOEA/D y
MOEA/D-DE se ve afectada considerablemente en problemas con
más de tres objetivos.

Conclusiones
Conclusiones
EDH obtiene los mayores valores del hipervolumen en todas las
instancias con más de 5 objetivos.
En problemas como DTLZ1, DTLZ3 y DTLZ6 también alcanza el
mayor hipervolumen para las instancias con menos de 5 objetivos.
Según la distancia generacional invertida, EDH obtiene los mejo-
res valores en 126 de las 144 instancias de problema.
El tiempo de ejecución no de EDH no depende del número de
objetivos como en el caso de SMS-EMOA.
La calidad de las soluciones obtenidas por EDH en problemas con
hasta 10 objetivos y el tiempo de cómputo que requiere, lo convier-
ten en una opción competitiva frente a otros AEMOs existentes.

Conclusiones Trabajo futuro
1 Introducción
Motivación
Objetivo
3 Propuesta
5 Conclusiones
Trabajo futuro
6 Referencias

Conclusiones Trabajo futuro
Trabajo futuro
El método húngaro, utilizado en EDH para solucionar el problema
de asignación lineal, posee un orden O(n3), donde n es el número
de soluciones que se desean. En caso de requerirse un gran nú-
mero de soluciones, se recomienda implementar otro algoritmo de
asignación o un método de programación lineal.
En espacios de alta dimensionalidad, el método propuesto en EDH
para generar los vectores de pesos tiende a concentrar los vecto-
res en el interior del simplex. Se recomienda combinar este método
con el símplex-lattice, para obtener vectores en los extremos.
El desempeño del mecanismo de selección de EDH depende en
gran medida de la función de costo utilizada para construir el pro-
blema de asignación. Se recomienda explorar función de costo que
evalúen cuán factible es una solución como aproximación del fren-
te de Pareto.

Referencias
C. A. COELLO COELLO, G. B. LAMONT, AND D. A. VAN
VELDHUIZEN , Evolutionary Algorithms for Solving Multi-Objective
Problems, Springer, New York, 2nd edition, 2007.
ECKART ZITZLER AND SIMON KUNZLI,Ïndicator-Based Selection in
Multiobjective Search",In Proceedings of the 8th International
Conference on Parallel Problem Solving from Nature (PPSN
VIII),Birmingham, UK, 2004.
P. J. FLEMING, R.C. PURSHOUSE, AND R. J.
LYGOE,"Many-objective optimization: An engineering design
perspective", In Evolutionary multi-criterion optimization. Lecture
notes in computer science, Berlin: Springer,3410:14-32, 2005.
T. HANNE,"Global multiobjective optimization with evolutionary
algorithms: Selection mechanisms and mutation control", In
Evolutionary multi-criterion optimization. Lecture notes in computer
science, Berlin: Springer, 1993:197-212, 2001.

Referencias
K. IKEDA, H. KITA, AND S. KOBAYASHI,"Failure of
Pareto-basedMOEAs:Does non-nominated really mean near
optimal?", In Proceedings of the 2001 Congress on Evolutionary
Computation,957-962, 2001.
C. M.FONSECA, AND P. J. FLEMING,"Multiobjective optimization
and multiple constraint handling with evolutionary algorithms—Part
1: A uniﬁed formulation", IEEE Transactions on Systems, Man and
Cybernetics, Part A: Systems and Humans,28(1):26-37, 1998.
A. SULFLOW, N. DRECHSLER, AND R. DRECHSLER,Robust
multi-objective optimization in high dimensional spaces", In
Evolutionary multi-criterion optimization, Berlin:
Springer,715-726,2007.
N. BEUME, B. NAUJOKS, AND M.
EMMERICH,"SMS-EMOA:Multiobjective selection based on
dominated hypervolume", European Journal of Operational
Research,181:1653-1669,2007.

Referencias
D. BROCKHOFF, T. FRIEDRICH, AND F. NEUMANN,.A
nalyzing
Hypervolume Indicator Based Algorithms", In Parallel Problem
Solving from Nature–PPSN X. Lecture Notes in Computer
Science, Berlin: Springer, 5199:651-660,2008.
H. W. KUHN,"The hungarian method for the assignment problem",
Naval Research Logistic Quarterly, 2:8-97,1955.
J. MUNKRES,.A
lgorithms for the assignment and transportation
problems", Journal of the Society of Industrial and Applied
Mathematics, 5(1):32-38,1957.

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