T E C N O L O G I C O S U P E R I O R C O R D I L L E R A
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Este documento describe conceptos fundamentales sobre ángulos de inclinación, pendientes, paralelismo y perpendicularidad entre rectas. Explica que la pendiente de una recta es la tangente de su ángulo de inclinación y provee fórmulas para calcular la pendiente y ángulo entre dos puntos. También establece que dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente y perpendiculares si el producto de sus pendientes es -1.
T E C N O L O G I C O S U P E R I O R C O R D I L L E R A
- 1. TECNOLOGICO SUPERIOR CORDILLERA ANALISIS II Alexandra Guayasamín Tercero “A” PENDIENTE Y ANGULO DE INCLINACIÓN Ángulo de inclinación Sea l una recta no paralela al eje x y que lo intersecta en el punto A. La dirección de la recta en relación con los ejes coordenados puede indicarse si se conoce el ángulo q< 180° que se obtiene al girar la semirrecta AX en el sentido contrario a las manecillas del reloj hasta coincidir con la recta l. Por lo tanto, este ángulo (q) se denomina inclinación de la recta l. Pendiente de una recta Se denomina pendiente o coeficiente angular de una recta a la tangente de su ángulo de inclinación. La notación de pendiente es por la letra m y de acuerdo con la definición, se expresa por m=tg q. El ángulo (q) de inclinación de la recta puede tomar cualquier valor entre 0° £ q £ 180°, por lo que los siguientes criterios facilitan la comprensión del comportamiento de la pendiente en el sistema de coordenadas rectangulares: a) m es un numero positivo, si 0° < q < 90° . b) m es un número negativo, si 90° < q < 180° . c) m =0, si q =0° . d) m = ¥ , si = 90° . La pendiente se define matemáticamente por el siguiente: Teorema Sean P1 (x1,y1) y P2 (x2,y2) dos puntos diferentes cualesquiera de una recta, la pendiente de dicha recta es: m= y1 – y2 x1 –x2 Siendo x1¹ x2 Ejemplo: Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que se forma con los puntos A(−6,−4) y B(8,3). Solución Al graficar los puntos dados, tenemos: Al sustituir los datos en la fórmula de la pendiente, resulta: m= y1 – y2 −4 −3 −7 x1 –x2 −6 –8 −14 Donde m=1/2
- 2. Para determinar el ángulo de inclinación , utilizamos la ecuación: q=arc tg m q=arc tg (1/2)= arc tg(0.5) q=26°33’ 54’’ Como la m es positiva, el ángulo q es mayor de 0° pero menor que 90° . Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que une a los puntos A(12,−5) y B(2,1). RECTAS PAPALELAS Dos rectas son paralelas cuando no tienen ningún punto en común, o cuando son coincidentes. Dado un punto perteneciente a una recta o exterior a ella, por él pasa una y sólo una paralela a dicha recta. El trazado de paralelas puede efectuarse de las siguientes formas: Con regla y escuadra Con regla y compás Teorema: En un plano, dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas. Propiedades del paralelismo Carácter reflexivo: Toda recta es paralela a si misma. Carácter simétrico: Si una recta es paralela a otra, ésta es paralela a la primera. Carácter transitivo: Si una recta es paralela a otra y ésta es paralela a una tercera, la primera recta es paralela a la tercera.
- 3. Teorema En un plano, dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas. Hipótesis Tesis Demostración (Por el método del absurdo) Si a no fuera paralela a b , las rectas se cortarían en un punto R. Por hipótesis, por el punto R pasarían dos rectas perpendiculares a la recta c. y esto es absurdo ya que por un punto exterior a una recta pasa una y sólo una perpendicular a la misma. RESTAS PERPENDICULARES Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman cuatro ángulos iguales. Dado un punto perteneciente a una recta o exterior a ella, por él pasa una y sólo una perpendicular a dicha recta.
- 4. El trazado de perpendiculares puede efectuarse de las siguientes formas: Con escuadra, por un punto perteneciente a la recta o exterior a la misma. Con compás, por un punto perteneciente a la recta o exterior a la misma. Propiedades de la perpendicularidad Carácter reflexivo: La perpendicularidad no cumple con el carácter reflexivo. Carácter simétrico: Si una recta es perpendicular a otra, ésta es perpendicular a la primera. Carácter transitivo: La perpendicularidad no cumple con el carácter transitivo. ANGULOS ENTRE RESCTAS Si se tiene dos rectas o segmentos cualesquiera m y n , y una recta l que corta a ambas, se forman varios ángulos que se pueden apreciar siguiente figura (cada uno de los ángulos se encuentra denotado por una letra del alfabeto griego): A los pares de ángulos: 1) a y f; e y q; d y l; b y g se les llama ángulos correspondientes. 2) a y l; b y q se les llama ángulos alternos externos. 3) d y f; e y g se les llama ángulos alternos internos. 4) b y l; a y q se les llama ángulos conjugados externos. 5) d y g; e y f se les llama ángulos conjugados internos. ANGULO ENTRE DOS RECTAS. PERPENDICULARIDAD Y PARALELISMO ENTRE RECTAS
- 5. Sean l 1 y l2 dos rectas no verticales, cuyos ángulos de inclinación son q1 y q2 respectivamente. Al cortarse las 0 rectas l1 y l2 forman cuatro ángulos iguales de dos en dos (fig. 4.14.), esto es: b1 = b2 = q1 – q2 y a1 = a2 = 180 - b 1. Se define el ANGULO entrel1 y l2 como el ángulo positivo obtenido al rotar la recta l2 hacia l1 . En este caso, el ángulo entre l1 y l2 viene dado por: b1 = q1 - q2 (1) Fig. 4.14 El propósito ahora es establecer una relación entre las pendientes de dos rectas y el ángulo entre ellas. De la igualdad (1) se tiene: tan b1 = tan (q1 - q2) , (2) También, cot b1 = cot (q1 - q2) , (3) Puesto que m1=tan q1 y m2=tan q2 , entonces las igualdades (2) y (3) podemos escribirlas en la forma: tan b1 , (2)’ cot b1 , (3)’ Las ecuaciones (2)’ y (3)’ expresan la tangente y la cotangente del ángulo b1, entre las rectas l1 y l2 en términos de sus pendientes y por medio de ellas se pueden establecer criterios de perpendicularidad y paralelismo entre rectas, como la afirma el siguiente teorema. TEOREMA (Condiciones de Perpendicularidad y Paralelismo) Sean l1 y l2 dos rectas no verticales con pendientes m1 y m2 respectivamente. Entonces: i) l1 es paralela a l2 (l1 || l2) m1 = m2 ii) l1 es perpendicular a l2 (l1 l2) m1 . m2 = -1
- 6. Demostración En la fig. 4.15. aparece ilustrada cada una de las situaciones fig. 4.15. i. Suponga que l1 || l2 y vea que m1 = m2. En efecto, como l1 ||l2, entonces los ángulos q1 y q2 son iguales por correspondientes y en consecuencia tan q1 = tanq2, es decir, m1 = m2 . Ahora, si m1= m2 , se sigue de (2)’ que tanb1 = 0, y de aquí, b1 = q1 - q2 = 0, de donde q1 = q2 y por lo tanto l1 y l2 son paralelas. ii. Si l1 y l2 son perpendiculares, entonces y cot b1 = cot Sustituyendo este último valor en (3)’ obtenemos: 0 , de donde m1. m2 + 1 = 0, y de aquí se deduce que m1. m2 = -1. Recíprocamente, si m1. m2 = -1, entonces y como m2=tanq2 y m1=tanq1 , se tiene que , donde sin pérdida de generalidad hemos escogido la recta l1 con mayor 0 inclinación q1. Teniendo en cuenta que tanto q1 como q2 son ángulos positivos y menores que 180 , concluimos 0 0 que: q1 = 90 + q2, de donde q1 – q2 = 90 y por lo tanto las rectas l1 y l2 son perpendiculares. Observaciones i. Si las rectas l1 y l2 están dadas por las ecuaciones en forma general Ax + By + C = 0 y A1x + B1y + C1 = 0 puesto que y , entonces las condiciones de paralelismo y perpendicularidad del teorema pueden enunciarse en la siguiente forma: l1 || l2 l1 l2 Un caso especial del paralelismo entre rectas es la coincidencia. Una condición nece- saria y suficiente para que dos rectas l1 y l2 sean coincidentes es la proporcionalidad entre sus coeficientes. Es decir, las rectas de ecuaciones Ax + By + C = 0 y A1x + B1y + C1 = 0 son coincidentes