Tema1 numeros

Curso Introductorio a las
Matemáticas Universitarias
Tema 1: Números y operatoria
Teresa Bermúdez de León
Antonio Martinón Cejas
José Manuel Méndez Pérez
Licencia Creative Commons 2013

1. N ÚMEROS Y OPERATORIA
En este primer tema vamos a repasar los números reales, prestando especial atención a las
operaciones, as´ı como a las propiedades de las potencias. Además se recordarán la resolución de
ecuaciones (lineales y cuadráticas), inecuaciones y las operaciones básicas con polinomios.
1.1. Números reales y operatoria
El objetivo se esta sección es presentar los números reales as´ı como su manipulación con las
diferentes operaciones.
1.1.1. Números reales
Aqu´ı tenemos una lista de números de diferentes tipos:
0 , 1 , 17 , −4 ,
5
3
, −
2
7
, π ,
√
2 , e , π3
.
Los números naturales son los siguientes:
1 , 2 , 3 , 4 ...
Otra clase de números la forman los números enteros:
... − 4 , −3 , −2 , −1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 ...
Evidentemente, todos los números naturales son enteros.
A partir de los enteros se obtienen las fracciones (cocientes de enteros). Por ejemplo:
5
3
, −
2
7
,
1
4
,
−6
1
.
Esta clase de fracciones constituye el conjunto de los números racionales.
El cociente de dividir 1 entre 3 lo escribimos en la forma 1
3 o bien 1/3. A 1
3 se le llama
fracción. Significa que si dividimos una unidad en tres partes escogemos 1 de esas 3 partes.

Curso Introductorio a las Matemáticas Universitarias Tema 1. Página 2
0 1
1
3
Figura 1. Representación gráfica de 1
3
0 1
3
5
Figura 2. Representación gráfica de 3
5
El número que está sobre la l´ınea de la fracción se denomina numerador y el número que
está debajo de la l´ınea de fracción se llama denominador.
fracción
m numerador
−
n denominador.
Hay muchas formas de escribir un número racional. Por ejemplo:
5
3
=
10
6
=
15
9
= · · · =
−5
−3
=
−10
−6
=
−15
−9
= · · ·
3 =
3
1
=
6
2
=
9
3
= · · · =
−3
−1
=
−6
−2
=
−9
−3
= · · ·
Todo número entero (luego, todo número natural) es un número racional.
Los siguientes números, además de otros muchos, son números irracionales:
π ,
√
2 ,
√
3 , e .
Los números racionales y los números irracionales forman la clase de los números reales.
Un número real o es racional o es irracional.
Hay una clase aún mayor de números, los números complejos, que se estudiarán más
adelante.
1.1.2. Ejercicios
1. Indicar si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones: (a) 2 es entero; (b) 3 es racional;
(c) 0 es real; (d)
√
2 es real; (e) π es racional; (f) e es natural.

1.1.3. Operaciones
Con los números reales hay dos operaciones muy importantes: la suma (o adición) y el
producto (o multiplicación).
La diferencia (o resta) puede verse como una suma:
x − y = x + (−y) .
Hay que tener en cuenta las siguientes propiedades:
x+0 = x ; −(−x) = x ; x+(−x) = 0 ; −(x+y) = −x−y ; −(x−y) = −x+y .
Ejemplo. Se verifican las siguientes igualdades:
a − (a − b) = a − a + b = b .
Ejemplo. Las siguientes igualdades son correctas:
(a − b) − a = a − b − a = −b .
El producto de dos números se representa de varias maneras:
3 × 4 = 3 · 4 = 12 ,
2 × a = 2.a = 2a ,
a × x = a.x = ax .
Algunas propiedades del producto son:
1x = x , 0x = 0 ,
xy = 0 =⇒ x = 0 ó y = 0 .
La propiedad distributiva o propiedad del factor común relaciona la suma y el producto:
x(y + z) = xy + xz .
Ejemplo. Se cumple lo siguiente:
a − b(a + 1) = a − ba − b .
Ejemplo. Se verifican las siguientes igualdades:
(1 − b)a + a = a − ba + a = 2a − ba = (2 − b)a .
También se puede hacer as´ı:
(1 − b)a + a = [(1 − b) + 1]a = (1 − b + 1)a = (2 − b)a .

El cociente (o división) de dos números se suele escribir de varias formas
a : b =
a
b
= a/b .
No tiene significado la división por 0, as´ı que no se debe escribir
1
0
, ni
0
0
·
El cociente se puede contemplar como un producto:
x
y
= x
1
y
.
Se verifican las siguientes propiedades:
x
y
=
u
v
⇔ xv = yu ;
x =
1
1
x
;
x
1
= x ;
x
y
u
v
=
xv
yu
.
Ejemplo. Se tiene
a
a
b
=
ab
a
= b .
Ejemplo. Se verifica que
Å
a
b
+ a
ã
b =
ab
b
+ ab = a + ab = a(1 + b) .
El producto repetido de un mismo factor da lugar a las potencias (de exponente natural):
xn
= x x x ... x (n veces ) .
Conviene definir x0 = 1, para x = 0. Ejemplos: (a) x3 = xxx; (b) a2 = aa; (c) m1 = m.
Ejemplo. Se verifica
x(1 + y + y2) − y(1 + x + x2) = x + xy + xy2 − y − yx − yx2
= x − y + xy(y − x)
= (x − y) − xy(x − y) = (x − y)(1 − xy) .
Ejemplo. Se cumplen las siguientes igualdades
ab3
+ 2a2
b2
+ a3
b = ab(b2
+ 2ab + a2
) = ab(a + b)2
.

1.1.4. Ejercicios
1. Escribir como diferencias las siguientes sumas: (a) 5+7; (b) 2+(−π); (c) e+1; (d) 2+
√
2;
(e) 4 + (−1); (f) −2 + 3.
2. Escribir como cocientes los siguientes productos: (a) 2·
1
7
; (b) 3·
−11
2
; (c) 3·2; (d) 4·(−1);
(e) −6 · 7; (f) 2 · 2.
3. Simplificar las siguientes expresiones: (a) (a − b) − (a + b); (b) a + b − (a − b); (c) −a +
x − (2x + a); (d) −(u − v) − (v − u); (e) v − x + (−v − u); (f) x − [(x − y) + (y − x)].
4. Efectuar: (a) a +
1
x
; (b) u −
1
v
; (c) b2 −
1
1 − b
; (d)
b
w
+ b; (e)
x2
y
−
y2
x
; (f)
x + y
x
−
x + y
y
.
1.1.5. Paréntesis y factorización
Cuando una expresión algebraica contiene dos o más sumandos con un factor común, entonces
ese factor se puede sacar fuera de un paréntesis. Por ejemplo,
ab + ac = a(b + c) .
A este proceso se le llama factorización.
Ejemplos:
1. Factorizar xy − 3xz
Observamos que cada término tiene un factor común, x, por tanto
xy − 3xz = x(y − 3z) .
2. Factorizar 2ax − 3ay + 2bx − 3by
Sacando factor común se tiene que
2ax − 3ay + 2bx − 3by = a(2x − 3y) + b(2x − 3y) = (a + b)(2x − 3y) .
3. Quitar paréntesis y simplificar (3a + b) + 2(b + c) − 4(c + d).
Empezamos quitando paréntesis y agrupamos factores comunes
(3a + b) + 2(b + c) − 4(c + d) = 3a + b + 2b + 2c − 4c − 4d
= 3a + b(1 + 2) + c(2 − 4) − 4d
= 3a + 3b − 2c − 4d .

1.1.6. Ejercicios
1. Quitar paréntesis y simplificar
a) (a + b)(a − b)
b) (3x − 3y)2
c) 2 p2 − 3(q + r) + q2
d) x(2x − 4y) − 2x(4x + y)
2. Simplificar
a)
a
5a + 2a
− 3a
b) 3c + 2c × 4c +
c
5c − 8c
c)
2a − 3
4a
+ 5 × 6 − 3a
1.1.7. Divisibilidad
En esta sección se trabaja solamente con números naturales (1, 2, 3...).
Sean m y n números naturales. Se dice que m es múltiplo de n y que n es divisor de m si
existe otro natural k de modo que m = kn. Por ejemplo:
Múltiplos de 6 = {6, 12, 18, 24...} (conjunto infinito)
Divisores de 6 = {1, 2, 3, 6} (conjunto finito)
Un número natural p se dice que es primo si p > 1 y sus únicos divisores son 1 y p. Los
primeros números primos son
2, 3, 5, 7, 11, 13...
Todo número natural se puede representar de forma única como producto de números
primos (y sus potencias). Por ejemplo: 12 = 22 · 3.
Se define el máximo común divisor de dos o más números naturales, y se denota por m.c.d.,
como el mayor de los divisores comunes a dichos números.
Si queremos hallar el máximo común divisor de 12 y 18, formamos los conjuntos de sus
divisores:
Divisores de 12={1, 2, 3, 4, 6, 12} y Divisores de 18={1, 2, 3, 6, 9, 18}.
La intersección de estos dos conjuntos es {1, 2, 3, 6} y está constituido por los divisores
comunes de 12 y 18. El mayor de ellos es 6; por tanto, el m.c.d.(12, 18) = 6.
Para determinar el m.c.d. se siguen los pasos: (i) Se descompone cada número en producto
de factores primos. (ii) Después se toman los factores comunes con sus menores exponentes.
Ejemplo. En el caso anterior, 12 = 22 ·3 y 18 = 2·32. Sigue que el m.c.d.(12, 18) = 2·3 = 6

Ejemplo. Se tiene que 225 = 32 · 52 y 300 = 22 · 3 · 52. Los factores comunes son 3 y 5,
con exponentes menores 1 y 2, respectivamente. Luego m.c.d.(225, 300) = 3 · 52 = 75.
Ejemplo. Se tiene que 72 = 23 · 32, 108 = 22 · 33 y 180 = 22 · 32 · 5. Los factores comunes
son 2 y 3, con exponentes menores 2. Luego, el m.c.d.(72, 108, 180) = 22 · 32 = 36.
Se define el m´ınimo común múltiplo de dos o más números naturales, y se denota por
m.c.m., como el menor de los múltiplos comunes a dichos números.
Para determinar el m´ınimo común múltiplo de 12 y 18, formamos los conjuntos de sus
múltiplos (que son infinitos):
Múltiplos de 12={12, 24, 36, 48, 60, 72, · · · }
Múltiplos de 18={18, 36, 54, 72, 90, 108, · · · }.
Los múltiplos comunes son {36, 72, 108, · · · }, siendo el menor 36. As´ı pues, el m.c.m.(12, 18) =
36.
Para determinar el m.c.m. se siguen los pasos: (i) Se descompone cada número en producto
de factores primos. (ii) Después se toman todos los factores, comunes y no comunes, con
sus mayores exponentes.
Ejemplo. En el caso anterior, 12 = 22 · 3 y 18 = 2 · 32. Sigue que el m.c.m.(12, 18) =
22 · 32 = 36
Ejemplo. Se tiene que 225 = 32 · 52 y 300 = 22 · 3 · 52. Los factores presentes son 2, 3 y 5.
Eligiendo sus mayores exponentes se obtiene que el m.c.m.(225, 300) = 22 · 32 · 52 = 900.
Ejemplo. Se tiene que 72 = 23 ·32, 108 = 22 ·33 y 180 = 22 ·32 ·5. Los factores son 2 , 3 y 5.
Tomando sus mayores exponentes, resulta que el m.c.m.(72, 108, 180) = 23 · 33 · 5 = 1080.
Ejemplo. Simplificar 1
3 + 2
7
El m´ınimo común múltiplo de los dos denominadores que aparecen en nuestra expresión
es m.c.m(3, 7) = 21. Si escribimos cada fracción con el m.c.m.(3, 7), obtenemos que:
1
3
=
1
3
×
7
7
=
7
21
2
7
=
2
7
×
3
3
=
6
21
.
Por tanto
1
3
+
2
7
=
1
3
×
7
7
+
2
7
×
3
3
=
7
21
+
6
21
=
13
21
Otra forma de hacerlo es la siguiente:
1
3
+
2
7
=
(7 × 1) + (3 × 2)
7 × 3
=
13
21
1.1.8. Ejercicios
1. Calcular todos los divisores de los números (a) 60 ; (b) 315 ; (c) 1111.
2. Hallar el máximo común divisor de los números (a) 62 y 70 ; (b) 415 y 520 ; (c) 530 y
1250.

3. Encontrar el máximo común divisor de los números (a) 180, 252 y 594 ; (b) 600, 900 y
1200 ; (c) 924, 1000 y 1250.
4. Hallar el m´ınimo común múltiplo de los números (a) 62 y 124 ; (b) 52 y 76 ; (c) 540 y 711.
5. Encontrar el m´ınimo común múltiplo de los números (a) 20, 30 y 45 ; (b) 39, 52 y 76 ; (c)
140, 980 y 1400.
6. Se quiere embaldosar el suelo de una habitación de 1620 cm de larga por 980 cm de ancha
con losetas cuadradas lo más grandes posible, sin que haya que romper ninguna. ¿Cuál
será el lado de cada loseta? ¿Cuántas se necesitarán?
7. En su ferreter´ıa José tiene los tornillos metidos en bolsitas. En la caja A tiene bolsitas con
18 tornillos cada una, en la caja B las bolsitas contienen 24 tornillos cada una y en la caja
C las bolsitas son de 30 tornillos cada una. Todas las cajas tienen el mismo número de
tornillos. ¿Cuántos tornillos como m´ınimo hay en cada caja?
8. Un viajero va a Madrid cada 12 d´ıas, otro cada 18 d´ıas y un tercero cada 24 d´ıas. Hoy
están los tres en Madrid. ¿Dentro de cuántos d´ıas volverán a coincidir los tres en Madrid?
9. Juana tiene un reloj que da una señal cada 60 minutos, otro que suena cada 150 minutos y
un tercero que lo hace cada 6 horas. Los tres dan la señal a las 10 de la mañana. ¿Cuántas
horas transcurrirán, como m´ınimo, para que los tres vuelvan a sonar a la vez? ¿A qué hora
lo harán?
10. Simplificar
a) 3 ×
2
3
− 2 ×
1
6
b)
3
7
×
14
15
c)
5 ×
3
5
7 ×
1
3
d)
2
3
×
1
4
2
3
+
1
4
+
3
5
e)
1
2 +
1
4 +
1
2
1.1.9. Forma decimal
Todos los números reales se pueden escribir en forma decimal. Por ejemplo:
327 18 = 3 . 100 + 2 . 10 + 7 +
1
10
+
8
100
;
aqu´ı 327 es la parte entera y 0 18 es la parte decimal.

En ocasiones la parte decimal es periódica, como en los siguientes ejemplos:
8 75 = 8 757575... (periódica pura)
165 03 = 165 0333... (periódica mixta)
Si la parte decimal es finita, se puede escribir como periódica. Por ejemplo:
25 6 = 25 60 = 25 6000... (periódica mixta)
Los números que tienen una parte decimal periódica son exactamente los números racio-
nales. En los siguientes ejemplos se ve cómo se pasa de decimal a fracción y de fracción a
decimal.
Ejemplo. Dado x = 8 75, claramente se puede escribir
x =
875
100
.
Ejemplo. Para pasar a fracción x = 8 75 se hace lo siguiente: llamamos
x = 8 75 = 8 7575757...
Como el periodo tiene 2 cifras multiplicamos por 102 = 100:
100x = 875 757575...
x = 8 757575...
Observemos que x y 100x tienen la misma parte decimal. Restamos y se obtiene 100x−x =
99x = 875 − 8. Luego x =
875 − 8
100 − 1
=
867
99
·
Ejemplo. Para escribir como fracción x = 165 203 realizamos lo siguiente. En primer
lugar, pasamos a una expresión decimal periódica pura:
x = 165 203 = 165 2030303...
10x = 1652 03 = 1652 030303...
Como 10x es periódico puro, hacemos algo similar al ejemplo anterior:
1000x = 165203 030303...
10x = 1652 030303...
Restamos: 1000x − 10x = 165203 − 1652. Por tanto x =
165203 − 1652
1000 − 10
=
163 551
990
·
Ejemplo. Dada la fracción
2
5
, se utiliza el algoritmo de la división y se obtiene
2
5
= 0 4 .
Ejemplo. La fracción
5
3
se escribe, después de realizar la división, del siguiente modo:
5
3
= 1 6 .

Todo número real tiene un desarrollo decimal, pero no siempre es único. Hay que tener en
cuenta que
0 9 = 0 9999... = 1 .
Por ejemplo: 2 47 = 2 469. Otro ejemplo: 13 9 = 14.
Los números irracionales son los que tienen un desarrollo decimal infinito no periódico:
π = 3 14159... ;
√
2 = 1 41421... ;
√
3 = 1 73205... ; e = 2 71828...
Por tanto, al escribir un número irracional en forma decimal siempre estamos haciendo
una aproximación y nunca es una representación exacta.
Representación geométrica. Se toma una recta y en ella dos puntos cualesquiera, a
los que asociamos los números 0 y 1 (lo haremos quedando el 0 a la izquierda y el 1 a la
derecha). Entonces se pueden representar todos los números reales en esa recta, de modo
que a cada punto le corresponde un número y a cada número le corresponde un punto.
Ese número se suele llamar abscisa del punto.
0 1
−6
5
3
4
7
2
1.1.10. Ejercicios
1. Escribir como fracción los siguientes números: (a) 2 3; (b) 0 12; (c) 3 14; (d) 51 234; (e)
6 11; (f) −11 23.
2. Escribir en forma decimal: (a)
7
2
; (b)
6
3
; (c)
1
4
; (d)
5
6
; (e)
−3
5
; (f)
−1
7
·
3. Indicar cuáles de los siguientes números son racionales y cuáles irracionales: (a) 2 676767...;
(b) 8 123321123321...; (c) 5 55999...; (d) 0 010101...; (e) 0 010010001...; (f) 0 0100101001....
4. Escribir de forma más simple: (a) 0 09; (b) 3 459; (c) 10 9; (d) 9 9; (e) 0 089; (f) 9 89.
5. Calcular: (a) 1 2 . 109 + 2 . 1010; (b) 1 2 . 109 − 2 . 1010; (c) 2 . 1010 . 1 2 . 109; (d)
1 2 . 109
2 . 1010
;(e) (1 2 . 109)2; (f) (1 2 . 109)−2.
6. Dibujar en una recta los números: (a) 3 2; (b) −2 3; (c) 0 6; (d)
√
2; (e)
5
3
; (f) π.
1.2. Potencias
Recordemos que el producto repetido de un mismo factor da lugar a las potencias (de expo-
nente natural):
xn
= x x x ... x (n veces )
y que se define x0 = 1, para x = 0. Ejemplos: (a) h5 = hhhhh; (b) x1 = x.

Si descomponemos en factores el número 2000, tenemos que 2000 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5
y que podemos escribir como 24 × 53 = 24 · 53 = 2453, donde 2 y 5 son las bases y 4 y 3 son los
´ındices o exponentes.
base ab exponente
Varias igualdades muy importantes son:
(a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
, (a − b)2
= a2
− 2ab + b2
,
(a + b)3
= a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
, (a − b)3
= a3
− 3a2
b + 3ab2
− b3
,
a2
− b2
= (a − b)(a + b) , a3
− b3
= (a − b)(a2
+ ab + b2
) .
Para x = 0 se definen las potencias de exponente entero negativo:
x−n
=
1
xn
(n = 1, 2, 3...)
No está definido 0−n.
Ejemplos: (a) x−2 =
1
x2
; (b) a−1 =
1
a
.
Leyes de exponentes
1. an × am = an+m
2.
an
am
= an−m
3. (an)m = anm
4. a0 = 1 , con a = 0
5. a−n = 1
an
6. an/m = m
√
an
Ejemplos
1. Evaluar
32 × 3−4 × 35
3 × 3−2 × 36
.
Si utilizamos las propiedades de las potencias tenemos
32 × 3−4 × 35
3 × 3−2 × 36
=
32−4+5
31−2+6
=
33
35
= 33−5
= 3−2
=
1
32
.
2. Simplificar a1/2b2c−2 × a1/6b1/2c.
Aplicando las leyes de exponentes obtenemos
a1/2
b2
c−2
× a1/6
b1/2
c = a
1
2
+ 1
6 × b2+ 1
2 × c−2+1
= a
4
6 × b
5
2 × c−1
=
a
2
3 × b
5
2
c
.

1.2.1. Notación en ingenier´ıa y prefijos comunes
Es habitual utilizar las potencias de 10 para escribir números grandes y números pequeños,
tal como se hace en los siguientes ejemplos:
2 3 × 1010
= 23 × 109
= 23 × 1 000 000 000 = 23 000 000 000
2 3 × 10−10
= 23 × 10−11
= 23 × 0 000 000 000 01 = 0 000 000 000 23
Prefijo Nombre significado
T tera 1012
G giga 109
M mega 106
k kilo 103
m mili 10−3
µ micro 10−6
n nano 10−9
p pico 10−12
Ejemplo
1. Evaluar
1 6 × 10−5 × 25 × 103
100 × 106
.
Aplicando las leyes de exponentes obtenemos
1 6 × 10−5 × 25 × 103
100 × 106
=
16 × 10−1 × 10−5 × 52 × 103
102 × 106
=
42 × 52 × 10−1−5+3
102+6
=
102 × 4 × 10−3
108
= 4 × 102−3−8
= 4 × 10−9
.
1.2.2. Fórmula del binomio de Newton
Queremos calcular las potencias de un binomio a + b. Ya sabemos que
(a + b)0
= 1 = 1a0
b0
(a + b)1
= a + b = 1a1
b0
+ 1a0
b1
(a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
= 1a2
b0
+ 2a1
b1
+ 1a0
b2
(a + b)3
= a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
= 1a3
b0
+ 3a2
b1
+ 3a1
b2
+ 1a0
b3
.
Vemos que se obtienen sumas en las que las potencias de a disminuyen, mientras las de b
aumentan. Con los coeficientes podemos formar el siguiente triángulo de Tartaglia:

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
La regla de formación es que cada número es suma de los dos que están encima y que en los
extremos aparece siempre el 1. Podemos continuar el triángulo de Tartaglia:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
Entonces se tiene
(a + b)4
= a4
+ 4a3
b + 6a2
b2
+ 4ab3
+ b4
(a + b)5
= a5
+ 5a4
b + 10a3
b2
+ 10a2
b3
+ 5ab4
+ b5
(a + b)6
= a6
+ 6a5
b + 15a4
b2
+ 20a3
b3
+ 15a2
b4
+ 6ab5
+ b6
Es habitual escribir Ç
n
k
å
para referirnos al número que está en la fila n (n = 0, 1, 2...) y que ocupa en ella el lugar
k (k = 0, 1, 2...). Por ejemplo:
Ç
0
0
å
= 1 ,
Ç
1
0
å
= 1 ,
Ç
2
1
å
= 2 ,
Ç
3
1
å
= 3 ,
Ç
5
2
å
= 10 ,
Ç
6
4
å
= 15 .
Para n = 1, 2, 3..., el factorial de n es
n! = n(n − 1) · · · 3 · 2 · 1 .
Conviene escribir 0! = 1. Ejemplos: 2! = 2; 3! = 6; 4! = 24.
Hay varias expresiones para
Ç
m
n
å
en las que se utilizan los factoriales:
Ç
m
n
å
=
m!
n!(m − n)!
=
m(m − 1) · · · (m − n + 1)
n!
·
Ejemplo:
Ç
16
3
å
=
16 · 15 · 14
3 · 2 · 1
= 560.

Observamos las siguientes propiedades
•
Ç
n
0
å
=
Ç
n
n
å
= 1
•
Ç
n
1
å
=
Ç
n
n − 1
å
= n
•
Ç
n
k
å
=
Ç
n
n − k
å
•
Ç
n
k
å
=
Ç
n − 1
k
å
+
Ç
n − 1
k − 1
å
.
Ahora podemos escribir la igualdad para (a + b)n, llamada fórmula del binomio de Newton:
(a + b)n
=
Ç
n
0
å
an
b0
+
Ç
n
1
å
an−1
b1
+ · · · +
Ç
n
n − 1
å
a1
bn−1
+
Ç
n
n
å
a0
bn
.
Se escribe de forma abreviada as´ı:
(a + b)n
=
n
i=0
Ç
n
i
å
an−i
bi
.
1.2.3. Ejercicios
1. Evaluar
a)
33 × 57
53 × 34
b)
23 × 35 × (72)2
74 × 24 × 33
c)
41,5 × 81/3
22 × 32−2/5
d)
3
√
4
»
2 5
√
16
√
2
2. Simplificar: (a) x−2x3; (b) x−2y−1 + x−1y−2; (c)
x3
x2
; (d)
x−3
x2
; (e)
x−3
x−2
; (f)
x3
x−2
.
3. Simplificar a1/2
b2
c−2
× a1/6
b1/2
c
4. Simplificar
a)
a3b2c4
abc−2
y evaluar cuando a = 3, b =
1
8
y c = 2.
b)
x2y3 + xy2
xy

c)
x2y1/2√
x 3
y2
(x5y3)1/2
5. Escribir el desarrollo de: (a) (1 + x)2; (b) (1 − u)3; (c) (x − y)3; (d)
Å
x −
1
y
ã3
; (e) (v − 1)4;
(f) (1 + x)5.
6. Desarrollar: (a) (2 − x)2; (b) (3 + x)3; (c)
Å
3 −
1
x
ã3
; (d)
Å
1 −
1
x2
ã4
; (e)
Å
x −
1
x
ã3
; (f)
(2 − x)4.
7. Calcular: (a)
Ç
17
0
å
; (b)
Ç
155
2
å
; (c)
Ç
13
4
å
; (d)
Ç
11
6
å
; (e)
Ç
11
3
å
; (f)
Ç
4
2
å
.
8. Calcular el coeficiente de x15 en el desarrollo de (1 + x)20.
1.3. Variaciones, permutaciones y combinaciones
Ejemplo. En un club de 20 personas hay que nombrar un presidente, un secretario y un
tesorero. Se puede hacer de muchas formas. El presidente puede ser cualquiera de las 20; elegido el
presidente, el secretario puede ser cualquiera de las 19 restantes; elegidos presidente y secretario,
el puesto de tesorero lo puede ocupar cualquiera de las otras 18. En total hay
V20,3 = 20 · 19 · 18 =
20!
17!
maneras de hacer las designaciones. Hay que observar que la elección de Juan como presidente,
Andrea como secretaria y Yomina como tesorera, es diferente de Andrea como presidenta, Juan
como secretario y Yomina como tesorera; es decir, resulta importante el orden (presidente,
secretario y tesorero) en el que se elijan las personas.
Se llama variación de m objetos de tamaño n a cualquiera de los grupos ordenados de n
objetos que se pueden formar con los m. Dos variaciones son diferentes si tienen objetos
distintos o están en orden diferente.
El número total de variaciones de tamaño n que se pueden formar con m objetos es
Vm,n = m(m − 1)...(m − n + 1) =
m!
(m − n)!
.
Un caso especial de variación es la permutación, que se tiene cuando m = n:
Pn = Vn,n =
n!
0!
= n!
Ejemplo. Hay que colocar a cinco personas en una fila; se puede hacer de P5 = 5! = 120
maneras distintas.
A veces nos interesan grupos sin orden. Se llama combinación de m objetos de tamaño n
a cualquiera de los grupos de n objetos que se pueden formar con los m, sin importar el
orden. Dos combinaciones son diferentes si tienen objetos distintos.

El número de combinaciones de tamaño n que se forman con m elementos es
Cm,n =
Vm,n
Pn
=
m(m − 1)...(m − n + 1)
n!
=
Ç
m
n
å
.
La última igualdad motiva que a las expresiones
Ç
m
n
å
se les llame números combinatorios.
Ejemplo. Una persona sólo puede llevar 3 de sus 12 libros en una maleta. En total tiene
C12,3 =
Ç
12
3
å
=
12 · 11 · 10
3 · 2
= 220
elecciones diferentes.
1.3.1. Ejercicios
1. Una persona tiene 4 pantalones y 5 camisas. ¿De cuántas formas puede vestirse?
2. Hay 8 bebidas diferentes. Una persona elige 2 de esas 8 bebidas para mezclarlas. ¿Cuántas
mezclas distintas de bebidas puede hacer?
3. ¿De cuántas formas distintas pueden o´ırse 4 discos?
4. Una persona que posee 7 camisas decide llevar 2 a un viaje que va a realizar. ¿Cuántas
posibilidades tiene?
5. ¿De cuántas modos distintos se pueden meter tres objetos en tres cajas si sólo se puede
meter un objeto en una caja?
6. Ángel, Belinda, Carlos, Diana y Ernesto desean hacerse una fotograf´ıa poniéndose todos
en la misma fila. ¿Cuántas formas hay de colocarse?
7. Ángel, Belinda, Carlos, Diana y Ernesto desean hacerse una fotograf´ıa de modo que alter-
nen chico y chica. ¿Cuántas formas hay de colocarse?
8. Una l´ınea de guagua sale de la parada 1, pasa por otras 5 (paradas 2,3,4,5 y 6) y llega a
la última (la parada 7). ¿Cuántos billetes diferentes habrá que imprimir si se desea que en
cada billete figure la parada en la que se sube el pasajero y la parada en la que se baja?
1.4. Ecuaciones
Una ecuación con una incógnita es una igualdad que sólo se verifica (sólo es cierta) para
determinados valores de la incógnita.
Resolver una ecuación es encontrar el valor (o valores) de la incógnita para los que la igualdad
es cierta. Al valor (o valores) que verifican una ecuación se le llama solución o ra´ız de la ecuación.

1.4.1. Ecuaciones lineales
Una ecuación lineal es una ecuación que se puede reducir a la forma ax + b = 0, siendo x la
incógnita y a y b datos o parámetros. La solución es x = −b
a .
Ejemplos:
1. 4x − 3 = 5 es una igualdad y la incógnita es x.
4x − 3 = 5 ⇔ 4x = 5 + 3 = 8 ⇔ x =
8
4
= 2.
La igualdad sólo se verifica si x = 2. Su solución o ra´ız es x = 2.
2. 4u − 8 = 4(u − 2) es una igualdad y la incógnita es u.
4u − 8 = 4(u − 2) ⇔ 4u − 8 = 4u − 8 ⇔ 0 = 0.
La igualdad se verifica para cualquier valor de u.
3. 3x − 2 = 3(x − 2) ⇔ 3x − 2 = 3x − 6 ⇔ 3x − 2 − 3x + 6 = 0 ⇔ 4 = 0. La igualdad no se
verifica para ningún valor de la incógnita x. La ecuación no tiene solución.
4. 4x − y = 8 es una igualdad pero, en este caso, tenemos dos incógnitas; debemos decidir
cuál es la incógnita y resolver la ecuación en función de la otra.
Si la incógnita es x, entonces
4x − y = 8 ⇔ 4x = 8 + y ⇔ x =
8 + y
4
.
Si la incógnita es y, entonces,
−y = 8 − 4x ⇔ y = −8 + 4x.
5.
5 − 3x
x
=
1
x
+ 3 . Observar que x = 0.
5 − 3x
x
=
1
x
+ 3 ⇔ 5 − 3x = 1 + 3x ⇔ 5 − 1 = 3x + 3x ⇔ 4 = 6x ⇔ x =
4
6
=
2
3
.
6. Hallar el peso de una munición de artiller´ıa sabiendo que la carga pesa 0,8 kg., el proyectil
pesa 2
3 del peso total de la munición y el casquillo pesa 1
4 del total de la munición.
Sea x = peso total de la munición en kg. Entonces:
x = 0,8 +
2x
3
+
x
4
⇔ x =
9,6 + 8x + 3x
12
⇔ 12x = 9,6 + 11x ⇔ x = 9,6 kg.

1.4.2. Ejercicios
1. Resolver la ecuación en y:
6b + 7a
6b
−
3ay
2b2
= 1 −
ay
b2 − ab
2. Resolver las ecuaciones en x:
a)
ax − b
a + b
+
bx + a
a − b
=
a2 + b2
a2 − b2
b)
x + 1
2
= x −
2x + 3
4
c) x +
3 − x
3
− 1 =
2x
3
d)
x − 1
n − 1
+
2n2(1 − x)
n4 − 1
=
2x − 1
1 − n4
−
1 − x
1 + n
e)
x + m
a + b
−
ax
(a + b)2
=
am
a2 − b2
−
b2x
a3 − ab2 + a2b − b3
f ) a2 − x + b2 − x = a + b
g)
3 + x
3x
=
1
9
+
1
x

4
9
+
2
x2
3. En una cierta fábrica las mujeres representan el 35 % del total de trabajadores, siendo el
resto hombres. El número de hombres excede en 252 al de mujeres. Determinar el total de
trabajadores.
4. Un conjunto de mercancias fue vendido en 1386 euros con un beneficio del 10 %. Determinar
el precio de coste de las mercanc´ıas.
5. En una prueba matemática el 12 % de los estudiantes de una clase no resolvió un problema,
el 32 % lo resolvió con algunos errores y los 14 restantes obtuvieron la solución correcta.
¿Cuántos estudiantes hab´ıa en la clase?
1.4.3. Ecuaciones cuadráticas
Una ecuación cuadrática o ecuación de segundo grado es una ecuación que se puede reducir
a la forma ax2 + bx + c = 0, siendo x la incógnita y a = 0 , b , c datos o parámetros.
Esta ecuación tiene dos soluciones o ra´ıces que son:
x1 =
−b +
√
b2 − 4ac
2a
y x2 =
−b −
√
b2 − 4ac
2a
.
Las ra´ıces de una ecuación de segundo grado cumplen:
1. x1 + x2 = − b
a
2. x1 · x2 = c
a

Ejemplos:
1. x2−1
3 + (x − 2)2
= x2+2
2
( El m.c.m. de los denominadores es 6 ) ⇔ 2(x2 − 1) + 6(x2 − 4x + 4) = 3(x2 + 2) ⇔
⇔ 2x2 − 2 + 6x2 − 24x + 24 = 3x2 + 6 ⇔ 5x2 − 24x + 16 = 0 ⇒
x =
24±
√
(−24)2
−4·5·16
2·5 = 24±16
10 ⇒ x1 = 4 y x2 = 4
5
2. (x + 1)2
− (x − 2)2
= (x + 3)2
+ x2 − 20.
x2 + 2x + 1 − (x2 − 4x + 4) = x2 + 6x + 9 + x2 − 20 ⇒
⇒ x2 + 2x + 1 − x2 + 4x − 4 = 2x2 + 6x − 11 ⇒ 2x2 − 8 = 0 ⇒ x2 = 4 ⇒ x1 = 2, x2 = −2 .
3. 1
4 + 1
4+x + 1
4+2x = 0. Observemos que = −4 y x = −2.
Multiplicamos por 4(4 + x)(2 + x) ⇒
(4 + x)(2 + x) + 4(2 + x) + 2(4 + x) = 0 ⇒
x2 + 12x + 24 = 0 ⇒ x1 = −6 + 2
√
3 y x2 = −6 − 2
√
3 .
4. ¿Para qué valores reales de α tiene la ecuación x2 + 2αx
√
α2 − 3 + 4 = 0 ra´ıces iguales?
Las ra´ıces x1 y x2 son iguales cuando el discriminante ∆ = b2 − 4ac = 0. En este caso:
4α2(α2 − 3) − 16 = 0 ⇒ α4 − 3α2 − 4 = 0 ⇒ Hacemos α2 = z con lo que α = ±
√
z y α4 = z2 ⇒
⇒ z2 − 3z − 4 = 0 ⇒ z1 = 4 y z2 = −1 ⇒ α1 = 2 y α2 = −2 .
Completar cuadrados
Una ecuación de segundo grado se puede escribir como diferencia de cuadrados:
ax2 + bx + c = a(x2 + b
ax) + c = a
Ä
(x + b
2a)2 − b2
4a2
ä
+ c
= a
Ä
x + b
2a
ä2
− b2−4ac
4a .
Por ejemplo
3x2 − 4x − 5 = 3
Ä
x2 − 4
3 x
ä
− 5
= 3
Ä
x − 4
3×2
ä2
− 3
Ä
4
3×2
ä2
− 5
= 3
Ä
x − 2
3
ä2
− 19
3

1.4.4. Ejercicios
1. Resolver las siguientes ecuaciones en x:
a) 3
2(x
2 − 2)2
− x+1
8 = 1
8 − x−1
4
b)
√
x − 2 = x − 4
c) 3x4−1
4 + 1
2(x4 − 2) − 1
2x2 = x2−5
4
d) 5
x+2 + x
x+3 = 3
2
2. Después de los exámenes finales en una escuela, los estudiantes (todos) intercambiaron
fotograf´ıas. ¿Cuántos estudiantes hab´ıa si se sabe que intercambiaron un total de 870
fotograf´ıas?
3. Dos barcos se encuentran, uno va hacia el sur y el otro hacia el oeste. Dos horas después
del encuentro están separados 60 Km. Hallar la velocidad de cada barco, sabiendo que la
de uno de ellos es 6 Km/h mayor que la del otro.
4. Completa cuadrados en las siguientes expresiones
a) x2 − 2x − 18
b) 3x2 + 4x − 1
c) x2 + 14x + 13
1.5. Desigualdades y valor absoluto
El objetivo de esta sección es resolver inecuaciones y ecuaciones con valor absoluto.
1.5.1. Desigualdades
Una desigualdad es una expresión con alguno de los s´ımbolos siguientes <,>,≤ ó ≥.
p < q significa que p es menor que q
p > q significa que p es mayor que q
p ≤ q significa que p es menor o igual que q
p ≥ q significa que p es mayor o igual que q.
Propiedades
1. Al sumar desigualdades se conserva el orden.
2. Al multiplicar una desigualdad por un número positivo se conserva el orden.
3. Al multiplicar una desigualdad por un número negativo se invierte el orden.
Para resolver una inecuación de debe despejar la incógnita, siguiendo las propiedades ante-
riores.

Ejemplos:
1. Resolver 2 + 4x < −1.
La inecuación 2+4x < −1 es equivalente a 4x < −3, es decir x <
−3
4
· Por tanto, cualquier
número menor que −
3
4
es solución de la inecuación.
2. Resolver 2 − x < x − 7.
Para resolver 2 − x < x − 7, pasamos las x a un lado de la desigualdad, por ejemplo a
la derecha y lo demás al otro lado de la desigualdad. Se obtiene primero 9 < 2x, as´ı que
x >
9
2
·.
3. Resolver 2 + x ≤ −x + 8
Las soluciones de 2 + x ≤ −x + 8 se pueden obtener as´ı: 2x ≤ 6, luego x ≤ 3.
4. Resolver x + 1 < −
1
x − 1
Pasamos todos los miembros a un lado de la desigualdad, por ejemplo la izquierda,
x + 1 +
1
x − 1
< 0.
Realizamos la operación
(x + 1)(x − 1) + 1
x − 1
< 0 ,
luego
x2
x − 1
< 0 .
Para que un cociente sea de signo negativo es necesario que el numerador y denominador
sean de signo contrario. En ete caso el numerador es positivo, por tanto, el denominador
debe ser negativo, esto es, x − 1 < 0; es decir, x < 1.
1.5.2. Ejercicios
1. Resolver las siguientes inecuaciones
a) x − 1 ≤ 1 − x;
b) 3x − 1 ≤
x
−3
;
c)
1
x
> 2;
d)
1
x
< 7x − 4;
e) x + 2 < 3x + 4;
f )
1
x2
≥ 7.

1.5.3. Valor absoluto
Se define el valor absoluto |x| del número real x del siguiente modo:
|x| =



x si x ≥ 0
−x si x < 0
Por ejemplo: | − 3| = |3| = 3; |
√
2| = | −
√
2| =
√
2.
Propiedades
1. |x| ≥ 0
2. |x| = 0 ⇐⇒ x = 0
3. |x| = | − x| , |x − y| = |y − x|
4. |xy| = |x||y| ,
x
y
=
|x|
|y|
(y = 0)
5. |x + y| ≤ |x| + |y| , |x − y| ≤ |x| + |y|
6. Sea a > 0. Entonces
|x| < a ⇔ −a < x < a
7. Sea a > 0. Entonces
|x| > a ⇔ x > a ó x < −a
La distancia entre dos números reales se expresa usando el valor absoluto:
d(x, y) = |x − y| = |y − x| .
Ejemplos:
1. d(−2, 3) = 5; d(3, 7) = 4.
2. Resolver |2 − x| < 1
|2 − x| < 1 ⇐⇒ −1 < 2 − x < 1 ⇐⇒ −3 < −x < −1 ⇐⇒ 1 < x < 3
3. Resolver |x − 1| < 2
|x − 1| < 2 ⇐⇒ −2 < x − 1 < 2 ⇐⇒ −1 < x < 3.
4. Resolver |x − 4| = 2
Primera forma: |x − 4| = 2 ⇐⇒ x − 4 = ±2 ⇐⇒
®
x = 6
x = 2

Segunda forma: Por definición tenemos que
|x − 4| =
®
x − 4 si x − 4 ≥ 0
−(x − 4) si x − 4 < 0
es decir
|x − 4| =
®
x − 4 si x ≥ 4
−x + 4 si x < 4
.
Por tanto debemos resolver dos ecuaciones
|x − 4| = 2 ⇔
®
x − 4 = 2 si x ≥ 4
−x + 4 = 2 si x < 4
⇔
®
x = 6 si x ≥ 4
x = 2 si x < 4
.
Luego las soluciones son x = 6 y x = 2.
1.5.4. Ejercicios.
1. Hallar: (a) | − 7|; (b)
−1
2
; (c)
−1
−3
; (d) | − π|; (e) |e − π|; (f) |
√
2 − 1|.
2. Hallar: (a) |x2|; (b) |1 + x2|; (c)
−1
1 + x2
; (d) |a2 + b2|; (e)
1 + u2
v2
; (f)
1 − x2
1 + x2
.
3. Determinar todos los números que cumplan las desigualdades: (a) |x−2| < 3; (b) |x−2| < 2;
(c) |x − 4| < 5; (d) |x + 1| < 3; (e) |x + 2| ≤ 2; (f) |x + 1| ≤ 0.
4. Escribir usando valores absolutos: (a) −1 < x < 1; (b) −7 ≤ x ≤ 1; (c) −5 ≤ x ≤ 8; (d)
1 < x < 8; (e) −5 < x < −1; (f) −2 ≤ x ≤ 0.
1.6. Polinomios y fracciones algebraicas
Un polinomio es una expresión de la forma
f(x) = anxn
+ an−1xn−1
+ ... + a1x + a0,
donde los coeficientes a0, a1, ..., an son números reales.
1.6.1. Operaciones con polinomios
Las operaciones usuales, suma, resta y producto de funciones polinómicas son nuevamente
funciones polinómicas. Sin embargo, el cociente de funciones polinómicas no es, en general, una
función polinómica. Recordamos brevemente cómo se realizan estas operaciones con algunos
ejemplos.
Suma y resta de polinomios. Sean P(x) = 4x3 + 5x2 − 6 y Q(x) = −3x + 5 + 7x2. Para
calcular la suma y la resta de P y Q debemos agrupar los monomios semejantes, esto es,
aquellos que tienen la misma variable y el mismo grado.
P(x) + Q(x) = 4x3 + (5x2 + 7x2) + (−3x) + (−6 + 5) = 4x3 + 12x2 − 3x − 1 ;
P(x) − Q(x) = 4x3 + (5x2 − 7x2) − (−3x) + (−6 − 5) = 4x3 − 2x2 + 3x − 11 .

Producto de polinomios. El producto de dos polinomios es otro polinomio que se obtiene
multiplicando cada uno de los distintos términos de uno de ellos por el otro, realizando a
continuación la suma de todos los polinomios obtenidos.
Ejemplo: Sean P(x) = −2x3 + 7x − 5 y Q(x) = x2 + 3. Se tiene entonces que
P(x)Q(x) = (−2x3 + 7x − 5)(x2 + 3) = −2x5 − 6x3 + 7x3 + 21x − 5x2 − 15
= −2x5 + x3 − 5x2 + 21x − 15.
Cociente de polinomios. Sean dos polinomios P(x) y Q(x), tales que el grado de P es
mayor o igual que el de Q. Realizar la división entera entre P (dividendo) y Q (divisor)
consiste en encontrar dos polinomios C(x) (cociente) y R(x) (resto), que verifiquen:
P(x) = Q(x)C(x) + R(x)
siendo el grado de R menor que el de Q.
Ejemplo: Efectuemos la división entera entre P(x) = 20x3 − 18x2 + 4 y Q(x) = 4x − 2.
20x3 − 18x2 + 4 4x − 2
−20x3 + 10x2
5x2 − 2x − 1
−8x2 + 4
−8x2 − 4x
−4x + 4
+4x − 4
2
Por tanto
P(x)
Q(x)
=
20x3 − 18x2 + 4
4x − 2
= 5x2
− 2x − 1 +
2
4x − 2
Esto es,
P(x)
Q(x)
= C(x) +
R(x)
Q(x)
.
Si queremos dividir un polinomio P(x) entre Q(x) siendo Q(x) un polinomio de la forma
x − a, entonces podemos usar la regla de Ruffini. El resto que se obtiene de este cociente
coincide con el valor que toma el polinomio P en a. Cuando el resto de este cociente nos
da 0, entonces decimos que a es una ra´ız o cero del polinomio P.
Ejemplo: Sea P(x) = 4x3−6x2+5x−11. Si dividimos este polinomio por x−2 obtendremos
un polinomio cociente de grado 2, como vemos ahora:
4
x3
−6
x2
5
x
−11
término independiente
x − 2 2
x2 x Resto

4 −6 5 −11
2
4
4 −6 5 −11
2
4
8
2
4 −6 5 −11
2
4
8
2 9
4
4 −6 5 −11
2
4
8
2 9
4 18
7
Luego
4x3
− 6x2
+ 5x − 11 = (x − 2)(4x2
+ 2x + 9) + 7 ;
es decir,
4x3 − 6x2 + 5x − 11
x − 2
= 4x2
+ 2x + 9 +
7
x − 2
.
Observemos que P(2) = 7.
La regla de Ruffini es útil cuando queremos factorizar un polinomio, esto es, descomponer
el polinomio como producto de polinomios más sencillos. Veamos con el siguiente ejemplo
cuál es el procedimiento. Consideramos el polinomio
P(x) = x4
− 3x3
+ 4x2
− 6x + 4.
1. Confeccionamos la lista de divisores del término independiente, que es 4.
divisores de 4 = {1, −1, 2, −2, 4, −4}.
2. Probamos, haciendo uso de la regla de Ruffini, si los divisores obtenidos en el paso
anterior son ra´ıces del polinomio P.
1 −3 4 −6 4
1
1 −2
1
2
1
−4
1
0
1
En este caso 1 s´ı es ra´ız.
3. Una vez localizada una ra´ız, debemos comprobar si ese número vuelve a ser ra´ız, com-
probando con el polinomio cociente obtenido.
1 −2 2 −4
1
1 −1
1
1
−1
−3
1

Como vemos, 1 no vuelve a ser ra´ız.
4. Pasamos a comprobar el siguiente candidato a ra´ız, 2.
1 −2 2 −4
2
1 0
2
2
0
0
4
El 2 s´ı es ra´ız.
5. Seguimos este proceso hasta que el polinomio cociente tenga grado 2, como es en este
ejemplo. Para seguir buscando ra´ıces en este polinomio de grado 2 la mejor opción es
utilizar la fórmula de la ecuación de segundo grado.
x2
+ 2 = 0 =⇒ x2
= −2. No tiene soluciones.
Ya que este polinomio de grado 2 no tiene ra´ıces, el proceso de factorización termina.
6. Escribimos la factorización de P(x): P(x) = (x − 1)(x − 2)(x2 + 2).
NOTA. Cuando un polinomio carece de término independiente, el primer paso que se da
para efectuar la factorización es sacar factor común la mayor potencia de x que sea posible.
x5
− x3
= x3
(x2
− 1) = x3
(x + 1)(x − 1).
En este caso a = 0 es ra´ız (triple) del polinomio.
1.6.2. Ejercicios
1. Calcular el polinomio P(x) si P(x) + (2x3 − 4x − 1/2) = 3/2 − 7x.
2. Saca factor común en cada uno de los polinomios P(x) = 10x5 − 5x3 + 35x2 y Q(x) =
4x3 − 6x2 + 12x.
3. Calcula la división entre P(x) = −2x4 + 3x2 − 5 y Q(x) = x2 + 2.
4. Factoriza el polinomio P(x) = x4 + 5x3 + x2 + 5x.
5. Simplificar
a)
x3 + y3
x + y
b)
4a3 − 6a2b + b3
2a − b
c)
14x2 − 19x − 3
2x − 3

6. Factorizar
a) x3 − 7x − 6
b) x2 + 2x − 3
c) 2x3 + 5x2 − 4x − 7
d) 2x3 − x2 − 16x + 15
7. Resolver las ecuaciones
a) x3 − 2x2 − 5x + 6 = 0
b) x3 + 4x2 + x − 6 = 0
8. Decidir sin dividir si 2x2 − 3x + 4 es divisible por x − 2.
9. Decidir sin dividir si 3x3 − 2x2 + x − 5 es divisible por x + 2.
1.6.3. Descomposición en fracciones simples
Una fracción algebraica es el cociente de dos polinomios. Por ejemplo:
1
x + 3
,
x + 7
x2 + 5x + 1
y
x2 + 4x + 1
x − 1
.
Al realizar la suma de
1
x − 2
+
3
x + 1
obtenemos
1
x − 2
+
3
x + 1
=
(x + 1) + 3(x − 2)
(x − 2)(x + 1)
=
4x − 5
x2 − x − 2
.
El proceso inverso, esto es, ir de
4x − 5
x2 − x − 2
a
1
x − 2
+
3
x + 1
se llama descomposición en fracciones
simples.
Para obtener la descomposición en fracciones simples de una fracción algebraica seguimos
los siguientes pasos:
1. El grado del numerador debe ser al menos un grado menos que el denominador, en caso
contrario realizamos la división.
2. Factorizamos el denominador.
3. Buscamos los coeficientes de los polinomios del numerador según la siguiente tabla.
Factores del denominador Expresión Descomposición en fracciones simples
Ra´ıces reales simples
f(x)
(x + a)(x + b)(x + c)
A
x + a
+
B
x + b
+
C
x + c
Ra´ıces reales múltiples
f(x)
(x + a)3
A
x + a
+
B
(x + a)2
+
C
(x + a)3
Ra´ıces complejas y simples
f(x)
(ax2 + bx + c)(x + d)
Ax + B
ax2 + bx + c
+
C
x + d

Ejemplos:
1. Descomponer en fracciones simples
11 − 3x
x2 + 2x − 3
.
Lo primero que observamos es que el grado del numerador es menor que el del denominador.
Factorizamos el denominador, esto es x2 + 2x − 3 = (x + 3)(x − 1). Se tiene que las ra´ıces
del denominador son reales y simples. Por tanto buscamos una descomposici´on en factores
de la forma:
11 − 3x
x2 + 2x − 3
=
A
x + 3
+
B
x − 1
.
Operando
11 − 3x
x2 + 2x − 3
=
A(x − 1) + B(x + 3)
(x + 3)(x − 1)
.
Por tanto,
11 − 3x = A(x − 1) + B(x + 3) .
Para calcular los valores de A y B, podemos darles valores a la x y resolver el sistema que
resulta. Por ejemplo, para
x = 1 ⇒ 11 − 3(1) = A(1 − 1) + B(1 + 3) ⇒ 8 = 4B ⇒ B =
8
4
= 2
x = −3 ⇒ 11 − 3(−3) = A(−3 − 1) + B(−3 + 3) ⇒ 20 = −4A ⇒ A =
−20
4
= −5 .
Luego se tiene que la descomposici´on en fracciones simples viene dada por
11 − 3x
x2 + 2x − 3
=
−5
x + 3
+
2
x − 1
.
1.6.4. Ejercicios
a)
x3 − 2x2 − 4x − 4
x2 − x − 2
b)
2x + 3
(x − 2)2
c)
5x2 − 2x − 19
(x + 3)(x − 1)2
d)
7x2 + 5x + 13
(x2 + 2)(x + 1)
e)
3 + 6x + 4x2 − 2x3
x2(x2 + 3)

1.6.5. Operaciones con fracciones algebraicas
Al igual que se procede con las fracciones numéricas, para sumar fracciones algebraicas se
calcula el m´ınimo común múltiplo de los denominadores, que pasa a ser el denominador de la
fracción que resulta. Fijémonos en el siguiente caso. Para calcular
x
1 − x
+
x
1 + x
−
2x − 1
1 − x2
descompondremos los denominadores en factores: 1 − x = 1 − x, 1 + x = 1 + x y 1 − x2 =
(1 − x)(1 + x). Entonces el m.c.m(1 − x, 1 + x, 1 − x2) = (1 − x)(1 + x) = 1 − x2 y podemos
escribir
x
1 − x
+
x
1 + x
−
2x − 1
1 − x2
=
x(1 + x)
1 − x2
+
x(1 − x)
1 − x2
−
2x − 1
1 − x2
=
x + x2 + x − x2 − 2x + 1
1 − x2
=
1
1 − x2
.
Ejemplo. Efectuar la suma algebraica
x + 2y
x2 − y2
+
x − y
x2 + 2xy + y2
−
2
x + y
Obsérvese que x2 − y2 = (x + y)(x − y), x2 + 2xy + y2 = (x + y)2 y x + y = x + y. Por tanto,
el m.c.m.(x2 − y2, x2 + 2xy + y2, x + y) = (x + y)2(x − y). Luego,
x + 2y
x2 − y2
+
x − y
x2 + 2xy + y2
−
2
x + y
=
(x + 2y)(x + y) + (x − y)(x − y) − 2(x + y)(x − y)
(x + y)2(x − y)
=
x2 + 3xy + y2 + x2 − y2 − 2x2 + 2y2)
(x + y)2(x − y)
=
3xy + 2y2
(x + y)2(x − y)
=
3xy + 2y2
x3 − xy2 + x2y − y3
.
1.6.6. Ejercicios
1. Efectuar las operaciones siguientes, simplificando el resultado si es posible
(a)
x
a
+
x
3a
; (b)
2a
3b
+
3b
4c
+
4c
5a
+
1
6abc
; (c)
4x
x2 − y2
−
4
x + y
2. Realizar las operaciones
(a)
2a
a − b
−
3b
a + b
−
a2 − ab + 4b2
a2 − b2
(b)
1
1 − n
+
1
1 + n
+
2
1 + n2
−
4
1 − n4
(c)
a
(a − b)(a − c)
+
b
(b − a)(b − c)
+
c
(a − c)(b − c)
3. Calcular
yz
(x + y)(x + z)
+
xz
(y + z)(y + x)
+
xy
(z + x)(z + y)
+
2xyz
(x + y)(y + z)(x + z)

1.7. Ejercicios complementarios
1. Indicar cuáles de los siguientes números son enteros: (a)
√
2; (b)
√
2−2
√
2; (c)
√
2+2−
√
2;
(d)
2
3
−
5
3
; (e)
2
√
2
√
2; (f)
√
2
3
:
√
2
6
.
2. Simplificar las siguientes expresiones:
a) yb − y(1 − b)
b) xy − x2y + xy2
c) a − {a − [a − (a − 1)]}
d) a − {u − [a − (u − a)]}
e) (1 − a) − (1 − a)2
f ) (a2 − x2)(a2 + x2)
3. Simplificar
2
3
×
1
4
2
3
+
1
4
+
3
5
.
4. Un depósito tiene 450 litros de combustible cuando tiene tres cuartos de su capacidad.
¿Cuanto es la capacidad del depósito? ¿Cuantos litros contiene si sabemos que tiene dos
tercios de su capacidad?
5. Tres personas, Pedro, Miguel y Angel tinen una sociedad. Pedro invierte 3
5 del total, Miguel
2
3 de lo que falta y Ángel 8 euros. Determinar (a) el total de los fondos, (b) los fondos con
los que participa Pedro y Miguel.
6. Calcular 0 23 + 0 456
7. Hallar 0 23 + 0 456, escribiendo primero los sumandos en forma de fracción.
8. Hallar
0 29 + 0 39
0 99 − 0 89
9. Evaluar
32 × 55
34 × 54 + 33 × 53
10. Evaluar
4
3
3
× 3
5
−2
2
5
−3
11. Evaluar
8−2 × 52 × 3−4
252 × 24 × 9−2
12. ¿Cuántos litros hay que sacar de un tonel de 560 litros para que queden en él 6
7 del
contenido inicial?
13. Simplificar
a)
a
b
+ ab

b)
a
u2
+
u
a2
c) 1 −
1
x
d)
a
b
c
−
a
b
c
e)
Å
1
x
− 1
ã Å
1
x
+ 1
ã
f )
a − b
c
c2
a2 − b2
14. Simplificar
a) 1 +
1
1 + 1
1+ 1
1+ 1
a
b)
a−b
a
a + b
b
c)
a2−b2
a
a+b
b2
d)
v
x
1
v
1
x
e)
(x + y)2(x2 − y2)
(x − y)2(x2 + y2)
f )
1
x + 1
y
x
y − y
x
15. Calcular x sabiendo que verifica
Ç
94
78
å
=
Ç
94
x
å
16. Hallar
Ç
15
8
å
+
Ç
15
9
å
17. Simplificar la expresión
16
1 + 16
2
17
14 + 17
15
18. ¿Qué relación existe entre m y n para que se verifique la igualdad
Ç
m
n
å
= 2
Ç
m − 1
n
å
19. Encontrar el valor de x para que se cumpla la siguiente igualdad
Ç
12
x
å
=
Ç
12
3
å
20. Calcular el valor de x en la igualdad
Ç
x
16
å
=
Ç
x
7
å

21. Hallar el coeficiente de x15 en el desarrollo de (x + 2)20
22. Desarrollar (3 + 2x)5
23. Calcula el término independiente (en el que no figura x) en el desarrollo de
Å
2x2
−
3
x
ã15
24. Desarrollar las siguientes potencias:
(a) (2 + x)5 ; (b) (4 − x)7 ; (c)
Å
x
2
+
3
4
ã3
; (d) (−3 + 2x2)5
25. Tenemos 5 juguetes diferentes que deseamos entregar a 5 niños, uno a cada uno. ¿De
cuántas formas puede realizarse el reparto?
26. ¿Cuántas diagonales hay en un pol´ıgono de 17 lados?
27. Hay tres niños, a cada uno de los cuales se le da un juguete de los 7 distintos que hay en
una tienda. ¿De cuántas formas puede hacerse?
28. Completar cuadrados
a) 3x2 − 7x + 6
b) x2 − x − 2
c) −3x3 + 5x + 5
d) 3x2 + 17x + 10
29. Resolver las inecuaciones siguientes:
a) x + 2 < 6 − x
b) 4x − 2 > 7 − 5x
c) x2 + 1 < 0
d) −
1
x
≥ x + 2
e)
1
x2
≥ 2
f )
1
1 − x
≤ 1 + x
30. Resolver las siguientes inecuaciones:
a) |x − 1| ≤ 0
b) |x − 2| ≤ 3
c) |x + 5| > 5
d) |x − 5| < |x + 1|
e) |x + 1| + |x + 2| > 1
f ) |x − 1|.|x − 2| ≤ 3

31. Demostrar la identidad Ç
x + |x|
2
å2
+
Ç
x − |x|
2
å2
= x2
.
32. El polinomio P(x) es de grado 5 y Q(x), de grado 3. ¿Cu´al es el grado de: P(x) + Q(x),
P(x)Q(x) y P(x)/Q(x)? (Suponiendo que P(x)/Q(x) sea un polinomio).
33. (a) Calcula el valor de m en el polinomio P(x) = x3 − 6x + m, sabiendo que al dividirlo
por Q(x) = x + 2 da de resto 7 .
(b) Sin efectuar las divisiones, ¿podr´ıas saber si son exactas los siguientes cocientes de
polinomios?
(α) (x2 − 3x + 5) : (x − 1) ; (β) (x3 + 3x + 14) : (x + 2).
34. Factoriza los siguientes polinomios.
(a) x3 + 4x2 − 3x − 18 ; (b) 9x6 − 16x2 ; (c) x3 − 2x2 − 5x + 6 .
35. Calcular el cociente y el resto al dividir P(x) entre Q(x).
(a) P(x) = 3x4 − 2x2 − 1, Q(x) = x2 − 3 ;
(b) P(x) = 6x5 − 3x4 + x2 − x, Q(x) = x2 − 2x + 1.
(c) P(x) = −x3 + 3x2 + 5x + 6, Q(x) = x + 1.
a)
2x2 − 9x − 35
(x + 1)(x − 2)(x + 3)
b)
x2 + 1
x2 − 3x + 2
c)
3x2 + 16x + 15
(x + 3)3
d)
x2 − x − 13
(x2 + 7)(x − 2)
e)
6x − 5
(x − 4)(x2 + 3)
1.8. Soluciones a los ejercicios
1.1.2 N´umeros reales.
(1a) Cierta. (1b) Cierta. (1c) Cierta. (1d) Cierta. (1e) Falsa. (1f) Falsa.
1.1.4 Operaciones.
(1a) 5 − (−7). (1b) 2 − π. (1c) e − (−1). (1d) 2 − (−
√
2). (1e) 4 − 1. (1f) −2 − (−3).
(2a)
2
7
. (2b)
3
2/ − 11
. (2c)
3
1/2
. (2d)
4
−1
. (2e)
−6
1/7
. (2f)
2
1/2
.

(3a) −2b. (3b) 2b. (3c) −2a − x. (3d) 0. (3e) −x − u. (3f) x.
(4a)
ax + 1
x
. (4b)
uv − 1
v
. (4c)
b2 − b3 − 1
1 − b
. (4d)
b(1 + w)
w
. (4e)
x3 − y3
xy
. (4f)
y2 − x2
xy
.
1.1.6 Par´entesis y factorizaci´on.
(1a) a2 − b2. (1b) 9x2 + 9y2 − 18xy. (1c) 2p2 − 6q − 6r + 2q2. (1d) −6x2 − 6xy.
(2a) 1−21a
7 . (2b) 3c + 8c2 − 1
3. (2c) −12a2+122a−3
4a .
1.1.8 Divisibilidad.
(1a) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. (1b) 1,3,5,7,9,15,21,35,45,63,105,315. (1c)
1,11,101,1111.
(2a) 2. (2b) 5. (2c) 10.
(3a) 18. (3b) 300. (3c) 2.
(4a) 124. (4b) 988. (4c) 42660.
(5a) 180. (5b) 2964. (5c) 9800.
(6) 20cm, 3969.
(7) 360.
(8) 72.
(9) 30; a las 16:00 del d´ıa siguiente.
(10a) 5
3. (10b) 2
5. (10c) 9
7 . (10d) 43
55 . (10e) 9
20 .
1.1.10 Forma decimal.
(1a)
23
10
. (1b)
12
99
. (1c)
283
90
. (1d)
46111
900
. (1e)
550
90
. (1f) −
1011
90
.
(2a) 3 5. (2b) 2. (2c) 0 25. (2d) 0 83. (2e) −0 6. (2f) −0 ◊142857.
(3a) Racional. (3b) Racional. (3c) Racional. (3d) Racional. (3e) Irracional. (3f) Racio-
nal.
(4a) 0 1. (4b) 3 46. (4c) 11. (4d) 10. (4e) 0 09. (4f) 9 9.
(5a) 21 2 × 109. (5b) −18 8 × 109. (5c) 2 4 × 1019. (5d) 0 06. (5e) 1 44 × 1018. (5f)
69 4 × 10−20.
1.2.3 Potencias.
(1a) 54
3 . (1b) 32
2 . (1c) 24. (1d) 216/15.
(2a) x. (2b) x+y
x2y2 . (2c) x. (2d) 1
x5 . (2e) 1
x . (2f) x5.
(3) a2/3×b5/2
c .
(4a) a2bc6, 3223. (4b) xy2 + y. (4c) y−1/3.
(5a) 1+2x+x2. (5b) 1−3u+3u2−u3. (5c) x3−3x2y+3xy2−y3. (5d) x3
−
3x2
y
+
3x
y2
−
1
y3
.
(5e) v4 − 4v3 + 6v2 − 4v + 1. (5f) 1 + 5x + 10x2 + 10x3 + 5x4 + x5.

(6a) 4−4x+x2. (6b) 27+27x+9x2+x3. (6c) 27 −
27
x
+
9
x2
−
1
x3
. (6d) 1 −
4
x2
+
6
x4
−
4
x6
+
1
x8
.
(6e) x3
− 3x +
3
x
−
1
x3
. (6f) 16 − 32x + 24x2 − 8x3 + x4.
(7a) 1. (7b) 11 935. (7c) 715. (7d) 462. (7e) 165. (7f) 6.
(8) 15 504.
1.3.1 Variaciones, permutaciones y combinaciones.
(1) 20.
(2) 28.
(3) 24.
(4) 21.
(5) 6.
(6) 120.
(7) 12.
(8) 21.
1.4.2 Ecuaciones lineales.
(1) y =
7b(b − a)
3(b − 3a)
.
(2a) x = 0. (2b) No tiene solución. (2c) Infinitas soluciones. Cualquier valor real. (2d)
x = 3
4. (2e) x = (a+b)m
a , a = 0. (2f) x = 0. (2g) x = 3
4.
(3) 840 trabajadores.
(4) 1260 euros.
(5) 25 estudiantes.
1.4.4 Ecuaciones cuadráticas.
(1a) x = 4 y 11
3 . (1b) x = 6. (1c) x = 0, x =
»
3
5, x = −
»
3
5. (1d) x = 3 , −4.
(2) 30 estudiantes.
(3) 18 y 24 Km/h.
(4a) (x − 1)2 − 19. (4b) 3(x + 2
3)2 − 7
3. (4c) (x + 7)2 − 36.
1.5.2 Desigualdades.
(1a) x ≤ 1. (1b) x ≤ 0 3. (1c) 0 < x < 0 5. (1d)
2 −
√
11
7
< x < 0,
2 +
√
11
7
< x. (1e)
−1 < x. (1f) −
1
√
7
≤ x ≤
1
√
7
.
1.5.4 Valor absoluto.
(1a) 7. (1b)
1
2
· (1c)
1
3
· (1d) π. (1e) π − e. (1f)
√
2 − 1.
(2a) x2. (2b) 1 + x2. (2c)
1
1 + x2
. (2d) a2
+ b2
. (2e)
1 + u2
v2
. (2f)
|1 − x2|
1 + x2
.

(3a) −1 < x < 5. (3b) 0 < x < 4. (3c) −1 < x < 9. (3d) −4 < x < 2. (3e) −4 ≤ x ≤ 0.
(3f) x = −1.
(4a) |x| < 1. (4b) |x + 3| ≤ 4. (4c) |x − 1 5| ≤ 6 5. (4d) |x − 4 5| < 3 5. (4e) |x + 3| < 2.
(4f) |x + 1| ≤ 1.
1.6.2 Operaciones con polinomios.
(1) 2 − 3x − 2x3.
(2) x.
(3) −2x2 + 7 − 19
x2+2
.
(4) x(x + 5)(x2 + 1).
(5a) x2 − yx + y2. (5b) 2a2 − 2ab − b2. (5c) 7x + 1.
(6a) (x − 3)(x + 2)(x + 1). (6b) (x + 3)(x − 1). (6c) 2(x + 1) x + 3−
√
65
4 x + 3+
√
65
4 .
(6d) (2x − 5)(x − 1)(x + 3).
(7a) 1, 3, −2. (7b) 1, −3, −2.
1.6.4 Descomposici´on en fracciones simples.
(1a) x − 1 − 4
x−2 + 1
x+1. (1b) 2
x−2 + 7
(x−2)2 . (1c) − 4
(x−1)2 + 3
x−1 + 2
x+3. (1d) 2x+3
x2+2
+ 5
x+1.
(1e) 1
x2 + −4x+3
x2+3 + 2
x .
1.6.6 Operaciones con fracciones algebraicas.
(1a) 4
3
x
a . (1b)
1
60
40a2c + 45b2a + 48c2b + 10
abc
. (1c) 4y
x2−y2 .
(2a) 1. (2b) 0. (2c) 0.
(3) 1.

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