Teoría y problemas de Análisis Combinatorio ac63 ccesa007

2
FACTORIAL DE UN NÚMERO:
Dado un número natural “ n” ; el factorial de n, denotado por :
n ! Se leen factorial de n y se define así:
n ! = como el producto de los n números naturales
Ejemplo:
3 ! = 3 x 2 x 1
6 ! =6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1
Nota :
Decir factorial de 0 o factorial de 1 ; no tiene sentido ; se
considera que 0! = 1
ANÁLISIS COMBINATORIO

3
ORDENACIÓN DE ELEMENTOS:
Se pueden ordenar de diferentes clases:
Clases de ordenación:
a. Por el número de elementos:
- Monaria : 1 elemento
- Binaria : 2 elementos
- Ternaria : 3 elementos
b. Por la disposición de sus elementos :
- Lineal : Sus elementos están uno a continuación de
otros
- Circular : Sus elementos se disponen en un
contorno cerrado.

4
ORDENACIÓN DE ELEMENTOS:
Clases de ordenación:
c. Por la clase de elementos :
- Sin repetición : Elementos distintos
- Con repetición : Se repite algún elemento
d. Por la forma de ordenación :
- variaciones
- Permutaciones
- Combinaciones.

5
PERMUTACIONES:
Sea “ n ” el número de elementos de un conjunto A y “ k ” un
número natural donde 0 < k  n ; las permutaciones se
definen como el número de ordenaciones diferentes que
se pueden formar con los elementos del conjunto A ,
tomando en grupos de “ n ” en “ n ” o de “ k ” en “ k ”
pueden
ser sin repetición o con repetición.

6
Permutaciones:
a) De “ n ” elementos diferentes tomados todos a la vez :
Si “ n ” es el número de elementos de un conjunto A; el número de
permutaciones que pueden hacerse con todos los “ n ” elementos
se obtiene así:
La formula es:
Donde corresponde al número de permutaciones posibles.
n!n)P(n, 
Ejemplo
De un conjunto A = { x ,y , z}. Hallar el número de permutaciones que
pueden formarse con todo los elementos de A.
Solución:
Como n = 3 , el número de permutaciones sin repetición será:
61x2x33!P(3,3)  x y z yxz zxy
xzy yzx zyx
n!

7
Permutaciones:
Determine el número de permutaciones posibles de las letras A, B, C, D.
= 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24
Representémoslas:
n!n)P(n, 

8
Arreglo o Variación sin repeticiones
b) De “ n ” elementos diferentes tomados de “ k ” en “ k ” con k < n
De “ n ” elementos diferentes , el número de permutaciones diferentes sin
repetición tomados de “ r ” en “ r ” está dado por:
k)!-(n
n!
r)V(n, 
Ejemplo
Si A = { a , b, c, d} . Cuantas ordenaciones diferentes pueden
formarse tomando grupos de a 2 ?
Solución:
n = 4 ; r = 2 como:
k)!-(n
n!
r)V(n, 
123x4
2!
4!
V(4,2) 

9
Ejemplo 1:
Supongamos que Alberto (A) , Beatriz (B) , Carlos ( C ) y Daniel (D) se
quieren Sentar en dos sillas disponibles. ¿de cuántas maneras diferentes
se puede ubicar ?
Silla I A A A B B B C C C D D D
Silla II B C D A C D A B D A B C
12 maneras diferentes
124x3
2!
4x3x2!
2!
4!
2)!(4
4!
k)!(n
n!
PV
4
2
n
k






10
Ejemplo 2 :
De un conjunto de 5 libros , ¿Cuántos grupos de a 3 se podrán formar?
Solución.
k)!(n
n!
V
n
k

Como m = 5
n = 3
Se tiene que : 60
1x2
1x2x3x4x5
3)!(5
5!
V
5
3



Ejemplo 3 :
Se tiene 5 libros de distintas materias . ¿De cuántos modos diferentes
podrán disponerse?
m = 5
n = 5
Solución.
1201x2x3x4x5
5)!(5
5!
V
5
5




11
Arreglos o Variaciones sin repeticiones
Ejemplo
Si A = { a , b, c, d} . Cuantas ordenaciones diferentes pueden
formarse tomando grupos de a 2 ?
Nota:
1. Los arreglos o variaciones se caracterizan porque difieren todos
los grupos solo en el orden en que están agrupados.
Estas ordenaciones se pueden efectuar así: Para A= { a , b, c, d}
ordenando en grupos de a 2 serán:
ab ba ca da
ac bc cb db
ad bd cd dc

12
Arreglos a variaciones con repetición:
Solución.
A = { x , y , z} ; n = 3 y
Ejemplo
Cuantas permutaciones diferentes se pueden formar con los
elementos de { x , y , z} tomados todos a l a vez y con repetición.
a) De “ n ” elementos diferentes tomados todos a la vez
n
nn)V(n, 
n
nn)V(n, 
273P(3,3) 3


13
Permutaciones con repetición:
b) De “ n ” elementos diferentes tomados de “ k ” en “ k ” ( k < n ) y con
repetición.
Esta dado por:
k
nr)V(n, 
Ejemplo
Cuántos números diferentes de 2 cifras pueden formarse con
los dígitos 1 , 2 , 3 , 4 , si se permite la repetición.
Solución:
n = 4 ; k = 2 ;
k
nk)V(n, 
164V(4,2) 2
 11 21 31 41
12 22 32 42
13 23 33 43
14 24 34 44

14
LAS COMBINACIONES :
Las combinaciones son las diferentes grupos de “n” elementos que se
pueden formar tomándolos de “ k ” en “ k ” , donde 0 < k  n ; de modo
que cada grupo difiere del otro en por lo menos un elemento.
En las combinaciones sólo se tiene en cuenta los elementos que
intervienen en ellas y no en el orden en que están agrupados la fórmula
correspondiente es:
También se denota así :
k)!(nk!
n!
k)C(n,


  k)!(nk!
n!
r)C(n,n
k



15
LAS COMBINACIONES :
Ejemplo:
De un grupo de 10 libros ¿Cuántas selecciones de 4 libros se pueden
hacer?
Solución:
n = 10 ; k = 4
k)!(nk!
n!
k)C(n,


4!6!
10!
4)!(104!
10!
C(10,4) 


Como:
Se tiene:
210
x12x3x4
7x8x9x10
6!.4!
6!x7x8x9x10
4!6!
10!


16
LAS COMBINACIONES :
Ejemplo:
En una clínica hay 7 médicos y 12 enfermeras , ¿Cuántos grupos de
trabajo conformado por 3 médicos y 5 enfermeras pueden formarse?
Solución:
35
1x2x3
5x6x7
!4!.3
!7
3)!-(73!
7!
C(7,3) 
792
5x4x3x2x1
x812x11x10x9
5!.7!
12!
C(12,5) 
n = 7 ; k = 3
a. De un total de 7 médicos , formaremos grupos de a 3
b. De un total de 12 enfermeras, formamos grupos de a 5
n = 12 ; k = 5
Luego; se podrán formar un total de 792 x 35 = 27 720 grupos diferentes.

17
Ejemplo
Un estudiante tiene que contestar 8 de 10 preguntas en un examen.
a. ¿ De cuántas maneras puede el estudiante escoger las 8 preguntas ?
b. Si las 3 primeras son obligatorias , ¿ de cuantas maneras puede
escoger las preguntas?
C. Si tiene que contestar 4 de las 5 primeras ¿ de cuántas formas
puede hacerlo?
Solución:
a. Como interesa subconjuntos de 8 preguntas de un conjunto de 10
preguntas sin importar el orden estaría dado por:
formas45
2x1
9x10
2!8!
10!
8)!(108!
10!
C(10,8)
k)!(nk!
n!
k)C(n,






18
Solución:
b. Puesto que las 3 primeras son obligatorias ; las 5 restantes tendrá
que escoger de las 7 preguntas sobrantes.
formas21
2x1
6x7
2!5!
7!
5)!(75!
7!
C(7,5)
k)!(nk!
n!
k)C(n,





c. Si tiene que contestar 4 de las 5 primeras lo haría:
maneras5
1!.4!
5!
C(5,4) 
Las 4 preguntas restantes seleccionará de las 5 preguntas finales.
maneras5C(5,4) 
Luego : C(5 , 4) . C(5 , 4) = 5 x 5 = 25

19
Ejemplo
Encontrar el número total de enteros positivos que pueden formarse
utilizando los dígitos { 1 , 2 , 3 , 4 } si ningún dígito ha de repetirse
cuando se forma un número:
Solución:
k)!(n
n!
k)P(n,


4
3!
4!
P(4,1) 
12
!2
!4
2)!(4
4!
P(4,2) 


24x12x3x4
1!
4!
3)!(4
4!
P(4,3) 


24x12x3x4
0!
4!
)!4(4
4!
P(4,4) 


El número de enteros positivos
diferentes es :
4 + 12 + 24 + 24 = 64

20
Problemas
1. En una carrera de caballos, participan 6 de estos ejemplares.
¿De cuántas maneras podrán ocupar los primeros 3 puestos ?.
Solución:
120
!3
!3456
!3
!6
3)!(6
6!
P(6,3)
k)!(n
n!
k)P(n,





xxx
A) 120 B) 180 C) 60 D) 240 E) 20

21
Problemas
2. Un entrenador de fútbol tiene 16 jugadores . De cuántas maneras
podrá formar su equipo . Si cualquiera de los jugadores , puede
desempeñarse en cualquier puesto? Además se sabe que un jugador
no puede jugar por estar lesionado.
Solución:
1365
x4x3x2x111!
2x11!15x14x13x1
4!11!
15!
C(15,11)
k)!(nk!
n!
k)C(n,



A) 1356 B) 1365 C) 1500 D) 3003 E) 1615

22
Problemas
3. En un mercado venden 6 tipos diferentes de frutas y 8 tipos
diferentes de verduras . ¿ De cuántas maneras una señora podrá
comprar 3 tipos diferentes de frutas y dos tipos de verduras?
Solución:
56028x20Luego.
28
x2x16!
8x7x6!
6!2!
8!
C(8,2)
20
x3x2x13!
6x5x4x3!
3!3!
6!
C(6,3)
k)!(nr!
n!
k)C(n,





A) 280 B) 48 C) 560 D) 140 E) 96

23
Problemas
4. Se debe formar una comisión de tres profesionales : un abogado , un
Ingeniero y un médico ¿ Cuántas posibilidades de formar dicha
comisión hay ? . Si se cuentan con tres abogados , cuatro ingenieros
y seis médicos.
Solución:
726x4x3
5!1!
6!
3!1!
4!
2!1!
3!
,1)C(4,1).C(6.C(3,1)
k)!(nr!
n!
k)C(n,



A) 13 B) 72 C) 48 D) 36 E) 18

24
Problemas
5. Un equipo de Investigación consta de 10 integrantes ; de ellos , 4
son Biólogos. ¿ Cuántos grupos de 3 miembros se pueden formar de
manera que se considere a por lo menos un Biólogo?
Solución:
k)!(nk!
n!
r)C(n,


A) 100 B) 140 C) 85 D) 220
120
3x2x1x7!
10x9x8x7!
7!3!
10!
C(10,3) 
El número de grupos de 3 miembros en los que no hay Biólogo :
20
3x2x1x3!
6x5x4x3!
3!3!
6!
C(6,3) 
El grupo solicitado es : 120 - 20 = 100

25
Con las letras de la palabra DISCO, ¿cuántas palabras distintas (con o sin
sentido) se pueden formar?
Evidentemente, al tratarse de palabras el orden importa.
Tenemos que formar palabras de cinco letras con cinco
elementos: {D, I, S, C, O}, que no están repetidos.
Problemas
Solución:
n!k)P(n, 
1201x2x3x4x55!P(5) 

26
¿Cuántas cifras diferentes de 4 dígitos se pueden
formar con los dígitos del 0 al 9, usándolos una vez?
La fórmula respectiva será:
 
10
4
10!
10 4 !
V 

 
10
4
10! 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
5040
10 4 ! 6 5 4 3 2 1
V
        
  
     
Problemas
Solución:

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