Teorema booleanos

LICENCIATURA EN SISTEMAS Y PROGRAMACIÓN
TEOREMAS DE BOOLEANOS - MAPAS
K
MATERIA: ARQUITECTURA Y LOGICA COMP.
PROFESOR: ISELA LÓPEZ
AÑO LECTIVO: 2017
UNIVERCIDAD METROPOLITANA DE EDUCACÍON,
CIENCIAS Y TECNOLOGIA
INTEGRANTES
LUIS APARICIO CED: 8-932-102
OMAR DE LEON CED: 7-711-763
IVAN SALAZAR CED: 6-702-953

INTRODUCCIÓN
Las álgebras booleanas constituyen un área de las matemáticas que ha pasado a ocupar un lugar prominente con
la evolución de la computadora digital. Son usada en el diseño de circuitos de distribución y computadoras, y
sus aplicaciones van en aumento en muchas otras áreas. En el presente trabajo se intenta dar una definición de
lo que es un álgebra de boole; se da ha conocer su inventor, se enlistan los operadores, valores y postulados que
se deben tener presente al momento de hacer uso del Algebra de Boole, necesarios para obtener resultados
correctos en el desarrollo de nuevos hardware para las computadoras. También se hace una breve investigación
del método de simplificación, que hace uso de diagramas llamados mapas o diagramas de Karnaugh, el cual se
utiliza para representar de manera grafica las expresiones algebraicas booleanas.
Esta exposición se hace con el fin de completar las asignaciones del curso y la adquisición de nuevos
conocimientos, necesarios para nuestro desenvolvimiento profesional, también señalamos que debido a la
complejidad del tema y el poco dominio del mismo en algunos puntos a tocar no tendremos una explicación
exacta del mismo.

RESEÑA HISTORICA
George Boole (Inglaterra, 2 de noviembre de 1815 -Irlanda, 8 de
diciembre de 1864) fue un matemático y lógico británico. Inventor
del álgebra de Boole, que marca los fundamentos de la aritmética
computacional moderna, Boole es considerado como uno de los fundadores
del campo de las Ciencias de la Computación. En 1854 publicó “Una
Investigación de las Leyes del Pensamiento sobre las que se fundan las Teorías
Matemáticas de la Lógica y las Probabilidades”, donde desarrolló un sistema
de reglas que le permitían expresar, manipular y simplificar problemas lógicos
y filosóficos cuyos argumentos admiten dos estados (verdadero o falso) por
procedimientos matemáticos. Se podría decir que es el padre de los operadores
lógicos simbólicos y que gracias a su álgebra hoy en día es posible operar
simbólicamente para realizar operaciones lógicas.

CONCEPTO DE ALGEBRA BOOLEANA
Es una estructura algebraica que esquematiza las operaciones lógicas Y, O, NO Y SI
(AND, OR, NOT, IF), así como el conjunto de operaciones unión, intersección y
complemento.
Es un sistema matemático deductivo centrado en los valores de 0 y 1 (Falso y
Verdadero).
Es una herramienta fundamental para el análisis y diseño de circuitos digitales.

OPERADORES Y VALORES
Son los diferentes elementos que se utilizan para desarrollar
las operaciones de la preposición:
 Los dos posibles valores en el sistema booleano son cero y uno, a menudo llamaremos a
éstos valores respectivamente como falso y verdadero.
 “Y” o “AND”: La operación AND se representa con el símbolo “ ∙ ”. Cuando se utilicen
nombres de variables de una sola letra se eliminara el símbolo “ ∙”, por lo tanto AB
representa la operación lógica AND entre las variables A y B, a esto también le llamamos
el producto entre A y B.

 OR: La operación lógica OR se
representa con el símbolo “+”.
Entonces decimos que A+B es la
representación lógica OR entre A y
B, también llamada la suma de A y
B.
 “NOT”: El complemento lógico,
negación “NOT” es un operador
unitario, en este texto utilizaremos el
símbolo ´ para denotar la negación
lógica, por ejemplo, A´ denota la
operación lógica NOT de A.

 Si varios operadores diferentes aparecen en una sola expresión booleana, el resultado
de la expresión depende de la procedencia de los operadores, la cual es de mayor a
menor, paréntesis, operador lógico NOT, operador lógico AND y operador lógico OR.
Tanto el operador lógico AND como el OR son asociativos por la izquierda. Si dos
operadores con la misma procedencia están adyacentes, entonces se evalúan de
izquierda a derecha. El operador lógico NOT es asociativo por la derecha.

POSTULADOS DELALGEBRA BOOLEANA
Es un sistema algebraico definido en un conjunto B, el cual contiene dos o mas
elementos y entre los cuales se definen dos operaciones denominadas “suma u
operación OR” (+) y producto o multiplicación u operación AND” ∙, las cuales cumplen
con las siguientes propiedades:
 Cerrado: El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un operador
binario si para cada par de valores booleanos se produce un solo resultado booleano.
 Conmutativo: Se dice que un operador binario “ ∙ ” es conmutativo si A ∙ B= B ∙ A
para todos los posibles valores de A y B.

 Asociativo: Se dice que un operador binario “ ∙” es asociativo si (A∙B)∙C=A∙(B∙C)
para todos los valores booleanos A,B, y C.
 Distributivo: Dos operadores binarios “ ∙” y “%” son distributivos si
A∙(B%C)=(A∙B)%(A∙C) para todos los valores booleanos A,B, y C.
 Identidad: Un valor booleano I se dice que es un elemento de identidad con respecto a
un operador binario “∙” si A∙I=A.
 Inverso: Un valor booleano I es un elemento inverso con respecto a un operador
booleano “∙” si A∙I=B, y B es diferente de A, es decir, B es el valor opuesto de A.
POSTULADOS DELALGEBRA BOOLEANA

 PRINCIPIO DE DUALIDAD
El concepto de dualidad permite
formalizar este hecho: a toda relación o
ley lógica le corresponderá su dual,
formada mediante el intercambio de los
operadores unión con los de
intersección, y de los 1 con los 0.
ADICION PRODUCTO
1. A+A´=1 A ∙ A´= 0
2. A+0=A A ∙ 1 = A
3. A+1=1 A ∙ 0 = 0
4. A+A=A A ∙ A = A
5. A+B=B+A A ∙ B = B ∙ A
6. A+(B+C)=(A+B)+C A ∙ (B ∙ C) = (A ∙ B) ∙ C
7. A+B ∙ C=(A+B) ∙ (A+C) A ∙ (B+C) = A ∙ B + A ∙ C
8. A+A ∙ B=A A ∙ (A + B)= A
9. (A+B)´=A´∙ B´ (A ∙ B)´ = A´+ B´

TEOREMAS DELALGEBRA BOOLEANOS
Teorema 1: A + A = A
Teorema 2: A · A = A
Teorema 3: A + 0 = A
Teorema 4: A · 1 = A
Teorema 5: A · 0 = 0
Teorema 6: A + 1 = 1
Teorema 7: (A + B)' = A' · B'
Teorema 8: (A · B)' = A' + B'
Teorema 9: A + A · B = A
Teorema 10: A · (A + B) = A
Teorema 11: A + A'B = A + B
Teorema 12: A' · (A + B') = A'B'
Teorema 13: AB + AB' = A
Teorema 14: (A' + B') · (A' + B) = A'
Teorema 15: A + A' = 1
Teorema 16: A · A' = 0
Los teoremas siete y ocho son conocidos como
Teoremas de DeMorgan en honor al matemático que
los descubrió.

El Teorema de DeMorgan permite transformar funciones
producto en funciones suma y viceversa. Su principal
aplicación práctica es realizar circuitos digitales utilizando
un solo tipo de compuerta. También es muy utilizado en
el álgebra booleana para obtener el complemento de
una expresión o una función, además para simplificar
expresiones y funciones booleanas.
TEOREMAS DE DEMORGAN
El teorema de DeMorgan es una herramienta muy útil para desarrollar circuitos digitales, ya que permite obtener la
función de una compuerta lógica con la combinación de otras compuertas lógicas, por ejemplo se puede realizar la
función de la compuerta NAND con una compuerta OR y dos compuertas inversoras, y se puede obtener la función de
una compuerta NOR con una compuerta AND y dos compuertas inversoras.

REPRESENTACIÓN DE
FUNCIONES LÓGICAS (I)
 TABLA DE VERDAD
Tabla que representa el valor de
la función para cada
combinación de entrada. Si la
función está definida para todas
las combinaciones se llama
completa, si no, se denomina
incompleta.

ÁLGEBRA BOOLEANA Y CIRCUITOS ELECTRÓNICOS
Entre la lógica booleana y los sistemas de cómputo existen una relación
uno a uno entre las funciones booleanas y los circuitos electrónicos de
compuertas digitales. Para cada función booleana es posible diseñar un
circuito electrónico y viceversa, utilizando los operadores AND, OR y
NOT.

CÍRCUITOS ELECTRÓNICOS – COMPUERTAS NAND
Los circuito electrónico se pueden implementar utilizando una sólo compuerta NAND,
para lo que es necesario lo siguiente:
 Construir un inversor (NOT): Conectar juntas las dos entradas de una compuerta
NAND
 Una compuerta AND: Sólo se invierte la salida de una compuerta NAND
 Una compuerta OR a partir de una compuerta NAND: Si utilizamos los teoremas de
DeMorgan, que en síntesis se logra en tres pasos: A OR B
1. Se reemplazan todos los "·" por "+” A AND B
2. Se invierte cada literal A' AND B'
3. Se niega la totalidad de la expresión (A' AND B')‘
(A' AND B')' = A' NAND B'.....Definición de OR utilizando NAND

COMBINACIONES UTILIZANDO SOLO COMPUERTAS NAND
La compuerta NAND tiene
una propiedad
llamada “Integración
Funcional” , que consiste en
que cualquier función
booleana se puede
implementar mediante el uso
de una combinación de esta
compuerta.

MAPAS KARNAUGH
Un mapa de Karnaugh conocido como tabla Karnaugh o diagrama de Veitch, abreviado
como MAPA-K o MAPA-KV; es un diagrama utilizado para la simplificación de funciones
algebraicas Booleanas. Fue inventado en 1950 por Maurice Karnaugh, un físico matemático.
Las variables de entrada pueden combinarse de 16 formas
diferentes, por lo que el mapa de Karnaugh tendrá 16 celdas,
distribuidas en una cuadrícula de 4 × 4.
Los diagramas de Karnaugh pueden ser utilizados en la
simplificación de sentencias definidas en lógica Booleana,
construcción de estaciones de clasificación, selección y control
de calidad de piezas fabricadas, entre otras aplicaciones.

CARACTERISTICAS
 Útiles para expresiones de dos, tres, cuatro y cinco variables.
 Es una matriz de 2n celdas en la que cada una representa un valor binario de las
variables de entrada.
 El orden de los valores en filas y columnas es tal que celdas adyacentes difieren
únicamente en una variable.
 La simplificación de una determinada expresión consiste en agrupar adecuadamente
las celdas.
 Un número mayor de variables exige el uso de un método llamado Quine-McClusky

1. Obtener la función lógica en suma de productos canónica.
2. Representar en el mapa de Karnaugh la función algebraica o tabla de verdad que se
desee
representar.
PROCEDIMIENTO

3. Agrupar unos (maximizar el tamaño de los grupos minimizando el número es estos):
**Un grupo tiene que contener 1, 2, 4, 8 o 16 celdas
**Cada celda del grupo tiene que ser adyacente a una o mas celdas del grupo sin
necesidad de que todas las celdas del grupo sean adyacentes entre sí.
**Incluir siempre en cada grupo el mayor número posible de unos (1).
** Cada uno (1) del mapa tiene que estar incluido en al menos un grupo. Los unos (1)
que ya pertenezcan a un grupo pueden estar incluidos en otro, siempre que los
grupos contengan unos (1) no comunes.
4. Simplificar:
**Eliminar variables que aparecen complementadas y sin complementar dentro del
mismo grupo.
PROCEDIMIENTO

REGLAS DE SIMPLIFICACIÓN
1. Las agrupaciones son exclusivamente de unos. Esto implica que ningún grupo puede
contener ningún cero.
2. Las agrupaciones únicamente pueden hacerse en horizontal y vertical. Esto implica que
las diagonales están prohibidas.

3. Los grupos han de contener 2n elementos. Es decir que cada grupo tendrá 1,2,4,8...
número de unos.

4. Cada grupo ha de ser tan grande como sea posible. Tal y como lo ilustramos en el
ejemplo.
5. Todos los unos tienen que pertenecer como mínimo a un grupo. Aunque pueden
pertenecer a más de uno.

6. Pueden existir solapamiento de grupos.

7. La formación de grupos también se puede producir con las celdas extremas de la tabla. De
tal forma que la parte inferior se podría agrupar con la superior y la izquierda con la derecha
tal y como se explica en el ejemplo.

8. Tiene que resultar el menor número de grupos posibles siempre y cuando no contradiga
ninguna de las reglas anteriores. Esto es el número de grupos ha de ser mínima.

CONCLUSIÓN
El álgebra de Boole es la base de toda la electrónica digital. Hoy en día significa que
desde tu reloj, hasta internet, no funcionarían sin este ingenio matemático. Es justo
decir que sin ella, no existiría el mundo actual tal y como lo conocemos.

Teorema booleanos

Más contenido relacionado

Similar a Teorema booleanos (20)

Último (20)

Teorema booleanos