Teoria de geometria euclideana

ÁNGULOS Y SU CLASIFICACIÓN
Un ángulo es una figura geométrica formada en
una superficie por dos líneas que parten de un
mismo punto.
También podemos decir que un ángulo es la
abertura formada por dos rayos llamados lados,
que tienen un origen común llamado vértice.
El ángulo se anota:
Dos rectas con un origen común determinan
siempre dos porciones del plano y por tanto dos
ángulos, α y β.
Al ángulo α se le llama ángulo convexo, mientras
que el ángulo β es cóncavo.
MEDICIÓN Y TRAZO DE ÁNGULOS
Para la medición de ángulos se emplea un instrumento denominado “Transportador”, el
cual puede ser circular ó semicircular.
El transportador circular, es un instrumento que está dividido en 360 partes iguales
nominadas grados, en el cual se ha marcado con toda exactitud el centro.
Para medir los ángulos el transportador se maneja de la siguiente manera: El centro del
transportador se hace coincidir con el vértice del ángulo y la división que indica cero, con
uno de los lados, sobre la escala se obtiene la lectura en la marca que coincida con el otro
lado del ángulo.
Los ángulos se suelen medir en sentido positivo, es decir, en sentido contrario al de las
manecillas del reloj, así como el tamaño de un ángulo no depende de la longitud de sus
lados.

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS.
Los ángulos pueden clasificarse según su medida en cinco
tipos:
Ángulo recto: es aquel cuya medida es de 90°
∠ α = 90°
Ángulo agudo: es aquel cuya medida es menor que
90°
∠ α = < 90°
Ángulo extendido: es aquel cuya medida es de
180°
∠ α = 180°

Ángulo obtuso: es aquel cuya medida es mayor
que 90° y menor que 180°
∠ α = > 90° < 180º
Ángulo completo: es aquel cuya medida es de 360°
∠ α = 360°
ÁNGULOS Y RECTAS.
RELACIONES ENTRE PAREJAS DE ÁNGULOS.
En casi todas las figuras geométricas donde intervengan rectas aparecen ángulos, los
cuales es posible relacionar en cuanto a sus dimensiones y a su posición en el plano.
Así, dos ángulos pueden ser entre sí complementarios, suplementarios o adyacentes.
Dos ángulos son complementarios si la suma de sus
medidas es 90°
α + β son complementarios
α + β= 90°

Dos ángulos son
suplementarios si la suma de
sus medidas es 180°
α + β son suplementarios
α + β = 180°
Dos ángulos son adyacentes si
tienen un lado en común y los
otros dos están en la misma
recta.
a es adyacente con b Û A, B, C
son colineales (están en la
misma recta), BD lado común
para a y b
Los ángulos adyacentes son
suplementarios.
RECTAS SECANTES Y PARALELAS.
Como ya vimos, por definición, un ángulo es una figura geométrica formada en una
superficie por dos líneas rectas que parten de un mismo punto.
Fijando nuestra atención en las rectas, sabemos que estas pueden ser secantes (que se
cortan) o paralelas (que no se cortan nunca).
Dos rectas secantes se cortan en un punto y determinan cuatro ángulos. Cada ángulo
tiene dos lados y un vértice.
Esta construcción en el plano nos permite relacionar entre sí los ángulos así formados.

Ángulos opuestos por el vértice
Son los ángulos formados por dos rectas que se
cortan en un punto llamadovértice (V).
α es opuesto por el vértice con β
γ es opuesto por el vértice con δ
Como podemos verificar en la fígura: Los
ángulos opuestos por el vértice son iguales
Ángulos determinados por dos rectas paralelas y una secante
Dos rectas paralelas cortadas por una tercera
determinan ocho ángulos:
Esta distribución numérica nos permite carecterizar
parejas de ángulos según su posición, haciendo
notar que los ángulos 3, 4, 5 y 6 son interiores (o
internos) y que los ángulos 1, 2, 7 y 8
son exteriores (o externos) respecto a las rectas:
Ángulos internos (3, 4, 5 y 6)
Los ángulos internos a un mismo lado de la transversal a dos rectas paralelas
son suplementarios (suman 180º)
Ángulos 3 y 5 son suplementarios
(suman 180º)
(suman 180º)
Ángulos externos (1, 2, 7 y 8)
Los ángulos externos a un mismo lado de la transversal a dos rectas paralelas
son suplementarios.

(suman 180º)
(suman º80º)
Ángulos correspondientes:
Son aquellos que están al mismo lado de las paralelas y al mismo lado de la transversal.
1 y 5 son ángulos
correspondientes
(iguales), ∠ 1 =
∠ 5
2 y 6 son
ángulos
correspondientes
(iguales) ∠ 2 = ∠ 6
3 y 7 son ángulos
correspondientes
(iguales) ∠ 3 = ∠
7
4 y 8 son ángulos
correspondientes
(iguales) ∠ 4 = ∠
8
Esta relación da pie para formular el siguiente postulado:
Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces cada par de
ángulos correspondientes es congruente entre sí.

Ángulos alternos internos:
Son aquellos ángulos interiores que están a distinto lado de la transversal y a distinto lado
de las paralelas.
3 y 6 son ángulos alternos internos ∠
3 = ∠ 6
4 y 5 son ángulos alternos internos ∠
4 = ∠ 5
ángulos alternos internos es congruente entre sí.
Ángulos alternos externos:
Son aquellos ángulos exteriores que están a distinto lado de la transversal y a distinto
lado de las paralelas.
1 y 8 son ángulos alternos externos ∠
1 = ∠ 8
2 y 7 son ángulos alternos externos ∠
2 = ∠ 7
ángulos alternos externos es congruente entre sí.

ÁNGULOS EN UN TRIÁNGULO.
Los ángulos que se forman en un triángulo se relacionan entre sí cumpliendo con las
siguientes propiedades o características:
1.- La suma de los ángulos internos de
un triángulo es igual a dos ángulos
rectos; es decir, suman 180º.
En la figura, α + γ + ε = 180º. Recordar
que γ = β y que ε = δ por ser
ángulos alternos internos.
2.- La suma de los ángulos agudos de un
triángulo rectángulo es igual a 90º.
En la figura, α + β = 90º
3.- En todo triángulo, la medida de un
ángulo externo es igual a la suma de las
medidas de los ángulos internos no
contiguos (opuestos).
En la figura, β = α + ε

4.- En todo triángulo la medida de un
ángulo externo es mayor que la de
cualquier ángulo interior no adyacente.
En la figura,
β > (es mayor que) α
β > (es mayor que) e
5.- La suma tres ángulos exteriores
de cualquier triángulo vale cuatro
ángulos rectos; es decir, suman
360º.
En la figura, α + β + γ = 360º
TIPOS DE TRIÁNGULOS.
1 Según sus lados:
Triángulo equilátero: Tres lados iguales.
Triángulo isósceles: Dos lados iguales.

Triángulo escaleno: Tres lados desiguales.
2 Según sus ángulos:
Triángulo acutángulo: Tres ángulos agudos
Triángulo rectángulo: Un ángulo recto. El lado mayor es la hipotenusa. Los
lados menores son los catetos.
Triángulo obtusángulo: Un ángulo obtuso.
TEOREMA DE THALES.
Si a dos rectas cualesquiera las cortan varias rectas paralelas, los segmentos
determinados en una de las rectas son proporcionales (tienen la misma longitud) a
los segmentos correspondientes en la otra.

EJEMPLOS
1 Las rectas a, b y c son paralelas. Halla la longitud de x.
2 Las rectas a, b son paralelas. ¿Podemos afirmar que c es paralela a las rectas
a y b?

Sí, porque se cumple el teorema de Thales.
TEOREMA DE THALES EN UN TRIÁNGULO.
Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados
del triangulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos lados son proporcionales a los
del triángulo ABC.
Ejemplo: Hallar las medidas de los segmentos a y b.

APLICACIONES DEL TEOREMA DE THALES.
El teorema de Thales se utiliza para dividir un segmento en varias partes iguales.
Ejemplo: Dividir el segmento AB en 3 partes iguales.
1 Se dibuja una semirrecta de origen el extremo A del segmento.
2 Tomando como unidad cualquier medida, se señalan en la semirrecta 3 unidades
de medida a partir de A

3 Por cada una de las divisiones de la semirrecta se trazan rectas paralelas al
segmento que une B con la última división sobre la semirrecta. Los puntos obtenidos
en el segmento AB determinan las 3 partes iguales en que se divide.
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Los lados a y a', b y b', c y c' se llaman lados homólogos.
Son ángulos homólogos:
Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos homólogos iguales y sus
lados homólogos proporcionales.(Tienen igual forma pero distinto tamaño)

La razón de la proporción entre los lados de los triángulos se llama razón de
semejanza.
La razón de los perímetros de los triángulos semejantes es igual a su razón de
semejanza.
La razón de las áreas de los triángulos semejantes es igual al cuadrado de su
razón de semejanza.
EJEMPLOS.
1 Calcular la altura de un edificio que proyecta una sombra de 6.5 m a la misma hora
que un poste de 4.5 m de altura da una sombra de 0.90 m.
2 Los catetos de un triángulo rectángulo que miden 24 m y 10 m. ¿Cuánto medirán
los catetos de un triángulo semejante al primero cuya hipotenusa mide 52 m?

CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.
1 Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.
2 Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.
3 Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo
comprendido entre ellos igual.

Ejemplos: Determine si son semejantes los siguientes triángulos
1
Son semejantes porque tienen los lados proporcionales.
2
180º − 100º − 60º = 20º Son semejantes porque tienen dos ángulos iguales.
3

Son semejantes porque tienen dos lados proporcionales y un ángulo igual.
AREAS DE FIGURAS PLANAS.
1. TRIANGULO.
El triángulo es un polígono formado por tres lados y
tres ángulos.
La suma de sus tres ángulos siempre es 180 grados.
Para calcular el área se emplea la siguiente formula:
A = (b · h) / 2
(Es decir, la base (b) multiplicado por la altura (h) y dividido entre dos)
2. CUADRADO.
El cuadrado es un polígono que tiene los cuatro lados y los
cuatro
ángulos iguales. Los cuatro ángulos son rectos.
La suma de los cuatro ángulos es 360 grados.
Para hallar el área se utiliza la siguiente formula:
A = l · l
(Es decir, el área es igual al valor de un lado ( l ) multiplicado por si mismo. )
3. RECTANGULO.

El rectángulo es un polígono de 4 lados, que son iguales
dos a dos.
Los ángulos de un rectángulo son todos iguales y rectos.
Suman en total 360 grados.
Para hallar el área de un rectángulo se utiliza la siguiente formula:
A = a · b
(Es decir, el área es igual a multiplicar el valor de la base (a) por el valor de la
altura (b).)
4. ROMBO
El rombo es un polígono que tiene los cuatro lados
iguales y los ángulos son iguales dos a dos. ( Dos
ángulos son agudos y los otros dos obtusos)
Para hallar el área se utiliza la formula siguiente:
A = (D · d) / 2
(Es decir, el área es igual al producto de la diagonal mayor (D) por la diagonal
menor (d) y el resultado se divide entre dos)
5. TRAPECIO
El trapecio es un polígono que tiene 4 lados, de ellos,
dos son paralelos.
Los cuatro ángulos son distintos de 90º. La suma de
los 4 ángulos es 360 grados.
El área se halla con la siguiente formula:
A = (B + b) · h / 2

(Es decir, el área es igual a la suma de las dos bases (B y b), multiplicado por
la altura (h) y dividido entre dos.
6. PARALELOGRAMO
El paralelogramo es un polígono que tiene 4 lados,
que son iguales y paralelos, de dos en dos.
Los ángulos son distintos de 90º. La suma de los 4
ángulos es de 360 grados.
El área se halla con la formula siguiente.
A = b · h
(Es decir, el área es igual al producto de la base (b) por la altura (h))
7. POLÍGONO REGULAR
En este apartado están los polígonos regulares que tienen
más de 4 lados iguales. Los ángulos también son iguales.
El de 5 lados se llama pentágono. El de 6 lados hexágono,
etc.
Para calcular el área de estos polígonos se utiliza la
siguiente formula:
A = (P · a) / 2
(Es decir, el área es igual al perímetro (P) multiplicado por la apotema (a) y dividido
entre dos.)
8. CÍRCULO

El círculo es la región delimitada por una circunferencia. La circunferencia es el
lugar geométrico de los puntos que equidistan del centro.
Para hallar el área del círculo se utiliza la siguiente formula:
A = · r 2
(Es decir, se multiplica 3,14 por el radio (r) elevado al cuadrado)
VOLUMENES DE FIGURAS GEOMETRICAS.
1. PRISMA
El prisma regular es un cuerpo geométrico limitado por 2
polígonos regulares, llamados bases, y por tantos rectángulos
como lados tenga la base.
Se nombran diciendo PRISMA y el nombre del polígono de
la base. (Ejemplo: Prisma pentagonal).
Podemos hallar el área lateral , área total y volumen de este
cuerpo geométrico, utilizando las siguientes formulas:
ÁREA LATERAL
AL = P · h
(Es decir, es área lateral es igual al perímetro del polígono de la base multiplicado
por la altura (h) del prisma)
ÁREA TOTAL
AT = AL + 2 · Ab
(Es decir, el área total es igual al área lateral más el área de los polígonos de las 2
bases)

VOLUMEN
V = Ab · h
(Es decir, el volumen es igual al área del polígono de la base multiplicado por la
altura ( h ) del prisma)
2. PIRÁMIDE
La pirámide regular es un cuerpo geométrico limitado por
un polígono regular, llamado base, y por tantos triángulos
como lados tenga la base.
Se nombran diciendo PIRÁMIDE y el nombre del polígono
de la base. (Ejemplo: Pirámide cuadrangular).
Podemos hallar el área lateral , área total y volumen de
este cuerpo geométrico, utilizando las siguientes formulas:
ÁREA LATERAL
AL = P · a / 2
(Es decir, es área lateral es igual al perímetro del polígono de la base multiplicado
por la altura de una cara lateral ( a ) de la pirámide y dividido entre 2)
ÁREA TOTAL
AT = AL + Ab
(Es decir, el área total es igual al área lateral mas el área del polígonos de la base)
VOLUMEN
V = Ab · h / 3
(Es decir, el volumen es igual al área del polígono de la base multiplicado por la
altura (h ) de la pirámide y dividido entre 3)
4. CILINDRO

El cilindro es el cuerpo geométrico engendrado por un
rectángulo al girar en torno a uno de sus lados. Podemos
hallar el área lateral , área total y volumen de este cuerpo
geométrico, utilizando las siguientes formulas:
ÁREA LATERAL
AL = 2 · · r · g
(Es decir, es área lateral es igual a 2 multiplicado por ( pi ), el
resultado multiplicado por el radio de la base (B) y
multiplicado por la generatriz ( g ) del cilindro)
ÁREA TOTAL
AT = AL + 2 · Ab
(Es decir, el área total es igual al área lateral más las áreas de los dos círculos de
las bases)
VOLUMEN
V = Ab · h
(Es decir, el volumen es igual al área del círculo de la base multiplicado por la
altura ( h ) del cilindro)
5. CONO
.
El cono es un cuerpo geométrico engendrado por un
triángulo rectángulo al girar en torno a uno de sus catetos.
Podemos hallar el área lateral , área total y volumen de este
cuerpo geométrico, utilizando las siguientes formulas:
ÁREA LATERAL
AL = · r · g
(Es decir, es área lateral es igual a (pi) multiplicado por el

radio (r) de la base y multiplicado por la generatriz ( g ) del cono)
ÁREA TOTAL
AT = AL + Ab
(Es decir, el área total es igual al área lateral más el área del circulo de la base)
VOLUMEN
V = Ab · h/ 3
(Es decir, el volumen es igual al área del circulo de la base multiplicado por la
altura ( h ) del cono y dividido entre 3)
6. ESFERA
La esfera es un cuerpo geométrico engendrado al girar una
semicircunferencia alrededor de su diámetro.
Podemos hallar el área y el volumen de este cuerpo
geométrico, utilizando las siguientes formulas:
ÁREA
A = 4 · · r2
(Es decir, es área es igual a 4 multiplicado por (pi), y el resultado se multiplica por
el cuadrado del radio de la esfera)
VOLUMEN
V = 4/3 · · r3
(Es decir, el volumen es igual a 4 multiplicado por (pi), el resultado se multiplica
por el cubo del radio de la esfera y lo que resulta se divide entre 3)

CÁLCULO DE ÁREAS SOMBREADAS Y VOLUMENES
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS RESUELTOS
1) En la figura se tiene un cuadrado de lado ℓ = 4 cm. En las esquinas se tiene 4
cuadrados de lado ℓ/3. Calcular el área de la región sombreada
Solución:
a) Cálculo del área del cuadrado de ℓ = 4 cm
A = ℓ2
= (4cm)2
= 16 cm2
b) Cálculo del área del cuadrado de lado ℓ/3
=
c) Cálculo del área de la región sombreada
Área Sombreada = A - 4 =
Área Sombreada =
2) Calcular el área de la región sombreada
Solución:
a) Cálculo del área del círculo
22
2
78,1
9
16
3
4
cmcmcm 





)78,1(416 22
cmcm 
222
88,812,716 cmcmcm 

b) Cálculo del área del cuadrado
Si el radio de la circunferencia es 4cm, entonces el lado del cuadrado es 8 cm, es decir
que el área del cuadrado es:
A = ℓ2
= (8cm)2
= 64 cm2
c) Cálculo del área de la región sombreada
Se obtiene al restar el área del círculo de la del cuadrado
3) Calcular el área de la región sombreada (sector circular) en donde cm y el
ángulo es un tercio de 3600
Solución:
a) Cálculo del radio r:
Si
b) Cálculo del ángulo
c) Cálculo del área del sector circular:
22222
24,501614,316)4( cmcmcmcmArA  
3
1
27
1







r
cmr
3
1
27
1







   cmr 32727
1
27 3
3
13
1







00
120360
3
1


4) Calcular el área de la región sombreada (corona circular) en donde cm.
Solución:
a) Cálculo del radio sub dos:
Si
b) Cálculo del radio sub uno:
Si
c) Cálculo del área del círculo de radio sub dos:
d) Cálculo del área del círculo de radio sub uno:
e) Cálculo del área de la corona circular
5) Calcular el área de la región sombreada (trapecio circular) en donde cm.
4 2
2 4r
4 2
2 4r cmcmcmcmr 2444 2 12
1
4
2
2 
cmrcmrrr 4222 1121 
222
2
2
56,12414,3)2(14,3 cmcmcmArA  
2
1
1
16
1







r

Solución:
a) Cálculo del radio sub uno:
Si cm = cm = cm
cm
b) Cálculo del radio sub uno:
Si
c) Cálculo del sector circular de radio sub uno:
d) Cálculo del sector circular de radio sub dos:
e) Cálculo del área del trapecio circular:
6) De una pizza se ha comido como indica la figura:
2
1
1
16
1







r
2
1
1
1
16






r  2
1
16 2 1
16
41 r
2
1
2
r
r  cm
cm
r 2
2
4
2 

La pizza cabe exactamente en una caja cuadrada que tiene 160 cm de perímetro.
Calcular el área y la longitud del arco de la parte comida.
Solución.
a) Cálculo del lado de la caja cuadrada
Si el perímetro es
b) Cálculo del radio de la pizza
Si
Si
c) Cálculo del área total de la pizza
d) Cálculo del área de la parte comida
e) Cálculo del perímetro de la pizza
f) Cálculo de la longitud del arco de la parte comida
4P
4
P
 cm
cm
40
4
160

cmDDiámetrocm 40)(40 
cm
cm
r
D
rradiocmD 20
2
40
2
)(40 
cmcmPrP 6,1252014,322  
cmcmaPa 7,156,125
8
1
8
1



7) Calcular el área de la región sombreada en donde d = cm y b =8cm.
Solución:
a) Cálculo de la diagonal:
Si d = cm
b) Cálculo de la altura aplicando el Teorema de Pitágoras:
c) Cálculo del área de la región pintada, la misma que es un triángulo:
A =
9) Si d = cm. Calcular el área de la región sombreada
Solución:
a) Cálculo del lado del cuadrado
Por Pitágoras
2
1
100
2
1
100 cmcmd 101002 1

22222
bdabad 
cmcmcmcmcmcma 63664100)8()10( 22222

2
2
24
2
48
2
68
2
cm
cmcmcmab




2
2
2
22222 d
dd  

b) Cálculo del área del cuadrado
c) Cálculo del área del triángulo sin sombrear
d) Cálculo del área sombreada
10) Calcule la longitud de la arista de un cubo de 343 m3 de volumen.
Solución: La arista medirá 7 m, ya que 7 · 7 · 7 = 343 m3
11). Halla el peso de un bloque cúbico de hormigón de 1,9 m de lado. (Un metro cúbico
de hormigón pesa 2350 kg)
Solución: El volumen del bloque es V = = 6,859 m3. Su peso será
m= 2350 · 6,859 = 16.118,7 Kg.
12). La base de un prisma es un pentágono de lado 4 cm y apotema 3 cm. Calcula su
volumen sabiendo que su altura es 6 cm.
Solución: El área de la base es
El volumen es V = 30· 6 = 180
  cmcm
cmcm
636
2
236
2
26 2
2
2




13) La base de una pirámide es un octágono regular de lado 3 cm y apotema 4cm.
Calcula su volumen sabiendo que su altura es 7 cm.
Solución: El área de la base es
El volumen es V= 48. 7 = = 112
14) Se echan 7 de agua en un recipiente cilíndrico de 3 cm de radio .Qué altura
alcanzará el agua?
Solución: V= despejando h = = =0,24 cm
15) ¿Cuántos cubos cilíndricos, de 47 cm de altura y 16 cm de radio, se tienen que
vaciar en una piscina de 10x6x1,5 m para llenarla?
Solución: La capacidad de cada cubo es V= 3,14 · 16cm = 110980,16
La capacidad de la piscina es V= 10 · 6 · 1,5 = 90 = 90.000.000
Serán necesarios
16) ¿Cuántas copas se pueden llenar con 6 litros de refresco, si el recipiente cónico de
cada copa tiene una altura interior de 6,5 cm y un radio interior de 3,6 cm?
Solución: La capacidad de cada copa es V=
Teniendo en cuenta que 6 Lt son 6000 se pueden llenar con

17) Se introduce una bola de plomo, de 1 cm de radio, en un recipiente cilíndrico de 3,1
cm de altura y 1,5 cm de radio. Calcula el volumen de agua necesario para llenar el
recipiente.
Solución: El volumen del cilindro es V = 3,14. . 3,1 = 21,9015
El volumen de la bola es V =
Para llenar el recipiente, hay que añadir 21,9015 – 4,1866 = 17,7149

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