![TRANSFORMADA Z
Señales de tiempo discreto: como en el caso de señales de tiempo contínuo, interesa conocer la respuesta de los sistemas
LTI (caracterizados por su h[n]) a exponenciales complejas x[n] = zn
(z es un número complejo). En el caso
particular de z = 1 (círculo unitario en el plano Z) se obtiene la respuesta en frecuencia del sistema.
s = + j
Señales de tiempo contínuo:
Transformada de Laplace
s = j
caso particular
( = 0)
Transformada de Fourier
0
]
[
)
(
n
n
z
n
x
z
X
Transformada Z unilateral:
Secuencias:
z = r·ej
Transformada Z
n
n
z
n
x
z
X ]
[
)
(
Transformada Z bilateral:
caso particular
(r = 1) z = ej
Transformada de Fourier
de Tiempo Discreto](https://image.slidesharecdn.com/3transformadaz-241031232636-df86c2fd/85/Transformada-Z-Variable-compleja-y-Transformada-de-Fourier-1-320.jpg)
![A menudo es conveniente mostrar la Transformada Z gráficamente mediante un diagrama de polos y ceros en el plano Z.
Para una secuencia dada, es el conjunto de valores de z para los cuales la Tansformada Z converge. En general son
regiones anulares del plano Z: donde puede ser tan pequeño como 0 y tan grande como ∞.
Rx
z
Rx
Rx
Rx
La Región de Convergencia está limitada por los polos de la Transformada
Ejemplo: la secuencia ]
[
]
[ n
a
n
x n
tiene como Transformada Z:
0
1
]
[
]
[
n
n
n
n
n
z
a
z
n
a
z
X
Propiedad útil:
1
1
1
si
1
1
0
1
0
q
q
q
q
q
q
n
n
N
N
n
n
cero en 0
X
a
O
polo en a
que converge a:
a
z
para
1
1
]
[ 1
a
z
z
z
a
z
X
REGION DE CONVERGENCIA
Si X(z) = función racional = N(z)/D(z), las raíces de N(z) son los ceros de X(z). Las raíces de D(z) son los polos de X(z)
(valores finitos de z que provocan X(z) = ∞). Además, hay que considerar los valores particulares z = 0 y z = ∞.](https://image.slidesharecdn.com/3transformadaz-241031232636-df86c2fd/85/Transformada-Z-Variable-compleja-y-Transformada-de-Fourier-2-320.jpg)
![Región de convergencia según las propiedades de las secuencias
2
1
]
[
]
[
n
n
n
n
z
n
x
z
X la convergencia requiere que | x[n] | < ∞ para n1 n n2
1.- Secuencia de longitud finita:
Casos particulares: z = ∞, si n1 < 0 y z = 0 si n2 > 0 RC: 0 < | z | < ∞ y puede incluir z = 0 ó z = ∞
1
]
[
]
[
n
n
n
z
n
x
z
X
2.- Secuencia hacia la derecha: x[n] = 0 para n < n1 RC: exterior de un círculo, | z | > Rx -
Demostración: se supone que la serie es absolutamente convergente para z = z1
1
1
]
[
n
n
n
z
n
x
la primer suma es finita para cualquier
valor finito de z. La segunda es el caso n1 >
0.
Considerando la serie:
• n1 > 0: si | z | > | z1 | cada término de la sumatoria es menor y la convergencia es más rápida.
1
]
[
n
n
n
z
n
x
• n1 < 0: puede escribirse
0
1
]
[
]
[
]
[
1
1 n
n
n
n
n
n
n
n
z
n
x
z
n
x
z
n
x
Caso particular: la sumatoria diverge para z = ∞ si n1 < 0 Si la RC incluye a z = ∞ secuencia causal
2
]
[
]
[
n
n
n
z
n
x
z
X
3.- Secuencia hacia la izquierda: x[n] = 0 para n > n2 RC: interior de un círculo, | z | < Rx+
Demostración: sustituyendo la variable n = -m se aplican los resultados anteriores con n
reemplazada por –n y z por z-1
.
2
]
[
]
[
n
n
m
z
m
x
z
X
Caso particular: la sumatoria diverge para z = 0 si n2 > 0 si converge para z = 0 entonces x[n] = 0 para n 0.
4.- Secuencia bilateral:
1
0
]
[
]
[
]
[
n
n
n
n
n
n
z
n
x
z
n
x
z
n
x hacia la izquierda RC: | z | < Rx+
hacia la derecha RC: | z | > Rx-
RC: si Rx -
< Rx+
es la región anular Rx -
< | z | < Rx+
si Rx -
> Rx+
no existe región común y la sumatoria diverge.](https://image.slidesharecdn.com/3transformadaz-241031232636-df86c2fd/85/Transformada-Z-Variable-compleja-y-Transformada-de-Fourier-3-320.jpg)
![TRANSFORMADA Z INVERSA
La expresión de la TZ inversa puede derivarse utilizando el teorema integreal de Cauchy:
(C es un círculo en contra de las agujas del reloj que rodea el origen)
c
k
k
k
dz
z
j 0
,
0
0
,
1
2
1 1
Partiendo de la expresión de la TZ,
n
n
z
n
x
z
X ]
[
)
( 1
k
z 1
k
z
se multiplica en ambos términos por zk-1
c
c
dz
j
dz
j 2
1
2
1
y se integra con una integral de contorno:
Intercambiando el orden de integración y sumatoria se tiene:
c
k
n
n
c
k
dz
z
j
n
x
dz
z
z
X
j
1
1
2
1
]
[
)
(
2
1
Para transformadas Z racionales, la integral de contorno puede evaluarse con el teorema de los residuos:
C
z
z
X
dz
z
z
X
j
n
x n
c
n
de
dentro
polos
los
en
)
(
de
residuos
)
(
2
1
]
[ 1
1
Si X(z)·zn-1
es función racional de z:
s
n
z
z
z
z
z
X
0
1 )
(
)
(
donde X(z)·zn-1
tiene s polos en z = z0 y (z) no tiene polos en z = z0: 0
1
1
0
1 )
(
!
1
1
en
)
(
Res
z
z
s
s
n
z
d
z
d
s
z
z
z
z
X
En particular, si existe un sólo polo de primer orden en z = z0: )
(
en
)
(
Res 0
0
1
z
z
z
z
z
X n
(para n 0)
En general, cuando n < 0 aparece un polo en z = 0 cuyo orden depende de n. Se realiza el cambio de variables z = p-1
0
1
1
1
1
1
1
)
(
)
(
Res
)
(
2
1
]
[ p
p
p
p
X
p
p
X
dp
p
p
X
j
n
x n
n
c
n
(p0 = polo de primer orden)
Utilizando residuos
utilizando el teorema: ]
[
)
(
2
1 1
n
x
dz
z
z
X
j c
n
TZI](https://image.slidesharecdn.com/3transformadaz-241031232636-df86c2fd/85/Transformada-Z-Variable-compleja-y-Transformada-de-Fourier-4-320.jpg)
![TEOREMAS Y PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z
Región de convergencia de las transformadas z racionales
La región de convergencia de la transformada z no puede contener ningún polo y está limitada por los polos o por 0 o
. En el caso general de secuencias bilaterales, algunos de los polos contribuyen sólo para n 0 y el resto sólo para
n 0. Suponiendo una transformada que presenta tres polos (en z = a, b, c) en la figura se muestran las cuatro
posibles elecciones para la región de convergencia. La primera corresponde a una secuencia hacia la derecha, la
segunda a una secuencia hacia la izquierda, y las dos restantes a secuencias bilaterales.
a b c
a b c a b c a b c
Plano Z
Linealidad
Sean dos secuencias x[n] e y[n] con transformadas X(z) con e Y(z) con entonces:
con donde la RC es al menos el solapamiento de las regiones.
Para secuencias con TZ racionales, si los polos de aX(z) + bY(z) son la unión de los polos de X(z) e Y(z); la RC
será
exactamente igual al solapamiento de las regiones individuales Rz-
= max(Rx-
,Ry-
) y Rz+
= min(Rx+
,Ry+
). Si la
combinación lineal provoca que algunos ceros cancelen polos, entonces la RC puede ser más grande. Esto sucede, por
ejemplo, cuando x[n] e y[n] son de duración infinita, pero su combinación lineal es de duración finita. La RC
resultante
Rx
z
Rx
Ry
z
Ry
)
(
)
(
]
[
]
[ z
Y
b
z
X
a
n
y
b
n
x
a
Z
Rz
z
Rz](https://image.slidesharecdn.com/3transformadaz-241031232636-df86c2fd/85/Transformada-Z-Variable-compleja-y-Transformada-de-Fourier-6-320.jpg)
![TEOREMAS Y PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z
Corrimiento de la secuencia
Para la secuencia cuyos valores son x[n+n0] se tiene Las RC de x[n] y x[n+n0] son idénticas,
con la posible excepción de z = 0 o z = . Para valores de n0 positivos, se introducen ceros en z = 0 y polos en z = ,
mientras que para valores negativos, se introducen polos en el origen y ceros en .
)
(
]
[ 0
0 z
X
z
n
n
x
Z n
Multiplicación por una secuencia exponencial
Para la secuencia an
·x[n], donde a puede ser compleja, Z[an
∙x[n]] = X(a-1
z) con a ∙Rx-
< z < a ∙Rx+
. Si X(z)
tiene un polo en z1, entonces X(a-1
z) tendrá un polo en a∙z1. En general, todas las ubicaciones de los polos y ceros
están escaleadas por un factor a. Si es real positivo, se interpreta como una expansión o compresión del plano Z. Si a
es compleja de magnitud unitaria, la escala corresponde a una rotación en el plano Z, provocando que los polos y
ceros cambien a lo largo de círculos centrados en el origen.
Diferenciación de X(z)
La TZ de x[n] linealmente pesada es:
dz
z
dX
z
n
x
n
Z
)
(
]
[
Rx
z
Rx
Conjugación de una secuencia compleja
Rx
z
Rx
)
(
]
[ *
*
*
z
X
n
x
Z
Teorema del Valor inicial
Si x[n] es cero para n < 0, entonces )
(
lim
]
0
[ z
X
x
z
](https://image.slidesharecdn.com/3transformadaz-241031232636-df86c2fd/85/Transformada-Z-Variable-compleja-y-Transformada-de-Fourier-7-320.jpg)
![TEOREMAS Y PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z
Convolución de secuencias
Sea la secuencia w[n] = x[n]*y[n], entonces W(z) = X(z)∙Y(z) Rx-
< z < Rx+
; Ry-
< z < Ry+.
n
n
k
n
n
z
k
n
y
k
x
z
n
w
z
W ]
[
]
[
]
[
)
(
Demostración:
n
n
k
z
k
n
y
k
x
z
W ]
[
]
[
)
(
Intercambiando el orden de las sumatorias:
Cambiando el índice de la segunda sumatoria de n a m = n - k :
z
z
m
y
k
x
=
W(z) k
-
m
-
=
m
=
k
]
[
]
[
-
-
Así, para valores de z dentro de las zonas de convergencia de X(z) e Y(z) puede escribirse: )
(
)
(
)
( z
Y
z
X
z
W
donde la RC incluye la intersección de las regiones de convergencia de X(z) e Y(z). Si un polo que confina la región
de convergencia de una de las TZ se cancela con un cero de la otra, la región de convergencia de W(z) será mayor.](https://image.slidesharecdn.com/3transformadaz-241031232636-df86c2fd/85/Transformada-Z-Variable-compleja-y-Transformada-de-Fourier-8-320.jpg)
![FUNCION del SISTEMA
La TZ de la respuesta de un sistema a la muestra unitaria se denomina función del sistema. Evaluada sobre el círculo
unitario ( | z | = 1) es la respuesta en frecuencia del sistema.
Entrada Salida
x[n] – X(z) y[n]- Y(z)
h[n] - H(z)
y[n] = x[n] * h[n]
Y(z) = X(z) · H(z)
Para que un sistema LTI sea estable es necesario que su respuesta a la muestra unitaria sea absolutamente sumable. La
RC de H(z) queda definida por los valores de z para los cuales h[n]·z-n
es absolutamente sumable
Si la RC de la función de sistema incluye el círculo unitario, el sistema es estable y viceversa.
Para que un sistema sea estable y causal, la RC de H(z) debe incluir el círculo unitario y el
plano z exterior a un círculo (determinado por el polo de mayor módulo), incluyendo z = ∞.](https://image.slidesharecdn.com/3transformadaz-241031232636-df86c2fd/85/Transformada-Z-Variable-compleja-y-Transformada-de-Fourier-9-320.jpg)
![FUNCION del SISTEMA
Cuando el sistema puede describirse mediante una ecuación en diferencias lineal con coeficientes constantes, la
función del sistema es una relación de polinomios (filtros). Considerando un sistema para el cual la entrada y la salida
satisfacen la ecuación:
M
r
r
N
k
k r
n
x
b
k
n
y
a
0
0
]
[
]
[
aplicando la TZ a cada miembro:
M
r
r
N
k
k r
n
x
b
Z
k
n
y
a
Z
0
0
]
[
]
[
considerando la propiedad de linealidad:
M
r
r
N
k
k r
n
x
Z
b
k
n
y
Z
a
0
0
]
[
]
[
definiendo a X(z) e Y(z) como las TZ de x[n] e y[n] respectivamente y aplicando la propiedad de desplazamiento:
)
(
]
[ z
Y
z
k
n
y
Z k
)
(
]
[ z
X
z
r
n
x
Z r
M
r
r
r
N
k
k
k z
X
z
b
z
Y
z
a
0
0
)
(
)
(
entonces, como H(z) = Y(z) / X(z)
N
k
k
k
M
r
r
r
z
a
z
b
z
H
0
0
)
(](https://image.slidesharecdn.com/3transformadaz-241031232636-df86c2fd/85/Transformada-Z-Variable-compleja-y-Transformada-de-Fourier-10-320.jpg)
Transformada Z Variable compleja y Transformada de Fourier
- 1. TRANSFORMADA Z Señales de tiempo discreto: como en el caso de señales de tiempo contínuo, interesa conocer la respuesta de los sistemas LTI (caracterizados por su h[n]) a exponenciales complejas x[n] = zn (z es un número complejo). En el caso particular de z = 1 (círculo unitario en el plano Z) se obtiene la respuesta en frecuencia del sistema. s = + j Señales de tiempo contínuo: Transformada de Laplace s = j caso particular ( = 0) Transformada de Fourier 0 ] [ ) ( n n z n x z X Transformada Z unilateral: Secuencias: z = r·ej Transformada Z n n z n x z X ] [ ) ( Transformada Z bilateral: caso particular (r = 1) z = ej Transformada de Fourier de Tiempo Discreto
- 2. A menudo es conveniente mostrar la Transformada Z gráficamente mediante un diagrama de polos y ceros en el plano Z. Para una secuencia dada, es el conjunto de valores de z para los cuales la Tansformada Z converge. En general son regiones anulares del plano Z: donde puede ser tan pequeño como 0 y tan grande como ∞. Rx z Rx Rx Rx La Región de Convergencia está limitada por los polos de la Transformada Ejemplo: la secuencia ] [ ] [ n a n x n tiene como Transformada Z: 0 1 ] [ ] [ n n n n n z a z n a z X Propiedad útil: 1 1 1 si 1 1 0 1 0 q q q q q q n n N N n n cero en 0 X a O polo en a que converge a: a z para 1 1 ] [ 1 a z z z a z X REGION DE CONVERGENCIA Si X(z) = función racional = N(z)/D(z), las raíces de N(z) son los ceros de X(z). Las raíces de D(z) son los polos de X(z) (valores finitos de z que provocan X(z) = ∞). Además, hay que considerar los valores particulares z = 0 y z = ∞.
- 3. Región de convergencia según las propiedades de las secuencias 2 1 ] [ ] [ n n n n z n x z X la convergencia requiere que | x[n] | < ∞ para n1 n n2 1.- Secuencia de longitud finita: Casos particulares: z = ∞, si n1 < 0 y z = 0 si n2 > 0 RC: 0 < | z | < ∞ y puede incluir z = 0 ó z = ∞ 1 ] [ ] [ n n n z n x z X 2.- Secuencia hacia la derecha: x[n] = 0 para n < n1 RC: exterior de un círculo, | z | > Rx - Demostración: se supone que la serie es absolutamente convergente para z = z1 1 1 ] [ n n n z n x la primer suma es finita para cualquier valor finito de z. La segunda es el caso n1 > 0. Considerando la serie: • n1 > 0: si | z | > | z1 | cada término de la sumatoria es menor y la convergencia es más rápida. 1 ] [ n n n z n x • n1 < 0: puede escribirse 0 1 ] [ ] [ ] [ 1 1 n n n n n n n n z n x z n x z n x Caso particular: la sumatoria diverge para z = ∞ si n1 < 0 Si la RC incluye a z = ∞ secuencia causal 2 ] [ ] [ n n n z n x z X 3.- Secuencia hacia la izquierda: x[n] = 0 para n > n2 RC: interior de un círculo, | z | < Rx+ Demostración: sustituyendo la variable n = -m se aplican los resultados anteriores con n reemplazada por –n y z por z-1 . 2 ] [ ] [ n n m z m x z X Caso particular: la sumatoria diverge para z = 0 si n2 > 0 si converge para z = 0 entonces x[n] = 0 para n 0. 4.- Secuencia bilateral: 1 0 ] [ ] [ ] [ n n n n n n z n x z n x z n x hacia la izquierda RC: | z | < Rx+ hacia la derecha RC: | z | > Rx- RC: si Rx - < Rx+ es la región anular Rx - < | z | < Rx+ si Rx - > Rx+ no existe región común y la sumatoria diverge.
- 4. TRANSFORMADA Z INVERSA La expresión de la TZ inversa puede derivarse utilizando el teorema integreal de Cauchy: (C es un círculo en contra de las agujas del reloj que rodea el origen) c k k k dz z j 0 , 0 0 , 1 2 1 1 Partiendo de la expresión de la TZ, n n z n x z X ] [ ) ( 1 k z 1 k z se multiplica en ambos términos por zk-1 c c dz j dz j 2 1 2 1 y se integra con una integral de contorno: Intercambiando el orden de integración y sumatoria se tiene: c k n n c k dz z j n x dz z z X j 1 1 2 1 ] [ ) ( 2 1 Para transformadas Z racionales, la integral de contorno puede evaluarse con el teorema de los residuos: C z z X dz z z X j n x n c n de dentro polos los en ) ( de residuos ) ( 2 1 ] [ 1 1 Si X(z)·zn-1 es función racional de z: s n z z z z z X 0 1 ) ( ) ( donde X(z)·zn-1 tiene s polos en z = z0 y (z) no tiene polos en z = z0: 0 1 1 0 1 ) ( ! 1 1 en ) ( Res z z s s n z d z d s z z z z X En particular, si existe un sólo polo de primer orden en z = z0: ) ( en ) ( Res 0 0 1 z z z z z X n (para n 0) En general, cuando n < 0 aparece un polo en z = 0 cuyo orden depende de n. Se realiza el cambio de variables z = p-1 0 1 1 1 1 1 1 ) ( ) ( Res ) ( 2 1 ] [ p p p p X p p X dp p p X j n x n n c n (p0 = polo de primer orden) Utilizando residuos utilizando el teorema: ] [ ) ( 2 1 1 n x dz z z X j c n TZI
- 5. TRANSFORMADA Z INVERSA Expansión en fracciones parciales El método se basa en expandir la TZ en fracciones parciales e identificar la transformada Z inversa de los términos simples. Sea: se presentan entonces distintos casos. ) ( y ) ( definen se ) ( ) ( ) ( z Q orden N z P orden M z Q z P z F a) Sólo polos de primer orden (z = zk) y M < N : k z z k k k N k k k z F z z A A z z A z F ) ( ) ( polos los en residuos los son los ) ( 1 b) M N : división por obtienen se los ) ( 1 0 1 1 1 i N k k k N M N M N M N M B z z A B z B z B z B z F b) M N y polos de orden múltiple. En particular, si F(z) tiene además un polo de orden s en z = zi : ) ( 1 1 0 1 1 1 s k k i k N k k k N M N M N M N M z z C z z A B z B z B z B z F . anteriores casos los en como calculan se y los , ) ( ! 1 con i k z z s i k s k s k B A z F z z dz d k s C i Para aplicar la expansión en fracciones parciales se considera la TZ como un cociente de polinomios en z o z-1.
- 6. TEOREMAS Y PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z Región de convergencia de las transformadas z racionales La región de convergencia de la transformada z no puede contener ningún polo y está limitada por los polos o por 0 o . En el caso general de secuencias bilaterales, algunos de los polos contribuyen sólo para n 0 y el resto sólo para n 0. Suponiendo una transformada que presenta tres polos (en z = a, b, c) en la figura se muestran las cuatro posibles elecciones para la región de convergencia. La primera corresponde a una secuencia hacia la derecha, la segunda a una secuencia hacia la izquierda, y las dos restantes a secuencias bilaterales. a b c a b c a b c a b c Plano Z Linealidad Sean dos secuencias x[n] e y[n] con transformadas X(z) con e Y(z) con entonces: con donde la RC es al menos el solapamiento de las regiones. Para secuencias con TZ racionales, si los polos de aX(z) + bY(z) son la unión de los polos de X(z) e Y(z); la RC será exactamente igual al solapamiento de las regiones individuales Rz- = max(Rx- ,Ry- ) y Rz+ = min(Rx+ ,Ry+ ). Si la combinación lineal provoca que algunos ceros cancelen polos, entonces la RC puede ser más grande. Esto sucede, por ejemplo, cuando x[n] e y[n] son de duración infinita, pero su combinación lineal es de duración finita. La RC resultante Rx z Rx Ry z Ry ) ( ) ( ] [ ] [ z Y b z X a n y b n x a Z Rz z Rz
- 7. TEOREMAS Y PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z Corrimiento de la secuencia Para la secuencia cuyos valores son x[n+n0] se tiene Las RC de x[n] y x[n+n0] son idénticas, con la posible excepción de z = 0 o z = . Para valores de n0 positivos, se introducen ceros en z = 0 y polos en z = , mientras que para valores negativos, se introducen polos en el origen y ceros en . ) ( ] [ 0 0 z X z n n x Z n Multiplicación por una secuencia exponencial Para la secuencia an ·x[n], donde a puede ser compleja, Z[an ∙x[n]] = X(a-1 z) con a ∙Rx- < z < a ∙Rx+ . Si X(z) tiene un polo en z1, entonces X(a-1 z) tendrá un polo en a∙z1. En general, todas las ubicaciones de los polos y ceros están escaleadas por un factor a. Si es real positivo, se interpreta como una expansión o compresión del plano Z. Si a es compleja de magnitud unitaria, la escala corresponde a una rotación en el plano Z, provocando que los polos y ceros cambien a lo largo de círculos centrados en el origen. Diferenciación de X(z) La TZ de x[n] linealmente pesada es: dz z dX z n x n Z ) ( ] [ Rx z Rx Conjugación de una secuencia compleja Rx z Rx ) ( ] [ * * * z X n x Z Teorema del Valor inicial Si x[n] es cero para n < 0, entonces ) ( lim ] 0 [ z X x z
- 8. TEOREMAS Y PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z Convolución de secuencias Sea la secuencia w[n] = x[n]*y[n], entonces W(z) = X(z)∙Y(z) Rx- < z < Rx+ ; Ry- < z < Ry+. n n k n n z k n y k x z n w z W ] [ ] [ ] [ ) ( Demostración: n n k z k n y k x z W ] [ ] [ ) ( Intercambiando el orden de las sumatorias: Cambiando el índice de la segunda sumatoria de n a m = n - k : z z m y k x = W(z) k - m - = m = k ] [ ] [ - - Así, para valores de z dentro de las zonas de convergencia de X(z) e Y(z) puede escribirse: ) ( ) ( ) ( z Y z X z W donde la RC incluye la intersección de las regiones de convergencia de X(z) e Y(z). Si un polo que confina la región de convergencia de una de las TZ se cancela con un cero de la otra, la región de convergencia de W(z) será mayor.
- 9. FUNCION del SISTEMA La TZ de la respuesta de un sistema a la muestra unitaria se denomina función del sistema. Evaluada sobre el círculo unitario ( | z | = 1) es la respuesta en frecuencia del sistema. Entrada Salida x[n] – X(z) y[n]- Y(z) h[n] - H(z) y[n] = x[n] * h[n] Y(z) = X(z) · H(z) Para que un sistema LTI sea estable es necesario que su respuesta a la muestra unitaria sea absolutamente sumable. La RC de H(z) queda definida por los valores de z para los cuales h[n]·z-n es absolutamente sumable Si la RC de la función de sistema incluye el círculo unitario, el sistema es estable y viceversa. Para que un sistema sea estable y causal, la RC de H(z) debe incluir el círculo unitario y el plano z exterior a un círculo (determinado por el polo de mayor módulo), incluyendo z = ∞.
- 10. FUNCION del SISTEMA Cuando el sistema puede describirse mediante una ecuación en diferencias lineal con coeficientes constantes, la función del sistema es una relación de polinomios (filtros). Considerando un sistema para el cual la entrada y la salida satisfacen la ecuación: M r r N k k r n x b k n y a 0 0 ] [ ] [ aplicando la TZ a cada miembro: M r r N k k r n x b Z k n y a Z 0 0 ] [ ] [ considerando la propiedad de linealidad: M r r N k k r n x Z b k n y Z a 0 0 ] [ ] [ definiendo a X(z) e Y(z) como las TZ de x[n] e y[n] respectivamente y aplicando la propiedad de desplazamiento: ) ( ] [ z Y z k n y Z k ) ( ] [ z X z r n x Z r M r r r N k k k z X z b z Y z a 0 0 ) ( ) ( entonces, como H(z) = Y(z) / X(z) N k k k M r r r z a z b z H 0 0 ) (
- 11. FUNCION del SISTEMA puede expresarse en forma factorizada: N k k k M r r r z a z b z H 0 0 ) ( N k k M r r z d z c A z H 1 1 1 1 1 1 ) ( Si el sistema es estable, se debe eligir como RC la región anular que incluye el círculo unitario. Si además el sistema es causal, contendrá el exterior al círculo que pasa a través del polo de H(z) que esté más lejos del origen. La ecuación anterior no indica la RC de H(z). Esto es consistente con el hecho de que la ecuación en diferencias no especifica unívocamente la respuesta a la muestra unitaria de un sistema LTI. Las posibles RC son regiones anulares limitadas por los polos. Cada uno de los factores (1 - cr·z-1 ) en el numerador contribuye con un cero en z = cr y un polo en z = 0. Análogamente, los factores (1 - dk·z-1 ) en el denominador contribuyen con un polo en z = dk y un cero en el origen; a diferencia de un factor de escala A, la función de sistema puede especificarse mediante un diagrama de polos y ceros en el plazo Z. Cada elección de una RC conduce a respuestas a la muestra unitaria diferentes, pero todas corresponden a la misma ecuación en diferencias.