Trigonometría para dummies3
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Este documento explica cómo resolver triángulos oblicuángulos mediante el uso de los teoremas del seno y coseno. Presenta los cuatro casos posibles según los datos conocidos del triángulo y muestra ejemplos resueltos de cada caso aplicando los teoremas correspondientes.
Trigonometría para dummies3
- 1. Trigonometría Guía para la solución de triángulos oblicuángulos Triángulos oblicuángulos son aquellos triángulos en donde ninguno de sus ángulos es recto, para su resolución se hace uso de los teoremas o leyes del SENO y COSENO Teorema del seno. Para todo triangulo la relación del seno de ángulo con el lado opuesto es directamente proporcional para todos los ángulos y lados así: sin sin sin Teorema del coseno Para todo triangulo, el cuadrado de la longitud de uno de sus lados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto se estos lados por el coseno del ángulo comprendido entre ellos. 2 ∗ ∗ ∗ cos 2 ∗ ∗ ∗ cos 2 ∗ ∗ ∗ cos Casos Según los datos conocidos de cada triangulo los casos ante los cuales nos podemos encontrar son: Caso 1: se conoce un lado y dos ángulos Caso 2: se conocen de los lados y el ángulo opuesto a uno de ellos. Caso 3: se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. Caso 4: se conocen los tres lados. B C c b a A
- 2. Para los casos 1 y 2 se procede con ayuda del teorema del seno, y para los casos 3 y 4 con la ley del coseno. Ejemplos 1. Resolver el triángulo oblicuángulo, en donde conocemos A=50°, B=46° y a =4.5cm. Ejercicio caso 1. Tenemos que: sin sin Remplazando: sin 50 4.5 sin 46 Despejando b, tenemos: sin 46 sin 50 ∗ 4.5 . Recordando de geometría que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180° tenemos: 180° 50° 46° ° Retomando, por ley del seno tenemos: sin sin Entonces: sin 50 4.5 sin 84 Despejando c, tenemos sin 84 sin 50 ∗ 4.5 . Completando así los datos requeridos para la completa identificación del triángulo. B C c b a A
- 3. 2. Resolver el triángulo, en donde A=40°, a=8cm y b=2cm. Ejercicio caso 2. Tenemos que: sin sin Remplazando: sin 40 8 sin B 2 Despejando sin B, tenemos: sin sin 40 8 ∗ 2 . Aplicando la función inversa: B sin 0.16 . ° Recordando de geometría que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180° tenemos: 180° 40° 9.25° . ° Continuando, por ley del seno tenemos: sin sin Entonces: sin 40 8 sin 130.75 Despejando c, tenemos sin 130.75 sin 40 ∗ 8 . Completando así los datos requeridos para la completa identificación del triángulo.
- 4. 3. Resolver el triángulo, en donde B=30°, a=10cm y b=6cm. Ejercicio caso 2. Tenemos que: sin sin Remplazando: sin A 10 sin 30 6 Despejando sin A, tenemos: sin sin 30 6 ∗ 10 . Aplicando la función inversa: A sin 0.83 . ° Dado que la función seno es periódica y el su valor es el mismo en el primer y segundo cuadrante tenemos que: A sin 0.83 . ° Como ambas respuestas son viables y nos permiten resolver el triángulo continuamos en forma paralela con ambas respuestas así: Con A=56.44° Recordando de geometría que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180° tenemos: 180° 30° 56.44° . ° B C c b a A A´ b c´
- 5. Continuando, por ley del seno tenemos: sin sin Entonces: sin 30 6 sin 93.56 Despejando c, tenemos sin 93.56 sin 30 ∗ 6 . Completando así los datos requeridos para la completa identificación del triángulo Con A=123.56° Recordando de geometría que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180° tenemos: 180° 30° 123.56° . ° Continuando, por ley del seno tenemos: sin sin Entonces: sin 30 6 sin 26.44 Despejando c, tenemos sin 26.44 sin 30 ∗ 6 . Completando así los datos requeridos para la completa identificación del triángulo
- 6. 4. Resolver el triángulo, en donde B=30°, a=10cm y b=3cm. Ejercicio caso 2. Tenemos que: sin sin Remplazando: sin A 10 sin 30 3 Despejando sin A, tenemos: sin sin 30 3 ∗ 10 . Como el resultado es mayor que uno (1) tenemos pues que el triángulo no existe, es decir con los datos del enunciado no es posible conformar un triángulo que cumpla con estos valores. 5. Resolver el triángulo, en donde B=130°, a=10cm y c=5cm. Ejercicio caso 3. Este caso lo desarrollamos con ayuda del teorema del coseno así: Tenemos que: 2 ∗ ∗ ∗ cos Remplazando: 10 5 2 ∗ 10 ∗ 5 ∗ cos 130 100 25 100 ∗ 0.64 189.28 . Continuando, por ley del seno tenemos: sin sin
- 7. Entonces: sin 10 sin 130 13.76 Despejando sin A, tenemos: sin sin 130 13.76 ∗ 10 . Aplicando la función inversa: A sin 0.56 . ° Recordando de geometría que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180° tenemos: 180° 130° 33.83° . ° Completando así los datos requeridos para la completa identificación del triángulo. 6. Resolver el triángulo, en donde b=5cm, a=4cm y c=6cm. Ejercicio caso 4. Este caso lo desarrollamos con ayuda del teorema del coseno así: Tenemos que: 2 ∗ ∗ ∗ cos Remplazando: 5 4 6 2 ∗ 4 ∗ 6 ∗ cos 25 16 36 48 ∗ cos Despejando cosB tenemos: cos 25 16 36 48 27 48 cos . Aplicando la función inversa: B cos 0.56 . °
- 8. Continuando, por ley del coseno tenemos: 2 ∗ ∗ ∗ cos Remplazando. 4 5 6 2 ∗ 5 ∗ 6 ∗ cos 16 25 36 60 ∗ cos Despejando cosA tenemos: cos 16 25 36 60 45 60 cos . Aplicando la función inversa: A cos 0.75 . ° Recordando de geometría que la suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180° tenemos: 180° 41.41° 55.77° . ° Completando así los datos requeridos para la completa identificación del triángulo.