Variables Aleatorias Variables Aleatorias continuas y discretas.pdf

Estadística para Administradores
Curso Maximiliano Albornoz
Verano 2021

Clase 15/01/21
Variables Aleatorias
Distribucion Normal
Teorema Central del Limite

Conceptos principales
•Se llama Variable Aleatoria a una función o regla que asigna a cada
elemento del espacio muestral, un vector perteneciente a un espacio
vectorial ℝ𝑛 .
•Una Variable Aleatoria es UNIDIMENSIONAL cuando a cada elemento
del espacio muestral se le asigna un escalar perteneciente al conjunto
de números real.
•Se llama RECORRIDO al conjunto formado por los números reales que
se puede asignar a dicha variable.
•Las Variables Aleatorias también pueden ser bidimensionales o
multidimensionales.

Ejemplo
•Se realizó un trabajo donde se quiere estudiar la estatura de las
personas, en centímetros, para relacionarlas con otras características.
Entonces se tomó una persona elegida al azar y se midió su estatura
con un instrumento que provee resultados en centímetros. El
resultado de la medición fue de 191 cm.
•Experimento aleatorio: Se toma una persona elegida al azar
utilizando algún método (por ejemplo, un bolillero) y se mide su
altura.
•Espacio muestral: Esta dado por todas las posibles lecturas del
instrumento, un número real positivo.
•Suceso aleatorio: un valor en particular por ejemplo, 191 cm.
•Variable aleatoria: estatura en centímetros.
•Recorrido de la variable aleatoria: todos los números reales
positivos.

Variable Aleatoria Discreta Unidimensional
•Una variable aleatoria discreta unidimensional es aquella variable
aleatoria que se origina en un espacio muestral finito infinito
numerable.
•Si el espacio muestral es finito o infinito numerable, entonces el
recorrido de la variable es finito o infinito numerable.
•Los valores de la variable aleatoria discreta X son puntos del eje real:
x1, x2……xh, xh+1……
Ejemplo:
Una caja contiene 10 bolillas azules y 8 blancas. El experimento
consiste en extraer 5 bolillas y observar la cantidad de bolillas azules.
Variable aleatoria, X: cantidad de bolillas azules en 5 extracciones.
Recorrido: los posibles valores son: 0, 1, 2 ,3, 4, 5.
El espacio muestral es finito (seis números reales)

Función de probabilidad puntual
•Se llama Función de Probabilidad Puntual de una variable aleatoria
discreta a una función, o modelo teórico, que asigna a cada valor del
recorrido de la variable, un numero real no negativo, llamado
probabilidad puntual.
•La suma de esos valores a través del recorrido es igual a la unidad.
x1-------------------------------------------> p(x1)
x2----------------------------------------> p(x2)
… …
xh------------------------------------------> p(xh)
… …
R(X) ℝ
P(X)

•Se llama Función de Probabilidad Puntual de una variable aleatoria
discreta a una función, o modelo teórico, que asigna a cada valor del
recorrido de la variable, un numero real no negativo, llamado
probabilidad puntual.
•La suma de esos valores a través del recorrido es igual a la unidad.
•La función de probabilidad puntual cumple 2 condiciones:
1. No negatividad: p(xi)>=0
2. Condición de cierre: σ𝑖=1
∞
𝑝(𝑥𝑖)
• Cada numero real, p(xi) es la imagen de la función para xi y se
llama probabilidad puntual: p(xi)=P(X=xi).
• El conjunto de pares ordenados (xi, p(xi)) forma una distribución
de probabilidad puntual.

• Cada numero real, p(xi) es la imagen de la función para xi y se
llama probabilidad puntual: p(xi)=P(X=xi).
• El conjunto de pares ordenados (xi, p(xi)) forma una distribución
de probabilidad puntual.
• Se llama función de distribución de una variable aleatoria discreta,
a una función que asigna a cada valor del recorrido, un numero
real que representa la suma de todas las probabilidades puntuales.
F(xk)=P(X<=xk)
X x1 x2 x3 … xh
P(X) P(x1) P(x2) P(x3) … P(xh)
Función de distribución

•Cada numero F(xk) se denomina probabilidad acumulada hasta el
valor xk y representa la probabilidad de que la variable tome un valor
menor o igual a xk.
•El conjunto de pares ordenados (xi, F(xi)) se llama función de
distribución de probabilidad o distribución acumulada.
x1-------------------------------------------> F(x1)=p(x1)
x2----------------------------------------> F(x2)=p(x1)+p(x2)
… …
xh------------------------------------------> F(xh)=σ𝑖=1
ℎ
𝑝(𝑥𝑖)
𝑥∞ ------------------------------------------𝐹(𝑥∞) = σ𝑖=1
∞
𝑝 𝑥𝑖 = 1
R(X)
ℝ

F(X), Distribución Logística

Función de distribución complementaria
• Se llama Función de distribución complementaria de una variable
aleatoria discreta a una función, o modelo teórico, que asigna a cada
valor del recorrido, un numero real que representa la suma de todas
las probabilidades puntuales.
𝐺(𝑥𝑘) = σ𝑖=1
∞
𝑝(𝑥𝑖)
• Cada numero G(xk) se denomina probabilidad acumulada desde
el valor xk y representa la probabilidad de que la variable tome un
valor mayor o igual al numero xk.
G(xk)=P(X>=xk)
• El conjunto de pares ordenados (xi, G(xi)) se llama función de
distribución complementaria de probabilidad o también
distribución desacumulada.

x1-------------------------------------------> G(x1)= σ𝑖=1
∞
𝑝 𝑥𝑖 = 1
x2----------------------------------------> G(x2)= σ𝑖=2
∞
𝑝 𝑥𝑖
… …
xh------------------------------------------> G(xh)=σℎ=1
∞
𝑝(𝑥𝑖)
𝑥∞ ------------------------------------------𝐺(𝑥∞) = σ𝑖=1
∞
𝑝(𝑥∞)
R(X)
ℝ
G(X)
Relación entre las funciones de distribución
F(𝑥𝑖 )+G(𝑥𝑖+1) = 1 F(𝑥𝑖−1 )+G(𝑥𝑖) = 1 P(𝑋 ≤ 𝑥𝑖 )+P(𝑋 ≥ 𝑥𝑖+1) = 1

Ejemplo
En una empresa textil, se quiere analizar la cantidad de fallas de
fabricación que se puede presentar en los rollos de 500 metros de tela.
Para ello, se controlaron 10.000 rollos fabricados en las mismas
condiciones, construyéndose la siguiente distribución de frecuencias para
la cantidad de fallas.
Dado que se cumple el principio de estabilidad de la frecuencia relativa,
determine:
1. La función de probabilidad puntual, p(x).
2. La función de distribución, F(x).
3. La función de distribución complementaria, G(x).
4. Calcule la probabilidad de encontrar exactamente una falla en un rollo.
5. Calcule la probabilidad de encontrar a lo sumo una falla en un rollo.
6. Calcular la probabilidad de encontrar al menos una falla.
xi 0 1 2 3 4 5
fi 2300 3400 2500 1000 600 200

Ejemplo
* Calcule la probabilidad de encontrar exactamente una falla en un rollo.
P(x=1)=0,34
* Calcule la probabilidad de encontrar a lo sumo una falla en un rollo.
F(x=1)=P(x<=1)=0,57
* Calcular la probabilidad de encontrar al menos una falla.
G(x=1)=P(x>=1)=0,77
Orden i 1 2 3 4 5 6
xi 0 1 2 3 4 5
P(xi) 0,23 0,34 0,25 0,10 0,06 0,02
F(xi) 0,23 0,57 0,82 0,92 0,98 1
G(xi) 1 0,77 0,43 0,18 0,08 0,02
7
6
0,00
1
0,00

Variables Aleatorias Continuas
•Una variable con recorrido infinito no numerable es una variable
aleatoria continua en un intervalo de números reales, si existe una
función real que en dicho intervalo cumpla con dos condiciones:
1. Sea no negativa
2. Cubra una superficie igual a uno.
•Sea X una VAC en el intervalo 𝑎, 𝑏
•f(x) debe cumplir:
f(x)>=0 en a<=X<=b condición de no negatividad
‫׬‬
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1 condición de cierre

Función de densidad de probabilidad
•Se llama función de densidad de probabilidad de una variable
aleatoria continua a la función real que cumpla la condición de no
negatividad y con la condición de cierre.
•Dada f(x) en a<=x<=b
•‫׬‬
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1 y f(x) en otro caso
La función de densidad de probabilidad explica el comportamiento
probabilístico de la variable. Reglas:
1. P(x1<X<x2)=‫׬‬
𝑥1
𝑥2
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 calcular la superficie
2. P(X=x3)=‫׬‬
𝑥3
𝑥3
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0 no hay superficie
3. P(x1<X<x2)=P(x1<=X<=x2) indistinto cerrado o abierto

•Se llama función de distribución, F(X) de una variable aleatoria con
función de densidad f(x) a un modelo matemático o función no
decreciente que asigna a cada valor de la variable un valor de
probabilidad acumulada desde el limite inferior del recorrido hasta
ese valor.
•𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 = 𝐹 𝑋 = 𝑥 = ‫׬‬
𝑎
𝑥
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Donde F(X=a)=0 y F(x=b)=1
P(X<=x1)=F(X=x1) probabilidad de un valor menor o igual a x1
P(x1<=X<=x2)=F(X=x2) – F(X=x1) probabilidad entre x1 y x2
P(X>=x2)= F(X=b)- F(X=x2)=1 –F(X=x2)

•Se llama función de distribución complementaria, G(X) de una
variable aleatoria con función de densidad f(x) a un modelo
matemático o función no creciente que asigna a cada valor de la
variable un valor de probabilidad acumulada desde un valor de la
variable hasta el limite superior del recorrido.
•𝑃 𝑋 ≥ 𝑥 = 𝐺 𝑋 = 𝑥 = ‫׬‬
𝑥
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Donde G(X=a)=1 y G(x=b)=0
P(X>=x1)=G(X=x1) probabilidad de un valor mayor o igual a x1
P(x1<=X<=x2)=G(X=x1) – G(X=x2) probabilidad entre x1 y x2
P(X<=x2)= G(X=a)- G(X=x2)=1 –G(X=x2)

Ejemplo
•En la empresa Lámparas y Lámparas se realizó una investigación a los
efectos de analizar el comportamiento de la duración de un nuevo
tipo de lámparas incandescentes que se comenzó a fabrica
recientemente. Mediante una experiencia realizada se pudo
comprobar que todas tuvieron una duración de por lo menos 1000
horas, pero ninguna superó las 2000 horas. Por otro lado, el
histograma permito establecer la función que describe el
comportamiento de la variable que tiene la forma:
𝑓 𝑥 = ቐ
8
3
𝑥−3 𝑠𝑖 1 ≤ 𝑋 ≤ 2
0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
1. Calcule la probabilidad de que una lampara elegida al azar tenga
una duración de entre 1,2 y 1,4 miles de horas.
2. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar una lampara con una
duración inferior a 1,6 miles de horas?

Ejemplo
1. Calcule la probabilidad de que una lampara elegida al azar tenga
una duración de entre 1,2 y 1,4 miles de horas.
𝑃 1,2 < 𝑋 < 1,4 = න
1,2
1,4
8
3
𝑥−3 𝑑𝑥 =
8
3
න
1,2
1,4
𝑥−3 𝑑𝑥 = 𝟎, 𝟐𝟒𝟔
Recuerdo integrales:
𝑥−2
−2
2. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar una lampara con una
duración inferior a 1,6 miles de horas?
𝑃 𝑋 < 1,6 = 𝐹 1,6 = න
1
1,6
8
3
𝑥−3
𝑑𝑥 =
8
3
න
1
1,6
𝑥−3
𝑑𝑥 = 𝟎, 𝟖𝟏𝟐

Ejemplo
3. Determine la función de distribución.
𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 = ‫׬‬
1
𝑥 8
3
𝑥−3
𝑑𝑥 = 8/3 ‫׬‬
1
𝑥
𝑥−3
𝑑𝑥 =
8
3
(
𝑥−2
−2
−
1−2
−2
) = 4/3(1 − 𝑥−2
)
4. Utilizando la función de distribución, calcule la probabilidad de que
una lampara dure menos de 1,2 miles de horas.
𝑃 𝑋 ≤ 1,2 = 𝐹 1,2 = 4/3(1 − (1,2)−2=0,407
una lampara dure entre 1,3 y 1,5 miles de horas.
𝑃 1,3 < 𝑋 < 1,5 = 𝐹 1,5 − 𝐹 1,3 = 0,740 − 0,544 = 𝟎, 𝟏𝟗𝟔
una lampara dure más de 1,7 miles de horas.
𝑃 𝑋 > 1,7 = 1 − 𝐹 1,7 = 1 − 4/3(1 − (1,7)−2=1-0,871=0,128

Momentos teóricos
• Los momentos teóricos son medidas teóricas que permiten
calcular medidas que resumen información.
• Se llama momento de una variable aleatoria al valor esperado o
esperanza matemática de una función de la variable.
• De forma genérica: 𝑀𝑇𝑋 = 𝐸 𝑔(𝑥)
• Momento teórico de una variable aleatoria discreta:
𝐸 𝑔(𝑥) = ෍
𝑖=1
∞
𝑔 𝑥𝑖 𝑝(𝑥𝑖)
• Momento teórico de una variable aleatoria continua:
𝐸 𝑔(𝑥) = න
𝑎
𝑏
𝑔 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

Momentos particulares
• Son funciones especiales de los momentos teóricos que son
potencias de la variable, sea que tenga origen en el 0 con respecto
algún otro valor (por ejemplo, la esperanza matemática).
• Las 2 funciones son los momentos absolutos y los momentos
centrados.
• Se llama momento absoluto de orden k a la esperanza matemática
de la potencia k de la variable aleatoria.
𝜇𝑘 = 𝐸 𝑋𝑘
El momento absoluto de orden 1, 𝜇1, es el promedio o media
aritmética esperada de la variable aleatoria, 𝜇𝑥 = 𝐸 𝑋 .
En el caso de una variable aleatoria discreta:
𝜇𝑘 = 𝐸 𝑋𝑘
= σ𝑖=1
∞
𝑥𝑖𝑘
𝑝(𝑥𝑖) 𝝁𝒙 = 𝑬 𝑿 = σ𝒊=𝟏
∞
𝒙𝒊 ∗ 𝒑(𝒙𝒊)

Ejemplo
• Volviendo al problema de los rollos de 500 metros de tela….
E(X)=0*0,23*1*0,34+2*0,25+3*0,10+4*0,06+5*0,02=1,48
Se espera encontrar, en promedio, 1,48 fallas en cada rollo de 500
metros de tela.
xi 0 1 2 3 4 5
P(xi) 0,23 0,34 0,25 0,10 0,06 0,02

En el caso de una variable aleatoria continua:
𝜇𝑥 = 𝐸 𝑋𝑘
‫׬‬
𝑎
𝑏
𝑋𝑘𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝛍𝐱 = 𝐄 𝐗 = ‫׬‬
𝐚
𝐛
𝐱𝐟 𝐱 𝐝𝐱
Ejemplo:
Volviendo al problema de las lámparas y su duración…
𝜇𝑥 = 𝐸 𝑋 = න
1
2
𝑥
8
3
𝑥−3 𝑑𝑥 = −1,333 − −
8
3
= 𝟏, 𝟑𝟑𝟑
Recuerdo que la integral es:
8
3
𝑥−1
−1

Se llama momento centrado teórico de orden k a la esperanza
matemática de la potencia k de la desviación de la variable aleatoria con
respecto a su media aritmética esperada.
𝜇𝑐𝑘 = 𝐸 𝑋 − 𝜇𝑥
𝑘
El momento centrado de orden 2, 𝜇𝑐2,es la varianza esperada de la
variable aleatoria X.
𝑉 𝑋 = 𝜎𝑥
2 = 𝜇𝑐2 = 𝐸 𝑋 − 𝜇𝑥
2
En el caso de una variable aleatoria discreta:
𝜇𝑐𝑘 = 𝑋 − 𝜇𝑥
𝑘
= σ𝑖=1
∞
𝑥𝑖 − 𝜇𝑥
𝑘
𝑝(𝑥𝑖) 𝝈𝒙
𝟐
= 𝝁𝒄𝟐 = 𝑬 𝑿 − 𝝁𝒙
𝟐
= σ𝒊=𝟏
∞
𝒙𝒊 − 𝝁𝒙
𝟐
𝒑(𝒙𝒊)
En el caso de una variable aleatoria continua:
𝜇𝑐𝑥 = 𝐸 𝑋 − 𝜇𝑥
𝑘
= ‫׬‬𝑎
𝑏
𝑋 − 𝜇𝑥
𝑘
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝝈𝒙
𝟐
=𝝁𝒄𝟐 = 𝑬 𝑿 − 𝝁𝒙
𝟐
= ‫׬‬𝒂
𝒃
𝒙𝒊 − 𝝁𝒙
𝟐
𝒇 𝒙 𝒅𝒙

Ejemplo
En el problema de los rollos de tela…la varianza seria…
𝜎𝑥
2
= 𝜇𝑐2 = 𝐸 𝑋 − 𝜇𝑥
2
= σ𝑖=1
∞
𝑥𝑖 − 1,48 2
𝑝 𝑥𝑖 = 𝟏, 𝟓𝟎𝟗
En el problema de las lámparas y su duración…la varianza seria….
𝜎𝑥
2 =𝜇𝑐2 = 𝐸 𝑋 − 𝜇𝑥
2 = ‫׬‬
1
2
𝑥𝑖 − 4/3 2 8
3
𝑥−3𝑑𝑥 = 𝟎, 𝟎𝟕𝟎
Relación entre los momentos centrados y absolutos
Es posible calcular los momentos centrados utilizando los momentos
absolutos:
𝜇𝑐2 = 𝐸 𝑋 − 𝜇𝑥
2 ------------> 𝜇𝑐2= 𝜇2 − 𝜇𝑥
2

Formas de trabajo para la varianza
Es posible calcular los momentos centrados utilizando los momentos
absolutos:
𝜇𝑐2 = 𝐸 𝑋 − 𝜇𝑥
2 ------------> 𝜇𝑐2= 𝜇2 − 𝜇𝑥
2
Para variable discreta:
𝜎𝑥
2 = σ𝑖=1
∞
𝑥𝑖 2𝑝 𝑥𝑖 − 𝜇𝑥
2 = 3,70 − 1,482 =1,5096
Para variable continua:
𝜎𝑥
2 = ‫׬‬
𝑎
𝑏
𝑥 2𝑓 𝑥 𝑑𝑥 − 𝜇𝑥
2 ---------------> resolver (tarea)
Otras medidas resúmenes: moda, mediana,
desvío, coeficiente de variabilidad…..

Teorema o Desigualdad de Tchebycheff
•Sea una VAD o VAC con esperanza matemática u y varianza de σ2
finita, y k un numero real positivo. Cualquiera sea la distribución de
probabilidad de la variable aleatoria X, se cumple que:
…La probabilidad de que el modulo de la desviación entre el valor
de la variable y el promedio esperado sea mayor o igual a k veces el
desvío estándar (k>1) es a lo sumo 1/k^2…
…Permite calcular la probabilidad mínima (cota inferior) de
encontrar un valor dentro de un intervalo cuyos limites equidisten del
promedio….
P X − μx ≥ kσx ≤
1
k2 desagregando la expresión…..
P μx − kσx ≤ X ≤ μx + kσx ≥ 1 −
1
k2

Ejemplo
En una empresa de servicios, se ha podido determinar que el tiempo
que dura una comunicación telefónica para atender a un cliente es,
en promedio, 7,3 minutos y un desvío estándar de 0,6 minutos.
a. Calcule la probabilidad de que el tiempo de una comunicación
tenga una diferencia, por exceso o defecto, con el promedio de
menos de 1,2 minutos.
b. Establezca un intervalo que contenga, a por lo menos, el 90% de la
comunicaciones.
Datos:
X: tiempo de duración 𝜇𝑥= 7,3 σx=0,6

Ejemplo
Dado que no se conoce su ley de probabilidad, no es posible calcular
el valor exacto de la probabilidad….pero utilizando el teorema de
Tchebycheff se puede establecer una cuota inferior o valor mínimo
de probabilidad…
La diferencia, por exceso o defecto, se puede expresar como el
módulo:
𝑥 − 𝜇𝑥 ≤ 1,2 desagregando
𝜇𝑥 − 1,2 ≤ 𝑥 ≤ 𝜇𝑥 + 1,2
Sabiendo que: 𝜇𝑥 − 𝑘𝜎𝑥, entonces: 𝜇𝑥 − 𝑘𝜎𝑥 = 𝜇𝑥 − 1,2
Despejando y sabiendo que 𝜎𝑥 = 0,6 …
𝑘0,6 = 1,2, entonces k=1,2/0,6=2

Ejemplo
𝑘0,6 = 1,2, entonces k=1,2/0,6=2
Conociendo que k=2, se puede calcularla probabilidad minina o cota
inferior….
P 7,3 − 2 ∗ 0,6 ≤ X ≤ 7,3 + 2 ∗ 0,6 ≥ 1 −
1
22
La probabilidad es de mínimo del 75%.....1-1/2^2=0,75
…Como mínimo el 75% de las comunicaciones telefónicas tienen una
duración cuya diferencia, por exceso o defecto, con el promedio es
de menos de 1,2 minutos….

Variable estandarizada
• Se llama variable estandarizada de una variable aleatoria, discreta
o continua, a la variable que se genera haciendo el cociente entre
la diferencia entre la variable original y su esperanza matemática y
la raíz cuadrada positiva de la varianza.
• Estandarizar una variable aleatoria, la variable original, es
transformar los valores de ella, que están expresados en unidades
de la magnitud original, a valores en unidades del desvío estándar.
• Es decir, indica a que distancia, a cuantos desvíos estándares y en
qué posición (izquierda o derecha) se encuentra el valor observado
con respecto a su media aritmética.
Sea W una VA con E(W) y V(W) …sea Z la variable estandarizada:
𝑍 =
𝑊−𝐸(𝑊)
𝑉(𝑊)
=
𝑊−𝜇𝑤
𝜎𝑤
ver características, E(Z)=0 y V(Z)=1

Distribuciones de probabilidad
• ¿Qué son?
•Son modelos teóricos de variables aleatorias.
•Se utilizan en el trabajo empírico
•Se pueden clasificar en tres tipos:
a. Distribuciones discretas finitas.
b. Distribuciones discretas contables.
c. Distribuciones continuas.

Distribuciones discretas
•Distribución de Bernoulli
•Distribución Binomial
•Distribución Hipergeométrica
•Distribución de Poisson
•Distribución de Pascal

Distribución de Bernoulli
•También llamada de “Pruebas Repetidas con probabilidad
constante”.
•Eventos dicotómicos. Sea un conjunto de n objetos, de los cuales una
parte "a" tiene una características y la restante "b" no latiene.
•Ejemplo: sea una urna con bolitas y se realiza un experimento
aleatorio, consistente en extraer bolitas, analizar su comportamiento
y restituirlas.
•Todas los elementos tiene igual probabilidad de ser elegidas.

• La VA queda definida:
X1 = 1 (Bolilla blanca)
P1=a/n=p
X2 = 0 (Bolilla negra)
P2=b/n=q
La cantidad de elementos con un determinado atributo que se
presenta en una observación de un experimento aleatorio
dicotómico, es una variable aleatoria discreta, cuya función de
probabilidad se llama distribución de Bernoulli:
p r = prqn−r

• Tabulando los datos, obtenemos que:
•Con Esperanza Matemática de: E(X)= 0*q +1*p = p
•Con Varianza de: V(X)=p(1-p)=pq
•Con desvío estándar de: S(X)= 𝑝𝑞
X P(Xi)
0 q
1 p

Distribución de Binomial
La cantidad de elementos con un determinado atributo, que se
presentan en n observaciones independientes de un experimento
aleatorio dicotómico, es una variable aleatoria discreta, cuya
función de probabilidad es:
𝑝 𝑟 =
𝑛
𝑟
𝑝𝑟𝑞𝑛−𝑟
Llamada distribución binomial
Dado que son observaciones independientes la probabilidad es
constante (de que un elemento tenga un atributo) a través de las n
pruebas.
𝑥𝑖~𝐵𝑖 𝑛, 𝑝

Distribución de Binomial
•En conclusión, podemos resumir la distribución Binomial en las
siguientes características:
1. Variable aleatoria discreta (VAD).
2. Probabilidad constante.
3. Eventos dicotómicos.
4. Eventos independientes (con reposición).
Momentos
E(x)=np
V(x)=npq
S(X)=raíz(npq)=(npq)^0.5

Ejemplo 1
El 10% de las piezas que produce una maquina son defectuosas. Si se
toma al azar una muestra de 20 piezas. Se pide:
a. ¿Cuál es la probabilidad de que contenga 3 defectuosas como
máximo?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que contenga 3 defectuosas como
mínimo?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que se den exactamente 3
defectuosos?
Datos
n=20
p=0,10 (éxito) q=0,90 (fracaso)

Ejemplo 1
a. ¿Cuál es la probabilidad de que contenga 3 defectuosas como
máximo?
P(X<=3)=F(3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=0,8685
Se resuelve conociendo la ley de probabilidad de Binomial:
𝑝 𝑋 = 0 =
20
0
(0,1)0(0,9)20−0= 1 ∗ 1 ∗ 0,1215 = 0,1215
𝑝 𝑋 = 1 =
20
1
(0,1)1
(0,9)20−1
= 20 ∗ 0,1 ∗ 01350 = 0,271
𝑝 𝑋 = 2 =
20
2
(0,1)2
(0,9)20−2
= 190 ∗ 0,01 ∗ 0,1500 = 0,285
𝑝 𝑋 = 3 =
20
3
(0,1)3(0,9)20−3= 1140 ∗ 0,001 ∗ 0,1667 = 0,191

Ejemplo 1
b. ¿Cuál es la probabilidad de que contenga 3 defectuosas como
mínimo?
P(X>=3)=P(X=3)+P(X=4)+…P(X=20)=1- F(2)=1-0,677=0,322
𝑝 𝑋 = 0 =
20
0
(0,1)0(0,9)20−0= 1 ∗ 1 ∗ 0,1215 = 0,1215
𝑝 𝑋 = 1 =
20
1
(0,1)1(0,9)20−1= 20 ∗ 0,1 ∗ 01350 = 0,271
𝑝 𝑋 = 2 =
20
2
(0,1)2
(0,9)20−2
= 190 ∗ 0,01 ∗ 0,1500 = 0,285
c. ¿Cuál es la probabilidad de que contenga exactamente 3
defectuosas?
𝑝 𝑋 = 3 =
20
3
(0,1)3
(0,9)20−3
= 1140 ∗ 0,001 ∗ 0,1667 = 𝟎, 𝟏𝟗𝟏

Ejemplo 2
Suponiendo que cada niño tiene una probabilidad del 51% de ser
varón, halle la probabilidad de que una familia con 6 hijos tenga:
a. Por lo menos un varón.
P(X>=1)=1- F(0)
𝑝 𝑋 ≥ 1 = 1 −
6
0
0,51 0 0,49 6−0 = 1 − 0,0138 = 𝟎, 𝟗𝟖𝟔𝟏
a. Por lo menos una niña.
P(X>=1)=1- F(0)
𝑝 𝑋 ≥ 1 = 1 −
6
0
0,49 0 0,51 6−0 = 1 − 0,0175 = 𝟎, 𝟗𝟖𝟐𝟒

Distribución Hipergeométrica
• Es una distribución discreta relacionada con muestreos aleatorios y
sin reposición (eventos dependientes).
• La población se divide en dos grupos, donde una parte tiene el
atributo “d" y el resto el atributo "m", siendo “R" la cantidad de
elementos con el atributo "d" y "N-R", los que tienen el atributo
"m".
• Mide la probabilidad de obtener X elementos de la categoría "d"
en una muestra "n" sin reemplazo de la poblaciónoriginal, N.
• Las n pruebas repetidas del experimento aleatorio dicotómico no
son independientes, por ende la probabilidad no permanece
constante.

•Comparte muchas características de la distribución Binomial…pero
los eventos son dependientes (sinreposición).
•La cantidad de elementos con un determinado atributo, que se
presentan en n observaciones sin reposición de un experimento
aleatorio dicotómico, es una variable aleatoria discreta, cuya función
de probabilidad es:
𝑝 𝑟 =
𝑅
𝑟
𝑁 − 𝑅
𝑛 − 𝑟
𝑁
𝑛
Llamada distribución hipergeométrica.

Momentos:
E xi = n
R
N
V xi = n
R
N
N − R
N
N − n
N − 1
Ejemplo 1:
En una clase de Estadística hay 6 hombres y 4 mujeres. Según el
número de registro, se han elegido al azar, 7 personas para tomarles
un examen. Halle la probabilidad de que, entre las personas
seleccionadas, haya 3 mujeres.
p X = 3 =
4
3
10 − 4
7 − 3
10
7
=
4 ∗ 15
120
= 0,50

Tabla de Números Combinatorios

Ejemplo 2:
De un cesto de 12 manzanas, de las cuales 5 están congeladas, una
persona saca dos para comer. Calcular:
a. La probabilidad de que solamente pueda comer una.
p X = 1 =
7
1
12 − 7
2 − 1
12
2
=
7 ∗ 5
66
= 𝟎, 𝟓𝟑𝟎
a. La probabilidad de que a lo sumo coma dos.
p X ≤ 2 = 𝑃 𝑋 = 0 + 𝑃 𝑋 = 1 + 𝑃 𝑋 = 2 = 𝟏
p X ≤ 2 =
7
0
12 − 7
2 − 0
12
2
+
7
1
12 − 7
2 − 1
12
2
+
7
2
12 − 7
2 − 2
12
2

Distribución de Poisson
La cantidad de elementos que se presentan al azar en un continuo de
extensión t y con un promedio de presentación en el continuo igual a
𝝀, es una variable aleatoria discreta, cuya función de probabilidad es:
p r =
e−λ
λr
r!
Llamada distribución de Poisson.
•Se aplica para describir la distribución de frecuencias
correspondientes a pruebas repetitivas en las que la probabilidad del
acontecimiento individual es muy reducida.
•Es una distribución simple, ya que tiene únicamente un parámetro
fácilmente igual a la Esperanza Matemática (y Varianza).
•El parámetro 𝜆 es la cantidad de elementos que se espera, en
promedio, en el continuo de extensión t:
𝜆 = 𝑏𝑡

Distribución de Poisson
•En conclusión, podemos resumir las características de la
distribución de Poisson:
1. Variable aleatoria discreta (VAD).
2. Probabilidad de exitos del evento muy baja. “Eventosraros”.
3. Probabilidad de que ocurran eventos en intervalos de tiempo
Determinados (de extensión t).
4. La Esperanza Matemática es igual a la Varianza.

Ejemplo 1
En un proceso de laminación se produce una falla cada 10 metros. Las
láminas se cortan en piezas de 5 metros. ¿Cuál es la probabilidad de
que una pieza tomada al azar no tenga más de una falla?
P(X<=1)=P(X=0)+P(X=1)=F(1)=0,6065+0,3032=0,9097
Primero determino 𝜆: 1 falla………..10 metros
x…………………5 metros, 𝜆=0,5
p 0 =
e−0.5(0.5)0
0!
= 𝟎, 𝟔𝟎𝟔𝟓
p 1 =
e−0.5(0.5)1
1!
= 𝟎, 𝟑𝟎32
También lo puedo sacar por tabla….

Ejemplo 2
Si la probabilidad de que un individuo sufra una reacción alérgica por
una inyección de un determinado suero es de 0,001. Determine la
probabilidad de que, de un total de 2.000 individuos:
a. Exactamente tres sufran reacción.
Determino 𝜆=bt=0,001*2.000=2
p X = 3 =
e−2
(2)3
3!
= 𝟎, 𝟏𝟖𝟎𝟓
b. Más de dos individuos sufran reacción (lo saco por tabla)…..
p X > 2 = 1 − 𝐹 2 = 1 − 0,6767 = 𝟎, 𝟑𝟐𝟑𝟑
El punto b) también se podría haber resuelto por Binomial.

Distribución de Pascal
La cantidad de observaciones independientes de un experimento
aleatorio dicotómico necesarias para encontrar r elementos con un
determinado atributo, es una variable aleatoria discreta, cuya función
de probabilidad es:
𝑝 𝑛 =
𝑛 − 1
𝑟 − 1
𝑝𝑟𝑞𝑛−𝑟
Llamada distribución de Pascal.
Se utiliza para obtener la cantidad de repeticiones del experimento
necesarias para encontrar una cantidad fija, mayor a uno, de
elementos que tengan cierto atributo.

Distribución de Pascal
Momentos:
La esperanza matemática es: E(n)=r/p
La varianza es: V(n)=rq/p^
Ejemplo:
Para un trabajo de investigación, se necesitan contar con 8 personas
que sean estudiantes universitarios, siendo las personas elegidas al
azar. Se sabe que la probabilidad de encontrar un estudiante es del
34%. ¿Cuál es la probabilidad de tener que entrevistar a 19 personas
para encontrar los 8 estudiantes universitarios?
𝑝 19 =
19 − 1
8 − 1
(0,34)8(0,66)19−8= 𝟎, 𝟎𝟓𝟓𝟖

Convergencia entre Distribuciones
Binomial con Poisson
*La distribución Binomial converge a la distribución de Poisson
cuando el tamaño de muestra n es grande n → ∞ y la probabilidad p
es muy chica, p → 0.
•De manera que el producto de n por p sea una cantidadconstante.
*De ocurrir esto la distribución Binomial tiende a un modelo de
Poisson de parámetro 𝜆 igual a n*p.
Regla:
n > 20 y p<=0,05

Convergencia entre Distribuciones
Hipergeométrica con Binomial
• Cuando hay que calcular un número combinatorio pero N es muy
grande,
𝑁
𝑛
, se torna imposible hacer el cálculo.
• p=R/N y q=N-R/N
Regla:
Si N > 50 y n/N < 0,10
Cuando el tamaño es suficientemente grande, aunque las
observaciones sean sin reposición, los valores puntuales de la
probabilidad de la distribución hipergeométrica se pueden aproximar
con una distribución binomial.

Ejercicio de Binomial
*La probabilidad de que un estudiante obtenga el título de
Licenciado en Sistemas es de 0,3. Hallar la probabilidad de que en un
grupo de 7 estudiantes matriculados en primeraño:
a. Ninguno finalice la carrera.
b. Finalicen todos.
c. Al menos dos finalicen.
d. Hallar la esperanza matemática y el desvío estándar del número
de alumnos que finalizan la carrera.
Resolver en casa

Ejercicios de Hipergeométrica
*En un lote de 10 proyectiles, se disparan 4 al azar. Si el lote contiene
5 proyectiles que no disparan. Se pide:
a. ¿Cuál es la probabilidad de que los 4 proyectoresdisparen?
b. ¿Y de que sólo dispare uno solo?
c. ¿Cuántos proyectiles de los 4 se espera que disparen?
*En Una oficina donde se ensamblan computadoras, en una mesa
hay 20 chips de los cuales 6 están malogrados. Llega el Sr. Gates y
recoge 4 chips. Halle la probabilidad de que se lleve todos con
defectos.
Resolver encasa

Ejercicios de Poisson
*Un banco recibe en promedio, 6 cheques sin fondos por día. ¿Cuáles
son las probabilidades de que reciba 4 cheques sin fondos en un día
cualquiera?
* La producción de televisores Samsung trae asociada una
probabilidad de defecto de 2%. Si se toma un lote o muestra de 85
televisores, obtener la probabilidad de que existan 4 televisores con
defectos.
Resolver en casa

Distribuciones continuas
Para estudiar el comportamiento probabilístico de una variable
aleatoria continua es necesario conocer la función de densidad de
probabilidad.
Algunas variables tienen funciones de densidad definidas con ciertas
características especiales:
• Distribución uniforme
• Distribución exponencial
• Distribución normal
• Distribución log-normal

Distribución Uniforme
Una VAC, definida en el intervalo 𝑎, 𝑏 tiene distribución uniforme si
su función de densidad de probabilidad es:
𝑓 𝑥 = ቐ
1
𝑏 − 𝑎
𝑠𝑖 𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏
0 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
Características:
1. a y b son parámetros matemáticos de la función
2. f(x) cumple las condiciones de no negatividad y de cierre
3. La función de distribución es:
𝐹 𝑥 = න
𝑎
𝑥
1
𝑏 − 𝑎
𝑑𝑥 =
𝑥 − 𝑎
𝑏 − 𝑎

Características:
4. La esperanza matemática es:
𝐸 𝑥 = 𝜇 =
𝑎 + 𝑏
2
5. La varianza es:
𝑉 𝑋 = 𝜎2 =
𝑏 − 𝑎 2
12
6. Es una distribución simétrica: Mediana=Media
P(X< 𝜇)=P(X> 𝜇)=0,5

Ejemplo 1:
Los trenes de cierta línea de subterráneos corren cada media hora
entre la medianoche y las seis de la mañana. ¿ Cuál es la probabilidad
de que un hombre que entra a la estación a una hora al azar, durante
ese período tenga que esperar por lo menos 20 minutos?
VAC: X= tiempo en minutos, 0,30
P(X>20)= 1- F(X)=‫׬‬
20
30 1
30−0
𝑑𝑥 = 1 −
20
30
= 𝟏/𝟑
Pista:
1
30
𝑥

Ejemplo 2:
El tiempo, en minutos, que tarda una empleada en realizar la tarea de
ingresar a la base de datos una determinada cantidad de encuestas,
es una variable aleatoria continua con distribución uniforme en el
intervalo 7 a 12. Calcule la probabilidad de que tarde menos de 10
minutos en realizar dicha tarea.
VAC: X= tiempo en minutos, 7,12
P(X<10)=F(10)=‫׬‬
7
10 1
12−7
𝑑𝑥 =
1
5
10 −
1
5
7 = 𝟐 −
𝟕
𝟓
= 𝟎, 𝟔𝟎
Pista:
1
5
𝑥

Distribución Exponencial
Una VAC definida para todo numero real positivo, tiene distribución
exponencial si su función de densidad de probabilidad es:
𝑓 𝑥 =
1
𝛽
𝑒
−
𝑥
𝛽
Características:
1. 𝛽 es el parámetro de la función: 𝛽>0
2. Por ser una f(x) una función de densidad cumple las condiciones
de no negatividad y de cierre
3. La función de distribución es: F 𝑥 = 1 − 𝑒
−
𝑥
𝛽
4. La esperanza matemática es 𝛽
5. La varianza es 𝛽2

Distribución Exponencial
Ejemplo:
La duración, en horas, de una maquina (tiempo hasta la primera falla)
es una VAC que sigue una ley exponencial con un promedio de 1600
horas. Se pone en funcionamiento la maquina.
1. Calcule la probabilidad de que la maquina dure más de 4.000
horas sin fallar.
P(X>4.000)= 1- F(X=4000)=1- (1 − 𝑒
−
4.000
1600 )=1-(1-0,082)=0,082
1. ¿Cuál es la probabilidad de una maquina dure menos de 500
horas hasta la primera falla?
P(X<500)= F(X=500)= 1 − 𝑒
−
500
1600 =1-0,7316=0,2683

La Distribución Normal
• Es posiblemente, el modelo teórico de distribuciones continuas
mas usado en ciencias
• Posee una famosa función de densidad de probabilidad e
importante propiedades….
• Formalmente:
Una variable aleatoria continua (VAC) definida para todos los
números reales, tiene distribución normal, si su función de densidad
de probabilidad es:
𝑓 𝑥 =
1
2𝜋𝜎
𝑒
−
1
2
𝑥−𝜇
𝜎
2
con -∞<X<∞

Características:
1. Los parámetros de la función, f(x) son 𝝁 y 𝝈
2. La función tiene un máximo en 𝜇=X
3. La función tiene dos puntos de inflexión:
𝑥 = 𝜇 − 𝜎 𝑥 = 𝜇 + 𝜎
4. La función es simétrica con respecto al punto de máxima ordenada
5. Cumple las condiciones de no negatividad y de cierre
6. La esperanza matemática es E(X)= 𝜇
7. La varianza: V(X)=𝐸 𝑋 − 𝜇 2
8. La moda, Mo= 𝜇
9. La mediana, Me= 𝜇 P(X< 𝜇)=P(X> 𝜇)=0,50
10. El coeficiente de asimetría vale AS=0 y el de curtosis vale K=0.
….La Distribución Normal es simétrica y mesocúrtica

La variable normal estandarizada o tipificada
El valor de la función de distribución de una VAC con distribución
normal, para el valor x, es igual al valor de la función de distribución
de la variable estandarizada Z, con distribución normal para el
correspondiente valor:
𝑧 =
𝑥 − 𝜇
𝜎
Recordar…toda variable estandarizada tiene media igual a 0 y
varianza igual a 1….𝝁𝒛 = 𝟎 y 𝝈𝒛
𝟐 = 𝟏….formalmente:
𝑋~𝑁 𝜇𝑥, 𝜎𝑥
2 ------------------> Z~𝑁 0,1

La variable normal estandarizada o tipifcada
𝑋~𝑁 𝜇𝑥, 𝜎𝑥
2 ------------------> Z~𝑁 0,1

La variable normal estandarizada o tipificada
Los valores de la función de distribución de la variable estandarizada
Z se encuentran tabulados….el recorrido de la variable Z:
-3,99 < Z < 3,99
A continuación se presenta la tabla normal completa para la
distribución normal…en los márgenes (filas y columnas están los
valores de Z….en el interior están los valores de la
probabilidad…cuando Z es menor o igual a -3,99, la probabilidad vale
0….cuando Z es menor o igual a 3,99, la probabilidad vale 1…cuando
Z…cuando Z es menor o igual a 0, la probabilidad vale 0,50….

Ejemplo 1:
La temperatura durante los meses de setiembre está distribuida
normalmente con media 18,7ºC y desviación standard 5ºC.
a) Calcule la probabilidad de que un día elegido al azar durante
setiembre esté por debajo de 21ºC.
X=temperatura, VAC P(X<21)=F(21)
Pasos:
1. Estandarizo la variable…paso de X a Z….
P(X<21)=P(Z< 21-18,7/5)=P(Z< 0,46)
2. Luego con el valor de Z…me fijo en la tabla….0,6772

Ejemplo 1:
b) Calcule la probabilidad de que un día elegido al azar durante
setiembre esté por encima de 30ºC.
P(X>30)=1- P(X<30)=1 –F(X=30)=1- P(Z< 30 -18,7/5)=1- P(Z<2,26)
P(X>30)=P(Z>2,26)=1- P(Z<2,26)=1 -0,9868=0,0132
c) Calcule la probabilidad de que un día elegido al azar sea
exactamente de 21ºC.
P(X=30)=P(Z=2,26)=0
Por teoría se sabe que la probabilidad puntual para una VAC vale
0.

Cálculo de percentiles
Para calcular el percentil de orden K de una VAC normalmente
distribuida se utiliza la siguiente expresión:
Partiendo de la variable estandarizada: 𝑧 =
𝑥−𝜇
𝜎
…despejando: 𝑥 = 𝜇 + 𝑧 ∗ 𝜎
…en termino generales:
𝑥𝑘 = 𝜇𝑥 + 𝑧𝑘𝜎𝑥

Ejemplo 2:
De acuerdo a los estudios realizados por cierta empresa, el
diámetro de las naranjas destinadas a la exportación se
distribuyen normalmente con media de 8cm y desvío estándar de
0,6 cm.
a)¿ Cual es el diámetro no superado por el 90% de las naranjas?
Es decir, solo lo superado el 10%...entonces me piden el percentil
90….
….partiendo de: 𝑥𝑘 = 𝜇𝑥 + 𝑧𝑘𝜎𝑥
𝑥𝑘 = 8 + 𝑧𝑘0,6---------> 𝑥𝑘 = 8 + 1,28 ∗ 0,6 = 𝟖, 𝟕𝟕
¿Cuánto vale Z? Me fijo en tabla para F(Z)=0,90……Z=1,28

Ejemplo 2:
a)¿ Cual es el diámetro no superado por el 90% de las naranjas?
Es decir, solo lo superado el 10%...entonces me piden el percentil
90….
𝑥𝑘 = 8 + 𝑧𝑘0,6--------->
𝑥𝑘 = 8 + 1,28 ∗ 0,6 = 𝟖, 𝟕𝟕

Ejemplo 2:
b) ¿Cuál es el diámetro superado sólo por el 70% de las naranjas?
𝑥𝑘 = 8 + 𝑧𝑘0,6
𝑥𝑘 = 8 + (−0,52) ∗ 0,6 = 7,69
¿Cuánto vale Z? Me fijo en tabla para F(Z)=0,30……Z=-0,52

Transformaciones lineales de VAC normales
• Toda transformación afín de una VAC con distribución normal
se distribuye normalmente….
Dada E(X)=𝜇 y V(X)=𝜎2…..se construye: Y=a+bX
Donde E(Y)=a+bE(X)=a+b 𝜇
V(Y)=b^2 𝜎2
• Suma de variables aleatorias normales independientes….toda
combinación lineal de VAC normales independientes tiene
distribución normal…hay 3 (tres) casos...veamos el mas
simple….las n VACNI tiene igual media y varianza….

Transformaciones lineales de VAC normales
• Suma de variables aleatorias normales independientes….
Dadas…𝑥1~𝑁 𝜇, 𝜎2 …… 𝑥𝑛~𝑁 𝜇, 𝜎2 ….
La suma de las variables x1+x2…xn=W…se distribuye
normalmente….
La esperanza matemática de W….E(W)=E(x1)+…E(xn)=n𝜇
La varianza de W….V(W)= 𝜎2
+ 𝜎2
+…=n 𝜎2
El desvío estándar….S(W)= 𝑛𝜎…..
La variable estandarizada……..𝑍 =
σ 𝑥−n𝜇
𝑛𝜎
~𝑁(0,1)

Ejemplo:
El consumo diario de combustible se distribuye normalmente con
media de 120 litros y desvío estándar de 20 litros. ¿Cuál es la
probabilidad de que el consumo total de 25 días sea inferior a
3.150 litros?
𝑥𝑖~𝑁 120, 400
P(X<3.150)=P(Z<1,5)=0,9332
𝑍 =
3.150 − 25 ∗ 120
25 ∗ 20
= 1,5

Teorema Central del Límite
Sea n variables aleatorias independientes, cada una con
esperanza matemática y varianza finita….la variable suma
estandarizada Z…se distribuye asintóticamente como una normal
estandarizada….cuando el numero de variables que se suman
crece indefinidamente….cualquiera sean las distribuciones de las
variables aleatorias…
¿Cuándo n es grande?....cuando es mayor a 30
Ejemplo:
En una entidad financiera se ha calculado el monto diario de los
depósitos en cuenta corriente, por cliente, siendo la media de
$35.000 con un desvío estándar de $12.000. A los efectos de
realizar una auditoria, se tomaron al azar 150 depósitos, ¿Cuál es
la probabilidad e que el monto de los 150 depósitos esté entre
$4.900 y $5.400? Respuesta: 83,7%

Teorema Central del Límite
Ejemplo:
TP de Economía 1 en la Universidad Nacional del Oeste…165
alumnos….

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