Variacion de parametros
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Este método consiste en expresar la solución particular como una combinación lineal de las soluciones de la ecuación homogénea, y determinar los coeficientes de dicha combinación lineal de modo que satisfagan la ecuación no homogénea original. Se derivan las expresiones para la primera y segunda derivada de la solución particular, se sustituyen en la ecuación no homogénea original y se igualan los coeficientes de las funciones independientes para obtener un sistema de ecuaciones que permite calcular los coeficientes incógnitos.
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Variacion de parametros
- 1. ECUACIONESDIFERENCIALES POR EL METODODE VARIACIONDE PARAMETROS
- 2. Este método consiste en poner la solución particular como: Y p=uy 1 + vy 2 con u´y 1 + vý =0 Ya que la solución general de la ecuación de la forma Y”+f(x) y’ + g(x) y=0 es y=c1y1(X) + c2y2(x) Entonces derivamos: Yp’ = uy 1’ + vy 2’ Yp”= uy 1”+ u’ y1’ + vy 2 “+ v’ y2’ Sustituimos en la ecuación no homogénea Uy1”+u’ y1’ + vy2”+ v’y2’+
- 3. Sacamos a u y a v como factor común: U(y1” + f(x) y1’ + g(x)y1)+ v(y2”+f(x) y2’+g(x)y2)+ u’y1’+ v’y2’=Q(x) Como y1 + y2 son soluciones se vuelven cero: U’y1+ v’y2=0 u’y1’+v’y2’=Q(x) Y después obtenemos sus wronskianos, para después integrar W= W1= W2= y1 y2 Y1’ Y2’ 0 y2 F(x) Y’2 y1 0 Y’1 F(x)
- 4. Podemos resumir todos esto en unos cuantos pasos: 1- se calcula la forma estándar de la ecuación diferencial, para que el coeficiente de y” sea uno. 2- resolvemos la ecuación homogénea, y obtenemos las raíces de la ecuación auxiliar, y su función complementaria. 3- se calcula el wronskiano. 4-calculamos el wronskiano de cada identificación, obteniendo u’ y v’ . 5- integramos para obtener u, v y la solución particular. 6- para obtener la solución general sumamos la solución particular mas la complementaria.
- 5. Ejemplo teniendo ya la solución: