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Correlation Fallacies
Fallacy 3
Given marginal distributions FX and FY for X and Y there exists a joint model
giving any correlation between -1 and +1.
This is true if both FX and FY are normal distributions.
However if FX and FY are not of the same type, then ρ(X, Y) < 1.
Two variables are of the same type if the distribution of one may be
obtained from the other via a location-scale transformation.
Theorem (Höffding 1940)
1 The set of possible correlations is a closed interval [ρmin, ρmax].
2 ρmax is attained if and only if X, Y are perfectly positively dependent
(comonotonic).
3 ρmin is attained if and only if X, Y are perfectly negatively dependent
(countermonotonic).
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Copulas
Copulas
Joint distribution functions F can be constructed from margins FX and FY
using copulas:
F(x, y) = C(FX (x), FY (y))
Copulas are mappings (u, v) → C(u, v) from the unit square [0, 1] × [0, 1]
to the unit interval [0, 1] satisfying three properties:
C(0, v) = C(u, 0) = 0;
C(u, 1) = u and C(1, v) = v (guarantees margins of F are FX and FY )
C(u2, v2) − C(u2, v1) − C(u1, v2) + C(u1, v1) for rectangle [u1, u2] × [v1, v2]
contained in unit square.
Provided a correlation r is attainable for margins FX and FY we can find
infinitely many copulas C such that F has the desired margins and
ρ(X, Y) = r.
The York Management School Alexander J. McNeil Correlation is not enough 13 / 17](https://image.slidesharecdn.com/ajm-heatheconomicscombined-180423073036/85/Insights-from-actuarial-science-into-HTA-Building-joint-models-of-random-quantities-why-correlation-is-not-enough-19-320.jpg)
Insights from actuarial science into HTA: Building joint models of random quantities - why correlation is not enough
- 1. Insights from Actuarial Science into HTA: some background and context
- 2. Actuarial Science at York • Modelling and measuring of risk… • …Development of strategies to manage risk • The York Management School recently started to offer BSc Actuarial Science (3 year and 4 year), accredited by Institute and Faculty of Actuaries (IFoA) • Professor Alexander McNeil has a wealth of experience, in particular: – risk and capital – quantitative risk management – insurance and bank solvency – correlations and portfolios • One of the reasons IFoA was keen to accredit York was owing to its strength in health economics
- 3. Potential synergies between Actuarial Science and HTA • Similar approach adopted, broadly: probabilistic modelling and simulation to calculate risk • Often a similar toolkit is applied: e.g. survival analysis • Actuaries often concerned with modelling and managing risk with a view to meeting regulatory requirements • Actuaries often particularly interested in… – The tails of distributions – Joint modelling of random quantities • Including tail dependencies • NHS arguably acts like an insurer and faces considerable financial uncertainty. Some work has sought to view HTA from portfolio theory perspective (O’Brien and Sculpher, 2000; Bridges, 2010)
- 4. Demand for Actuarial Science from HTA (1) • NICE commissioned some work where actuarial approaches would be considered for managing uncertainty – Feeling that the work was lacking the sufficient depth to fully appreciate the perspectives of health economics, e.g. why do we consider mean ICER for decision rule (Arrow and Lind, 1970)
- 5. Demand for Actuarial Science from HTA (2) • In some applications we may be particularly interested in tails of distributions – Antimicrobials, additional (?) value to avoiding major catastrophic health consequences • In other applications, particularly interested in codependence of variables – Modelling HIV programmes, when have to disinvest what are the health consequences, depends upon relationship between costs and health outcomes
- 6. Demand for Actuarial Science from HTA (3) • Recent seminar by Dr. Matthew Taylor: correlation of parameter inputs in decision model can have important policy implicatons, in particular regarding probability cost-effective
- 7. , Building Joint Models of Random Quantities Why Correlation is Not Enough Alexander J. McNeil The York Management School, University of York The York Management School Heath Economics Seminar York, Thursday 19th April 2018 The York Management School Alexander J. McNeil Correlation is not enough 1 / 17
- 8. , Overview 1 Introduction 2 Correlation Fallacies 3 Copulas The York Management School Alexander J. McNeil Correlation is not enough 2 / 17
- 9. , Introduction QRM Textbook: McNeil, Frey, and Embrechts (2015) The York Management School Alexander J. McNeil Correlation is not enough 3 / 17
- 10. , Introduction Abstract If X and Y are two random outcomes and we know something about their marginal distributions and have an estimate of their correlation/covariance, how do we say something about their joint distribution and, in particular, the joint probability that both X and Y are large? Can we say something about the uncertainty in the distribution of their sum X+Y or any other functional f(X,Y) of interest? The issue is that the joint model is not fully specified and there will be infinitely many joint models that satisfy the constraints. How do we pick one of these joint models to obtain a conservative assessment of risk? Much insight can be provided by considering different copulas and the topic lends itself to visualisation. The York Management School Alexander J. McNeil Correlation is not enough 4 / 17
- 11. , Introduction Risks and Risk Measures In QRM we are particularly interested in extreme outcomes for random quantities such as: general insurance losses; stock market returns; mortality rates. From this perspective we call random variables X and Y risks. We apply risk measures that focus on the tail, such as value-at-risk - an extreme quantile of the distribution FX of X - and expected shortfall. VaRα(X) = F−1 X (α), α ≥ 0.95. ESα(X) = E(X | X > VaRα(X)) (expected loss given VaR is exceeded). Most of the phenomena we study are multivariate, depending on X, Y and further risks. We are interested in functionals f(X, Y). We want to develop joint models for (X, Y) that allow us to study the sensitivity of f(X, Y) and other functionals to the extremal behaviour of the risks. The York Management School Alexander J. McNeil Correlation is not enough 5 / 17
- 12. , Introduction Risk Measures Visualized Loss Distributionprobabilitydensity -10 -5 0 5 ¡ 10 0.00.050.100.150.200.25 Mean loss = -2.4 95% VaR = 1.6 ¢ 5% probability ¡ 95% ES = 3.3 ¢ The York Management School Alexander J. McNeil Correlation is not enough 6 / 17
- 13. , Introduction An Ill-Specified Insurance Problem Suppose I know that risk X has distribution FX - say a lognormal distribution with certain parameter values. I also know that risk Y has distribution FY - say a Pareto distribution with certain parameter values. I also know that X and Y have correlation r - say 60%. What model do the pairs (X, Y) follow and how can I simulate random realizations from the model? This is an ill-posed problem. There are either no models for (X, Y) that satisfy the condition or there are infinitely many models! To understand this assertion we look at 3 correlation fallacies (Embrechts, McNeil, and Straumann, 2002). The York Management School Alexander J. McNeil Correlation is not enough 7 / 17
- 14. , Correlation Fallacies Linear or Pearson Correlation Denote the linear correlation of two random variables X and Y by ρ(X, Y). Linear correlation gives a scalar measure of dependence. The variances of X and Y must exist for ρ(X, Y) to de defined - a problem in heavy-tailed applications. X, Y independent =⇒ ρ(X, Y) = 0. But ρ(X, Y) = 0 X, Y independent. X ∼ N(0, 1) and Y = X2 . Bivariate t-distribution with ν degrees of freedom and correlation zero. Linear correlation is not invariant with respect to strictly increasing transformations of X, Y, i.e. generally ρ(T1(X), T2(Y)) = ρ(X, Y). It is only invariant under linear transformations. The York Management School Alexander J. McNeil Correlation is not enough 8 / 17
- 15. , Correlation Fallacies Fallacy 1 Marginal distributions and correlation determine the joint distribution. • • • • • • • • • • • •• • • • • • • •• • • •• • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • •• • • • •• • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • •• ••• • • • • • • •• • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ••• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• •• • • • • 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• • •• • Gumbel X1 X2 -4 -2 0 ¡ 2 ¢ 4 £-4-2024 In both models: margins are standard normal; correlation is 70%. The Gumbel model has greater propensity to produce joint extremes. The York Management School Alexander J. McNeil Correlation is not enough 9 / 17
- 16. , Correlation Fallacies Fallacy 2 If two random variables X and Y are uncorrelated, they may be taken to be approximately independent. Consider two risks defined by X = Z Y = V · Z, where V, Z independent, Z ∼ N(0, 1) and P(V = +1) = P(V = −1) = 1/2. V switches between perfect positive and negative dependence (cross-shaped scatterplot). Then X ∼ N(0, 1), Y ∼ N(0, 1) and ρ(X, Y) = 0. But (X, Y) are not independent bivariate normal variables. VaRα(X + Y) will dominate that of the sum of two independent standard normal variables for large α. The York Management School Alexander J. McNeil Correlation is not enough 10 / 17
- 17. , Correlation Fallacies Fallacy 3 Given marginal distributions FX and FY for X and Y there exists a joint model giving any correlation between -1 and +1. This is true if both FX and FY are normal distributions. However if FX and FY are not of the same type, then ρ(X, Y) < 1. Two variables are of the same type if the distribution of one may be obtained from the other via a location-scale transformation. Theorem (Höffding 1940) 1 The set of possible correlations is a closed interval [ρmin, ρmax]. 2 ρmax is attained if and only if X, Y are perfectly positively dependent (comonotonic). 3 ρmin is attained if and only if X, Y are perfectly negatively dependent (countermonotonic). The York Management School Alexander J. McNeil Correlation is not enough 11 / 17
- 18. , Correlation Fallacies Example of Extremal Correlations Take X ∼ Lognormal(0, 1), and Y ∼ Lognormal(0, σ2 ). sigma rho 0 1 2 3 4 5 −1.0−0.50.00.51.0 Plot shows ρmin and ρmax against σ. Red lines how that ρ = 0.7 is unattainable when σ = 2. The York Management School Alexander J. McNeil Correlation is not enough 12 / 17
- 19. , Copulas Copulas Joint distribution functions F can be constructed from margins FX and FY using copulas: F(x, y) = C(FX (x), FY (y)) Copulas are mappings (u, v) → C(u, v) from the unit square [0, 1] × [0, 1] to the unit interval [0, 1] satisfying three properties: C(0, v) = C(u, 0) = 0; C(u, 1) = u and C(1, v) = v (guarantees margins of F are FX and FY ) C(u2, v2) − C(u2, v1) − C(u1, v2) + C(u1, v1) for rectangle [u1, u2] × [v1, v2] contained in unit square. Provided a correlation r is attainable for margins FX and FY we can find infinitely many copulas C such that F has the desired margins and ρ(X, Y) = r. The York Management School Alexander J. McNeil Correlation is not enough 13 / 17
- 20. , Copulas Four Copula Models • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • ••• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • ••• • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • •• • • • • • • • •• • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 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Observe how certain copulas lead to more pronounced dependence in the tail. The York Management School Alexander J. McNeil Correlation is not enough 14 / 17
- 21. , Copulas Gaussian and t3 Copulas Compared • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• •• • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • •• •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • •• • • ••• • • •• • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ••• • • •• • • • • • • • • • •• • • • • • •• • •• • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ••• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • •• • • • • • • • • •• • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • •• • • • •• • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • •• • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • •• •• • • • •• •• • •• • •• • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • ••• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • •• • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 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The York Management School Alexander J. McNeil Correlation is not enough 15 / 17
- 22. , Copulas Applying Copulas Different copulas show different patterns of dependence even when the correlation is held fixed. Copulas are actually joint distribution functions in their own right. They have the property that their marginal distributions are standard uniform. They can be fitted to data {(X1, Y1), . . . , (Xn, Yn)} by standard techniques such as maximum likelihood estimation. Copulas lend themselves to Monte Carlo simuation of (X, Y). Often copulas are used implicitly without formal recognition. When we use a bivariate normal we implicitly use the Gaussian copula. Models for correlated time-to-event distributions often implicitly use so-called Archimedean copulas (of which Gumbel and Clayton are well-known examples). Literature: Joe (2015), Nelsen (2006) The York Management School Alexander J. McNeil Correlation is not enough 16 / 17
- 23. , Copulas For Further Reading Embrechts, P., A. J. McNeil, and D. Straumann, 2002, Correlation and dependency in risk management: properties and pitfalls, in M. Dempster, ed., Risk Management: Value at Risk and Beyond, 176–223 (Cambridge University Press, Cambridge). Joe, H., 2015, Dependence Modeling with Copulas (CRC Press, Boca Raton). McNeil, A. J., R. Frey, and P. Embrechts, 2015, Quantitative Risk Management: Concepts, Techniques and Tools, second edition (Princeton University Press, Princeton). Nelsen, R. B., 2006, An Introduction to Copulas, second edition (Springer, New York). The York Management School Alexander J. McNeil Correlation is not enough 17 / 17