Laffly regression multiple

Régression multiple : principes et exemples d’application

Dominique Laffly
UMR 5 603 CNRS
Université de Pau et des Pays de l’Adour
Octobre 2006

Destiné à de futurs thématiciens, notamment géographes, le présent exposé n’a pas pour
vocation de présenter la théorie de l’analyse des données par régression au sens statistique
du terme. Pour cela nous renvoyons aux nombreux ouvrages rédigés par les statisticiens
eux-mêmes. Le but recherché ici est de proposer des exemples concrets de traitement ayant
fait appel à l’analyse par régression linéaire multiple selon différentes logiques a priori
éloignées les unes des autres. Nous verrons successivement comment la méthode des
régressions linéaires multiples permet :
- d’analyser les liens entre une variable dépendante quantitative à expliquer et
plusieurs variables quantitatives explicatives indépendantes comme on l’admet
généralement ;
- de déterminer les équations d’un ajustement polynomial non-linéaire pour
l’analyse des liens entre deux variables quantitatives ;
- de déterminer les équations de surfaces de tendances ;
- d’analyser la rugosité du relief ;
- de déterminer les équations polynomiales d’un modèle de correction
géométrique applicable à des vecteurs et/ou des données raster.

1. RÉGRESSION LINÉAIRE : LES PRINCIPES

L’analyse descriptive des données repose sur une démarche en plusieurs étapes. On définit
tout d’abord les caractéristiques des variables prises une à une (analyse univariée ou tri à
plat), puis on observe les liens qui les caractérisent deux par deux (analyse bivariée ou tri

croisée) pour finir par l’observation des structures multiples liant plusieurs variables
(analyse multivariée). On distingue alors deux familles principales, la première consiste à
observer les liens unissant une variable avec plusieurs autres (1 n), la seconde considère
simultanément les structures multiples liant différentes variables (n n, analyse
factorielle). Selon la nature des variables retenues les méthodes de calcul seront différentes
mais la logique reste la même. L’analyse par régression linéaire multiple est une des
solutions qui existe pour observer les liens entre une variable quantitative dépendante et n
variables quantitatives indépendantes.

Toutes méthodes faisant appel aux régressions reposent sur l’acceptation des hypothèses
fondatrices de la statistique paramétrique1 et la notion d’ajustement par les moindres
carrés. La moyenne arithmétique d’une variable est par conséquent considérée comme un
centre de gravité et la notion des moindres carrés consiste à minimiser la somme des
résidus élevés à la puissance deux entre la valeur observée et celle extrapolée.

1.1. Régression linéaire simple

Un exemple simple d’ajustement par les moindres carrés est donné par l’analyse bivariée
de variables quantitatives qui peut se simplifier par le calcul des variances et de la
covariance des deux variables X et Y retenues.

La variance répond à la formule suivante :

où : n, nombre d’individus
xi, valeur de la variable x pour l’individu i
x , moyenne arithmétique de la variable x

1
Pour simplifier à l’extrême, la statistique paramétrique repose sur l’hypothèse que les données sont des
variables indépendantes distribuées selon une loi normale.

La covariance considère les variations communes des deux variables selon la formule :

∑ (x )( )
n
1
CovXY = i − x * yi − y
N i =1

où : n, nombre d’individus
xi, valeur de la variable x pour l’individu i
x , moyenne arithmétique de la variable x
yi, valeur de la variable x pour l’individu i
y , moyenne arithmétique de la variable y

Enfin, le coefficient de corrélation est donné par la formule :

CovXY
Ceof .cor =
VarX * VarY

Le coefficient de corrélation correspond au cosinus de l’angle formé entre deux droites de
régression se croisant aux coordonnées des moyennes arithmétiques des deux variables
observées (centre de gravité supposé). On définit donc deux droites répondant chacune à
une équation affine :

X ' = a1Y + b1

et

Y ' = a 2 X + b2

X’ et Y’ étant les valeurs estimées à partir des valeurs observées X et Y.

Dans le cas de l’analyse bivariée, les coefficients des équations sont facilement donnés
par :

∑ (x )( )
n

i − x yi − y
a1 = i =1

∑ (x )
n
2
i −x
i =1

∑ (x )( )
n

i − x yi − y
a2 = i =1

∑ (y )
n
2
i −y
i =1

b1 = y − a1x

b2 = x − a 2 y

Prenons comme exemple la matrice théorique suivante (table A1) :

id X Y X' Y' X-moyX Y-moyY (X-moyX)² (Y-moyY)² (X-moyX)(Y-moyY)
1 2 18 1.847222222 13.95157895 -4.777777778 8.333333333 22.82716049 69.44444444 -39.81481481
2 3 15 3.622222222 13.05473684 -3.777777778 5.333333333 14.27160494 28.44444444 -20.14814815
3 4 12 5.397222222 12.15789474 -2.777777778 2.333333333 7.716049383 5.444444444 -6.481481481
4 5 9 7.172222222 11.26105263 -1.777777778 -0.666666667 3.160493827 0.444444444 1.185185185
5 6 6 8.947222222 10.36421053 -0.777777778 -3.666666667 0.604938272 13.44444444 2.851851852
6 8 5 9.538888889 8.570526316 1.222222222 -4.666666667 1.49382716 21.77777778 -5.703703704
7 10 6 8.947222222 6.776842105 3.222222222 -3.666666667 10.38271605 13.44444444 -11.81481481
8 11 7 8.355555556 5.88 4.222222222 -2.666666667 17.82716049 7.111111111 -11.25925926
9 12 9 7.172222222 4.983157895 5.222222222 -0.666666667 27.27160494 0.444444444 -3.481481481

Table A1 : Exemple théorique

Le coefficient de corrélation est de -0.72844463, les équations sont :

Y’ = -0.8968X+ 15.745 (en jaune)

et

X’ = -0.5917Y + 12.497 (en magenta)

La somme des carrés des écarts entre les valeurs observées et celles théoriques est ici
minimale pour les deux droites de régression, ce qui correspond à l’ajustement par les
moindres carrés. Notons que ces écarts sont appelés résidus et qu’ils sont perpendiculaires
(c’est-à-dire indépendants d’un point de vue mathématique) à l’axe de la variable
explicative dont les valeurs ne changent pas par définition (figure A8).

Moyenne X = 6.77

Moyenne Y = 9.66

Figure A8 : Les deux droites de régression et le coefficient de corrélation

1.2. Régression linéaire multiple

L’exemple développé à partir de deux variables permet de comprendre la logique de la
théorie de la régression mais il ne peut être généralisé de la sorte aux régressions multiples.
Le système à deux équations à deux inconnus présenté se résolvait facilement comme on
l’a vu. Les équations se compliquent avec plusieurs régresseurs, deux méthodes distinctes
permettent de résoudre les équations. La première repose sur la connaissance des
coefficients de corrélation linéaire simple de toutes les paires de variables entre elles, de la
moyenne arithmétique et des écarts-types de toutes les variables. La seconde repose sur des
calculs matriciels.

1.2.1. Les étapes de calcul fondé les variables descriptives

Soit un ensemble de p variable où la p-ième variable est la variable indépendante. Toutes
les variables sont au préalable centrées-réduites. Soit r12, r13… rpp les coefficients de

corrélations linéaires des paires de variables et s1, s2, …, sp les écarts-types.

Prenons un exemple avec p = 4 soit 3 variables dépendantes. Dans un premier temps on
calcule les coefficients de régression linéaire a’1, a’2, a’3 en résolvant un système de p-1
équations à p-1 inconnues :

r1p = a’1 + r12a’2 + r13a’3

r2p = a’2 + r21a’1 + r23a’3

r3p = a’3 + r31a’1 + r32a’3

Pour résoudre ce système on procède par substitutions successives :

a’1 = r1p - r12a’2 + r13a’3
d’où

r2p = a’2 +( r21 * (r1p - r12a’2 + r13a’3)) + r23a’3

a’2 = r2p - r21a’1 + r23a’3

a’3 = r3p - r31a’2 + r32a’3

Connaissant désormais les coefficients de régression on détermine ceux des variables
brutes :

Enfin, la constante d’ajustement est donnée en résolvant l’équation pour la coordonnée à
l’origine :

− − − −
ε = y − a1 x1 − a 2 x 2 − a3 x 3

Le coefficient de détermination multiple est donné par :

R 2 = ∑ j =1 a 'j r jp
p −1

Prenons garde au fait que ce coefficient – dont les a’p-1 constituent en quelque sorte la
contribution – croît avec le nombre de variable. Par conséquent, ce comportement
déterministe lié aux propriétés des variables aléatoires doit être compenser, on calcule alors
le coefficient ajusté :

(n − 1)
R 2 ajusté = 1 − (1 − R 2 )
n − ( p − 1) − 1

Où : n : nombre d’individus

On peut également résoudre le système d’équations en prenant comme principe l’justement
par les moindres carrés (Chadule) :

n

∑ε
i =1
i
2
min

Où : ε : variance résiduelle

Les coefficients aj sont alors extraits des équations :

Cov p ,1 = a1Var1 + a 2 Cov1, 2 + ... + a p −1Cov1, p −1

Cov p , 2 = a1Cov 2,1 + a 2Var2 + ... + a p −1Cov 2, p −1

…
Cov p , p −1 = a1Covp − 1,1 + a 2 Cov1, 2 + ... + a p −1Varp −1

Les p-1 coefficients sont ensuite obtenus par résolution du système. Avec deux variables
explicatives X1 et X2 et une variable à expliquer Y on a par exemple :

(Var X2 ) (
* CovYX1 − CovYX 2 * Cov X 1 X 2 ) σ Y * (rYX − (rYX * rX X ))
a1 = =
(Var ) σ X * (1 − r )
1 2 1 2

X1 * VarX 2 − Cov 2
X1 X 2 1
2
X1 X 2

(Var X1 ) (
* CovY21 − CovYX1 * Cov X 1 X 2 ) σ Y * (rYX − (rYX * rX X ))
a2 = =
(Var ) σ X * (1 − rX X )
2 1 1 2

X1 * VarX 2 − Cov X1 X 2
2
21
2
1 2

Le coefficient de corrélation multiple est alors donnée par :

(r2
YX1 (
+ rYX 2 − 2 rYX1 * rYX 2 * rX 1 X 2
2
))
RY , X 1 X 2 = = rYY '
1− r 2
X1 X 2

1.2.2. La notation matricielle

L’équation de type :

est donnée sous forma matricielle par :

y = Xβ + ε

Où :

y1 1 x1,1 x 2,1 ε1
y2 1 x1, 2 x 2, 2 β0 ε2
y = ... , X = 1 ... ... , β = β 1 , ε = ...
y n −1 1 x1,n −1 x 2,n −1 β2 ε n −1
yn 1 x1,n x 2,n εn

)
Il s’agit dès lors de calculer le vecteur des estimateurs β défini par l’égalité suivante :

)
β = ( X * X ' ) −1 X ' y

En notation matricielle X’ signifie la matrice X transposée et X-1 la matrice inverse.

Dans l’exemple qui suit nous réalisons une régression multiple pour expliquer la hauteur
de neige en fonction de l’altitude, de la rugosité, de la pente, de l’orientation, de la latitude
et de la longitude (table A2).

H_NEIGE vecteur altitude rugosite pente orient. lat long.
95 1 2768 252 22 324 8760219 438465.0625
150 1 4108 333 29 308 8760195 438474.0625
4 1 4045 62 5 249 8760168 438480.0625
0 1 4572 85 8 14 8760135 438489.0625
0 1 4614 115 10 63 8760105 438495.0625
80 1 4321 176 16 130 8760072 438498.0625
95 1 3886 72 6 199 8760039 438504.0625
20 1 4206 57 5 32 8760012 438507.0625
90 1 4192 266 23 197 8759985 438513.0625
10 1 4051 69 6 113 8759955 438519.0625
10 1 3746 62 5 149 8759922 438519.0625
50 1 3789 42 3 218 8759895 438525.0625
45 1 3771 44 4 53 8759865 438531.0625
60 1 3796 48 4 101 8759838 438534.0625
55 1 3885 77 7 332 8759811 438537.0625
3 1 4295 113 10 18 8759787 438540.0625
33 1 4467 147 13 50 8759760 438546.0625

0 1 4764 12 1 276 8759730 438552.0625
35 1 4313 38 3 350 8759703 438552.0625
45 1 4387 40 3 46 8759673 438558.0625
Table A2 : Hauteur de neige et variables environnementales

Le produit X’X donne :

D’où (X’X)-1 :

Le produit X’X est donnée par la formule :

Où : a : matrice résultat ;
b et c : matrices initiales ;
i : lignes ;
j : colonnes.

Le produit d’une matrice de k lignes et l colonnes par une matrices de l lignes par k
colonnes donne une matrice carrée de k lignes et colonnes. D’où la matrice carrée
suivante :

L’inversion d’une matrice fait appel à des notions de calculs matriciels poussés que nous
ne développerons pas ici. Retenons qu’en théorie toute matrice dont le déterminant est non
nul peut être inversée (règle de Cramer). D’où dans notre exemple (X’X)-1 :

Et X’y :

Donc (X’X)-1X’y donne les termes de l’équation multiple :

Constante : -6111180.498
Altitude : -0.03526
Rugosité : 1.0379
Pente : -7.6228
Orientation : 0.0907
Latitude : 0.5191
Longitude : 3.6401

2. EXEMPLES D’APPLICATION

L’utilisation des régressions multiples dépasse largement le cadre classique de
l’explication d’une variable dépendante à partir de n variables indépendantes comme on
l’admet généralement. Nous verrons tout d’abord un exemple appliqué à l’analyse du
trachome2 en fonction de paramètres biogéographiques pour illustrer cette approche
classique. Trois autres exemples nous permettront d’aller plus en avant dans l’application
des régressions multiples : l’ajustement non linéaire en analyse bivariée ; l’analyse par
surfaces de tendance d’un phénomène géographique et la définition des équations d’un
modèle de correction géométrique.

2.1. Indicateurs environnementaux et Trachome

Le trachome est une maladie contagieuse qui se transmet d’enfant à enfant ou de mère à
enfant. L’infection se manifeste dès la première année et la prévalence augmente très
rapidement pour atteindre un maximum qui serait d’autant plus précoce que le niveau de
l’endémie est élevé. La prévalence du trachome actif diminue ensuite progressivement et
laisse place à des lésions cicatricielles dont la fréquence augmente avec l’âge. Il n’y a pas
de différence de prévalence selon le sexe significative dans l’enfance, par contre à l’âge
adulte les femmes sont plus fréquemment atteintes du fait des contacts avec les enfants,
elles présenteront par la suite plus fréquemment un entropion trichiasis que les hommes.

Le trachome actif est caractérisé par une inflammation de la conjonctive tarsale supérieure
avec envahissement de la cornée par un voile vasculaire (pannus). Ce stade inflammatoire
représente la phase contagieuse de la maladie. L’inflammation trachomateuse en milieu
hyper-endémique persistera quelques années avant d’évoluer vers la cicatrisation qui
pourra se faire selon deux modalités :

- soit l’infection est restée modérée et l’évolution se fera vers la guérison spontanée au prix
de quelques cicatrices conjonctivales minimes sans conséquence fonctionnelles : c’est le
trachome cicatriciel bénin.

- soit l’inflammation conjonctivale a été intense et prolongée : la cicatrisation pourra alors
dépasser son but et entraîner une fibrose rétractile de la paupière supérieure. Il s’agit alors
d’un trachome cicatriciel grave susceptible d’aboutir à une déformation du tarse avec
déviation des cils vers la cornée réalisant un entropion trichiasis. Le frottement des cils à
chaque clignement entretien une érosion cornéenne particulièrement douloureuse,
favorisant une surinfection qui évoluera vers une cécité complète et irréversible par
opacification de la cornée. Une fois les lésions cicatricielles constituées, le seul moyen
d'améliorer le pronostic et si possible d’empêcher la cécité est la chirurgie du trichiasis : les
techniques chirurgicales sont relativement efficaces et sûres, mais elles sont
insuffisamment diffusées et utilisées.

C’est la durée et surtout l’intensité de l’inflammation trachomateuse qui déterminent le
risque de l’évolution vers la cécité. Cette intensité est conditionnée par deux facteurs : les
surinfections bactériennes et les réinfections. La plus grande gravité des réinfections est
expliquée par un mécanisme combiné d’hypersensibilité et d’auto-immunité.

Un certain nombre de facteurs de risque associés au trachome ont été identifiés. Ces
facteurs sont individuels, comportementaux, sociaux et aussi environnementaux. C'est
ainsi que la difficulté d'accès à l'eau, l'accumulation d'ordures, la proximité avec le bétail et
la pullulation des mouches favorise la survenue d'un trachome.

L’influence de la géographie et du climat est évoquée depuis longtemps dans le complexe
pathogène du trachome. En zone intertropicale sèche, la diminution de l’humidité
atmosphérique dessèche les muqueuses conjonctivales et favoriserait l’infection par les
chlamydia. Les poussières pourraient jouer un rôle non négligeable en agressant la
conjonctive et la cornée. Par ailleurs en hiver, le froid nocturne augmente la promiscuité
dans les chambres et favoriserait la circulation interhumaine du germe. Dans une étude
épidémiologique Salim rapporte qu’au Soudan la prévalence du trachome actif est
inversement corrélée avec la pluviométrie et l’hygrométrie. Nous avons aussi observé
dans l'enquête nationale réalisée au Mali, que le trachome actif était plus fréquent dans les
régions sèches du nord comme Gao ou Tombouctou.

L’exemple développé ci-dessous s’inscrit pleinement dans la quatrième partie de
l’ouvrage. Il s’agit de déterminer des facteurs environnementaux du risque au Mali.. Les
données sont issues d’une enquête biomédicale réalisée auprès de 11 000 personnes en
Afrique de l’ouest. Elles sont confrontés à différentes variables environnementales
susceptibles d’être liées à la maladie : latitude (LAT), longitude (LONG), pluviométrie
(PLUVIO), température moyenne annuelle (TMOY) et hygrométrie (HYGRO) à partir du
fichier des villages. Ces variables ont été récupérées dans le fichier des individus femmes.
Les données manquantes ont été extrapolées par régression linéaire multiple avec les
variables LAT et LONG. Les données sur le trachome sont quant à elles : trachome actif
(TT), trachome ches les femmes (TF), trachome chez les enfants (TI) et trachome suspecté
(TS). La figure A9 présente les cartes des variables environnementales retenues.

Figure A9 : Les variables environnementales

Par régression linéaire multiple, on calcule les degrés de liaisons entre les taux de
prévalence entre la latitude, la longitude, la pluviométrie, l’altitude, la température
moyenne et l’hygrométrie (table xx).

Table A3 : Tables des corrélations multiples

Les coefficients de corrélation multiple sont donnés par la table XX. A titre indicatif le cas
1 présente les valeurs pour une régression n’intégrant que la latitude et la longitude, le cas
2 intègre toutes les variables environnementales retenues. On constate que les corrélations
obtenues sont toujours significativement plus élevées dans la cas 2.

Cas 1 Cas 2
TT 0.37 0.45
TS 0.34 0.50
TI 0.27 0.32
TF O.25 0.33
Table A4 : Taux de corrélation multiple

On peut dès lors envisager de produire des cartes de prédiction des taux de prévalence du
trachome et des résidus connaissant les variables environnementales. Les coefficients des
équations sont donnés par la matrice A5.

TF (0.33) TI (0.32) TS (0.50) TT (0.45)
Constante 14.05981086 -0.166492463 -121.0795444 2.083385988
LAT 3.615939928 1.223183048 2.6892253 -0.248426023
LONG -0.190359364 0.314126994 -3.111756389 -0.283659613
PLUVIO 0.005563127 0.00153108 0.009886783 7.52743E-05
ALT 0.033674547 0.005407455 0.039777358 0.008239454
TMOY -1.25696877 -0.484097825 1.983162114 0.018222353
HYGRO -0.115784009 0.061047239 0.225234599 -0.027915423
Table A5 : Coefficients de régression multiple

D’où, par exemple, pour TT :

TTestimé = (-0.248426023 * LAT) – (-0.283659613 * LONG) + (7.52743E-05 * PLUVIO) +
(0.008239454 * ALT) + (0.018222353 * TMOY) – (0.027915423 * HYGRO) + 2.083385988

La figure A10 présente les cartes des valeurs estimées de prévalence de TT, TI, TF et TS.
On constate bien évidemment des écarts entre la simulation et les valeurs mesurées dans
les villages, le modèle n’expliquant que 40 % de la distribution. Une carte de taux de
prévalence de TT obtenue par interpolation spatiale – inversement proportionnelle à la
distance - est présentée en vis-à-vis de celle issue de la modélisation par régression
multiple. Les deux documents sont très différents et l’on pourra retenir que ce n’est pas la
proximité à un lieu caractérisé par de fort taux qui explique la répartition spatiale de TT.

Figure A10 : Estimation des taux de prévalence par régression multiple

2.2. Ajustement non-linéaire et régression multiple

L’exemple théorique développé en introduction montrait un nuage de points distribués de
manière non linéaire, d’où un faible coefficient de détermination (0.53) obtenu à partir
d’un ajustement linéaire.

Figure A11 : Ajustement linéaire et non-linéaire d’ordre 2

On voit bien sur la figure A11 que les points répondent à une distribution qui s’aligne sur
un morceau de parabole de type polynôme de degré 2 :

Y ' = a1 X 2 + a 2 X + b

Il s’agit en fait d’une régression linéaire multiple à partir d’une même variable X dont les
termes sont élevés à la hauteur du degré du polynôme selon la formule générique :

Y ' = a1 X 1 + a 2 X 2 + ... + a n X n + ε

Dans l’exemple présenté plus haut, un ajustement d’un degré 2 permet d’obtenir un
coefficient de détermination de l’ordre de 0.9895. Lorsque les formes de la distribution
sont plus complexes, on peut élever encore l’ordre du polynôme comme l’illustre la figure
A12.

Figure A12 : Ajustements non linéaire d’ordre 3 à 5

Lorsque la distribution ne suit pas une loi polynomiale on peut observer les limites de
l’ajustement comme l’illustre la figure ci-dessous. On peut alors avoir recours, selon la

forme, à une transformation logarithmique de la variable X pour donner une équation affine
de type (figure A13) :

Y ' = a. ln( X ) + b

Figure A13 : Ajustements polynomial et logarithmique

2.3. Surfaces de tendances, régression multiple selon la latitude et la

longitude

Lorsque les phénomènes étudiés sont fortement dépendants de leur position géographique
on a recours aux surfaces de tendances pour extrapoler à l’ensemble de l’espace des
valeurs initialement observées ponctuellement. Prenons un exemple théorique d’un
phénomène marqué par un fort gradient sud ouest – nord est comme l’illustre les figures
A14 et A15.

Figure A14 : Cartogramme d’un gradient

Une régression linéaire multiple avec comme variables indépendantes la latitude et la
longitude nous donne ici un coefficient de détermination de 1 et une équation :

Connaissant la latitude et la longitude on peut désormais extrapoler la variable X à tout
l’espace géographique découpé en un maillage plus ou moins fin. On obtient alors un plan
de régression ou surface de tendance d’ordre 1 comme l’illustre le schéma suivant :

Figure A15 : Surface de tendance d’ordre 1 – plan de régression

On peut imaginer aisément une distribution géographique non linéaire d’un phénomène
quelconque, une ondulation par exemple comme l’illustre les figures A16 et A17..

Figure A16 : Cartogramme d’une ondulation

L’ajustement d’un plan de régression ne serait alors pas du tout représentatif, dans notre
exemple le coefficient de détermination est même nul. Comme on avait recours à des
polynômes de degré n on peut envisager ici des surfaces polynomiales de degré n. Par
exemple, l’équation d’une surface de degré 2 est :

Soit présentement un coefficient de détermination de 0.95 et une équation :

On obtient alors la surface suivante :

Figure A17 : Surface de tendance d’ordre 2

Pour des distributions plus complexes, on peut augmenter le degré du polynôme, par
exemple une surface de degré 3 comme l’illustre les figures A18 et A19..

Figure A18 : Cartogramme d’une vague

Figure A19 : Surface de tendance d’ordre 3

On atteint cependant rapidement des limites eut égard au nombre d’inconnus dans le
système d’équations à résoudre. Celui-ci est donné par la formule :

t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Ninc 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 77 90

où t, degré du polynôme.

L’équation polynomiale d’ordre t se généralise ensuite selon :

t i
Z ' = ∑∑ a k x i − j y j
i =0 j =0

où

i.i + j
k= + j
2

Pour un polynôme de degré 3, l’équation générique est de la forme :

Z ' = a1 X + a 2Y + a3 X 2 + a 4 XY + a5Y 2 + a6 X 3 + a7 X 2Y + a8 XY 2 + a9Y 3 + ε

Pour un polynôme de degré 4, elle devient :

Z ' = a1 X + a 2Y + a3 X 2 + a 4 XY + a5Y 2 + a 6 X 3 + a 7 X 2Y + a8 XY 2 + a 9Y 3
+ a10 X 4 + a11 X 3Y 2 + a12 X 2Y 2 + a13 X 2Y 3 + a14Y 4 + ε

Au-delà, le système d’équation à résoudre devient difficile à mettre en œuvre et, surtout, la
surface extrapolée ne représente plus un phénomène géographique fortement dépendant de
la latitude et de la longitude. Nous verrons dans un cours consacré au variogramme et
covariogramme comment extrapoler des surfaces qui mettent en avant des cycles ou des
phénomènes ponctuels.

2.4. Analyse du relief et indicateur de rugosité

Un cas particulier de d’application des surfaces de tendances, donc des régressions
multiples, et celui de l’analyse de la « rugosité » du relief à partir d’un Modèle Numérique
de Terrain (MNT). Un MNT est une base de données raster composée de NC colonnes et
NL lignes dont les mailles renseignent sur l’altitude.

Figure A20 : Filtre de rugosité du relief

Afin d’obtenir une information synthétique sur les formes locales du relief on fait glisser
sur chaque pixel de l’image une fenêtre de n mailles de côtés à l’intérieur de laquelle on
ajsute une surface de tendance d’ordre 1 locale. La rugosité correspond à l’écart-type
calculé sur les résidus entre les altitudes du MNT et celles de la surface de tendance. Plus
la valeur de l’écart-type est élevée plus le relief est localement accidenté (creux, bosses,

crêtes, talwegs…) et inversement (plan d’un versant, d’une plaine…). La figure A20
illustre la méthode mise en œuvre.

Sans parler de la résolution du MNT, le choix de la taille de la fenêtre repose sur le niveau
d’observation attendu par l’utilisateur. Une fenêtre de l’ordre de 3 à 9 pixels donnera des
indicateurs locaux, ils seront plus globaux au-delà. La figure A21 présente une vue où
différentes rugosités ont été calculées selon quatre tailles de fenêtres. Les teintes du rose au
marron sont une gradation des valeurs de rugosité, respectivement de la plus faible à la
plus forte.

Figure A21 : Rugosité et taille des pixels

2.4. Régression multiple et géoréférencement

Un dernier exemple d’application des régressions multiples est consacré à la présentation
des géoréférencements fondés sur un modèle polynomiale. Le principe d’un
géoréférencement consiste à modifier les coordonnées d’une image ou d’un vecteur pour la
rendre compatible avec un autre système de coordonnées, en l’occurrence celui d’une
carte. Par exemple, le cadastre initialement levé par triangulation géodésique sur le terrain
doit être rectifié pour être compatible avec les cartes à grande échelle de l’IGN. De même,
une photographie aérienne et/ou une image de satellite doivent être géoréférencées pour

épouser les formes de la carte. Nous verrons plus loin que si les équations nécessaires à de
telles transformations sont les mêmes pour les images ou les vecteurs, leur mise en œuvre
posera plus de problèmes pour les images. À ce sujet, notons dès à présent qu’une
correction géométrique et un géoréférencement sont deux notions différentes trop souvent
confondues. La première a pour but de corriger la géométrie de l’image qui, à l’état brut,
est très perturbée par la combinaison :
- des écarts d’attitude du satellite (lacet, roulis et tangage) ;
- des propriétés de l’orbite, elles-mêmes fonction du géoïde ;
- de la rotondité de la terre (déformation panoramique) ;
- de la vitesse de rotation de la terre (1669.79 km.h-1 à l’équateur, soit 4.17 km
parcourus pendant les 9 s que durent l’acquisition d’une image Spot, par
exemple) ;
- de l’angle de prise de vue des pixels composants l’image ;
- des erreurs de parallaxe dues à la forme du relief (corrigées en intégrant les
données d’un MNT : orthorectification) ;
- des erreurs liées à l’optique du capteur ;

Figure A22 : Prise de points d’appui

Selon les cas – et les moyens financiers dont on dispose – tout ou partie de ces
perturbations seront corrigées. Très souvent, certaines des corrections sont réalisées en
même temps que le géoréférencement, d’où la confusion citée plus haut.

La mise en œuvre d’un géoréférencement consiste à relever les coordonnées de points
identifiables sur les deux documents en question, la carte de référence (latitude et
longitude) et l’image ou le vecteur (colonne et ligne) comme l’illustre la figure A22. Il est
souhaitable de répartir au mieux les points sur l’ensemble des zones en commun dans les
deux documents. On obtient la matrice de coordonnées suivante :.

Un géoréférencement consiste à définir les termes de deux polynômes d’ajustement de
manière à estimer les latitudes et les longitudes observées à partir des coordonnées lignes
et colonnes du document à modifier. Par exemple, pour un polynôme de degré 1 :

Lat ' = a1 Lig * b1Col + ε 1

Lon ' = a 2 Lig * b2 Col + ε 2

où Lat’ et Lon’ : la latitude et la longitude estimées ;
Lig et Col : les coordonnées en ligne et en colonne de l’image ou du vecteur;

an, bn et εn : les termes du polynôme.

Notons qu’un minimum de points de contrôle est à prendre en fonction du degré du
polynôme, ce seuil répond à la formule :

S=
(t + 1)(t + 2 )
2

où t, degré du polynôme.

Le parallèle avec les surfaces de tendances présentées plus haut est évident et l’on peut de
la même manière élever le degré des polynômes pour obtenir un meilleur ajustement.
Notons cependant que la fiabilité du modèle n’est plus estimée par le coefficient de
détermination mais par un incateur quadratique moyen (Root Meau Square ou RMS)
donnant les disatnces entre la position observée et celle estimée :

2
RMS n = (lat n − latn ) 2 + (lonn − lonn )
' '

où n : numéro du point ;
lat’ et lon’ : latitude et longitude estimées ;
lat et lon : latitude et longitude observées.

Les lignes surlignées en couleur dans la matrice indiquent des points aberrants qu’il
conviendrait d’éliminer de la collection initiale. Ces aberrations sont souvent dues à des
erreurs de saisies ou à des mauvaises interprétations entre l’image et la carte ou bien
encore à grande différence d’échelle – voire de qualité – entre l’image et la carte. Après
vérification de la qualité du modèle celui-ci est appliqué à l’image pour obtenir une
nouvelle image désormais correctement géoréférencée comme l’illustre la figure A23.

Figure A23 : Image corrigée et carte IGN

Le géoréférencement fondé sur un modèle polynomiale atteint rapidement ses limites
puisqu’il n’intègre pas les altitudes sources d’importantes erreurs de parallaxe. Il est
néanmoins facile à mettre en œuvre et efficace avec des données vectorielles ou des images
de secteurs offrant peu de dénivelé.

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