L'algorithme du Recuit simule

Ahmed BENABDALLAH
M1 E-BUSINESS EN LIGNE
Génie Algorithmique

Les problèmes NP-complets
d'optimisation combinatoire
sont caractérisés parune
complexité.

Le recuit Simulé « Simulated
Annealing » est une meta-
heuristique destinée à résoudre
au mieux les problèmes dits
d’optimisation difficile

Evite le piégeage dans les minima locaux de la fonction
objectif

Recuit thermique et
recuit simulé

Principe
L’algorithme de Metropolis
Dans l'algorithme de Metropolis, on part d'une
configuration donnée, et on lui fait subir une
modification aléatoire. Si cette modification fait
diminuer la fonction objectif (ou énergie du système),
elle est directement acceptée ;
Sinon, elle n'est acceptée qu'avec une probabilité égale
à 𝑒𝑥𝑝(∆𝐸/𝑇) (avec E=énergie, et T=température), cette
règle est appelée critère de Metropolis.

Principe
L’algorithme recuit simulé
Le recuit simulé applique itérativement l’algorithme de
Metropolis, pour engendrer une séquence de configurations
qui tendent vers l'équilibre thermodynamique :
1) Choisir une température de départ T=T0 et une solution
initiale S=S0.
2) générer une solution aléatoire dans le voisinage de la
solution actuelle.
3) comparer les deux solutions selon le critère de Metropolis.
4) répéter 2 et 3 jusqu'a ce que l'équilibre statistique soit
atteint.
5) décroitre la température et répéter jusqu'a ce que le
système soit gelé.

Principe
Dans un premier temps, T étant généralement choisi très
grand, beaucoup de solutions - même celles dégradant la
valeur de f - sont acceptées, et l'algorithme équivaut à une
visite aléatoire de l'espace des solutions. Mais à mesure que
la température baisse, la plupart des solutions augmentant
l'énergie sont refusés, et l'algorithme se ramène à une
amélioration itérative classique.
A température intermédiaire, l'algorithme autorise de temps
en temps des transformations qui dégradent la fonction
objectif. Il laisse ainsi une chance au système de s'extraire
d'un minima local.

Principe
Notons aussi que si la température est égale à 0, seules les
solutions optimisant f sont acceptées. L'algorithme se
comportera donc comme la méthode de la descente du
gradient.

Principe
Etat initial de l'algorithme
La solution initiale peut être prise au hasard dans
l'espace des solutions possibles, elle peut aussi être
générée par une heuristique classique, telle que la
descente du gradient ou l’algorithme glouton (dans le
cas du voyageur du commerce).
La température initiale doit être assez élevée, car c'est
elle qui fixe la probabilité d'accepter ou de refuser les
solutions défavorables à l'optimisation de la fonction f.

Principe
Variation de la temperature
Deux approches sont possibles pour décroitre la
température :
• Décroissance par paliers :
Pour chaque valeur de la température, on itère
l'algorithme de Metropolis jusqu'a atteindre un
équilibre statistique, puis on diminue la temperature.
• Décroissance continue :
On fait baisser la température d'une façon continue, le
plus courant est d'utiliser la loi suivante : 𝑇𝑖+1 = 𝛼. 𝑇𝑖 /
𝛼 < 1 (en génral 𝛼 = 0.9 à 0.99)

Avantages et inconvénients
Les avantages:
• Facile à implémenter.
• Donne généralement de bonnes
solutions par rapport aux algorithmes de
recherche classiques.

Avantages et inconvénients
Les inconvénients:
• Très coûteuse en temps de calcul.
• La difficulté de déterminer la
température initiale.
• Non-convergence vers l'optimum peut
se rencontrer assez vite.
• §L'impossibilité de savoir si la
solution trouvée est optimale.

Domaines d’applications :
• La conception des circuits intégrés (Kirkpatrick, et
al., 1988)(problème de placement et de
répartition)
• Le routage des paquets dans les réseaux
• La segmentation d'images
• Le problème du voyageur de commerce
• Et, le problème du sac à dos

Application
Le problème du voyageur
de commerce :
Le but est alors de trouver le circuit hamiltonien de
coût minimal dans un graphe.
L’énergie représentera la distance totale à parcourir,
et un état du système représentera le chemin entre
les villes.
L’algorithme va donc tenter de minimiser la longueur
totale du chemin, en modifiant l’ordre des villes à
parcourir.

Application
Un ensemble de villes (noeuds) reliés entre
eux par des routes (arcs)
Exemple :

Application
Exemple :
Le résultat obtenu en échangeant les sommets 2 et 3, la
distance totale a augmenté. Pour une heuristique classique
cette est solution est rejetée car la distance doit être
minimisée, mais le recuit simulé pourra l’accepter si la
température est encore élevée, et cette solution qui est «
mauvaise » par rapport à la première va lui permettre de
trouver une solution meilleure :

Nous avons vu que les heuristiques classiques
n'étaient pas très satisfaisantes pour résoudre les
problèmes d’optimisation, car les solutions
générées n’étaient pas de bonne qualité.
L’intelligence artificielle s’est donc tournée vers la
nature pour créer de nouvelles méthodes : plus
générales et plus efficaces.

 M. Gourgand, N. Grangeon et S.Norre ; « Problèmes D’ordonnancement Dans
Les Systèmes De Production De Type Flow-Shop Hybride En Contexte
Déterministe » ; J3eA, Journal sur l’enseignement des sciences et technologies de
l’information et des systèmes ; EDP Sciences, 2003.
 Algorithmes de minimisation Sébastien Charnoz & Adrian Daerr Université Paris
7 Denis Diderot CEA Sacla.
 Méthode du recuit simulé [Rapport] : complément TD/TP Recherche stochastique
/ aut. Olivier D.. – 2001.
 Optimization by Simulated Annealing [Article] / aut. Kirkpatrick, Gelatt et Vecchi
// Science,New Series. - 13 Mai 1988. - 4598. - pp. 671-680.
 Simulated Annealing [Rapport] / aut. LIACS / Natural Computing Group; Leiden
University. -2009.

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