Cuania Matematica Aplicada (3).pdf

1
Universidade Católica de Moçambique
Instituto de Educação à Distância
Exercícios Práticos
Nome: Luis Mário Cuania, Código No 708220380
Curso: Licenciatura em Administração Publica
Disciplina: Matemática A. Administração Publica
Ano de Frequência: 1º Ano
Pemba, Outubro, 2022

2
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Categorias Indicadores Padrões
Classificação
Pontuação
máxima
Nota
do
tutor
Subtotal
Estrutura
Aspectos
organizacionais
 Capa 0.5
 Índice 0.5
 Introdução 0.5
 Discussão 0.5
 Conclusão 0.5
 Bibliografia 0.5
Conteúdo
Introdução
 Contextualização
(Indicação clara do
problema)
1.0
 Descrição dos
objectivos
1.0
 Metodologia
adequada ao
objecto do
trabalho
2.0
Análise e
discussão
 Articulação e
domínio do
discurso
académico
(expressão escrita
cuidada, coerência
/ coesão textual)
2.0
 Revisão
bibliográfica
nacional e
internacionais
relevantes na área
de estudo
2.
 Exploração dos
dados
2.0
Conclusão
 Contributos
teóricos práticos
2.0
Aspectos
gerais
Formatação
 Paginação, tipo e
tamanho de letra,
paragrafo,
espaçamento
entre linhas
1.0
Referências
Bibliográficas
Normas APA 6ª
edição em
citações e
bibliografia
 Rigor e coerência
das
citações/referênci
as bibliográficas
4.0

3
Folha para recomendações de melhoria: A ser preenchida pelo tutor
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4
Exercicios Praticos
Sucessões
Segundo Ávila (1999), Sucessão é uma sequência de números que obedece a uma
determinada lei de formação a qual chamamos de termo geral da sucessão.
Exemplo de sucessão
an = (1,2,3,4,5…)
bn = (3,6,9,12,15…)
vn = (20,15,10,5,0,-5…)
𝑈𝑛 = (
1
2
;
1
4
;
1
8
;
1
10
… . . )
Em geral uma sucessão é dada na forma an = (a1, a2, a3, a4 …)
Onde:
 a1 é o primeiro termo (termo de ordem 1)
 a2 é o primeiro termo (termo de ordem 2)
 a3 é o terceiro termo (termo de ordem 3)
 a4 é o quarto termo (termo de ordem 4)
 an é o enésimo termo (termo de ordem n)
Ávila (1999),Termo geral de uma sucessão é uma expressão que nos permite conhecer
qualquer um dos termo conhecendo a ordem do termo.
Exemplo de termo geral
an = (1,2,3,4,5…) o termo geral é an= n
bn = (3,6,9,12,15…) o termo geral é bn= 3n
vn = (20,15,10,5,0,-5…) o termo geral é Vn=-5n +20
Un = (1,4,9,16…) o termo geral é Un= n²
Ministério da Educação e Desenvolvimento Humano - MEDH(s/d), a sucessão pode ser
Classificada em:

5
 Quanto ao limite;
 Quanto a monotonia;
 Quanto a convergência.
Sucessão limitada
Uma sucessão diz-se limitada se todos termos da sucessão estão compreendidos em
determinado intervalo a e b finito ou seja na sucessão temos um majorante (o maior
termo) e um minorante (o menor termo).(Ávila, 1999).
Exemplo;
an = (4,2,0,-2)
“Note; que a sucessão tem um inicio e um fim” (começa no 4 e termina no -2; o
majorante é o maior termo da sucessão; o majorante é na sucessão é 4; o minorante é o
menor termo da sucessão; o minorante é na sucessão é -2).
 Sucessão ilimitada
Uma sucessão diz-se ilimitada se os termos da sucessão são infinitos. Uma sucessão
ilimitada só tem majorante ou minorante e nunca majorante e minorante, (Ávila, 1999).
an = (1,2,3,4,5…)
“Note; que a sucessão tem um inicio mais não tem fim” (Começa no 1 e não termina; 1
é o minorante na sucessão).
 Sucessão crescente
Uma sucessão diz-se crescente quando na medida em que a ordem aumenta os termos
também vão crescendo.
U(n+1) >Un
U(n+1)– Un>0
Exemplos
sn = (13,16,19,21,35…)
 Sucessão decrescente

6
Uma sucessão é decrescente quando na medida em que a ordem aumenta os termos vão
decrescendo.
U(n+1)<Un
U(n+1)– Un>0
Exemplos:
fn = (40,36,33,21,15…)
xn = (-1,-7,-11,-21 …)
 Sucessão não crescente
Uma sucessão diz-se não crescente quando na medida que a ordem aumenta os termos
não crescem
U(n+1)≤ Un
U(n+1)– Un≤0
Exemplos:
on = (12,12,7,5,5,3…)
yn = (11,7,4,2…)
Nota; toda sucessão decrescente é não crescente mais nem toda sucessão não crescente é
decrescente
 Sucessão não decrescente
Uma sucessão diz-se não decrescente quando na medida em que a ordem aumenta os
termos não decrescem
U(n+1)≥ Un
U(n+1)– Un≥0
Exemplo
ln = (5,7,9,9,11…)

7
en = (1,6,11,16…)
Nota; toda sucessão crescente é não decrescente mais nem toda sucessão não
decrescente é crescente
 Sucessão constante
Uma sucessão diz-se constante quando os termos da sucessão são constante. (Ávila,
1999).
U1= U2=U3=U4=Un
Exemplo:
qn = (6,6,6,6,6…)
 Sucessão convergente
Uma sucessão é convergente se converge para um valor k ou seja o seu limite é um
valor numérico
Exemplo:
𝑈𝑛 = (
1
3
;
1
9
;
1
27
;
1
81
… . ) Converge para 0
𝑉
𝑛 =
7𝑛3+2𝑛
2𝑛3+3
Converge para
7
2
pois lim
𝑛→∞
7𝑛3+2𝑛
2𝑛3+3
=
7
2
 Sucessão divergente
Uma sucessão é divergente se ela não for convergente converge ou seja o não tem
limite.(MEDH, s/d).
Exemplo
dn = (12,9,7,5,3…)
𝑔𝑛 =
5𝑛2
− 8
4𝑛 + 9

8
Segundo Vuma (s/d), o termo “progressão” remete a um desenvolvimento gradual de
um processo ou uma sucessão. Em matemática, dizemos que esta sucessão é uma
sequência. Podemos exemplificar algumas sequências conhecidas:
 Sequência das eleições para presidente a partir de 1994: (1994, 1998, 2002,
2006, 2010, 2014, 2018);
 Sequência das edições copa do mundo a partir de 1990: (1990, 1994, ..., 2014,
2018);
 Sequência dos números naturais: (0, 1, 2, 3, 4, 5, ...)
Note que em todos os exemplos acima, as sequências são definidas por uma ordem em
seus elementos (também chamados de termos). Definimos o tamanho de uma sequência
pelo número de termos que ela possui, o que nos traz a possibilidade de que ela seja
infinita ou finita.
Segundo Dante (2011), na Matemática, caracterizamos a progressão como uma série
numérica de quantidades, ou seja, que ocorre de forma sucessiva, uma após a outra. Ela
sempre é estabelecida por uma lei de formação, que é uma fórmula matemática.
Existem dois tipos de progressão, a aritmética e a geométrica.
Segundo Dante (2011), na progressão aritmética (PA), cada termo a partir do segundo é
determinado pela soma do anterior por uma constante chamada de razão. Para
determinar os termos da sequência, aplica-se a seguinte fórmula:
an = a1 + (n – 1) . r
Onde:
an = n-ésimo termo da sequência
a1 = primeiro termo
n = posição do termo na sequência
r= razão
Ainda em relação a PA, temos a fórmula que fornece a soma dos n primeiro termos, que
é a seguinte:

9
𝑆𝑛 = 𝑛. (
𝑎1 + 𝑎𝑛
2
)
Onde:
Sn = soma dos n primeiros termos de uma PA
a1 = primeiro termo da sequência
Exemplo: Encontre o vigésimo termo da sequência (1, 3, 5, 7 . . .) e calcule a soma dos
20 primeiros termos.
Dados:
a1 = 1
r = 2 → Para descobrir r, observe a progressão. O próximo número é sempre o anterior
mais 2: 1 + 2 = 3; 3 + 2 = 5 …
n = 20
a20 = ?
Resolução:
an = a1 + (n – 1) . r
a20 = 1 + (20 – 1) . 2
a20 = 1 + (19) . 2
a20 = 1 + 38
a20 = 39
O vigésimo termo da sequência é o número 39.
𝑆𝑛 = 𝑛. (
𝑎1 + 𝑎𝑛
2
)

10
𝑆20 = 20. (
1 + 39
2
)
𝑆20 = 20. (
40
2
)
𝑆20 = 20 . 20
𝑆20 = 400
A soma dos vinte primeiros termos da sequência é 400.
Segundo Dante (2011), Já a progressão geométrica (PG) pode ser entendida como
qualquer sequência de números em que, a partir do segundo termo, a sequência é dada
por meio da multiplicação do termo anterior pela razão. Veja a fórmula:
𝑎𝑛 = 𝑎1 . 𝑞𝑛−1
Onde:
q = razão
n = posição do termo da sequência
Nessa progressão, também temos a fórmula da soma dos n primeiros termos, que é dada
por:
𝑆𝑛 =
𝑎1 . (𝑞𝑛
− 1)
𝑞 − 1
Onde:
Sn = soma dos n primeiros termos de um PG
q = razão

11
Exemplo: Determine o sexto termo da progressão geométrica (2, 6, 18, 54...) e, em
seguida, calcule a soma dos seis primeiros termos.
Para resolver esse exercício, devemos calcular a razão (q). Para isso, efectue as divisões:
6
2
= 3 ;
18
6
= 3 ;
54
18
= 3 ;
Com isso, verificamos que a razão da PG é 3. Sabendo que a1 = 2 e n = 6, substitua os
valores na fórmula:
𝑎𝑛 = 𝑎1 . 𝑞𝑛−1
𝑎6 = 𝑎1 . 𝑞𝑛−1
𝑎6 = 2 . 36−1
𝑎6 = 2 . 35
𝑎6 = 2 . 243
𝑎6 = 486
O sexto termo da PG é o número 486. Vamos agora calcular a soma dos seis primeiros
termos da sequência.
𝑆𝑛 =
𝑎1 . (𝑞𝑛
− 1)
𝑞 − 1
𝑆𝑛 =
2 . (36
− 1)
3 − 1
𝑆𝑛 =
2 . (729 − 1)
3 − 1
𝑆𝑛 =
2 . (728)
2
𝑆𝑛 =
1 456
2
𝑆𝑛 = 728
A soma dos seis primeiros termos da progressão geométrica é igual a 728.

12
Toda função é uma relação. Utilizando dois conjuntos A e B, a relação entre eles será
uma função se todos os elementos do primeiro conjunto estiver relacionado (ligado)
apenas com um elemento do segundo conjunto.(Vuma, s/d)
É uma função de IR em IR, ou seja, pertence ao conjunto dos números reais
f(x) = ax + b ou y= ax + b. (Vuma, s/d)
Onde a é o coeficiente de x e b é o termo constante.
Regra: a e b são números reais e a≠0
A formação de uma função do 1º grau é expressa da seguinte forma: y = ax + b, onde a
e b são números reais e a é diferente de 0.
A representação gráfica de uma função do 1º grau é uma reta. Analisando a lei de
formação y = ax + b, notamos a dependência entre x e y, e identificamos dois números:
a e b. Eles são os coeficientes da função, o valor de a indica se a função é crescente ou
decrescente e o valor de b indica o ponto de intersecção da função com o eixo y no
plano cartesiano. (Vuma, s/d)
Exemplos de funções do 1º grau
y = 4x + 2, a = 4 e b = 2
y = 5x – 9, a = 5 e b = –9
y = – 2x + 10, a = – 2 e b = 10
Para determinar a raiz ou o zero de uma função do 1º grau é preciso considerar y = 0.
De acordo com gráfico, no instante em que y assume valor igual a zero, a reta intersecta
o eixo x em um determinado ponto, determinando a raiz ou o zero da função.
Vamos determinar a raiz das funções a seguir:
y = 4x + 2
y = 0
4x + 2 = 0
4x = –2

13
x = –2/4
x = –1/2
A reta representada pela função y = 4x + 2 intersecta o eixo x no seguinte valor: –1/2
Uma função é dita do 2º grau quando é do tipo f(x) = ax2
+ bx + c , com a # 0.(Vuma,
s/d)
Exemplos:
f(x) = x2
- 2x + 1 ( a = 1 , b = -2 , c = 1 ) ;
y = - x2
( a = -1 , b = 0 , c = 0 )
Gráfico da função do 2º grau y = ax2 + bx + c : é sempre uma parábola de eixo vertical.
 Se a > 0 a parábola tem um ponto de mínimo;
 Se a < 0 a parábola tem um ponto de máximo;
 O vértice da parábola é o ponto V(xv ,yv) onde:
xv = - b/2ª
yv = - D /4a , onde D = b2
- 4ac
 A parábola intercepta o eixo dos x nos pontos de abcissas x' e x'' , que são as
raízes daequação ax2
+ bx + c = 0;
 A parábola intercepta o eixo dos y no ponto (0 , c);
 O eixo de simetria da parábola é uma reta vertical de equação x = - b/2a.;
 ymax = - D / 4a ( a < 0 );
 ymin = - D /4a ( a > 0 );
 Im(f) = { y Î R ; y ³ - D /4a } ( a > 0 );
 Im(f) = { y Î R ; y £ - D /4a} ( a < 0);
 Forma factorada: sendo x1 e x2 as raízes da de f(x) = ax2
+ bx + c , então ela
pode ser escrita na forma factorada a seguir :
y = a(x - x1).(x - x2)
1. Seja (𝑈𝑛) a sucessão definida por:

14
𝑈𝑛 = {
(−1)𝑛
𝑠𝑒 𝑛 ≤ 3
4𝑛−1
𝑛+3
𝑠𝑒 𝑛 > 3
Mostrando que a sucessao 𝑈𝑛 é limitada é:
𝑼𝒏 = (−𝟏)𝒏
𝒔𝒆 𝒏 ≤ 𝟑
𝑈𝑛 = (−1)𝑛
𝑈𝑛 = (−1)𝑛
𝑈𝑛 = (−1)𝑛
𝑈1 = (−1)1
𝑈2 = (−1)2
𝑈3 = (−1)3
𝑈1 = −1𝑈2 = 1𝑈3 = −1
𝑼𝒏 = [−𝟏; 𝟏; −𝟏]
𝑼𝒏 =
𝟒𝒏 − 𝟏
𝒏 + 𝟑
𝒔𝒆 𝒏 > 3
𝑼𝒏 =
𝟒𝒏 − 𝟏
𝒏 + 𝟑
𝑼𝒏 =
𝟒𝒏 − 𝟏
𝒏 + 𝟑
𝑼𝒏 =
𝟒𝒏 − 𝟏
𝒏 + 𝟑
𝑼𝟒 =
𝟒𝒙𝟒 − 𝟏
𝟒 + 𝟑
𝑼𝟓 =
𝟒𝒙𝟓 − 𝟏
𝟓 + 𝟑
𝑼𝟔 =
𝟒𝒙𝟔 − 𝟏
𝟔 + 𝟑
𝑼𝟒 =
𝟏𝟔 − 𝟏
𝟕
𝑼𝟓 =
𝟐𝟎 − 𝟏
𝟖
𝑼𝟔 =
𝟐𝟒 − 𝟏
𝟗
𝑼𝟒 =
𝟏𝟓
𝟕
𝑼𝟓 =
𝟏𝟗
𝟖
𝑼𝟔 =
𝟐𝟑
𝟗
𝑼𝒏 = [
𝟏𝟓
𝟕
;
𝟏𝟗
𝟖
;
𝟐𝟑
𝟗
… … … … … . [
A sucessão 𝑈𝑛 =
4𝑛−1
𝑛+3
não é limitada. Porque não conhecemos o seu majorante ou o
ultimo termo.
Considere uma progressão geométrica não monótona (𝑈𝑛).

15
Sabe-se que U3 =
1
12
e que U18 = 4x U20. Determinando uma expressão do termo
geral de (𝑈𝑛) é:
U3 =
1
12
⇔ 𝑈1𝑥 𝑟2
=
1
12
U18 = 4x U20 ⇔ U1 x 𝑟17
= 4x U1 𝑥 𝑟19
. .
Resolvendo, determinamos o valor do primeiro termo e da razão da
progressão:
𝑈1𝑥 𝑟2
=
1
12
U1 x 𝑟17
= 4x U1 𝑥 𝑟19
.
𝑈1 =
1
12
÷ 𝑟2 𝟏
𝟏𝟐𝒓𝟐
x 𝑟17
= 4x
𝟏
𝟏𝟐𝒓𝟐
𝑥 𝑟19
.
𝑼𝟏 =
𝟏
𝟏𝟐𝒓𝟐 𝒓𝟐
= ±√
𝟏
𝟒
⇔ 𝒓 < 0
𝑈1 =
1
12
𝑥 (−
1
2
) 2𝑟 = −
1
2
⇔ 𝑈1 =
1
3
𝑟 = −
1
2
Assim, temos que a expressão do termo geral na forma 𝑎 𝑥 𝑏𝑛
, é:
𝑈𝑛 =
1
3
𝑥 (–
1
2
) 𝑛 − 1 =
1
3
𝑥 (–
1
2
) 𝑛 𝑥 (–
1
2
) − 1
𝑈𝑛 =
1
3
𝑥 (–
1
2
) 𝑛 𝑥 (−2)
𝑼𝒏 = −
𝟐
𝟑
𝒙 (–
𝟏
𝟐
) 𝒏
Dado o gráfico abaixo obtendo as funções representadas por r e s é:
Primeiro vamos determinar a função representada pela recta s:

16
A rectas passa pelos pontos (2,7) e (5,-1). Podemosresolver o
determinante|
𝑥 𝑦 1
2 7 1
5 −1 1
| = 0e encontrar a equação geral da recta dada por8𝑥 + 3𝑦 −
37 = 0, e isolando y obtém-se𝒚 = −
𝟖
𝟑
𝒙 +
𝟑𝟕
𝟑
.Esta função, como mostra o seu
gráfico, é uma função decrescente, ou seja, à medida que x cresce o
ydecresce. A recta tem coeficiente angular negativo.
A outra forma de determinar a função (ou a equação da recta que a
representa) é usar a expressão y=ax+b, na qual substituímos os pontos(2,7)
e (5,-1) e resolvemos o sistema:
{
7 = 2𝑎 + 𝑏
−1 = 5𝑎 + 𝑏
⟹ {
−𝑏 = 2𝑎 − 7
________________
⟹ {
𝑏 = −2𝑎 + 7
_______________
{
−
−1 = 5𝑎 + (−2𝑎 + 7) ⟹ {
−
−1 = 5𝑎 − 2𝑎 + 7 ⟹ {
−
−1 = 3𝑎 + 7
⟹ {
−
−1 − 7 = 3𝑎 ⟹ {
−
−8 = 3𝑎 ⟹ {
−
−
8
3
= 𝑎 ⟹ {
−
𝑎 = −
8
3
⟹ {𝑏 = −2𝑥 (−
8
3
) + 7
−
⟹ {𝑏 =
16
3
+ 7
−
⟹ {
𝒃 =
𝟑𝟕
𝟑
𝒂 = −
𝟖
𝟑
De maneira semelhante determinamos a rectar que passa por (-1,1) e (6,3), cuja função
é dada por𝒚 = −
𝟐
𝟕
𝒙 +
𝟗
𝟕
.
Sendo uma função crescente, ou seja, à medida que x cresce o y também
cresce. A recta que representa a função tem coeficiente angular positivo (
𝟐
𝟕
)
e linear igual a
𝟗
𝟕
..
{
1 = −1𝑎 + 𝑏
3 = 6𝑎 + 𝑏
⟹ {
𝑎 = 𝑏 − 1
________________
⟹ {
−
3 = 6(𝑏 − 1) + 𝑏

17
{
−
3 = 6𝑏 − 6 + 𝑏 ⟹ {
−
3 + 6 = 6𝑏 + 𝑏 ⟹ {
−
9 = 7𝑏 ⟹ {
−
9
7
= 𝑏 ⟹ {
−
𝑏 =
9
7
⟹ {𝑎 =
9
7
− 1
−
⟹ {𝑎 =
9 − 7
7
−
⟹ {
𝒂 =
𝟐
𝟕
𝒃 = −
𝟗
𝟕
Considerando a função de variável real 𝑓(𝑥) =
3𝑥+8
2
. O valor de 𝑓−1
(10) é:
Primeiro vamos calcular a função inversa de f(x)
Para calcularmos a função inversa 𝑓−1
(𝑥), primeiramente temos que trocar o x pelo y e,
depois, isolar o u. assim:
𝑓(𝑥) =
3𝑥 + 8
2
𝑓−1(𝑥) =
3𝑦 + 8
2
𝑥 =
3𝑦 + 8
2
2𝑥 = 3𝑦 + 8
2𝑥 − 8 = 3𝑦
3𝑦 = 2𝑥 − 8
𝒚 =
𝟐𝒙 − 𝟖
𝟑
Essa é a função inversa.
𝒇−𝟏
(𝒙) =
𝟐𝒙 − 𝟖
𝟑
Agora, basta substituirmos x por 10 nessa função.
𝑓−1
(𝑥) =
2𝑥 − 8
3
𝑓−1
(10) =
2.10 − 8
3

18
𝑓−1
(10) =
20 − 8
3
𝑓−1
(10) =
12
3
𝒇−𝟏
(𝟏𝟎) = 𝟒
Oferta: P=0,3x+6 e Demanda: P=15-0,2x. Se o Governo tabelar o preço de venda em
9,00 MT por unidade, as unidades que ademanda excederá a oferta é:
Se P=9,00 e substituindo na equação da oferta P=0,3x+6
𝑃 = 0,3𝑥 + 6
9 = 0,3𝑥 + 6
9 − 6 = 0,3𝑥
3 = 0,3𝑥
3
0,3
= 𝑥
10 = 𝑥
𝑥 = 10
Se P=9,00 e substituindo na equação da demanda𝑃 = 15 − 0,2𝑥
9 = 15 − 0,2𝑥
9 − 15 = −0,2𝑥
−6 = −0,2𝑥
−6
−0,2
= 𝑥
30 = 𝑥
𝑥 = 30
Portanto 30 − 10 = 20

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