Fuzzy Basis Functions for Modeling Nonlinear Dynamics
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- O documento discute funções de base nebulosas (FBFs) para modelagem de sistemas não-lineares, definindo FBFs como combinações lineares de funções de pertinência e discutindo suas propriedades e estimação. - Apresenta um exemplo numérico onde FBFs são usadas para modelar a dinâmica de um oscilador não-linear caótico. - Discutem aplicações potenciais de FBFs em outros sistemas dinâmicos complexos como motilidade celular e comportamento de myxobactérias.
![Funções de Base Nebulosas e Modelagem de Dinâmica Não-Linear Trabalho final da disciplina “Sistemas Nebulosos” 20/julho, 2004 Centro de Pesquisa e Desenvolvimento em Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais Modelagem, Análise e Controle de Sistemas Não-Lineares – MACSIN ‡ [email_address]](https://image.slidesharecdn.com/apresentacaofuzzy-090508162719-phpapp01/85/Fuzzy-Basis-Functions-for-Modeling-Nonlinear-Dynamics-1-320.jpg)
Fuzzy Basis Functions for Modeling Nonlinear Dynamics
- 1. Funções de Base Nebulosas e Modelagem de Dinâmica Não-Linear Trabalho final da disciplina “Sistemas Nebulosos” 20/julho, 2004 Centro de Pesquisa e Desenvolvimento em Engenharia Elétrica Universidade Federal de Minas Gerais Modelagem, Análise e Controle de Sistemas Não-Lineares – MACSIN ‡ [email_address]
- 2. Sumário Funções de Base Nebulosas (FBFs): Definição; FBFs: Considerações; FBFs: Estimação; Exemplo Numérico: Modelagem de Dinâmica Não-Linear; Continuidade.
- 3. Funções de Base Nebulosas (FBFs) Considere sistemas nebulosos MISO caracterizados por uma base de regras do tipo R j : SE x 1 é A 1 j e x 2 é A 2 j e ... e ... x n é A n j ENTÃO z é B j A i j : A i j (x i ); B j = B j (z) = j ( singleton nebuloso) i = 1,2,...,n: número de variáveis de entrada j = 1,2,...,M: número de regras • A saída do sistema será dada pela função (inferência: produto)
- 4. Funções de Base Nebulosas (FBFs) Se considerarmos uma função de base nebulosa (FBF) , será dada por uma combinação linear do tipo (Expansão em uma base de funções nebulosas) Pseudo-FBF para R j (Construção da base multidimensional: produto tensorial normalizado)
- 5. FBFs: Considerações Funções de pertinência empregadas na expansão: gaussianas Propriedades Aproximação universal : Wang, L.-X. & Mendel, J.M. (1992). Fuzzy basis functions, universal approximation and orthogonal least-squares learning. IEEE Transactions on Neural Networks, vol. 30, no. 5. FBFs podem ser definidas a priori (regras lingüísticas) ou selecionadas (automaticamente) a partir de exemplos (dados) do problema. Propriedades de localização e globalidade
- 6. FBFs: Estimação Otimização não-linear de todos os parâmetros (gradiente descendente) ou ... Fixados os parâmetros das funções de base (parâmetros das funções de pertinência, e.g., centros e dispersões das gaussianas), o sistema será linear nos parâmetros j . Exemplo: Orthogonal Forward Routine (OFR) – OLS com detecção de estrutura Regressão linear: P (matriz com M regressores candidatos) pode ser definida como um subconjunto dos dados (e.g, M = N) Ortogonalização de P (e.g., Gram-Schmidt clássico) Taxa de redução de erro :
- 7. Exemplo Numérico: Modelagem de Dinâmica Não-Linear Simulação de um oscilador não-linear (forçado): Duffing-Holmes Para o oscilador exibe comportamento caótico. Dados de estimação (1500 amostras): T i = /3000; T s = /60 s. Sistemas nebulosos em modelagem e análise de dinâmica não-linear: literatura
- 8. Exemplo Numérico Modelos FBF (300 candidatos igualmente espaçados no tempo ) Modelo I: Dimensão de imersão = 3; 20 funções de base no modelo final (dispersão = 0,5) Exemplo Numérico: Modelagem de Dinâmica Não-Linear
- 9. Motilidade: Formação de Padrões Exemplo Numérico: Modelagem de Dinâmica Não-Linear T p = 200x /3000 T p = 4x /60
- 10. Comportamentos mais complexos: Myxobactéria Exemplo Numérico: Modelagem de Dinâmica Não-Linear
- 11. Inspiração: Otimização – Um Modelo Exemplo Numérico: Modelagem de Dinâmica Não-Linear
- 12. Inspiração: Otimização – Um Modelo Exemplo Numérico: Modelagem de Dinâmica Não-Linear Modelo II: 33 funções de base no modelo final (dispersão = 0,5), 7 “manualmente” incluídas nas proximidades do ponto fixo trivial
- 13. Continuidade Paralelo entre funções de base nebulosas e radiais (e.g., com aplicações em representação de dinâmica não-linear); Extensão de resultados disponíveis para RBFs (e.g., imposição de simetria e localização de pontos fixos); Ruído; Maior flexibilidade na geração de candidatos (e.g., diferentes MFs na FBF, diferenças entre o número de variáveis por FBF, ...); Outros métodos para detecção de estrutura ( subset selection : construtivos, destrutivos, all-combination , ...).