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X2 T01 04 mod arg relations (2011)

N
Nigel Simmons

O documento apresenta a prova de que: 1) O argumento da multiplicação de números complexos z1 e z2 é igual à soma dos argumentos de z1 e z2 2) O argumento da razão entre números complexos z1 e z2 é igual à diferença entre os argumentos de z1 e z2 3) Estes resultados podem ser generalizados para a multiplicação e razão de qualquer número finito de números complexos

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Mod-Arg Relations
Mod-Arg Relations 1 z1 z2  z1 z2
Mod-Arg Relations 1 z1 z2  z1 z2 arg z1 z 2   arg z1  arg z 2
Mod-Arg Relations 1 z1 z2  z1 z2 arg z1 z 2   arg z1  arg z 2 Proof:
Mod-Arg Relations 1 z1 z2  z1 z2 arg z1 z 2   arg z1  arg z 2 Proof: let z1  r1cis1 and z 2  r2 cis 2
Mod-Arg Relations 1 z1 z2  z1 z2 arg z1 z 2   arg z1  arg z 2 Proof: let z1  r1cis1 and z 2  r2 cis 2 z1 z 2  r1 cos1  i sin 1   r2 cos 2  i sin  2 
Mod-Arg Relations 1 z1 z2  z1 z2 arg z1 z 2   arg z1  arg z 2 Proof: let z1  r1cis1 and z 2  r2 cis 2 z1 z 2  r1 cos1  i sin 1   r2 cos 2  i sin  2   r1r2 cos1 cos 2  i sin 1 cos 2  i cos1 sin  2  sin 1 sin  2 
Mod-Arg Relations 1 z1 z2  z1 z2 arg z1 z 2   arg z1  arg z 2 Proof: let z1  r1cis1 and z 2  r2 cis 2 z1 z 2  r1 cos1  i sin 1   r2 cos 2  i sin  2   r1r2 cos1 cos 2  i sin 1 cos 2  i cos1 sin  2  sin 1 sin  2   r1r2 cos1 cos 2  sin 1 sin  2   i sin 1 cos 2  cos1 sin  2 
Mod-Arg Relations 1 z1 z2  z1 z2 arg z1 z 2   arg z1  arg z 2 Proof: let z1  r1cis1 and z 2  r2 cis 2 z1 z 2  r1 cos1  i sin 1   r2 cos 2  i sin  2   r1r2 cos1 cos 2  i sin 1 cos 2  i cos1 sin  2  sin 1 sin  2   r1r2 cos1 cos 2  sin 1 sin  2   i sin 1 cos 2  cos1 sin  2   r1r2 cos1   2   i sin 1   2 
Mod-Arg Relations 1 z1 z2  z1 z2 arg z1 z 2   arg z1  arg z 2 Proof: let z1  r1cis1 and z 2  r2 cis 2 z1 z 2  r1 cos1  i sin 1   r2 cos 2  i sin  2   r1r2 cos1 cos 2  i sin 1 cos 2  i cos1 sin  2  sin 1 sin  2   r1r2 cos1 cos 2  sin 1 sin  2   isin 1 cos 2  cos1 sin  2   r1r2 cos1   2   i sin 1   2   z1 z 2  r1r2  z1 z 2
Mod-Arg Relations 1 z1 z2  z1 z2 arg z1 z 2   arg z1  arg z 2 Proof: let z1  r1cis1 and z 2  r2 cis 2 z1 z 2  r1 cos1  i sin 1   r2 cos 2  i sin  2   r1r2 cos1 cos 2  i sin 1 cos 2  i cos1 sin  2  sin 1 sin  2   r1r2 cos1 cos 2  sin 1 sin  2   isin 1 cos 2  cos1 sin  2   r1r2 cos1   2   i sin 1   2   z1 z 2  r1r2 arg z1 z 2   1   2  z1 z 2  arg z1  arg z 2
Mod-Arg Relations 1 z1 z2  z1 z2 arg z1 z 2   arg z1  arg z 2 Proof: let z1  r1cis1 and z 2  r2 cis 2 z1 z 2  r1 cos1  i sin 1   r2 cos 2  i sin  2   r1r2 cos1 cos 2  i sin 1 cos 2  i cos1 sin  2  sin 1 sin  2   r1r2 cos1 cos 2  sin 1 sin  2   isin 1 cos 2  cos1 sin  2   r1r2 cos1   2   i sin 1   2   z1 z 2  r1r2 arg z1 z 2   1   2  z1 z 2  arg z1  arg z 2 NOTE: it follows that;
Mod-Arg Relations 1 z1 z2  z1 z2 arg z1 z 2   arg z1  arg z 2 Proof: let z1  r1cis1 and z 2  r2 cis 2 z1 z 2  r1 cos1  i sin 1   r2 cos 2  i sin  2   r1r2 cos1 cos 2  i sin 1 cos 2  i cos1 sin  2  sin 1 sin  2   r1r2 cos1 cos 2  sin 1 sin  2   isin 1 cos 2  cos1 sin  2   r1r2 cos1   2   i sin 1   2   z1 z 2  r1r2 arg z1 z 2   1   2  z1 z 2  arg z1  arg z 2 NOTE: it follows that; z1 z 2 z3  z n  z1 z 2 z3  z n
Mod-Arg Relations 1 z1 z2  z1 z2 arg z1 z 2   arg z1  arg z 2 Proof: let z1  r1cis1 and z 2  r2 cis 2 z1 z 2  r1 cos1  i sin 1   r2 cos 2  i sin  2   r1r2 cos1 cos 2  i sin 1 cos 2  i cos1 sin  2  sin 1 sin  2   r1r2 cos1 cos 2  sin 1 sin  2   isin 1 cos 2  cos1 sin  2   r1r2 cos1   2   i sin 1   2   z1 z 2  r1r2 arg z1 z 2   1   2  z1 z 2  arg z1  arg z 2 NOTE: it follows that; z1 z 2 z3  z n  z1 z 2 z3  z n arg z1 z 2 z3  z n   arg z1  arg z 2  arg z3    arg z n
z1 z1 2   z2 z2
z1 z1 2   z2 z2 z  arg 1   arg z1  arg z 2  z2 
z1 z1 2   z2 z2 z  arg 1   arg z1  arg z 2 Proof:  z2 
z1 z1 2   z2 z2 z  arg 1   arg z1  arg z 2 Proof:  z2  z1 r1 cos1  i sin 1  cos 2  i sin  2   z 2 r2 cos 2  i sin  2  cos 2  i sin  2
z1 z1 2   z2 z2 z  arg 1   arg z1  arg z 2 Proof:  z2  z1 r1 cos1  i sin 1  cos 2  i sin  2   z 2 r2 cos 2  i sin  2  cos 2  i sin  2 r1  cos1 cos 2  i sin 1 cos 2  i cos1 sin  2  sin 1 sin  2     r2  cos  2  sin  2 2 2 
z1 z1 2   z2 z2 z  arg 1   arg z1  arg z 2 Proof:  z2  z1 r1 cos1  i sin 1  cos 2  i sin  2   z 2 r2 cos 2  i sin  2  cos 2  i sin  2 r1  cos1 cos 2  i sin 1 cos 2  i cos1 sin  2  sin 1 sin  2     r2  cos  2  sin  2 2 2  r1  cos1 cos 2  sin 1 sin  2   isin 1 cos 2  cos1 sin  2  r2
z1 z1 2   z2 z2 z  arg 1   arg z1  arg z 2 Proof:  z2  z1 r1 cos1  i sin 1  cos 2  i sin  2   z 2 r2 cos 2  i sin  2  cos 2  i sin  2 r1  cos1 cos 2  i sin 1 cos 2  i cos1 sin  2  sin 1 sin  2     r2  cos  2  sin  2 2 2  r1  cos1 cos 2  sin 1 sin  2   isin 1 cos 2  cos1 sin  2  r2 r1  cos1   2   i sin 1   2  r2
z1 z1 2   z2 z2 z  arg 1   arg z1  arg z 2 Proof:  z2  z1 r1 cos1  i sin 1  cos 2  i sin  2   z 2 r2 cos 2  i sin  2  cos 2  i sin  2 r1  cos1 cos 2  i sin 1 cos 2  i cos1 sin  2  sin 1 sin  2     r2  cos  2  sin  2 2 2  r1  cos1 cos 2  sin 1 sin  2   isin 1 cos 2  cos1 sin  2  r2 r1  cos1   2   i sin 1   2  z1 r1 r2   z 2 r2 z1  z2
z1 z1 2   z2 z2 z  arg 1   arg z1  arg z 2 Proof:  z2  z1 r1 cos1  i sin 1  cos 2  i sin  2   z 2 r2 cos 2  i sin  2  cos 2  i sin  2 r1  cos1 cos 2  i sin 1 cos 2  i cos1 sin  2  sin 1 sin  2     r2  cos  2  sin  2 2 2  r1  cos1 cos 2  sin 1 sin  2   isin 1 cos 2  cos1 sin  2  r2 r1  cos1   2   i sin 1   2  z1 r1 r2   z 2 r2  z1  arg   1   2 z1  z2    arg z1  arg z 2 z2
NOTE: it follows that;
NOTE: it follows that; z1 z 2 z1 z 2  z3 z 4 z3 z 4
NOTE: it follows that; z1 z 2 z1 z 2  z3 z 4 z3 z 4 z z  arg 1 2   arg z1  arg z 2  arg z3  arg z 4 z z   3 4
NOTE: it follows that; z1 z 2 z1 z 2  z3 z 4 z3 z 4 z z  arg 1 2   arg z1  arg z 2  arg z3  arg z 4 z z   3 4 3 z  z n n
NOTE: it follows that; z1 z 2 z1 z 2  z3 z 4 z3 z 4 z z  arg 1 2   arg z1  arg z 2  arg z3  arg z 4 z z   3 4 3 z  z n n argz n   n arg z
NOTE: it follows that; z1 z 2 z1 z 2  z3 z 4 z3 z 4 z z  arg 1 2   arg z1  arg z 2  arg z3  arg z 4 z z   3 4 3 z  z n n argz n   n arg z 5  i  2  i  e.g. Find the modulus and argument of z  3  2i
NOTE: it follows that; z1 z 2 z1 z 2  z3 z 4 z3 z 4 z z  arg 1 2   arg z1  arg z 2  arg z3  arg z 4 z z   3 4 3 z  z n n argz n   n arg z 5  i  2  i  e.g. Find the modulus and argument of z  3  2i 5  1  2    1 2 2 2 2 z 32  2 2
NOTE: it follows that; z1 z 2 z1 z 2  z3 z 4 z3 z 4 z z  arg 1 2   arg z1  arg z 2  arg z3  arg z 4 z z   3 4 3 z  z n n argz n   n arg z 5  i  2  i  e.g. Find the modulus and argument of z  3  2i 5  1  2    1 2 2 2 2 z 32  2 2 26 5  13
NOTE: it follows that; z1 z 2 z1 z 2  z3 z 4 z3 z 4 z z  arg 1 2   arg z1  arg z 2  arg z3  arg z 4 z z   3 4 3 z  z n n argz n   n arg z 5  i  2  i  e.g. Find the modulus and argument of z  3  2i 5  1  2    1 2 2 2 2 z 32  2 2 26 5  13  10
NOTE: it follows that; z1 z 2 z1 z 2  z3 z 4 z3 z 4 z z  arg 1 2   arg z1  arg z 2  arg z3  arg z 4 z z   3 4 3 z  z n n argz n   n arg z 5  i  2  i  e.g. Find the modulus and argument of z  3  2i 5  1  2    1 2 2 2 2 z 1  1  1   1  1  2  32  2 2 arg z  tan    tan    tan   26 5 5   2  3  13  10
NOTE: it follows that; z1 z 2 z1 z 2  z3 z 4 z3 z 4 zz  arg 1 2   arg z1  arg z 2  arg z3  arg z 4 z z   3 4 3 z  z n n argz n   n arg z 5  i  2  i  e.g. Find the modulus and argument of z  3  2i 5  1  2    1 2 2 2 2 z 1  1  1   1  1  2  32  2 2 arg z  tan    tan    tan   5   2  3  1119   153 26  33 41 26 5  13  10  175 48
Exercise 4B; evens Exercise 4C; 1 to 10 evens, 12 to 15 all

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X2 T01 04 mod arg relations (2011)

  • 2. Mod-Arg Relations 1 z1 z2  z1 z2
  • 3. Mod-Arg Relations 1 z1 z2  z1 z2 arg z1 z 2   arg z1  arg z 2
  • 4. Mod-Arg Relations 1 z1 z2  z1 z2 arg z1 z 2   arg z1  arg z 2 Proof:
  • 5. Mod-Arg Relations 1 z1 z2  z1 z2 arg z1 z 2   arg z1  arg z 2 Proof: let z1  r1cis1 and z 2  r2 cis 2
  • 6. Mod-Arg Relations 1 z1 z2  z1 z2 arg z1 z 2   arg z1  arg z 2 Proof: let z1  r1cis1 and z 2  r2 cis 2 z1 z 2  r1 cos1  i sin 1   r2 cos 2  i sin  2 
  • 7. Mod-Arg Relations 1 z1 z2  z1 z2 arg z1 z 2   arg z1  arg z 2 Proof: let z1  r1cis1 and z 2  r2 cis 2 z1 z 2  r1 cos1  i sin 1   r2 cos 2  i sin  2   r1r2 cos1 cos 2  i sin 1 cos 2  i cos1 sin  2  sin 1 sin  2 
  • 8. Mod-Arg Relations 1 z1 z2  z1 z2 arg z1 z 2   arg z1  arg z 2 Proof: let z1  r1cis1 and z 2  r2 cis 2 z1 z 2  r1 cos1  i sin 1   r2 cos 2  i sin  2   r1r2 cos1 cos 2  i sin 1 cos 2  i cos1 sin  2  sin 1 sin  2   r1r2 cos1 cos 2  sin 1 sin  2   i sin 1 cos 2  cos1 sin  2 
  • 9. Mod-Arg Relations 1 z1 z2  z1 z2 arg z1 z 2   arg z1  arg z 2 Proof: let z1  r1cis1 and z 2  r2 cis 2 z1 z 2  r1 cos1  i sin 1   r2 cos 2  i sin  2   r1r2 cos1 cos 2  i sin 1 cos 2  i cos1 sin  2  sin 1 sin  2   r1r2 cos1 cos 2  sin 1 sin  2   i sin 1 cos 2  cos1 sin  2   r1r2 cos1   2   i sin 1   2 
  • 10. Mod-Arg Relations 1 z1 z2  z1 z2 arg z1 z 2   arg z1  arg z 2 Proof: let z1  r1cis1 and z 2  r2 cis 2 z1 z 2  r1 cos1  i sin 1   r2 cos 2  i sin  2   r1r2 cos1 cos 2  i sin 1 cos 2  i cos1 sin  2  sin 1 sin  2   r1r2 cos1 cos 2  sin 1 sin  2   isin 1 cos 2  cos1 sin  2   r1r2 cos1   2   i sin 1   2   z1 z 2  r1r2  z1 z 2
  • 11. Mod-Arg Relations 1 z1 z2  z1 z2 arg z1 z 2   arg z1  arg z 2 Proof: let z1  r1cis1 and z 2  r2 cis 2 z1 z 2  r1 cos1  i sin 1   r2 cos 2  i sin  2   r1r2 cos1 cos 2  i sin 1 cos 2  i cos1 sin  2  sin 1 sin  2   r1r2 cos1 cos 2  sin 1 sin  2   isin 1 cos 2  cos1 sin  2   r1r2 cos1   2   i sin 1   2   z1 z 2  r1r2 arg z1 z 2   1   2  z1 z 2  arg z1  arg z 2
  • 12. Mod-Arg Relations 1 z1 z2  z1 z2 arg z1 z 2   arg z1  arg z 2 Proof: let z1  r1cis1 and z 2  r2 cis 2 z1 z 2  r1 cos1  i sin 1   r2 cos 2  i sin  2   r1r2 cos1 cos 2  i sin 1 cos 2  i cos1 sin  2  sin 1 sin  2   r1r2 cos1 cos 2  sin 1 sin  2   isin 1 cos 2  cos1 sin  2   r1r2 cos1   2   i sin 1   2   z1 z 2  r1r2 arg z1 z 2   1   2  z1 z 2  arg z1  arg z 2 NOTE: it follows that;
  • 13. Mod-Arg Relations 1 z1 z2  z1 z2 arg z1 z 2   arg z1  arg z 2 Proof: let z1  r1cis1 and z 2  r2 cis 2 z1 z 2  r1 cos1  i sin 1   r2 cos 2  i sin  2   r1r2 cos1 cos 2  i sin 1 cos 2  i cos1 sin  2  sin 1 sin  2   r1r2 cos1 cos 2  sin 1 sin  2   isin 1 cos 2  cos1 sin  2   r1r2 cos1   2   i sin 1   2   z1 z 2  r1r2 arg z1 z 2   1   2  z1 z 2  arg z1  arg z 2 NOTE: it follows that; z1 z 2 z3  z n  z1 z 2 z3  z n
  • 14. Mod-Arg Relations 1 z1 z2  z1 z2 arg z1 z 2   arg z1  arg z 2 Proof: let z1  r1cis1 and z 2  r2 cis 2 z1 z 2  r1 cos1  i sin 1   r2 cos 2  i sin  2   r1r2 cos1 cos 2  i sin 1 cos 2  i cos1 sin  2  sin 1 sin  2   r1r2 cos1 cos 2  sin 1 sin  2   isin 1 cos 2  cos1 sin  2   r1r2 cos1   2   i sin 1   2   z1 z 2  r1r2 arg z1 z 2   1   2  z1 z 2  arg z1  arg z 2 NOTE: it follows that; z1 z 2 z3  z n  z1 z 2 z3  z n arg z1 z 2 z3  z n   arg z1  arg z 2  arg z3    arg z n
  • 15. z1 z1 2   z2 z2
  • 16. z1 z1 2   z2 z2 z  arg 1   arg z1  arg z 2  z2 
  • 17. z1 z1 2   z2 z2 z  arg 1   arg z1  arg z 2 Proof:  z2 
  • 18. z1 z1 2   z2 z2 z  arg 1   arg z1  arg z 2 Proof:  z2  z1 r1 cos1  i sin 1  cos 2  i sin  2   z 2 r2 cos 2  i sin  2  cos 2  i sin  2
  • 19. z1 z1 2   z2 z2 z  arg 1   arg z1  arg z 2 Proof:  z2  z1 r1 cos1  i sin 1  cos 2  i sin  2   z 2 r2 cos 2  i sin  2  cos 2  i sin  2 r1  cos1 cos 2  i sin 1 cos 2  i cos1 sin  2  sin 1 sin  2     r2  cos  2  sin  2 2 2 
  • 20. z1 z1 2   z2 z2 z  arg 1   arg z1  arg z 2 Proof:  z2  z1 r1 cos1  i sin 1  cos 2  i sin  2   z 2 r2 cos 2  i sin  2  cos 2  i sin  2 r1  cos1 cos 2  i sin 1 cos 2  i cos1 sin  2  sin 1 sin  2     r2  cos  2  sin  2 2 2  r1  cos1 cos 2  sin 1 sin  2   isin 1 cos 2  cos1 sin  2  r2
  • 21. z1 z1 2   z2 z2 z  arg 1   arg z1  arg z 2 Proof:  z2  z1 r1 cos1  i sin 1  cos 2  i sin  2   z 2 r2 cos 2  i sin  2  cos 2  i sin  2 r1  cos1 cos 2  i sin 1 cos 2  i cos1 sin  2  sin 1 sin  2     r2  cos  2  sin  2 2 2  r1  cos1 cos 2  sin 1 sin  2   isin 1 cos 2  cos1 sin  2  r2 r1  cos1   2   i sin 1   2  r2
  • 22. z1 z1 2   z2 z2 z  arg 1   arg z1  arg z 2 Proof:  z2  z1 r1 cos1  i sin 1  cos 2  i sin  2   z 2 r2 cos 2  i sin  2  cos 2  i sin  2 r1  cos1 cos 2  i sin 1 cos 2  i cos1 sin  2  sin 1 sin  2     r2  cos  2  sin  2 2 2  r1  cos1 cos 2  sin 1 sin  2   isin 1 cos 2  cos1 sin  2  r2 r1  cos1   2   i sin 1   2  z1 r1 r2   z 2 r2 z1  z2
  • 23. z1 z1 2   z2 z2 z  arg 1   arg z1  arg z 2 Proof:  z2  z1 r1 cos1  i sin 1  cos 2  i sin  2   z 2 r2 cos 2  i sin  2  cos 2  i sin  2 r1  cos1 cos 2  i sin 1 cos 2  i cos1 sin  2  sin 1 sin  2     r2  cos  2  sin  2 2 2  r1  cos1 cos 2  sin 1 sin  2   isin 1 cos 2  cos1 sin  2  r2 r1  cos1   2   i sin 1   2  z1 r1 r2   z 2 r2  z1  arg   1   2 z1  z2    arg z1  arg z 2 z2
  • 25. NOTE: it follows that; z1 z 2 z1 z 2  z3 z 4 z3 z 4
  • 26. NOTE: it follows that; z1 z 2 z1 z 2  z3 z 4 z3 z 4 z z  arg 1 2   arg z1  arg z 2  arg z3  arg z 4 z z   3 4
  • 27. NOTE: it follows that; z1 z 2 z1 z 2  z3 z 4 z3 z 4 z z  arg 1 2   arg z1  arg z 2  arg z3  arg z 4 z z   3 4 3 z  z n n
  • 28. NOTE: it follows that; z1 z 2 z1 z 2  z3 z 4 z3 z 4 z z  arg 1 2   arg z1  arg z 2  arg z3  arg z 4 z z   3 4 3 z  z n n argz n   n arg z
  • 29. NOTE: it follows that; z1 z 2 z1 z 2  z3 z 4 z3 z 4 z z  arg 1 2   arg z1  arg z 2  arg z3  arg z 4 z z   3 4 3 z  z n n argz n   n arg z 5  i  2  i  e.g. Find the modulus and argument of z  3  2i
  • 30. NOTE: it follows that; z1 z 2 z1 z 2  z3 z 4 z3 z 4 z z  arg 1 2   arg z1  arg z 2  arg z3  arg z 4 z z   3 4 3 z  z n n argz n   n arg z 5  i  2  i  e.g. Find the modulus and argument of z  3  2i 5  1  2    1 2 2 2 2 z 32  2 2
  • 31. NOTE: it follows that; z1 z 2 z1 z 2  z3 z 4 z3 z 4 z z  arg 1 2   arg z1  arg z 2  arg z3  arg z 4 z z   3 4 3 z  z n n argz n   n arg z 5  i  2  i  e.g. Find the modulus and argument of z  3  2i 5  1  2    1 2 2 2 2 z 32  2 2 26 5  13
  • 32. NOTE: it follows that; z1 z 2 z1 z 2  z3 z 4 z3 z 4 z z  arg 1 2   arg z1  arg z 2  arg z3  arg z 4 z z   3 4 3 z  z n n argz n   n arg z 5  i  2  i  e.g. Find the modulus and argument of z  3  2i 5  1  2    1 2 2 2 2 z 32  2 2 26 5  13  10
  • 33. NOTE: it follows that; z1 z 2 z1 z 2  z3 z 4 z3 z 4 z z  arg 1 2   arg z1  arg z 2  arg z3  arg z 4 z z   3 4 3 z  z n n argz n   n arg z 5  i  2  i  e.g. Find the modulus and argument of z  3  2i 5  1  2    1 2 2 2 2 z 1  1  1   1  1  2  32  2 2 arg z  tan    tan    tan   26 5 5   2  3  13  10
  • 34. NOTE: it follows that; z1 z 2 z1 z 2  z3 z 4 z3 z 4 zz  arg 1 2   arg z1  arg z 2  arg z3  arg z 4 z z   3 4 3 z  z n n argz n   n arg z 5  i  2  i  e.g. Find the modulus and argument of z  3  2i 5  1  2    1 2 2 2 2 z 1  1  1   1  1  2  32  2 2 arg z  tan    tan    tan   5   2  3  1119   153 26  33 41 26 5  13  10  175 48
  • 35. Exercise 4B; evens Exercise 4C; 1 to 10 evens, 12 to 15 all