Dosificacaolis

Dosificação
Semana No
de aulas Conteúdos No
total
de aulas
Radiciação
 Propriedades dos radicais
5ª
2 (aulas 1e 2)
1ª Propriedade:
 
n par ,a
, n 0
n ímpar , a
n n se
a a
se

 
 
 


Exercícios
17
2 (aulas 3 e 4)
2ª Propriedade:
   ; a , m 0 e n 0m n m n
a a  
     
(Demonstração)
Exercícios
6ª
2 (aulas5 e 6)
3ª Propriedade:
 
n par , a ;
ím
,n 0
n , a ;bpar
n n n se b
a b a b
se
 
  
    
 
 

 
(encontro em situação)
Exercícios
2 (aulas 7 e8)
4ª Propriedade:
 
 
 
se n par, a ; 0
, n 0
se n impar,a ;b 0
n
n
a an
bb
b
  
  
 
 

 
Exercícios
7ª 2(aulas 9 e 10)
5ª Propriedade:
   , m ; n 0 e p 0
n
mp
pn m
a a
a 

      
Exercícios
2 (aulas 11 e 12)
 Aplicação das propriedades dos radicais
Exercícios
8ª 2 (aulas 13 e14)  Preparação para teste (consolidação)
9ª 1 (aula 15)  Realização do teste escrito
10ª 2(aulas 16 e 17)  Correcção e entrega do teste

2
Aula 1 e 2
 Objectivo
No fim da aula, os alunos devem ser capazes de aplicar a propriedade
 
n par ,a
, n 0
n ímpar , a
n n se
a a
se

 
 
 


 Pré-requisitos
No inicio da aula, os alunos, devem ser capazes de:
 Decompor um número natural em factores primos;
 Calcular quadrados e raízes quadradas em  ;
 Aplicar as regras de potenciação com expoente inteiro.
Momento da aula Actividade do professor Actividades dos alunos
30 minutos O professor introduz a propriedade
partindo de alguns exemplos
Os alunos copiam para seus
cadernos.
15 minutos O professor dá exercícios para os
alunos resolverem
Os alunos resolvem os exercícios.
20 minutos
O professor faz a correcção dos
exercícios.
Os alunos prestam à correcção
feita pelo professor e comparam a
sua resolução;
Se estiver errado, passam a
correcção para o caderno.
20 minutos O professor dá explicações de
como funciona a propriedade
Os alunos prestam atenção à
Explicação do professor
5 minutos O professor dá T.P.C Os alunos copiam para seus
cadernos.
Observe: 3
27 esta imagem representa a raiz cúbica, de vinte e sete. A expressão matemática é um radical,
ela é composta pelo número 3 que é índice da raiz, pelo símbolo da radiciação e pelo número 27 que é seu
radicando.
Mas o que significa a raiz cúbica de 27?
Relembrando as propriedades da potenciação de expoente inteiro, temos que 3
3 3 3 3   que é igual a
27.Partimos do numero 3 e através da multiplicação de 3 factores iguais a 3, chegamos ao numero 27.
Agora temos o caminho inverso, a raiz cúbica de 27 é a operação que nos aponta qual é número que elevado
a 3 é igual a 27, ou seja é a operação inversa da potenciação.

3
Exemplos1:
a)
 
   
11 1
33 3
3
33 3
33 3 3 33
3 3 33
8 8
8 2 2 ou 8 8 2 2 2
ou ainda 8 2 2 porque 2 8
x x
x x x

  
         
  
b)             
51
5 5
55 5
55 5 5 532 2 2 2 porque 2 2 2 2             
c)       1231
123 123
123123 123
123 123 123 123
0 0 0 porque 0 0 0 0     .
Não existe a raiz de um número negativo e índice par, porque?
Vamos tomar exemplo a raiz quadrada de menos 16 expressa por 16 segundo a definição temos:
2
16 16.b b    
Qual é o valor numérico b que deve assumir para que multiplicado seja -16? 16b b  
Como sabemos na multiplicação de números ao multiplicar dois números, diferentes de zero, com mesmo
sinal, o resultado sempre será positivo, então não existe um número no conjunto de números reais que
multiplicado dará um valor negativo, pois o sinal é o mesmo em ambos os factores da multiplicação.
Exemplo2:
 
 
 
 
2
2
4
4
4
8 64
64 8 pois
8 64
5 625
625 5 pois
5 625
        
    

    
   
   
Exercícios
Determine os valores algébricos das seguintes operações:
     
1 112 1
3 343 2
4
1 1
8 8)8 b) 16 c) d) 4 e)a   
 

4
Correcção dos exercícios
Aplicando as regras de radiciação e potenciação, temos:
 
   
   
     
   
       
2 62 2
33 3 3
2
3
11 2
22 2
11 3
33 3
3
1
4
1
1 33
3 3
33 2
32 33 2 23
2
2
1 1 1 1
8 2 22
4
4
4
3 31 1 1 1 1 13
8 2 2 2 2 2
)8 = 2 =2 =2 =2 =4
ou 8 2 2 2 4
b) 16 = 4 4 4 pois 16 4 4
c)
d) 4 4 4 4
e) pois
a

   
   
  
      
 
          
 
Para radicais de índice n de uma potência, com expoente também igual a n temos:  
n
n
n
nn n
a a a a


  
1º Caso: se n é um número natural impar, então: n n
a a com a um número real.
2º Caso: se n é um numero natural par, então: n n
a a com a um número real.
1ª Propriedade:
 
n par ,a
, n 0
n ímpar , a
n n se
a a
se

 
 
 


T.P.C
Calcule aplicando a propriedade estudada
   
1
2 11 1 2
3 32 23)100 = b) 1000 = c) 125 16 343a   
Aulas 3 e 4

5
Objectivo
No fim da aula, os alunos devem ser capazes de demonstrar a propriedade
   ; a , m 0 e n 0m n m n
a a  
     
Pré-requisitos
No início da aula, os alunos devem ser capazes de:
 Calcular potências de expoente fraccionário;
 Transformar potência de expoente fraccionário em uma raiz e vice-versa.
Momento da aula Actividades do professor Actividades dos alunos
Correcção do T.P.C da aula
anterior
20 minutos
O professor analisa o trabalho de
casa feito pelos alunos e faz a
correcção
Os alunos apresentam o T.P.C ao
professor depois para os que não
fizeram correctamente copiam a
resolução certa feita pelo professor
Organização do trabalho
10 minutos
O professor organiza a turma em
grupos de acordo com o número de
alunos existentes na turma e
explica o trabalho. Entrega a ficha
de exercícios aos grupos.
Trabalho em grupo
25 minutos
O professor circula entre os
grupos, tirando dúvidas e ajudando
quando necessário.
Os alunos resolvem os exercícios
da ficha .
Discussão com a turma
15 minutos
O professor interroga os grupos
sobre os resultados obtidos e
regista-o no quadro.
Esclarece dúvidas.
Cada grupo explica quais foram as
suas soluções e registam a
demonstração nos seus cadernos.
Colocam dúvidas .
Institucionalização
15 minutos
O professor explica que acabam de
fazer a demonstração da
propriedade. O professor explica
que existe várias formas de
demonstrar essa propriedade.
Os alunos prestam atenção à
explicação do professor.
Marcação do T.P.C
5 minutos
O professor dá T.P.C.
Dá exercícios
cadernos.

6
Correcção do T.P.C da aula anterior
Escreve-se na forma de potências e aplica-se as propriedades.
 
 
          
            
 
11 2
22 2
1
2
31
3 3
11 2 1 1 12 12 11 2 3 2 3 2 23 32
11 2
22 2
2
2
33
333 3
3 4 3 2 2
2
)100 = 10 =10 =10
ou 100 = 100 = 10 10
b) 1000 = 10 = 10 porque 10 = 10 = 10 = 10
c) 125 16 343 5 2 7 5 2 7 25 4 7
36 6 6 6.
a

       
 
          
   
Ficha de exercício em grupo
1.Escreva na forma de uma única potência as sequentes potencias:
a)  
1
1 2
5
x  b)  
1
1 2
2
6  c)  
1
1 4
3
a  d)    
11
11 38
32
10 e) 2 
2.Escreva na forma de um único radical, as potências encontradas em 1.
3.Faça o esses cálculos com  
1
11 3
62
64 e a 64 , veja que o resultado obtido é igual em ambos os casos.
Fim do trabalho
Respostas esperadas
1.Aplicando as propriedades de potencias temos:
 
 
 
 
 
1
1 1 1 12
5 5 2 10
1
1 1 1 12
2 2 2 4
1
1 1 1 14
3 3 4 12
1
1 1 11 8
2 8 162
1
1 1 1 13
3 3 3 9
a) , .
b) 6 6 6
c) ,a
d) 10 10 10
e) 2 2 2
x x x x
a a a
 

 


  
 
  
 
 



7
2.Aplicando a definição temos:
1 1 1
10 4 12
1 1
16 9
10 4 12
916
a) ; b) 6 6 c) a ;a
d) 10 10 e) 2 2
x x x a 
    
 
 
3.Aplicando os procedimentos usados em 1 e 2 temos:
          
11 1 161 1 11 3 6 62 3 62
62 62 3 6 6 6
64 64 8 2 2 2 e 64 2 2 2.

       
Os resultados são iguais em ambos os casos e é igual a 2.
Demonstração
Vamos demonstrar que m n m n
a a
 , pela definição:
     
1
1 1 11 1 m
n m n mn nmm n m n
a a a a a a
 
     o que conclui a demonstração.
2ª Propriedade
   ; a , m 0 e n 0m n m n
a a  
     
T.P.C
Reduza a um único radical
3 63
a) 7 = b) 5 = c) 17 
Aula 5 e 6 (encontro em situação)
Objectivo

8
No fim da aula, os alunos devem ser capazes de aplicar e enunciar a propriedade
 
n par , a ;
ím
,n 0
n , a ;bpar
n n n se b
a b a b
se
 
  
    
 
 

 
Pré-requisitos
 Reconhecer números naturais;
 Efectuar a operação de multiplicação;
 Aplicar as propriedades da multiplicação;
 Identificar uma potência de um número inteiro;
 Aplicar regras de potências no cálculo com potências;
 Transformar potências de expoente fraccionário em um radical.
Momentos de aula
Tempo
Actividades do professor Actividades dos alunos
Correcção do T.P.C
20 minutos
O professor analisa os trabalhos de
casa, fazendo correcção dos
exercícios em que houve dúvidas.
Os alunos apresentam a resolução
do T.P.C
10 minutos
O professor organiza a turma em
grupos de 5 alunos e explica o
trabalho. Entrega a ficha de
trabalho aos grupos.
Ficam em grupo de 5 alunos, e
recebem a ficha de trabalho.
Trabalho de grupo
25 minutos
O professor circula na turma,
tirando duvidas e ajudando quando
necessário.
Os alunos resolvem os exercícios
da ficha
15 minutos
O professor interroga os grupos
sobre os resultados obtidos e
regista-os no quadro.
Cada grupo explica quais foram as
suas conclusões.
15 minutos
O professor enuncia a propriedade
e escreve no quadro
Os alunos registam a propriedade
nos seus cadernos.
Marcação do T.P.C.
5 minutos
O professor dá T.P.C Os alunos copiam para seus
cadernos.
Correcção do T.P.C. da aula anterior
Aplicando a propriedade estudada temos:

9
 
   
 
1
1 1 1 12
3 3 2 6
1
1 2
1 1 11 13
3 2 22 12
1
1 16
2 12
3 2 3 6 6
3 2 3 2 12 12
6 66 2 12 12
a) 7 = 7= 7 ou 7 =7 =7 = 7
b) 5 = 5= 5 ou 5 =5 =5 = 5
c) 17 17 7 ou 17 17 17 17

  

 
  
    
Ficha de Trabalho em grupo
1.Transforme em uma única potencia de expoente fraccionário as multiplicações:
   
   
11 1 1 11 1
77 7 6 62 2
1 1
12 12
3
2)3 5 b) 2 3 c) 3 13
d) 1 ; a
a
a


        
   
2.Das potencias encontradas em 1,escvreva na forma de um radical.
3.Realize os processos aplicados em 1 e 2 .Calcule mentalmente e complete os espaços em branco.
4 9 __ 4 9 __ __ __      
As duas formas de calcular geram o mesmo resultado? Qual é a operação envolvida além a radiciação?
4.Segundo as ideias dos números 1,2 e 3 multiplique
1 1
n n
a b até chegar em n
a b e tire as suas conclusões.
Fim do trabalho
Respostas esperadas
1. Aplicando a propriedade conhecida “  
nn n
a b ab  temos:
                 
       
11 1 11 1 11 11 1 1
77 7 72 7 77 72 2 2
1 1 1 11 1 1
6 12 12 126 6 6
3 282 2
2 3 3 3)3 5 3 5 =15 b) 2 3 2 3 = 2 7 =
c) 3 13 3 13 =39 d) 1 ; a
a
a a


                 
      
2.Aplicando a definição temos:

10
         
   
1
7 11
72
1 1
6 12
28 282 7
3 3 3
6 6 12
)3 3 5 = 3 5 = 15 b) 2 7 = =
c) 3 13 = 3 13= 39 d) ; a
a
a a 
       
   
3.
4 9 36 6 4 9 2 3 6      
Sim, a operação envolvida é a multiplicação.
4.Aplicando as propriedades de potenciação e radiciação temos:
 
11 1
nn n n
a b a b a b    
3ª Propriedade
Para multiplicar radicais de mesmo índice, devemos conservar o índice e multiplicar os radicandos,
simplificando sempre que possível o resultado obtido. Assim:
 
n par , a ;
ím
,n 0
n , a ;bpar
n n n se b
a b a b
se
 
  
    
 
 

 
.
T.P.C
Transforme em um único radical as multiplicações:
 7 77 8 8 33) 2 3 4 b) 3 7 = c) 1 8=a      
Aula 7 e 8

11
Objectivo
No fim da aula, os alunos devem ser capazes de aplicar e enunciar a propriedade
 
 
 
se n par, a ; 0
, n 0
se n impar,a ;b 0
n
n
a an
bb
b
  
  
 
 

 
Pré-requisitos
No início da aula, os alunos devem ser capazes de:
 Operar com números racionais, aplicando as propriedades;
 Achar o máximo divisor comum entre dois números ;
 Calcular quadrados e raízes quadras em Q;
 Aplicar regras de potenciação no cálculo com potências de expoente inteiro e fraccionário;
 Transformar potência de expoente fraccionário em uma raiz.
Momento da aula
Tempo
Actividade do professor Actividade dos alunos
20 minutos O professor verifica o trabalho
de casa feito pelos alunos e faz
a correcção.
Os alunos apresentam o T.P.C
ao professor, os que não fizeram
correctamente copiam a
resolução feita pelo professor.
10 minutos O professor introduz a nova
propriedade partindo de alguns
exemplos.
cadernos.
25 minutos O professor dá exercícios para
os alunos resolverem.
Os alunos resolvem os
exercícios.
15 minutos O professor faz a correcção dos
exercícios.
feita pelo professor e comparam
com a sua resolução; se estiver
errado, passam a correcção para
o caderno.
como funciona a propriedade.
Os alunos prestam à explicação
do professor.
5 minutos O professor dá T.P.C dá
exercícios.
cadernos

12
Aplicando a propriedade estudada tem-se:
     
7 7 77 7
88 8 8
33 3 33 3
) 2 3 4 2 3 4= 24
b) 3 7 = 3 7= 21
c) 1 8= 1 8= 8 = 2 = 2
a     
 
      
Explo1:
Efectue as divisões e simplifique se possível
     
 
 
 
 
   
 
 
     
1 11 1 1
4 44 4 2
1
4
1
44
1 4
4
1 11 2727 2727
1 1 27
27 27
1 1 1
3 3 3
1
3
1 1 15 5 5
1 0
5
0
232 32
8
8
2
4 43232 324
88
8
77 7 7 7 727 27
4 4 44
4 4
7 7 7 73
3 3 3
3
532 32 5
2
2
) 4 2 2 2
ou 4 2 2
) ou
)
d) 32 2 2
a
b
c
 



    
    
   
  
       
Exemplo 2: sabendo que 115 115
48 e T= 75R  determine o número s tal que R
TS 
Resolução:
115
115
48 48 16115 115
75 2575
R
Ts    
Exercícios
Efectue as divisões e simplifique
 
3 24
4 3 5
32 240
8 8
) b) c) ; 0 d) ; 0 , , a
m
m
x a
bx
a x m b o 
      

13
 
 
 
 
 
 
   
 
 
1 1 14 4 4 4 4
14 4
4
1 1 12 2 2
1
2
3 2
3 5
3 2 2 2
5 2 33 5
1 1
1
324 432 3232 324
8 88 8 8
240240 240240 240
8 88 8 8
31 133 3
) 4 ou 4 4
b) 30 ou 30 30
c) ; 0
; 0
d) ; 0 , , a
ou
m
m
m m m m
m m
m
x
x
x x x
x xx x xx
a
b
a aa a a am m
b b bb b
b
a
x
x
m b o


     
     

    
  
   
 
4ª Propriedade
Para dividir radicais de mesmo índice, devemos conservar o índice e dividir os radicandos, simplificando
sempre que possível o resultado obtido. Sendo assim:
 
 
 
se n par, a ; 0
, n 0
se n impar,a ;b 0
n
n
a an
bb
b
  
  
 
 

 
T.P.C
Efectue as divisões: 3 3
) 20 10 b) 28 7a  
Aula 9 e 10

14
Objectivo
No fim da aula, os alunos devem ser capazes de aplicar a propriedade
   com , m ; n 0 e p 0
n
mp
pn m
a a a 
       
Pré-requisitos
No início da aula. Os alunos devem ser capazes de:
 Identificar números naturais, inteiros e reais;
 Calcular quadrados e raízes quadradas em Q;
 Efectuar simplificações de fracções pelos divisores comuns de números naturais;
Momento da aula Actividades do professor Actividades dos alunos
20 minutos O professor verifica o trabalho de
casa feito pelos alunos e faz a
correcção.
Os alunos apresentam o T.P.C ao
professor, os que não fizeram
correctamente copiam a resolução
feita pelo professor.
10 minutos O professor introduz a nova
propriedade partindo de alguns
exemplos.
cadernos.
25 minutos O professor dá exercícios para os
alunos resolverem.
Os alunos resolvem os exercícios.
15 minutos O professor faz a correcção dos
exercícios.
feita pelo professor e comparam
com a sua resolução; se estiver
errado, passam a correcção para o
caderno.
como funciona a propriedade.
Os alunos prestam à explicação do
professor.
5 minutos O professor dá T.P.C dá
exercícios.
cadernos

15
 
3
3
1 2
2 2
33 3 20 203
1010
228 28
77
) 20 10 = 2
b) 28 7= = = 4 = 2 =2 =2
a   

Exemplos:
 
       
8
1 4 4 1 4
8 8 4 2
1
1 1 1 120
20 5 4 4
4
8 84 4 48 4
5 51 1 1 1 1 120 4
32 32 2 2 2 2
) 16 2 2 2 2 2 ou 2 2 2
)
a
b


 
      
     
 
c)    
21 41 2
10 510 10 5
410 4 4 5
2 2 2 2 2 4



    
Exercícios
Simplifique cada um dos radicais tornando mais simples se possível.
 10 5 4 161 615
32 81) 3 b) c) 81 d)a 
 
       
   
     
10 15 5 5:5 15 105 10 10:5 2
515
55
1 1
4 4
4 2
6 3
10 105 5 5
51 1 115 1315
232 2 2
444
416 2 2 2 466 3
81 3 3 3 9
) 3 = 3 = 3 ou 3 3 =3 =3 =3 = 3
b) = = =
c) 81= 3 =3 =3
d)
a



   
   
5ª Propriedade
Se dividirmos tanto o índice do radical, quanto o expoente do radicando por um mesmo numero diferente de
zero, o valor do radical continuará o mesmo:
   com , m ; n 0 e p 0
n
mp
pn m
a a a 
       
T.P.C
Simplifique cada um dos radicais:
15 10 812
) 27 b) 5a
Aula 11 e 12

16
Objectivo
No fim da aula, os alunos devem ser capazes de aplicar as propriedades dos radicais.
Pré-requisitos
 Decompor um número em factores primos;
 Aplicar regras de potências no cálculo com potências de expoente inteiro;
 Operar com números racionais, aplicando as propriedades;
 Calcular potências de expoente fraccionário;
 Transformar potência de expoente fraccionário em radical e de radical para expoente fraccionário.
Momentos da aula
Tempo
Actividades do professor Actividades dos alunos
Correcção do T.P.C
10 minutos
O professor verifica o
trabalho de casa feito pelos
alunos e faz a correcção.
Os alunos apresentam o T.P.C
ao professor, os que não
fizeram correctamente copiam
a resolução feita pelo
professor
5 minutos
O professor organiza a turma
em grupos de 5 alunos e
explica o trabalho.
Entrega a ficha de trabalho aos
grupos.
Ficam em grupos de 5 alunos,
e recebem a ficha de trabalho.
Trabalho de grupo
30 minutos
O professor circula na turma,
tirando dúvidas e ajudando
quando necessário.
Os alunos resolvem os
exercícios da ficha.
25 minutos
O professor interroga os
grupos sobre os resultados
obtidos e regista-os no quadro.
Cada grupo explica quais
foram as suas conclusões.
15 minutos
O professor faz a correcção
dos exercícios, aplicando
todas propriedades estudas.
Os alunos vêem a correcção
feita pelo professor e,
comparam a resolução feita
por eles e se estiver errado,
passam a correcção ao
caderno.
Marcação do T.P.C
5 minutos
O professor dá T.P.C Os alunos copiam para seus
cadernos

17
 
151 10 102
515 15 3 5
12 8
4 4
15 3 15 310 10 2 10 2
38 212 3
) 27 = 27 =27 =27 27 ou 27 27 27
b) 5 5 5 25
a   
  
Ficha de trabalho em grupo
1. Qual o valor do x na ﬁgura abaixo, sabendo-se que a área do triângulo mede 2
32cm ?
2.Calcule as raízes abaixo, escrevendo os resultados nos espaços em branco.
   
 
1
6
2 72 7
616
5
) 5 __ b) 10 __ c) 7 __
) __ e) 64 ___ __
a
d
   
 
3.Qual o valor da área de um quadrando, sabendo-se que o seu lado mede 7cm .
4. Qual o valor do volume de um tanque de água com forma de um cubo, cuja sua aresta mede 6
4m ?
5.Complete a tabela:
m n m n m n m n m
n
m
n
2
m 3 3
n
1 9
25 16
81 49

18
6.Efectue as multiplicações
   
4 4 4
12 12
7 7 37 3 5 10 733
7 2 4
13 3
7
) 2 4 8 b) 2 7 c)
) 7
a
d
 

     
   
7.Transforme num único radical os seguintes radicais:
3 4
6
4 81333 3 5
2 2
) b) 5 c)a 
8.Torne o mais simples os seguintes radicais:
3 48 624 12
) 10 = b) 64 c) 2 =a 
9.As medidas da base e da altura de um triângulo rectângulo são respectivamente iguais a
1
2
,x x , sabendo-se
que a sua área mede 23
4cm .Quais são as medidas da base e da altura desse triangulo?
Fim da ficha
Bom trabalho

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