Recorrência

Sumário
• Deﬁnições Recorrentes
‣ Seqüências, conjuntos e operações
• Resolução de Relações de Recorrência

Definições Recorrentes
• Uma definição recorrente é uma definição
onde o item sendo definido aparece como
parte da definição.
‣ definir algo em termos de si mesmo
• Exemplo: definição recorrente de fatorial

Partes de uma
Definição Recorrente
• Base (ou condição básica)
‣ casos elementares definidos explicitamente
• Recorrência (ou passo indutivo)
‣ demais casos definidos em função dos casos
elementares

• Recorrência é uma conceito importante
que pode ser usado para deﬁnir:
‣ seqüências
‣ conjuntos
‣ operações
‣ algoritmos

Seqüências
• Uma seqüência é uma lista ordenada de
elementos
• Exemplo:
‣ S = 2, 4, 8, 16, 32, ...
‣ S(1) = 2, S(4) = 16

Seqüências Definidas
por Recorrência
• Uma seqüência é definida por recorrência
nomeando-se, explicitamente, o primeiro
elemento na seqüência e depois definindo-
se os demais elementos em termos dos
anteriores
• Exemplo (S = 2, 4, 8, 16, 32, ...)
‣ S(1) = 2
‣ S(n) = 2 * S(n-1), para n ≥ 2

Exercício
• Escreve os cinco primeiros valores da
seqüência T deﬁnida a seguir
‣ T(1) = 1
‣ T(n) = T(n-1) + 3

Seqüência de Fibonacci
• É uma seqüência de números deﬁnida por
recorrência como a seguir:
‣ F(1) = 1
‣ F(2) = 1
‣ F(n) = F(n-1) + F(n-2), para n ≥ 3
• Escreva os 8 primeiros termos da
seqüência de Fibonacci.

Conjuntos
• Um conjunto é uma coleção de objetos
‣ não há nenhuma ordem imposta à coleção
• Conjuntos podem ser deﬁnidos por
relações de recorrência.
‣ Base: objetos elementares do conjunto
‣ Recorrência: regra para composição de novos
objetos do conjunto

Exemplo
• Deﬁnição recorrente do conjunto das
fórmulas proposicionais bem formuladas
(FBF)
‣ Base: uma proposição é uma FBF
‣ Recorrência: se P e Q são FBFs então P ∧ Q, P ∨
Q, P → Q, P′, e P Q também são FBFs

Operações Definidas
por Recorrência
• Certas operações podem ser definidas de
forma recorrente
• Exemplo: definição recorrente da
exponenciação an
‣ a0 = 1
‣ an = a * an-1, para n ≥ 1

Definições Recorrentes
Seqüência
Pelo menos o primeiro valor é definido
explicitamente; os demais valores são
definidos em termos dos anteriores.
Conjunto
Pelo menos um elemento do conjunto é
definido explicitamente; os demais
elementos são construídos a partir de
elementos que pertencem ao conjunto.
Operação
Um caso trivial (elementar) é definido
explicitamente; demais casos são calculados
a partir de casos menores.

Exercícios
• Escreve os cinco primeiros valores da
seqüência M a seguir:
‣ M(1) = 2
‣ M(2) = 2
‣ M(n) = 2*M(n-1) + M(n-2)
• Considerando a série de Fibonacci, prove
que F(n+1) + F(n-2) = 2F(n), para n≥3

Considere a seqüência S deﬁnida por recorrência:
S(1) = 2
S(n) = 2*S(n-1)
Existe uma equação na qual podemos substituir o
valor de n e calcular diretamente o valor de S(n)
sem ter que calcular os valores anteriores?

Considere a seqüência S deﬁnida por recorrência:
S(1) = 2
S(n) = 2*S(n-1)
Existe uma equação na qual podemos substituir o
valor de n e calcular diretamente o valor de S(n)
sem ter que calcular os valores anteriores?
S(n) = 2n

Resolvendo Relações
de Recorrência
• Resolver uma relação de recorrência
signiﬁca encontrar para ela uma solução em
forma fechada.
• Uma solução em forma fechada para uma
relação de recorrência sujeita a uma
condição básica é uma equação na qual
podemos substituir um valor para calcular
diretamente o elemento que queremos.

Estratégias para Resolução
de Recorrências
• Método “expandir, conjecturar e veriﬁcar”
• Solução geral
‣ no caso de uma relação de recorrência linear de
primeira ordem.

“Expandir, conjecturar e
verificar”
• Consiste em usar repetidamente a relação
de recorrência para expandir a expressão
do n-ésimo termo até que seja possível
perceber uma equação para a solução em
forma fechada.
• É preciso verificar a equação encontrada
‣ em geral, a verificação pode ser feita por
indução

Exemplo
• Considere a condição básica e a relação de
recorrência para a seqüência S a seguir:
‣ S(1) = 2
‣ S(n) = 2 * S(n-1)
• Encontre a solução em forma fechada para
a relação de recorrência.

Passo 1: Expandir
S(n) = 2 * S(n-1)

Passo 1: Expandir
S(n) = 2 * S(n-1)
= 2 * 2 * S(n-2)

Passo 1: Expandir
S(n) = 2 * S(n-1)
= 2 * 2 * S(n-2)
= 2 * 2 * 2 * S(n-3)

Passo 1: Expandir
S(n) = 2 * S(n-1)
= 2 * 2 * S(n-2)
= 2 * 2 * 2 * S(n-3)
= 2 * 2 * 2 * 2 * S(n-4)

Passo 2: Conjecturar
S(n) = 2 * S(n-1)
= 2 * 2 * S(n-2)
= 2 * 2 * 2 * S(n-3)
= 2 * 2 * 2 * 2 * S(n-4)
Após k, expansões

Passo 2: Conjecturar
S(n) = 2 * S(n-1)
= 2 * 2 * S(n-2)
= 2 * 2 * 2 * S(n-3)
= 2 * 2 * 2 * 2 * S(n-4)
...
= 2k * S(n-k)
Após k, expansões

S(n) = 2k * S(n-k)
Podemos continuar com a expansão
indeﬁnidamente ou existe um limite para k?

S(n) = 2k * S(n-k)
O limite é o caso base S(1), ou seja,
n-k = 1
⇓
k = n-1

S(n) = 2k * S(n-k)
O limite é o caso base S(1), ou seja,
n-k = 1
⇓
k = n-1
⇓
S(n) = 2n-1 * S[n-(n-1)] = 2n-1 * S[1] = 2n-1 * 2 = 2n

Passo 3: Veriﬁcar
• Por raciocínio indutivo, inferimos que a
solução em forma fechada é S(n) = 2n.
• Ainda é preciso demonstrar que, de fato,
S(n) = 2n, para todo n ≥ 1.
‣ podemos fazer isso por indução em n.

Recorrência Linear
• Uma relação de recorrência para uma
seqüência S(n) é denominada linear se os
valores anteriores de S aparecem na relação
apenas na primeira potência.
• Forma geral:
‣ S(n) = f1(n)S(n-1)+f2(n)S(n-2)+...+fk(n)S(n-k)+g(n)

Recorrência de
Primeira Ordem
• Uma relação de recorrência para uma
seqüência S(n) é de primeira ordem se o
cálculo do termo n depende apenas do
termo n-1.
• Forma geral:
‣ S(n) = f1(n) S(n-1) + g(n)

Solução Geral
• Utilizando o método “expandir, conjecturar
e veriﬁcar”, podemos encontrar uma
solução em forma fechada geral para
relações de recorrência lineares de
primeira ordem com coeﬁcientes
constantes.
• Solução geral para
‣
S(n) = cS(n − 1) + g(n)
S(n) = cn−1
S(1) +
n
i=2
cn−i
g(i)

Exemplo
S(n) = cS(n − 1) + g(n)
⇓
S(n) = 2S(n − 1)
c = 2 e g(n) = 0
S(n) = 2n−1
S(1) +
n
i=2
2n−1
0
= 2n−1
2 +
n
i=2
0 = 2n−1
2 + 0 = 2n
S(n) = cn−1
S(1) +
n
i=2
cn−i
g(i)
i

Métodos para resolver relações de recorrência
Método Passos
“Expandir,
conjecturar e
veriﬁcar”
1.Expandir a recorrência até que seja possível
inferir um padrão;
2.Determinar o padrão para k = n-1;
3.Demonstrar a fórmula resultante por indução.
Solução Geral
1.Escrever a recorrência na forma
2.Substitua c, S(1) e g(n) na fórmula geral
3.Calcule o somatório para obter a fórmula ﬁnal
S(n) = cS(n − 1) + g(n)
S(n) = cn−1
S(1) +
n
i=2
cn−i
g(i)

Exemplo: Solução Geral
• Considere a seqüência T como deﬁnida a
seguir:
‣ T(1) = 2
‣ T(n) = T(n-1) + n + 1
• Encontre a solução em forma fechada para
a relação de recorrência, utilizando o
método da solução geral.

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