08 - Progressões
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O documento apresenta noções sobre progressões aritméticas, definindo-as como sequências de números onde cada termo subsequente é igual ao anterior somado a uma constante chamada razão. A fórmula para o termo geral de uma progressão aritmética é dada como an = a1 + (n-1)r, onde a1 é o primeiro termo e r é a razão. Propriedades como a média aritmética entre termos consecutivos e a soma de termos equidistantes dos extremos também são apresentadas.
08 - Progressões
- 1. ~ 1 ~ 8 - Progressões PROGRESSÕES NOÇÕES PRELIMINARES Considere os seguintes conjuntos. Podemos representar esses conjuntos ordenando seus elementos: A = Mercúrio, Vênus, Terra, …, Plutão B = a, b, c, d, , m, n, , v, …, z C = 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, … Esses conjuntos ordenados, chamamos de sucessões ou sequências. É importante notar que, numa sequência, a ordem de cada elemento indica a posição que ele ocupa. Na sequência B (letras do nosso alfabeto) o a é o primeiro termo, o b é o segundo termo, o j é o décimo termo, e assim por diante. Uma sequência pode ser finita (sequências A e B) ou infinita (sequência C). De uma maneira genérica, representamos uma sequência assim: 1 2 3 4 na , a , a , a , , a , 1 2 3 n a primeiro termo a segundo termo a terceiro termo a um termo qualquer Assim, na sequência 3, 6, 9, 12, 15, temos: 1 2 3 4a = 3, a = 6, a = 9, a = 12, Na Matemática interessam-nos com maior frequência as sequências onde os termos são números reais e obedecem a uma certa lei de formação, isto é, um critério que permita determinar de modo inequívoco os termos dessa sequência.
- 2. ~ 2 ~ Exemplos: 1. A sequência dos números pares maiores que 4 : 6, 8, 10, 12, 14, 16, 2. A sequência dos números reais que obedecem à expressão na = 2 + 3n , com n * , é obtida fazendo-se: 1 1 2 2 3 3 para n = 1 a = 2 + 3 1 a = 5 para n = 2 a = 2 + 3 2 a = 8 para n = 3 a = 2 + 3 3 a = 11 Assim, essa sequência pode ser representada por: 5, 8, 11, . EXERCÍCIOS 1) Determine os quatro primeiros termos de cada sequência nos seguintes casos, sendo n * : a) na = 1 + n b) na = 3n - 2 c) n n a = n + 1 d) n n + 3 a = 2n e) 2 n n a = 2 f) na = 1 - 2n g) n na = 3 h) n n 2 a = n PROGRESSÕES ARITMÉTICAS Progressão aritmética (P.A.) é uma sequência de números reais onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior mais uma constante (chamada razão). Exemplos: 1. Sendo 1a = 1 e a razão r = 2, então: 2 1 2 3 2 3 4 3 4 a = a + r a = 1 + 2 = 3 a = a + r a = 3 + 2 = 5 a = a + r a = 5 + 2 = 7 Assim, a P.A. será 1, 3, 5, 7, 2. Sendo 1a = 7 e a razão r = -4, então: 2 1 2 3 2 3 4 3 4 n n - 1 a = a + r a = 7 - 4 = 3 a = a + r a = 3 - 4 = -1 a = a + r a = -1 - 4 = -5 a = a + r .Um termo qualquer é igual ao seu anterior mais a razão Assim, a P.A. será 7, 3, -1, -5, É importante notar que, dados os termos de uma P.A., determinamos a razão r dessa P.A., efetuando a diferença entre um termo qualquer (a partir do segundo) e o seu termo anterior. Exemplos: 1. Na P.A. 1, 4, 7, 10, 13 : r = 4 - 1 = 3 ou r = 7 - 4 = 3 2. Na P.A. 8, 5, 2, -1, -4 : r = 5 - 8 = -3 ou r = -4 - -1 = -3
- 3. ~ 3 ~ 3. Na P.A. 4 5 1, , 3 3 : 4 1 r = - 1 = 3 3 ou 5 4 1 r = - = 3 3 3 EXERCÍCIOS 2) Determine os 4 primeiros termos de uma P.A. de razão 3 e primeiro termo igual a 4 . 3) Calcule os 6 primeiros termos de uma P.A., dados 1a = 8 e r = -4. 4) Determine a razão das seguintes P.A.: a) 0, 4, 8, 12, 16 b) 5, 3, 1, -1, -3 c) -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 d) -3, 0, 3, 6, e) 15, 10, 5, f) 1 3 5 , 1, , 2, 2 2 2 , FÓRMULA DO TERMO GERAL DA P.A. Pela definição de P.A., temos: 2 1 3 2 1 1 4 3 1 1 5 4 1 1 6 1 7 1 a = a + r a = a + r = a + r + r = a + 2r a = a + r = a + 2r + r = a + 3r a = a + r = a + 3r + r = a + 4r a = a + 5r a = a + 6r e, de um modo genérico: n 1 n ka = a + n - 1 r a = a + n - k r onde n é o número de termos da P.A. Exemplos: 1. Calcule o décimo termos da P.A. 3, 7, 11, : Sendo 1a = 3, r = 4 e n = 10 (pois, como queremos 10a , então n 10a = a ) e aplicando a fórmula n 1a = a + n - 1 r , temos: 10 10 10 a = 3 + 10 - 1 4 a = 3 + 36 a = 39 2. Determine o primeiro termo de uma P.A. em que 8a = 35 e r = 3. Sendo 8 na = a e aplicando a fórmula n 1a = a + n - 1 r : 1 1 1 35 = a + 8 - 1 3 35 = a + 21 a = 14
- 4. ~ 4 ~ 3. Numa P.A., o primeiro e o último termo são, respectivamente, 15 e 223 e a razão é igual a 8 . Quantos termos tem essa P.A.? Sendo 1a = 15, na = 223 e r = 8 e aplicando a fórmula n 1a = a + n - 1 r : 223 = 15 + n - 1 8 223 = 15 + 8n - 8 8n = 223 - 15 + 8 8n = 216 n = 27 EXERCÍCIOS 5) Calcule o sétimo termo da P.A. 1, 6, 11, . 6) Determine o 15a da P.A. -3, -1, 1, 3, . 7) Numa P.A. de 20 termos, o primeiro termo é 5 e a razão é 4 . Determine o último termo dessa P.A. 8) Numa P.A. em que 30a = 24 e r = 6, calcule o primeiro termo. 9) Numa P.A. em que 9a = 50 e r = -2, calcule 1a e 18a . 10) Calcule o número de termos de uma P.A. sabendo-se que 1a = -14, na = 19 e r = 3. Exemplos: 1. Numa P.A., sabe-se que 1a = 8 e 10a = 62. Determine a razão. Sendo 1a = 8, 10a = 62 n = 10 e aplicando a fórmula n 1a = a + n - 1 r : 62 = 8 + 10 - 1 r 62 - 8 = 9 r 9r = 54 r = 6 2. Numa P.A., 5a = 8 e 10a = 23. Qual é a razão e o primeiro termo dessa P.A.? 6 termos 5 6 7 8 9 10 10 5 5 1 1 1 a , a , a , a , a , a a = a + 5 r a = a + 4 r 23 = 8 + 5 r 8 = a + 4 3 5r = 15 a = -4 r = 3 3. Quantos são os múltiplos de 4 compreendidos entre 6 e 101? 1 na a 1 n 1 n 6, 7, 8 , ....................................................., 100 , 101 a = 8 a = a + n - 1 r a = 100 100 = 8 + n - 1 4 r = 4 100 = 8 + 4n - 4 n = ? 4n = 96 n = 24 Resposta: Existem 24 múltiplos.
- 5. ~ 5 ~ 4. Insira ou interpole 7 meios aritméticos entre 3 e 35? 9 termos 1 n 1 n 3, __, __, __, __, __, __, __, 35 a = 3 a = a + n - 1 r a = 35 35 = 3 + 8 r n = 7 + 2 = 9 8r = 32 r = ? r = 4 Logo: 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35 EXERCÍCIOS 11) Calcule a razão de uma P.A., sabendo-se que 1a = 100 e 21a = -40. 12) Determine a razão e o primeiro termo de uma P.A. em que 4a = -3 e 11a = -38 . 13) Numa P.A., temos 13a = 200 e 20a = 144. Pede-se r , 1a e 16a . 14) Quantos múltiplos de 5 há compreendidos entre 8 e 521? 15) Quantos são os múltiplos positivos de 3 formados por 3 algarismos? 16) Insira 5 meios aritméticos entre 12 e 54. 17) Interpole 4 meios aritméticos entre 2 e 42 . Exemplos: Sendo x , y , z três termos consecutivos de uma P.A., demonstre que 2y = x + z. Sendo r a razão, temos: x = y - r z = y + r Somando membro a membro as duas igualdades: x + z = 2y ou 2y = x + z PROPRIEDADES P1 Sendo x , y , z três termos consecutivos de uma P.A., demonstramos acima que 2y = x + z ou x + z y = 2 . Isto quer dizer que o termo central é média aritmética dos outros dois. Exemplos: Sendo 3, 5, 7 três termos consecutivos de uma P.A., então: 3 + 7 5 = 2 EXERCÍCIOS 18) Sendo 2, x, 18 três termos consecutivos de uma P.A., calcule o valor de x . 19) Determine x , tal que x, 10, 4x sejam três termos consecutivos de uma P.A. 20) Calcule x , tal que x - 2, x, 2x - 3 sejam três termos consecutivos de uma P.A. 21) Se x , x + 3, 2x + 10 são os três primeiros termos de uma P.A., calcule o valor de x e escreva a P.A. P2 Numa P.A. finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.
- 6. ~ 6 ~ Exemplos: 1. Seja a P.A. finita: (3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17) equidistantes extremo extremo 9 + 11 = 7 + 13 = 5 + 15 = 3 + 17 = 20 2. Calcule a soma dos termos da seguinte P.A. finita: 1, 2, 3, 4, 5, , 15, 16, 17, 18, 19, 20 Pela propriedade P2, temos: 1 + 20 = 2 + 19 = 3 + 18 = 4 + 17 = = 21 Como cada par de termos da P.A. tem como soma 21, e a P.A. possui 20 termos, temos ao todo 10 21 que é a soma de todos os termos da P.A. FÓRMULA DA SOMA DOS TERMOS DA P.A. Seja a P.A. finita: 1 2 3 n - 2 n - 1 na , a , a , , a , a , a Sendo nS a soma desses n termos, temos: n 1 2 3 n - 2 n - 1 nS = a + a + a + … + a + a + a ou n n n - 1 n - 2 3 2 1S = a + a + a + … + a + a + a Somando membro a membro, temos: n 1 n 2 n - 1 3 n - 2 n - 2 3 n - 1 2 n 12S = a + a + a + a + a + a + … + a + a + a + a + a + a Pela propriedade P2, todos os parênteses são iguais a 1 na + a . Logo: 1 n n 1 n 1 n 1 n 1 n n fatores iguais a a + a 2S = a + a + a + a + … + a + a + a + a Assim: n 1 n2S = n a + a ou 1 n n a + a n S = 2 3. Calcule a soma dos 12 primeiros termos da P.A. 2, 5, 8, . 1 12 12 1 12 12 12 12 a + a n S = 2 a = 2 a = 2 + 12 - 1 3 r = 3 a = 2 + 33 n = 12 a = 35 a = ? Assim: 12 12 2 + 35 12 S = S = 222 2 EXERCÍCIOS 22) Calcule a soma dos 15 primeiros termos da P.A. 8, 12, 16, . 23) Sendo 1a = 0 e r = 2, calcule a soma dos 16 primeiros termos dessa P.A. 24) Qual é a soma dos 30 primeiros números naturais ímpares? 25) Determine a soma dos múltiplos de 5 compreendidos entre 8 e 198. 26) Calcule a soma dos múltiplos positivos de 4 formados por 2 algarismos.
- 7. ~ 7 ~ PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS Progressão geométrica (P.G.) é uma sequência de números reais onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior multiplicado por uma constante (chamada razão). Exemplos: 1. Sendo 1a = 3 e a razão q = 2, então: 2 1 2 3 2 3 4 3 4 5 4 5 a = a q a = 3 2 = 6 a = a q a = 6 2 = 12 a = a q a = 12 2 = 24 a = a q a = 24 2 = 48 Assim, a P.G. será 3, 6, 12, 24, 48, 2. Sendo 1a = 54 e a razão 1 q = 3 , então: 2 1 2 3 2 3 4 3 4 n n - 1 1 a = a q a = 54 = 18 3 1 a = a q a = 18 = 6 3 1 a = a q a = 6 = 2 3 a = a q .Um termo qualquer é igual ao anterior multiplicado pela razão Assim, a P.G. será 54, 18, 6, 2, É importante notar que, dados os termos de uma P.G., determinamos a razão q dessa P.G., dividindo um termo qualquer (a partir do segundo) pelo seu termo anterior. Exemplos: 1. Na P.G. 1, 3, 9, 27 : 3 q = = 3 1 ou 27 q = = 3 9 2. Na P.G. 100, 50, 25, : 50 1 q = = 100 2 ou 25 1 q = = 50 2 3. Na P.G. 2, -8, 32, -128 : -8 q = = -4 2 ou 32 q = = -4 -8 EXERCÍCIOS 27) Determine os 4 primeiros termos de uma P.G. de razão 4 e primeiro termo igual a 2 . 28) Calcule os 5 primeiros termos de uma P.G., dados 1a = -5 e q = -2 . 29) Determine a razão das seguintes P.G.: a) 3, 9, 27, 81 b) 2, -6, 18, -54, c) 5 20, 10, 5, , 2 d) 3, 3, 3, 3, e) -4, -20, -100, f) -1, 5, -25, 125, -625
- 8. ~ 8 ~ FÓRMULA DO TERMO GERAL DA P.G. Pela definição de P.G., temos: 2 1 2 3 2 1 1 2 3 4 3 1 1 3 4 5 4 1 1 5 6 1 6 7 1 a = a q a = a q = a q q = a q a = a q = a q q = a q a = a q = a q q = a q a = a q a = a q e, de modo genérico: n - 1 n - k n 1 n ka = a q a = a q onde n é o número de termos da P.G. Exemplos: 1. Calcule o sexto termos da P.G. 3, 6, 12, : Sendo 1a = 3, q = 2 e n = 6 e aplicando a fórmula n - 1 n 1a = a q , temos: 6 - 1 6 5 6 6 6 a = 3 2 a = 3 2 a = 3 32 a = 96 2. Determine o primeiro termo numa P.G. em que 6a = 160 e q = 2.: Sendo 6a = 160 , q = 2 e n = 6, temos: 6 - 1 6 1 5 1 1 a = a q 160 = a 2 160 a = = 5 32 3. Numa P.G. temos 5a = 64 e 1a = 4. Determine a razão e escreva a P.G. 5 - 1 5 - 1 4 5 1 44 4 4 4 64 a = a q 64 = 4 q q = 4 q = 16 q = 2 q = 2 q = 2 q = 2 4, 8, 16, 32, 64, q = -2 4, -8, 16, -32, 64, EXERCÍCIOS 30) Calcule o sétimo termo da P.G. 5, 10, 20, . 31) Numa P.G. de 4 termos, o primeiro é -4 e a razão é 3 . Determine o último termo. 32) Qual o sexto termo de uma P.G. de razão igual a 1 2 e primeiro termo igual a 4 ? 33) Numa P.G. temos 5a = 162 e q = -3. Calcule 1a e 7a . 34) Calcule a razão de uma P.G., sabendo-se que 5a = 405 e 1a = 5. 35) Qual a razão de uma P.G., sabendo-se que 1a = 2 e 4a = 250 . 36) Determine o oitavo termo da P.G. 1 1 1 1 , , , , 64 32 16 8 . 37) Calcule o primeiro termo e o terceiro termo de uma P.G. onde 6 1 a = 9 e 1 q = 3 .
- 9. ~ 9 ~ Exemplos: 1. Quantos termos possui a P.G. onde 1a = 6, na = 384 e q = 2? n - 1 n n n - 1 n - 1 n - 1 6 a = a q 384 = 6 2 384 2 = = 64 6 2 = 2 n - 1 = 6 n = 7 2. Insira ou interpole 3 meios geométricos positivos entre 2 e 162. 4 n 4 1 4 4 4 2, __, __, __, 162 a = 162 162 = 2 q a = 2 q = 81 n = 5 q = 3 q = 3 q = rejeita 3 2, 6, 18, 54, 162 q = -3 do os meios pedidos devem ser positivos EXERCÍCIOS 38) Numa P.G., dados 1a = 2, q = 5 e na = 1 250 , calcule n . 39) Qual o número de termos da P.G. onde 1a = 6, na = 96 e q = 2? 40) Interpole 6 meios geométricos entre 3 e 384. 41) Insira 4 meios geométricos entre 1 e 243. PROPRIEDADES P1 Se três números quaisquer a , b , c são termos consecutivos de uma P.G., então o termo central é média geométrica dos outros dois. Assim: 2 b = a c Exemplos: Sendo 3, 6, 12 três termos consecutivos de uma P.G., então: 2 6 = 3 12 P2 Numa P.G. finita, o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto dos termos extremos. Exemplos: 1. Seja a P.G. finita: (1, 2, 4, 8, 16, 32) equidistantes extremo extremo 4 8 = 2 16 = 1 32 = 32 2. Determine x tal que x - 4, x, x + 8 sejam três termos consecutivos de uma P.G. Pela propriedade P1 da P.G.: 2 x = x - 4 x + 8 Resolvendo: Verificação: Substituindo x por 8 em Temos a P.G. de razão q = 2 4, 8, 16 2 2 2 2 x = x + 8x - 4x - 32 x - x - 8x + 4x = -32 -4x = -32 x = 8 x - 4, x, x + 8: 8 - 4, 8, 8 + 8
- 10. ~ 10 ~ EXERCÍCIOS 42) Sendo 4, x, 25 três termos consecutivos de uma P.G., calcule o valor de x . 43) Calcule o valor de x tal que x - 3, x, x + 6, nessa ordem, sejam três números em P.G. 44) Se x , x - 1 e x - 3 são os três primeiros termos de uma P.G., então calcule o valor de x e escreva a P.G. FÓRMULA DA SOMA DOS TERMOS DA P.G. FINITA Seja a P.G. finita: 1 2 3 n - 1 na , a , a , , a , a Sendo nS a soma desses n termos, temos: n 1 2 3 4 n - 1 nS = a + a + a + a + … + a + a Vamos considerar dois casos de nS : 1º Caso Se q 1 , demonstra-se que: n 1 n a q - a S = q - 1 2º Caso Se q = 1, então 1 2 3 na = a = a = … = a e n 1 1 1 1S = a + a + a + … + a , ou simplesmente: n 1S = n a Exemplos: 1. Calcule a soma dos 6 primeiros termos da P.G. 2, 6, 18, . Sendo q 1 , então n 1 n a q - a S = q - 1 6 - 1 1 6 1 5 6 6 6 6 a = 2 a = a q q = 3 a = 2 3 a = ? a = 2 243 a = 486 Assim: 6 6 486 3 - 2 S = S = 728 3 - 1 2. Numa P.G., 1a = -12 e q = 1. Calcule a soma dos 20 primeiros termos dessa P.G. Sendo q = 1, então n 1S = n a 20 20 S = 20 -12 S = -240 EXERCÍCIOS 45) Calcule a soma dos 15 primeiros termos da P.G. 1 1 1 , , , 5 5 5 . 46) Calcule a soma dos 8 primeiros termos da P.G. 3, 6, 12, . 47) Calcule a soma dos termos de uma P.G., sabendo-se que 1a = 5, na = 320 e q = 4 48) O primeiro e o último termos de uma P.G. são, respectivamente, 1 16 e 8 . Calcule a soma dos termos dessa P.G., sabendo que a razão é 2 . 49) Calcule a soma dos 9 primeiros termos da P.G. 0 1 2 3 2 , 2 , 2 , 2 , . 50) Calcule a soma dos 7 primeiros termos da P.G. 0 1 2 3 3 , 3 , 3 , 3 , .