11. rotação

Versão preliminar
24 de setembro de 2002

Notas de Aula de Física

11. ROTAÇÃO .................................................................................................................... 2
AS VARIÁVEIS DA ROTAÇÃO.................................................................................................. 2
Posição angular ............................................................................................................ 2
Deslocamento angular .................................................................................................. 2
Velocidade angular ....................................................................................................... 3
Aceleração angular ....................................................................................................... 3
ROTAÇÃO COM ACELERAÇÃO ANGULAR CONSTANTE .............................................................. 3
AS VARIÁVEIS LINEARES E ANGULARES ................................................................................. 4
A posição ...................................................................................................................... 4
A velocidade escalar ..................................................................................................... 4
A aceleração ................................................................................................................. 4
ENERGIA CINÉTICA DE ROTAÇÃO.......................................................................................... 5
MOMENTO DE INÉRCIA ......................................................................................................... 5
Teorema dos eixos paralelos ........................................................................................ 6
Alguns exemplos de cálculo de momento de inércia .................................................... 7
TORQUE .......................................................................................................................... 10
A SEGUNDA LEI DE NEWTON PARA A ROTAÇÃO .................................................................... 11
TRABALHO, POTÊNCIA, E O TEOREMA DO TRABALHO - ENERGIA CINÉTICA............................... 12
SOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS ..................................................................................... 13
02 ................................................................................................................................ 13
10 ................................................................................................................................ 13
12 ................................................................................................................................ 14
23 ................................................................................................................................ 14
34 ................................................................................................................................ 15
40 ................................................................................................................................ 15
42 ................................................................................................................................ 16
51 ................................................................................................................................ 17
73 ................................................................................................................................ 18
74 ................................................................................................................................ 19
75 ................................................................................................................................ 19
81 ................................................................................................................................ 20

Prof. Romero Tavares da Silva

11. Rotação
A cinemática dos corpos rígidos trata dos movimentos de translação e rotação. No
movimento de translação pura todas as partes de um corpo sofrem o mesmo deslocamento linear. Por outro lado, no movimento de rotação pura as partes de um corpo descrevem trajetórias circulares cujos centros situam-se sobre uma mesma reta - chamada
de eixo de rotação. No movimento de rotação pura todas as partes de um corpo sofrem o
mesmo deslocamento angular. O movimento que se aproxima mais de uma situação real
é aquele que incorpora tanto a translação quanto a rotação.
As variáveis da rotação
À semelhança do movimento de translação, para a análise da rotação utilizamos de
parâmetros equivalentes a aqueles definidos anteriormente.
Posição angular
Quando um objeto de um formato arbitrário,
tem uma trajetória circular em torno de um
certo eixo, podemos definir algumas grandezas que descreverão esse movimento.
Podemos marcar um dado ponto do objeto
e analisar o seu movimento. A distância
deste ponto ao eixo de rotação é chamado
de raio r da trajetória. A sua trajetória descreve um arco de comprimento s . A posição angular associada ao arco e o raio é o
ângulo θ .

r

s = rθ

θ

s

∴ θ =

s
r

Deslocamento angular
Quando um corpo está em rotação, ele está
variando a sua posição angular de modo
que num dado momento ela é definida pelo
ângulo θ1 e num instante posterior é definida pelo ângulo θ2 , de modo que o deslocamento angular entre os instantes considerados é:

θ2

θ1

∆θ = θ2 - θ1

Cap 11

romero@fisica.ufpb.br

2

Velocidade angular
A velocidade angular é a taxa com que a posição angular está variando; é a razão
entre o deslocamento angular e o tempo necessário para fazer esse deslocamento.
Definimos a velocidade angular média como:
w =

θ 2 − θ 1 ∆θ
=
t 2 − t1
∆t

Definimos a velocidade angular instantânea como:
w = Lim
∆t → 0

∆θ dθ
=
dt
∆t

Aceleração angular
Quando a velocidade angular de um corpo não é constante mas varia no tempo
com uma certa taxa, esse corpo terá uma aceleração angular.
Definimos a aceleração angular média como:

α =

w 2 − w 1 ∆w
=
t 2 − t1
∆t

Definimos a aceleração angular instantânea como:

α = Lim
∆t → 0

∆w dw
=
dt
∆t

Rotação com aceleração angular constante
À semelhança do movimento de translação com aceleração constante, as equações para rotação são obtidas integrando-se a equação de movimento:

α=

dw
= cons tan te
dt

∫ dw = w 0 + α ∫ dt ⇒ w = w 0 + αt
e também:
w=

dθ
dt

⇒

(1)

∫ dθ = θ 0 + ∫ w dt = θ 0 + ∫ (w 0 + αt )dt

ou seja:

θ = θ 0 + w 0 ∫ dt + α ∫ dt
Cap 11

αt2
⇒ θ = θ 0 + w 0t +
2


(2)
3

A velocidade angular média foi definida de modo que:
w =

θ −θ0
t

⇒ θ = θ0 + w t

mas quando estamos analisando o movimento com aceleração constante, também podemos definir a velocidade angular média como:
w =

w + w0
2

e usando essa equação na anterior, temos que:
w + w0 
w + w0 w − w0 
θ = θ0 + 
t = θ0 + 


 2 
 2  α 
ou seja:

2
w 2 = w 0 + 2α (θ − θ 0 )

(3)

As variáveis lineares e angulares

A posição
Ao analisarmos o movimento de rotação de um objeto o parâmetro que descreve o
deslocamento espacial é
s=rθ
A velocidade escalar
Quando observamos os corpos rígidos, a rotação se faz com raio constante, ou
seja: cada ponto observado mantém uma distância constante ao eixo de rotação. Desse
modo:
v=

ds
dθ
=r
dt
dt

⇒

v =rw

onde v é a velocidade linear de um certo ponto do corpo e w é a velocidade angular
desse ponto considerado. Na realidade, w é a velocidade angular do corpo por inteiro.
A aceleração
De maneira equivalente, a aceleração de uma dado ponto de um corpo é definida
como:
a=
Cap 11

dv
dw
=r
dt
dt

⇒


a = rα
4

Essa aceleração é também conhecida como aceleração tangencial, pois dá conta
da variação do módulo da velocidade. Como a velocidade é tangencial à curva, para que
o seu módulo varie é necessário uma aceleração nesta direção.
Com a definição dessa aceleração, temos agora dois tipos de aceleração no movimento circular: a aceleração tangencial e a aceleração radial (ou centrípeta), ou seja:

! !
!
a = aT + aR

onde


 aT = α r



v2
aR =
= w 2r

r


Energia cinética de rotação
Vamos considerar um conjunto de N partículas, cada uma com massa mi e velo!
cidade v i girando em torno de um mesmo eixo do qual distam ri . A energia cinética
deste sistema é:
N 1
N 1
1 N
1
2
K = ∑ m i v i2 = ∑ m i (w r i ) =  ∑ m i r i 2  w 2 = I w 2


i =1 2
i =1 2

2  i =1
2

onde ri é a distância de cada partícula ao eixo, w a velocidade angular das partículas
em torno do eixo considerado e definimos o momento de inércia I do conjunto de partículas como:
N

I = ∑ mi ri 2
i =1

Vamos usar a definição de momento inércia principalmente para calcular a energia
cinética de rotação de corpos rígidos. Quando uma roda está girando em torno do seu
eixo, as diversas partes da roda se movem com velocidade diferentes, mas todas as suas
partes têm a mesma velocidade angular. Daí a importância da definição do momento de
inércia para computar a energia cinética associada ao movimento de rotação de um sistema de partículas ou um corpo rígido.
Momento de inércia
Se dividirmos um corpo rígido em pequenas partes, cada parte com uma massa
∆mi , podemos em tese calcular o momento de inércia deste corpo usando a equação
anteriormente apresentada para um sistema de partículas:
N

I = ∑ r i 2 ∆m i
i =1

Se aumentarmos essa subdivisão de modo que aqueles elementos de massa ∆mi
se transformem em grandezas diferencias dm , poderemos identificar como:
N

I = Lim ∑ r i 2 ∆m i = ∫ r 2 dm
∆m → 0 i 1
=

Cap 11


5

onde essa é uma integral simbólica que significa a integração sobre todo o volume do
corpo rígido considerado, seja ele de uma, duas ou três dimensões.
Teorema dos eixos paralelos
Se conhecermos o momento de inércia de um corpo em relação a um eixo qualquer que passe por seu centro de massa, podemos inferir o momento de inércia desse
corpo em relação a qualquer eixo paralelo ao primeiro eixo considerado. Se a distância
entre os dois eixos for H , a massa do corpo for M e ICM for o seu momento de inércia
em relação a um eixo que passa pelo centro de massa, teremos o momento de inércia I
mencionado:
I = ICM + M H2
Para demonstrar essa equação vamos considerar um corpo de um formato qualquer, como no desenho a seguir. O momento de inércia em relação ao eixo perpendicular
ao papel, que cruza com a origem do referencial (xy) e que passa pelo centro de massa é
ICM
I CM = ∫ R 2 dm
onde dm é um elemento de massa (representado pelo pequeno círculo) localizado pelo
!
vetor posição R .
y'
y
! ! !
R = r +H
!
R

!
R = iˆx + ˆy
j
!
H = iˆa + ˆb
j
! ˆ
r = i (x − a ) + ˆ(y − b )
j

!
H

!
r

x'
x

Para calcular o outro momento de inércia vamos considerar um segundo referencial
(x'y') e um segundo eixo que passe pela origem desse referencial e seja perpendicular ao
papel. O momento de inércia em relação a esse segundo eixo é:

[

]

I = ∫ r 2 dm = ∫ (x − a ) + (y − b ) dm = ∫ [(x 2 + y 2 ) + (a 2 + b 2 ) − 2(ax + by )]dm
Mas

Cap 11

2

2

2
2
2
∫ (x + y )dm = ∫ R dm = I CM


6

2
2
2
2
∫ (a + b )dm = ∫ H dm = MH

∫ 2ax dm = 2a ∫ x dm = 2a X CM M = 0
∫ 2by dm = 2b ∫ y dm = 2b YCM M = 0
onde nas duas últimas equações utilizamos a premissa inicial que o centro de massa seria escolhido como origem do referencial, e desse modo XCM = YCM = 0 .
Coletando os resultados das últimas equações, encontramos que:
I = ICM + M H2
Alguns exemplos de cálculo de momento de inércia
a.

Momento de inércia de um bastão fino de massa M e comprimento L em relação a
um eixo perpendicular ao bastão e que passa por seu centro de massa.
I = ∫ r 2 dm
dx

Vamos considerar a fatia dx , distante x
da origem, que contém uma massa dm .
-L/2
Podemos usar a proporção:
dm dx
=
M
L

⇒

x

M 
dm =   dx
L
+L / 2

M +L / 2 2
M x3
I = ∫ x dm =
∫ x dx = L 3
L −L / 2
−L / 2
b.

L/2
x

+L / 2

ML2
=
12

2

−L / 2

Momento de inércia de um anel de raio R e massa M , em relação a um eixo que
passa pelo centro, perpendicular ao plano do anel.
I = ∫ r 2 dm
Vamos considerar o pedaço de anel limitado pelo ângulo dθ , que contém uma

θ

Vamos considerar o pedaço de anel limitado pelo ângulo dθ , que faz um ângulo
θ com a horizontal e que contém uma
massa dm . Podemos usar a proporção:
dm dθ
=
M
2π
Cap 11

⇒

dθ

Anel de raio R
M
dm = 
 dθ
 2π 


7

I = ∫ r dm
2

c.

2
M
 MR 2π
I = ∫R 
dθ  =
∫ dθ
2π 0
0
 2π

2π

⇒

2

∴ I = MR 2

Momento de inércia de um anel de raio R e massa M , em relação a um eixo que
passa por um diâmetro qualquer.
I = ∫ r 2 dm
r

A distância r de um elemento de massa
dm ao eixo é:
r = R cosθ

dθ
θ

O elemento de massa dm e o ângulo
dθ que limita essa massa se relacionam
como:
dm dθ
=
M
2π

⇒

M
dm = 
 2π

I = ∫ r 2 dm


 dθ


Anel de raio R

2
2π
2 M
 MR 2π
2
I = ∫ (R cos θ ) 
dθ  =
∫ cos θ dθ
2π 0
0
 2π


⇒

Mas
cos 2 θ =

1 + cos 2θ
2

⇒

MR 2
2π

I=

1 2π
 1 2π

dθ + ∫ cos 2θ dθ 
 ∫
20
2 0


ou seja
MR 2
I=
2π
d.

1

 θ
2


2π
0

1 sen 2θ
+
2 2

2π

0

2
 MR 2

{π } ∴ I = MR
=
2π
2



Momento de inércia de um cilindro anular em torno do eixo central.
O cilindro tem raio interno R1 , raio externo R2 , comprimento L e massa M .
I = ∫ r 2 dm
Vamos considerar uma casca cilíndrica
de raio r , espessura dr e comprimento
L.. O volume dV dessa casca é
dV = (2π r L) dr
A massa dm contida nessa casca é:
dm = ρ dV
logo

Cap 11

dm = 2π L ρ r dr

8

I = ∫ r 2 dm = ∫ r 2 [2πLρ rdr ] = 2πρL ∫ r 3 dr = 2πρL
R2

R2

R1

R1

R 24 − R14
4

Mas
V = π L(R 22 − R12 ) ⇒

ρ=

M
M
=
V π L(R 22 − R12 )

então
R 24 − R14
M
I =πL
⇒
2
π L(R 22 − R12 )
e.

I=

M 2
(R 2 + R12 )
2

Momento de inércia de um cilindro sólido de massa M , raio a e comprimento L em
relação ao diâmetro central
z

z
r
dm

Eixo

Eixo

I = ∫ R 2 dm
dm = ρ dV =

z

M
M
dV =
dV
π a 2L
V

r

O elemento de massa dm está limitado
pelo ângulo dθ e dista R do eixo , que
no desenho está na horizontal.

θ
z

R
Eixo

R 2 = r ' 2 +z 2
r'

r ' = r sen θ

θ
z

dV = (rdθ )(dr )(dz )
r

R

r'

I = ∫ ∫ ∫ (r ' 2 + z 2 )[ρ (r dθ dr dz )]
+L / 2 a

2π

−L / 2 0

0

I = ρ ∫ dθ ∫ r dr ∫ (r 2 sen 2 θ + z 2 ) = ρ ∫ sen 2 θ dθ ∫ r 3 dr ∫ dz + ρ ∫ dθ ∫ r dr ∫ z 2 dz
dz
2π

+L / 2

2π

a

+L / 2

2π

a

+L / 2

0

Cap 11

a

0

−L / 2

0

0

−L / 2

0

0

−L / 2


9

Mas
sen 2 θ =

1 − cos 2θ
2

logo
2π

1 2π

1 2π

1

1

2
∫ sen θ dθ = 2 ∫ dθ + 2 ∫ cos 2θ dθ = 2 2π − 2 2 sen 2θ
0
0
0

2π
0

=π

ou seja:
 a4
I = ρ (π )
 4



 a2
(L ) + ρ (2π )

 2



 a 2 L2 
I = ρπa 2 L
 4 + 12 




 1 L3

 3 4

⇒

 ρπLa 4 ρπa 2 L3
+
=

4
12


I=

Ma 2 ML2
+
4
12

Torque
!
!
Define-se o troque τ produzido pela força F quando ela atua sobre uma partícula
como sendo o produto vetorial dessa força
pelo vetor posição da partícula:
!
F
!
! !
τ = r ×F
M
Se no exemplo da figura ao lado de!
r
finirmos o plano da folha de papel com sendo x - y o torque estará ao longo do eixo z
o
e será um vetor saindo da folha
Convenção para simbolizar um vetor
saindo perpendicular à folha.
Convenção para simbolizar um vetor
entrando perpendicular à folha.

y

!
F

Nesse exemplo ao lado, em
particular, o resultado do produto vetorial é
! ! ! ˆ
τ = r × F = k (r F sen θ )
onde

τ = r F senθ = r F⊥

θ

F⊥
F||
!
r

x

Podemos perceber que apenas a
!
componente F⊥ da força F
é quem
contribui para o torque.

Cap 11


10


y

Podemos visualizar o resultado do produto
vetorial de uma maneira equivalente à anterior, ou seja:
! ! ! ˆ
τ = r × F = k (r F sen θ )
onde

!
F
!
r

τ = r F senθ = r⊥ F

θ
r||

r⊥ = braço de alavanca
r|| = linha de ação

x
r⊥

A segunda Lei de Newton para a rotação
A segunda Lei de Newton toma uma forma peculiar quando aplicada aos movimentos que envolvem rotação. Se fizermos a decomposição da força aplicada a uma partícula segundo as suas componentes perpendicular e paralela ao vetor posição dessa
partícula, teremos:
!
!
F = ma
F|| = m a||
e
F⊥ = m a⊥
Mas, quando consideramos o torque associado a essa força, temos:

τ = r F⊥ = m r a⊥ = m r ( r α ) = ( m r2 ) α
e o torque toma a forma:

τ=Iα
onde I é o momento de inércia da partícula considerada.
Se tivermos N partículas girando em torno de um eixo cada uma delas sob a ação
de uma força, teremos um torque associado à essa força, onde:
!
N !
! N
τ = ∑ τ i = ∑ r i × Fi
i =1

Mas

i =1

τ = Σ ri Fi⊥ = Σ ri mi ai⊥ = Σ ri mi ( ri α ) = Σ ( mi ri2) α
τ=Iα

Cap 11


11

Trabalho, potência, e o teorema do trabalho - energia cinética

dW
que:

Para calcular o trabalho elementar
!
executado por uma força F temos
!
F
!
dr

! !
dW = F ⋅ dr = F⊥ dr = F⊥ r dθ
dW = τ dθ

dθ

θf

W if = ∫ τ dθ

!
r

θi

Mas

τ = Iα = I

dw
dt

e
dθ
 dw 
τ dθ =  I
= I w dw
 dθ = (Idw )
dt
 dt 
ou seja:
θf

wf

i

i

w2
W if = ∫ τ dθ = I ∫ I w dw = I
2
w
θ

wf

⇒ W if =
wi

1
1
I w f2 − I w i2 = K f − K i
2
2

!
Para calcular a potência P associada à atuação da força F , devemos considerar que:
dW = τ dθ
e também que:
dW
dθ
P=
=τ
⇒ P = τw
dt
dt

Cap 11


12

Solução de alguns problemas
Capítulo 11 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição
02 Durante um intervalo de tempo t , a turbina de um gerador gira um ângulo
θ = a t + b t3 - c t4 , onde a , b e c são constantes.
a) Determine a expressão para sua velocidade angular.
w=

dθ
= a + 3bt 2 − 4ct 3
dt

b) Determine a expressão para sua aceleração angular.

α=

dw
= 6bt − 12ct 2
dt

10 Uma roda tem oito raios de 30cm . Está montada sobre um eixo fixo e gira a
2,5rev/s . Você pretende atirar uma flecha de 20cm de comprimento através da
roda, paralelamente ao eixo, sem que a flecha colida com qualquer raio. Suponha
que tanto a flecha quanto os raios são muito finos.
a) Qual a velocidade mínima que a flecha deve ter?
r = 30cm = 0,30m
w = 2,5rev/s = 2,5 . 2πrad/s
L = 20cm = 0,20m
A flecha vai atravessar a roda usando
as "fatias" de vazio entre dois raios. A
distância angular entre dois raios é de
2π/8 radianos.
Quando a roda gira, os raios se movem e depois de um certo tempo t0 um raio
passa a ocupar a posição do raio adjacente. Nesse tempo, cada raio "varre" totalmente o espaço entre a sua posição inicial e a posição do raio adjacente e
nesse movimento se desloca de θ0 = 2π/8 radianos . É precisamente esse tempo que dispõe a flecha para atravessar a roda.

θ 0 = wt 0

∴ t0 =

θ0
w

A flecha tem comprimento L , e dispõe de um tempo t0 para atravessar a roda,
logo:
L Lw
L = vt 0 ⇒ v =
= 4,0m/s
=
t0
θ0
Cap 11


13

b) A localização do ponto em que você mira, entre o eixo e a borda, tem importância? Em caso afirmativo, qual a melhor localização?
Não tem importância a distância do eixo onde se mira, pois sempre teremos disponível o mesmo ângulo. Se perto da borda dispomos de um espaço linear maior, mas a velocidade linear da roda também é maior. Se mirarmos perto do eixo
teremos um espaço linear menor, mas a velocidade linear da roda também é menor. Em suma, a velocidade angular é a mesma para todos os pontos.
12 Um prato de toca-discos, rodando a 33 1/3 rev/min , diminui e pára 30s após o
motor ser desligado.
a) Determine a sua aceleração angular (uniforme) em rev/min2 .
w0 = 33,33rev/min
t = 30s = 0,5min
w=0
w = w 0 + αt

⇒ α=

w −w0
w
= − 0 = -66,66rev/min2
t
t

b) Quantas revoluções o motor realiza neste intervalo?

θ = w 0t +

αt 2
=8,33rev
2

23 Um disco gira em torno de um eixo fixo, partindo do repouso, com aceleração angular
constante, até alcançar a rotação de 10rev/s . Depois de completar 60 revoluções ,
a sua velocidade angular é de 15rev/s .

θ2 = 60rev
w2 = 15rev/s

w0 = 0
w1 = 10rev/s

a) Calcule a aceleração angular.
w = w + 2αθ
2
2

2
1

2
w 2 − w 12
= 1,02rev/s2
⇒ α=
2θ

b) Calcule o tempo necessário para completar as 60 revoluções .
w 2 = w 1 + αt 2

Cap 11

⇒

t2 =


w 2 − w1
= 4,80s
α
14

c) Calcule o tempo necessário para alcançar a rotação de 10rev/s .
w 1 = w 0 + αt 1

⇒

t1 =

w1 − w 0
= 9,61s
α

d) Calcule o número de revoluções desde o repouso até a velocidade de 10rev/s .
2
w 12 = w 0 + 2αθ 1

⇒ θ1 =

2
w 12 − w 0
= 48,07rev
2α

34 Uma certa moeda de massa M é colocada a uma distância R do centro de um
prato de um toca discos. O coeficiente de atrito estático é µE . A velocidade angular
do toca discos vai aumentando lentamente até w0 , quando, neste instante, a moeda
escorrega para fora do prato. Determine w0 em função das grandezas M , R , g e
µE .
!
! !
!
R
Fa + P + N = ma
P − N = 0


 F = ma
 a
Fa = µE N = µE m g
Mas
ma = m
ou seja:

⇒

a = µE g

(w R )
v
2
=m 0
= mw 0 R
R
R
2

2

!
Fa

!
N
!
P

a = w02 R = µE g
w0 =

µE g
R

40 Um carro parte do repouso e percorre uma trajetória circular de 30m de raio. Sua
velocidade aumenta na razão constante de 0,5m/s2 .
a) Qual o módulo da sua aceleração linear resultante , depois de 15s ?

! !
!
a = aT + aR

Cap 11

onde


 aT = α r



v2
= w 2r
aR =
r


!
aT

!
v

!
aR
15

aT = α r

⇒ α=

aT
1
=
= 0,0166rad / s 2
r
60

a R = w 2 r = (w 0 + αt ) r = 1,875m/s2
2

aT = 0,5m/s2
w0 = 0
t = 15s
r = 30m

2
a = aR + aT2 = 1,94m/s2

b) Que ângulo o vetor aceleração resultante faz com o vetor velocidade do carro
nesse instante?
!
a

a
tan θ = R = 3,75
aT

θ

θ = 75,060

42 Quatro polias estão conectadas por duas correias conforme mostrado na figura a seguir. A polia A ( rA = 15cm ) é a polia motriz e gira a 10rad/s . A polia B ( rB = 10cm )
está conectada à A pela correia 1 . A polia B' ( rB' = 5cm ) é concêntrica à B e está
rigidamente ligada à ela. A polia C ( rC = 25cm ) está conectada à polia B' pela correia
2.
a) Calcule a velocidade linear de um ponto na correia 1.
wA = 10rad/s
rA = 15cm = 0,15m
rB = 10cm = 0,10m
rB' = 5cm = 0,05m
rC = 25cm = 0,25m

Correia 1
rA
rB

Polia B
rB'
Polia A

vA = wA rA = 10 . 0,15 = 1,5 m/s
b) Calcule a velocidade angular da polia B.

Correia 2
Polia C

vA = vB = wB rB
rC
wB =

vA
r
= w A A =15rad/s
rB
rB

c) Calcule a velocidade angular da polia B'.
wB' = wB = 15rad/s
Cap 11


16

d) Calcule a velocidade linear de um ponto na correia 2.
vB' = wB' rB' = wB rB' = 15 . 0,05 = 0,75m/s
e) Calcule a velocidade angular da polia C.
v B ' = v C = w C rC

⇒

v B' w B rB'
=3rad/s
=
rC
rC

wC =

51 Duas partículas de massa m cada uma, estão ligadas entre si e a um eixo de rotação em O , por dois bastões delgados de comprimento L e massa M cada um,
conforme mostrado na figura a seguir. O conjunto gira em torno do eixo de rotação
com velocidade angular w .
a) Determine algebricamente a expressão para o momento de inércia do conjunto
em relação a O .
Já foi calculado anteriormente que o
w
momento de inércia de um bastão fino
de massa M e comprimento L em
L
m
relação a um eixo perpendicular ao
bastão e que passa por seu centro de
massa, vale ML2/12 .
L
m
Por outro lado, o teorema dos eixos
paralelos diz que: se a distância entre
os dois eixos for H , a massa do corpo
Eixo (perpendicular à folha )
for M e ICM for o seu momento de
inércia em relação a um eixo que passa pelo centro de massa, teremos o momento de inércia I mencionado:
I = ICM + M H2
Vamos calcular o momento de inércia de cada componente desse conjunto:
I1 = Momento de inércia da partícula mais afastada.
I1 = M ( 2L )2 = 4 m L2
I2 = Momento de inércia do bastão mais afastado. A distância do centro de massa
desse bastão até o eixo vale 3L/2 , logo:
2

ML2
28
 3L 
I2 =
ML2
+ M  =
12
12
 2 
I3 = Momento de inércia da partícula mais próxima.
I3 = M ( L )2 = m L2
Cap 11


17

I4 = Momento de inércia do bastão mais próximo. A distância do centro de massa
desse bastão até o eixo vale L/2 , logo:
2

ML2
4
L
I4 =
ML2
+ M  =
12
2
12

Finalmente:
I = I 1 + I 2 + I 3 + I 4 = 4mL2 +
I = 5mL2 +

28
4
ML2 + mL2 +
ML2
12
12
8
ML2
3

b) Determine algebricamente a expressão para a energia cinética de rotação do
conjunto em relação a O .
K =

1 2 5
4 
I w =  m + M  w 2 L2
2
3 
2

73 Numa máquina de Atwood, um bloco tem massa 500g e o outro 460g . A polia, que
está montada sobre um suporte horizontal sem atrito, tem um raio de 5cm . Quando
ela é solta, o bloco mais pesado cai 75cm em 5s . A corda não desliza na polia.
a) Qual a aceleração de cada bloco?
m1 = 500g = 0,5kg
m2 = 460g = 0,46kg
R = 5cm = 0,05m

v0 = 0
h = 75cm = 0,75m
t = 5s

at 2
h = v 0t +
2

2h
a = 2 = 0,06m/s2
t

⇒

b) Qual a tensão na corda que suporta o bloco
mais pesado?
!
!
!
p1 + T1 = m1a1

⇒

p1 − T1 = m1a

!
F1

!
F2

!
T1
m1

!
T2

!
p1

T1 = p1 - m1 a = m1 (g - a) = 4,87N
c) Qual a tensão na corda que suporta o bloco
mais leve?
!
!
!
p2 + T2 = m2 a2

m2
!
p2

⇒ T2 − p 2 = m 2 a

T2 = p1 + m1 a = m2 (g + a) = 4,93N
Cap 11


18

d) Qual a aceleração angular da polia?
a =αr

⇒ α=

a
= 1,2rad/s2
r

e) Qual o seu momento de inércia?

τ=Iα
I=

(T

1

⇒ F1 r - F2 r = I α
− T 2 )r
= 0,0141kg.m2
α

74 A figura a seguir mostra dois blocos de massa m suspensos nas extremidades de
uma haste rígida, de peso desprezível, de comprimento L = L1 + L2 , com L1 = 20cm
e L2 = 80cm . A haste é mantida na posição horizontal e então solta. Calcule a aceleração dos dois blocos quando eles começam a se mover.
L1 = 20cm = 0,2m
L2 = 80cm = 0,8m

L1

L2
!
FC

τ=Iα
m g L2 - m g L1 = I α

!
FE

Mas

!
FD

I = mL2 + mL2
1
2
Logo
mg (L2 − L1 ) = m (L2 + L2 )α
1
2

 L − L1 
2
⇒ α =  22
 L + L2  g = 8,64rad/s

1 
 2

 a1 = −α L1 = −1,72m / s 2

2
a 2 = +α L2 = +6,91m / s
75 Dois blocos idênticos, de massa M cada uma, estão ligados por uma corda de massa desprezível, que passa por uma polia de raio R e de momento de inércia I . A
corda não desliza sobre a polia; desconhece-se existir ou não atrito entre o bloco e a
mesa; não há atrito no eixo da polia.
Quando esse sistema é liberado, a polia gira de um ângulo θ num tempo t , e a
aceleração dos blocos é constante
Cap 11


19

a) Qual a aceleração angular da polia?

α t2
θ = w 0t +
2

⇒ α=

2θ
t2

!
N

b) Qual a aceleração dos dois blocos?
a =αR =

2θ R
t2

F1 = P1 − m a

!
F2

R, I
!
F1

!
P2

c) Quais as tensões na parte superior e
inferior da corda? Todas essas respostas devem ser expressas em função de M , I , R , θ , g e t .
!
!
!
P1 + T1 = m a1

!
T2

M

!
T1

M
⇒
⇒

P1 − F1 = ma

!
P1

F1 = m (g − a )
2θ R 

F1 = m  g − 2 
t 


τ = Iα

F1R − F2 R = Iα

⇒

F2 = mg −

∴ F2 = F1 − I

α
R

2θ 
I 
mR + 
2 
t 
R

81 Um bastão fino de comprimento L e massa m está suspenso livremente por uma
de suas extremidades. Ele é puxado lateralmente para oscilar como um pêndulo,
passando pela posição mais baixa com uma velocidade angular w .
a) Calcule a sua energia cinética ao passar por esse ponto.
O momento de inércia de uma haste em
relação a um eixo perpendicular que
passe por sua extremidade é:
h
I=

2

mL
3

A energia cinética tem a forma:
K =
Cap 11

1 2 mw 2 L2
Iw =
2
6

20

b) A partir desse ponto, qual a altura alcançada pelo seu centro de massa? Despreze o atrito e a resistência do ar.
Usando a conservação da energia mecânica, encontramos que:
KI = UF

Cap 11

⇒

Iw2
1
w 2 L2
I w 2 = mgh ∴ h =
=
2
2mg
6g


21

11. rotação

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