14 qa introducao aos poliedros - aula 1

INTRODUÇÃO AOS POLIEDROS - PODEMOS – Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães
35.9.9214.0594 goo.gl/pjykRW goo.gl/JD6Vhj goo.gl/PSGwJT
1
14Q(a) AULA 1 – Prismas, Antiprismas,
Pirâmides e Poliedros de Platão e de Kepler-
Poinsot
14Q(a)
Esse curso é um aprofundamento de poliedros trabalhando assuntos como sólidos de Johnson e
de Catalán, que são desconhecidos dos materiais didáticos em língua portuguesa, sendo
algumas vezes estudados no ensino superior em álgebra dos grupos de simetrias. Aqui não
estudaremos os grupos de simetria. Os tópicos introdutórios desse assunto são abordados nos
módulos P1(b), E1 e B9 e no PODEMOS J. A abordagem aqui é bem diversa e trata de forma
elementar assuntos bastante avançados e curiosos.
Esse material foi criado inicialmente para um Curso de Quarentena do PODEMOS em abril de
2020, durante a pandemia da COVID-19. Ele precisa ser melhorado, inseridos vídeos e editado.
AOS ALUNOS DO CURSO DE QUARENTENA devem buscar informações na Plataforma
Moodle sobre prazos e atividades para entregar.
ROTEIRO DE ESTUDOS
Pré Requisitos:
PONTO, RETA E PLANO NO ESPAÇO, INCLUSIVE POSIÇÕES RELATIVAS
ÂNGULOS E POLÍGONOS
CONCEITOS BÁSICOS: O QUE É UM PRISMA, UMA PIRÂMIDE, UM PARALELEPÍPEDO
CONCEITOS DE VÉRTICE, FACE, ARESTA E A RELAÇÃO DE EULER
COMO PROCEDER?
➢ Leia atentamente esse texto, grifando os assuntos mais importantes se necessário. Quando houver
um link para vídeos acessar o link e assistir aos vídeos para melhor compreensão do conteúdo.
➢ Verifique com o seu professor se essa material será disponibilizado na Plataforma Moodle ou Google
Respostas e pergunte como você deve enviar as tarefas ao professor.
➢ Assista vídeos da parte teórica dessa matéria. Procure no Youtube pelos jogos apresentados.
➢ Na dúvida procure ajuda de colegas, professores ou na Internet.
APRESENTAÇÃO DO CONTEÚDO E EXERCÍCIOS
Prismas, Pirâmides e Antiprismas
LEIA COM ATENÇÃO ESSE
QUADRO
Vamos apresentar, sem maiores detalhes o que são
prismas, pirâmides e antiprismas.
Nesse curso não nos interessa a parte métrica da
Geometria Espacial, então não vamos tratar de
volumes, áreas da base, apótemas, princípio de
Cavaliéri ou coisas do tipo. Tampouco vamos nos
preocupar em tratar com profundidade das questões
axiomáticas, ainda que façamos algumas
demonstrações mais simples.
A nossa abordagem é prioritariamente topológica.
Existem três categorias de poliedros muito
importantes. Duas delas vocês já devem conhecer
bem:
• Prismas
• Pirâmides
• Antiprismas
A importância dos Antiprismas é mais teórica
(veremos isso), junto com os prismas são os únicos
poliedros diédricos uniformes e são fundamentais
para definir Sólido de Johnson.
Vamos apresentar definições de prismas,
antiprismas e pirâmides já supondo que você
compreende intuitivamente o que é POLIEDRO, pois
a definição torna-se bastante simples.
Seria interessante você procurar no Google:
“Definição de Prisma” e “Definição de Pirâmide” para
encontrar uma gama de definições bastante
complexas e profundas.
As definições a seguir são simples, e, talvez
imprecisas:

PODEMOS – Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de Magalhães
2
PRISMA é um poliedro constituído por duas
faces poligonais congruentes e paralelas ligadas
por quadriláteros.
ANTIPRISMA é o poliedro constituído por duas
faces poligonais congruentes e paralelas ligadas
por triângulos.
PIRÂMIDE é o poliedro constituído por uma face
poligonal ligada a um ponto por triângulos.
As faces poligonais são chamadas de BASE ou
DIRETRIZ, e são em número de duas nos prismas e
antiprismas e uma na pirâmide.
As demais faces são chamadas de FACES
LATERAIS e são paralelogramos nos prismas e
triângulos nas pirâmides e antiprismas.
Tipos de Prismas, Pirâmides ou Antiprismas:
• QUANTO AO FORMATO DAS BASES
A quantidade de lados da base determina a
nomenclatura do prisma, pirâmide ou antiprisma.
Ex: prisma decagonal, antiprisma hexagonal e
pirâmide pentagonal (das figuras acima)
É fundamental saber de cor todos os prefixos de
nomes dos polígonos
• RETO ou OBLÍQUO
Igualmente existem pirâmides e antiprismas retos ou
oblíquos.
• REGULAR
Um prisma, pirâmide ou antiprisma é dito regular
quando as bases são polígonos regulares
• UNIFORMES
Prisma Octogonal Uniforme – bases são octógonos
regulares e faces laterais são quadrados.
Antiprisma Quadrado – bases são quadrados e as
faces laterais são triângulos equiláteros.

3
Um poliedro é dito uniformes quando todas as faces
são polígonos regulares.
• TRUNCATURA
É uma operação sobre poliedros que consiste em
retirar alguns “pedaços”. Vamos tratar da truncatura
da pirâmide por um corte paralelo à base. Esse
pedaço é chamado de TRONCO DE PIRÂMIDE que
é um novo poliedro.
Tronco de pirâmide pentagbonal.
Fonte: Só Matemática
A truncatura de antiprismas também existe:
PLANIFICAÇÃO
Todos prismas, pirâmides, antiprismas e troncos de
pirâmide podem ser planificados:
Planificação do Prisma Pentagonal Uniforme
Planificação do Antiprisma Hexagonal Uniforme
Planificação da Pìrâmide Hexagonal Regular
Planificação do Tronco de Pirâmide Pentagonal
Regular

4
Planificação do Prisma Quadrangular com base na
forma de Trapézio (Prisma Trapezoidal)
OUTROS PRISMATÓIDES
Prismas (incluindo os Paralelepípedos retos e
oblíquos, Antiprismas, Pirâmides, Troncos de
Pirâmide são PRISMATÓIDES, pois possuem todos
os seus vértices em planos paralelos. Há outros
grupos de PRISMATÓIDES:
• Cunhas
• Antiprismas Estrelados
• Cúpulas
DIAGRAMAS DE SCHLEGEL
Trata-se da representação de um politopo de uma
dimensão na dimensão inferior. Como estamos
trabalhando na terceira dimensão, o diagrama de
Schlegel é a representação que leva as arestas de
um poliedro num desenho plano.
É bem fácil identificar um poliedro exemplo de algum
gerado por um diagrama de Schelgel, apesar que
vários poliedros podem ser representados por um
certo diagrama de Schelegel. Trata-se de um tipo
especial de Grafo.
Diagrama de Schlegel do Cubo
Diagrama de Schelegel do Dodecaedro (que ficou
famoso por ilustrar o problema de Hamilton do
Caixeiro Viajante)
Diagrama de Schelegel do Antiprisma Octogonal
Toda vez que aparecer a mãozinha LEIA
1) Veja a figura:
a) O formato da base dessa figura é um
_____________________.
b) O nome da forma gerada por essa planificação
é ______________________

5
c) Quantos vértices? _____ Quantas faces?
_____ Quantas arestas? ____
2) Veja a figura:
_____________________.
b) O nome dessa forma é
______________________
3) Veja a figura:
_____________________.
b) O nome dessa forma é
______________________
4) Classifique detalhadamente, determine o
número de vértices, faces e arestas das figuras a
seguir, e verifique a Relação de Euler.
n = Número de lados da base
V = Número de vértices
F = Número de faces
A = Número de arestas
Classificação completa:
É regular? ( ) Sim ( ) Não
É uniforme? ( ) Sim ( ) Não
É convexo? ( ) Sim ( ) Não
Ele é ( ) Reto ( ) Oblíquo
n= ____
V=____ F=____ A=____
V+F-A=____
n= ____
V=____ F=____ A=____
V+F-A=____
n= ____
V=____ F=____ A=____
V+F-A=____
n= ____
V=____ F=____ A=____
V+F-A=____

6
n= ____
V=____ F=____ A=____
V+F-A=____
n= ____
V=____ F=____ A=____
V+F-A=____
n= ____
V=____ F=____ A=____
V+F-A=____
n= ____
V=____ F=____ A=____
V+F-A=____
n= ____
V=____ F=____ A=____
V+F-A=____
n= ____
V=____ F=____ A=____
V+F-A=____
n= ____
V=____ F=____ A=____
V+F-A=____
n= ____
V=____ F=____ A=____
V+F-A=____

7
n= ____
V=____ F=____ A=____
V+F-A=____
n= ____
V=____ F=____ A=____
V+F-A=____
n= ____
V=____ F=____ A=____
V+F-A=____
n= ____
V=____ F=____ A=____
V+F-A=____
n= ____
V=____ F=____ A=____
V+F-A=____
n= ____
V=____ F=____ A=____
V+F-A=____
n= ____
V=____ F=____ A=____
V+F-A=____
n= ____
V=____ F=____ A=____
V+F-A=____

8
n= ____
V=____ F=____ A=____
V+F-A=____
n= ____
V=____ F=____ A=____
V+F-A=____
n= ____
V=____ F=____ A=____
V+F-A=____
n= ____
V=____ F=____ A=____
V+F-A=____
5) Dê o nome dos poliedros gerados com as
seguintes planificações:
Nome Completo:
__________________
__________________
Nome Completo:
__________________
__________________
Nome Completo:
__________________
__________________
Nome Completo:
__________________
__________________
Nome Completo:
__________________
__________________
Nome Completo:
__________________
__________________
Nome Completo:
__________________
__________________
Nome Completo:
__________________
__________________
Nome completo: Prisma triangular, Pirâmide
hexagonal, Antiprisma octogonal, Tronco de
pirâmide hexagonal, etc.

9
6) Dê um exemplo de um poliedro que pode ser
representado pelos seguintes diagramas de
Schlegel.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
7) Deduza uma fórmula para a área da superfície
do antiprisma quadrangular uniforme cuja aresta
mede 𝑛.
Dica: a área do triângulo equilátero é dada por
𝑛2
√3
4
.
8) Resolva os problemas a seguir sobre o número
de vértices, faces e arestas das figuras:
a)Quantos vértices, faces e arestas possui um
prisma cuja base é um polígono de 100 lados?
n=___ V=___ F=____ A=____ V+F-A=____
b)Quantas vértices, faces e arestas possui um
antiprisma cuja base é um polígono de 100 lados?
n=___ V=___ F=____ A=____ V+F-A=____
c)Quantos vértices, faces e arestas possui uma
pirâmide cuja base é um polígono de 100 lados?
n=___ V=___ F=____ A=____ V+F-A=____

10
d)Quantas faces e arestas possui um prisma com
80 vértices?
n=___ V=___ F=____ A=____ V+F-A=____
e)Quantas faces e vértices possui um prisma com
99 arestas?
n=___ V=___ F=____ A=____ V+F-A=____
f)Quantas arestas e vértices possui um prisma
com 144 faces?
n=___ V=___ F=____ A=____ V+F-A=____
g)Quantas faces e arestas possui uma pirâmide
com 90 vértices?
n=___ V=___ F=____ A=____ V+F-A=____
h)Quantas faces e vértices possui uma pirâmide
com 80 arestas?
n=___ V=___ F=____ A=____ V+F-A=____
i)Quantas arestas e vértices possui um prisma
com 90 faces?
n=___ V=___ F=____ A=____ V+F-A=____
j)Quantas faces e arestas possui um antiprisma
com 100 vértices?
n=___ V=___ F=____ A=____ V+F-A=____
k)Quantas faces e vértices possui um antiprisma
com 100 arestas?
n=___ V=___ F=____ A=____ V+F-A=____
l)Quantas arestas e vértices possui um antiprisma
com 102 faces?
n=___ V=___ F=____ A=____ V+F-A=____
m)Classifique quanto ao número de lados da base
o antiprisma com 18 faces.
n=___ V=___ F=____ A=____ V+F-A=____
Classificação: ______________________
n)Classifique quanto ao número de lados da base
o prisma com 30 arestas.
n=___ V=___ F=____ A=____ V+F-A=____
Classificação: ______________________
o)Classifique quanto ao número de lados da base
a pirâmide com 11 vértices.
n=___ V=___ F=____ A=____ V+F-A=____
Classificação: ______________________
9) Dado um prisma com bases 𝑛 lados é fácil
verificar que o número V de vértices desse prisma
é 2𝑛, o número A de arestas desse prisma é 3𝑛 e
o número F de faces desse prisma é 𝑛 + 2, e fácil
verificar que
𝑉 + 𝐹 − 𝐴 = 2𝑛 + 3𝑛 − (𝑛 + 2) = 2
Faça o mesmo raciocínio com:
a) Pìrâmides
b) Antiprismas
10)Vamos conhecer a NOTAÇÃO DE CONWAY
que será utilizada durante o curso. A notação para
prismas, pirâmides e antiprismas é bem simples.
A3 – Antiprisma Triangular
Y4 – Pirâmide Quadrangular
P5 – Prisma Pentagonal.
Quais polígonos são representados por:
a)A7 ___________________________________
b)P8 ___________________________________
c)Y10 __________________________________
d)A15 __________________________________
e)P9 ___________________________________
f)Y20 ___________________________________
11)Quantos vértices faces e arestas possui o
poliedro representado na notação de Conway por:
a)P70 V=____ F=____ A=____
b)Y150 V=____ F=____ A=____
c)A200 V=____ F=____ A=____

11
12)Configuração do vértice.
Todos os vértices de prismas e antiprismas
possuem a mesma configuração, ou seja, as
mesmas faces em torno de cada vértice.
a)Quantas arestas sai de cada vértice do prisma?
b)Quantas arestas sai de cada vértice do
antiprisma?
c)O número de arestas que sai de cada vértice da
pirâmide varia, há duas configurações possíveis.
Explique.
d)A configuração dos vértices do prisma
pentagonal é 4.4.5, que corresponde ao número
de lados de cada face em torno do vértice. Com
base nisso, responda qual é a configuração dos
vértices:
* do prisma triangular ____________
* do prisma quadrangular ____________
* do prisma hexagonal ____________
* do antiprisma triangular ____________
* do antiprisma quadrangular ____________
* do antiprisma pentagonal ____________
* do antiprisma hexagonal ____________
e)Qual é o prisma ou antiprisma cujas
configurações são:
* 3.3.3.8 _______________________________
* 4.4.10 ________________________________
13)O Octaedro Regular é um antiprisma. Explique.
14) Vamos aprender a classificar as Cúpulas,
representadas por Un pela notação de Conway.
Cúpula Triangular – U3
Cúpula Quadrangular – U4
Cúpula Pentagonal – U5
a)Determine o número de vértices, faces e arestas
*da cúpula triangular
V=____ F=____ A=____ V+F-A=_____
*da cúpula quadrangular
V=____ F=____ A=____ V+F-A=_____
*da cúpula pentagonal
V=____ F=____ A=____ V+F-A=_____
*da cúpula hexagonal
V=____ F=____ A=____ V+F-A=_____
*da cúpula com bases com 100 lados
V=____ F=____ A=____ V+F-A=_____
*da cúpula com “n” lados na base
V=____ F=____ A=____ V+F-A=_____
b)A figura a seguir é uma anticúpula hexagonal,
cujo código de Conway é V6.
Classifique as seguintes anticúpulas:
c)A figura a seguir é a planificação de qual cúpula
ou anticúpula?
d) Determine o número de vértices, faces e
arestas
*da anticúpula triangular
V=____ F=____ A=____ V+F-A=_____
*da anticúpula quadrangular
V=____ F=____ A=____ V+F-A=_____
*da anticúpula pentagonal
V=____ F=____ A=____ V+F-A=_____

12
*da anticúpula hexagonal
V=____ F=____ A=____ V+F-A=_____
*da anticúpula com bases com 100 lados
V=____ F=____ A=____ V+F-A=_____
*da anticúpula com “n” lados na base
V=____ F=____ A=____ V+F-A=_____
e)Veja as cúpulas uniforme. As classifique com o
código de Conway e explique por qual motivo são
uniformes.
f)Explique por qual motivo a figura a seguir pode
ser classificada como uma cúpula digonal (que é
um prisma triangular)?
14) Antiprismas estrelados é um tema complexo e
não encontramos nada em língua portuguesa,
pois eles recorrem à idéia de grupos de simetria e
a nomenclatura deles depende da compreensão
dos símbolos de Schläfli. Porém vale a pena
verificar sobre o assunto em
https://en.wikipedia.org/wiki/Antiprism
15)Monte o antiprisma em papel com o molde a
seguir:
20º Andar para cima do One Word Trade Center, destruído em
11 de setembro de 2001 por Osama Bin Laden, em Manhattan, Nova
Iorque, EUA, era um antiprisma quadrangular.

13
Poliedros em Geral
QUADRO
Os poliedros podem ser classificados de várias
formas:
a)QUANTO À CONVEXIDADE, em
* Convexo, como os prismas, pirâmides, antiprismas,
troncos de prismas e pirâmides, poliedros de Platão,
de Arquimedes, de Johnson, de Catalán, entre
outros.
* Não convexo (ou côncavo), como os poliedros
estrelados e os de Kepler-Poinsot,.
b)QUANTO À REGULARIDADE, em
* Uniforme Regular (Sólidos platônicos regulares e
correspondentes não-convexos – Kepler Poinsot)
* Uniforme Semiregular (Sólidos arquimedianos
regulares – e correspondentes não-convexos)
* De Johnson (que não são platônicos,
arquimedianos, prismas ou antiprismas e faces todas
regulares)
c)QUANTO AO NÚMERO DE FACES, em
- TETRAEDRO – 4 faces
- PENTAEDRO – 5 faces
- HEXAEDRO – 6 faces (lê-se ÉQUISSAEDRO)
- HEPTAEDRO – 7 faces
- OCTAEDRO – 8 faces (obs: não é OCTOEDRO)
- ENEAEDRO – 9 faces
- DECAEDRO – 10 faces
- UNDECAEDRO – 11 faces
- DODECAEDRO – 12 faces
- PENTADECAEDRO – 15 faces
- ICOSAEDRO – 20 faces
d)QUANTO A POSSIBILIDADE OU NÃO DE SER
PLANIFICADO, em:
* Planificável
* Não Planificável
e)QUANTO À CARACTERÍSTICA V+F-A, em:
*Euleriano, se 𝑉 + 𝐹 − 𝐴 = 2
*Não-euleriano, se 𝑉 + 𝐹 − 𝐴 ≠ 2
Vamos diferenciar as classificações quanto à
convexidade, planificaridade e característica:
a)
Poliedro:
- Não-convexo
- Planificável
- Euleriano
b)
Poliedro:
- Não-convexo
- Não-planificável
- Não-euleriano (V+F-A=16+11-24=3)
c)
Poliedro:
- Não-convexo
- Não-euleriano
V+F-A=16+30-36=10
d)
Pequeno dodecaedro estrelado
- Não-convexo
- Não-euleriano
O importante livro de Filosofia da Matemática,
“Provas e Refutações”, de Imre Lakatos discute toda
a filosofia da Matemática através da Relação de
Euler V+F-A=2, sobre o conceito de poliedro e sobre
os “monstros” acima.
Afirmamos para você, que, segundo as nossas
definições (que não são universais):
1) Todo poliedro convexo é euleriano.
2) Todo poliedro planificável é euleriano.

14
1)Quanto ao número de faces, o prisma triangular é um:
( ) Triedro
( ) Tetraedro
( ) Hexaedro
2)Quanto ao número de faces um bloco retangular é
um:
( ) Tetraedro
( ) Hexaedro
( ) Octaedro
3)Qual prisma é um pentaedro?
( ) Prisma triangular
( ) Prisma quadrangular
( ) Prisma hexagonal
4)Qual antiprisma tem a mesma classificação quanto
ao número de faces que o prisma hexagonal?
( ) Antiprisma triangular
( ) Antiprisma quadrangular
( ) Não existe esse antiprisma
5)Veja o poliedro “escada”. Qual é o total de vértices,
faces e arestas?
V= _____ F= _____ A= ____
6)Calcule vértices, faces e arestas da figura:
V= _____ F= _____ A= ____
7)Calcule o número de vértices, faces e arestas:
V= _____ F= _____ A= ____
Poliedros Regulares e Poliedros de
Platão
QUADRO
Alguns poliedros possuem todos as faces com o
mesmo número de lados, e, todos os vértices com o
mesmo grau. São chamadas estas figuras de
Poliedros de Platão.
Os Poliedros de Platão, quando seus lados são
regulares, são chamados de Poliedros Regulares,
e é destes que vamos falar.
Poliedro Regular é aquele que:
(i) Tem todas faces com o mesmo
número de lados.
(ii) Os lados são polígonos regulares.
(iii) De todos os vértices sai o mesmo
número de arestas. (Todos vértices
tem o mesmo grau.)
O Poliedro de Platão não tem obrigatoriamente que
seguir o item (ii).
São os 5 poliedros regulares:
Iniciais: THODI – regra mnemônica para decorar
quais são os sólidos de Platão.
Somente estes 5 poliedros regulares existem. Não é
possível existir um 5º poliedro Regular. Podemos
provar, facilmente, que não é possível existir um 6º
poliedro Regular. O livro “Os Poliedros de Platão e
os Dedos da Mão” chegam a estes resultado
fundamental, da não existência do 5º poliedro
regular.
Os símbolos de Conway para esses poliedros são:
T – TETRAEDRO REGULAR, que é a pirâmide
triangular uniforme.
C – HEXAEDRO REGULAR, que é o cubo e o
prisma quadrangular uniforme.
O – OCTAEDRO REGULAR, que é o antiprisma
triangular uniforme.

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D – DODECAEDRO REGULAR
I – ICOSAEDRO REGULAR
Duas histórias interessantes relacionadas com este
tema. Uma diz respeito ao Filósofo Grego Platão,
outra ao Astrônomo e Físico Johannes Kepler.
`
Platão associou os 4 elementos com os sólidos. Para
ele a terra era o cubo, o ar era o octaedro regular, a
água o icosaedro regular, o fogo o tetraedro regular.
O formato do éter, a “alma do universo”, o “5º
elemento” era um dodecaedro regular.
Esta idéia está escrita em seu livro Timeu publicado
em cerca de 360aC.
Fonte:
http://www.pythagoras.nu/mmmcms/public/artikel_pr
intversie.php?deze_art_online_id=124
SAIBA QUEM SÃO:
Platão
Imagem da Wikipédia
Platão (427aC-347aC) é um dos maiores filósofos
da Grécia Antiga, junto com Sócrates e Aristóteles.
Seu pensamento é a base da filosofia cristã da
escolástica, presente principalmente na teologia de
Santo Agostinho, e também de São Tomás de
Aquino (mais influenciado por Aristóteles).
Kepler
Johannes Kepler (1571-1630), primeiro homem a
dizer que a órbita dos planetas em torno do Sol era
uma elipse e não uma circunferência (por isto as Leis
da Gravitação Universal, apesar de criadas por
Newton, serem chamadas de Lei de Kepler). Kepler,
primeiramente, criou uma bizarra explicação do
Sistema Solar, dizendo que os planetas estavam
dentro de Poliedros Regulares (veja figura abaixo, do
livro de Kepler).
Sistemas dos Mundos, de Kepler
Arquimedes
Imagem pública
Arquimedes (288aC. – 212aC)
“Havia mais imaginação na cabeça de
Arquimedes que na de Homero.”
Voltaire

16
"Arquimedes será lembrado enquanto
Ésquilo foi esquecido, porque os
idiomas morrem mas as idéias
matemáticas permanecem.
"Imortalidade" pode ser uma idéia tola,
mas provavelmente um matemático
tem a melhor chance que pode existir
de obtê-la."
G.H.Hardy
Arquimedes foi um dos maiores físicos da
Antiguidade, entre as suas descobertas notáveis
está o Princípio Hidrostático, os funcionamento dos
Sistemas de Roldanas (Polias), o cálculo da área sob
a parábola (é um dos precursores do Cálculo
Diferencial e Integral), e tem contribuições em quase
todas as áreas da Matemática. É considerado o
maior Matemático da antiguidade, tendo produzido
mais ciência que todos os outros matemáticos juntos
até o fim da Idade Média.
Três histórias suas são célebres: uma dela que, ao
descobrir o princípio hidrostático (para verificar se
estavam roubando ouro da coroa do rei), tomando
banho em um banheiro público, saiu correndo nu
pelas ruas de Siracusa gritando “Eureka!”
(Descobri!). Outra é a de que ele destruiu, na 2ª
Guerra Púnica, com lentes esféricas e catapultas, a
frota do General Romano Marcelo que tentava
invadir Siracusa. Em seus diários, os marinheiros
falavam que o povo de Siracusa tinha apoio de
gigantes e deuses. A terceira história fala sobre a
morte de Arquimedes, que, estava numa praia
escrevendo na areia, e um soldado romano passou,
e pisou nos diagramas, e, Arquimedes lhe disse:
“não atrapalhe os meus diagramas!”, e ele foi morto
(o soldado não sabia de quem tratava, pois foi
ordenado que Arquimedes não fosse morto). Mesmo
inimigo, Arquimedes foi enterrado com honras
militares. Seu túmulo, séculos mais tarde, foi
restaurado pelo general Cícero. Alguns historiadores
ironizam, dizendo que esta restauração foi a maior
contribuição do Império Romano para as ciências.
Apolônio de Perga
Apolônio de Perga (262 a.C. - 190 a.C) foi um
importante estudioso de Geometria na Grécia Antiga,
tendo estudado também astronomia. Fez um tratao
sobre secções cônicas..
1)Dê nome para cada um dos poliedros regulares
a)
b)
c)
d)

17
e)
2)Preencha a tabela a seguir sobre os poliedros
regulares.
Poliedro Número
de
lados
de cada
face
𝑠
Quantidade
de arestas
que parte
de cada
vértice
𝑚
V F A
Tetraedro
Regular
Hexaedro
Regular
Octaedro
Regular
Dodecaedro
Regular
Icosaedro
Regular
3)Defina Poliedro Regular.
Resposta: Poliedro Regular é um poliedro que
cumpre as seguintes características:
• cada face é o mesmo polígono regular
• o mesmo número de polígonos se encontra
em cada vértice
4)Associe os poliedros regulares com suas
respectivas planificações
a)
b)
c)
d)
e)

18
5)Associe os poliedros regulares com seus
diagramas de Schlegel.
a)
b)
c)
d)
e)
6)O que acontece se truncarmos um icosaedro?
Veja a figura:
Você irá retirar pirâmides pentagonais regulares
com bases no formato de triângulo equilátero de
todos os 12 vértices.
a)Qual será o formato da figura restante?
b)Quantas faces de cada formato serão geradas?
7)Dados de RPG e Probabilidades
Imagem de Mercado Livre
Acesso em 9/4/2020, 18h59
Existem dados de RPG em formato de poliedros
regulares e outros com outros formatos como
podemos ver na figura. Agora só vai nos interessar
os seguintes dados:

19
D4 – dado em forma de tetraedro regular
D6 – dado cúbico comum
D8 -Dado em forma de octaedro regular
D12 – Dado em forma de dodecaedro regular
D20 – Dado em forma de icosaedro regular.
Todos os Dn numerados de 1 a n
consecutivamente.
As questões a seguir são do livro MATEMÁTICA
DO COTIDIANO - 8º ano, do prof. Antônio José
Lopes Bigode
a) No lançamento de um dado em forma de
tetraedro, qual é a probabilidade de ocorrer:
* o número 3?
* um número par?
* um número primo?
* um número maior do que 5?
b)No lançamento de um dado na forma de
octaedro, qual é a probabilidade de ocorrer:
* o número 3?
* o número 2 ou o número 4?
* um número primo?
* um número menor do que 5?
c)No lançamento de um dado na forma de
dodecaedro, qual é a probabilidade de ocorrer:
* o número 5?
* o número 2 ou o número 4?
* um número primo?
* um número maior do que 5 é primo?
d)No lançamento de um dado na forma de
icosaedro, qual é a probabilidade de ocorrer:
* o número 5?
* um número primo?
* um número maior do que 5?
* um múltiplo de 2 e múltiplo de 3?
e)Lançando um dado na forma de icosaedro, qual
é a probabilidade de que o número seja:
* ímpar?
* composto?
* menor do que 20?
* maior do que 20?
* maior do que 21?
* múltiplo de 5?
* primo e par?
* primo ou par?
* primo e maior do que 10?
* primo e menor do que 10?
f) Lançando um dado em forma de dodecaedro
com suas 12 faces numeradas de 1 a 12 e
observando a face voltada para cima, qual é a
probabilidade de que o número seja:
* menor do que 10?
* maior do que 12?
* múltiplo de 5?
* primo e maior do que 10?
* ímpar?
* composto?
* maior do que 10?
* múltiplo de 3?
* primo e par?
* primo ou par?
8)Faces opostas de um dado de RPG
Com exceção do D4, é uma regra dos fabricantes
de dados de RPG que as faces opostas tenham a
mesma soma.
a)Por qual motivo o D4 é uma exceção?
b)Determine a soma das faces opostas do D6,
justificando.
c) Determine a soma das faces opostas do D8,
justificando.

20
d) Determine a soma das faces opostas do D12,
justificando.
e) Determine a soma das faces opostas do D20,
justificando.
f)Qual face do D20 está apoiada na mesa? (A face
superior é 4)?
g)Qual face do D12 está apoiada na mesa?
h)Qual face do D8 está apoiada na mesa?
9)Veja a imagem do site
https://www.mathsisfun.com/geometry/icosahedron.
html
A partir dessa imagem, sem contar
individualmente ou usar a relação de Euler,
explique uma estratégia para determinar o número
de vértices e arestas sabendo que o poliedro é
uniforme tem 20 faces.
10)O universo possui apenas 3 dimensões, então
é impossível desenharmos politopos de
dimensões superiores a 3. Polígonos são
politopos de dimensão 2 e Poliedros são politopos
de dimensão 3. Um dos politopos mais famosos é
o tesseract, que é um hipercubo da 4ª dimensão.
Apesar disso, é possível desenharmos os
diagramas de Schlegel dos politopos da 4ª
dimensão, já que tais diagramas reduzem os
politopos da nª dimensão para a (n-1)ª dimensão.
Veja o diagrama de Schlegel do “Tesseract”:

21
Veja agora o diagrama de Schelegel de outra
figura da quarta dimensão, o Dodecaplex:
A imagem a seguir dá mais uma idéia de como é
o Tesseract através de sua solidificação:
Recomendamos a exploração do assunto:
https://en.wikipedia.org/wiki/Hypercube
https://en.wikipedia.org/wiki/Tesseract
https://en.wikipedia.org/wiki/4-polytope
https://en.wikipedia.org/wiki/Regular_4-polytope
Também há um interessante vídeo, disponível
em:
https://www.youtube.com/watch?v=5xN4DxdiFrs
Acessos em 9/4/2020, 18h52
11)Planificações do Cubo
Existem 35 hexaminós diferentes, a não ser por
simetrias de rotação e reflexão.
Apenas 11 são planificações do cubo.
Sem recorrer à Internet, descubra as 11
planificações do cubo:

22
As planificações são:
____ ____ ____ ____ ____ ____
____ ____ ____ ____ ____
(Imagem do prof. Antônio José Lopes Bigode)
12)Planificações do Octaedro
Abaixo 13 figuras, 11 delas são planificações do
octaedro. Descubra as 2 intrusas:
Exercício de Antônio José Lopes Bigode.

23
13) É muito comum a confecção de calendários
dodecaédricos. Veja a imagem:
Que tal você montar o seu calendário
dodecaédrico de 2020?
14)Você já viu o cubo impossível de Escher?
Tente desenhá-lo em seu caderno.
Contagem de Vértices, Faces e Arestas
de Poliedros
QUADRO
Você pode ler o livro “Poliedros de Platão e os
Dedos da Mão”, de Nilson José Machado, um
antigo paradidático da Editora Ática e
compreender em detalhes as técnicas que
usamos.
IMPORTANTE: Esta técnica só funciona em
poliedros em que todos os vértices tem o
mesmo grau, ou seja, deles parte o mesmo
número de arestas, e também que cada aresta
pertença a exatamente 2 faces de um poliedro.
(Ou seja, funciona com sólidos de Platão ou de
Arquimedes, Prismas e Antiprismas).
Cálculo do Número de Faces – A estratégia
que descreveremos depende que você conte o
número de faces, inclusive, registrando quando
faces de cada tipo o poliedro possui.
Cálculo do Número de Arestas – Cada aresta
pertence a 2 faces exatamente (divisória).
Então, pegamos o número de faces de cada
quantidade de lados e multiplicamos pelo
número de lados, somamos e o resultado
dividimos por dois (veja o exemplo).
Cálculo do Número de Vértices – Fazemos o
mesmo cálculo acima, mas, dividimos pelo grau
do vértice.
Cubo (aqui é só contar, não é preciso da
técnica, mas faremos como exemplo)
Faces: 6 faces quadrangulares (quadradas)
Arestas: 6 faces x 4 lados = 24; 242=12
arestas

24
Vértices: 6 faces x 4 lados = 24; grau dos
vértices: 3 (partem 3 arestas de cada vértice);
243=8 vértices
Dodecaedro
Faces: 12 faces pentagonais
Arestas: 12 faces x 5 lados = 60; 602=30
arestas
Vértices: 12 faces x 5 lados = 60; grau dos
vértices: 3 (g=3); 603=20 vértices.
Poliedro Bola, Buckyball ou Icosaedro
Truncado
Faces: 12 faces pentagonais, 20 faces
hexagonais; total de faces: 12+20=32 faces
Arestas: 12x5+20x6=60+120=180; 1802=90
arestas
Vértices: grau dos vértices: 3; 1803=60
vértices
Tetraedro Truncado
Faces: 4 faces hexagonais, 4 faces triangulares;
total de faces: 4+4=8 faces
Arestas: 4x6+4x3=24+12=36; 362=18 arestas
Vértices: grau do vértice: 3; 183=6 arestas
1) Ache, segundo as estratégias acima, o número
de vértices, faces e arestas, dadas a figura e sua
planificação:
a)
Cuboctaedro
b)
Icosaedro
c)
Rombicuboctaedro
d)
Cubo Truncado
2)Sendo 𝑠 o número de lados da face e 𝑚 o grau
dos vértices nos poliedros regulares, deduza um
método para calcular o número de arestas A e
vértices V em qualquer poliedro regular com F
faces.

25
Resposta:
O número de arestas é a metade do produto do
número de faces F pelo número de lados de cada
face 𝑠 dividido por 2.
𝐴 =
𝑠𝐹
2
O número de vértices depende do seu grau,
portanto:
𝑉 =
𝑚𝐹
2
3) Uma bola de futebol é composta por 20 “gomos”
hexagonais e 12 “gomos” pentagonais. Uma
costureira gasta 15 cm de linha para emendar os
gomos e formar uma bola. Quantos metros de
linha usa essa costureira?
Existência de apenas 5 poliedros
regulares
QUADRO
DEMONSTRAÇÃO 1
Os vértices de um poliedro são compostos de pelo
menos 3 faces (talvez mais). Os ângulos dessas
faces precisam ser menores que 360º, pois, caso
contrário teríamos a seguinte configuração e
portanto não seria um vértice:
Portanto, a soma dos ângulos precisa ser menor
que 360º:
Poliedros Regulares são compostos por faces
congruentes que são polígonos regulares e sempre
em quantidade igual em torno de um vértice. Vamos
relembrar a medida do ângulo interno de alguns
polígonos regulares:
São necessárias 3 faces no mínimo, então, o ângulo
precisa ser inferior a
360°
3
= 120°, restando a
possibilidade de investigar apenas o triângulo
equilátero, o quadrado e o pentágono regular.
Note que se tivermos
• 6 triângulos 6 x 60°=360. (não pode)
• 4 quadrados 4 x 90° = 360° (não pode)
• 4 pentágonos 4 x 108° = 432° (não pode)
• 3 hexágonos 3 x 120° = 360° (não pode)
Portanto é possível compor 5 poliedros regulares:

26
DEMONSTRAÇÃO 2
Consideremos como 𝑉, 𝐹, 𝐴 respectivamente o
número de vértices, faces e arestas, 𝑠 o número de
lados das faces (ex: no cubo 𝑠 = 4) e 𝑚 o número de
faces em torno de cada vértice (no octaedro 𝑚 = 4).
Como uma aresta pertence à duas faces podemos
afirmar, sem medo de errar que
𝑠𝐹 = 2𝐴
Se você não entendeu a afirmação observe a figura
e note que antes haviam 12 arestas, mas depois, 24
arestas:
Se de igual forma podemos observer que :
𝑚𝑉 = 2𝐴
A figura a seguir mostra que se dobrarmos o número
de arestas teremos 𝑚 vezes o número de vértices.
Das duas equações, concluímos que:
𝐹 =
2𝐴
𝑠
𝑉 =
2𝐴
𝑚
Substituindo na já conhecida Relação de Euler
𝑉 + 𝐹 − 𝐴 = 2
Temos
2𝐴
𝑚
+
2𝐴
𝑠
− 𝐴 = 2
Dividindo toda a equação por 2𝐴 temos que
1
𝑚
+
1
𝑠
−
1
2
=
1
𝐴
Como 𝐴 é o número de arestas, é obrigatório que
1
𝐴
> 0
Logo
1
𝑚
+
1
𝑠
−
1
2
> 0
1
𝑚
+
1
𝑠
>
1
2
Lembrando que 𝑠 ≥ 3 e 𝑚 ≥ 3 (pois caso contrário
não seria um poliedro), podemos testar as
possibilidades:
Não sendo possível em nenhum outro caso.
Aí temos os seguintes poliedros:

27
OBSERVAÇÃO: Não vamos tratar os símbolos de
Schläfli nesse curso, mas {𝑠, 𝑚} indicam os símbolos
para os poliedros regulares.
Ex:{3,4} é o símbolo de Schläfli para o octaedro.
Imagens dessa demonstração do site:
https://www.mathsisfun.com/geometry/platonic-
solids-why-five.html. Acesso em 9/4/2020, 18h
Você sabia que as coordenadas cartesianas dos poliedros
regulares icosaedro e dodecaedro possuem relação com o número
de ouro ϕ =
1+√5
2
. Saiba mais em
https://en.wikipedia.org/wiki/Platonic_solid
Poliedros de Kepler-Poinsot
QUADRO
As faces de poliedros podem ser entrelaçadas e
formadas por polígonos regulares. Nesse caso
temos 4 poliedros regulares não-convexos, os
chamados Poliedros de Kepler-Poinsot que não
estudaremos em profundidade nesse curso.
Eles são poliedros regulares pois em todos os
vértices encontram-se o mesmo número de faces,
todas elas o mesmo polígono regular.
Veja nas figuras, em amarelo uma das faces
destacadas:
Vamos conhecer cada um deles melhor
a)PEQUENO DODECAEDRO ESTRELADO:
Composto por 12 pentagramas regulares.
Possui 12 vértices e 30 arestas.
b)GRANDE DODECAEDRO ESTRELADO:
Composto por 12 pentagramas regulares.
c)GRANDE DODECAEDRO
Composto por 12 pentágonos regulares.
d)ICOSAEDRO ESTRELADO
Composto por 20 triângulo equiláteros

28
Foram descobertos em 1619 pelo astrônomo Johann
Kepler.
COMPARTILHAMENTO DE VÉRTICES –
EQUIVALÊNCIA TOPOLÓGICA DOS
ESQUELETOS
O grande dodecaedro compartilha com vértices com
o dodecaedro e os demais compartilham o mesmo
esqueleto com o icosaedro. Os esqueletos dos
sólidos são topológicamente equivalentes.
Fonte das Imagens Wikipédia
NOTAÇÃO DE CONWAY
Para gerar os poliedros estrelados são feitas
operações sobre os poliedros dodecaedro e
icosaedro. Essas operações ainda serão estudadas.
Os símbolos ficam
grande dodecaedro - gD
dodecaedro estrelado - sD
grande icosaedro - gI
grande dodecaedro estrelado - sgD=gsD
Veja o diagrama das operações, em Inglês, da
Wikipédia:
Veja que no diagrama fala em densidade dos
poliedros estrelados, que depende do conceito de
CARACTERÍSTICA DE EULER e de VERTEX e não
vamos estudar aqui. Você pode seguir noS linkS:
https://en.wikipedia.org/wiki/Kepler%E2%80%93P
oinsot_polyhedron,
https://en.wikipedia.org/wiki/Density_(polytope),
https://en.wikipedia.org/wiki/Vertex_figure
1)Verifique a característica de Euler:
𝜒 = 𝑉 + 𝐹 − 𝐴
Para cada um dos poliedros estrelados.
Operações sobre Poliedros
QUADRO
É muito complicado estudar operações sobre
poliedros, tendo em vista que é muito mais
complicado do que apresentaremos a seguir. Porém,
para um curso inicial básico, precisamos apresentar
isso de forma bastante elementar.
Conway criou uma série de nomenclaturas para as
operações, a seguir uma tabela, em Inglês:
kN - kis on N-sided faces (if no N, then general kis)
a - ambo
g - gyro
d - dual

29
r - reflect
e - explode (a.k.a. expand, equiv. to aa)
b - bevel (equiv. to ta)
o - ortho (equiv. to jj)
m - meta (equiv. to k3j)
tN - truncate vertices of degree N (equiv. to dkNd; if
no N, then truncate all vertices)
j - join (equiv. to dad)
s - snub (equiv. to dgd)
p - propellor
c - chamfer
w - whirl
q – quinto
Fonte: http://levskaya.github.io/polyhedronisme/
Há até um site que faz transformações com
operações usando uma animação simples:
https://demonstrations.wolfram.com/WythoffCons
tructionOfPolyhedra/
Vamos aprender, superficialmente, algumas
operações.
TRUNCATURA
Truncamento consiste na eliminação de uma porção
do poliedro através de um corte. Essa parte retirada
é denominada de cúspide e a que resta é chamada
de tronco se for uma pirâmide ou cone. A cada
truncamento você aumenta uma face.
Ex:
Cubo Truncado - tC
Octaedro Truncado - tO
O truncamento não precisa ser regular como
mostramos, ele pode ser de outra forma:
Há muito o que falar sobre essa operação.
Recomendamos que consulte:
https://en.wikipedia.org/wiki/Truncation_(geometr
y)
ESTRELAÇÃO
A estrelação consiste em estender algumas faces do
poliedro até um ponto em que elas se reencontram.
Imagem da Wikipédia Italiana
Os dois primeiros dodecaedros são poliedros de
Kepler-Poinsot.
EXPANSÃO
A operação consiste em afastar todas as faces do
poliedro e preencher os espaços vazios resultantes
com polígonos (triângulos, retângulos, pentágonos,
etc.).
A expansão de sólido é caso especial de
snubificação em que não ocorre rotação.
Ex:
a)Expansão do tetraedro resulta o cuboctaedro:

30
b)Da expansão do hexaedro resulta o
rombicuboctaedro.
c)Da expansão do octaedro resulta o
rombicuboctaedro.
d)Da expansão do dodecaedro resulta o
rombicosidodecaedro.
e)Da expansão do icosaedro resulta o
rombicosidodecaedro.
E mais:
*Da expansão do cuboctaedro resulta o octaedro
truncado, o cubo, o cubo truncado e o tetraedro.
*Da expansão do cubo truncado resulta o
cuboctaedro.
Essas expansões geraram sólidos uniformes, porém,
é possível fazer expansões de outras maneiras:
Imagem da Wikipédia, com as outras da sessão
SNUBIFICAÇÃO
A snubificação de um poliedro é uma operação sobre
um poliedro que permite obter outro poliedro. A
operação consiste em afastar todas as faces do
poliedro, rodar as mesmas um certo ângulo
(normalmente 45º) e preencher os espaços vazios
resultantes com polígonos (triângulos, retângulos,
pentágonos, etc.).
O caso especial de uma snubificação sem rotação
chama-se expansão de sólido, que já vimos.
a)Da snubificação do cubo resulta o cubo snub
b)Da snubificação do dodecaedro resulta o
dodecaedro snub
c)Da snubificação do tetraedro resulta o icosaedro
d)Da snubificação do octaedro resulta o cubo snub.

31
e)Da snubificação do icosaedro resulta o
dodecaedro snub
O símbolo de Conway para snubificação é um “s”
antes do símbolo comum. Como todas as outras
operações é possível operar sobre pavimentações,
tanto no espaço euclidiano quanto em outros
espaços, como o hiperbólico.
Veja exemplos de poliedros não-regulares:
Imagens da Wikipédia
Veja mais em:
https://en.wikipedia.org/wiki/Snub_(geometry)
ACUMULAÇÃO
Acumulação de sólidos é uma operação sobre
sólidos que consiste em substituir as faces
poligonais por outros sólidos.
É a operação inversa da Truncatura de um Sólido.
Exemplos:
*A partir do Tetraedro obtém-se o Tetraedro triakis
Tetraedro Triakis – Wikipédia
Planificação do Tetraedro Triakis - Wikipédia
*A partir do Hexaedro ou Cubo obtém-se o Hexaedro
tetrakis
*A partir do Octaedro obtém-se o Octaedro triakis
*A partir do Dodecaedro obtém-se o Dodecaedro
pentakis
*A partir do Icosaedro obtém-se o Icosaedro triakis
*A partir do Dodecaedro rômbico obtém-se o
Dodecaedro disdiakis
Essas figuras são Sólidos de Catalán e falaremos
sobre elas posteriormente.
Fonte do texto: Wikipédia
POLIEDRO DUAL
Veremos em tópico especial abaixo.
Existem outras operações como:
➢ Bitruncamento, Omnitruncamento:
https://en.wikipedia.org/wiki/Bitruncation
➢ Retificação, Birretificação, Trirretificação:
https://en.wikipedia.org/wiki/Rectification
_(geometry)
➢ Alternação:
https://en.wikipedia.org/wiki/Alternation_(
geometry)
➢ Composição:
https://pt.wikipedia.org/wiki/Poliedro_com
posto
Leia um artigo interessante sobre o poliedro Bola de
Futebol: http://gazeta.spm.pt/getArtigo?gid=525

32
1)Qual é a notação de Conway do poliedro-bola, o
ICOSAEDRO TRUNCADO?
2)Qual operação está sendo mostrada na figura?
Imagem de Talita Almeida
3) Veja sendo truncados o tetraedro regular, o
cubo ou o dodecaedro regular:
a)Qual forma geométrica esses sólidos formam ao
ser truncado um vértice.
b)O que acontece com a quantidade de vértices
ao ser truncado um vértice?
c) b)O que acontece com a quantidade de faces
d) O que acontece com a quantidade de arestas
e)A partir do que concluímos no item b, c, d,
determine quantos vértices, faces e arestas
possui:
*Tetraedro Truncado
V=____ F=_____ A=____
*Cubo Truncado
V=_____ F=_____ A=____
*Octaedro Truncado
V=_____ F=_____ A=____
4)Observe agora ao truncar um vértice do
octaedro e icosaedro o que ocorre:
a)Ao truncar o octaedro em 1 vértice o que
acontece com o quantitativo de:
* vértices
* faces
* arestas
b)A partir do item A, responda quantos são os
vértices, faces e arestas
*Octaedro Truncado
V=____ F=_____ A=____
*Dodecaedro Truncado
V=_____ F=_____ A=____
5)Classifique a imagem a seguir (de Talita
Almeida):

33
Poliedros Duais
QUADRO
O Dual de um poliedro é aquele onde os vértices de
um se inscrevem nas faces dos outros. Veja um
exemplo:
Veja os duais dos poliedros regulares:
O Dual de um poliedro regular é um poliedro regular.
Cubo e Octaedro formam um par de duais. Icosaedro
e Dodecaedro formam um par de duais. O Tetraedro
é dual dele mesmo, chamado de Sólido
Hermafrodita.
Temos que:
• O dual de um Poliedro de Platão é um
Poliedro de Platão.
• O dual de um Poliedro de Kepler-Poinsot é
um Poliedro de Kepler-Poinsot.
• O dual de um Poliedro Arquimediano, que
veremos ainda, é um Poliedro de Catalán,
que ainda veremos.
O Kelpler já conhecia o conceito de dualidade, veja
a imagem:
A imagem acima é do livro Harmonices Mundi, de
1619.
Além dos poliedros uniforme acima relatados ainda
há outros poliedros auto-duais, como pirâmides,
pirâmides alongadas e trapezoedros diminuídos.
Fazer um dual é uma forma de operação de
poliedros.
Veja mais em
https://en.wikipedia.org/wiki/Dual_polyhedron. Ali
você pode ter imagens de pirâmides alongadas e
trapezoedros diminuídos.
Dica de site:
http://www.mi.sanu.ac.rs/vismath/zefiro2013new/
index.htm
Para aprofundar, recomendamos os seguintes assuntos:
SÍMBOLO DE SCHLÄFLI, DIAGRAMA DE COXETER,
GEOMETRIA NA QUARTA DIMENSÃO (TESSERACT),
POLITOPES, PAVIMENTAÇÕES NO ESPAÇO (HONEYCOMBS ou
FAVOS DE MEL), INSFERA – MEIOSFERA - CIRCUNSFERA. Não
há sites em português que tratem do assunto de forma profunda.

34

14 qa introducao aos poliedros - aula 1

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