aquinorural06
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O documento descreve a importância dos Elementos de Euclides para a geometria, especificamente seu uso do método axiomático e como isso influenciou o desenvolvimento posterior da matemática e da ciência. O documento também discute como o quinto postulado de Euclides levou ao desenvolvimento da geometria não-euclidiana.
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- 1. A Importância dos Elementos de Euclides para a Geometria Alunos: Jessé Pereira Lia Daris Lohro Couto
- 2. A GEOMETRIA ANTES DE EUCLIDES A geometria nasceu no Egito antigo como ciência empírica, um conjunto de métodos de mensuração necessários para reconstituir os limites das propriedades em seguida às inundações anuais do Nilo. Os gregos viram que os conhecimentos geométricos não poderiam depender da experiência ou da evidência sensorial, pois uma e outra nunca nos permitiriam entrar em contato com pontos, retas e planos, meras abstrações. Esses conhecimentos dependeriam de demonstrações. Sabiam, porém, que era impossível demonstrar tudo, pois isso provocaria uma regressão ao infinito, com cada afirmação sendo sempre remetida a afirmações anteriores. Para evitar isso, era preciso buscar o que Aristóteles chamou de primeiros princípios, que, sendo evidentes, dispensariam as provas. A partir dessa âncora, a lógica nos conduziria a conhecimentos válidos, constituindo-se assim uma ciência demonstrativa.
- 3. A matemática grega pré-euclidiana apresenta um desenvolvimento rápido, inspirado e acrítico (depois de Tales de Mileto); em seguida, um estágio de crítica e de dúvidas e, finalmente, uma disposição e polimento cuidadosos das várias partes. Coube a Euclides realizar o ideal de sistematizar os conhecimentos que outros povos haviam adquirido de forma desordenada através do tempo, dar ordem a lógica a esses conhecimentos, estudando a fundo as propriedades das figuras geométricas, as áreas e os volumes.
- 4. A OBRA E SEU DIFERENCIAL Elaborada por Euclides, a obra é considerada um marco, conhecida por seus sucessores como “elementador”, Foi composto em 300 A.C. aproximadamente e foi copiado repetidas vezes inserindo erros e variações inevitáveis, e alguns editores, notadamente Teon de Alexandria no fim do quarto século, tentaram melhorar o original. A obra possui 13 volumes, é pioneira no modelo axiomático, ou seja, os axiomas ou postulados e os teoremas que antes eram expostos sem a necessidade de demonstração e agrupados ao acaso, nesta obra, seguem uma ordem lógica perfeita onde cada teorema gerado é fruto dos axiomas ou postulados e os teoremas que vieram antes dele, seguindo uma demonstração rigorosa. Vale salientar que embora o uso do modelo axiomático seja utilizado nessa obra, Euclides em alguns momentos e de forma involuntária, não se utiliza das demonstrações para afirmar seus postulados e definições, além disso, admitiu resultados intuitivos, sem demonstração.
- 5. OS ELEMENTOS A grosso modo, podemos sintetizar assim o conteúdo dos treze livros: Livro I: Definições, axiomas e postulados; os três casos de congruência de triângulo; teoria das paralelas; relações entre áreas de paralelogramos, triângulos e quadrados. A proposição quarenta e sete (penúltima) é o conhecidíssimo Teorema de Pitágoras. Acredita-se que a maioria do conteúdo deste Livro é devido aos pitagóricos. Livro II: Trata o que usualmente se designa por álgebra geométrica ou geometria das áreas. Num total de 14 proposições. Livro III: Consiste em trinta e nove proposições contendo muitos dos teoremas conhecidos sobre ângulos, círculos, cordas, secantes e tangentes.
- 6. Livro IV: Construção de alguns polígonos regulares, bem como a sua inscrição e circunscrição num círculo. Livro V: Teoria das Proporções de Eudoxo. Livro VI: Aplicação dos resultados do Livro V à geometria plana. Livros VII, VIII e IX: Livros consagrados à Teoria de Números. Livro X: Versa sobre as grandezas irracionais. É o Livro mais extenso deste conjunto de treze Livros. Livros XI, XII e XIII: Sobre geometria tridimensional
- 7. O 5º POSTULADO DE EUCLIDES O quinto postulado do livro I, é mais famoso dos postulados de Euclides e aquele que tem dado mais dores de cabeça aos matemáticos. Equivalente ao “axioma das paralelas”, de acordo com o qual, por um ponto exterior a uma reta, apenas passa uma outra reta paralela à dada, desde cedo que este postulado foi objeto de polêmica por não possuir o mesmo grau de “evidência” que os restantes. Já na antigüidade vários matemáticos acreditavam que ele pudesse ser demonstrado com base nos outros postulados e tentaram fazer tal demonstração. Essas tentativas foram retomadas nos tempos modernos, então por volta de 1830 já havia sérias suspeitas de que o postulado das paralelas não pudesse ser demonstrado a partir dos outros. Suspeitava-se que ele fosse independente dos outros quatro, e que se pudesse desenvolver uma geometria a partir de negações do postulado das paralelas, ao lado dos outros postulados de Euclides.
- 8. Foi necessário esperar até ao século XIX para que Karl Friedrich Gauss, Janos Bolyai, Bernard Diemann e Nicolai Ivanovich Lobachevski conseguissem demonstrar que se trata efectivamente de um axioma, necessário e independente dos outros. Supuseram que o postulado de Euclides não era verdadeiro e substituíram-no por outros axiomas: Por um ponto exterior a uma recta, podemos traçar uma infinidade de paralelas a esta recta (geometria deLobachevski); Por um ponto exterior a uma recta não podemos traçar nenhuma paralela a esta recta (geometria de Riemann). Todos se deram então conta de que, substituindo o axioma das paralelas, era possível construir duas geometrias diferentes da geometria euclidiana, igualmente coerentes e que não conduziam a nenhuma contradição.
- 9. Apesar de serem dificilmente concebíveis, estas duas novas geometrias foram a pouco e pouco reconhecidas como alternativas legítimas. Chegou-se mesmo a demonstrar que, se qualquer das duas pudesse apresentar alguma contradição, a própria geometria euclidiana seria também contraditória. Desde então, encontramo-nos perante três sistemas geométricos diferentes: A geometria euclidiana, por vezes também chamada parabólica; A geometria de Lobachevski, também chamada hiperbólica; A geometria do Riemann, também chamada elíptica ou esférica. As duas últimas recebem o nome de geometrias não euclidianas. Estas novas geometrias permitiram às ciências exatas do século XX uma série de avanços, entre os quais a elaboração da Teoria da Relatividade de Einstein (1879 - 1955). O que permitiu provar que essas teorias, ao contrário do que muitos afirmavam, tinham realmente aplicações práticas.
- 10. INFLUENCIADOS POR EUCLIDES A obra de Euclides também influenciou cientistas posteriores a ele, Nicolaus Copernicus, Johannes Kepler, Galileu Galilei e Sir Isaac Newton. Os matemáticos e filósofos: Bertrand Russel, Alfred North Whitehead e Baruch Spinoza, tentaram criar seus próprios “elementos” fundamentais de suas respectivas disciplinas, adotando as estruturas dedutivas axiomáticas introduzidas pela obra de Euclides.
- 11. CONCLUSÃO Podemos evidenciar também que Euclides compilou todo conhecimento geométrico existente em sua época de uma forma axiomática, lógica e até didática. Utilizou-se de conhecimentos pré-existentes já demonstrados adequando-os a uma linha lógica de pensamentos matemáticos, mas também demonstrou vários teoremas visando uma maior consistência lógica. Com efeito, hoje, não apresentam a geometria como um mero agrupamento de dados desconexos, mas antes como um sistema lógico. De fato, o trabalho executado por Euclides nos apresenta uma visão Platônica e Aristotélica. Ele era mais Platônico quando formulava proposições cujos encadeamentos mentais eram suficientes para evidenciar a verdade e era mais Aristotélico quando, por necessidade ou por sistema, construía diagramas que tornavam a verdade (mais) acessível.
- 12. Outra consequência dos Elementos de Euclides foi, devido ao 5º postulado, a Geometria Não-Euclidiana, que é dividida em duas: Geometria de Lobachevski (a hiperbólica) e -Geometria de Riemann (a elíptica ou esférica). Nos deixando assim nos tempos atuais diante de três tipos de Geometrias: A geometria euclidiana, por vezes também chamada parabólica; A geometria de Lobachevski, também chamada hiperbólica; A geometria do Riemann, também chamada elíptica ou esférica
- 13. BIBLIOGRAFIA www.ime.usp.br/~leo/imatica/historia/euclides.html www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/euclides/elementoseuclid es.htm www.ime.unicamp.br/~eliane/ma241/trabalhos/euclides.pdf www.prof2000.pt/users/amma/af18/t1/t1.htm www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/diaadia/diadia/arquivos/File/conteudo/v eiculos_de_comunicacao/RPM/RPM45/RPM45_01.PDF http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/euclides/postulado euclides.htm