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Geisla Maia Gomes

O documento apresenta um módulo sobre Álgebra Linear que aborda os tópicos de autovalores, autovetores, transformações lineares e formas quádricas. O módulo é composto por 19 aulas e fornece definições, exemplos e procedimentos para cálculo de autovalores, autovetores, diagonalização de matrizes e formas quádricas.

Educação
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Projeto Institucional Edital nº 015/2010/CAPES/DED Fomento ao uso de tecnologias de comunição e informação nos cursos de graduação Álgebra Linear Módulo 2 Autovalores e autovetores Transformações lineares Formas quádricas Jossana Ferreira
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Jossana Ferreira Módulo 2 Autovalores e autovetores Transformações lineares Formas quádricas
Catalogação da publicação na fonte. Bibliotecária Verônica Pinheiro da Silva. © Copyright 2005. Todos os direitos reservados a Editora da Universidade Federal do Rio Grande do Norte – EDUFRN. Nenhuma parte deste material pode ser utilizada ou reproduzida sem a autorização expressa do Ministério da Educacão – MEC Governo Federal Presidenta da República Dilma Vana Rousseff Vice-Presidente da República Michel Miguel Elias Temer Lulia Ministro da Educação Aloizio Mercadante Oliva Reitora Ângela Maria Paiva Cruz Vice-Reitora Maria de Fátima Freire Melo Ximenes Secretária de Educação a Distância Maria Carmem Freire Diógenes Rêgo Secretária Adjunta de Educação a Distância Eugênia Maria Dantas Pró-Reitoria de Graduação Alexandre Augusto de Lara Menezes Comitê Gestor Presidente Alexandre Augusto de Lara Menezes Coordenação geral Apuena Vieira Gomes Coordenadores Apuena Vieira Gomes/CE Adir Luiz Ferreira/CE Gleydson de Azevedo Ferreira Lima/SINFO Marcos Aurélio Felipe/CE Maria Carmozi de Souza Gomes/PROGRAD Rex Antonio da Costa de Medeiros/ECT Coordenador de Produção de Materiais Didáticos Marcos Aurélio Felipe Projeto Gráfico Ivana Lima Revisores de Estrutura e Linguagem Eugenio Tavares Borges Janio Gustavo Barbosa Jeremias Alves de Araújo Kaline Sampaio de Araújo Luciane Almeida Mascarenhas de Andrade Thalyta Mabel Nobre Barbosa Revisoras de Língua Portuguesa Cristinara Ferreira dos Santos Emanuelle Pereira de Lima Diniz Janaina Tomaz Capistrano Revisora das Normas da ABNT Verônica Pinheiro da Silva Revisora Técnica Rosilene Alves de Paiva Ilustradores Adauto Harley Anderson Gomes do Nascimento Carolina Costa de Oliveira Dickson de Oliveira Tavares Leonardo dos Santos Feitoza Roberto Luiz Batista de Lima Rommel Figueiredo Diagramadores Ana Paula Resende Carolina Aires Mayer Davi Jose di Giacomo Koshiyama Elizabeth da Silva Ferreira Ivana Lima José Antonio Bezerra Junior Luciana Melo de Lacerda Rafael Marques Garcia Secretaria de Educação a Distância (SEDIS) FICHA TÉCNICA
Natal – RN Abril/2012 Módulo 2 Autovalores e autovetores Transformações lineares Formas quádricas Jossana Ferreira Álgebra Linear
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Sumário Apresentação Institucional 5 Aula 12 Autovalores e autovetores 7 Aula 13 Diagonalização de matrizes 21 Aula 14 Transformações lineares – definição 37 Aula 15 Transformações lineares e matrizes 57 Aula 16 Transformações lineares inversas 69 Aula 17 Transformações lineares e geometria do 2 83 Aula 18 Formas quádricas 101 Aula 19 Diagonalização de formas quádricas 115 Aula 20 Seções cônicas 125
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5 Apresentação Institucional A Secretaria de Educação a Distância – SEDIS da Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN, desde 2005, vem atuando como fomentadora, no âmbito local, das Políticas Nacionais de Educação a Distância em parceira com a Secretaria de Educação a Distância – SEED, o Ministério da Educação – MEC e a Universidade Aberta do Brasil – UAB/CAPES. Duas linhas de atuação têm caracterizado o esforço em EaD desta instituição: a primeira está voltada para a Formação Continuada de Professores do Ensino Básico, sendo implementados cursos de licenciatura e pós-graduação lato e stricto sensu; a segunda volta-se para a Formação de Gestores Públicos, através da oferta de bacharelados e especializações em Administração Pública e Administração Pública Municipal. Para dar suporte à oferta dos cursos de EaD, a Sedis tem disponibilizado um conjunto de meios didáticos e pedagógicos, dentre os quais se destacam os materiais impressos que são elaborados por disciplinas, utilizando linguagem e projeto gráfico para atender às necessidades de um aluno que aprende a distância. O conteúdo é elaborado por profissionais qualificados e que têm experiência relevante na área, com o apoio de uma equipe multidisciplinar. O material impresso é a referência primária para o aluno, sendo indicadas outras mídias, como videoaulas, livros, textos, filmes, videoconferências, materiais digitais e interativos e webconferências, que possibilitam ampliar os conteúdos e a interação entre os sujeitos do processo de aprendizagem. Assim, a UFRN através da SEDIS se integra o grupo de instituições que assumiram o desafio de contribuir com a formação desse “capital” humano e incorporou a EaD como moda- lidade capaz de superar as barreiras espaciais e políticas que tornaram cada vez mais seleto o acesso à graduação e à pós-graduação no Brasil. No Rio Grande do Norte, a UFRN está presente em polos presenciais de apoio localizados nas mais diferentes regiões, ofertando cursos de graduação, aperfeiçoamento, especialização e mestrado, interiorizando e tornando o Ensino Superior uma realidade que contribui para diminuir as diferenças regionais e o conhecimento uma possibilidade concreta para o desenvolvimento local. Nesse sentido, este material que você recebe é resultado de um investimento intelectual e econômico assumido por diversas instituições que se comprometeram com a Educação e com a reversão da seletividade do espaço quanto ao acesso e ao consumo do saber E REFLE- TE O COMPROMISSO DA SEDIS/UFRN COM A EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA como modalidade estratégica para a melhoria dos indicadores educacionais no RN e no Brasil. SECRETARIA DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA SEDIS/UFRN
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Autovalores e autovetores 12 Aula
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Aula 12 Álgebra Linear 9 Apresentação Os autovalores e autovetores de uma matriz podem revelar muita informação a respeito de sistemas e plantas que estejam por trás dessas matrizes. Esse recurso da Álgebra Linear é bastante utilizado nas engenharias, física, química etc. Objetivo Calcular os autovalores e autovetores a partir de matrizes quadradas.
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Aula 12 Álgebra Linear 11 Autovalor Os autovalores de uma matriz também são chamados de valor próprio ou valor caracte- rístico. Para entendermos sua definição, consideremos uma matriz A quadrada: A = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n an1 an2 · · · ann ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ Ao multiplicarmos essa matriz A por um vetor v = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 2 n ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ não nulo, obtemos um outro vetor também de dimensão n×1. Por outro lado, se multiplicarmos o mesmo vetor v por uma constante ¸, também obteremos como resultado um vetor de dimensão n×1: A·v = vetor de dimensão n×1 ¸·v = vetor de dimensão n×1 Será que existe algum valor para ¸ que torne esses dois resultados iguais? A.v = ¸.v ? A resposta é sim. Esses valores são chamados de autovalores. Portanto, autovalor é um número, real ou complexo, que de certa forma pode substituir uma matriz quadrada, ou seja, ou autovalores podem representar essa matriz. Observações Só é possível obter autovalores e autovetores de matrizes quadradas. O número de autovalores é definido pela ordem da matriz.
Aula 12 Álgebra Linear12 Exemplo 1 Se multiplicarmos a matriz A = 2 1 1 2 pelo vetor 1 = 1 1 temos: A · 1 = 2 1 1 2 · 1 1 = 3 3 . É notório que a constante quedevemosmultiplicarpor v1 para que a igualdade A.v = ¸.v seja satisfeita é ¸=3: λ = 3 : 2 1 1 2 · 1 1 = 3 · 1 1 = 3 3 . Uma outra possibilidade é multiplicarmos a matriz A = 2 1 1 2 pelo vetor v2 = −1 1 . Assim, temos: A · 2 = 2 1 1 2 · −1 1 = −1 1 logo, a constan- te que devemos multiplicar por v2 para que a igualdade A·v = ¸.v seja satisfeita é ¸=1: λ = 1 : 2 1 1 2 · −1 1 = 1 · −1 1 = −1 1 . Encontrando os autovalores No Exemplo 1, conseguimos identificar os autovalores da matriz A, porém, nem sempre essa tarefa é possível de ser alcançada simplesmente analisando a matriz intuitivamente. Para obtermos o procedimento a fim de encontrarmos os autovalores de uma matriz quadrada, vamos partir da própria definição de autovalores: Av =¸v Vamos introduzir a matriz identidade sem alterar a igualdade: Av =¸Iv Vamos agora somar a ambos os lados da equação o termo –Av: Av – v = ¸Iv – Av 0 = ¸Iv – Av Colocando o vetor v em evidência: (¸I–A)v =0 Essa equação resulta em um sistema de equações com n equações e n incógnitas, onde n é a ordem da matriz A. Note que o sistema é um sistema homogêneo, portanto, admite a solução trivial (todas as variáveis iguais a zero). No sistema de equações, v é o vetor com as incógnitas e a matriz (¸I–A) é a matriz dos coeficientes. Sabemos ainda que em um sistema de equações, quando a matriz dos coeficientes apresenta determinante diferente de zero, isso implica em um sistema possível determinado, ou seja, de única solução, e como esse sistema
1 Aula 12 Álgebra Linear 13 é homogêneo, se apresentar uma única solução, essa solução necessariamente será a trivial, solução que não interessa, pois obteríamos qualquer valor para ¸. Para encontrarmos as soluções não triviais dessa equação, devemos garantir que o determinante da matriz (¸I–A) seja igual a zero: det(¸I–A)=0 Essa equação é chamada de equação característica. Ao desenvolvermos a equação característica, nos deparamos com um polinômio em ¸, chamado de polinômio característico. ¸n +c1 ¸n -1 +c2 ¸n -2 + ... + cn -1 ¸+ cn Exemplo 2 Encontre os autovalores da matriz A = 2 2 2 2 Fazendo det(¸I–A)=0 det λ 1 0 0 1 − 2 2 2 2 = 0 det λ − 2 −2 −2 λ − 2 = 0 (¸ – 2)2 – 4 = 0 ¸2 – 4¸ = 0 →polinômio característico ¸(¸–4) = 0 λ1 = 0 λ2 = 4 autovalores de A Encontre os autovalores da matriz A = 2 −4 −4 2
Aula 12 Álgebra Linear14 Autovetor Quando partimos da definição Av =¸v encontramos os autovalores da matriz A, porém quando substituímos o valor de ¸, a equação não é satisfeita para qualquer vetor v, apenas para alguns vetores que são chamados de autovetores da matriz A. Portanto, autovetor é o conjunto de vetores solução, não triviais, da equação Av =¸v ou (¸I–A)v=0, para cada valor de ¸. Exemplo 3 Encontre os autovetores da matriz A = 2 2 2 2 . Para encontrarmos os autovetores de uma matriz, antes precisamos conhecer seus autovalores, como calculamos no Exemplo 2, sabemos que os autovalores de A são 0 e 4. Então, vamos solucionar a equação (¸I–A)v=0 para ¸=0 e para ¸=4. Para ¸=0 (λI − A)v = 0 λ − 2 −2 −2 λ − 2 x1 y1 = 0 0 0 − 2 −2 −2 0 − 2 x1 y1 = 0 0 −2 −2 −2 −2 x1 y1 = 0 0 −2x1 − 2y1 = 0 −2x1 − 2y1 = 0 x1 = −y1 x1 y1 = −y1 y1 = y1 −1 1 v1 = (−1, 1) Para ¸=4 (λI − A)v = 0 λ − 2 −2 −2 λ − 2 x2 y2 = 0 0 4 − 2 −2 −2 4 − 2 x2 y2 = 0 0 2 −2 −2 2 x2 y2 = 0 0 2x2 − 2y2 = 0 −2x2 + 2y2 = 0 x2 = y2 x2 y2 = y2 y2 = y2 1 1 v2 = (1, 1)
2 Aula 12 Álgebra Linear 15 Autoespaço Note que em toda situação obteremos um sistema possível indeterminado porque defi- nimos no início que det(¸I–A)=0, o que caracteriza um sistema possível indeterminado ou impossível, e como o sistema é sempre homogêneo, logo não pode ser impossível. Portanto, sempre teremos infinitas soluções para os autovetores e, por essa razão, não dizemos que apenas um determinado vetor é autovetor de uma matriz e sim todo espaço gerado por essa base encontrada. Esse espaço solução para os autovalores possíveis é chamado de autoespaço associado a um determinado autovalor. Encontre os autovetores da matriz A = 2 −4 −4 2 . Observação: O sistema tem soluções não triviais. Se A é uma matriz triangular ou diagonal, então, os autovalores de A são os elementos da diagonal principal. Propriedades Se v é um autovetor associado a um autovalor ¸ de A, então, kv também é um autovetor de A associado ao mesmo autovalor. Se ¸ é autovalor de A, então, ¸k é um autovalor de Ak . Se ¸ é autovalor de A, então, ¸–1 é um autovalor de A–1 . Se ¸ é autovalor de A, então, k¸ é um autovalor de kA. *k é um escalar.
Aula 12 Álgebra Linear16 Multiplicidade dos autovalores Multiplicidade algébrica A multiplicidade algébrica dos autovalores indica a quantidade de vezes que um determi- nado autovalor aparece como solução do polinômio característico. Multiplicidade geométrica A multiplicidade geométrica dos autovalores indica a dimensão do autoespaço associado a um determinado autovalor, ou seja, a quantidade de vetores na base do autoespaço. Exemplo 4 Encontre a multiplicidade algébrica e geométrica da matriz A = ⎡ ⎢ ⎣ 0 0 1 0 0 1 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎦ Encontrando os autovalores de A: det(λI − A) = 0 det ⎛ ⎜ ⎝ λ 0 −1 0 λ −1 0 0 λ − 1 ⎞ ⎟ ⎠ = 0 Escolhendo a terceira linha da matriz: detM = m31 c31 + m32 c32 + m33 c33 = 0 detM = 0 · c31 + 0 · c32 + m33 c33 = 0 detM = (λ − 1)(−1) 3+3 λ 0 0 λ = 0 (λ − 1)λ 2 = 0 λ1 = 1 → Mult. Alg´ebrica = 1 λ2 = 0 λ3 = 0 → Mult. Alg´ebrica = 2
3 Aula 12 Álgebra Linear 17 Encontrando os autovetores de A: Para ¸=1 (λI − A)v = 0 ⎛ ⎜ ⎝ λ 0 −1 0 λ −1 0 0 λ − 1 ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ x1 y1 z1 ⎞ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎝ 0 0 0 ⎞ ⎟ ⎠ (λI − A)v = 0 ⎛ ⎜ ⎝ 1 0 −1 0 1 −1 0 0 0 ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ x1 y1 z1 ⎞ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎝ 0 0 0 ⎞ ⎟ ⎠ x1 − z1 = 0 y1 − z1 = 0 ⎛ ⎜ ⎝ x1 y1 z1 ⎞ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎝ z1 z1 z1 ⎞ ⎟ ⎠ = z1 ⎛ ⎜ ⎝ 1 1 1 ⎞ ⎟ ⎠ v1 = (1, 1, 1) Multiplicidade geométrica de ¸=1 → 1 Para ¸=0 (λI − A)v = 0 ⎛ ⎜ ⎝ λ 0 −1 0 λ −1 0 0 λ − 1 ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ x2 y2 z2 ⎞ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎝ 0 0 0 ⎞ ⎟ ⎠ (λI − A)v = 0 ⎛ ⎜ ⎝ 0 0 −1 0 0 −1 0 0 −1 ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ x2 y2 z2 ⎞ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎝ 0 0 0 ⎞ ⎟ ⎠ −z2 = 0 ⎛ ⎜ ⎝ x2 y2 z2 ⎞ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎝ x2 y2 0 ⎞ ⎟ ⎠ = x2 ⎛ ⎜ ⎝ 1 0 0 ⎞ ⎟ ⎠ = y2 ⎛ ⎜ ⎝ 0 1 0 ⎞ ⎟ ⎠ v2 = (1, 0, 0), v3 = (0, 1, 0) Multiplicidade geométrica de ¸=0 → 2 Encontre as multiplicidades algébricas e geométricas dos autovalores de A = ⎡ ⎢ ⎣ 0 0 1 0 0 1 1 1 1 ⎤ ⎥ ⎦.
Desafio Resumo 1 Aula 12 Álgebra Linear18 1) Sabendo que o polinômio característico é p(¸)= ¸3 –¸2 +2¸+4, encontre det(A). 2) Conhecendo os autovalores de A, então, conhecemos os autovalores de AT ? 3) Uma matriz A é inversível se um dos seus autovalores for zero? O assunto de autovalores e autovetores é um dos mais usados da Álgebra Linear e é importante que nesta aula você tenha aprendido como calculá-los, assim como entender seu significado, pois esse conteúdo será amplamente aplicado daqui em diante. Autoavaliação Encontre os autovalores e autovetores das seguintes matrizes. a) A = 4 b) A = 2 1 0 3 c) A = 2 1 2 3 d) A = 1 1 1 −1 e) A = ⎡ ⎢ ⎣ 0 1 1 1 1 0 1 0 1 ⎤ ⎥ ⎦ f) A = ⎡ ⎢ ⎣ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎦ g) A = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
2 3 4 5 6 7 Aula 12 Álgebra Linear 19 Encontre os autovalores e autovetores de A15 , sendo A = ⎡ ⎢ ⎣ −1 −2 −2 1 2 1 −1 −1 0 ⎤ ⎥ ⎦. Encontre uma matriz de ordem 4 onde seus autovalores sejam 1, 2, 3 e 4. Encontre uma base para o autoespaço de: a) F = ⎡ ⎢ ⎣ 1 1 1 0 0 0 1 0 1 ⎤ ⎥ ⎦ b) H = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 0 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ Considere a matriz A = a b c d e responda: a) Que condição faz com que a matriz A tenha autovalores complexos? b) Que condição faz com que os autovalores de A tenham multiplicidade algébrica diferente de 1? Se um dos autovalores de uma matriz B é zero, a matriz B é não singular? Justifique. Considere o polinômio característico de A, p(¸)= ¸(¸–2)(¸+1)3 (¸–4). a) Qual o tamanho de A? b) A é inversível? Referências ANTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra linear com aplicações. Porto Alegre: Bookman, 2001. BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. 3. ed. São Paulo: Harper-Row, 1980. LAY, David. Álgebra linear e suas aplicações. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
Anotações Aula 12 Álgebra Linear20
Diagonalização de matrizes 13 Aula
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1 2 3 Aula 13 Álgebra Linear 23 Apresentação S abemos que muitos sistemas podem ser representados por matrizes e a manipulação dessas matrizes implica em análise, melhorias e cálculos desses sistemas. Imagine que essas matrizes, em determinados casos, não sejam simples de serem manipuladas, então devemos encontrar matrizes o mais simples possível para representar esses sistemas e assim ganhar em tempo de processamento e custo operacional. Uma das formas de obter essa simplificação consiste em encontrarmos uma matriz diagonal que seja semelhante à original, e a esse processo chamamos de diagonalização de matrizes. Objetivos Saber aplicar o processo de diagonalização de matrizes. Diferenciar a diagonalização convencional da diagonaliza- ção ortogonal. Calcular a matriz que diagonaliza outra.
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Aula 13 Álgebra Linear 25 Definição A diagonalização de matrizes consiste na obtenção de uma matriz diagonal que seja equivalente à matriz original. O que motiva a obtenção dessa matriz equivalente diagonal são as suas características. Por apresentar todos os elementos fora da diagonal principal diferentes de zero, isso implica, matematicamente, em uma redução significativa no custo de processamento dessa matriz. Matrizes equivalentes Para entender melhor como a matriz diagonal pode ser semelhante a uma matriz qualquer quadrada, vejamos a seguir o que é preservado em matrizes semelhantes. Considere duas matrizes A e B que sejam semelhantes: As características (postos) são iguais. As nulidades são iguais. Os polinômios característicos são iguais. Os determinantes são iguais. Os traços são iguais. Os autovalores são iguais. Os autovetores são correspondentes. Com esses pontos iguais, então podemos afirmar que duas matrizes são semelhantes. O desafio consiste então em encontrar uma matriz diagonal que preserve todos esses itens da matriz original. Por definição, dizemos que duas matrizes A e B são semelhantes se existir uma matriz P, inversível, tal que: B = P–1 AP
Aula 13 Álgebra Linear26 Então, se encontrarmos a matriz P, estamos encontrando a matriz que diagonaliza A, e B será uma matriz diagonal. Matriz diagonal Se B é uma matriz diagonal semelhante à A e os autovalores são preservados quando as matrizes são semelhantes, então a única possibilidade de B ter os mesmos autovalores de A é se os elementos da diagonal de B forem os próprios autovalores de A: B = D = P–1 AP Se quisermos apenas saber qual a matriz diagonal equivalente, então basta encontrar- mos os autovalores da matriz A, porém, muitos problemas requerem encontrar a matriz que diagonaliza A, uma vez que essa simplificação na matriz de trabalho implica em uma mudança de coordenadas e é muito provável que todos os dados envolvidos com o sistema original necessitem migrar para esse novo sistema de coordenadas. Matriz que diagonaliza a matriz A Para encontrarmos a matriz que diagonaliza A, devemos encontrar os autovetores da matriz A, uma vez conhecidos os autovetores v1 , v2 , v3 ,..., vn , basta montar a matriz P com os autovetores por coluna: P = [v1|v2|v3| · · · |vn] A única ressalva é que os autovetores sejam linearmente independentes (LI), pois P deve ser inversível. Portanto, se os autovetores forem LI e a quantidade de autovetores for igual à ordem da matriz A, então dizemos que A é diagonalizável. D = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ λ1 0 0 · · · 0 0 λ2 0 · · · 0 0 0 λ3 · · · 0 0 0 0 · · · λn ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
Aula 13 Álgebra Linear 27 Encontrando os autovalores: det(λI− ) = 0 A = λ1 = λ2 = 1 λ3 = 0 Encontrando os autovetores: λ = 1 (λI − A)X = 0 ⎡ ⎢ ⎣ 1 − 1 0 0 −2 1 0 0 0 1 − 1 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ x1 x2 x3 ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎦ {−2x1 + x2 = 0 v1 = ⎛ ⎜ ⎝ 1 2 0 ⎞ ⎟ ⎠ , v2 = ⎛ ⎜ ⎝ 0 0 1 ⎞ ⎟ ⎠ λ = 1 (λI − A)X = 0 ⎡ ⎢ ⎣ 0 − 1 0 0 −2 0 0 0 0 0 − 1 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ x1 x2 x3 ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎦ −x1 = 0 −x3 = 0 v3 = ⎛ ⎜ ⎝ 0 1 0 ⎞ ⎟ ⎠ Verificando se os autovetores são LI: k1v1 + k2v2 + k3v3 = 0 k1(1, 2, 0) + k2(0, 0, 1) + k3(0, 1, 0) = 0 ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ k1 = 0 2k1 + k3 = 0 k3 = 0 k1 = k2 = k3 = 0 Como todas as constantes são iguais a zero, então o conjunto é LI. Exemplo 1 Encontre a matriz que diagonaliza A = ⎡ ⎢ ⎣ 1 0 0 2 0 0 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎦ Resolução:
1 Aula 13 Álgebra Linear28 Montando a matriz P: P = [ v1 v2 v3 ] P = 1 0 0 2 0 1 0 1 0 P−1 = 1 0 0 0 0 1 −2 1 0 Verificando: D = P-1 AP D = ⎡ ⎢ ⎣ 1 0 0 0 0 1 −2 1 0 ⎤ ⎥ ⎦ · ⎡ ⎢ ⎣ 1 0 0 2 0 0 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎦ · ⎡ ⎢ ⎣ 1 0 0 2 0 1 0 1 0 ⎤ ⎥ ⎦ D = ⎡ ⎢ ⎣ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎦ · ⎡ ⎢ ⎣ 1 0 0 2 0 1 0 1 0 ⎤ ⎥ ⎦ D = ⎡ ⎢ ⎣ 1 0 0 0 1 0 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎦ Matriz diagonal formada a partir dos autovalores de A. Encontre a matriz que diagonaliza A = ⎡ ⎢ ⎣ 2 0 1 1 0 1 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎦ Potenciação de matrizes A diagonalização de matrizes permite-nos calcular potências de matrizes. Sabendo que D = P–1 AP, ao multiplicarmos a matriz diagonal por ela mesma, teremos: D·D = (P–1 AP)·(P–1 AP) Eliminando os parênteses, temos: D2 = P–1 A /AP = P–1 A2 P Multiplicando a expressão pela esquerda por P e pela direita por P–1 , temos:
Aula 13 Álgebra Linear 29 PD2 P–1 = A2 Se multiplicarmos novamente por D, chegaremos à conclusão que: Ak = PDk P–1 Onde k é qualquer expoente inteiro. Dessa forma, se conhecemos a matriz diagonal e a matriz que diagonaliza A, podemos calcular qualquer potência de A. Exemplo 2 Calcule A15 , onde A = 0 0 1 1 Resolução: Sabemos que A15 = PD15 P–1 , então devemos encontrar D e P. Encontrando os autovalores: det(λI− ) = 0 λ1 = 1 λ2 = 0 Encontrando os autovetores: λ1 = 1 (λI − A)X = 0 1 0 −1 1 − 1 x1 x2 = 0 0 x1 = 0 v1 = 0 1 λ2 = 0 (λI − A)X = 0 0 0 −1 0 − 1 x1 x2 = 0 0 −x1 − x2 = 0 v2 = 1 −1 Verificando se os autovetores são LI: Como não são múltiplos um do outro, então são LI. Matriz diagonal: D = 1 0 0 0 , D15 = 115 0 0 0 = 1 0 0 0 Matriz que diagonaliza A: P = 0 1 1 −1 , P−1 = 1 1 1 0
2 Aula 13 Álgebra Linear30 Calcule A15 , onde A = 1 −1 1 1 . Diagonalização ortogonal de matrizes Uma particularidade no caso da diagonalização de matrizes é quando a matriz que dia- gonaliza A é uma matriz ortogonal: Pt = P–1 Ou seja, os vetores que representam as linhas e as colunas de P são ortonormais entre si. A diagonalização ortogonal permite que a transição de um sistema de coordenadas para outro ocorra sem perda de proporções, fato que comprovaremos ao estudarmos as cônicas. Portanto, se houver uma matriz P, tal que D = P–1 AP = Pt AP, então dizemos que A é ortogonalmente diagonalizável. Para saber se A pode ser diagonalizada ortogonalmente, devemos observar se A é uma matriz simétrica, caso contrário, já podemos descartar a possibilidade. Então: Se At = A (simétrica), A é diagonalizável ortogonalmente. O processo de obtenção da matriz que diagonaliza A ortogonalmente é inicialmente o mesmo do processo de diagonalização convencional, porém quando encontramos os autove- tores LI, estes devem ser ortonormais e, para isso, aplicamos o processo de Gram-Schmidt e depois normalizamos os vetores para só então montarmos a matriz P. As etapas para a diagonalização ortogonal são: 1) Encontrar os autovetores. 2) Se os vetores forem LI, aplicar o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt. 3) Normalizar os vetores. Logo, A15 = P 15 P−1 = 0 1 1 −1 · 1 0 0 0 · 1 1 1 0 = 0 0 1 1
Aula 13 Álgebra Linear 31 Exemplo 3 Encontre a matriz que diagonaliza A = ⎡ ⎢ ⎣ 1 0 1 0 0 0 1 0 1 ⎤ ⎥ ⎦ortogonalmente. Resolução: Encontrando os autovalores: det(λI− ) = 0 λ1 = 2 λ2 = λ3 = 0 Encontrando os autovetores: λ1 = 2 (λI − A)X = 0 ⎡ ⎢ ⎣ 2 − 1 0 −1 0 2 0 −1 0 2 − 1 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ x1 x2 x3 ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎦ ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ x1 − x3 = 0 x2 = 0 −x1 + x3 = 0 {x1 = x3 v1 = ⎛ ⎜ ⎝ 1 0 1 ⎞ ⎟ ⎠ λ2 = 0 (λI − A)X = 0 ⎡ ⎢ ⎣ 0 − 1 0 −1 0 0 0 −1 0 0 − 1 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ x1 x2 x3 ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎦ −x1 − x3 = 0 x1 = −x3 x2 v2 = ⎛ ⎜ ⎝ −1 0 1 ⎞ ⎟ ⎠ , v3 = ⎛ ⎜ ⎝ 0 1 0 ⎞ ⎟ ⎠ Verificando se os autovetores são LI: k1v1 + k2v2 + k3v3 = 0 k1(1, 0, 1) + k2(−1, 0, 1) + k3(0, 1, 0) = 0 ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ k1 − k3 = 0 k2 = 0 k1 + k3 = 0 k1 = k2 = k3 = 0 Como todas as constantes são iguais a zero, então o conjunto é LI. Analisando se os vetores são ortogonais: <(1,0,1),(–1,0,1)> = 0 <(1,0,1),(0,1,0)> = 0 <(–1,0,1),(0,1,0)> = 0
3 Desafio Aula 13 Álgebra Linear32 Não será necessário utilizar o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt, pois os vetores já são ortogonais, é necessário então apenas normalizá-los: Encontre a matriz que diagonaliza A = ⎡ ⎢ ⎣ 0 0 1 0 2 0 1 0 0 ⎤ ⎥ ⎦ ortogonalmente. 1) A matriz N = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ pode ser diagonalizada? E diagonalizada ortogonalmente? 2) Se A é uma matriz quadrada de ordem 3, a qual possui dois autovalores distintos, onde cada autoespaço é unidimensional. A é diagonalizável? Justifique. 3) Prove que A não é diagonalizável se s≠0. A = r s 0 r v1 = v1 v1 = (1, 0, 1) √ 2 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 √ 2 0 1 √ 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ v2 = v2 v2 = (−1, 0, 1) √ 2 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ −1 √ 2 0 1 √ 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ v3 = ⎛ ⎜ ⎝ 0 1 0 ⎞ ⎟ ⎠ Montando a matriz P: P = [ v1 v2 v3 ] P−1 = Pt P = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 1√ 2 −1√ 2 0 0 0 1 1√ 2 1√ 2 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ P−1 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 1√ 2 0 1√ 2 −1√ 2 0 1√ 2 0 1 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦
Resumo 1 2 Aula 13 Álgebra Linear 33 Nesta aula, você aprendeu como obter uma matriz diagonal equivalente a uma matriz qualquer, assim como obter a diagonalização ortogonal. Viu ainda como identificar quais os requisitos para que determinada matriz possa ser diagonalizada e diagonalizada ortogonalmente. Autoavaliação Determine se a matriz A é diagonalizável. Em caso afirmativo, encontre a matriz que diagonaliza A. Determine se a matriz A é diagonalizável ortogonalmente. Em caso afirmativo, encontre a matriz que diagonaliza A ortogonalmente. a) A = 2 1 0 1 b) A = ⎡ ⎢ ⎣ 3 0 0 1 3 0 0 1 3 ⎤ ⎥ ⎦ c) A = ⎡ ⎢ ⎣ 0 0 1 0 0 1 1 1 1 ⎤ ⎥ ⎦ d) A = ⎡ ⎢ ⎣ 2 0 2 0 0 0 2 0 2 ⎤ ⎥ ⎦ e) A = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ a) A = 2 1 0 1 b) A = ⎡ ⎢ ⎣ 3 0 0 1 3 0 0 1 3 ⎤ ⎥ ⎦ c) A = ⎡ ⎢ ⎣ 0 0 1 0 0 1 1 1 1 ⎤ ⎥ ⎦ d) A = ⎡ ⎢ ⎣ 2 0 2 0 0 0 2 0 2 ⎤ ⎥ ⎦ e) A = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
Anotações 3 4 Aula 13 Álgebra Linear34 Calcule A21 . A = ⎡ ⎢ ⎣ 0 2 2 0 0 1 0 1 0 ⎤ ⎥ ⎦ Para que valores de x a matriz B é diagonalizável? E ortogonalmente diagonalizável? B = 1 1 0 x Referências ANTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra linear com aplicações. Porto Alegre: Bookman, 2001. BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. 3. ed. São Paulo: Harper-Row, 1980. LAY, David. Álgebra linear e suas aplicações. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
Anotações Aula 13 Álgebra Linear 35
Anotações Aula 13 Álgebra Linear36
Transformações lineares – definição 14 Aula
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1 2 3 Aula 14 Álgebra Linear 39 Apresentação No estudo de espaços vetoriais é comum que espaços distintos se relacionem entre si e essa interação ocorre através de funções que, em se tratando de espaços vetoriais, são chamadas de transformações lineares. Objetivos Reconhecer os espaços evolvidos na transformação linear. Calcular núcleo e imagem de transformações lineares. Encontrar vetores de espaços distintos que estão relacio- nados através da transformação linear.
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Espaço Domínio Espaço Imagem Espaço vetorial W Espaço vetorial V V2 Vn V1 T(V1 )=W1 T(V2 )=W2 T(Vn )=Wn W2 Wn W1 T:V →W Aula 14 Álgebra Linear 41 Definição Transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços vetoriais que preservam a adição vetorial e a multiplicação por escalar. Também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear. Considerando funções da forma w =F(x), onde a variável independente x é um vetor em V (espaço domínio) e a variável dependente w é um vetor em W (espaço imagem), tem-se que a função é dita uma transformação linear F: V →W se satisfizer as seguintes condições: i) F(x1 + x2 ) = F(x1 )+ F(x2 ) ii) F(k·x1 ) = k·F(x1 ) onde x1 e x2 = elementos quaisquer de V e k = constante. Notação: Uma transformação T de um espaço vetorial V em um espaço vetorial W será denotada por T :V →W, onde T(v)=w, sendo v um elemento de V e w um elemento de W. A Figura 1 mostra os espaços vetoriais V e W relacionados através da transformação linear T. Figura 1 – Transformação linear de V em W
Aula 14 Álgebra Linear42 Exemplo 1 Explique se T: → , T(x)= 8x é uma transformação linear. Resolução: Para que T(x)= 8x seja uma transformação linear T: → , é necessário que sejam satisfeitas as duas condições: i) T(x1 + x2 ) = T(x1 ) + T(x2 ) T(x1 ) = 8x1 T(x2 ) = 8x2 T(x1 )+ T(x2 ) = 8x1 +8x2 = 8(x1 + x2 ) T(x1 + x2 ) = 8(x1 + x2 ) Como T(x1 + x2 ) = T(x1 )+ T(x2 ), primeira condição satisfeita. ii) T(k·x1 ) = k.T(x1 ) T(k·x1 )=8(k·x1 )= k.8(x1 ) k ·T(x1 )= k·8(x1 ) Satisfaz também a segunda condição T(k·x1 ) = k.T(x1 ). Logo, a transformação é uma transformação linear. Exemplo 2 Explique se T: 4 → 2 , T(x,y,z,w)=(x+y+1,z–w), é uma transformação linear. Resolução: Para que a transformação seja uma transformação linear, é necessário que sejam satisfeitas as duas condições: i) T(u + v) = T(u)+ T(v), onde u =(u1 ,u2 ,u3 ,u4 ), v =(v1 ,v2 ,v3 ,v4 ) T(u)=(u1 + u2 + 1, u3 –u4 ) T(v)=(v1 + v2 + 1,v3 – v4 ) T(u)+ T(v) = (u1 +v1 +u2 +v2 +1+1, u3 +v3 –u4 – v4 )= (u1 +v1 +u2 +v2 +2, u3 +v3 –u4 –v4 ) T(u + v) =(u1 +v1 +u2 +v2 +1, u3 +v3 –u4 –v4 ) Como T(u + v) ≠T(u)+ T(v), a primeira condição não foi satisfeita. Logo, a transformação não é linear.
1 Aula 14 Álgebra Linear 43 Em toda transformação linear T:V→W, tem-se que T(0)=0. Essa característica da transformação linear pode ser usada para provar que uma determinada transformação não é linear, caso T(0) seja diferente de zero. Mas quando a transformação T(0) é nula, sem que seja feita nenhuma outra avaliação, não é possível afirmar que a transformação é linear. Avaliando os exemplos anteriores, tem-se que: Exemplo 1 T: → , T(x) = 8x (é uma transformação linear) T(0)=8·0=0 Exemplo 2 T: 4 → 2 , T(x,y,z,w)=(x+y+1,z–w) (não é uma transformação linear) T(0,0,0,0)=(0+0+1,0-0)=(1,0,0) No exemplo 1, verificamos que a transformação é linear, logo, T(0)=0. Já no exemplo 2, foi verificado que a transformação não é linear, T(0)≠0. Explique se as transformações são lineares. a) T: 2 → 3 , T(x,y)=(3x,–2y, x–y) b) T: → , T(x)= 3x2
Aula 14 Álgebra Linear44 Princípio da superposição O princípio da superposição nos permite “separar” transformações lineares de somas de vetores, assim como deslocar constantes para fora da transformação, isso faz com que usemos parcelas mais simples de serem resolvidas. Na realidade, aplicaremos as características de adição e multiplicação por escalar das transformações lineares. T:V→W é uma transformação linear, {v1 ,v2 ,...,vn } é base de V e ¸1 , ¸2 ,..., ¸n pertencem a , então: T(¸1 v1 +¸2 v2 +...¸n vn )= ¸1 T(v1 )+ ¸2 T(v2 )+...+ ¸n T(vn ) O princípio da superposição possibilita encontrarmos as expressões das transformações a partir de pares de vetores relacionados por essa transformação linear. Exemplo 3 Seja T: 3 → 2 uma transformação linear e B={v1 ,v2 ,v3 } uma base do 3 , onde v1 =(0,1,0), v2 =(1,0,1) e v3 =(1,1,0); determine T(v), sabendo que v =(5,3,–2), T(v1 )=(1,–2), T(v2 )=(3,1) e T(v3 )=(0,2). Resolução: O vetor v pode ser escrito como combinação linear dos elementos da base B, consi- dere ¸ constantes: V=¸1 v1 +¸2 v2 +¸3 v3 v=¸1 (0,1,0)+¸2 (1,0,1)+¸3 (1,1,0) v=(¸2 +¸3 , ¸1 +¸3 , ¸2 ) (5,3,–2)= (¸2 +¸3 , ¸1 +¸3 , ¸2 ) ¸2 +¸3 =5 ¸1 +¸3 =3 ¸2 =–2 Logo, ¸1 = –4 ¸2 = –2 ¸3 = 7 Assim, v=¸1 v1 +¸2 v2 +¸3 v3 v= –4 v1 –2v2 +7v3
Aula 14 Álgebra Linear 45 Aplicando a transformação em ambos os lados da equação, temos: T(v)=T(–4v1 –2v2 +7v3 ) Usando agora o princípio da superposição podemos separar as somas e colocar as constantes para fora da transformação: T(v)=–4T(v1 )–2T(v2 )+7T(v3 ) T(v)=–4(1,–2)–2(3,1)+7(0,2) T(V)=(–10,20) Dessa forma, encontramos T(v)=T(5,3,–2)=(–10,20). Exemplo 4 Encontre, caso exista, T: 2 → 3 tal que T(1,1)=(3,–2,1) e T(0,–2)=(0,1,0). Resolução: A primeira coisa a ser verificada é se {(1,1),(0,-2)} é a base do 2 . Como é base, então a transformação existe. Nesse exercício, queremos encontrar agora a regra da transformação linear, a equação que nos permite achar a transformação de qualquer vetor do domínio. O passo seguinte é considerar um vetor genérico do espaço domínio v=(x,y) e escrevê-lo como combinação linear dos elementos da base: v =(x,y)=¸1 (1,1)+¸2 (0,–2) ¸1 =x ¸1 –2¸2 =y Logo, λ1 = x λ2 = x − y 2 Depois que encontramos os pesos, escrevemos o vetor v como combinação linear dos vetores da base com os respectivos pesos ¸1 e ¸2 : (x, y) = λ1(1, 1) + λ2(0, −2) (x, y) = x(1, 1) + x − y 2 (0, −2) Aplicamos então a transformação em ambos os lados da equação: T(x, y) = T x(1, 1) + x − y 2 (0, −2)
2 Aula 14 Álgebra Linear46 Usando o teorema da superposição, temos: T(x, y) = x · T(1, 1) + x − y 2 · T(0, −2) T(x, y) = x(3, −2, 1) + x − y 2 (0, 1, 0) T(x, y) = 3x, −2x + x − y 2 , x T(x, y) = 3x, −3x − y 2 , x Logo, encontramos a transformação linear. Conferindo: Se a regra está correta, as transformações fornecidas no enunciado da questão devem valer para a regra: T(1, 1) = (3, −2, 1) T(0, −2) = (0, 1, 0) T(1, 1) = 3 · 1, (−3) · 1 − 1 2 , 1 = (3, −2, 1) T(0, −2) = 3 · 0, (−0) · 1 − (−2) 2 , 0 = (0, 1, 0) Logo, a transformação está correta. Encontre, caso exista, T: 3 → 3 tal que T(0,1,1)=(1,–1,1), T(1,0,0)=(1,1,0) e T(–1,0,1)=(–1,0,0).
Espaço V Espaço W V5 V1 Vn V3 V2 V4 W5 W1 Wn W3 T:V →W N(T) 0 Aula 14 Álgebra Linear 47 Núcleo De uma maneira simples, o núcleo da transformação linear corresponde ao conjunto de todos os elementos do espaço domínio que, quando aplicados na transformação, o resultado é o vetor nulo do espaço imagem. Considerando a transformação linear T:V→W, chamamos de núcleo da transformação linear todos os vetores de V tal que T(v)=0. O núcleo é também chamado de Kernel de uma transformação linear. N(T)=Ker(T)={v ∈V; T(v)=0} A Figura 2 mostra a relação dos espaços com o núcleo da transformação. Figura 2 – Núcleo de uma transformação linear Note que o núcleo da transformação está contido em V, N(T) ⊂ V, e N(T) ≠ ∅, pois 0 ∈ N(T), uma vez que a transformação é linear e T(0)=0.
Aula 14 Álgebra Linear48 Propriedades do núcleo Seja T:V→W uma transformação linear, então N(T) é um subespaço vetorial de V. Para provarmos, considere que v1 e v2 ∈ N(T), logo: T(v1 )=0 T(v2 )=0 Para o subconjunto ser um subespaço, devemos verificar três pontos: I) Deve conter o elemento nulo do espaço: Como T(0)=0, então o núcleo contém o elemento nulo do espaço. II) Adição: T(v1 +v2 ) = T(v1 )+T(v2 ) = 0+0 = 0 logo, v1 +v2 ∈ N(T) III) Multiplicação por escalar: Seja ¸ ∈ , então T(¸v1 ) = ¸T(v1 ) = ¸· 0 = 0 ∴ ¸·v1 ∈ N(T)
Espaço V Espaço W V5 V1 Vn V3 V2 V4 W5 W1 W4 Wn W3 W2 T:V →W Im(T) Aula 14 Álgebra Linear 49 Imagem A imagem de uma transformação linear consiste no subconjunto do espaço imagem que contém os vetores resultantes da aplicação das transformações lineares quando inserimos os elementos do domínio. Seja T:V→W, chamamos de imagem de uma transformação linear o conjunto de vetores w ∈ W que são imagens de pelo menos um vetor v ∈ V. Im(T)= {w ∈ W; T(v)=w, para algum v ∈ V } A Figura 3 mostra a relação da imagem com os espaços vetoriais envolvidos. Figura 3 – Imagem de uma transformação linear Note que a imagem da transformação está contida em W, Im(T) ⊂ W, e Im(T) ≠ ∅, pois T(0) = 0 e o vetor nulo pertencem e imagem de T, 0 ∈ Im(T). Teorema Sejam U e V espaços vetoriais de dimensão finita e T:U→V uma transforma- ção linear, tem-se: dim(U) = dim(N(T)) + dim(Im(T))
Aula 14 Álgebra Linear50 Exemplo 5 Encontre o núcleo e a imagem da transformação T(x,y)=(x+y,x). Resolução: Núcleo Sabemos que para o núcleo T(x,y)=0, logo T(x, y) = (x + y, x) = (0, 0) x + y = 0 x = 0 x = y = 0 Portanto, N(T)={(0,0)} Imagem Para encontrar a imagem, vamos escrever a transformação em coluna: T(x, y) = (x + y, x) = x + y x Como aparecem duas incógnitas, x e y, então separaremos em dois vetores, um para cada variável. T(x, y) = x 1 1 + y 1 0 Os vetores que aparecem são os que formam a base da imagem, desde que sejam linearmente independentes (LI). Como (1,1) e (1,0) são LI, então: Im(T)={(1,1),(1,0)} *Se os vetores não fossem LI, teríamos que retirar um vetor e verificar se o conjunto rema- nescente seria LI. Caso afirmativo, teríamos a base da imagem e, caso fossem LD, teríamos que retirar mais um vetor e fazer a verificação quantas vezes forem necessárias.
3 Desafio Aula 14 Álgebra Linear 51 Exemplo 6 Encontre o núcleo e a dimensão da imagem da transformação linear T: 3 → 3 , onde T(x,y,z)=(x–y+2z , 2x+y–z , 3x+z). Resolução: Encontrando o núcleo: Sabemos que para o núcleo T(x,y,z)=0 (x − y + 2z, 2x + y − z, 3x + z) = 0 ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ x − y + 2z = 0 2x + y − z = 0 3x + z = 0 ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ x z = −3x y = −5x (x, y, z) = x(1, −5, −3) N(T) = (1, −5, −3) Como o núcleo da transformação tem apenas um vetor na base, então dim(N(T)) = 1. Usando o teorema das dimensões: dim( 3 ) = dim(N(T)) + dim(Im(T)) 3 = 1 + dim(Im(T)) dim(Im(T)) = 2. Encontre o núcleo, a imagem, a dimensão do núcleo e a dimensão da imagem da transformação linear T: 3 → 2 , onde T(x,y,z)=(x–y+z, –x+z). 1) Encontre uma transformação linear cujo núcleo seja P2 . 2) Seja T:P1 →P1 , T(x+1)=2x+3 e T(x–1)=3x–2, encontre T(ax+b). 3) Encontre N(T) e escreva dois vetores pertencentes à Im(T), sendo T:M22 →M22 , T a b c d = a + b b + c c + d d + c
1 Resumo Aula 14 Álgebra Linear52 Autoavaliação Verifique se as transformações são lineares. a) T: 3 → 3 , T(x,y,z) = (x–y,x2 +z, y+2z) b) T: 5 → , T(v,x,y,z,w) = (x+3y–2z–w) c) T: 3 → 3 , T(x,y,z) = (0,0,0) d) T: 4 → 2 , T(x,y,z,w) = (x–y+2z+3, 3x–w+4z) e) T : M22 → , A = a b c d , T(A) = det(A) f) T : M22 → M44, T a b c d = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ a 0 0 0 0 b 0 0 0 0 c 0 0 0 0 d ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ g) T:Mnn→ Mnn, , Ann, T(A) = At h) T:P2 →R, P2 (x)=a2 x2 + a1 x + a0 ,T(P2 ) = a2 a1 a0 i) T:P2 → P2 , T(a2 x2 +a1 x +a0 ) = (a2 –a0 )x2 + (a0 +a1 +a2 ) j) T : P3 → P2, T(P2) = dP2 dx k) T:P2 → P3, T(p(x)) = p(x) + xp(x) + x2 p´(x) Nesta aula, você viu uma introdução às transformações lineares e descobriu que é através delas que os espaços vetoriais se relacionam. Viu ainda a definição de núcleo e imagem de uma transformação linear e como calculá-los.
2 4 5 6 3 Aula 14 Álgebra Linear 53 Encontre a regra para a transformação linear, sabendo que: a) T: 2 → 2 , Base do 2 = {(2,1),(0,1)}, T(2,1) = (3,7) e T(0,1) = (–1,1) b) T: 3 → 2 , Base do 3 = {(1,0,1),(0,1,2),(1,1,1)}, T(1,0,1) = (3,1), T(0,1,2) = (1,2) e T(1,1,1) = (4,2) c) T: 2 → 4 , Base do 2 = {(–1,1),(1,1)}, T(–1,1) = (0, –4, 0, –1) e T(1,1) = (4,2,2,1) Sejam as transformações T(v1 ) = (1,1,1), T(v2 ) = (1,0,1) e T(v3 ) = (–1,2,0), encontre T(3v1 – v2 + 5v3 ). Sabendo que Q(u) = x2 –2 e Q(v) = 2–3x, encontre Q(3u–2v). Encontre a imagem do vetor u nas seguintes transformações: a) T: 5 → , T(v,x,y,z,w) = (x+3y–2z–w), onde u = (1,1,2,0,1) b) T : M22 → M22, T a b c d = −a 0 0 −b , u = 3 2 7 −2 c) T : P2 → P1, T(P2) = dP2 dx , u = 5x2 − 3x + 2 Encontre o núcleo e a imagem das transformações: a) T: 5 → , T(v,x,y,z,w) = (x+3y –2z–w) b) T: 2 → 2 , T(x,y) = (x+3y,3y) c) T: → 3 , T(x) = (x,0,3x) d) T: 3 → 2 , T(x,y,z) = (x+y, x+z) e) T : M22 → M22, T a b c d = −a 0 0 −b f) T : P2 → P1, T(P2) = dP2 dx g) T: P2 → P2 , T(p(x))= xp´(x)
7 8 Aula 14 Álgebra Linear54 Encontre a dimensão do núcleo e da imagem das transformações: a) T: 5 → , T(v,x,y,z,w) = (3x–w) b) T: 2 → 2 , T(x,y) = (x–y, 3x+y) c) T: → 3 , T(x) = (0,0,5x) d) T: 3 → 2 , T(x,y,z) = (y,x+y+z) e) T:M22 → M22 , T : M22 → M22, T a b c d = −a a + b + c −a − b − c −b f) T : P3 → P1, T(P3) = d2 P3 dx2 g) T: P2 → P3 , T(p(x))= xp(x) h) T : 2 → 2 , T(x, y) = 1 √ 2 (x + y, x − y) O que é o núcleo de uma transformação linear? E a imagem de uma transformação linear? Referências ANTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra linear com aplicações. Porto Alegre: Bookman, 2001. BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. 3. ed. São Paulo: Harper-Row, 1980. LAY, David. Álgebra linear e suas aplicações. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
Anotações Aula 14 Álgebra Linear 55
Anotações Aula 14 Álgebra Linear56
Transformações lineares e matrizes 15 Aula
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1 2 Aula 15 Álgebra Linear 59 Apresentação Temos visto ao logo de nossas aulas o quanto a representação matricial de sistemas pode facilitar seu manuseio, cálculo e entendimento, quando tratamos com transformações lineares não é diferente. Toda transformação linear pode ser representada na forma matricial, o que implica nas mesmas facilidades da representação matricial dos sistemas. Objetivos Obter transformações lineares na forma matricial. Efetuar cálculos com transformações lineares na forma matricial.
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Aula 15 Álgebra Linear 61 Definição Consideremos uma transformação linear T: n → m definida pelas equações da forma: w1 = a11x1 + a12x2 + · · · a1nxn w2 = a21x1 + a22x2 + · · · a2nxn wm = am1x1 + am2x2 + · · · amnxn Podemos escrever essas equações como um produto de matrizes, separando as matrizes dos termos independentes W, dos coeficientes A e das incógnitas X, onde W=A.X ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ w1 w2 wm ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n am1 am2 · · · amn ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ x1 x2 xn ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ Onde A é chamada matriz canônica da transformação linear. Prova que T(x)=A.X é uma transformação linear: i) F(x1 + x2 ) = F(x1 ) + F(x2 ) F(x1 + x2 ) = A(x1 + x2 ) = Ax1 + Ax2 = F(x1 ) + F(x2 ) ii) F(k.x) = k.F(x) F(k.x) = A(k.x) = A.k.x = k.A.x = k(Ax) = k.F(x) As duas regras são satisfeitas, logo, é uma transformação linear. Exemplo 1 A transformação linear T: 4 → 3 , definida por: T(x1 , x2 , x3 , x4 ) = (2x1 – 3x2 + x3 – 5x4 , 4x1 + x2 – 2x3 + x4 , 5x1 – x2 + 4x3 ) Pode ser representada da seguinte forma; ⎡ ⎢ ⎣ w1 w2 w3 ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ 2 −3 1 −5 4 1 −2 1 5 −1 4 0 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ x1 x2 x3 x4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ → W = A · X Note que na primeira coluna da matriz A aparecem os coeficientes da primeira variável, x1 , na segunda de x2 e assim sucessivamente.
Aula 15 Álgebra Linear62 Encontrando a matriz transformação com as bases canônicas Podemos encontrar a matriz transformação com a aplicação dos vetores da base canônica à transformação linear. A matriz é montada a partir da entrada por coluna dos vetores imagem dos vetores da base canônica. Exemplo 2 A transformação linear T: 4 → 3 , definida por: T(x1 , x2 , x3 , x4 ) = (2x1 – 3x2 + x3 – 5x4 , 4x1 + x2 – 2x3 + x4 , 5x1 – x2 + 4x3 ) Resolução O primeiro passo é identificar a base canônica do espaço domínio, nesse exemplo é o 4 , logo, a base canônica é: e1 = (1,0,0,0) e2 = (0,1,0,0) e3 = (0,0,1,0) e4 = (0,0,0,1) Em seguida, aplicamos a transformação aos vetores da base canônica: T(e1) = (2.1 – 3.0 + 0 – 5.0,4.1 + 0 – 2.0 + 0,5 .1– 0 + 4.0) = (2,4,5) T(e2) = (2.0 – 3,1 + 0 – 5.0,4.0 + 1 – 2.0 + 0,5.0 – 1 + 4.0) = (–3,1,–1) T(e3) = (2.0 – 3.0 + 1 – 5.0,4.0 + 0 – 2.1 + 0,5.0 – 0 + 4.1) = (1, –2, 4) T(e4) = (2.0 – 3.0 + 0 – 5.1,4.0 + 0 – 2.0 + 1,5.0 – 0 + 4.0) = (-5,1,0) Agora, montamos a matriz transformação A com os vetores T(e1), T(e2), T(e3) e T(e4) por coluna: A = [T(e1)|T(e2)|T(e3)|T(e4)] = ⎡ ⎢ ⎣ 2 −3 1 −5 4 1 −2 1 5 −1 4 0 ⎤ ⎥ ⎦ Logo, ⎡ ⎢ ⎣ w1 w2 w3 ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ 2 −3 1 −5 4 1 −2 1 5 −1 4 0 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ x1 x2 x3 x4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ → W = A · X
1 Aula 15 Álgebra Linear 63 Encontre a forma matricial da transformação linear T: 2 → 5 , definida por: T(x1 , x2 ) = (x1 +2x2 , 0, –3x1 , –x1 –x2 , x2 ) Núcleo e Imagem de uma transformação linear na forma matricial A forma matricial de uma transformação linear facilita as operações envolvidas e com o processo de obtenção do núcleo e da imagem ocorre a mesma coisa. Exemplo 3 Encontre o núcleo e a imagem da transformação linear T: 4 → 3 , definida por: T(X) = W = ⎡ ⎢ ⎣ 2 0 1 0 1 1 0 1 0 0 −1 0 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ x1 x2 x3 x4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ W ∈ 3 e X ∈ 4 Resolução Núcleo Devemos investigar que vetores do 4 resultam em um vetor nulo do 3 quando aplicados à transformação: ⎡ ⎢ ⎣ 2 0 1 0 1 1 0 1 0 0 −1 0 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ x1 x2 x3 x4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎦ Ou seja, nesse caso, corresponde a encontrarmos o espaço nulo da matriz dos coeficientes A.
2 Aula 15 Álgebra Linear64 Encontre o núcleo e a imagem da transformação linear T: 3 → 3 , definida por: T(X) = ⎡ ⎢ ⎣ 2 0 1 −1 0 0 1 1 0 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ x1 x2 x3 ⎤ ⎥ ⎦ Usando a eliminação gaussiana, chegamos a: ⎡ ⎢ ⎣ 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ x1 x2 x3 x4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎦ ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ x1 = 0 x2 + x4 = 0 x3 = 0 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ x1 x2 x3 x4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 −x4 0 x4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = x4 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 −1 0 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ , N(T(X)) = {(0, −1, 0, 1)} Imagem Para encontrar a imagem, separaremos os vetores: T(X) = x1 ⎡ ⎢ ⎣ 2 1 0 ⎤ ⎥ ⎦ + x2 ⎡ ⎢ ⎣ 0 1 0 ⎤ ⎥ ⎦ + x3 ⎡ ⎢ ⎣ 1 0 −1 ⎤ ⎥ ⎦ + x4 ⎡ ⎢ ⎣ 0 1 0 ⎤ ⎥ ⎦ Aparecem multiplicados por x1 todos os seus coeficientes e o mesmo acontece para x2 , x3 e x4 . Analisando os vetores resultantes, a base da Imagem será a maior quantidade possível de vetores LI desse conjunto. Ao tomarmos os quatro vetores resultantes, percebemos que o conjunto é LD, pois temos quatro vetores de dimensão 3. Devemos então descartar um e analisar o conjunto resultante. Escolhendo os três primeiros vetores (2, 1, 0), (0, 1, 0) e (1, 0, –1), quando calculamos percebemos que o conjunto é LI, logo é uma base para a Imagem da transformação. Im = (2,1,0),(0,1,0),(1,0,-1) logo
Desafio 1 2 Resumo Aula 15 Álgebra Linear 65 Na aula sobre transformações lineares e matrizes você aprendeu como obter a forma matricial de uma transformação linear, assim como realizar operações características dessas transformações na forma matricial. Mostre que as transformações T1 e T2 T: 3 → 3 têm o mesmo núcleo e Imagem. T1(x, y, z) = ⎡ ⎢ ⎣ 0 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ x y z ⎤ ⎥ ⎦ T2(x, y, z) = ⎡ ⎢ ⎣ 0 0 0 0 1 1 0 2 1 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ x y z ⎤ ⎥ ⎦ Encontre o valor de a para que a dimensão do núcleo seja a mesma da imagem de T, onde T: 2 → 2 T(x, y) = 1 1 a 1 x y
1 2 Aula 15 Álgebra Linear66 Autoavaliação Escreva a transformação na forma matricial e encontre seu Núcleo e Imagem: a) T: 5 → , T(v,x,y,z,w) = (x+3y–2z–w) b) T: 2 → 2 , T(x,y) = (x+3y, 3y) c) T: → 3 , T(x) = (x, 0, 3x) d) T: 3 → 2 , T(x,y,z) = (x+y, x+z) e) T : P3 → P1, T(P3) = d2 P3 dx2 f) T:P2 →P3 , T(p(x)) = xp(x) g) T : 2 → 2 , T(x, y) = 1 √ 2 (x + y, x − y) Sabendo que a transformação envolve polinômios, encontre a forma por extenso da transformação e diga qual o espaço domínio e qual o imagem: a) T(P) = 1 0 1 1 P b) T(P) = 1 −1 2 2 0 1 P c) T(P) = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 0 2 −1 3 0 4 −2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ P d) T(P) = ⎡ ⎢ ⎣ 1 0 0 −1 1 −1 2 0 1 1 1 0 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎦ P
Anotações Aula 15 Álgebra Linear 67 Referências ANTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra linear com aplicações. Porto Alegre: Bookman, 2001. BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. 3. ed. São Paulo: Harper-Row, 1980. LAY, David. Álgebra linear e suas aplicações. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
Anotações Aula 15 Álgebra Linear68
Transformações lineares inversas 16 Aula
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1 2 3 Aula 16 Álgebra Linear 71 Apresentação Vimos nas aulas anteriores que uma transformação Linear é uma função que associa espaços vetoriais distintos ou não. Imaginemos que essa associação, em muitos casos, deva permitir o caminho de volta, ou seja, se a transformação que leva um vetor de uma espaço V para um espaço W permitir a transformação inversa, então, é possível partir do vetor resultante em W e voltar ao mesmo vetor em V de partida. Objetivos Saber reconhecer quando uma transformação admite inversa. Aplicar a definição de inversa. Calcular a inversa de uma Transformação Linear.
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T:V →W Espaço vetorial W Espaço vetorial V T -1 :V →W Aula 16 Álgebra Linear 73 Definição Consideremos a Transformação Linear deV em W, T:V→W. Partindo do ponto que o domínio da transformação corresponde ao conjunto de vetores de V que são aplicados à transformação e que a imagem de T é o subespaço composto por todos os vetores em W gerados a partir de V através da transformação, então, se a transformação permitir o caminho inverso, o que era imagem da transformação T passa a ser domínio da transformação inversa e o que era domínio passa a ser imagem, como mostrado na Figura 1. Notação para Transformação Linear inversa de T:T –1 Figura 1 – Transformação Linear inversa Relações entre T e T –1 Sendo v um vetor de V e w um vetor de W, então, teremos: T(v) = w T –1 (w) = v T–1 (T(v)) = v T(T–1 (w)) = w
Função injetora e não sobrejetora Domínio Imagem 1 2 3 A D B C Função sobrejetora e não injetora Domínio Imagem 1 2 3 4 A B C Função bijetora Domínio Imagem 1 2 3 4 A D B C Aula 16 Álgebra Linear74 Figura 2 – Função injetora, sobrejetora e bijetora Relembrando... Funções Injetoras, Sobrejetora e Bijetora Uma função é dita injetora se para cada elemento do domínio existe um cor- respondente exclusivo no contradomínio. Uma função é classificada como so- brejetora se a imagem corresponder a todo o contradomínio. Já no caso de a função ser injetora e sobrejetora ao mesmo tempo, ela é classificada como bijetora. A Figura 2 mostra a diferença entre os tipos de funções. Critérios para transformação inversa Para que uma Transformação Linear admita inversa ela deve ser bijetora, ou seja, deve ser injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. Transformação Injetora Dada uma transformação linear T:V→W, e dados os vetores u e v, ambos pertencentes a V, diz-se que T é injetora se T(u) = T(v) apenas para u = v. Ou seja, T é injetora se as ima- gens de vetores distintos são distintas. Uma transformação linear é injetora quando Ker(T)=0. Transformação Sobrejetora Dada uma transformação linear T:V→W, tem-se que a transformação é sobrejetora se a imagem de T coincidir com W.
Aula 16 Álgebra Linear 75 Transformação Bijetora A transformação é bijetora se for injetora e sobrejetora. Quando uma transformação linear T:V→W for injetora e sobrejetora ao mesmo tempo, tem-se um isomorfismo. Se T é bijetora, então, cada vetor w pertencente à Im(T) é imagem de um único vetor v em V. Essa unicidade é que permite definir essa nova função, chamada transformação inversa de T, que leva w de volta em v. Exemplo 1 Verifique se a transformação é bijetora: T: 2 → 2 T(x,y)=(x +y, x). Resolução Para que a transformação seja bijetora, ela deve ser injetora e sobrejetora. Injetora Uma transformação é injetora se o núcleo da transformação for apenas o vetor nulo. Encontrando o núcleo: T(x,y) = (0,0) (x + y, x) = (0, 0) x + y = 0 x = 0 Logo, x = y = 0 , portanto, N(T(x,y))={(0,0)} → A transformação é injetora. Sobrejetora A transformação é sobrejetora se a imagem corresponder a todo o contradomínio, ou seja, o 2 . Encontrando a imagem: T(x, y) = (x + y, x) = x + y x = x 1 1 + y 1 0 Analisando os dois vetores resultantes, (1,1) e (1,0), verifica-se que são LI, logo, a imagem corresponde ao espaço gerado por esses dois vetores, o próprio 2 . Im(T(x,y)) = 2 Assim sendo, a imagem é igual ao contradomínio e a transformação é sobrejetora. Como a transformação é injetora e sobrejetora, logo é bijetora.
1 Aula 16 Álgebra Linear76 Verifique se a transformação é bijetora: T: 3 → 2 T(x,y,z)=(0, x–y+z, 2x–z). Forma matricial e transformação inversa Uma maneira mais simples de verificar se uma Transformação Linear admite inversa é proceder a análise sob a forma vetorial. Uma vez obtida a matriz canônica da transformação, basta verificar se essa matriz admite inversa, caso afirmativo, a transformação também ad- mite e sua transformação inversa tem a matriz canônica definida pela inversa da matriz da transformação original. Exemplo 2 Verifique se a transformação admite inversa: T: 2 → 2 T(x,y)=(x+y,x). Resolução Passando para a forma matricial: T(x, y) = (x + y, x) T(x, y) = 1 1 1 0 x y Analisando a matriz canônica da transformação A = 1 1 1 0 verifica-se que a matriz admite inversa, pois det(A) = –1, logo, a transformação também admite inversa. Calculando a inversa de A temos: A−1 = 0 1 1 −1 , portanto, a transformação inversa é dada por: T−1 (x, y) = 0 1 1 −1 x y = (y, x − y)
Aula 16 Álgebra Linear 77 Uma Transformação Linear admite inversa se for bijetora e uma transformação apenas será bijetora se a matriz que a representa for inversível. Exemplo 3 Encontre a inversa da transformação caso exista. T: 2 → 3 , T(x,y)=(2x–y,y+3x, x+y) Resolução Passando para a forma matricial: T(x, y) = (2x − y, y + 3x, x + y) T(x, y) = ⎛ ⎜ ⎝ 2 −1 3 1 1 1 ⎞ ⎟ ⎠ x y Como a matriz canônica da transformação não admite inversa por não ser uma matriz quadrada, então, a transformação também não admite inversa. Para investigarmos porque não admite inversa, vamos averiguar se ela é injetora e sobrejetora. Verificando se a transformação é Injetora T(x, y) = (0, 0, 0) T(x, y) = (2x − y, y + 3x, x + y) = (0, 0, 0) ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ 2x − 1 = 0 y + 3x = 0 x + y = 0 x = y = 0 N(T(x, y)) = {(0, 0)} → N(T(x,y))={(0,0)} → é injetora. Verificando se a transformação é Sobrejetora T(x, y) = (2x − y, y + 3x, x + y) = ⎛ ⎜ ⎝ 2x − y y + 3x x + y ⎞ ⎟ ⎠ = x ⎛ ⎜ ⎝ 2 3 1 ⎞ ⎟ ⎠ + y ⎛ ⎜ ⎝ −1 1 1 ⎞ ⎟ ⎠ Os dois vetores que obtemos são LI, logo, são a base da Imagem. Im(T(x,y)) = {(2,3,1),(-1,1,1)} O espaço correspondente à Imagem que é gerado por esses dois vetores não compreende todo o 3 e sim um plano dentro do 3 . Dessa forma, a transformação não é sobrejetora, portanto, não admitindo inversa. é injetora
2 Desafio Resumo 1 2 3 Aula 16 Álgebra Linear78 Encontre a inversa da transformação, caso exista. T: 3 → 3 , T(x,y,z)=(2x – y –z, 2z – y+3x, x+3z) Seja T uma transformação linear do espaço dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2, definida por: T (1) =1+x T (x) = 3−x2 T (x2 ) = 4+2x –3x2 A transformação T tem inversa? Justifique. Seja T uma transformação linear T: 3 → 3 , definida por: T(x1 ,x2 ,x3 ) =(a1 x1 ,a2 x2 ,a3 x3 ), ai ∈ . Determine as condições que a1 ,a2 e a3 devem satisfazer para T admitir inversa. Obtenha a expressão de T–1 . Por que é necessário que a transformação seja bijetora para possuir inversa? Nesta aula, você aprendeu a identificar quando uma Transformação Linear admite inversa e como encontrar a transformação inversa. Aprendeu ainda a relacionar os vetores dos espaços ligados por transformações que apresentam inversa.
1 2 3 Aula 16 Álgebra Linear 79 Autoavaliação O que é uma transformação linear injetora? E sobrejetora? Verifique se as transformações são injetoras e/ou sobrejetoras. a) T: 2 → 4 , T(x,y) = (x+y, 3x, x –2y, –y) b) T: 4 → 4 , T(x,y,z,w) = (x+y, 3w, z –2y, –x) c) T: 2 → 2 , T(x,y) = (x+y,0) d) T(u) = 2 0 −2 −1 u e) T−1 (u) = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 0 1 0 2 −2 0 0 0 1 1 3 2 0 0 −3 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ u f) T(u) = 1 0 −1 0 1 0 u g) T:P2 → P2 , T(a2 x2 + a1 x + a0 ) = (a2 – a0 )x2 Indique a inversa das transformações, por extenso, caso existam. a) T: 4 → 4 , T(x, y, z, w) = (x, y, z, 0) b) T: 2 → 2 , T(x, y) = (x, 2y) c) T(u) = 2 0 1 −1 u d) T−1 (u) = ⎡ ⎢ ⎣ 1 1 2 0 1 0 −1 1 1 ⎤ ⎥ ⎦ u e) T:P2 → P3 , T(a2 x2 + a1 x + a0 ) = –x (a2 x2 + a1 x + a0 ) f) T:P1 → P3 , T(a1 x + a0 ) = ((a1 +a0 )x3 + a1 x2 + a0 x)
4 5 Anotações Aula 16 Álgebra Linear80 Seja T: : 3 → 3 uma transformação linear definida por T(x,y,z)=(ax,by,cz), a,b e c ∈ . Determine as condições que a,b e c devem satisfazer para que T admita inversa. Para esses casos, encontre T–1 se possível. Seja T: 2 → 2 definida por T (x,y)=(k·x,x+y), k ∈ . a) Determine k de modo a que a transformação T admita inversa e, para esses valores, obtenha a transformação inversa T–1 . b) Considere k = 0. Determine a dimensão e uma base para o núcleo de T. Referências ANTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra linear com aplicações. Porto Alegre: Bookman, 2001. BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. 3. ed. São Paulo: Harper-Row, 1980. LAY, David. Álgebra linear e suas aplicações. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007. g) T : P2 → P2, T(a2x2 + a1x + a0) = x d(a2x2 + a1x + a0) dx h) T:P2 → P2 , T(p(x)) = p(x +1)
Anotações Aula 16 Álgebra Linear 81
Anotações Aula 16 Álgebra Linear82
Transformações lineares e geometria do 2 17 Aula
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1 2 Aula 17 Álgebra Linear 85 Apresentação U ma das formas mais comuns de utilizar as Transformações Lineares é a aplicação a vetores no plano. Modificações como expansão, rotação, reflexão etc. são utilizadas cor- riqueiramente e servem de base para a manipulação de imagens. Veremos a aplicação de transformações lineares no plano, porém, os princípios vistos aqui podem ser expandidos a espaços com dimensão superior. Objetivos Identificar matrizes transformações e aplicar a vetores no plano. Utilizar combinações de Transformações Lineares.
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y x u y x u y x u -ku y u ku ku 0 < K < 1K > 1 K < 0 Aula 17 Álgebra Linear 87 Definição As Transformações Lineares permitem modificarmos vetores utilizando apenas multipli- cação de matrizes, ou seja, aplicando uma Transformação Linear a um vetor, o que resulta em outro vetor com uma, ou várias, alterações previamente definidas. Aqui, serão analisadas algumas dessas transformações no 2 , as quais podem ser expandidas para outros espaços euclidianos. Operações sobre vetores Para todos os casos, considere o vetor u = (x,y). 1) Semelhança (Expansão e contração) Nessa operação, o vetor aumenta ou diminui de tamanho sendo mantidos a direção e o sentido. Forma por extenso Forma matricial T(x, y) = k(x, y) T(x, y) = k 0 0 k x y A Figura 1 mostra o vetor u e o resultado da transformação k.u para os possíveis valores de k. Note que as duas coordenadas são alteradas do fator k. Figura 1 – Vetor u e suas alterações de semelhança
x y x u u y T(u) Aula 17 Álgebra Linear88 2) Reflexão em torno do eixo Y Forma por extenso Forma matricial T(x, y) = (−x, y) T(x, y) = 1 0 0 −1 x y A Figura 2 mostra o vetor u e sua reflexão em torno do eixo Y. Nesse caso, apenas a coordenada x é modificada, permanecendo a mesma coordenada y. Figura 2 – Vetor u e sua reflexão em torno do eixo Y 3) Reflexão em torno do eixo X Forma por extenso Forma matricial T(x, y) = (x, −y) T(x, y) = 1 0 0 −1 x y A Figura 3 mostra o vetor u e sua reflexão em torno do eixo X. Nesse caso, a coordenada y é modificada e a coordenada x permanece a mesma.
x y x u u y T(u) x y x u u y T(u) Aula 17 Álgebra Linear 89 Figura 3 – Vetor u e sua reflexão em torno do eixo X 4) Reflexão em torno da reta Y = X Forma por extenso Forma matricial T(x, y) = (y, x) T(x, y) = 0 1 1 0 x y A Figura 4 mostra o vetor u e sua reflexão em torno da reta Y = X. Aqui as coordenada x e y são invertidas. Figura 4 – Vetor u e sua reflexão em torno da reta Y = X 5) Projeção ortogonal sobre o eixo Y Forma por extenso Forma matricial T(x, y) = (0, y) T(x, y) = 0 0 0 1 x y
x y x u u y T(u) x y x u u y T(u) Aula 17 Álgebra Linear90 A Figura 5 mostra o vetor u e sua projeção ortogonal sobre o eixo Y. No caso da projeção ortogonal, uma das coordenadas é zerada, se for a projeção sobre o eixo Y, a coordenada x é descartada. Figura 5 – Vetor u e sua projeção ortogonal sobre o eixo Y 6) Projeção ortogonal sobre o eixo X Forma por extenso Forma matricial T(x,y) = (x,0) T(x, y) = 1 0 0 0 x y A Figura 6 mostra o vetor u e sua projeção ortogonal sobre o eixo Y. Nesse caso, a coordenada y é descartada. Figura 6 – Vetor u e sua projeção ortogonal sobre o eixo X
x y x u u y T(u) θ Aula 17 Álgebra Linear 91 7) Rotação de um vetor de um ângulo θ Forma por extenso Forma matricial T(x, y) = (x · cos(θ) − y · sen(θ), x · sen(θ) + y · cos(θ)) T(x, y) = cos(θ) −sen(θ) sen(θ) cos(θ) x y A Figura 7 mostra o vetor u e sua rotação de um ângulo θ. Figura 7 – Vetor u e sua rotação de um ângulo θ 8) Cisalhamento de um fator k na direção X Forma por extenso Forma matricial T(x, y) = (x + ky, y) T(x, y) = 1 k 0 1 x y A Figura 8 mostra o vetor u e seu cisalhamento de um fator k maior e menor que zero no eixo X. Note que, à medida que o vetor se afasta do eixo y, a distorção é maior, perceba que, para um mesmo k, quando o vetor tem sua coordenada y próximo de zero, o cisalhamento é menor, porém, se y for grande, então, essa distorção será maior.
y x u y x u K > 0 T(u) y u K < 0 T(u) Aula 17 Álgebra Linear92 Figura 8 – Vetor u e seu cisalhamento de um fator k no eixo X 9) Cisalhamento de um fator k na direção Y Forma por extenso Forma matricial T(x, y) = (x, kx + y) T(x, y) = 1 0 k 1 x y A Figura 9 mostra o vetor u e seu cisalhamento de um fator k maior e menor que zero no eixo Y. Nesse caso, acontece a mesma proporcionalidade que foi comentada no cisalhamento no eixo X, para um mesmo k, quando o vetor tem sua coordenada x próximo de zero, o cisa- lhamento é menor, porém, se x for grande, então, essa distorção será maior.
1 y x u y x u y u K < 0 K > 0 T(u) T(u) Aula 17 Álgebra Linear 93 Figura 9 – Vetor u e seu cisalhamento de um fator k no eixo Y Exemplo 1 Obtenha a projeção ortogonal sobre o eixo x do vetor (3,–5). Resolução Para obter a projeção de qualquer vetor do 2 sobre o eixo x, basta usar a transformação: T(x, y) = 1 0 0 0 x y , logo, T(3, −5) = 1 0 0 0 3 −5 = 3 0 Portanto, a projeção do vetor (3,5) sobre o eixo x é o vetor (3,0). Encontre o vetor resultante da rotação do vetor (1,4) de um ângulo de 90º.
Aula 17 Álgebra Linear94 Composição de transformações lineares Em muitas situações, há a necessidade de aplicarmos não apenas uma, mas uma sequ- ência de transformações a um conjunto de vetores. Nessa situação, ao invés de multiplicarmos uma matriz transformação e depois outra e outra, o melhor a fazer é encontrar uma única matriz que represente a aplicação de todas as transformações desejadas. Para obtermos essa matriz equivalente, basta que multipliquemos as matrizes às transformações envolvidas. Consideremos que se deseja aplicar a transformação T1 (u) e depois T2 (u), nessa ordem, onde T1 é a matriz transformação de T1 (u), T2 é a matriz transformação de T2 (u) e u um vetor, então, teremos: T2 ◦ T1(u) = T2(T1(u)) = T2 · T1 Onde: T2 ◦ T1 = T1 ◦ T2 Exemplo 2 Obtenha o vetor resultante da rotação de 90º seguida de reflexão sobre o eixo y do vetor (–4,3). Resolução Primeiro encontramos as duas matrizes transformações: Rotação de 90º: T(x, y) = cos(θ) −sen(θ) sen(θ) cos(θ) x y = cos(90 ) −sen(90 ) sen(90 ) cos(90 ) x y T1(x, y) = 0 −1 1 0 x y Reflexão sobre o eixo Y: T2(x, y) = −1 0 0 1 x y Obtendo a combinação: T2 ◦ T1(x, y) = T2 · T1 = −1 0 0 1 0 −1 1 0 = 0 1 1 0 T2 ◦ T1(x, y) = 0 1 1 0 x y T2 ◦ T1(−4, 3) = 0 1 1 0 −4 3 = 3 −4
2 y x 3 -4 -3 3 -4 -4 u T1 (u) T2 (T1 (u)) y x y x Vetor u Rotação de 90° Reflexão em torno do eixo y Aula 17 Álgebra Linear 95 Verificando graficamente, podemos comprovar o resultado, conforme mostrado na Figura 10. Figura 10 – Vetor u e a aplicação de duas transformações seguidas Obtenha o vetor resultante da reflexão em torno da reta y=x seguida da projeção ortogonal sobre o eixo x do vetor (–5,–3). Exemplo 3 Obtenha a transformação resultante da composição de duas rotações, primeiro por um ângulo θ1 e depois por θ2 . Resolução As transformações são: T1(x, y) = cos(θ1) −sen(θ1) sen(θ1) cos(θ1) x y T2(x, y) = cos(θ2) −sen(θ2) sen(θ2) cos(θ2) x y A composição das duas é dada por: TR = T2 ◦ T1 = T2 · T1 = cos(θ2) −sen(θ2) sen(θ2) cos(θ2) cos(θ1) −sen(θ1) sen(θ1) cos(θ1) TR = cos(θ1)cos(θ2) − sen(θ1)sen(θ2) −cos(θ1)sen(θ2) − sen(θ1)cos(θ2) sen(θ1)cos(θ2) + cos(θ1)sen(θ2) −sen(θ1)sen(θ2) + cos(θ1)cos(θ2) TR = cos(θ1 + θ2) −sen(θ1 + θ2) sen(θ1 + θ2) cos(θ1 + θ2)
Aula 17 Álgebra Linear96 Como era de se esperar, a composição das duas rotações resulta em fazer uma transformação apenas com a rotação da soma dos ângulos. NESSE CASO, a ordem não influência. Transformações Lineares no 3 Para as Transformações Lineares sobre vetores no 3 , não serão feitas as demonstrações, porém, o raciocínio é o mesmo visto para o 2 . Transformação Forma por extenso Forma matricial Expanção-contração T(x, y, z) = (kx, ky, kz) ⎡ ⎢ ⎣ k 0 0 0 k 0 0 0 k ⎤ ⎥ ⎦ Reflexão em torno do plano xy T(x, y, z) = (x, y, −z) ⎡ ⎢ ⎣ 1 0 0 0 1 0 0 0 −1 ⎤ ⎥ ⎦ Reflexão em torno do plano xz T(x, y, z) = (x, −y, z) ⎡ ⎢ ⎣ 1 0 0 0 −1 0 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎦ Reflexão em torno do plano yz T(x, y, z) = (−x, y, z) ⎡ ⎢ ⎣ −1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎦ Projeção ortogonal sobre o plano xy T(x, y, z) = (x, y, 0) ⎡ ⎢ ⎣ 1 0 0 0 1 0 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎦ Projeção ortogonal sobre o plano xz T(x, y, z) = (x, 0, z) ⎡ ⎢ ⎣ 1 0 0 0 0 0 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎦ Projeção ortogonal sobre o plano yz T(x, y, z) = (0, y, z) ⎡ ⎢ ⎣ 0 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎦
Desafio Resumo Aula 17 Álgebra Linear 97 1) Considerando as Transformações Lineares no plano T1, T2, T3 e T4, determine as matri- zes associadas e esboce no plano a figura determinada pela aplicação das Transformações Lineares em sequência, T1 até T4, sobre o quadrado com vértices (0,0),(1,0),(0,1) e(1,1). T1(x, y) = (3x − y, −y − 2x) T3(x, y) = (x + y, 0) T2(x, y) = x + y 2 , x − y 2 T4(x, y) = (x − y, x) 2) A Transformação Linear T(x, y) = x + y 2 , x − y 2 é bijetora? Justifique. 3) Utilizando a matriz transformação que define a rotação de um vetor no 2 de um ângulo θ, determine os vértices de um triângulo retângulo e isósceles que tem um dos lados coincidente com o vetor A=(2,1). Nesta aula, você aprendeu a aplicar Transformações Lineares a vetores no plano, assim como a obter suas respectivas matrizes transformações. Esta aula contemplou ainda a composição de transformações e a determinação de uma matriz resultante que represente a aplicação dessas transformações em sequência.
1 2 3 4 Aula 17 Álgebra Linear98 Autoavaliação Encontre a representação matricial canônica para cada um dos operadores lineares em 2 descritos a seguir. a) Gira cada vetor de 45° no sentido antitrigonométrico. b) Reflete cada vetor em relação ao eixo x e depois roda o vetor refletido de 90° no sentido trigonométrico. c) Dobra o comprimento do vetor, depois roda o vetor obtido de 30° no sentido trigonomé- trico. d) Reflete cada vetor em relação à reta x = y e depois projeta o vetor refletido sobre o eixo x. Considerando as transformações lineares do 2 , descreva geometricamente o que elas fazem com o vetor. Uma transformação linear T: 2 → 2 é obtida a partir da rotação de um vetor de um ângulo de –90º, seguida de uma expansão por um fator k = 2,5, seguida de refle- xões em torno do eixo X e Y, exatamente nessa sequência. Qual a transformação linear resultante? Considere o sentido positivo como sendo o sentido anti-horário. Conhecendo as transformações T: 3 → 3 , onde Ta (x,y,z)=(x+z, 2x–z, y–2z), Tb (x,y,z)=(2x, 2y,2z) e Tc (x,y,z)=(y,z,x), encontre: a) (Tc ◦ Ta)(1, 1, 1) b) (Tb ◦ Ta)(0, −1, 2) c) (Ta ◦ Tb ◦ Tc)(1, −1, 1) d) (Tc ◦ Tb ◦ Ta)(1, −1, 1) a) T(x, y) = (−x, y) b) T(x, y) = ( x 2 , 0) c) T(x, y) = (−x, 0) d) T(x, y) = y(e1) e) T(x, y) = (x, y) f) T (x,y) = (x,y)
Anotações Aula 17 Álgebra Linear 99 Referências ANTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra linear com aplicações. Porto Alegre: Bookman, 2001. BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. 3. ed. São Paulo: Harper-Row, 1980. LAY, David. Álgebra linear e suas aplicações. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
Anotações Aula 17 Álgebra Linear100
Formas quádricas 18 Aula
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1 2 Aula 18 Álgebra Linear 103 Apresentação A Álgebra Linear pode ser usada, além de muitos outros casos, na Geometria. Nesta aula, veremos como equações quádricas podem ser reescritas visando uma mudança de coorde- nadas que facilitará o traçado do seu gráfico futuramente. Objetivos Saber manipular as formas quádricas da forma por extenso para forma matricial e o contrário. Reconhecer a matriz associada das formas quádricas.
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Aula 18 Álgebra Linear 105 Definição Formas quádricas ou quadráticas são funções em que aparecem termos com multiplica- ção de variáveis, fato que não ocorre nas funções lineares. Forma linear Todas as variáveis aparecem na primeira potência e não há produto de variáveis na expressão. a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn Forma bilinear As variáveis aparecem na primeira potência e há produto de variáveis distintas na expressão. a1 x1 y1 + a2 x2 y2 + ... + an xn yn Forma quádrica É possível aparecer quadrados de variáveis ou produto de duas variáveis: No 2 → a1 x2 1 + a2 x2 2 + a3 x1 x2 No 3 → a1 x2 1 + a2 x2 2 + a3 x2 3 + a4 x1 x2 + a5 x1 x3 + a6 x2 x3 Onde os termos que envolvem variáveis distintas são chamados de produto misto ou termo cruzado. Exemplo: a2 x1 x2 .
Aula 18 Álgebra Linear106 Representação matricial Seja x um vetor de dimensão n, y um vetor de dimensão n e A uma matriz n×n. x = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ x1 x2 xn ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ y = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ y1 y2 yn ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ A = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n an1 an2 · · · ann ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ Uma forma linear pode ser associada a uma matriz na forma: L(x) = Ax Uma forma bilinear pode ser associada a uma matriz na forma: B(x) = xT Ay Uma forma quadrática pode ser associada a uma matriz na forma: Q(x) = xT Ax Onde A é a matriz associada à forma quádrica. Exemplo 1 Seja A = 3 2 −2 7 a matriz associada à forma quádrica, encontre sua expressão por extenso. Resolução: Conhecendo a matriz que é associada à forma quádrica, basta substituir na expressão Q(x) = XT Ax. Como a matriz A tem ordem 2x2, então o vetor X só pode pertencer ao 2 : X = x1 x2 Substituindo: Q(x) = xT Ax = x1 x2 3 2 −2 7 x1 x2 Q(x) = [(3x1 − 2x2)(2x1 + 7x2)] x1 x2 Q(x) = 3x2 1 + 7x2 2 − 2x1x2 + 2x1x2 Q(x) = 3x2 1 + 7x2 2
Aula 18 Álgebra Linear 107 Obtendo a forma matricial Quando se conhece a matriz associada à forma quádrica é fácil obter a forma por extenso, o contrário também pode ser obtido, porém, requer um pouco mais de atenção. Procedimento: Definimos a ordem da matriz associada de acordo com a quantidade de variáveis envolvidas. Identificamos os coeficientes dos termos ao quadrado. Alocamos na diagonal principal esses coeficientes. As demais entradas da matriz dependem dos coeficientes dos termos cruzados, a posição ij + a posição ji na matriz corresponde ao coeficiente do termo cruzado xi xj . Exemplo 2 Considere a forma quádrica Q(x) = x2 1 – 2x2 2 + 5x1 x2 e obtenha uma forma matricial equivalente. Resolução: Primeiro, definiremos a ordem da matriz. Como apenas aparecem como variáveis x1 e x2 , então a matriz associada terá ordem 2x2. A = − − − − Os elementos dos termos ao quadrado são os elementos da diagonal principal. Nesse caso, os coeficientes são: 1 e –2 A = 1 −2 Os elementos a12 e a21 partem dos termos cruzados, onde a12 +a21 corresponde ao coeficiente do termo x1 x2 . a12 + a21 = 5 Existe uma infinidade de possibilidades: (2 e 3), (1 e 4), (0 e 5), (2,5 e 2,5)... O que ocorre é que sempre se tende a utilizar matrizes simétricas, pelo fato destas apresentarem algumas facilidades, vistas mais adiante, portanto: A = 1 2, 5 2, 5 −2
Aula 18 Álgebra Linear108 Forma matricial: Q(x) = xT Ax = x1 x2 1 2, 5 2, 5 −2 x1 x2 É possível observar que para cada função existe uma infinidade de matrizes que se encaixariam na sua representação, cabe escolher então a mais adequada. Verificando se a matriz é associada de fato à forma quádrica dada: Q(x) = xT Ax Q(x) = xT Ax = x1 x2 1 2, 5 2, 5 −2 x1 x2 Q(x) = [(x1 + 2, 5x2)(2, 5x1 − 2x2)] x1 x2 Q(x) = x2 1 + 2, 5x1x2 + 2, 5x1x2 − 2x2 2 Q(x) = x2 1 + 5x1x2 − 2x2 2 Exatamente a forma quádrica inicial. Exemplo 3 Seja, Q(x) = x2 1 + 2x2 2 + 3x2 3 + 5x1 x2 – x1 x3 + 2x2 x3 encontre a matriz associada. Resolução: Primeiro, definiremos a ordem da matriz. Como aparecem as variáveis x1 , x2 e x3, então, a matriz associada terá ordem 3x3. A = ⎡ ⎢ ⎣ − − − − − − − − − ⎤ ⎥ ⎦ Os elementos dos termos ao quadrado são os elementos da diagonal principal. Nesse caso, os coeficientes são: 1, –2 e 3. A = ⎡ ⎢ ⎣ 1 −2 3 ⎤ ⎥ ⎦ Os demais elementos partem dos termos cruzados: Coeficiente do termo cruzado da variável 1 com 2 : 5. Então, os elementos a12 e a21 devem ter a soma igual a 5: a12 + a21 = 5. Optando pela matriz simétrica, teremos a12 = 2,5 e a21 = 2,5. A = ⎡ ⎢ ⎣ 1 2, 5 2, 5 −2 3 ⎤ ⎥ ⎦
1 Aula 18 Álgebra Linear 109 Os elementos a13 e a31 devem ter a soma igual a –1: a13 + a31 = –1. Optando pela matriz simétrica, teremos a13 = –0,5 e a31 = –0,5. A = ⎡ ⎢ ⎣ 1 2, 5 −0, 5 2, 5 −2 −0, 5 3 ⎤ ⎥ ⎦ Os elementos a23 e a32 devem ter a soma igual a 2: a23 + a32 = 2. Optando pela matriz simétrica, teremos a23 = 1 e a32 = 1. A = ⎡ ⎢ ⎣ 1 2, 5 −0, 5 2, 5 −2 1 −0, 5 1 3 ⎤ ⎥ ⎦ Forma matricial: Q(x) = xT Ax = x1 x2 x3 ⎡ ⎢ ⎣ 1 2, 5 −0, 5 2, 5 −2 1 −0, 5 1 3 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ x1 x2 x3 ⎤ ⎥ ⎦ Verificando: Q(x) = xT Ax = x1 x2 x3 ⎡ ⎢ ⎣ 1 2, 5 −0, 5 2, 5 −2 1 −0, 5 1 3 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ x1 x2 x3 ⎤ ⎥ ⎦ Q(x) = [(x1 + 2, 5x2 − 0, 5x3)(2, 5x1 − 2x2x3)(−0, 5x1 + x2 + 3x3)] ⎡ ⎢ ⎣ x1 x2 x3 ⎤ ⎥ ⎦ Q(x) = x2 1 + 2, 5x1x2 − 0, 5x1x3 + 2, 5x1x2 − 2x2 2 + x2x3 − 0, 5x1x3 + x2x3 + 3x2 3 Q(x) = x2 1 − 2x2 2 + 3x2 3 + 5x1x2 − x1x3 + 2x2x3 Forma quádrica original. Encontre a forma matricial das formas quádricas e, ao final, verifique se a matriz está correta. a) Q(x) = –3x2 1 – x2 2 – 6x1 x2 b) Q(x) = 3x2 1 – 3x2 2 + x2 3 + 4x1 x2 + 3x1 x3 – 8x2 x3
Desafio Resumo Aula 18 Álgebra Linear110 Formas quádricas positivas Uma forma quádrica Q(x) = xT Ax é chamada positiva definida se xT Ax>0 qualquer x diferente de zero. Existe ainda a nomenclatura negativa definida, quando xT Ax<0 para todo x diferente de zero, e indefinida, quando xT Ax pode assumir tanto valores positivos quanto negativos para todo x diferente de zero. Uma matriz simétrica A, associada a uma forma quádrica, é chamada positiva se xT AX é uma forma quádrica positiva, e a matriz A será positiva se, e somente se, todos seus autovalores forem positivos. 1) Considere a seguinte forma quadrática: Q(x1, x2, x3) = x1 x2 x3 ⎡ ⎢ ⎣ a 0 0 0 d e 0 e f ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ x1 x2 x3 ⎤ ⎥ ⎦ Sabendo que f (1, 0, 0 ) = 3, f (0, 1, 0) = 2, f (0, 1, 1) = f ( 0, 0, 1) = 4, determine a expressão da forma quadrática. 2) Expresse a forma quádrica (b1 x1 + b2 x2 + ... + bn xn )2 na notação matricial Q(x) = xT Ax, onde A é uma matriz simétrica. Nesta aula, você aprendeu a identificar formas quádricas assim como diferenciá-las de formas lineares e bilineares, aprendeu ainda a mudar sua representação de matricial para extensa e também o contrário.
1 2 3 Aula 18 Álgebra Linear 111 Autoavaliação Identifique quais das equações são formas quádricas. Justifique. a) Q(x)=2x2 1 + 2x2 2 + 2x1 x2 b) Q(x)=–5x1 x2 x3 c) Q(x)=3x2 1 x2 2 + 4x1 x2 d) Q(x)=x2 1 – x2 2 + x2 3 – 2x2 4 + 8x1 x2 x3 +x3 x4 e) Q(x)=2x3 1 + x3 2 + x3 3 Transforme a forma matricial em forma quádrica, tomando a matriz A como a matriz associada à forma quádrica. a) A = ⎡ ⎢ ⎣ 1 4 3 2 3 2 1 0 −2 ⎤ ⎥ ⎦ b) A = 3 7 4 −3 c) A = ⎡ ⎢ ⎣ 1 3 2 3 3 1 2 1 −2 ⎤ ⎥ ⎦ d) A = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 0 1 −2 3 2 1 −3 1 2 0 0 0 −2 6 −2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ e) A = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 2 −2 0 7 −5 4 −1 2 4 6 0 3 4 1 0 1 0 1 0 1 −1 2 6 1 −2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ Escreva a forma quádrica na forma matricial. a) Q(x)=3x2 1 – x2 2 + 4x1 x2 b) Q(x)=–2x2 1 + x1 x2 c) Q(x)=–4x2 1 – 2x2 2 – x2 3 + 4x1 x2 – 6x1 x3 + 8x2 x3 d) Q(x)=4x2 4 e) Q(x)=3x2 1 + x2 2 + 4x1 x2 f) Q(x)=4x1 x2 – x2 x4 – 2x2 x5
Anotações Aula 18 Álgebra Linear112 Referências ANTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra linear com aplicações. Porto Alegre: Bookman, 2001. BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. 3. ed. São Paulo: Harper-Row, 1980. LAY, David. Álgebra linear e suas aplicações. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
Anotações Aula 18 Álgebra Linear 113
Anotações Aula 18 Álgebra Linear114
Diagonalização de formas quádricas 19 Aula
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1 2 3 Aula 19 Álgebra Linear 117 Apresentação A Álgebra Linear quando aplicada às formas quádricas permite obter matrizes associadas simplificadas, facilitando cálculos e reduzindo custo computacional. Ao lançar mão da dia- gonalização, mostramos uma aplicação direta da Álgebra Linear na geometria, uma vez que utilizaremos esse recurso para a facilitação do traçado do seu gráfico futuramente. Objetivos Aplicar o processo de diagonalização de matrizes às formas quádricas. Relacionar sistemas de coordenadas. Compreender a relação entre os sistemas de coordenadas envolvidos.
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Aula 19 Álgebra Linear 119 Definição Como vimos na aula anterior, a forma matricial da forma quádrica é obtida facilmente a partir da forma por extenso, porém, a matriz pode ser uma matriz “cheia” o que implica em vá- rias dificuldades de manipulação. O que faremos nesta aula é diagonalizar essa matriz associada para dispor de uma matriz simplificada. Uma matriz associada diagonal implica em uma forma quádrica sem termos cruzados, então, o que de fato faremos é eliminar os termos cruzados. Processo de diagonalização Inicialmente é utilizada a função na forma padrão: Q(x) = xT Ax = x1 x2 · · · xn ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n an1 an2 · · · ann ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ x1 x2 xn ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ O que faremos é mudar de sistema de coordenadas, de X para Y, os quais se relacionam através da matriz P, que é uma matriz que diagonaliza A ortogonalmente. X = PY Onde: X é o vetor variável do n X = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ x1 x2 xn ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ , Y é o novo vetor variável do n Y = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ y1 y2 yn ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ , P é uma matriz ortogonal que diagonaliza A. Aplicando a mudança de variável: XT AX = (PY)T A(PY) XT AX = YT PT APY XT AX = YT (PT AP)Y A nova matriz associada à forma quádrica no novo sistema de coordenadas é (PT AP). Como P é uma matriz que diagonaliza A ortogonalmente, então PT =P–1
Aula 19 Álgebra Linear120 e PT AP = P–1 AP = D Onde D é a matriz diagonalizada, cujos elementos da diagonal principal são os autovalores de A. D = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ λ1 0 · · · 0 0 λ2 · · · 0 0 0 · · · λn ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ Logo, XT AX = YT DY Exemplo 1 Seja Q(x) = x2 1 − 5x2 2 − 8x1x2 , encontre uma mudança de variável que transforme a forma quádrica em uma sem termos cruzados. Resolução: Passando para a forma matricial, temos: Q(x) = xT Ax = x1 x2 1 −4 −4 −5 x1 x2 . A matriz associada é: A = 1 −4 −4 −5 . Devemos diagonalizar a matriz A: Autovalores de A: 3 e –7 Autovetores de A: vλ=3 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 2 √ 5 −1 √ 5 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ vλ=7 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 1 √ 5 2 √ 5 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦. Como os autovetores já são ortonormais, não será necessário diagonalizá-los nem ortonor- malizá-los. Então, x = Py , onde x = x1 x2 y = y1 y2 D = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 2 √ 5 1 √ 5 −1 √ 5 2 √ 5 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦
Aula 19 Álgebra Linear 121 Mudando de coordenadas: Q(x) = x2 1 − 5x2 2 − 8x1x2 = xT Ax = yT Dy Q(y) = yT Dy = y1 y2 3 0 0 −7 y1 y2 Como a nova matriz associada é D, então a forma expandida fica: Q(y) = 3y2 1 − 7y2 2 → Forma quádrica no novo sistema de coordenadas. Para relacionarmos os dois sistemas de coordenadas, basta utilizarmos a expressão x = Py, então para calcularmos um determinado vetor em Q(x), basta obter o correspondente em y. Para calcular Q(x1, x2) = Q(2, −2), Q(x) = x2 1 − 5x2 2 − 8x1x2 Q(2, −2) = 22 − 5 · (−2)2 − 8 · 2 · (−2) = 16 Para encontrar o mesmo no sistema equivalente, primeiro encontramos seu correspondente em Y: X = PY Y = P−1 X P−1 = PT Y = P−1 X = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 2 √ 5 −1 √ 5 1 √ 5 2 √ 5 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ 2 −2 ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 6 √ 5 −2 √ 5 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ y1 = 6 √ 5 y2 = −2 √ 5 Então, aplicamos à expressão em Y: Q(y) = 3y2 1 − 7y2 2 Q(2, −2) = 3 6 √ 5 2 − 7 −2 √ 5 2 = 16
Desafio Resumo Aula 19 Álgebra Linear122 Seja Q(x) = 3x2 1 + 3x2 2 + 2x1x2 , encontre uma mudança de variável que transforme a forma quádrica em uma sem termos cruzados. 1) Diagonalize a forma quádrica Q(x) = 3x2 1 − 2x1x2 + 2x2 2 − 2x2x3 + 3x2 3 . 2) Suponha que x é um autovetor unitário de dimensão 5 associado ao autovalor ¸=3. Qual o valor de xT Ax? Nesta aula, você viu que o processo de diagonalização é de essencial importância na simplificação de formas quádricas. Você aprendeu não apenas a aplicar a diagonalização às formas quádricas como a relacionar vetores entre os sistemas de coordenadas envolvidos.
Aula 19 Álgebra Linear 123 Autoavaliação Elimine o termo cruzado das formas quádricas, escrevendo-as em um novo sistema de coordenadas. Encontre as matrizes que relacionam os dois sistemas. Para cada caso encontre a coordenada correspondente a x1 = −1, x2 = 2, x3 = 1 no novo sistema de coordenadas. a) Q(x) = x2 1 + x2 2 + 10x1x2 b) Q(x) = 2x1x2 c) Q(x) = 9x2 1 + 7x2 2 + 11x2 3 − 8x1x2 + 8x1x3 d) Q(x) = 2x1x3 + 6x2x3 Referências ANTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra linear com aplicações. Porto Alegre: Bookman, 2001. BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. 3. ed. São Paulo: Harper-Row, 1980. LAY, David. Álgebra linear e suas aplicações. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
Anotações Aula 19 Álgebra Linear124
Seções cônicas 20 Aula
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Aula 20 Álgebra Linear 127 Apresentação A Álgebra Linear quando empregada na Geometria traz benefícios e facilidades ao traçado de gráficos. Uma vez aprendida a diagonalização de formas quádricas, usaremos esse recurso para traçar seus gráficos no plano. Faremos uma mudança de sistema de co- ordenadas para trazer um gráfico deslocado em relação à origem para a posição centralizada, o que facilita, e muito, o desenho do seu gráfico. Objetivo Traçar gráficos de seções cônicas rotacionados e deslocados horizontal e/ou verticalmente em relação à origem.
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Hipérbole ParábolaElipse Aula 20 Álgebra Linear 129 Definição Chamamos de seção cônica a forma gráfica que as quádricas do 2 assumem. Uma série de figuras chaves pode ser obtida a partir das formas quádricas, as quais variam de acordo com os parâmetros da equação analisada. Quando analisamos os gráficos das quádricas do 3 , temos então as superfícies cônicas, que não serão alvos do nosso estudo. O termo “cônicas” se dá porque as figuras, que são elipses, hipérboles e parábolas, podem ser obtidas a partir de cortes feitos em cones. A Figura 1 mostra como o plano corta o cone para formar as figuras. Figura 1 – Cônicas Interpretação geométrica do 2 Partindo da equação das formas quádricas: Q(x) = xT Ax = c onde A é uma matriz 2×2 simétrica e inversível, c uma constante e x um vetor do 2 . Ao expandirmos, teremos uma expressão da forma: rx2 1 + sx 2 2 + tx1 x2 = c Sendo r, s e t ∈ obtidas a partir dos coeficientes da matriz A. Ao eliminarmos o termo cruzado, através da diagonalização, teremos apenas: fx2 1 + gx 2 2 = c
x1 x2 b a a > b > 0 x1 x2 b a b > a > 0 x1 x2 b a a = b > 0 Aula 20 Álgebra Linear130 onde f e g também são constantes. Dividindo toda a equação por c teremos: fx2 1 c + gx2 2 c = 1 E arrumando, temos: x2 1 a2 + x2 2 b2 = 1 Onde a e b são obtidas a partir de c, f e g. Formas quádricas sem o termo cruzado Veremos a seguir a forma padrão e a forma degenerada de cada uma das cônicas. A forma padrão, não degenerada, é a forma como a equação da figura se apresenta, já a forma dege- nerada ocorre quando alguma das constantes apresenta valores fora do padrão e com isso transforma a figura em uma outra forma. Elipse A equação da elipse, na forma como sabemos traçar seu gráfico, é: x2 1 a2 + x2 2 b2 = 1 No caso particular onde a =b, temos o círculo. A Figura 2 mostra o gráfico de elipses para relações distintas de a e b. Para desenhar o gráfico da elipse devemos marcar as delimitações definidas por a, –a, b e –b, então completar o gráfico. Figura 2 – Gráficos de elipses
x1 x2 b a a > b > 0 x1 x2 b a b > a > 0 Aula 20 Álgebra Linear 131 Elipse degenerada: Quando a equação tem a forma ax2 1 + bx 2 2 = c Implica dizer que a figura obtida é apenas um ponto. Círculo degenerado: Como o círculo vem da elipse quando a=b, então também teremos apenas um ponto. x2 1 + x 2 2 = 0 Hipérbole A equação da hipérbole é bem parecida com a da elipse, porém, muda um dos sinais dos termos com variáveis para negativo: x2 1 a2 + x2 2 b2 = 1 A Figura 3 mostra o gráfico de hipérboles para relações distintas de a e b. Para traçarmos uma hipérbole, primeiro devemos marcar no gráfico os valores de a, –a, b e –b, traçar um retângulo passando por esses pontos e então gerar as assíntotas, as quais o gráfico tangencia. Figura 3 – Gráficos de hipérboles
x22 2 − ax1 = 0 x1 2 − ax2 = 0 F x1 x2 Diretriz a 4 a 4 a 4 F x1 x2 Diretriz a 4 a 4 a 4 Aula 20 Álgebra Linear132 Hipérbole degenerada: Quando caímos na forma x2 1 a2 − x2 2 b2 = 0 ⇒ x1 = ± a b x2 . O que implica em retas concorrentes. Parábola A equação da parábola é obtida a partir da expressão a seguir, ou invertendo-se as variáveis: x2 1 – ax2 = 0 A Figura 4 mostra parábolas sobre os eixos x1 e x2 . O foco da parábola está situado a a 4 do vértice e a diretriz a a 2 do foco. Figura 4 – Gráficos de parábolas Parábola degenerada: Quando caímos na forma x2 1 – a = 0 ou x2 1 = 0. O que implica em retas paralelas no primeiro caso e em reta coincidente com o eixo x2 no segundo.
x1 x2 33 22 -3-3 -2-2 x1 x2 33 22 -3-3 -2-2 Aula 20 Álgebra Linear 133 Exemplo 1 Encontre o gráfico de: a) 9x2 1 + 4x2 2 = 36 b) x2 1 – 4x2 2 = 2 c) 16x1 – x2 2 = 0 Resolução: a) Arrumando a equação 9x2 1 + 4x2 2 = 36 Dividindo tudo por 36: 9x2 1 36 + 4x2 2 36 = 36 36 x2 1 4 + x2 2 9 = 1, temos a equação de uma elipse com a =2 (associado a x1 ) e b=3 (associa- do a x2 ). Para traçar o gráfico, primeiro marcamos os pontos a, –a, b e –b e, em seguida, desenhamos a elipse, como mostrado na Figura 5. Figura 5 – Gráfico da elipse x2 1 4 + x2 2 9 = 1 b) Arrumando a equação x2 1 – 4x2 2 = 2 Dividindo por 2: x2 1 2 − 4x2 2 2 = 2 2 x2 1 2 − x2 2 2 4 = 1 → x2 1 2 − x2 2 1 2 = 1 Temos a equação de uma hipérbole com a = √ 2 ( x1) e b = 1 2 ( x2)
x1 x2 x1 x2 22 -- 22 -- 22 22 22 22 22 -- 22 -- 22 22 22 22 x1 x2 x1 x2 22 -- 22 -- 22 22 22 22 Aula 20 Álgebra Linear134 Figura 6 – Passos intermediários do gráfico da hipérbole x2 1 2 − x2 2 1 2 = 1 Traçamos as assíntotas passando pelas “quinas” do retângulo e, por fim, desenhamos a hi- pérbole, como na Figura 7. Figura 7 – Gráfico da hipérbole x2 1 2 − x2 2 1 2 = 1 Para saber se a hipérbole cruza o eixo x1 ou o eixo x2 , devemos observar o sinal da equação. Note que na equação x2 1 2 − x2 2 1 2 = 1 a variável x2 pode assumir o valor x2 =0 que o x1 apre- sentará valores reais, porém, se a variável x1 assumir o valor x1 =0 então os valores para x2 serão complexos, valores que não fazem parte do nosso estudo neste momento. Portanto, concluímos que o valor x1 não pode ser zero, ou seja, o gráfico não pode cortar o eixo x2 , então o gráfico está sobre o eixo x1 . Para traçar o gráfico, primeiro marcamos os pontos a, –a, b e –b e, em seguida, marcamos um quadrado passando por esses pontos, como mostrado na Figura 6.
x1 x2 x1 x2 - 48 -4 4 1 3 48 V F - 48 -4 4 1 3 48 V F Aula 20 Álgebra Linear 135 c) Arrumando a equação 16x1 – x2 2 = 0, x2 2 = 16x1 , temos a equação de uma parábola com a =16. Vértice no ponto (0,0). Foco no ponto (4,0), pois a parábola está sobre o eixo x1 (variável sem o quadrado). Conhecendo alguns pontos fica simples traçar o gráfico. Vamos atribuir os valores 1 e 3 a x1 : X1 X2 1 ± 4 3 ± √ 48 Figura 8 – Gráfico de parábola x2 2 = 16x1 Forma quádrica completa No exemplo anterior, vimos como traçar o gráfico das cônicas sem alterações. Porém, na prática, essas figuras podem aparecer com vários deslocamentos possíveis. A equação da forma quádrica não aparece “limpa”, na forma como sabemos traçar seu gráfico. Portanto, veremos como considerar e eliminar cada parcela a fim de obtermos a forma reduzida e então desenhar o gráfico de uma forma simples. Quando consideramos a equação da forma quádrica rx2 1 – sx2 2 + tx1 x2 = c deslocada, ou seja, centrada no ponto (p,q), temos: r(x1 – p)2 + s(x2 –q)2 + t(x1 – p)(x2 – q) = c Arrumando, teremos uma equação com os seguintes termos: a1 x2 1 + a2 x2 2 + a3 x1 x2 + a4 x1 + a5 x2 + a6 = 0 Essa forma, com termo cruzado e os termos lineares, é a forma completa da equação quádrica.
x1 x2 x1 x2 Aula 20 Álgebra Linear136 Influência dos termos Observando a equação completa – da forma quádrica a1 x2 1 + a2 x2 2 + a3 x1 x2 + a4 x1 + a5 x2 + a6 = 0, percebemos 3 tipos de termos adicionais: Os termos quadráticos – a1 x2 1 + a2 x2 2 , os termos cruzados (ou produto misto) – a3 x1 x2 e os termos lineares – a4 x1 + a5 x2 . Cada um deles influencia o gráfico de uma maneira. Termos quadráticos – a1 x2 1 + a2 x2 2 Quando na forma quádrica aparecem apenas esses termos, o que implica em uma figura centralizada na origem e livre de deslocamentos ou rotações, dizemos que ela está na posição canônica, conforme Figura 9. Figura 9 – Cônica centralizada Termos cruzados – a3 x1 x2 Quando o termo cruzado (ou produto misto) aparece na equação, a figura é rotacionada em relação à sua posição canônica, como mostrado na Figura 10. Figura 10 – Cônica rotacionada
x1 x2 x1 x2 Aula 20 Álgebra Linear 137 Termos lineares – a4 x1 + a5 x2 Quando na forma quádrica surgem os termos lineares, isso indica deslocamentos horizontais e/ou verticais, mostrados na Figura 11. Figura 11 – Cônica deslocada horizontal e verticalmente Uma cônica que apresenta todos os termos possíveis terá todas as modificações, a rotação e os deslocamentos horizontais e verticais, como exemplificado na Figura 12. Figura 12 – Cônica rotacionada e deslocada horizontal e verticalmente O desafio é como traçar o gráfico de uma forma quádrica que apresenta todos os termos: a1 x2 1 + a2 x2 2 + a3 x1 x2 + a4 x1 + a5 x2 + a6 = 0
x1 x'1 x2 x'2 Aula 20 Álgebra Linear138 Traçando o gráfico com a influência dos termos Equação com termo cruzado (rotacionado) Para desenharmos uma cônica rotacionada, o que fazemos na realidade é uma mudança de sistema de coordenadas. Imagine que conhecemos a equação da cônica que tem o gráfico mostrado na Figura 10. De posse da equação, é possível descobrir e relacionar um novo sistema de coordenadas x`1 x`2 que tem a cônica na posição canônica. Dessa forma fica fácil traçar o gráfico no novo sistema de coordenadas x`1 x`2 e sobrepor ao sistema antigo x1 x2 . Figura 13 – Relação entre sistemas de coordenadas distintos Partindo da equação a1 x2 1 + a2 x2 2 + a3 x1 x2 + a6 = 0 e escrevendo-a na forma matricial, temos: xT Ax + c = 0 x1 x2 a11 a12 a21 a22 x1 x2 + c = 0 Onde A = a11 a12 a21 a22 x = x1 x2 c = constante Para eliminarmos o termo cruzado, vamos passar a quádrica pelo processo de diagonalização. Para tanto, devemos encontrar a matriz P que diagonaliza A ortogonalmente, onde X=PY. Deve-se substituir na equação xT Ax + c = 0 (Py)T A(Py) + c = 0 yT PT APy + c = 0 yT (PT AP)y + c = 0 yT Dy + c = 0
Aula 20 Álgebra Linear 139 Dessa forma, teremos um novo sistema de coordenadas Y livre do termo cruzado, o qual se relaciona com o sistema X através da equação X=PY. y1 y2 d1 0 0 d2 y1 y2 + c = 0 d1y2 1 + d2y2 2 + c = 0 O gráfico no novo sistema de coordenadas é fácil de ser obtido, pois está na posição canônica. O próximo passo é então relacionar os gráficos dos dois sistemas de coordenadas, onde os eixos do novo sistema de coordenadas estão sobre o antigo na direção dos autovetores de A. Exemplo 2 Encontre o gráfico da elipse 5x2 1 + 8x2 2 – 4x1 x2 – 36= 0. Resolução: Primeiro escrevemos na forma matricial: xT Ax + c= 0 A = 5 −2 −2 8 x = x1 x2 c = −36 Encontrando os autovalores de A: 4 e 9 Encontrando os autovetores de A: vλ=4 2 1 e vλ=9 −1 2 São ortogonais, devemos então apenas normalizá-los: v1 = vλ=4 vλ=4 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 2 √ 5 1 √ 5 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ v2 = vλ=9 vλ=9 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ −1 √ 5 2 √ 5 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ P = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 2 √ 5 −1 √ 5 1 √ 5 2 √ 5 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ P−1 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 2 √ 5 1 √ 5 −1 √ 5 2 √ 5 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ A ordem adequada para os autovetores na matriz é tal qual o determinante da matriz P seja 1 e não –1. Segundo esse raciocínio, então v1 deve corresponder à primeira coluna e v2 à segunda.
y1 y2 22 33 -2-2 -3-3 Aula 20 Álgebra Linear140 A expressão xT Ax + c= 0 é equivalente a yT Dy + c= 0 y1 y2 4 0 0 9 y1 y2 − 36 = 0 4y2 1 + 9y2 2 − 36 = 0 A equação nessa forma é fácil percebemos que se trata de uma elipse. 4y1 2 + 9y2 2 = 36 Dividindo toda a equação por 36: 4y2 1 36 + 9y2 2 36 = 36 36 y2 1 9 + y2 2 4 = 1 a = 3 b = 2 O gráfico no sistema de coordenas Y é mostrado na Figura 14. Figura 14 – Gráfico da cônica na posição canônica – Sistema y1 y2 . Escala 1:1 Para traçarmos o gráfico no sistema X, devemos primeiro escrever os eixos y1 y2 . Marcamos os autovetores no sistema X e então traçamos o eixo y1 para coincidir com o primeiro autovetor e o y2 com o segundo, como mostrado na Figura 15.
1 x1 x2 V2 V1 y 1 y 2 x1 x2 y 1 y 2 2 3-2 -3 Aula 20 Álgebra Linear 141 Figura 16 – Gráfico da cônica na posição original – Sistema x1 x2 . Escala 1:1 Figura 15 – Relação entre sistemas de coordenadas Então, é só sobrepor o gráfico já traçado no sistema y1 y2 , como na Figura 16. Encontre o gráfico da elipse 2x2 1 + 2x2 2 – 2x1 x2 – 8= 0.
Aula 20 Álgebra Linear142 Equação com termos lineares (deslocado horizontal e/ou verticalmente) Como não há a presença de produto misto, significa que a cônica não está rotacionada, mas está fora da sua posição. Para desenharmos uma cônica deslocada horizontal ou verticalmente, fazemos também uma mudança de sistema de coordenadas. Para isso, vamos apenas rees- crever a quádrica de uma forma diferente, completando os quadrados. Consideremos a forma quádrica: a1 x2 1 + a2 x2 2 +a3 x1 + a4 x2 + a5 = 0 O que devemos fazer é agrupar os termos com as mesmas variáveis e completar os quadrados. Façamos com um exemplo. Exemplo 3 Encontre o gráfico de x2 1 + 2x2 2 + 4x1 – 4x2 – 4= 0. Resolução: Agrupando os termos: (x2 1 + 4x1 ) – (2x2 2 + 4x2 )– 4= 0 Completando os quadrados: (x1 + 2)2 − 4 − 2 (x2 + 1)2 − 1 − 4 = 0 (x1 + 2)2 − 2(x2 + 1)2 − 6 = 0 Mudando de variáveis: x`1 = x1 + 2 x`2 = x2 + 1 Logo, a nova equação é: x`2 1 – 2x`2 2 – 6 = 0 Ao organizar, fica: x 2 1 − 2x 2 2 = 6 x 2 1 6 − 2x 2 2 6 = 6 6 x 2 1 6 − x 2 2 3 = 1 a = √ 6 b = √ 3
x'1 x'2 -- 66 66 -- 33 33 x1 x2 x'1 x'2 Aula 20 Álgebra Linear 143 Pelo exposto, observamos que é a equação de uma hipérbole. Traçando a hipérbole no sistema de coordenadas x`1 x`2 , obtemos o gráfico da Figura 17 na posição canônica. Figura 17 – Gráfico da cônica na posição canônica – sistema x`1 x`2 . Escala 1:1 Para traçarmos o gráfico no sistema original, devemos relacionar os dois sistemas de coor- denadas. Como: x`1 = x1 + 2 x`2 = x2 + 1 Então, temos que o ponto (0,0) do sistema x`1 x`2 ocorre no ponto (–2,–1) do sistema x1 x2 , conforme mostrado na Figura 18. Figura 18 – Relação entre sistemas de coordenadas. Escala 1:1
2 x1 x2 x'1 x'2 Aula 20 Álgebra Linear144 Agora, então é só sobrepor a figura já traçada no sistema x`1 x`2 , como mostrado na Figura 19. Figura 19 – Gráfico da cônica na posição original – sistema x1 x2 . Escala 1:1 Encontre o gráfico de 2x2 1 + x2 2 – 8x1 + 2x2 + 5= 0. Equação completa – produto misto e termos lineares O problema do traçado do gráfico da equação a1 x2 1 + a2 x2 2 + a3 x1 x2 + a4 x1 + a5 x2 + a6 = 0 se resume então a eliminar o termo cruzado e depois reescrever a equação de forma adequada. Aequaçãoquádricaa1 x2 1 + a2 x2 2 + a3 x1 x2 + a4 x1 + a5 x2 + a6 = 0podeserescritanaformamatricial: x1 x2 a11 a12 a21 a22 x1 x2 + b1 b2 x1 x2 + c = 0 xT Ax + Bx + c = 0 Onde A = a11 a12 a21 a22 x = x1 x2 B = b1 b2 c = constante Devemos promover uma mudança de coordenadas para um novo sistema Y, o qual se relaciona com o sistema X através da matriz P que diagonaliza A ortogonalmente: X=PY Devemos substituir na equação matricial: xT Ax + Bx + c = 0
Aula 20 Álgebra Linear 145 (Py)T A(Py) +B(Py) + c = 0 yT PT APy + BPy + c = 0 yT( PT AP)y + (BP)y + c = 0 yT Dy + (BP)y + c = 0 Portanto, temos a nova equação matricial escrita no novo sistema de coordenadas sem o termo cruzado. Note que para traçar o gráfico a partir dessa equação, depois de diagonalizada, basta que completemos os quadrados e migremos para um terceiro sistema de coordenadas. O segredo é então relacionar adequadamente os três sistemas. Exemplo 4 Encontre o gráfico de 5x2 1 + 8x2 2 − 4x1x2 + 4 √ 5x1 − 16 √ 5x2 + 4 = 0. Resolução: Primeiro passo é sempre escrever na forma matricial: xT Ax + Bx + c = 0 A = 5 −2 −2 8 x = x1 x2 B = 4 √ 5 −16 √ 5 c = 4 Autovalores de A: 4 e 9 Autovetores de A: vλ=4 = 2 1 vλ=9 = −1 2 Como são ortogonais, basta normalizar: v1 = vλ=4 vλ=4 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 2 √ 5 1 √ 5 ⎤ ⎦ e v2 = vλ=9 vλ=9 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ −1 √ 5 2 √ 5 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ Matriz P: P = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 2 √ 5 −1 √ 5 1 √ 5 2 √ 5 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ P−1 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 2 √ 5 1 √ 5 −1 √ 5 2 √ 5 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ A ordem dos autovetores está correta, pois det(P)=1. Caso fosse –1, deveríamos trocar as colunas de P e considerar o primeiro autovalor 9 e o segundo 4. A expressão xT Ax + Bx + c = 0 é equivalente a yT Dy + (BP)y + c = 0. y1 y2 4 0 0 9 y1 y2 + 4 √ 5 −16 √ 5 ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 2 √ 5 −1 √ 5 1 √ 5 2 √ 5 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ y1 y2 + 4 = 0 4y2 1 + 9y2 2 + [−8 − 36] y1 y2 + 4 = 0 4y2 1 + 9y2 2 − 8y1 − 36y2 + 4 = 0
y'1 y'2 Aula 20 Álgebra Linear146 Que é a expressão da forma quádrica no sistema Y, livre dos termos cruzados. Devemos então agora manipular a equação para eliminar os termos lineares: 4y2 1 − 8y1 + 9y2 2 − 36y2 + 4 = 0 4(y2 1 − 2y1) + 9(y2 2 − 4y2) + 4 = 0 4(y2 1 − 2y1) + 4 − 4 + 9(y2 2 − 4y2) + 36 − 36 = −4 4(y2 1 − 2y1 + 1) − 4 + 9(y2 2 − 4y2 + 4) − 36 = −4 4(y1 − 1)2 + 9(y2 − 2)2 = 36 Mudando para o sistema de coordenadas y`1 y`2 : y`1 = y1 – 1 e y`2 = y2 – 2 Logo, a expressão da cônica no sistema y`1 y`2 é: 4y`1 2 + 9y`2 2 = 36 Colocando na forma padrão da elipse: y 2 1 9 + y 2 2 4 = 1 Onde a = √ 9 = 3 b = √ 4 = 2, e seu gráfico pode ser visto na Figura 20. Figura 20 – Gráfico da cônica na posição original – sistema y`1 y`2 . Escala 1:1 Relacionando o sistema Y com o sistema Y`, temos que o ponto (0,0) do sistema Y`ocorre no ponto (1,2) do sistema Y, conforme mostrado na Figura 21. y`1 = y1 – 1 y`2 = y2 – 2
y1 y2 y'1 y'2 x1 x2 y 1 V1 y 2 V2 Aula 20 Álgebra Linear 147 Figura 21 – Gráfico da cônica considerados os deslocamentos horizontais e verticais - sistema y1 y2 . Escala 1:1 Analisando o gráfico no sistema Y, é fácil observar que: 4y`1 2 + 9y2 2 – 8y1 – 36y2 + 4 = 0 y1 y2 0 3,88 e 0,11 1 0 Para escrever o sistema Y no sistema X, devemos primeiro marcar os autovetores v1 e v2 e, em seguida, fazer com que os eixos y1 e y2 coincidam com eles, como mostrado na Figura 22. Figura 22 – Relação entre sistema X e sistema Y Agora, basta que sobreponhamos o gráfico da Figura 21 na posição adequada dentro do sistema X, como desenhado na Figura 23.
3 Desafio x1 x2 y 1 y'1 y 2 y'2 Aula 20 Álgebra Linear148 Figura 23 – Gráfico da cônica no sistema X. Escala 1:1 Analisando o gráfico no sistema X, é fácil observar que: 5x2 1 + 8x2 2 − 4x1x2 + 4 √ 5x1 − 16 √ 5x2 + 4 = 0 x1 x2 0 4,358 e 0,11 –0,89 0 Encontre o gráfico de 2x2 + 2y2 – 8x – 10y + 2xy + 11 = 0. 1) Encontre uma equação geral para todas as elipses, não rotacionadas, com centro em (–2,3). 2) Encontre o gráfico de 1 2 x2 + 1 2 y2 + xy − y = 0. 3) Analisando a cônica a seguir, encontre: a) os autovalores da matriz associada à quádrica nas coordenadas X1 X2 .
Resumo x1 x2 y1 y2 33 44 -3-3 -4-4 Aula 20 Álgebra Linear 149 b) os autovetores ortonormais da matriz associada à quádrica nas coordenadas X1 X2 . *Os números indicados na figura dizem respeito ao sistema Y1 Y2 . *A escala do sistema X1 X2 é 1:1(cada quadrado tem a dimensão 1x1). 4) Considere que a trajetória da borda da montanha do Cânion da figura pode ser descrita pela hipérbole x2 + y2 – 4xy – 30 = 0. Se fosse construída uma ponte unindo o Lado Oeste e o Lado Leste, que tamanho ela teria? Nesta aula, você compreendeu as relações entre os sistemas de coordenadas envolvidos no estudo sobre gráficos de cônicas. Você aprendeu também a traçar gráficos de cônicas com deslocamentos e rotações, por meio de mu- danças de sistemas de coordenadas os quais recorrem a assuntos da Álgebra Linear, tais como diagonalização de matrizes, matrizes ortogonais, autovalores e autovetores.
1 2 k1 k2 k2 k1 Aula 20 Álgebra Linear150 Autoavaliação Descubra que forma têm as seguintes cônicas: a) Q(x) = 9x2 1 + 4x2 2 + 36x1 – 16x2 + 16 = 0 b) Q(x) = 9x2 1 – 4x2 2 + 36x1 + 16x2 – 16 = 0 c) Q(x) = x2 1 – 25x2 2 – 4x1 + 150x2 – 246 = 0 d) Q(x) = x2 1 + 25x2 2 – 4x1 – 150x2 – 204 = 0 e) Q(x) = 3x2 1 + 6x2 2 – 12x1 x2 – 12 = 0 f) Q(x) = 3x2 1 + 6x2 2 + 4x1 x2 – 16 = 0 Encontre uma expressão para a cônica descrita (não rotacionada): a) Elipse centrada no ponto (–3,1) com k1 = 4 e k2 = 2. b) Hipérbole centrada em (0,4) com k1 = 4 e k2 = 2. c) Elipse centrada no ponto (5,3) com k1 = 2 e k2 = 1. d) Hipérbole centrada em (–2,–2) com k1 = 6 e k2 = 6.
3 4 Anotações Aula 20 Álgebra Linear 151 Se duas pessoas andam sobre a trajetória de uma mesma elipse definida pela equação 2x2 1 + 2x2 2 + 2x1 x2 – 3 = 0, qual a maior distância possível que as duas podem estar uma da outra? Trace o gráfico das seguintes cônicas. a) Q(x) = 2x2 1 + 2x2 2 + 2x1 x2 + 4x1 – 4x2 – 4 = 0 b) Q(x) = 2x2 1 – x2 2 – 4x1 x2 – 4x1 – 8x2 + 14 = 0 c) Q(x) = 9x2 1 + 6x2 2 – 4x1 x2 – 10x1 – 20x2 – 5 = 0 d) Q(x) = x2 1 – 7x2 2 – 6x1 x2 + 10x1 + 2x2 – 9 = 0 Referências ANTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra linear com aplicações. Porto Alegre: Bookman, 2001. BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. 3. ed. São Paulo: Harper-Row, 1980. LAY, David. Álgebra linear e suas aplicações. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
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Esta edição foi produzida em mês de 2012 no Rio Grande do Norte, pela Secretaria de Educação a Distância da Universidade Federal do Rio Grande do Norte (SEDIS/UFRN). Utilizando-se Helvetica Lt Std Condensed para corpo do texto e Helvetica Lt Std Condensed Black títulos e subtítulos sobre papel offset 90 g/m2. Impresso na nome da gráfica Foram impressos 1.000 exemplares desta edição. SEDIS Secretaria de Educação a Distância – UFRN | CampusUniversitário Praça Cívica | Natal/RN | CEP 59.078-970 | sedis@sedis.ufrn.br | www.sedis.ufrn.br
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  • 1. Projeto Institucional Edital nº 015/2010/CAPES/DED Fomento ao uso de tecnologias de comunição e informação nos cursos de graduação Álgebra Linear Módulo 2 Autovalores e autovetores Transformações lineares Formas quádricas Jossana Ferreira
  • 3. Jossana Ferreira Módulo 2 Autovalores e autovetores Transformações lineares Formas quádricas
  • 4. Catalogação da publicação na fonte. Bibliotecária Verônica Pinheiro da Silva. © Copyright 2005. Todos os direitos reservados a Editora da Universidade Federal do Rio Grande do Norte – EDUFRN. Nenhuma parte deste material pode ser utilizada ou reproduzida sem a autorização expressa do Ministério da Educacão – MEC Governo Federal Presidenta da República Dilma Vana Rousseff Vice-Presidente da República Michel Miguel Elias Temer Lulia Ministro da Educação Aloizio Mercadante Oliva Reitora Ângela Maria Paiva Cruz Vice-Reitora Maria de Fátima Freire Melo Ximenes Secretária de Educação a Distância Maria Carmem Freire Diógenes Rêgo Secretária Adjunta de Educação a Distância Eugênia Maria Dantas Pró-Reitoria de Graduação Alexandre Augusto de Lara Menezes Comitê Gestor Presidente Alexandre Augusto de Lara Menezes Coordenação geral Apuena Vieira Gomes Coordenadores Apuena Vieira Gomes/CE Adir Luiz Ferreira/CE Gleydson de Azevedo Ferreira Lima/SINFO Marcos Aurélio Felipe/CE Maria Carmozi de Souza Gomes/PROGRAD Rex Antonio da Costa de Medeiros/ECT Coordenador de Produção de Materiais Didáticos Marcos Aurélio Felipe Projeto Gráfico Ivana Lima Revisores de Estrutura e Linguagem Eugenio Tavares Borges Janio Gustavo Barbosa Jeremias Alves de Araújo Kaline Sampaio de Araújo Luciane Almeida Mascarenhas de Andrade Thalyta Mabel Nobre Barbosa Revisoras de Língua Portuguesa Cristinara Ferreira dos Santos Emanuelle Pereira de Lima Diniz Janaina Tomaz Capistrano Revisora das Normas da ABNT Verônica Pinheiro da Silva Revisora Técnica Rosilene Alves de Paiva Ilustradores Adauto Harley Anderson Gomes do Nascimento Carolina Costa de Oliveira Dickson de Oliveira Tavares Leonardo dos Santos Feitoza Roberto Luiz Batista de Lima Rommel Figueiredo Diagramadores Ana Paula Resende Carolina Aires Mayer Davi Jose di Giacomo Koshiyama Elizabeth da Silva Ferreira Ivana Lima José Antonio Bezerra Junior Luciana Melo de Lacerda Rafael Marques Garcia Secretaria de Educação a Distância (SEDIS) FICHA TÉCNICA
  • 5. Natal – RN Abril/2012 Módulo 2 Autovalores e autovetores Transformações lineares Formas quádricas Jossana Ferreira Álgebra Linear
  • 7. Sumário Apresentação Institucional 5 Aula 12 Autovalores e autovetores 7 Aula 13 Diagonalização de matrizes 21 Aula 14 Transformações lineares – definição 37 Aula 15 Transformações lineares e matrizes 57 Aula 16 Transformações lineares inversas 69 Aula 17 Transformações lineares e geometria do 2 83 Aula 18 Formas quádricas 101 Aula 19 Diagonalização de formas quádricas 115 Aula 20 Seções cônicas 125
  • 9. 5 Apresentação Institucional A Secretaria de Educação a Distância – SEDIS da Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN, desde 2005, vem atuando como fomentadora, no âmbito local, das Políticas Nacionais de Educação a Distância em parceira com a Secretaria de Educação a Distância – SEED, o Ministério da Educação – MEC e a Universidade Aberta do Brasil – UAB/CAPES. Duas linhas de atuação têm caracterizado o esforço em EaD desta instituição: a primeira está voltada para a Formação Continuada de Professores do Ensino Básico, sendo implementados cursos de licenciatura e pós-graduação lato e stricto sensu; a segunda volta-se para a Formação de Gestores Públicos, através da oferta de bacharelados e especializações em Administração Pública e Administração Pública Municipal. Para dar suporte à oferta dos cursos de EaD, a Sedis tem disponibilizado um conjunto de meios didáticos e pedagógicos, dentre os quais se destacam os materiais impressos que são elaborados por disciplinas, utilizando linguagem e projeto gráfico para atender às necessidades de um aluno que aprende a distância. O conteúdo é elaborado por profissionais qualificados e que têm experiência relevante na área, com o apoio de uma equipe multidisciplinar. O material impresso é a referência primária para o aluno, sendo indicadas outras mídias, como videoaulas, livros, textos, filmes, videoconferências, materiais digitais e interativos e webconferências, que possibilitam ampliar os conteúdos e a interação entre os sujeitos do processo de aprendizagem. Assim, a UFRN através da SEDIS se integra o grupo de instituições que assumiram o desafio de contribuir com a formação desse “capital” humano e incorporou a EaD como moda- lidade capaz de superar as barreiras espaciais e políticas que tornaram cada vez mais seleto o acesso à graduação e à pós-graduação no Brasil. No Rio Grande do Norte, a UFRN está presente em polos presenciais de apoio localizados nas mais diferentes regiões, ofertando cursos de graduação, aperfeiçoamento, especialização e mestrado, interiorizando e tornando o Ensino Superior uma realidade que contribui para diminuir as diferenças regionais e o conhecimento uma possibilidade concreta para o desenvolvimento local. Nesse sentido, este material que você recebe é resultado de um investimento intelectual e econômico assumido por diversas instituições que se comprometeram com a Educação e com a reversão da seletividade do espaço quanto ao acesso e ao consumo do saber E REFLE- TE O COMPROMISSO DA SEDIS/UFRN COM A EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA como modalidade estratégica para a melhoria dos indicadores educacionais no RN e no Brasil. SECRETARIA DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA SEDIS/UFRN
  • 13. Aula 12 Álgebra Linear 9 Apresentação Os autovalores e autovetores de uma matriz podem revelar muita informação a respeito de sistemas e plantas que estejam por trás dessas matrizes. Esse recurso da Álgebra Linear é bastante utilizado nas engenharias, física, química etc. Objetivo Calcular os autovalores e autovetores a partir de matrizes quadradas.
  • 15. Aula 12 Álgebra Linear 11 Autovalor Os autovalores de uma matriz também são chamados de valor próprio ou valor caracte- rístico. Para entendermos sua definição, consideremos uma matriz A quadrada: A = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n an1 an2 · · · ann ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ Ao multiplicarmos essa matriz A por um vetor v = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 2 n ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ não nulo, obtemos um outro vetor também de dimensão n×1. Por outro lado, se multiplicarmos o mesmo vetor v por uma constante ¸, também obteremos como resultado um vetor de dimensão n×1: A·v = vetor de dimensão n×1 ¸·v = vetor de dimensão n×1 Será que existe algum valor para ¸ que torne esses dois resultados iguais? A.v = ¸.v ? A resposta é sim. Esses valores são chamados de autovalores. Portanto, autovalor é um número, real ou complexo, que de certa forma pode substituir uma matriz quadrada, ou seja, ou autovalores podem representar essa matriz. Observações Só é possível obter autovalores e autovetores de matrizes quadradas. O número de autovalores é definido pela ordem da matriz.
  • 16. Aula 12 Álgebra Linear12 Exemplo 1 Se multiplicarmos a matriz A = 2 1 1 2 pelo vetor 1 = 1 1 temos: A · 1 = 2 1 1 2 · 1 1 = 3 3 . É notório que a constante quedevemosmultiplicarpor v1 para que a igualdade A.v = ¸.v seja satisfeita é ¸=3: λ = 3 : 2 1 1 2 · 1 1 = 3 · 1 1 = 3 3 . Uma outra possibilidade é multiplicarmos a matriz A = 2 1 1 2 pelo vetor v2 = −1 1 . Assim, temos: A · 2 = 2 1 1 2 · −1 1 = −1 1 logo, a constan- te que devemos multiplicar por v2 para que a igualdade A·v = ¸.v seja satisfeita é ¸=1: λ = 1 : 2 1 1 2 · −1 1 = 1 · −1 1 = −1 1 . Encontrando os autovalores No Exemplo 1, conseguimos identificar os autovalores da matriz A, porém, nem sempre essa tarefa é possível de ser alcançada simplesmente analisando a matriz intuitivamente. Para obtermos o procedimento a fim de encontrarmos os autovalores de uma matriz quadrada, vamos partir da própria definição de autovalores: Av =¸v Vamos introduzir a matriz identidade sem alterar a igualdade: Av =¸Iv Vamos agora somar a ambos os lados da equação o termo –Av: Av – v = ¸Iv – Av 0 = ¸Iv – Av Colocando o vetor v em evidência: (¸I–A)v =0 Essa equação resulta em um sistema de equações com n equações e n incógnitas, onde n é a ordem da matriz A. Note que o sistema é um sistema homogêneo, portanto, admite a solução trivial (todas as variáveis iguais a zero). No sistema de equações, v é o vetor com as incógnitas e a matriz (¸I–A) é a matriz dos coeficientes. Sabemos ainda que em um sistema de equações, quando a matriz dos coeficientes apresenta determinante diferente de zero, isso implica em um sistema possível determinado, ou seja, de única solução, e como esse sistema
  • 17. 1 Aula 12 Álgebra Linear 13 é homogêneo, se apresentar uma única solução, essa solução necessariamente será a trivial, solução que não interessa, pois obteríamos qualquer valor para ¸. Para encontrarmos as soluções não triviais dessa equação, devemos garantir que o determinante da matriz (¸I–A) seja igual a zero: det(¸I–A)=0 Essa equação é chamada de equação característica. Ao desenvolvermos a equação característica, nos deparamos com um polinômio em ¸, chamado de polinômio característico. ¸n +c1 ¸n -1 +c2 ¸n -2 + ... + cn -1 ¸+ cn Exemplo 2 Encontre os autovalores da matriz A = 2 2 2 2 Fazendo det(¸I–A)=0 det λ 1 0 0 1 − 2 2 2 2 = 0 det λ − 2 −2 −2 λ − 2 = 0 (¸ – 2)2 – 4 = 0 ¸2 – 4¸ = 0 →polinômio característico ¸(¸–4) = 0 λ1 = 0 λ2 = 4 autovalores de A Encontre os autovalores da matriz A = 2 −4 −4 2
  • 18. Aula 12 Álgebra Linear14 Autovetor Quando partimos da definição Av =¸v encontramos os autovalores da matriz A, porém quando substituímos o valor de ¸, a equação não é satisfeita para qualquer vetor v, apenas para alguns vetores que são chamados de autovetores da matriz A. Portanto, autovetor é o conjunto de vetores solução, não triviais, da equação Av =¸v ou (¸I–A)v=0, para cada valor de ¸. Exemplo 3 Encontre os autovetores da matriz A = 2 2 2 2 . Para encontrarmos os autovetores de uma matriz, antes precisamos conhecer seus autovalores, como calculamos no Exemplo 2, sabemos que os autovalores de A são 0 e 4. Então, vamos solucionar a equação (¸I–A)v=0 para ¸=0 e para ¸=4. Para ¸=0 (λI − A)v = 0 λ − 2 −2 −2 λ − 2 x1 y1 = 0 0 0 − 2 −2 −2 0 − 2 x1 y1 = 0 0 −2 −2 −2 −2 x1 y1 = 0 0 −2x1 − 2y1 = 0 −2x1 − 2y1 = 0 x1 = −y1 x1 y1 = −y1 y1 = y1 −1 1 v1 = (−1, 1) Para ¸=4 (λI − A)v = 0 λ − 2 −2 −2 λ − 2 x2 y2 = 0 0 4 − 2 −2 −2 4 − 2 x2 y2 = 0 0 2 −2 −2 2 x2 y2 = 0 0 2x2 − 2y2 = 0 −2x2 + 2y2 = 0 x2 = y2 x2 y2 = y2 y2 = y2 1 1 v2 = (1, 1)
  • 19. 2 Aula 12 Álgebra Linear 15 Autoespaço Note que em toda situação obteremos um sistema possível indeterminado porque defi- nimos no início que det(¸I–A)=0, o que caracteriza um sistema possível indeterminado ou impossível, e como o sistema é sempre homogêneo, logo não pode ser impossível. Portanto, sempre teremos infinitas soluções para os autovetores e, por essa razão, não dizemos que apenas um determinado vetor é autovetor de uma matriz e sim todo espaço gerado por essa base encontrada. Esse espaço solução para os autovalores possíveis é chamado de autoespaço associado a um determinado autovalor. Encontre os autovetores da matriz A = 2 −4 −4 2 . Observação: O sistema tem soluções não triviais. Se A é uma matriz triangular ou diagonal, então, os autovalores de A são os elementos da diagonal principal. Propriedades Se v é um autovetor associado a um autovalor ¸ de A, então, kv também é um autovetor de A associado ao mesmo autovalor. Se ¸ é autovalor de A, então, ¸k é um autovalor de Ak . Se ¸ é autovalor de A, então, ¸–1 é um autovalor de A–1 . Se ¸ é autovalor de A, então, k¸ é um autovalor de kA. *k é um escalar.
  • 20. Aula 12 Álgebra Linear16 Multiplicidade dos autovalores Multiplicidade algébrica A multiplicidade algébrica dos autovalores indica a quantidade de vezes que um determi- nado autovalor aparece como solução do polinômio característico. Multiplicidade geométrica A multiplicidade geométrica dos autovalores indica a dimensão do autoespaço associado a um determinado autovalor, ou seja, a quantidade de vetores na base do autoespaço. Exemplo 4 Encontre a multiplicidade algébrica e geométrica da matriz A = ⎡ ⎢ ⎣ 0 0 1 0 0 1 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎦ Encontrando os autovalores de A: det(λI − A) = 0 det ⎛ ⎜ ⎝ λ 0 −1 0 λ −1 0 0 λ − 1 ⎞ ⎟ ⎠ = 0 Escolhendo a terceira linha da matriz: detM = m31 c31 + m32 c32 + m33 c33 = 0 detM = 0 · c31 + 0 · c32 + m33 c33 = 0 detM = (λ − 1)(−1) 3+3 λ 0 0 λ = 0 (λ − 1)λ 2 = 0 λ1 = 1 → Mult. Alg´ebrica = 1 λ2 = 0 λ3 = 0 → Mult. Alg´ebrica = 2
  • 21. 3 Aula 12 Álgebra Linear 17 Encontrando os autovetores de A: Para ¸=1 (λI − A)v = 0 ⎛ ⎜ ⎝ λ 0 −1 0 λ −1 0 0 λ − 1 ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ x1 y1 z1 ⎞ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎝ 0 0 0 ⎞ ⎟ ⎠ (λI − A)v = 0 ⎛ ⎜ ⎝ 1 0 −1 0 1 −1 0 0 0 ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ x1 y1 z1 ⎞ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎝ 0 0 0 ⎞ ⎟ ⎠ x1 − z1 = 0 y1 − z1 = 0 ⎛ ⎜ ⎝ x1 y1 z1 ⎞ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎝ z1 z1 z1 ⎞ ⎟ ⎠ = z1 ⎛ ⎜ ⎝ 1 1 1 ⎞ ⎟ ⎠ v1 = (1, 1, 1) Multiplicidade geométrica de ¸=1 → 1 Para ¸=0 (λI − A)v = 0 ⎛ ⎜ ⎝ λ 0 −1 0 λ −1 0 0 λ − 1 ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ x2 y2 z2 ⎞ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎝ 0 0 0 ⎞ ⎟ ⎠ (λI − A)v = 0 ⎛ ⎜ ⎝ 0 0 −1 0 0 −1 0 0 −1 ⎞ ⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎝ x2 y2 z2 ⎞ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎝ 0 0 0 ⎞ ⎟ ⎠ −z2 = 0 ⎛ ⎜ ⎝ x2 y2 z2 ⎞ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎝ x2 y2 0 ⎞ ⎟ ⎠ = x2 ⎛ ⎜ ⎝ 1 0 0 ⎞ ⎟ ⎠ = y2 ⎛ ⎜ ⎝ 0 1 0 ⎞ ⎟ ⎠ v2 = (1, 0, 0), v3 = (0, 1, 0) Multiplicidade geométrica de ¸=0 → 2 Encontre as multiplicidades algébricas e geométricas dos autovalores de A = ⎡ ⎢ ⎣ 0 0 1 0 0 1 1 1 1 ⎤ ⎥ ⎦.
  • 22. Desafio Resumo 1 Aula 12 Álgebra Linear18 1) Sabendo que o polinômio característico é p(¸)= ¸3 –¸2 +2¸+4, encontre det(A). 2) Conhecendo os autovalores de A, então, conhecemos os autovalores de AT ? 3) Uma matriz A é inversível se um dos seus autovalores for zero? O assunto de autovalores e autovetores é um dos mais usados da Álgebra Linear e é importante que nesta aula você tenha aprendido como calculá-los, assim como entender seu significado, pois esse conteúdo será amplamente aplicado daqui em diante. Autoavaliação Encontre os autovalores e autovetores das seguintes matrizes. a) A = 4 b) A = 2 1 0 3 c) A = 2 1 2 3 d) A = 1 1 1 −1 e) A = ⎡ ⎢ ⎣ 0 1 1 1 1 0 1 0 1 ⎤ ⎥ ⎦ f) A = ⎡ ⎢ ⎣ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎦ g) A = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • 23. 2 3 4 5 6 7 Aula 12 Álgebra Linear 19 Encontre os autovalores e autovetores de A15 , sendo A = ⎡ ⎢ ⎣ −1 −2 −2 1 2 1 −1 −1 0 ⎤ ⎥ ⎦. Encontre uma matriz de ordem 4 onde seus autovalores sejam 1, 2, 3 e 4. Encontre uma base para o autoespaço de: a) F = ⎡ ⎢ ⎣ 1 1 1 0 0 0 1 0 1 ⎤ ⎥ ⎦ b) H = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 0 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ Considere a matriz A = a b c d e responda: a) Que condição faz com que a matriz A tenha autovalores complexos? b) Que condição faz com que os autovalores de A tenham multiplicidade algébrica diferente de 1? Se um dos autovalores de uma matriz B é zero, a matriz B é não singular? Justifique. Considere o polinômio característico de A, p(¸)= ¸(¸–2)(¸+1)3 (¸–4). a) Qual o tamanho de A? b) A é inversível? Referências ANTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra linear com aplicações. Porto Alegre: Bookman, 2001. BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. 3. ed. São Paulo: Harper-Row, 1980. LAY, David. Álgebra linear e suas aplicações. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
  • 27. 1 2 3 Aula 13 Álgebra Linear 23 Apresentação S abemos que muitos sistemas podem ser representados por matrizes e a manipulação dessas matrizes implica em análise, melhorias e cálculos desses sistemas. Imagine que essas matrizes, em determinados casos, não sejam simples de serem manipuladas, então devemos encontrar matrizes o mais simples possível para representar esses sistemas e assim ganhar em tempo de processamento e custo operacional. Uma das formas de obter essa simplificação consiste em encontrarmos uma matriz diagonal que seja semelhante à original, e a esse processo chamamos de diagonalização de matrizes. Objetivos Saber aplicar o processo de diagonalização de matrizes. Diferenciar a diagonalização convencional da diagonaliza- ção ortogonal. Calcular a matriz que diagonaliza outra.
  • 29. Aula 13 Álgebra Linear 25 Definição A diagonalização de matrizes consiste na obtenção de uma matriz diagonal que seja equivalente à matriz original. O que motiva a obtenção dessa matriz equivalente diagonal são as suas características. Por apresentar todos os elementos fora da diagonal principal diferentes de zero, isso implica, matematicamente, em uma redução significativa no custo de processamento dessa matriz. Matrizes equivalentes Para entender melhor como a matriz diagonal pode ser semelhante a uma matriz qualquer quadrada, vejamos a seguir o que é preservado em matrizes semelhantes. Considere duas matrizes A e B que sejam semelhantes: As características (postos) são iguais. As nulidades são iguais. Os polinômios característicos são iguais. Os determinantes são iguais. Os traços são iguais. Os autovalores são iguais. Os autovetores são correspondentes. Com esses pontos iguais, então podemos afirmar que duas matrizes são semelhantes. O desafio consiste então em encontrar uma matriz diagonal que preserve todos esses itens da matriz original. Por definição, dizemos que duas matrizes A e B são semelhantes se existir uma matriz P, inversível, tal que: B = P–1 AP
  • 30. Aula 13 Álgebra Linear26 Então, se encontrarmos a matriz P, estamos encontrando a matriz que diagonaliza A, e B será uma matriz diagonal. Matriz diagonal Se B é uma matriz diagonal semelhante à A e os autovalores são preservados quando as matrizes são semelhantes, então a única possibilidade de B ter os mesmos autovalores de A é se os elementos da diagonal de B forem os próprios autovalores de A: B = D = P–1 AP Se quisermos apenas saber qual a matriz diagonal equivalente, então basta encontrar- mos os autovalores da matriz A, porém, muitos problemas requerem encontrar a matriz que diagonaliza A, uma vez que essa simplificação na matriz de trabalho implica em uma mudança de coordenadas e é muito provável que todos os dados envolvidos com o sistema original necessitem migrar para esse novo sistema de coordenadas. Matriz que diagonaliza a matriz A Para encontrarmos a matriz que diagonaliza A, devemos encontrar os autovetores da matriz A, uma vez conhecidos os autovetores v1 , v2 , v3 ,..., vn , basta montar a matriz P com os autovetores por coluna: P = [v1|v2|v3| · · · |vn] A única ressalva é que os autovetores sejam linearmente independentes (LI), pois P deve ser inversível. Portanto, se os autovetores forem LI e a quantidade de autovetores for igual à ordem da matriz A, então dizemos que A é diagonalizável. D = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ λ1 0 0 · · · 0 0 λ2 0 · · · 0 0 0 λ3 · · · 0 0 0 0 · · · λn ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • 31. Aula 13 Álgebra Linear 27 Encontrando os autovalores: det(λI− ) = 0 A = λ1 = λ2 = 1 λ3 = 0 Encontrando os autovetores: λ = 1 (λI − A)X = 0 ⎡ ⎢ ⎣ 1 − 1 0 0 −2 1 0 0 0 1 − 1 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ x1 x2 x3 ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎦ {−2x1 + x2 = 0 v1 = ⎛ ⎜ ⎝ 1 2 0 ⎞ ⎟ ⎠ , v2 = ⎛ ⎜ ⎝ 0 0 1 ⎞ ⎟ ⎠ λ = 1 (λI − A)X = 0 ⎡ ⎢ ⎣ 0 − 1 0 0 −2 0 0 0 0 0 − 1 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ x1 x2 x3 ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎦ −x1 = 0 −x3 = 0 v3 = ⎛ ⎜ ⎝ 0 1 0 ⎞ ⎟ ⎠ Verificando se os autovetores são LI: k1v1 + k2v2 + k3v3 = 0 k1(1, 2, 0) + k2(0, 0, 1) + k3(0, 1, 0) = 0 ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ k1 = 0 2k1 + k3 = 0 k3 = 0 k1 = k2 = k3 = 0 Como todas as constantes são iguais a zero, então o conjunto é LI. Exemplo 1 Encontre a matriz que diagonaliza A = ⎡ ⎢ ⎣ 1 0 0 2 0 0 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎦ Resolução:
  • 32. 1 Aula 13 Álgebra Linear28 Montando a matriz P: P = [ v1 v2 v3 ] P = 1 0 0 2 0 1 0 1 0 P−1 = 1 0 0 0 0 1 −2 1 0 Verificando: D = P-1 AP D = ⎡ ⎢ ⎣ 1 0 0 0 0 1 −2 1 0 ⎤ ⎥ ⎦ · ⎡ ⎢ ⎣ 1 0 0 2 0 0 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎦ · ⎡ ⎢ ⎣ 1 0 0 2 0 1 0 1 0 ⎤ ⎥ ⎦ D = ⎡ ⎢ ⎣ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎦ · ⎡ ⎢ ⎣ 1 0 0 2 0 1 0 1 0 ⎤ ⎥ ⎦ D = ⎡ ⎢ ⎣ 1 0 0 0 1 0 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎦ Matriz diagonal formada a partir dos autovalores de A. Encontre a matriz que diagonaliza A = ⎡ ⎢ ⎣ 2 0 1 1 0 1 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎦ Potenciação de matrizes A diagonalização de matrizes permite-nos calcular potências de matrizes. Sabendo que D = P–1 AP, ao multiplicarmos a matriz diagonal por ela mesma, teremos: D·D = (P–1 AP)·(P–1 AP) Eliminando os parênteses, temos: D2 = P–1 A /AP = P–1 A2 P Multiplicando a expressão pela esquerda por P e pela direita por P–1 , temos:
  • 33. Aula 13 Álgebra Linear 29 PD2 P–1 = A2 Se multiplicarmos novamente por D, chegaremos à conclusão que: Ak = PDk P–1 Onde k é qualquer expoente inteiro. Dessa forma, se conhecemos a matriz diagonal e a matriz que diagonaliza A, podemos calcular qualquer potência de A. Exemplo 2 Calcule A15 , onde A = 0 0 1 1 Resolução: Sabemos que A15 = PD15 P–1 , então devemos encontrar D e P. Encontrando os autovalores: det(λI− ) = 0 λ1 = 1 λ2 = 0 Encontrando os autovetores: λ1 = 1 (λI − A)X = 0 1 0 −1 1 − 1 x1 x2 = 0 0 x1 = 0 v1 = 0 1 λ2 = 0 (λI − A)X = 0 0 0 −1 0 − 1 x1 x2 = 0 0 −x1 − x2 = 0 v2 = 1 −1 Verificando se os autovetores são LI: Como não são múltiplos um do outro, então são LI. Matriz diagonal: D = 1 0 0 0 , D15 = 115 0 0 0 = 1 0 0 0 Matriz que diagonaliza A: P = 0 1 1 −1 , P−1 = 1 1 1 0
  • 34. 2 Aula 13 Álgebra Linear30 Calcule A15 , onde A = 1 −1 1 1 . Diagonalização ortogonal de matrizes Uma particularidade no caso da diagonalização de matrizes é quando a matriz que dia- gonaliza A é uma matriz ortogonal: Pt = P–1 Ou seja, os vetores que representam as linhas e as colunas de P são ortonormais entre si. A diagonalização ortogonal permite que a transição de um sistema de coordenadas para outro ocorra sem perda de proporções, fato que comprovaremos ao estudarmos as cônicas. Portanto, se houver uma matriz P, tal que D = P–1 AP = Pt AP, então dizemos que A é ortogonalmente diagonalizável. Para saber se A pode ser diagonalizada ortogonalmente, devemos observar se A é uma matriz simétrica, caso contrário, já podemos descartar a possibilidade. Então: Se At = A (simétrica), A é diagonalizável ortogonalmente. O processo de obtenção da matriz que diagonaliza A ortogonalmente é inicialmente o mesmo do processo de diagonalização convencional, porém quando encontramos os autove- tores LI, estes devem ser ortonormais e, para isso, aplicamos o processo de Gram-Schmidt e depois normalizamos os vetores para só então montarmos a matriz P. As etapas para a diagonalização ortogonal são: 1) Encontrar os autovetores. 2) Se os vetores forem LI, aplicar o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt. 3) Normalizar os vetores. Logo, A15 = P 15 P−1 = 0 1 1 −1 · 1 0 0 0 · 1 1 1 0 = 0 0 1 1
  • 35. Aula 13 Álgebra Linear 31 Exemplo 3 Encontre a matriz que diagonaliza A = ⎡ ⎢ ⎣ 1 0 1 0 0 0 1 0 1 ⎤ ⎥ ⎦ortogonalmente. Resolução: Encontrando os autovalores: det(λI− ) = 0 λ1 = 2 λ2 = λ3 = 0 Encontrando os autovetores: λ1 = 2 (λI − A)X = 0 ⎡ ⎢ ⎣ 2 − 1 0 −1 0 2 0 −1 0 2 − 1 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ x1 x2 x3 ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎦ ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ x1 − x3 = 0 x2 = 0 −x1 + x3 = 0 {x1 = x3 v1 = ⎛ ⎜ ⎝ 1 0 1 ⎞ ⎟ ⎠ λ2 = 0 (λI − A)X = 0 ⎡ ⎢ ⎣ 0 − 1 0 −1 0 0 0 −1 0 0 − 1 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ x1 x2 x3 ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎦ −x1 − x3 = 0 x1 = −x3 x2 v2 = ⎛ ⎜ ⎝ −1 0 1 ⎞ ⎟ ⎠ , v3 = ⎛ ⎜ ⎝ 0 1 0 ⎞ ⎟ ⎠ Verificando se os autovetores são LI: k1v1 + k2v2 + k3v3 = 0 k1(1, 0, 1) + k2(−1, 0, 1) + k3(0, 1, 0) = 0 ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ k1 − k3 = 0 k2 = 0 k1 + k3 = 0 k1 = k2 = k3 = 0 Como todas as constantes são iguais a zero, então o conjunto é LI. Analisando se os vetores são ortogonais: <(1,0,1),(–1,0,1)> = 0 <(1,0,1),(0,1,0)> = 0 <(–1,0,1),(0,1,0)> = 0
  • 36. 3 Desafio Aula 13 Álgebra Linear32 Não será necessário utilizar o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt, pois os vetores já são ortogonais, é necessário então apenas normalizá-los: Encontre a matriz que diagonaliza A = ⎡ ⎢ ⎣ 0 0 1 0 2 0 1 0 0 ⎤ ⎥ ⎦ ortogonalmente. 1) A matriz N = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ pode ser diagonalizada? E diagonalizada ortogonalmente? 2) Se A é uma matriz quadrada de ordem 3, a qual possui dois autovalores distintos, onde cada autoespaço é unidimensional. A é diagonalizável? Justifique. 3) Prove que A não é diagonalizável se s≠0. A = r s 0 r v1 = v1 v1 = (1, 0, 1) √ 2 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 √ 2 0 1 √ 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ v2 = v2 v2 = (−1, 0, 1) √ 2 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ −1 √ 2 0 1 √ 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ v3 = ⎛ ⎜ ⎝ 0 1 0 ⎞ ⎟ ⎠ Montando a matriz P: P = [ v1 v2 v3 ] P−1 = Pt P = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 1√ 2 −1√ 2 0 0 0 1 1√ 2 1√ 2 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ P−1 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 1√ 2 0 1√ 2 −1√ 2 0 1√ 2 0 1 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦
  • 37. Resumo 1 2 Aula 13 Álgebra Linear 33 Nesta aula, você aprendeu como obter uma matriz diagonal equivalente a uma matriz qualquer, assim como obter a diagonalização ortogonal. Viu ainda como identificar quais os requisitos para que determinada matriz possa ser diagonalizada e diagonalizada ortogonalmente. Autoavaliação Determine se a matriz A é diagonalizável. Em caso afirmativo, encontre a matriz que diagonaliza A. Determine se a matriz A é diagonalizável ortogonalmente. Em caso afirmativo, encontre a matriz que diagonaliza A ortogonalmente. a) A = 2 1 0 1 b) A = ⎡ ⎢ ⎣ 3 0 0 1 3 0 0 1 3 ⎤ ⎥ ⎦ c) A = ⎡ ⎢ ⎣ 0 0 1 0 0 1 1 1 1 ⎤ ⎥ ⎦ d) A = ⎡ ⎢ ⎣ 2 0 2 0 0 0 2 0 2 ⎤ ⎥ ⎦ e) A = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ a) A = 2 1 0 1 b) A = ⎡ ⎢ ⎣ 3 0 0 1 3 0 0 1 3 ⎤ ⎥ ⎦ c) A = ⎡ ⎢ ⎣ 0 0 1 0 0 1 1 1 1 ⎤ ⎥ ⎦ d) A = ⎡ ⎢ ⎣ 2 0 2 0 0 0 2 0 2 ⎤ ⎥ ⎦ e) A = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • 38. Anotações 3 4 Aula 13 Álgebra Linear34 Calcule A21 . A = ⎡ ⎢ ⎣ 0 2 2 0 0 1 0 1 0 ⎤ ⎥ ⎦ Para que valores de x a matriz B é diagonalizável? E ortogonalmente diagonalizável? B = 1 1 0 x Referências ANTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra linear com aplicações. Porto Alegre: Bookman, 2001. BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. 3. ed. São Paulo: Harper-Row, 1980. LAY, David. Álgebra linear e suas aplicações. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
  • 43. 1 2 3 Aula 14 Álgebra Linear 39 Apresentação No estudo de espaços vetoriais é comum que espaços distintos se relacionem entre si e essa interação ocorre através de funções que, em se tratando de espaços vetoriais, são chamadas de transformações lineares. Objetivos Reconhecer os espaços evolvidos na transformação linear. Calcular núcleo e imagem de transformações lineares. Encontrar vetores de espaços distintos que estão relacio- nados através da transformação linear.
  • 45. Espaço Domínio Espaço Imagem Espaço vetorial W Espaço vetorial V V2 Vn V1 T(V1 )=W1 T(V2 )=W2 T(Vn )=Wn W2 Wn W1 T:V →W Aula 14 Álgebra Linear 41 Definição Transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços vetoriais que preservam a adição vetorial e a multiplicação por escalar. Também pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear. Considerando funções da forma w =F(x), onde a variável independente x é um vetor em V (espaço domínio) e a variável dependente w é um vetor em W (espaço imagem), tem-se que a função é dita uma transformação linear F: V →W se satisfizer as seguintes condições: i) F(x1 + x2 ) = F(x1 )+ F(x2 ) ii) F(k·x1 ) = k·F(x1 ) onde x1 e x2 = elementos quaisquer de V e k = constante. Notação: Uma transformação T de um espaço vetorial V em um espaço vetorial W será denotada por T :V →W, onde T(v)=w, sendo v um elemento de V e w um elemento de W. A Figura 1 mostra os espaços vetoriais V e W relacionados através da transformação linear T. Figura 1 – Transformação linear de V em W
  • 46. Aula 14 Álgebra Linear42 Exemplo 1 Explique se T: → , T(x)= 8x é uma transformação linear. Resolução: Para que T(x)= 8x seja uma transformação linear T: → , é necessário que sejam satisfeitas as duas condições: i) T(x1 + x2 ) = T(x1 ) + T(x2 ) T(x1 ) = 8x1 T(x2 ) = 8x2 T(x1 )+ T(x2 ) = 8x1 +8x2 = 8(x1 + x2 ) T(x1 + x2 ) = 8(x1 + x2 ) Como T(x1 + x2 ) = T(x1 )+ T(x2 ), primeira condição satisfeita. ii) T(k·x1 ) = k.T(x1 ) T(k·x1 )=8(k·x1 )= k.8(x1 ) k ·T(x1 )= k·8(x1 ) Satisfaz também a segunda condição T(k·x1 ) = k.T(x1 ). Logo, a transformação é uma transformação linear. Exemplo 2 Explique se T: 4 → 2 , T(x,y,z,w)=(x+y+1,z–w), é uma transformação linear. Resolução: Para que a transformação seja uma transformação linear, é necessário que sejam satisfeitas as duas condições: i) T(u + v) = T(u)+ T(v), onde u =(u1 ,u2 ,u3 ,u4 ), v =(v1 ,v2 ,v3 ,v4 ) T(u)=(u1 + u2 + 1, u3 –u4 ) T(v)=(v1 + v2 + 1,v3 – v4 ) T(u)+ T(v) = (u1 +v1 +u2 +v2 +1+1, u3 +v3 –u4 – v4 )= (u1 +v1 +u2 +v2 +2, u3 +v3 –u4 –v4 ) T(u + v) =(u1 +v1 +u2 +v2 +1, u3 +v3 –u4 –v4 ) Como T(u + v) ≠T(u)+ T(v), a primeira condição não foi satisfeita. Logo, a transformação não é linear.
  • 47. 1 Aula 14 Álgebra Linear 43 Em toda transformação linear T:V→W, tem-se que T(0)=0. Essa característica da transformação linear pode ser usada para provar que uma determinada transformação não é linear, caso T(0) seja diferente de zero. Mas quando a transformação T(0) é nula, sem que seja feita nenhuma outra avaliação, não é possível afirmar que a transformação é linear. Avaliando os exemplos anteriores, tem-se que: Exemplo 1 T: → , T(x) = 8x (é uma transformação linear) T(0)=8·0=0 Exemplo 2 T: 4 → 2 , T(x,y,z,w)=(x+y+1,z–w) (não é uma transformação linear) T(0,0,0,0)=(0+0+1,0-0)=(1,0,0) No exemplo 1, verificamos que a transformação é linear, logo, T(0)=0. Já no exemplo 2, foi verificado que a transformação não é linear, T(0)≠0. Explique se as transformações são lineares. a) T: 2 → 3 , T(x,y)=(3x,–2y, x–y) b) T: → , T(x)= 3x2
  • 48. Aula 14 Álgebra Linear44 Princípio da superposição O princípio da superposição nos permite “separar” transformações lineares de somas de vetores, assim como deslocar constantes para fora da transformação, isso faz com que usemos parcelas mais simples de serem resolvidas. Na realidade, aplicaremos as características de adição e multiplicação por escalar das transformações lineares. T:V→W é uma transformação linear, {v1 ,v2 ,...,vn } é base de V e ¸1 , ¸2 ,..., ¸n pertencem a , então: T(¸1 v1 +¸2 v2 +...¸n vn )= ¸1 T(v1 )+ ¸2 T(v2 )+...+ ¸n T(vn ) O princípio da superposição possibilita encontrarmos as expressões das transformações a partir de pares de vetores relacionados por essa transformação linear. Exemplo 3 Seja T: 3 → 2 uma transformação linear e B={v1 ,v2 ,v3 } uma base do 3 , onde v1 =(0,1,0), v2 =(1,0,1) e v3 =(1,1,0); determine T(v), sabendo que v =(5,3,–2), T(v1 )=(1,–2), T(v2 )=(3,1) e T(v3 )=(0,2). Resolução: O vetor v pode ser escrito como combinação linear dos elementos da base B, consi- dere ¸ constantes: V=¸1 v1 +¸2 v2 +¸3 v3 v=¸1 (0,1,0)+¸2 (1,0,1)+¸3 (1,1,0) v=(¸2 +¸3 , ¸1 +¸3 , ¸2 ) (5,3,–2)= (¸2 +¸3 , ¸1 +¸3 , ¸2 ) ¸2 +¸3 =5 ¸1 +¸3 =3 ¸2 =–2 Logo, ¸1 = –4 ¸2 = –2 ¸3 = 7 Assim, v=¸1 v1 +¸2 v2 +¸3 v3 v= –4 v1 –2v2 +7v3
  • 49. Aula 14 Álgebra Linear 45 Aplicando a transformação em ambos os lados da equação, temos: T(v)=T(–4v1 –2v2 +7v3 ) Usando agora o princípio da superposição podemos separar as somas e colocar as constantes para fora da transformação: T(v)=–4T(v1 )–2T(v2 )+7T(v3 ) T(v)=–4(1,–2)–2(3,1)+7(0,2) T(V)=(–10,20) Dessa forma, encontramos T(v)=T(5,3,–2)=(–10,20). Exemplo 4 Encontre, caso exista, T: 2 → 3 tal que T(1,1)=(3,–2,1) e T(0,–2)=(0,1,0). Resolução: A primeira coisa a ser verificada é se {(1,1),(0,-2)} é a base do 2 . Como é base, então a transformação existe. Nesse exercício, queremos encontrar agora a regra da transformação linear, a equação que nos permite achar a transformação de qualquer vetor do domínio. O passo seguinte é considerar um vetor genérico do espaço domínio v=(x,y) e escrevê-lo como combinação linear dos elementos da base: v =(x,y)=¸1 (1,1)+¸2 (0,–2) ¸1 =x ¸1 –2¸2 =y Logo, λ1 = x λ2 = x − y 2 Depois que encontramos os pesos, escrevemos o vetor v como combinação linear dos vetores da base com os respectivos pesos ¸1 e ¸2 : (x, y) = λ1(1, 1) + λ2(0, −2) (x, y) = x(1, 1) + x − y 2 (0, −2) Aplicamos então a transformação em ambos os lados da equação: T(x, y) = T x(1, 1) + x − y 2 (0, −2)
  • 50. 2 Aula 14 Álgebra Linear46 Usando o teorema da superposição, temos: T(x, y) = x · T(1, 1) + x − y 2 · T(0, −2) T(x, y) = x(3, −2, 1) + x − y 2 (0, 1, 0) T(x, y) = 3x, −2x + x − y 2 , x T(x, y) = 3x, −3x − y 2 , x Logo, encontramos a transformação linear. Conferindo: Se a regra está correta, as transformações fornecidas no enunciado da questão devem valer para a regra: T(1, 1) = (3, −2, 1) T(0, −2) = (0, 1, 0) T(1, 1) = 3 · 1, (−3) · 1 − 1 2 , 1 = (3, −2, 1) T(0, −2) = 3 · 0, (−0) · 1 − (−2) 2 , 0 = (0, 1, 0) Logo, a transformação está correta. Encontre, caso exista, T: 3 → 3 tal que T(0,1,1)=(1,–1,1), T(1,0,0)=(1,1,0) e T(–1,0,1)=(–1,0,0).
  • 51. Espaço V Espaço W V5 V1 Vn V3 V2 V4 W5 W1 Wn W3 T:V →W N(T) 0 Aula 14 Álgebra Linear 47 Núcleo De uma maneira simples, o núcleo da transformação linear corresponde ao conjunto de todos os elementos do espaço domínio que, quando aplicados na transformação, o resultado é o vetor nulo do espaço imagem. Considerando a transformação linear T:V→W, chamamos de núcleo da transformação linear todos os vetores de V tal que T(v)=0. O núcleo é também chamado de Kernel de uma transformação linear. N(T)=Ker(T)={v ∈V; T(v)=0} A Figura 2 mostra a relação dos espaços com o núcleo da transformação. Figura 2 – Núcleo de uma transformação linear Note que o núcleo da transformação está contido em V, N(T) ⊂ V, e N(T) ≠ ∅, pois 0 ∈ N(T), uma vez que a transformação é linear e T(0)=0.
  • 52. Aula 14 Álgebra Linear48 Propriedades do núcleo Seja T:V→W uma transformação linear, então N(T) é um subespaço vetorial de V. Para provarmos, considere que v1 e v2 ∈ N(T), logo: T(v1 )=0 T(v2 )=0 Para o subconjunto ser um subespaço, devemos verificar três pontos: I) Deve conter o elemento nulo do espaço: Como T(0)=0, então o núcleo contém o elemento nulo do espaço. II) Adição: T(v1 +v2 ) = T(v1 )+T(v2 ) = 0+0 = 0 logo, v1 +v2 ∈ N(T) III) Multiplicação por escalar: Seja ¸ ∈ , então T(¸v1 ) = ¸T(v1 ) = ¸· 0 = 0 ∴ ¸·v1 ∈ N(T)
  • 53. Espaço V Espaço W V5 V1 Vn V3 V2 V4 W5 W1 W4 Wn W3 W2 T:V →W Im(T) Aula 14 Álgebra Linear 49 Imagem A imagem de uma transformação linear consiste no subconjunto do espaço imagem que contém os vetores resultantes da aplicação das transformações lineares quando inserimos os elementos do domínio. Seja T:V→W, chamamos de imagem de uma transformação linear o conjunto de vetores w ∈ W que são imagens de pelo menos um vetor v ∈ V. Im(T)= {w ∈ W; T(v)=w, para algum v ∈ V } A Figura 3 mostra a relação da imagem com os espaços vetoriais envolvidos. Figura 3 – Imagem de uma transformação linear Note que a imagem da transformação está contida em W, Im(T) ⊂ W, e Im(T) ≠ ∅, pois T(0) = 0 e o vetor nulo pertencem e imagem de T, 0 ∈ Im(T). Teorema Sejam U e V espaços vetoriais de dimensão finita e T:U→V uma transforma- ção linear, tem-se: dim(U) = dim(N(T)) + dim(Im(T))
  • 54. Aula 14 Álgebra Linear50 Exemplo 5 Encontre o núcleo e a imagem da transformação T(x,y)=(x+y,x). Resolução: Núcleo Sabemos que para o núcleo T(x,y)=0, logo T(x, y) = (x + y, x) = (0, 0) x + y = 0 x = 0 x = y = 0 Portanto, N(T)={(0,0)} Imagem Para encontrar a imagem, vamos escrever a transformação em coluna: T(x, y) = (x + y, x) = x + y x Como aparecem duas incógnitas, x e y, então separaremos em dois vetores, um para cada variável. T(x, y) = x 1 1 + y 1 0 Os vetores que aparecem são os que formam a base da imagem, desde que sejam linearmente independentes (LI). Como (1,1) e (1,0) são LI, então: Im(T)={(1,1),(1,0)} *Se os vetores não fossem LI, teríamos que retirar um vetor e verificar se o conjunto rema- nescente seria LI. Caso afirmativo, teríamos a base da imagem e, caso fossem LD, teríamos que retirar mais um vetor e fazer a verificação quantas vezes forem necessárias.
  • 55. 3 Desafio Aula 14 Álgebra Linear 51 Exemplo 6 Encontre o núcleo e a dimensão da imagem da transformação linear T: 3 → 3 , onde T(x,y,z)=(x–y+2z , 2x+y–z , 3x+z). Resolução: Encontrando o núcleo: Sabemos que para o núcleo T(x,y,z)=0 (x − y + 2z, 2x + y − z, 3x + z) = 0 ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ x − y + 2z = 0 2x + y − z = 0 3x + z = 0 ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ x z = −3x y = −5x (x, y, z) = x(1, −5, −3) N(T) = (1, −5, −3) Como o núcleo da transformação tem apenas um vetor na base, então dim(N(T)) = 1. Usando o teorema das dimensões: dim( 3 ) = dim(N(T)) + dim(Im(T)) 3 = 1 + dim(Im(T)) dim(Im(T)) = 2. Encontre o núcleo, a imagem, a dimensão do núcleo e a dimensão da imagem da transformação linear T: 3 → 2 , onde T(x,y,z)=(x–y+z, –x+z). 1) Encontre uma transformação linear cujo núcleo seja P2 . 2) Seja T:P1 →P1 , T(x+1)=2x+3 e T(x–1)=3x–2, encontre T(ax+b). 3) Encontre N(T) e escreva dois vetores pertencentes à Im(T), sendo T:M22 →M22 , T a b c d = a + b b + c c + d d + c
  • 56. 1 Resumo Aula 14 Álgebra Linear52 Autoavaliação Verifique se as transformações são lineares. a) T: 3 → 3 , T(x,y,z) = (x–y,x2 +z, y+2z) b) T: 5 → , T(v,x,y,z,w) = (x+3y–2z–w) c) T: 3 → 3 , T(x,y,z) = (0,0,0) d) T: 4 → 2 , T(x,y,z,w) = (x–y+2z+3, 3x–w+4z) e) T : M22 → , A = a b c d , T(A) = det(A) f) T : M22 → M44, T a b c d = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ a 0 0 0 0 b 0 0 0 0 c 0 0 0 0 d ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ g) T:Mnn→ Mnn, , Ann, T(A) = At h) T:P2 →R, P2 (x)=a2 x2 + a1 x + a0 ,T(P2 ) = a2 a1 a0 i) T:P2 → P2 , T(a2 x2 +a1 x +a0 ) = (a2 –a0 )x2 + (a0 +a1 +a2 ) j) T : P3 → P2, T(P2) = dP2 dx k) T:P2 → P3, T(p(x)) = p(x) + xp(x) + x2 p´(x) Nesta aula, você viu uma introdução às transformações lineares e descobriu que é através delas que os espaços vetoriais se relacionam. Viu ainda a definição de núcleo e imagem de uma transformação linear e como calculá-los.
  • 57. 2 4 5 6 3 Aula 14 Álgebra Linear 53 Encontre a regra para a transformação linear, sabendo que: a) T: 2 → 2 , Base do 2 = {(2,1),(0,1)}, T(2,1) = (3,7) e T(0,1) = (–1,1) b) T: 3 → 2 , Base do 3 = {(1,0,1),(0,1,2),(1,1,1)}, T(1,0,1) = (3,1), T(0,1,2) = (1,2) e T(1,1,1) = (4,2) c) T: 2 → 4 , Base do 2 = {(–1,1),(1,1)}, T(–1,1) = (0, –4, 0, –1) e T(1,1) = (4,2,2,1) Sejam as transformações T(v1 ) = (1,1,1), T(v2 ) = (1,0,1) e T(v3 ) = (–1,2,0), encontre T(3v1 – v2 + 5v3 ). Sabendo que Q(u) = x2 –2 e Q(v) = 2–3x, encontre Q(3u–2v). Encontre a imagem do vetor u nas seguintes transformações: a) T: 5 → , T(v,x,y,z,w) = (x+3y–2z–w), onde u = (1,1,2,0,1) b) T : M22 → M22, T a b c d = −a 0 0 −b , u = 3 2 7 −2 c) T : P2 → P1, T(P2) = dP2 dx , u = 5x2 − 3x + 2 Encontre o núcleo e a imagem das transformações: a) T: 5 → , T(v,x,y,z,w) = (x+3y –2z–w) b) T: 2 → 2 , T(x,y) = (x+3y,3y) c) T: → 3 , T(x) = (x,0,3x) d) T: 3 → 2 , T(x,y,z) = (x+y, x+z) e) T : M22 → M22, T a b c d = −a 0 0 −b f) T : P2 → P1, T(P2) = dP2 dx g) T: P2 → P2 , T(p(x))= xp´(x)
  • 58. 7 8 Aula 14 Álgebra Linear54 Encontre a dimensão do núcleo e da imagem das transformações: a) T: 5 → , T(v,x,y,z,w) = (3x–w) b) T: 2 → 2 , T(x,y) = (x–y, 3x+y) c) T: → 3 , T(x) = (0,0,5x) d) T: 3 → 2 , T(x,y,z) = (y,x+y+z) e) T:M22 → M22 , T : M22 → M22, T a b c d = −a a + b + c −a − b − c −b f) T : P3 → P1, T(P3) = d2 P3 dx2 g) T: P2 → P3 , T(p(x))= xp(x) h) T : 2 → 2 , T(x, y) = 1 √ 2 (x + y, x − y) O que é o núcleo de uma transformação linear? E a imagem de uma transformação linear? Referências ANTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra linear com aplicações. Porto Alegre: Bookman, 2001. BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. 3. ed. São Paulo: Harper-Row, 1980. LAY, David. Álgebra linear e suas aplicações. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
  • 63. 1 2 Aula 15 Álgebra Linear 59 Apresentação Temos visto ao logo de nossas aulas o quanto a representação matricial de sistemas pode facilitar seu manuseio, cálculo e entendimento, quando tratamos com transformações lineares não é diferente. Toda transformação linear pode ser representada na forma matricial, o que implica nas mesmas facilidades da representação matricial dos sistemas. Objetivos Obter transformações lineares na forma matricial. Efetuar cálculos com transformações lineares na forma matricial.
  • 65. Aula 15 Álgebra Linear 61 Definição Consideremos uma transformação linear T: n → m definida pelas equações da forma: w1 = a11x1 + a12x2 + · · · a1nxn w2 = a21x1 + a22x2 + · · · a2nxn wm = am1x1 + am2x2 + · · · amnxn Podemos escrever essas equações como um produto de matrizes, separando as matrizes dos termos independentes W, dos coeficientes A e das incógnitas X, onde W=A.X ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ w1 w2 wm ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n am1 am2 · · · amn ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ x1 x2 xn ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ Onde A é chamada matriz canônica da transformação linear. Prova que T(x)=A.X é uma transformação linear: i) F(x1 + x2 ) = F(x1 ) + F(x2 ) F(x1 + x2 ) = A(x1 + x2 ) = Ax1 + Ax2 = F(x1 ) + F(x2 ) ii) F(k.x) = k.F(x) F(k.x) = A(k.x) = A.k.x = k.A.x = k(Ax) = k.F(x) As duas regras são satisfeitas, logo, é uma transformação linear. Exemplo 1 A transformação linear T: 4 → 3 , definida por: T(x1 , x2 , x3 , x4 ) = (2x1 – 3x2 + x3 – 5x4 , 4x1 + x2 – 2x3 + x4 , 5x1 – x2 + 4x3 ) Pode ser representada da seguinte forma; ⎡ ⎢ ⎣ w1 w2 w3 ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ 2 −3 1 −5 4 1 −2 1 5 −1 4 0 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ x1 x2 x3 x4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ → W = A · X Note que na primeira coluna da matriz A aparecem os coeficientes da primeira variável, x1 , na segunda de x2 e assim sucessivamente.
  • 66. Aula 15 Álgebra Linear62 Encontrando a matriz transformação com as bases canônicas Podemos encontrar a matriz transformação com a aplicação dos vetores da base canônica à transformação linear. A matriz é montada a partir da entrada por coluna dos vetores imagem dos vetores da base canônica. Exemplo 2 A transformação linear T: 4 → 3 , definida por: T(x1 , x2 , x3 , x4 ) = (2x1 – 3x2 + x3 – 5x4 , 4x1 + x2 – 2x3 + x4 , 5x1 – x2 + 4x3 ) Resolução O primeiro passo é identificar a base canônica do espaço domínio, nesse exemplo é o 4 , logo, a base canônica é: e1 = (1,0,0,0) e2 = (0,1,0,0) e3 = (0,0,1,0) e4 = (0,0,0,1) Em seguida, aplicamos a transformação aos vetores da base canônica: T(e1) = (2.1 – 3.0 + 0 – 5.0,4.1 + 0 – 2.0 + 0,5 .1– 0 + 4.0) = (2,4,5) T(e2) = (2.0 – 3,1 + 0 – 5.0,4.0 + 1 – 2.0 + 0,5.0 – 1 + 4.0) = (–3,1,–1) T(e3) = (2.0 – 3.0 + 1 – 5.0,4.0 + 0 – 2.1 + 0,5.0 – 0 + 4.1) = (1, –2, 4) T(e4) = (2.0 – 3.0 + 0 – 5.1,4.0 + 0 – 2.0 + 1,5.0 – 0 + 4.0) = (-5,1,0) Agora, montamos a matriz transformação A com os vetores T(e1), T(e2), T(e3) e T(e4) por coluna: A = [T(e1)|T(e2)|T(e3)|T(e4)] = ⎡ ⎢ ⎣ 2 −3 1 −5 4 1 −2 1 5 −1 4 0 ⎤ ⎥ ⎦ Logo, ⎡ ⎢ ⎣ w1 w2 w3 ⎤ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ 2 −3 1 −5 4 1 −2 1 5 −1 4 0 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ x1 x2 x3 x4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ → W = A · X
  • 67. 1 Aula 15 Álgebra Linear 63 Encontre a forma matricial da transformação linear T: 2 → 5 , definida por: T(x1 , x2 ) = (x1 +2x2 , 0, –3x1 , –x1 –x2 , x2 ) Núcleo e Imagem de uma transformação linear na forma matricial A forma matricial de uma transformação linear facilita as operações envolvidas e com o processo de obtenção do núcleo e da imagem ocorre a mesma coisa. Exemplo 3 Encontre o núcleo e a imagem da transformação linear T: 4 → 3 , definida por: T(X) = W = ⎡ ⎢ ⎣ 2 0 1 0 1 1 0 1 0 0 −1 0 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ x1 x2 x3 x4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ W ∈ 3 e X ∈ 4 Resolução Núcleo Devemos investigar que vetores do 4 resultam em um vetor nulo do 3 quando aplicados à transformação: ⎡ ⎢ ⎣ 2 0 1 0 1 1 0 1 0 0 −1 0 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ x1 x2 x3 x4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎦ Ou seja, nesse caso, corresponde a encontrarmos o espaço nulo da matriz dos coeficientes A.
  • 68. 2 Aula 15 Álgebra Linear64 Encontre o núcleo e a imagem da transformação linear T: 3 → 3 , definida por: T(X) = ⎡ ⎢ ⎣ 2 0 1 −1 0 0 1 1 0 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ x1 x2 x3 ⎤ ⎥ ⎦ Usando a eliminação gaussiana, chegamos a: ⎡ ⎢ ⎣ 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ x1 x2 x3 x4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎣ 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎦ ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ x1 = 0 x2 + x4 = 0 x3 = 0 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ x1 x2 x3 x4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 −x4 0 x4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = x4 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 −1 0 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ , N(T(X)) = {(0, −1, 0, 1)} Imagem Para encontrar a imagem, separaremos os vetores: T(X) = x1 ⎡ ⎢ ⎣ 2 1 0 ⎤ ⎥ ⎦ + x2 ⎡ ⎢ ⎣ 0 1 0 ⎤ ⎥ ⎦ + x3 ⎡ ⎢ ⎣ 1 0 −1 ⎤ ⎥ ⎦ + x4 ⎡ ⎢ ⎣ 0 1 0 ⎤ ⎥ ⎦ Aparecem multiplicados por x1 todos os seus coeficientes e o mesmo acontece para x2 , x3 e x4 . Analisando os vetores resultantes, a base da Imagem será a maior quantidade possível de vetores LI desse conjunto. Ao tomarmos os quatro vetores resultantes, percebemos que o conjunto é LD, pois temos quatro vetores de dimensão 3. Devemos então descartar um e analisar o conjunto resultante. Escolhendo os três primeiros vetores (2, 1, 0), (0, 1, 0) e (1, 0, –1), quando calculamos percebemos que o conjunto é LI, logo é uma base para a Imagem da transformação. Im = (2,1,0),(0,1,0),(1,0,-1) logo
  • 69. Desafio 1 2 Resumo Aula 15 Álgebra Linear 65 Na aula sobre transformações lineares e matrizes você aprendeu como obter a forma matricial de uma transformação linear, assim como realizar operações características dessas transformações na forma matricial. Mostre que as transformações T1 e T2 T: 3 → 3 têm o mesmo núcleo e Imagem. T1(x, y, z) = ⎡ ⎢ ⎣ 0 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ x y z ⎤ ⎥ ⎦ T2(x, y, z) = ⎡ ⎢ ⎣ 0 0 0 0 1 1 0 2 1 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ x y z ⎤ ⎥ ⎦ Encontre o valor de a para que a dimensão do núcleo seja a mesma da imagem de T, onde T: 2 → 2 T(x, y) = 1 1 a 1 x y
  • 70. 1 2 Aula 15 Álgebra Linear66 Autoavaliação Escreva a transformação na forma matricial e encontre seu Núcleo e Imagem: a) T: 5 → , T(v,x,y,z,w) = (x+3y–2z–w) b) T: 2 → 2 , T(x,y) = (x+3y, 3y) c) T: → 3 , T(x) = (x, 0, 3x) d) T: 3 → 2 , T(x,y,z) = (x+y, x+z) e) T : P3 → P1, T(P3) = d2 P3 dx2 f) T:P2 →P3 , T(p(x)) = xp(x) g) T : 2 → 2 , T(x, y) = 1 √ 2 (x + y, x − y) Sabendo que a transformação envolve polinômios, encontre a forma por extenso da transformação e diga qual o espaço domínio e qual o imagem: a) T(P) = 1 0 1 1 P b) T(P) = 1 −1 2 2 0 1 P c) T(P) = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 0 2 −1 3 0 4 −2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ P d) T(P) = ⎡ ⎢ ⎣ 1 0 0 −1 1 −1 2 0 1 1 1 0 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎦ P
  • 71. Anotações Aula 15 Álgebra Linear 67 Referências ANTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra linear com aplicações. Porto Alegre: Bookman, 2001. BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. 3. ed. São Paulo: Harper-Row, 1980. LAY, David. Álgebra linear e suas aplicações. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
  • 75. 1 2 3 Aula 16 Álgebra Linear 71 Apresentação Vimos nas aulas anteriores que uma transformação Linear é uma função que associa espaços vetoriais distintos ou não. Imaginemos que essa associação, em muitos casos, deva permitir o caminho de volta, ou seja, se a transformação que leva um vetor de uma espaço V para um espaço W permitir a transformação inversa, então, é possível partir do vetor resultante em W e voltar ao mesmo vetor em V de partida. Objetivos Saber reconhecer quando uma transformação admite inversa. Aplicar a definição de inversa. Calcular a inversa de uma Transformação Linear.
  • 77. T:V →W Espaço vetorial W Espaço vetorial V T -1 :V →W Aula 16 Álgebra Linear 73 Definição Consideremos a Transformação Linear deV em W, T:V→W. Partindo do ponto que o domínio da transformação corresponde ao conjunto de vetores de V que são aplicados à transformação e que a imagem de T é o subespaço composto por todos os vetores em W gerados a partir de V através da transformação, então, se a transformação permitir o caminho inverso, o que era imagem da transformação T passa a ser domínio da transformação inversa e o que era domínio passa a ser imagem, como mostrado na Figura 1. Notação para Transformação Linear inversa de T:T –1 Figura 1 – Transformação Linear inversa Relações entre T e T –1 Sendo v um vetor de V e w um vetor de W, então, teremos: T(v) = w T –1 (w) = v T–1 (T(v)) = v T(T–1 (w)) = w
  • 78. Função injetora e não sobrejetora Domínio Imagem 1 2 3 A D B C Função sobrejetora e não injetora Domínio Imagem 1 2 3 4 A B C Função bijetora Domínio Imagem 1 2 3 4 A D B C Aula 16 Álgebra Linear74 Figura 2 – Função injetora, sobrejetora e bijetora Relembrando... Funções Injetoras, Sobrejetora e Bijetora Uma função é dita injetora se para cada elemento do domínio existe um cor- respondente exclusivo no contradomínio. Uma função é classificada como so- brejetora se a imagem corresponder a todo o contradomínio. Já no caso de a função ser injetora e sobrejetora ao mesmo tempo, ela é classificada como bijetora. A Figura 2 mostra a diferença entre os tipos de funções. Critérios para transformação inversa Para que uma Transformação Linear admita inversa ela deve ser bijetora, ou seja, deve ser injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. Transformação Injetora Dada uma transformação linear T:V→W, e dados os vetores u e v, ambos pertencentes a V, diz-se que T é injetora se T(u) = T(v) apenas para u = v. Ou seja, T é injetora se as ima- gens de vetores distintos são distintas. Uma transformação linear é injetora quando Ker(T)=0. Transformação Sobrejetora Dada uma transformação linear T:V→W, tem-se que a transformação é sobrejetora se a imagem de T coincidir com W.
  • 79. Aula 16 Álgebra Linear 75 Transformação Bijetora A transformação é bijetora se for injetora e sobrejetora. Quando uma transformação linear T:V→W for injetora e sobrejetora ao mesmo tempo, tem-se um isomorfismo. Se T é bijetora, então, cada vetor w pertencente à Im(T) é imagem de um único vetor v em V. Essa unicidade é que permite definir essa nova função, chamada transformação inversa de T, que leva w de volta em v. Exemplo 1 Verifique se a transformação é bijetora: T: 2 → 2 T(x,y)=(x +y, x). Resolução Para que a transformação seja bijetora, ela deve ser injetora e sobrejetora. Injetora Uma transformação é injetora se o núcleo da transformação for apenas o vetor nulo. Encontrando o núcleo: T(x,y) = (0,0) (x + y, x) = (0, 0) x + y = 0 x = 0 Logo, x = y = 0 , portanto, N(T(x,y))={(0,0)} → A transformação é injetora. Sobrejetora A transformação é sobrejetora se a imagem corresponder a todo o contradomínio, ou seja, o 2 . Encontrando a imagem: T(x, y) = (x + y, x) = x + y x = x 1 1 + y 1 0 Analisando os dois vetores resultantes, (1,1) e (1,0), verifica-se que são LI, logo, a imagem corresponde ao espaço gerado por esses dois vetores, o próprio 2 . Im(T(x,y)) = 2 Assim sendo, a imagem é igual ao contradomínio e a transformação é sobrejetora. Como a transformação é injetora e sobrejetora, logo é bijetora.
  • 80. 1 Aula 16 Álgebra Linear76 Verifique se a transformação é bijetora: T: 3 → 2 T(x,y,z)=(0, x–y+z, 2x–z). Forma matricial e transformação inversa Uma maneira mais simples de verificar se uma Transformação Linear admite inversa é proceder a análise sob a forma vetorial. Uma vez obtida a matriz canônica da transformação, basta verificar se essa matriz admite inversa, caso afirmativo, a transformação também ad- mite e sua transformação inversa tem a matriz canônica definida pela inversa da matriz da transformação original. Exemplo 2 Verifique se a transformação admite inversa: T: 2 → 2 T(x,y)=(x+y,x). Resolução Passando para a forma matricial: T(x, y) = (x + y, x) T(x, y) = 1 1 1 0 x y Analisando a matriz canônica da transformação A = 1 1 1 0 verifica-se que a matriz admite inversa, pois det(A) = –1, logo, a transformação também admite inversa. Calculando a inversa de A temos: A−1 = 0 1 1 −1 , portanto, a transformação inversa é dada por: T−1 (x, y) = 0 1 1 −1 x y = (y, x − y)
  • 81. Aula 16 Álgebra Linear 77 Uma Transformação Linear admite inversa se for bijetora e uma transformação apenas será bijetora se a matriz que a representa for inversível. Exemplo 3 Encontre a inversa da transformação caso exista. T: 2 → 3 , T(x,y)=(2x–y,y+3x, x+y) Resolução Passando para a forma matricial: T(x, y) = (2x − y, y + 3x, x + y) T(x, y) = ⎛ ⎜ ⎝ 2 −1 3 1 1 1 ⎞ ⎟ ⎠ x y Como a matriz canônica da transformação não admite inversa por não ser uma matriz quadrada, então, a transformação também não admite inversa. Para investigarmos porque não admite inversa, vamos averiguar se ela é injetora e sobrejetora. Verificando se a transformação é Injetora T(x, y) = (0, 0, 0) T(x, y) = (2x − y, y + 3x, x + y) = (0, 0, 0) ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ 2x − 1 = 0 y + 3x = 0 x + y = 0 x = y = 0 N(T(x, y)) = {(0, 0)} → N(T(x,y))={(0,0)} → é injetora. Verificando se a transformação é Sobrejetora T(x, y) = (2x − y, y + 3x, x + y) = ⎛ ⎜ ⎝ 2x − y y + 3x x + y ⎞ ⎟ ⎠ = x ⎛ ⎜ ⎝ 2 3 1 ⎞ ⎟ ⎠ + y ⎛ ⎜ ⎝ −1 1 1 ⎞ ⎟ ⎠ Os dois vetores que obtemos são LI, logo, são a base da Imagem. Im(T(x,y)) = {(2,3,1),(-1,1,1)} O espaço correspondente à Imagem que é gerado por esses dois vetores não compreende todo o 3 e sim um plano dentro do 3 . Dessa forma, a transformação não é sobrejetora, portanto, não admitindo inversa. é injetora
  • 82. 2 Desafio Resumo 1 2 3 Aula 16 Álgebra Linear78 Encontre a inversa da transformação, caso exista. T: 3 → 3 , T(x,y,z)=(2x – y –z, 2z – y+3x, x+3z) Seja T uma transformação linear do espaço dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2, definida por: T (1) =1+x T (x) = 3−x2 T (x2 ) = 4+2x –3x2 A transformação T tem inversa? Justifique. Seja T uma transformação linear T: 3 → 3 , definida por: T(x1 ,x2 ,x3 ) =(a1 x1 ,a2 x2 ,a3 x3 ), ai ∈ . Determine as condições que a1 ,a2 e a3 devem satisfazer para T admitir inversa. Obtenha a expressão de T–1 . Por que é necessário que a transformação seja bijetora para possuir inversa? Nesta aula, você aprendeu a identificar quando uma Transformação Linear admite inversa e como encontrar a transformação inversa. Aprendeu ainda a relacionar os vetores dos espaços ligados por transformações que apresentam inversa.
  • 83. 1 2 3 Aula 16 Álgebra Linear 79 Autoavaliação O que é uma transformação linear injetora? E sobrejetora? Verifique se as transformações são injetoras e/ou sobrejetoras. a) T: 2 → 4 , T(x,y) = (x+y, 3x, x –2y, –y) b) T: 4 → 4 , T(x,y,z,w) = (x+y, 3w, z –2y, –x) c) T: 2 → 2 , T(x,y) = (x+y,0) d) T(u) = 2 0 −2 −1 u e) T−1 (u) = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 0 1 0 2 −2 0 0 0 1 1 3 2 0 0 −3 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ u f) T(u) = 1 0 −1 0 1 0 u g) T:P2 → P2 , T(a2 x2 + a1 x + a0 ) = (a2 – a0 )x2 Indique a inversa das transformações, por extenso, caso existam. a) T: 4 → 4 , T(x, y, z, w) = (x, y, z, 0) b) T: 2 → 2 , T(x, y) = (x, 2y) c) T(u) = 2 0 1 −1 u d) T−1 (u) = ⎡ ⎢ ⎣ 1 1 2 0 1 0 −1 1 1 ⎤ ⎥ ⎦ u e) T:P2 → P3 , T(a2 x2 + a1 x + a0 ) = –x (a2 x2 + a1 x + a0 ) f) T:P1 → P3 , T(a1 x + a0 ) = ((a1 +a0 )x3 + a1 x2 + a0 x)
  • 84. 4 5 Anotações Aula 16 Álgebra Linear80 Seja T: : 3 → 3 uma transformação linear definida por T(x,y,z)=(ax,by,cz), a,b e c ∈ . Determine as condições que a,b e c devem satisfazer para que T admita inversa. Para esses casos, encontre T–1 se possível. Seja T: 2 → 2 definida por T (x,y)=(k·x,x+y), k ∈ . a) Determine k de modo a que a transformação T admita inversa e, para esses valores, obtenha a transformação inversa T–1 . b) Considere k = 0. Determine a dimensão e uma base para o núcleo de T. Referências ANTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra linear com aplicações. Porto Alegre: Bookman, 2001. BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. 3. ed. São Paulo: Harper-Row, 1980. LAY, David. Álgebra linear e suas aplicações. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007. g) T : P2 → P2, T(a2x2 + a1x + a0) = x d(a2x2 + a1x + a0) dx h) T:P2 → P2 , T(p(x)) = p(x +1)
  • 89. 1 2 Aula 17 Álgebra Linear 85 Apresentação U ma das formas mais comuns de utilizar as Transformações Lineares é a aplicação a vetores no plano. Modificações como expansão, rotação, reflexão etc. são utilizadas cor- riqueiramente e servem de base para a manipulação de imagens. Veremos a aplicação de transformações lineares no plano, porém, os princípios vistos aqui podem ser expandidos a espaços com dimensão superior. Objetivos Identificar matrizes transformações e aplicar a vetores no plano. Utilizar combinações de Transformações Lineares.
  • 91. y x u y x u y x u -ku y u ku ku 0 < K < 1K > 1 K < 0 Aula 17 Álgebra Linear 87 Definição As Transformações Lineares permitem modificarmos vetores utilizando apenas multipli- cação de matrizes, ou seja, aplicando uma Transformação Linear a um vetor, o que resulta em outro vetor com uma, ou várias, alterações previamente definidas. Aqui, serão analisadas algumas dessas transformações no 2 , as quais podem ser expandidas para outros espaços euclidianos. Operações sobre vetores Para todos os casos, considere o vetor u = (x,y). 1) Semelhança (Expansão e contração) Nessa operação, o vetor aumenta ou diminui de tamanho sendo mantidos a direção e o sentido. Forma por extenso Forma matricial T(x, y) = k(x, y) T(x, y) = k 0 0 k x y A Figura 1 mostra o vetor u e o resultado da transformação k.u para os possíveis valores de k. Note que as duas coordenadas são alteradas do fator k. Figura 1 – Vetor u e suas alterações de semelhança
  • 92. x y x u u y T(u) Aula 17 Álgebra Linear88 2) Reflexão em torno do eixo Y Forma por extenso Forma matricial T(x, y) = (−x, y) T(x, y) = 1 0 0 −1 x y A Figura 2 mostra o vetor u e sua reflexão em torno do eixo Y. Nesse caso, apenas a coordenada x é modificada, permanecendo a mesma coordenada y. Figura 2 – Vetor u e sua reflexão em torno do eixo Y 3) Reflexão em torno do eixo X Forma por extenso Forma matricial T(x, y) = (x, −y) T(x, y) = 1 0 0 −1 x y A Figura 3 mostra o vetor u e sua reflexão em torno do eixo X. Nesse caso, a coordenada y é modificada e a coordenada x permanece a mesma.
  • 93. x y x u u y T(u) x y x u u y T(u) Aula 17 Álgebra Linear 89 Figura 3 – Vetor u e sua reflexão em torno do eixo X 4) Reflexão em torno da reta Y = X Forma por extenso Forma matricial T(x, y) = (y, x) T(x, y) = 0 1 1 0 x y A Figura 4 mostra o vetor u e sua reflexão em torno da reta Y = X. Aqui as coordenada x e y são invertidas. Figura 4 – Vetor u e sua reflexão em torno da reta Y = X 5) Projeção ortogonal sobre o eixo Y Forma por extenso Forma matricial T(x, y) = (0, y) T(x, y) = 0 0 0 1 x y
  • 94. x y x u u y T(u) x y x u u y T(u) Aula 17 Álgebra Linear90 A Figura 5 mostra o vetor u e sua projeção ortogonal sobre o eixo Y. No caso da projeção ortogonal, uma das coordenadas é zerada, se for a projeção sobre o eixo Y, a coordenada x é descartada. Figura 5 – Vetor u e sua projeção ortogonal sobre o eixo Y 6) Projeção ortogonal sobre o eixo X Forma por extenso Forma matricial T(x,y) = (x,0) T(x, y) = 1 0 0 0 x y A Figura 6 mostra o vetor u e sua projeção ortogonal sobre o eixo Y. Nesse caso, a coordenada y é descartada. Figura 6 – Vetor u e sua projeção ortogonal sobre o eixo X
  • 95. x y x u u y T(u) θ Aula 17 Álgebra Linear 91 7) Rotação de um vetor de um ângulo θ Forma por extenso Forma matricial T(x, y) = (x · cos(θ) − y · sen(θ), x · sen(θ) + y · cos(θ)) T(x, y) = cos(θ) −sen(θ) sen(θ) cos(θ) x y A Figura 7 mostra o vetor u e sua rotação de um ângulo θ. Figura 7 – Vetor u e sua rotação de um ângulo θ 8) Cisalhamento de um fator k na direção X Forma por extenso Forma matricial T(x, y) = (x + ky, y) T(x, y) = 1 k 0 1 x y A Figura 8 mostra o vetor u e seu cisalhamento de um fator k maior e menor que zero no eixo X. Note que, à medida que o vetor se afasta do eixo y, a distorção é maior, perceba que, para um mesmo k, quando o vetor tem sua coordenada y próximo de zero, o cisalhamento é menor, porém, se y for grande, então, essa distorção será maior.
  • 96. y x u y x u K > 0 T(u) y u K < 0 T(u) Aula 17 Álgebra Linear92 Figura 8 – Vetor u e seu cisalhamento de um fator k no eixo X 9) Cisalhamento de um fator k na direção Y Forma por extenso Forma matricial T(x, y) = (x, kx + y) T(x, y) = 1 0 k 1 x y A Figura 9 mostra o vetor u e seu cisalhamento de um fator k maior e menor que zero no eixo Y. Nesse caso, acontece a mesma proporcionalidade que foi comentada no cisalhamento no eixo X, para um mesmo k, quando o vetor tem sua coordenada x próximo de zero, o cisa- lhamento é menor, porém, se x for grande, então, essa distorção será maior.
  • 97. 1 y x u y x u y u K < 0 K > 0 T(u) T(u) Aula 17 Álgebra Linear 93 Figura 9 – Vetor u e seu cisalhamento de um fator k no eixo Y Exemplo 1 Obtenha a projeção ortogonal sobre o eixo x do vetor (3,–5). Resolução Para obter a projeção de qualquer vetor do 2 sobre o eixo x, basta usar a transformação: T(x, y) = 1 0 0 0 x y , logo, T(3, −5) = 1 0 0 0 3 −5 = 3 0 Portanto, a projeção do vetor (3,5) sobre o eixo x é o vetor (3,0). Encontre o vetor resultante da rotação do vetor (1,4) de um ângulo de 90º.
  • 98. Aula 17 Álgebra Linear94 Composição de transformações lineares Em muitas situações, há a necessidade de aplicarmos não apenas uma, mas uma sequ- ência de transformações a um conjunto de vetores. Nessa situação, ao invés de multiplicarmos uma matriz transformação e depois outra e outra, o melhor a fazer é encontrar uma única matriz que represente a aplicação de todas as transformações desejadas. Para obtermos essa matriz equivalente, basta que multipliquemos as matrizes às transformações envolvidas. Consideremos que se deseja aplicar a transformação T1 (u) e depois T2 (u), nessa ordem, onde T1 é a matriz transformação de T1 (u), T2 é a matriz transformação de T2 (u) e u um vetor, então, teremos: T2 ◦ T1(u) = T2(T1(u)) = T2 · T1 Onde: T2 ◦ T1 = T1 ◦ T2 Exemplo 2 Obtenha o vetor resultante da rotação de 90º seguida de reflexão sobre o eixo y do vetor (–4,3). Resolução Primeiro encontramos as duas matrizes transformações: Rotação de 90º: T(x, y) = cos(θ) −sen(θ) sen(θ) cos(θ) x y = cos(90 ) −sen(90 ) sen(90 ) cos(90 ) x y T1(x, y) = 0 −1 1 0 x y Reflexão sobre o eixo Y: T2(x, y) = −1 0 0 1 x y Obtendo a combinação: T2 ◦ T1(x, y) = T2 · T1 = −1 0 0 1 0 −1 1 0 = 0 1 1 0 T2 ◦ T1(x, y) = 0 1 1 0 x y T2 ◦ T1(−4, 3) = 0 1 1 0 −4 3 = 3 −4
  • 99. 2 y x 3 -4 -3 3 -4 -4 u T1 (u) T2 (T1 (u)) y x y x Vetor u Rotação de 90° Reflexão em torno do eixo y Aula 17 Álgebra Linear 95 Verificando graficamente, podemos comprovar o resultado, conforme mostrado na Figura 10. Figura 10 – Vetor u e a aplicação de duas transformações seguidas Obtenha o vetor resultante da reflexão em torno da reta y=x seguida da projeção ortogonal sobre o eixo x do vetor (–5,–3). Exemplo 3 Obtenha a transformação resultante da composição de duas rotações, primeiro por um ângulo θ1 e depois por θ2 . Resolução As transformações são: T1(x, y) = cos(θ1) −sen(θ1) sen(θ1) cos(θ1) x y T2(x, y) = cos(θ2) −sen(θ2) sen(θ2) cos(θ2) x y A composição das duas é dada por: TR = T2 ◦ T1 = T2 · T1 = cos(θ2) −sen(θ2) sen(θ2) cos(θ2) cos(θ1) −sen(θ1) sen(θ1) cos(θ1) TR = cos(θ1)cos(θ2) − sen(θ1)sen(θ2) −cos(θ1)sen(θ2) − sen(θ1)cos(θ2) sen(θ1)cos(θ2) + cos(θ1)sen(θ2) −sen(θ1)sen(θ2) + cos(θ1)cos(θ2) TR = cos(θ1 + θ2) −sen(θ1 + θ2) sen(θ1 + θ2) cos(θ1 + θ2)
  • 100. Aula 17 Álgebra Linear96 Como era de se esperar, a composição das duas rotações resulta em fazer uma transformação apenas com a rotação da soma dos ângulos. NESSE CASO, a ordem não influência. Transformações Lineares no 3 Para as Transformações Lineares sobre vetores no 3 , não serão feitas as demonstrações, porém, o raciocínio é o mesmo visto para o 2 . Transformação Forma por extenso Forma matricial Expanção-contração T(x, y, z) = (kx, ky, kz) ⎡ ⎢ ⎣ k 0 0 0 k 0 0 0 k ⎤ ⎥ ⎦ Reflexão em torno do plano xy T(x, y, z) = (x, y, −z) ⎡ ⎢ ⎣ 1 0 0 0 1 0 0 0 −1 ⎤ ⎥ ⎦ Reflexão em torno do plano xz T(x, y, z) = (x, −y, z) ⎡ ⎢ ⎣ 1 0 0 0 −1 0 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎦ Reflexão em torno do plano yz T(x, y, z) = (−x, y, z) ⎡ ⎢ ⎣ −1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎦ Projeção ortogonal sobre o plano xy T(x, y, z) = (x, y, 0) ⎡ ⎢ ⎣ 1 0 0 0 1 0 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎦ Projeção ortogonal sobre o plano xz T(x, y, z) = (x, 0, z) ⎡ ⎢ ⎣ 1 0 0 0 0 0 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎦ Projeção ortogonal sobre o plano yz T(x, y, z) = (0, y, z) ⎡ ⎢ ⎣ 0 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎦
  • 101. Desafio Resumo Aula 17 Álgebra Linear 97 1) Considerando as Transformações Lineares no plano T1, T2, T3 e T4, determine as matri- zes associadas e esboce no plano a figura determinada pela aplicação das Transformações Lineares em sequência, T1 até T4, sobre o quadrado com vértices (0,0),(1,0),(0,1) e(1,1). T1(x, y) = (3x − y, −y − 2x) T3(x, y) = (x + y, 0) T2(x, y) = x + y 2 , x − y 2 T4(x, y) = (x − y, x) 2) A Transformação Linear T(x, y) = x + y 2 , x − y 2 é bijetora? Justifique. 3) Utilizando a matriz transformação que define a rotação de um vetor no 2 de um ângulo θ, determine os vértices de um triângulo retângulo e isósceles que tem um dos lados coincidente com o vetor A=(2,1). Nesta aula, você aprendeu a aplicar Transformações Lineares a vetores no plano, assim como a obter suas respectivas matrizes transformações. Esta aula contemplou ainda a composição de transformações e a determinação de uma matriz resultante que represente a aplicação dessas transformações em sequência.
  • 102. 1 2 3 4 Aula 17 Álgebra Linear98 Autoavaliação Encontre a representação matricial canônica para cada um dos operadores lineares em 2 descritos a seguir. a) Gira cada vetor de 45° no sentido antitrigonométrico. b) Reflete cada vetor em relação ao eixo x e depois roda o vetor refletido de 90° no sentido trigonométrico. c) Dobra o comprimento do vetor, depois roda o vetor obtido de 30° no sentido trigonomé- trico. d) Reflete cada vetor em relação à reta x = y e depois projeta o vetor refletido sobre o eixo x. Considerando as transformações lineares do 2 , descreva geometricamente o que elas fazem com o vetor. Uma transformação linear T: 2 → 2 é obtida a partir da rotação de um vetor de um ângulo de –90º, seguida de uma expansão por um fator k = 2,5, seguida de refle- xões em torno do eixo X e Y, exatamente nessa sequência. Qual a transformação linear resultante? Considere o sentido positivo como sendo o sentido anti-horário. Conhecendo as transformações T: 3 → 3 , onde Ta (x,y,z)=(x+z, 2x–z, y–2z), Tb (x,y,z)=(2x, 2y,2z) e Tc (x,y,z)=(y,z,x), encontre: a) (Tc ◦ Ta)(1, 1, 1) b) (Tb ◦ Ta)(0, −1, 2) c) (Ta ◦ Tb ◦ Tc)(1, −1, 1) d) (Tc ◦ Tb ◦ Ta)(1, −1, 1) a) T(x, y) = (−x, y) b) T(x, y) = ( x 2 , 0) c) T(x, y) = (−x, 0) d) T(x, y) = y(e1) e) T(x, y) = (x, y) f) T (x,y) = (x,y)
  • 103. Anotações Aula 17 Álgebra Linear 99 Referências ANTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra linear com aplicações. Porto Alegre: Bookman, 2001. BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. 3. ed. São Paulo: Harper-Row, 1980. LAY, David. Álgebra linear e suas aplicações. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
  • 107. 1 2 Aula 18 Álgebra Linear 103 Apresentação A Álgebra Linear pode ser usada, além de muitos outros casos, na Geometria. Nesta aula, veremos como equações quádricas podem ser reescritas visando uma mudança de coorde- nadas que facilitará o traçado do seu gráfico futuramente. Objetivos Saber manipular as formas quádricas da forma por extenso para forma matricial e o contrário. Reconhecer a matriz associada das formas quádricas.
  • 109. Aula 18 Álgebra Linear 105 Definição Formas quádricas ou quadráticas são funções em que aparecem termos com multiplica- ção de variáveis, fato que não ocorre nas funções lineares. Forma linear Todas as variáveis aparecem na primeira potência e não há produto de variáveis na expressão. a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn Forma bilinear As variáveis aparecem na primeira potência e há produto de variáveis distintas na expressão. a1 x1 y1 + a2 x2 y2 + ... + an xn yn Forma quádrica É possível aparecer quadrados de variáveis ou produto de duas variáveis: No 2 → a1 x2 1 + a2 x2 2 + a3 x1 x2 No 3 → a1 x2 1 + a2 x2 2 + a3 x2 3 + a4 x1 x2 + a5 x1 x3 + a6 x2 x3 Onde os termos que envolvem variáveis distintas são chamados de produto misto ou termo cruzado. Exemplo: a2 x1 x2 .
  • 110. Aula 18 Álgebra Linear106 Representação matricial Seja x um vetor de dimensão n, y um vetor de dimensão n e A uma matriz n×n. x = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ x1 x2 xn ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ y = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ y1 y2 yn ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ A = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n an1 an2 · · · ann ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ Uma forma linear pode ser associada a uma matriz na forma: L(x) = Ax Uma forma bilinear pode ser associada a uma matriz na forma: B(x) = xT Ay Uma forma quadrática pode ser associada a uma matriz na forma: Q(x) = xT Ax Onde A é a matriz associada à forma quádrica. Exemplo 1 Seja A = 3 2 −2 7 a matriz associada à forma quádrica, encontre sua expressão por extenso. Resolução: Conhecendo a matriz que é associada à forma quádrica, basta substituir na expressão Q(x) = XT Ax. Como a matriz A tem ordem 2x2, então o vetor X só pode pertencer ao 2 : X = x1 x2 Substituindo: Q(x) = xT Ax = x1 x2 3 2 −2 7 x1 x2 Q(x) = [(3x1 − 2x2)(2x1 + 7x2)] x1 x2 Q(x) = 3x2 1 + 7x2 2 − 2x1x2 + 2x1x2 Q(x) = 3x2 1 + 7x2 2
  • 111. Aula 18 Álgebra Linear 107 Obtendo a forma matricial Quando se conhece a matriz associada à forma quádrica é fácil obter a forma por extenso, o contrário também pode ser obtido, porém, requer um pouco mais de atenção. Procedimento: Definimos a ordem da matriz associada de acordo com a quantidade de variáveis envolvidas. Identificamos os coeficientes dos termos ao quadrado. Alocamos na diagonal principal esses coeficientes. As demais entradas da matriz dependem dos coeficientes dos termos cruzados, a posição ij + a posição ji na matriz corresponde ao coeficiente do termo cruzado xi xj . Exemplo 2 Considere a forma quádrica Q(x) = x2 1 – 2x2 2 + 5x1 x2 e obtenha uma forma matricial equivalente. Resolução: Primeiro, definiremos a ordem da matriz. Como apenas aparecem como variáveis x1 e x2 , então a matriz associada terá ordem 2x2. A = − − − − Os elementos dos termos ao quadrado são os elementos da diagonal principal. Nesse caso, os coeficientes são: 1 e –2 A = 1 −2 Os elementos a12 e a21 partem dos termos cruzados, onde a12 +a21 corresponde ao coeficiente do termo x1 x2 . a12 + a21 = 5 Existe uma infinidade de possibilidades: (2 e 3), (1 e 4), (0 e 5), (2,5 e 2,5)... O que ocorre é que sempre se tende a utilizar matrizes simétricas, pelo fato destas apresentarem algumas facilidades, vistas mais adiante, portanto: A = 1 2, 5 2, 5 −2
  • 112. Aula 18 Álgebra Linear108 Forma matricial: Q(x) = xT Ax = x1 x2 1 2, 5 2, 5 −2 x1 x2 É possível observar que para cada função existe uma infinidade de matrizes que se encaixariam na sua representação, cabe escolher então a mais adequada. Verificando se a matriz é associada de fato à forma quádrica dada: Q(x) = xT Ax Q(x) = xT Ax = x1 x2 1 2, 5 2, 5 −2 x1 x2 Q(x) = [(x1 + 2, 5x2)(2, 5x1 − 2x2)] x1 x2 Q(x) = x2 1 + 2, 5x1x2 + 2, 5x1x2 − 2x2 2 Q(x) = x2 1 + 5x1x2 − 2x2 2 Exatamente a forma quádrica inicial. Exemplo 3 Seja, Q(x) = x2 1 + 2x2 2 + 3x2 3 + 5x1 x2 – x1 x3 + 2x2 x3 encontre a matriz associada. Resolução: Primeiro, definiremos a ordem da matriz. Como aparecem as variáveis x1 , x2 e x3, então, a matriz associada terá ordem 3x3. A = ⎡ ⎢ ⎣ − − − − − − − − − ⎤ ⎥ ⎦ Os elementos dos termos ao quadrado são os elementos da diagonal principal. Nesse caso, os coeficientes são: 1, –2 e 3. A = ⎡ ⎢ ⎣ 1 −2 3 ⎤ ⎥ ⎦ Os demais elementos partem dos termos cruzados: Coeficiente do termo cruzado da variável 1 com 2 : 5. Então, os elementos a12 e a21 devem ter a soma igual a 5: a12 + a21 = 5. Optando pela matriz simétrica, teremos a12 = 2,5 e a21 = 2,5. A = ⎡ ⎢ ⎣ 1 2, 5 2, 5 −2 3 ⎤ ⎥ ⎦
  • 113. 1 Aula 18 Álgebra Linear 109 Os elementos a13 e a31 devem ter a soma igual a –1: a13 + a31 = –1. Optando pela matriz simétrica, teremos a13 = –0,5 e a31 = –0,5. A = ⎡ ⎢ ⎣ 1 2, 5 −0, 5 2, 5 −2 −0, 5 3 ⎤ ⎥ ⎦ Os elementos a23 e a32 devem ter a soma igual a 2: a23 + a32 = 2. Optando pela matriz simétrica, teremos a23 = 1 e a32 = 1. A = ⎡ ⎢ ⎣ 1 2, 5 −0, 5 2, 5 −2 1 −0, 5 1 3 ⎤ ⎥ ⎦ Forma matricial: Q(x) = xT Ax = x1 x2 x3 ⎡ ⎢ ⎣ 1 2, 5 −0, 5 2, 5 −2 1 −0, 5 1 3 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ x1 x2 x3 ⎤ ⎥ ⎦ Verificando: Q(x) = xT Ax = x1 x2 x3 ⎡ ⎢ ⎣ 1 2, 5 −0, 5 2, 5 −2 1 −0, 5 1 3 ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ x1 x2 x3 ⎤ ⎥ ⎦ Q(x) = [(x1 + 2, 5x2 − 0, 5x3)(2, 5x1 − 2x2x3)(−0, 5x1 + x2 + 3x3)] ⎡ ⎢ ⎣ x1 x2 x3 ⎤ ⎥ ⎦ Q(x) = x2 1 + 2, 5x1x2 − 0, 5x1x3 + 2, 5x1x2 − 2x2 2 + x2x3 − 0, 5x1x3 + x2x3 + 3x2 3 Q(x) = x2 1 − 2x2 2 + 3x2 3 + 5x1x2 − x1x3 + 2x2x3 Forma quádrica original. Encontre a forma matricial das formas quádricas e, ao final, verifique se a matriz está correta. a) Q(x) = –3x2 1 – x2 2 – 6x1 x2 b) Q(x) = 3x2 1 – 3x2 2 + x2 3 + 4x1 x2 + 3x1 x3 – 8x2 x3
  • 114. Desafio Resumo Aula 18 Álgebra Linear110 Formas quádricas positivas Uma forma quádrica Q(x) = xT Ax é chamada positiva definida se xT Ax>0 qualquer x diferente de zero. Existe ainda a nomenclatura negativa definida, quando xT Ax<0 para todo x diferente de zero, e indefinida, quando xT Ax pode assumir tanto valores positivos quanto negativos para todo x diferente de zero. Uma matriz simétrica A, associada a uma forma quádrica, é chamada positiva se xT AX é uma forma quádrica positiva, e a matriz A será positiva se, e somente se, todos seus autovalores forem positivos. 1) Considere a seguinte forma quadrática: Q(x1, x2, x3) = x1 x2 x3 ⎡ ⎢ ⎣ a 0 0 0 d e 0 e f ⎤ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎣ x1 x2 x3 ⎤ ⎥ ⎦ Sabendo que f (1, 0, 0 ) = 3, f (0, 1, 0) = 2, f (0, 1, 1) = f ( 0, 0, 1) = 4, determine a expressão da forma quadrática. 2) Expresse a forma quádrica (b1 x1 + b2 x2 + ... + bn xn )2 na notação matricial Q(x) = xT Ax, onde A é uma matriz simétrica. Nesta aula, você aprendeu a identificar formas quádricas assim como diferenciá-las de formas lineares e bilineares, aprendeu ainda a mudar sua representação de matricial para extensa e também o contrário.
  • 115. 1 2 3 Aula 18 Álgebra Linear 111 Autoavaliação Identifique quais das equações são formas quádricas. Justifique. a) Q(x)=2x2 1 + 2x2 2 + 2x1 x2 b) Q(x)=–5x1 x2 x3 c) Q(x)=3x2 1 x2 2 + 4x1 x2 d) Q(x)=x2 1 – x2 2 + x2 3 – 2x2 4 + 8x1 x2 x3 +x3 x4 e) Q(x)=2x3 1 + x3 2 + x3 3 Transforme a forma matricial em forma quádrica, tomando a matriz A como a matriz associada à forma quádrica. a) A = ⎡ ⎢ ⎣ 1 4 3 2 3 2 1 0 −2 ⎤ ⎥ ⎦ b) A = 3 7 4 −3 c) A = ⎡ ⎢ ⎣ 1 3 2 3 3 1 2 1 −2 ⎤ ⎥ ⎦ d) A = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 0 1 −2 3 2 1 −3 1 2 0 0 0 −2 6 −2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ e) A = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 2 −2 0 7 −5 4 −1 2 4 6 0 3 4 1 0 1 0 1 0 1 −1 2 6 1 −2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ Escreva a forma quádrica na forma matricial. a) Q(x)=3x2 1 – x2 2 + 4x1 x2 b) Q(x)=–2x2 1 + x1 x2 c) Q(x)=–4x2 1 – 2x2 2 – x2 3 + 4x1 x2 – 6x1 x3 + 8x2 x3 d) Q(x)=4x2 4 e) Q(x)=3x2 1 + x2 2 + 4x1 x2 f) Q(x)=4x1 x2 – x2 x4 – 2x2 x5
  • 116. Anotações Aula 18 Álgebra Linear112 Referências ANTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra linear com aplicações. Porto Alegre: Bookman, 2001. BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. 3. ed. São Paulo: Harper-Row, 1980. LAY, David. Álgebra linear e suas aplicações. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
  • 121. 1 2 3 Aula 19 Álgebra Linear 117 Apresentação A Álgebra Linear quando aplicada às formas quádricas permite obter matrizes associadas simplificadas, facilitando cálculos e reduzindo custo computacional. Ao lançar mão da dia- gonalização, mostramos uma aplicação direta da Álgebra Linear na geometria, uma vez que utilizaremos esse recurso para a facilitação do traçado do seu gráfico futuramente. Objetivos Aplicar o processo de diagonalização de matrizes às formas quádricas. Relacionar sistemas de coordenadas. Compreender a relação entre os sistemas de coordenadas envolvidos.
  • 123. Aula 19 Álgebra Linear 119 Definição Como vimos na aula anterior, a forma matricial da forma quádrica é obtida facilmente a partir da forma por extenso, porém, a matriz pode ser uma matriz “cheia” o que implica em vá- rias dificuldades de manipulação. O que faremos nesta aula é diagonalizar essa matriz associada para dispor de uma matriz simplificada. Uma matriz associada diagonal implica em uma forma quádrica sem termos cruzados, então, o que de fato faremos é eliminar os termos cruzados. Processo de diagonalização Inicialmente é utilizada a função na forma padrão: Q(x) = xT Ax = x1 x2 · · · xn ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n an1 an2 · · · ann ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ x1 x2 xn ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ O que faremos é mudar de sistema de coordenadas, de X para Y, os quais se relacionam através da matriz P, que é uma matriz que diagonaliza A ortogonalmente. X = PY Onde: X é o vetor variável do n X = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ x1 x2 xn ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ , Y é o novo vetor variável do n Y = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ y1 y2 yn ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ , P é uma matriz ortogonal que diagonaliza A. Aplicando a mudança de variável: XT AX = (PY)T A(PY) XT AX = YT PT APY XT AX = YT (PT AP)Y A nova matriz associada à forma quádrica no novo sistema de coordenadas é (PT AP). Como P é uma matriz que diagonaliza A ortogonalmente, então PT =P–1
  • 124. Aula 19 Álgebra Linear120 e PT AP = P–1 AP = D Onde D é a matriz diagonalizada, cujos elementos da diagonal principal são os autovalores de A. D = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ λ1 0 · · · 0 0 λ2 · · · 0 0 0 · · · λn ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ Logo, XT AX = YT DY Exemplo 1 Seja Q(x) = x2 1 − 5x2 2 − 8x1x2 , encontre uma mudança de variável que transforme a forma quádrica em uma sem termos cruzados. Resolução: Passando para a forma matricial, temos: Q(x) = xT Ax = x1 x2 1 −4 −4 −5 x1 x2 . A matriz associada é: A = 1 −4 −4 −5 . Devemos diagonalizar a matriz A: Autovalores de A: 3 e –7 Autovetores de A: vλ=3 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 2 √ 5 −1 √ 5 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ vλ=7 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 1 √ 5 2 √ 5 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦. Como os autovetores já são ortonormais, não será necessário diagonalizá-los nem ortonor- malizá-los. Então, x = Py , onde x = x1 x2 y = y1 y2 D = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 2 √ 5 1 √ 5 −1 √ 5 2 √ 5 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦
  • 125. Aula 19 Álgebra Linear 121 Mudando de coordenadas: Q(x) = x2 1 − 5x2 2 − 8x1x2 = xT Ax = yT Dy Q(y) = yT Dy = y1 y2 3 0 0 −7 y1 y2 Como a nova matriz associada é D, então a forma expandida fica: Q(y) = 3y2 1 − 7y2 2 → Forma quádrica no novo sistema de coordenadas. Para relacionarmos os dois sistemas de coordenadas, basta utilizarmos a expressão x = Py, então para calcularmos um determinado vetor em Q(x), basta obter o correspondente em y. Para calcular Q(x1, x2) = Q(2, −2), Q(x) = x2 1 − 5x2 2 − 8x1x2 Q(2, −2) = 22 − 5 · (−2)2 − 8 · 2 · (−2) = 16 Para encontrar o mesmo no sistema equivalente, primeiro encontramos seu correspondente em Y: X = PY Y = P−1 X P−1 = PT Y = P−1 X = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 2 √ 5 −1 √ 5 1 √ 5 2 √ 5 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ 2 −2 ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 6 √ 5 −2 √ 5 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ y1 = 6 √ 5 y2 = −2 √ 5 Então, aplicamos à expressão em Y: Q(y) = 3y2 1 − 7y2 2 Q(2, −2) = 3 6 √ 5 2 − 7 −2 √ 5 2 = 16
  • 126. Desafio Resumo Aula 19 Álgebra Linear122 Seja Q(x) = 3x2 1 + 3x2 2 + 2x1x2 , encontre uma mudança de variável que transforme a forma quádrica em uma sem termos cruzados. 1) Diagonalize a forma quádrica Q(x) = 3x2 1 − 2x1x2 + 2x2 2 − 2x2x3 + 3x2 3 . 2) Suponha que x é um autovetor unitário de dimensão 5 associado ao autovalor ¸=3. Qual o valor de xT Ax? Nesta aula, você viu que o processo de diagonalização é de essencial importância na simplificação de formas quádricas. Você aprendeu não apenas a aplicar a diagonalização às formas quádricas como a relacionar vetores entre os sistemas de coordenadas envolvidos.
  • 127. Aula 19 Álgebra Linear 123 Autoavaliação Elimine o termo cruzado das formas quádricas, escrevendo-as em um novo sistema de coordenadas. Encontre as matrizes que relacionam os dois sistemas. Para cada caso encontre a coordenada correspondente a x1 = −1, x2 = 2, x3 = 1 no novo sistema de coordenadas. a) Q(x) = x2 1 + x2 2 + 10x1x2 b) Q(x) = 2x1x2 c) Q(x) = 9x2 1 + 7x2 2 + 11x2 3 − 8x1x2 + 8x1x3 d) Q(x) = 2x1x3 + 6x2x3 Referências ANTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra linear com aplicações. Porto Alegre: Bookman, 2001. BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. 3. ed. São Paulo: Harper-Row, 1980. LAY, David. Álgebra linear e suas aplicações. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
  • 131. Aula 20 Álgebra Linear 127 Apresentação A Álgebra Linear quando empregada na Geometria traz benefícios e facilidades ao traçado de gráficos. Uma vez aprendida a diagonalização de formas quádricas, usaremos esse recurso para traçar seus gráficos no plano. Faremos uma mudança de sistema de co- ordenadas para trazer um gráfico deslocado em relação à origem para a posição centralizada, o que facilita, e muito, o desenho do seu gráfico. Objetivo Traçar gráficos de seções cônicas rotacionados e deslocados horizontal e/ou verticalmente em relação à origem.
  • 133. Hipérbole ParábolaElipse Aula 20 Álgebra Linear 129 Definição Chamamos de seção cônica a forma gráfica que as quádricas do 2 assumem. Uma série de figuras chaves pode ser obtida a partir das formas quádricas, as quais variam de acordo com os parâmetros da equação analisada. Quando analisamos os gráficos das quádricas do 3 , temos então as superfícies cônicas, que não serão alvos do nosso estudo. O termo “cônicas” se dá porque as figuras, que são elipses, hipérboles e parábolas, podem ser obtidas a partir de cortes feitos em cones. A Figura 1 mostra como o plano corta o cone para formar as figuras. Figura 1 – Cônicas Interpretação geométrica do 2 Partindo da equação das formas quádricas: Q(x) = xT Ax = c onde A é uma matriz 2×2 simétrica e inversível, c uma constante e x um vetor do 2 . Ao expandirmos, teremos uma expressão da forma: rx2 1 + sx 2 2 + tx1 x2 = c Sendo r, s e t ∈ obtidas a partir dos coeficientes da matriz A. Ao eliminarmos o termo cruzado, através da diagonalização, teremos apenas: fx2 1 + gx 2 2 = c
  • 134. x1 x2 b a a > b > 0 x1 x2 b a b > a > 0 x1 x2 b a a = b > 0 Aula 20 Álgebra Linear130 onde f e g também são constantes. Dividindo toda a equação por c teremos: fx2 1 c + gx2 2 c = 1 E arrumando, temos: x2 1 a2 + x2 2 b2 = 1 Onde a e b são obtidas a partir de c, f e g. Formas quádricas sem o termo cruzado Veremos a seguir a forma padrão e a forma degenerada de cada uma das cônicas. A forma padrão, não degenerada, é a forma como a equação da figura se apresenta, já a forma dege- nerada ocorre quando alguma das constantes apresenta valores fora do padrão e com isso transforma a figura em uma outra forma. Elipse A equação da elipse, na forma como sabemos traçar seu gráfico, é: x2 1 a2 + x2 2 b2 = 1 No caso particular onde a =b, temos o círculo. A Figura 2 mostra o gráfico de elipses para relações distintas de a e b. Para desenhar o gráfico da elipse devemos marcar as delimitações definidas por a, –a, b e –b, então completar o gráfico. Figura 2 – Gráficos de elipses
  • 135. x1 x2 b a a > b > 0 x1 x2 b a b > a > 0 Aula 20 Álgebra Linear 131 Elipse degenerada: Quando a equação tem a forma ax2 1 + bx 2 2 = c Implica dizer que a figura obtida é apenas um ponto. Círculo degenerado: Como o círculo vem da elipse quando a=b, então também teremos apenas um ponto. x2 1 + x 2 2 = 0 Hipérbole A equação da hipérbole é bem parecida com a da elipse, porém, muda um dos sinais dos termos com variáveis para negativo: x2 1 a2 + x2 2 b2 = 1 A Figura 3 mostra o gráfico de hipérboles para relações distintas de a e b. Para traçarmos uma hipérbole, primeiro devemos marcar no gráfico os valores de a, –a, b e –b, traçar um retângulo passando por esses pontos e então gerar as assíntotas, as quais o gráfico tangencia. Figura 3 – Gráficos de hipérboles
  • 136. x22 2 − ax1 = 0 x1 2 − ax2 = 0 F x1 x2 Diretriz a 4 a 4 a 4 F x1 x2 Diretriz a 4 a 4 a 4 Aula 20 Álgebra Linear132 Hipérbole degenerada: Quando caímos na forma x2 1 a2 − x2 2 b2 = 0 ⇒ x1 = ± a b x2 . O que implica em retas concorrentes. Parábola A equação da parábola é obtida a partir da expressão a seguir, ou invertendo-se as variáveis: x2 1 – ax2 = 0 A Figura 4 mostra parábolas sobre os eixos x1 e x2 . O foco da parábola está situado a a 4 do vértice e a diretriz a a 2 do foco. Figura 4 – Gráficos de parábolas Parábola degenerada: Quando caímos na forma x2 1 – a = 0 ou x2 1 = 0. O que implica em retas paralelas no primeiro caso e em reta coincidente com o eixo x2 no segundo.
  • 137. x1 x2 33 22 -3-3 -2-2 x1 x2 33 22 -3-3 -2-2 Aula 20 Álgebra Linear 133 Exemplo 1 Encontre o gráfico de: a) 9x2 1 + 4x2 2 = 36 b) x2 1 – 4x2 2 = 2 c) 16x1 – x2 2 = 0 Resolução: a) Arrumando a equação 9x2 1 + 4x2 2 = 36 Dividindo tudo por 36: 9x2 1 36 + 4x2 2 36 = 36 36 x2 1 4 + x2 2 9 = 1, temos a equação de uma elipse com a =2 (associado a x1 ) e b=3 (associa- do a x2 ). Para traçar o gráfico, primeiro marcamos os pontos a, –a, b e –b e, em seguida, desenhamos a elipse, como mostrado na Figura 5. Figura 5 – Gráfico da elipse x2 1 4 + x2 2 9 = 1 b) Arrumando a equação x2 1 – 4x2 2 = 2 Dividindo por 2: x2 1 2 − 4x2 2 2 = 2 2 x2 1 2 − x2 2 2 4 = 1 → x2 1 2 − x2 2 1 2 = 1 Temos a equação de uma hipérbole com a = √ 2 ( x1) e b = 1 2 ( x2)
  • 138. x1 x2 x1 x2 22 -- 22 -- 22 22 22 22 22 -- 22 -- 22 22 22 22 x1 x2 x1 x2 22 -- 22 -- 22 22 22 22 Aula 20 Álgebra Linear134 Figura 6 – Passos intermediários do gráfico da hipérbole x2 1 2 − x2 2 1 2 = 1 Traçamos as assíntotas passando pelas “quinas” do retângulo e, por fim, desenhamos a hi- pérbole, como na Figura 7. Figura 7 – Gráfico da hipérbole x2 1 2 − x2 2 1 2 = 1 Para saber se a hipérbole cruza o eixo x1 ou o eixo x2 , devemos observar o sinal da equação. Note que na equação x2 1 2 − x2 2 1 2 = 1 a variável x2 pode assumir o valor x2 =0 que o x1 apre- sentará valores reais, porém, se a variável x1 assumir o valor x1 =0 então os valores para x2 serão complexos, valores que não fazem parte do nosso estudo neste momento. Portanto, concluímos que o valor x1 não pode ser zero, ou seja, o gráfico não pode cortar o eixo x2 , então o gráfico está sobre o eixo x1 . Para traçar o gráfico, primeiro marcamos os pontos a, –a, b e –b e, em seguida, marcamos um quadrado passando por esses pontos, como mostrado na Figura 6.
  • 139. x1 x2 x1 x2 - 48 -4 4 1 3 48 V F - 48 -4 4 1 3 48 V F Aula 20 Álgebra Linear 135 c) Arrumando a equação 16x1 – x2 2 = 0, x2 2 = 16x1 , temos a equação de uma parábola com a =16. Vértice no ponto (0,0). Foco no ponto (4,0), pois a parábola está sobre o eixo x1 (variável sem o quadrado). Conhecendo alguns pontos fica simples traçar o gráfico. Vamos atribuir os valores 1 e 3 a x1 : X1 X2 1 ± 4 3 ± √ 48 Figura 8 – Gráfico de parábola x2 2 = 16x1 Forma quádrica completa No exemplo anterior, vimos como traçar o gráfico das cônicas sem alterações. Porém, na prática, essas figuras podem aparecer com vários deslocamentos possíveis. A equação da forma quádrica não aparece “limpa”, na forma como sabemos traçar seu gráfico. Portanto, veremos como considerar e eliminar cada parcela a fim de obtermos a forma reduzida e então desenhar o gráfico de uma forma simples. Quando consideramos a equação da forma quádrica rx2 1 – sx2 2 + tx1 x2 = c deslocada, ou seja, centrada no ponto (p,q), temos: r(x1 – p)2 + s(x2 –q)2 + t(x1 – p)(x2 – q) = c Arrumando, teremos uma equação com os seguintes termos: a1 x2 1 + a2 x2 2 + a3 x1 x2 + a4 x1 + a5 x2 + a6 = 0 Essa forma, com termo cruzado e os termos lineares, é a forma completa da equação quádrica.
  • 140. x1 x2 x1 x2 Aula 20 Álgebra Linear136 Influência dos termos Observando a equação completa – da forma quádrica a1 x2 1 + a2 x2 2 + a3 x1 x2 + a4 x1 + a5 x2 + a6 = 0, percebemos 3 tipos de termos adicionais: Os termos quadráticos – a1 x2 1 + a2 x2 2 , os termos cruzados (ou produto misto) – a3 x1 x2 e os termos lineares – a4 x1 + a5 x2 . Cada um deles influencia o gráfico de uma maneira. Termos quadráticos – a1 x2 1 + a2 x2 2 Quando na forma quádrica aparecem apenas esses termos, o que implica em uma figura centralizada na origem e livre de deslocamentos ou rotações, dizemos que ela está na posição canônica, conforme Figura 9. Figura 9 – Cônica centralizada Termos cruzados – a3 x1 x2 Quando o termo cruzado (ou produto misto) aparece na equação, a figura é rotacionada em relação à sua posição canônica, como mostrado na Figura 10. Figura 10 – Cônica rotacionada
  • 141. x1 x2 x1 x2 Aula 20 Álgebra Linear 137 Termos lineares – a4 x1 + a5 x2 Quando na forma quádrica surgem os termos lineares, isso indica deslocamentos horizontais e/ou verticais, mostrados na Figura 11. Figura 11 – Cônica deslocada horizontal e verticalmente Uma cônica que apresenta todos os termos possíveis terá todas as modificações, a rotação e os deslocamentos horizontais e verticais, como exemplificado na Figura 12. Figura 12 – Cônica rotacionada e deslocada horizontal e verticalmente O desafio é como traçar o gráfico de uma forma quádrica que apresenta todos os termos: a1 x2 1 + a2 x2 2 + a3 x1 x2 + a4 x1 + a5 x2 + a6 = 0
  • 142. x1 x'1 x2 x'2 Aula 20 Álgebra Linear138 Traçando o gráfico com a influência dos termos Equação com termo cruzado (rotacionado) Para desenharmos uma cônica rotacionada, o que fazemos na realidade é uma mudança de sistema de coordenadas. Imagine que conhecemos a equação da cônica que tem o gráfico mostrado na Figura 10. De posse da equação, é possível descobrir e relacionar um novo sistema de coordenadas x`1 x`2 que tem a cônica na posição canônica. Dessa forma fica fácil traçar o gráfico no novo sistema de coordenadas x`1 x`2 e sobrepor ao sistema antigo x1 x2 . Figura 13 – Relação entre sistemas de coordenadas distintos Partindo da equação a1 x2 1 + a2 x2 2 + a3 x1 x2 + a6 = 0 e escrevendo-a na forma matricial, temos: xT Ax + c = 0 x1 x2 a11 a12 a21 a22 x1 x2 + c = 0 Onde A = a11 a12 a21 a22 x = x1 x2 c = constante Para eliminarmos o termo cruzado, vamos passar a quádrica pelo processo de diagonalização. Para tanto, devemos encontrar a matriz P que diagonaliza A ortogonalmente, onde X=PY. Deve-se substituir na equação xT Ax + c = 0 (Py)T A(Py) + c = 0 yT PT APy + c = 0 yT (PT AP)y + c = 0 yT Dy + c = 0
  • 143. Aula 20 Álgebra Linear 139 Dessa forma, teremos um novo sistema de coordenadas Y livre do termo cruzado, o qual se relaciona com o sistema X através da equação X=PY. y1 y2 d1 0 0 d2 y1 y2 + c = 0 d1y2 1 + d2y2 2 + c = 0 O gráfico no novo sistema de coordenadas é fácil de ser obtido, pois está na posição canônica. O próximo passo é então relacionar os gráficos dos dois sistemas de coordenadas, onde os eixos do novo sistema de coordenadas estão sobre o antigo na direção dos autovetores de A. Exemplo 2 Encontre o gráfico da elipse 5x2 1 + 8x2 2 – 4x1 x2 – 36= 0. Resolução: Primeiro escrevemos na forma matricial: xT Ax + c= 0 A = 5 −2 −2 8 x = x1 x2 c = −36 Encontrando os autovalores de A: 4 e 9 Encontrando os autovetores de A: vλ=4 2 1 e vλ=9 −1 2 São ortogonais, devemos então apenas normalizá-los: v1 = vλ=4 vλ=4 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 2 √ 5 1 √ 5 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ v2 = vλ=9 vλ=9 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ −1 √ 5 2 √ 5 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ P = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 2 √ 5 −1 √ 5 1 √ 5 2 √ 5 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ P−1 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 2 √ 5 1 √ 5 −1 √ 5 2 √ 5 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ A ordem adequada para os autovetores na matriz é tal qual o determinante da matriz P seja 1 e não –1. Segundo esse raciocínio, então v1 deve corresponder à primeira coluna e v2 à segunda.
  • 144. y1 y2 22 33 -2-2 -3-3 Aula 20 Álgebra Linear140 A expressão xT Ax + c= 0 é equivalente a yT Dy + c= 0 y1 y2 4 0 0 9 y1 y2 − 36 = 0 4y2 1 + 9y2 2 − 36 = 0 A equação nessa forma é fácil percebemos que se trata de uma elipse. 4y1 2 + 9y2 2 = 36 Dividindo toda a equação por 36: 4y2 1 36 + 9y2 2 36 = 36 36 y2 1 9 + y2 2 4 = 1 a = 3 b = 2 O gráfico no sistema de coordenas Y é mostrado na Figura 14. Figura 14 – Gráfico da cônica na posição canônica – Sistema y1 y2 . Escala 1:1 Para traçarmos o gráfico no sistema X, devemos primeiro escrever os eixos y1 y2 . Marcamos os autovetores no sistema X e então traçamos o eixo y1 para coincidir com o primeiro autovetor e o y2 com o segundo, como mostrado na Figura 15.
  • 145. 1 x1 x2 V2 V1 y 1 y 2 x1 x2 y 1 y 2 2 3-2 -3 Aula 20 Álgebra Linear 141 Figura 16 – Gráfico da cônica na posição original – Sistema x1 x2 . Escala 1:1 Figura 15 – Relação entre sistemas de coordenadas Então, é só sobrepor o gráfico já traçado no sistema y1 y2 , como na Figura 16. Encontre o gráfico da elipse 2x2 1 + 2x2 2 – 2x1 x2 – 8= 0.
  • 146. Aula 20 Álgebra Linear142 Equação com termos lineares (deslocado horizontal e/ou verticalmente) Como não há a presença de produto misto, significa que a cônica não está rotacionada, mas está fora da sua posição. Para desenharmos uma cônica deslocada horizontal ou verticalmente, fazemos também uma mudança de sistema de coordenadas. Para isso, vamos apenas rees- crever a quádrica de uma forma diferente, completando os quadrados. Consideremos a forma quádrica: a1 x2 1 + a2 x2 2 +a3 x1 + a4 x2 + a5 = 0 O que devemos fazer é agrupar os termos com as mesmas variáveis e completar os quadrados. Façamos com um exemplo. Exemplo 3 Encontre o gráfico de x2 1 + 2x2 2 + 4x1 – 4x2 – 4= 0. Resolução: Agrupando os termos: (x2 1 + 4x1 ) – (2x2 2 + 4x2 )– 4= 0 Completando os quadrados: (x1 + 2)2 − 4 − 2 (x2 + 1)2 − 1 − 4 = 0 (x1 + 2)2 − 2(x2 + 1)2 − 6 = 0 Mudando de variáveis: x`1 = x1 + 2 x`2 = x2 + 1 Logo, a nova equação é: x`2 1 – 2x`2 2 – 6 = 0 Ao organizar, fica: x 2 1 − 2x 2 2 = 6 x 2 1 6 − 2x 2 2 6 = 6 6 x 2 1 6 − x 2 2 3 = 1 a = √ 6 b = √ 3
  • 147. x'1 x'2 -- 66 66 -- 33 33 x1 x2 x'1 x'2 Aula 20 Álgebra Linear 143 Pelo exposto, observamos que é a equação de uma hipérbole. Traçando a hipérbole no sistema de coordenadas x`1 x`2 , obtemos o gráfico da Figura 17 na posição canônica. Figura 17 – Gráfico da cônica na posição canônica – sistema x`1 x`2 . Escala 1:1 Para traçarmos o gráfico no sistema original, devemos relacionar os dois sistemas de coor- denadas. Como: x`1 = x1 + 2 x`2 = x2 + 1 Então, temos que o ponto (0,0) do sistema x`1 x`2 ocorre no ponto (–2,–1) do sistema x1 x2 , conforme mostrado na Figura 18. Figura 18 – Relação entre sistemas de coordenadas. Escala 1:1
  • 148. 2 x1 x2 x'1 x'2 Aula 20 Álgebra Linear144 Agora, então é só sobrepor a figura já traçada no sistema x`1 x`2 , como mostrado na Figura 19. Figura 19 – Gráfico da cônica na posição original – sistema x1 x2 . Escala 1:1 Encontre o gráfico de 2x2 1 + x2 2 – 8x1 + 2x2 + 5= 0. Equação completa – produto misto e termos lineares O problema do traçado do gráfico da equação a1 x2 1 + a2 x2 2 + a3 x1 x2 + a4 x1 + a5 x2 + a6 = 0 se resume então a eliminar o termo cruzado e depois reescrever a equação de forma adequada. Aequaçãoquádricaa1 x2 1 + a2 x2 2 + a3 x1 x2 + a4 x1 + a5 x2 + a6 = 0podeserescritanaformamatricial: x1 x2 a11 a12 a21 a22 x1 x2 + b1 b2 x1 x2 + c = 0 xT Ax + Bx + c = 0 Onde A = a11 a12 a21 a22 x = x1 x2 B = b1 b2 c = constante Devemos promover uma mudança de coordenadas para um novo sistema Y, o qual se relaciona com o sistema X através da matriz P que diagonaliza A ortogonalmente: X=PY Devemos substituir na equação matricial: xT Ax + Bx + c = 0
  • 149. Aula 20 Álgebra Linear 145 (Py)T A(Py) +B(Py) + c = 0 yT PT APy + BPy + c = 0 yT( PT AP)y + (BP)y + c = 0 yT Dy + (BP)y + c = 0 Portanto, temos a nova equação matricial escrita no novo sistema de coordenadas sem o termo cruzado. Note que para traçar o gráfico a partir dessa equação, depois de diagonalizada, basta que completemos os quadrados e migremos para um terceiro sistema de coordenadas. O segredo é então relacionar adequadamente os três sistemas. Exemplo 4 Encontre o gráfico de 5x2 1 + 8x2 2 − 4x1x2 + 4 √ 5x1 − 16 √ 5x2 + 4 = 0. Resolução: Primeiro passo é sempre escrever na forma matricial: xT Ax + Bx + c = 0 A = 5 −2 −2 8 x = x1 x2 B = 4 √ 5 −16 √ 5 c = 4 Autovalores de A: 4 e 9 Autovetores de A: vλ=4 = 2 1 vλ=9 = −1 2 Como são ortogonais, basta normalizar: v1 = vλ=4 vλ=4 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 2 √ 5 1 √ 5 ⎤ ⎦ e v2 = vλ=9 vλ=9 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ −1 √ 5 2 √ 5 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ Matriz P: P = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 2 √ 5 −1 √ 5 1 √ 5 2 √ 5 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ P−1 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 2 √ 5 1 √ 5 −1 √ 5 2 √ 5 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ A ordem dos autovetores está correta, pois det(P)=1. Caso fosse –1, deveríamos trocar as colunas de P e considerar o primeiro autovalor 9 e o segundo 4. A expressão xT Ax + Bx + c = 0 é equivalente a yT Dy + (BP)y + c = 0. y1 y2 4 0 0 9 y1 y2 + 4 √ 5 −16 √ 5 ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 2 √ 5 −1 √ 5 1 √ 5 2 √ 5 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ y1 y2 + 4 = 0 4y2 1 + 9y2 2 + [−8 − 36] y1 y2 + 4 = 0 4y2 1 + 9y2 2 − 8y1 − 36y2 + 4 = 0
  • 150. y'1 y'2 Aula 20 Álgebra Linear146 Que é a expressão da forma quádrica no sistema Y, livre dos termos cruzados. Devemos então agora manipular a equação para eliminar os termos lineares: 4y2 1 − 8y1 + 9y2 2 − 36y2 + 4 = 0 4(y2 1 − 2y1) + 9(y2 2 − 4y2) + 4 = 0 4(y2 1 − 2y1) + 4 − 4 + 9(y2 2 − 4y2) + 36 − 36 = −4 4(y2 1 − 2y1 + 1) − 4 + 9(y2 2 − 4y2 + 4) − 36 = −4 4(y1 − 1)2 + 9(y2 − 2)2 = 36 Mudando para o sistema de coordenadas y`1 y`2 : y`1 = y1 – 1 e y`2 = y2 – 2 Logo, a expressão da cônica no sistema y`1 y`2 é: 4y`1 2 + 9y`2 2 = 36 Colocando na forma padrão da elipse: y 2 1 9 + y 2 2 4 = 1 Onde a = √ 9 = 3 b = √ 4 = 2, e seu gráfico pode ser visto na Figura 20. Figura 20 – Gráfico da cônica na posição original – sistema y`1 y`2 . Escala 1:1 Relacionando o sistema Y com o sistema Y`, temos que o ponto (0,0) do sistema Y`ocorre no ponto (1,2) do sistema Y, conforme mostrado na Figura 21. y`1 = y1 – 1 y`2 = y2 – 2
  • 151. y1 y2 y'1 y'2 x1 x2 y 1 V1 y 2 V2 Aula 20 Álgebra Linear 147 Figura 21 – Gráfico da cônica considerados os deslocamentos horizontais e verticais - sistema y1 y2 . Escala 1:1 Analisando o gráfico no sistema Y, é fácil observar que: 4y`1 2 + 9y2 2 – 8y1 – 36y2 + 4 = 0 y1 y2 0 3,88 e 0,11 1 0 Para escrever o sistema Y no sistema X, devemos primeiro marcar os autovetores v1 e v2 e, em seguida, fazer com que os eixos y1 e y2 coincidam com eles, como mostrado na Figura 22. Figura 22 – Relação entre sistema X e sistema Y Agora, basta que sobreponhamos o gráfico da Figura 21 na posição adequada dentro do sistema X, como desenhado na Figura 23.
  • 152. 3 Desafio x1 x2 y 1 y'1 y 2 y'2 Aula 20 Álgebra Linear148 Figura 23 – Gráfico da cônica no sistema X. Escala 1:1 Analisando o gráfico no sistema X, é fácil observar que: 5x2 1 + 8x2 2 − 4x1x2 + 4 √ 5x1 − 16 √ 5x2 + 4 = 0 x1 x2 0 4,358 e 0,11 –0,89 0 Encontre o gráfico de 2x2 + 2y2 – 8x – 10y + 2xy + 11 = 0. 1) Encontre uma equação geral para todas as elipses, não rotacionadas, com centro em (–2,3). 2) Encontre o gráfico de 1 2 x2 + 1 2 y2 + xy − y = 0. 3) Analisando a cônica a seguir, encontre: a) os autovalores da matriz associada à quádrica nas coordenadas X1 X2 .
  • 153. Resumo x1 x2 y1 y2 33 44 -3-3 -4-4 Aula 20 Álgebra Linear 149 b) os autovetores ortonormais da matriz associada à quádrica nas coordenadas X1 X2 . *Os números indicados na figura dizem respeito ao sistema Y1 Y2 . *A escala do sistema X1 X2 é 1:1(cada quadrado tem a dimensão 1x1). 4) Considere que a trajetória da borda da montanha do Cânion da figura pode ser descrita pela hipérbole x2 + y2 – 4xy – 30 = 0. Se fosse construída uma ponte unindo o Lado Oeste e o Lado Leste, que tamanho ela teria? Nesta aula, você compreendeu as relações entre os sistemas de coordenadas envolvidos no estudo sobre gráficos de cônicas. Você aprendeu também a traçar gráficos de cônicas com deslocamentos e rotações, por meio de mu- danças de sistemas de coordenadas os quais recorrem a assuntos da Álgebra Linear, tais como diagonalização de matrizes, matrizes ortogonais, autovalores e autovetores.
  • 154. 1 2 k1 k2 k2 k1 Aula 20 Álgebra Linear150 Autoavaliação Descubra que forma têm as seguintes cônicas: a) Q(x) = 9x2 1 + 4x2 2 + 36x1 – 16x2 + 16 = 0 b) Q(x) = 9x2 1 – 4x2 2 + 36x1 + 16x2 – 16 = 0 c) Q(x) = x2 1 – 25x2 2 – 4x1 + 150x2 – 246 = 0 d) Q(x) = x2 1 + 25x2 2 – 4x1 – 150x2 – 204 = 0 e) Q(x) = 3x2 1 + 6x2 2 – 12x1 x2 – 12 = 0 f) Q(x) = 3x2 1 + 6x2 2 + 4x1 x2 – 16 = 0 Encontre uma expressão para a cônica descrita (não rotacionada): a) Elipse centrada no ponto (–3,1) com k1 = 4 e k2 = 2. b) Hipérbole centrada em (0,4) com k1 = 4 e k2 = 2. c) Elipse centrada no ponto (5,3) com k1 = 2 e k2 = 1. d) Hipérbole centrada em (–2,–2) com k1 = 6 e k2 = 6.
  • 155. 3 4 Anotações Aula 20 Álgebra Linear 151 Se duas pessoas andam sobre a trajetória de uma mesma elipse definida pela equação 2x2 1 + 2x2 2 + 2x1 x2 – 3 = 0, qual a maior distância possível que as duas podem estar uma da outra? Trace o gráfico das seguintes cônicas. a) Q(x) = 2x2 1 + 2x2 2 + 2x1 x2 + 4x1 – 4x2 – 4 = 0 b) Q(x) = 2x2 1 – x2 2 – 4x1 x2 – 4x1 – 8x2 + 14 = 0 c) Q(x) = 9x2 1 + 6x2 2 – 4x1 x2 – 10x1 – 20x2 – 5 = 0 d) Q(x) = x2 1 – 7x2 2 – 6x1 x2 + 10x1 + 2x2 – 9 = 0 Referências ANTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra linear com aplicações. Porto Alegre: Bookman, 2001. BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. 3. ed. São Paulo: Harper-Row, 1980. LAY, David. Álgebra linear e suas aplicações. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
  • 160. Esta edição foi produzida em mês de 2012 no Rio Grande do Norte, pela Secretaria de Educação a Distância da Universidade Federal do Rio Grande do Norte (SEDIS/UFRN). Utilizando-se Helvetica Lt Std Condensed para corpo do texto e Helvetica Lt Std Condensed Black títulos e subtítulos sobre papel offset 90 g/m2. Impresso na nome da gráfica Foram impressos 1.000 exemplares desta edição. SEDIS Secretaria de Educação a Distância – UFRN | CampusUniversitário Praça Cívica | Natal/RN | CEP 59.078-970 | sedis@sedis.ufrn.br | www.sedis.ufrn.br