Apostila 001 conjuntos numéricos

MATEMÁTICA

CONJUNTOS NUMÉRICOS
1. DIAGRAMA DE INCLUSÃO (x + y ) + z = x + (y + z ) e (x ⋅ y ) ⋅ z = x ⋅ (y ⋅ z )
Comutativa
I x+y = y+x e x⋅y = y⋅x
Z Q
Existência do elemento neutro
x + 0 = x e x ⋅1 = x
Lei do cancelamento
N
Se x + z = y + z , então x = y .
R C
Se x ⋅ z = y ⋅ z , então x = y (desde que z ≠ 0 ).
3.3 Paridade de um número inteiro
Os conjuntos numéricos serão estudados passo Um número a ∈ Z é chamado de par quando a
a passo ao longo de nosso curso. Essa unidade deverá divisão por 2 for exata, ou seja, o resto da divisão por
trabalhar os conjuntos até o campo dos Reais e deixar 2 é zero. Em símbolos, temos:
para depois o estudo no campo dos Complexos. Se a é par, então existe um número k ∈ Z, tal
que a=2k. Devemos observar que o número a ∈
2. CONJUNTOS DOS NÚMEROS NATURAIS
M(2).
O Conjunto dos Naturais, simbolizado por N, Exemplos:
representa os elementos inteiros positivos e o zero. E.1) 4 é par, pois 4 = 2.2 ;
Observe que, nesse contexto, o zero foi separado dos E.2) –6 é par, pois −6 = 2 ⋅ (−3) .
números positivos, ou seja, caracterizando a neutrali- Um número a e ∈ Z é chamado de ímpar no
dade do elemento. caso contrário ao par, ou seja, a divisão de a por 2
2.1 Notações deixa resto 1. Logo, podemos escrever que a = 2k + 1,
N= {0,1,2,3,4,...} com k ∈ Z.
N*= { ,2,3,4,...} , nessa notação, excluímos o
1 Exemplos:
número 0 (zero). E.1) 5 é ímpar, pois 5 = 2 ⋅ 2 + 1 ;
3. CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS E.2) −17 é ímpar, pois −17 = 2 ⋅ (−9) + 1 .
3.4 Número Primo e Composto
O conjunto dos Inteiros, simbolizado por Z,
É todo número inteiro que só é divisível por
representa os elementos inteiros positivos, negativos
ele mesmo ou por ±1 , excluindo-se o 1.
e o zero.
P {±2, ±3, ±5, ±7,...}
3.1 Notações
Um número p ∈ Z* é denominado de composto
Z= {...,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,...} se possuir mais de quatro divisores.
Z*= {...,−4,−3,−2,−1,1,2,3,4,...} , nessa notação, Exemplos:
excluímos o número 0 (zero). E.1) 2 é primo, pois D(2) = {± 1,±2} , 2 ≠ 1 e
Z+=N= {0,1,2,3,4,...} , esse conjunto será cha- 2 ≠ −1 ;
mado de conjunto dos números inteiros não E.2) −7 é primo, pois D(− 7 ) = {± 1,±7} , −7 ≠ 1 e
negativos. −7 ≠ −1;
Z-= {...,−4,−3,−2,−1,0} , esse conjunto será E.3) 6 é composto, pois D(6) = {± 1,±2,±3,±6} ;
chamado de conjunto dos números inteiros E.4) −10 é composto, pois
não positivos. D(− 10 ) = {± 1 ±2,±5,±10} .
,
Z * = { ,2,3,4,...} =N*, esse conjunto será cha-
+ 1 Observações:
mado de inteiros positivos. - Não existe até o presente momento uma lei
Z *− = {...,−4,−3,−2,−1} , esse conjunto será de formação para os números primos.
chamado de inteiros negativos. - O conjunto dos números primos possui infini-
tos elementos.
3.2 Propriedades estruturais - A classificação da paridade em primos e
No corpo dos inteiros, a soma e o produto pos- compostos só pode ser efetuada para números intei-
suem as propriedades abaixo. ros.
Dados x, y e z ∈ Z.
Associativa

Editora Exato 1

3.5 Mínimo Múltiplo Comum (MMC) 5. CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIO-
O MMC entre n números é o menor número NAIS
divisível pelos n números.
Um número é chamado de irracional quando,
Exemplo: escrito na forma decimal, apresenta um número infi-
O MMC de 4, 6, 12: nito de casas decimais sem apresentar períodos.
Exemplos:
4, 6, 12 2 E.1) 2 ;
2 3 3
2 E.2) π=3,141592...
3
1 3 3 E.3) e=2,71828...
1 1 1
2 x 2 x 3 = 12 5.1 Notação
O conjunto dos números irracionais será repre-
sentado por I.
3.6 Decomposição simultânea
Determine mmc (18, 24, 36). 6. CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
O conjunto dos números reais é formado pelos
Resolução: elementos da união dos conjuntos dos números Ra-
Consideremos o dispositivo prático. cionais e Irracionais. Em símbolo, temos:
18 24 36 2
9 12 18 2 R = I Q
9 6 9 2 Racionais
9 3 9 3 Irracionais
Reais
3 1 3 3
1 1 1
23 . 32 = 72 6.1 Representação na reta real
Assim, temos: mmc (18, 24, 36) = 72. Podemos representar os números reais em uma
reta orientada, denominada reta real ou reta numéri-
4. CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS ca.
4.1 Definição
-5 -2
É o conjunto formado por todos os números 2 3
a
que podem ser escritos na forma , em que a ∈ Z e b -3 -2 -1 0 1 1 2 3 reta numérica
b 2
∈ Z*.
4.2 Notação 6.3 Critérios de divisibilidade
Q= {números que podem ser reduzidos à for- Divisibilidade por 2.
a Um número natural é divisível por 2 se, e so-
ma , com a ∈ Z e B ∈ Z*}.
b mente se, terminar em 0, 2, 4, 6, 8.
Exemplos: Divisibilidade por 3.
2 Um número natural é divisível por 3, se e so-
E.1) é racional, pois 2∈Z e 3∈Z*. mente se, a soma dos seus algarismos for um número
3
1 1 divisível por 3.
2 2 = 1⋅3 = 3 Divisibilidade por 4.
E.2) é racional, pois , com 3
2 2 2 2 4 Um número natural é divisível por 4 se, e so-
3 3 mente se, os dois últimos algarismos da direita for-
∈Z e 4∈Z*. marem um número divisível por 4.
2 Divisibilidade por 5.
E.3) 0,666... é racional, pois 0,666... = , com
3 Um número natural é divisível por 5 se, e so-
2 ∈Z e 3∈ Z*. mente se, terminar em 0 ou 5.
Observação Divisibilidade por 6.
- Na representação decimal de um número ra- Um número natural é divisível por 6 se, e so-
a mente se, for divisível por 2 e por 3.
cional , a dividido por b, encontramos dois tipos de
b Divisibilidade por 9.
números, os decimais exatos ou decimais periódicos Um número natural é divisível por 9 se, e so-
(dízimas periódicas). mente se, a soma de seus algarismos for um número
divisível por 9.
Divisibilidade por 11.
Editora Exato 2

Um número natural é divisível por 11 se, e 2 O resultado de (-4).(50:10)+(-1) é:
somente se, a diferença entre a soma dos algarismos a) 20
de ordem ímpar e a soma dos algarismos de ordem b) –20
par, considerados da direita para a esquerda, for divi- c) –21
sível por 11. d) 19
e) Nenhuma.
7. REGRA DE SINAIS

Soma e subtração 3 Resolva: [( −4).( +1).( −4).( −1)] : ( −16) :
Sinais iguais + +=+ soma e conserva o
a) 1 d) 2
− −=− sinal
b) –1 e) –2
+ −= subtrai o módulo c) 0
Sinais dife- − += maior do módulo
rentes menor e conserva o
sinal do módulo 4 Se x= 4+2. {8 + 2.[1− 3.(4 : 2)]} então:
maior a) x=1 d) 0
Multiplicação e divisão b) x= -1 e) –4
sinais iguais + +=+ c) x=32
− −=+
sinais diferentes + −=−
− + =− 5 Resolva: [( −2).( −3)] : [( −3).( +2)] :
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
a) –1 d) –2
b) 1 e) –3
1 Resolva: c) 2
a) ( +3) ⋅ ( +2) =
b) ( +3) ⋅ ( −2) = 6 O m.m.c. entre 12, 5, 6 e 4 é:
c) ( −6 ) : ( −2) = a) 12 d) 40
b) 24 e) 60
d) ( −8) : ( +4) =
c) 30
e) ( −3) : ( −3) =
Resolução:
a) +6 7 Não é um número primo:
b)-6 a) 5 d) 29
c)3 b) 13 e) 37
d)-2 c) 1
e)1
 4   1  
8 Efetue:   :  −   .(−1) =
 3   3  
EXERCÍCIOS
a) –4 d) 3
1 Resolva: (-2).(-5)+(-5).(+3)= b) 4 e) –12
a) d) 0 c) 1
b) e) –
c) –5 9 Considere as afirmações:
d) –4 2
e) –7 I. − ∈N
5
2
II. − ∈ Z
5
2
III. − ∈ Q
5

Quantas são verdadeiras?
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3

Editora Exato 3

e) Nenhuma.

10 O valor de  −  :  + 1  é:
3 2   1 1

4 3   5 2
17
a)
120
5
b)
102
10
c)
12
17
d)
15
e) Nenhuma.

GABARITO

1 C
2 C
3 A
4 D
5 A
6 E
7 C
8 B
9 B
10 B

Editora Exato 4

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