Apostila 20 matlab
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O documento é um guia introdutório ao programa MATLAB, abordando desde a sua história até comandos básicos, operadores e funcionalidades, incluindo a manipulação de matrizes e gráficos. O MATLAB é apresentado como uma ferramenta essencial para desenvolvimento de algoritmos numéricos e simbólicos em diversas áreas das ciências exatas, oferecendo um ambiente interativo de programação. Também são destacadas limitações do MATLAB e sugestões de bibliografia e recursos disponíveis para aprendizagem.
![17
v1.opv2 executa a operação op de cada elemento de v1 com seu elemento
correspondente em v2. No caso de operação entre matrizes, as matrizes devem
possuir exatamente as mesmas dimensões. A operação com escalar pode ser
realizada com matriz de qualquer dimensão.
a.’ é a matriz transposta não conjugada da matriz a.
est.camp seleciona o campo ‘camp’ da estrutura ‘est’.
Exemplos: 2.^x é diferente de 2^x; x.*x é diferente de x*x. auto.peujeot seleciona
o campo peujeot da estrutura auto.
O caractere . produz a operação elemento-a-elemento entre matrizes
com exatamente a mesma dimensão ou entre escalares e matrizes.
caracter :
Propósito: Criar varredura limitada pelos números à direita e à esquerda de :.
Sintaxe: j:k; j:d:k.
Descrição: j:k é o mesmo que [j j+1 j+2 ... k], j:k é vazio se k<j. j:d:k é o mesmo
que [j j+d j+2*d ... k], j:d:k é vazio se k<j. d pode ser negativo, mas neste caso k
deve ser menor que j.
Exemplos: 1:10; 0:5:100; 100:-5:0.
caracter =
Propósito: executa atribuições
Exemplos: x=[1 2 3; 4.5 6 7.5];
caracter ,
Propósito: separar elementos em uma matriz; indexar matrizes; separar
argumento de uma função; separar comando em uma linha com vários
comandos.
Exemplos: 2*a(2,3); plot(x,y); x(i,j); mat=[a, b, c]; clear, disp(‘memória limpa’).
caracter ;
Propósito: usado em declaração de matrizes para separar linhas; ou usado para
omitir a apresentação do resultado de uma operação na tela.
Exemplos: x=[1 2 3; 9 8 7]; a=2+3;](https://image.slidesharecdn.com/apostila20matlab-150520230752-lva1-app6892/85/Apostila-20-matlab-17-320.jpg)
![18
caracter !
Propósito: invoca comando do sistema operacional.
Exemplos: ! mkdir novo.
caracter %
Propósito: torna o texto à direta de % um comentário.
Exemplos: x=[1 2 3; 4.5 6 7.5]; %cria matriz x.
caracteres ..
Propósito: representa o primeiro diretório na hierarquia de diretórios.
Exemplos: cd .. sobe um diretório na hierarquia.
caracteres ... (três ou mais pontos)
Propósito: representa continuação de linha.
Exemplos: a=2+...
3 é o mesmo que a=2+3.
caracteres ( )
Propósito: indicam precedência em operações matemáticas ou indexam
matrizes.
Exemplos: (a+b)^c, a soma é realizada antes da potenciação; x(3) é o terceiro
elemento do vetor x; x([1 2 3]) são os três primeiros elementos do vetor x.
caracter { }
Propósito: são utilizadas para formar estruturas (conjunto de células), onde cada
célula pode ser outra estrutura, uma matriz ou uma string. Funciona como os [ ],
porém seus elementos podem ser outras matrizes.
Podem também ser utilizadas para indexar estruturas e dar acesso aos seus
campos.
Exemplo: l={‘isto’ ‘é’ ‘uma’ ‘matriz linha:’ [1 2 24]}, l é uma estrutura com 5
campos.
3.3 Operadores Lógicos
caracteres & | ~](https://image.slidesharecdn.com/apostila20matlab-150520230752-lva1-app6892/85/Apostila-20-matlab-18-320.jpg)
![19
Propósito: realizam as operações lógicas e, ou e negação com os operadores &,
| e ~, respectivamente.
Sintaxe: a&b; A|c; ~d; os operandos a,b,c,d,A podem ser números reais (float),
complexos (utiliza o módulo) ou strings (utiliza o valor da tabela ASCII). No
MATLAB, 0 é considerado falso, e qualquer outro valor não-nulo é verdadeiro. O
resultado destas operações será verdadeiro (1) ou falso (0).
Exemplos: 5&-3 resulta em 1; ~10 resulta em 0; ‘alfa’|0 resulta em [1 1 1 1].
3.4 Operadores relacionais
caracteres < <= > >= == ~=
Propósito: realizam as operações de comparação de valores lógicos do tipo
menor, menor igual, maior, maior igual, igual e diferente com os operadores < <=
> >= == ~=, respectivamente. O resultado é um valor lógico verdadeiro (1) ou
falso (0).
Sintaxe: v1opv2 testa o valor lógico v1 em relação ao valor lógico v2, com a
operação relacional op.
Exemplos: 3<4 resulta em 1; 3==4 resulta em 0; a>=b verifica se a é maior ou
igual a b, resultando verdadeiro (1) ou falso (0).
3.5 Constantes ou Variáveis
Alguns caracteres são constantes definidos pelo MATALAB. Estes valores
podem ser alterados temporariamente através de atribuição.
Constante pi
Definição: é a constante π (3,1416...)
Constantes i e j
Propósito: caracteres reservados com a unidade imaginária 1− .
Sintaxe: número seguido de i ou j, ou multiplicado por i ou j.
Exemplos: 5+3i ou 5+3*i; 5+3j ou 5+ 3*j.
ans](https://image.slidesharecdn.com/apostila20matlab-150520230752-lva1-app6892/85/Apostila-20-matlab-19-320.jpg)
![37
semilogx
Propósito: o mesmo que plot, porém agora a escala da abscissa é do tipo
logarítmica.
Sintaxe: semilogx(x,y,’cst’)
semilogy
Propósito: o mesmo que plot, porém agora a escala da ordenada é do tipo
logarítmica.
Sintaxe: semilogy(x,y,’cst’)
polar
Propósito: desenha gráfico em formato polar.
Sintaxe: polar(ang,raio,’cst’)
Descrição: imprime cada elemento do vetor raio em relação ao elemento
correspondente do vetor ang (ângulo). A string ‘cst’ permite selecionar a cor
(c=ymrcrgbwk), o tipo de símbolo (s=*.ox+sdv^<>ph), e o tipo de linha(t=--:-.--).
Ex.: polar((linspace(0:2*pi),4*ones(1,100)) plota uma circunferência de raio 4.
axis
Propósito: controla a aparência das escalas da abscissa e da ordenada.
Sintaxe: axis([xmin xmax ymin ymax]).
Descrição: ajusta a escala da abscissa para valores entre xmin e xmax, e a
escala da ordenada para valores entre ymin e ymax.
Exemplo: axis ([-3 4 0 10]) desenha o gráfico com escalas de –3 a 4 para o eixo
da abscissa e 0 a 10 para o eixo da ordenada.
grid
Propósito: traça uma grade sobre o plot atual.
Sintaxe: grid.
hold
Propósito: retém o estado do plot atual de modo a permitir que o próximo gráfico
seja impresso sobre o atual. hold on liga o estado do comando e hold off desliga
o estado do comando.
Sintaxe: hold; hold on; hold off.](https://image.slidesharecdn.com/apostila20matlab-150520230752-lva1-app6892/85/Apostila-20-matlab-37-320.jpg)
![47
Para executar este programa é preciso apenas digitar no ambiente do MATLAB
(isto é, no prompt) o nome do programa sem a extensão:
>>raizes < ENTER >
As raízes de qualquer polinômio podem ser encontradas de maneira mais direta
no ambiente de trabalho do MATLAB. O comando utilizado é denominado "roots", que
tem o formato a seguir:
>>roots([A B C]) < ENTER >
Onde A é coeficiente do termo x^2, B é o coeficiente do termo x e C é o termo
independente.
Por exemplo, as raízes da equação do 2o
x^2 - 5x + 6 = 0 são:
Um outro exemplo de cálculo da raízes de um polinômio:
Ou seja, as raízes do polinômio x^3-6x^2+11x-6 = 0 são: 1, 2 e 3.
Obs.: O comando poly faz a operação inversa do comando roots, ou seja,
tendo-se as raízes, obtém-se o polinômio correspondente. Assim,
» poly([1 2 3])
ans =
1 -6 11 -6 (polinômio x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0)
» roots([1 -6 11 -6])
ans =
3.0000
2.0000
1.0000
» roots([1 -5 6])
ans =
3
2](https://image.slidesharecdn.com/apostila20matlab-150520230752-lva1-app6892/85/Apostila-20-matlab-47-320.jpg)
![48
Exemplo 9.2: Um outro exemplo de implementação de um código .m no MATLAB é
mostrado a seguir em que a solução de um sistema algébrico linear é obtida pela
aplicação do método iterativo de Jacobi. Denominaremos este programa de jacobi.m.
% Metodo de Jacobi para solucionar Ax = b
% Prof. Baleeiro
A = [6 -1 0;-1 4 1;0 1 6]
b = [-1; 1 ; 2]
[n,n] = size(A);
x = zeros(n,1);
r = zeros(n,1); % vetor de residuos
tol = 1e-2;
% Matriz de iteracao:
D = diag(diag(A))
L = tril(A)-D;
U = triu(A)-D;
E = -inv(D)*(L + U);
F = inv(D)*b;
% Autovalores de E
eig(E)
k = 0;
maior = inf;
while maior > tol
x = E*x + F;
r = A*x-b;
maior = norm(r,inf) % norma infinita do vetor r
pause
k = k + 1;
end;
x
k](https://image.slidesharecdn.com/apostila20matlab-150520230752-lva1-app6892/85/Apostila-20-matlab-48-320.jpg)
![50
» A = [-1, 2, 0; 1/2, 9, 3; 2, 4, 5]
A =
-1.0000 2.0000 0
0.5000 9.0000 3.0000
2.0000 4.0000 5.0000
» b = [3; -2; 7]
b =
3
-2
7
» x = Ab
x =
-6.1923
-1.5962
5.1538
Dados A , b , tol e )0(
x
Calcule ←D diag(diag(A)), ←L , tril(A) –D, ←U triu(A) – D
)(1
ULDE +−= −
bDF 1−
=
Verifique se 1|)(| <imáximo λ (use o comando eig(E))
Faça 0←k , maior ← ∞
Enquanto maior > tol faça
FExx kk
+←+ )()1(
, maior |)(| )1(
bAxmáximo k
−← +
, 1+← kk
Fim ‘enquanto’
Saída x e k
Exemplo 9.3: Solução de sistema de equações algébricas lineares
−=
−
7
2
3
542
39
021
3
2
1
2
1
x
x
x
A solução do exemplo 9.3 é facilmente obtida informando ao MATLAB, no
próprio prompt, a matriz A e o vetor independente b . A solução x procurada para o
sistema é obtida com o comando x = Ab, como a seguir.](https://image.slidesharecdn.com/apostila20matlab-150520230752-lva1-app6892/85/Apostila-20-matlab-50-320.jpg)
![52
As equações do sistema massa-mola são dadas na seção 11 e, assim, passa-se
diretamente ao programa .m desenvolvido e os resultados mais importantes.
Selecionou-se para este exemplo os gráficos de energia versus deslocamento e
velocidade versus deslocamento, que serão comparados com os resultados
equivalentes, quando da utilização do Simulink. Observar que, no presente resultado, a
velocidade mostrada é apenas no sentido do deslocamento negativo para o positivo. A
velocidade no sentido inverso (que é mostrada no modelo do Simulink) é negativa.
% Sistema massa-mola
% Prof. José Wilson
k =input('constante de elasticidade da mola (N/m)Ex.:700= ');
xmax=input('deslocamento máximo da mola xmax (cm);Ex.: 20= ');
m =input('massa do bloco ligado à mola (g); Ex.:500= ');
xmax = xmax/100;
m = m/1000;
x = [-xmax:0.001:xmax];
Etotal = (1/2)*k*(xmax^2); % Energia total
F = -k*x; % Força na mola
Ep = (1/2)*k*(x.^2); % Energia potencial
Ec = Etotal - Ep; % Energia cinética - Conservação de energia
v = sqrt(2*Ec./m); % Velocidade da massa-Conservação de energia
vmax = sqrt(2*Etotal/m); % Velocidade máxima
figure(1)
plot(x*100,Ep,'r')
hold on
plot(x*100,Ec,'k')
plot(x*100,Etotal,'m')
axis([-xmax*100 xmax*100 0 Etotal])
xlabel('deslocamento (cm)')
ylabel('energia cinética, potencial e total (J)')
grid on
hold off
figure(2)
plot(x*100,v)
axis([-xmax*100 xmax*100 0 vmax])
xlabel('deslocamento (cm)')
ylabel('velocidade da massa (m/s)')
grid on](https://image.slidesharecdn.com/apostila20matlab-150520230752-lva1-app6892/85/Apostila-20-matlab-52-320.jpg)
![54
Fig. 10.4: Lançamento de projétil
VOVOY
VOX
h
d
dO
hO
% Lançamento de projétil
% Prof. José Wilson
ho = input('Altura inicial ho (m) Ex.: 40 = ');
vo = input('velocidade inicial vo (m/s) Ex.: 25 = ');
alfa = input('ângulo de lançamento alfa (grau) Ex.: 45 = ');
do = input('posição inicial do projétil (m) Ex.: 0 = ');
alfa = alfa*pi/180;
vxo = vo*cos(alfa);
vyo = vo*sin(alfa);
g = -9.8; % Aceleração da gravidade
h = [0.5*g vyo ho]; % Para cálculo do tempo máximo
tlimites = roots(h); % Cálculo do tempo limite - tem 2 valores
if tlimites(1) > 0
tmax = tlimites(1);
else
tmax = tlimites(2);
end
t = [0:0.01:tmax];
vx = vxo;
vy = vyo + g*t;
thmax = abs(vyo/g); % tempo para atingir altura maxima
d = do + vxo*t;
h = ho + vyo*t + 0.5*g.*t.^2;](https://image.slidesharecdn.com/apostila20matlab-150520230752-lva1-app6892/85/Apostila-20-matlab-54-320.jpg)
![55
Fig. 10.5: Altura do projétil versus alcance horizontal
A altura máxima, a distância máxima e o tempo decorrido até atingir o solo são:
hmax = 55,9 m dmax = 91,6 m tmax = 5,18 s
hmax = ho + vyo*thmax + 0.5*g*thmax^2; % altura maxima
vmax = vyo + g*tmax; % velocidade maxima
dmax = do + vxo*tmax; % distancia maxima alcancada
figure(1)
plot(d,h)
axis([0 dmax 0 hmax])
xlabel('distância horizontal (m)')
ylabel('altura (m)')
grid on
figure(2)
plot(t,h)
axis([0 tmax 0 hmax])
xlabel('tempo (s)')
ylabel('altura (m)')
grid on
figure(3)
plot(t,d)
axis([0 tmax 0 dmax])
xlabel('tempo (s)')
ylabel('distância horizontal (m)')
grid on
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
10
20
30
40
50
distância horizontal (m)
altura(m)](https://image.slidesharecdn.com/apostila20matlab-150520230752-lva1-app6892/85/Apostila-20-matlab-55-320.jpg)
![59
» x = -7.5:.5:7.5;
» y = x;
» [X,Y] = meshgrid(x,y);
» R = sqrt(X.^2 + Y.^2) + eps;
» Z = sin(R)./R;
» mesh(X,Y,Z)
Exemplo 10.8: Uso do comando mesh para gráficos tridimensionais. Use a
seqüência de comandos para desenhar uma superfície.
Fig. 10.7: Saída gráfica obtida com a seqüência de comandos do exercício 3.](https://image.slidesharecdn.com/apostila20matlab-150520230752-lva1-app6892/85/Apostila-20-matlab-59-320.jpg)
![69
12 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01) Considere a seguinte equação diferencial: )(323212
2
2
tuy
dt
dy
dt
yd
=++ . Obter a
solução y(t) supondo todas as condições iniciais iguais a zero, usando a transformada
Laplace.
A transformada Laplace é:
s
sYssYsYs
32
)(32)(12)(2
=++
A solução para )(sY é:
ssssss
sY
3212
32
)3212(
32
)(
232
++
=
++
=
Resolver a equação diferencial utilizando a função residue do MATLAB.
Solução:
>> numy = 32
>> deny = [1 12 32 0]
>> [r p k] = residue(numy,deny)
O resultado obtido é o seguinte:
r =
1
-2
1
p =
-8
-4
0
k =
[]
que se traduz em:](https://image.slidesharecdn.com/apostila20matlab-150520230752-lva1-app6892/85/Apostila-20-matlab-69-320.jpg)
![70
)8(
1
)4(
21
)(
+
+
+
−=
sss
sY
)21()( 84 tt
eety −−
+−= .
02) O movimento da massa, designado por )(ty , é descrito pela equação diferencial:
( ) ( ) ( ) ( )trtky
dt
tdy
b
dt
tyd
M =++
2
2
onde:
M = massa em kg,
b = forca de atrito (amortecimento viscoso),
k = constante de mola de uma mola ideal,
r = força em Newton.
A resposta dinâmica livre, )(ty , do sistema
)21(
21
)0(
)( θζω
ζω
ζ
+−
−
−
= tnsen
tne
y
ty
onde:
ζ = relação de amortecimento =
kM
b
2
ωn = freqüência natural do sistema =
M
k
e ζθ 1
cos−
= .
Fazendo-se )0(y = 0.15 m, M = 1kg, k = 2, para 1=b , simule no MATLAB para obter o
gráfico referente a resposta natural do sistema e verifique que a resposta é
subamortecida.
Solução:
>> y0 = 0.15;
>> wn = sqrt(2);
>> quisi = 1/(2*sqrt(2*1));
>> c1 = (y0/sqrt(1-quisi^2));
>> teta = acos(quisi);
>> t=[0:0.1:10];
>> c2 = exp(-quisi*wn*t);
>> c3 = sin(wn*sqrt(1-quisi^2)*t+teta);
>> y=c1*c2.*c3;
>> plot(t,y)](https://image.slidesharecdn.com/apostila20matlab-150520230752-lva1-app6892/85/Apostila-20-matlab-70-320.jpg)
![71
O gráfico da resposta natural do sistema obtido com o MATLAB para os parâmetros
dados é mostrado na Fig. 12.1.
Fig. 12.1: Saída gráfica tty ×)( para 0≥t .
03) Dada a função de transferência, obtenha o que se pede:
a) calcular zeros e pólos;
b) exibir a função de transferência;
c) obter o mapa dos zeros e pólos.
20030
7010
)(
2
++
+
=
ss
s
sG
Solução:
>> numg = [10 70];
>> zeros = roots(numg)
>> deng = [1 30 200]
>> polos = roots(deng)
>> tfout(numg,deng)
>> sys = zp(zeros,polos,1);
>> pzmap(sys)](https://image.slidesharecdn.com/apostila20matlab-150520230752-lva1-app6892/85/Apostila-20-matlab-71-320.jpg)
![72
04) Um sistema dinâmico linear é representado no espaço de estados pelas seguintes
equações matriciais:
DuCxy
BuAxx
+=
+=
Obtenha a representação no espaço de estados sob a forma de variáveis de fase das
seguintes funções de transferência usando a função tf2ss do MATLAB:
97
12
)(
21
++
+
=
ss
s
sT
Solução:
>> num=[2 1]
>> den=[1 7 9]
>> [A,B,C,D]=tf2ss(num,den)
As matrizes resultantes são:
A =
-7 -9
1 0
B =
1
0
C =
2 1
D =
0
05) Sejam as seguintes funções de transferência nos blocos em cascata:
)14)(2)(5(
)4)(2(
)(
−++
−−
=
sss
ss
sGR(s)
U(s)
Y(s)
2
500
1
)(
s
s
sH
+
=
Use a função series do MATLAB para transformá-las em uma só.](https://image.slidesharecdn.com/apostila20matlab-150520230752-lva1-app6892/85/Apostila-20-matlab-72-320.jpg)
![73
Solução;
>> n1=[1 -2]
>> n2=[1 -4]
>> ng=conv(n1,n2)
>> d1=[1 5]
>> d2=[1 2]
>> d3=[1 -14]
>> dg=conv(d1,conv(d2,d3))
>> nh=[1 1]
>> dh=[500 0 0]
>> [n,d]=series(ng,dg,nh,dh)
A função de transferência resultante dos dois blocos em cascata é a seguinte:
2345
23
70000440003500500
825
ssss
sss
−−−
++−
.
06) Analise a seqüência de comandos do MATLAB apresentada a seguir.
a) extraindo e inserindo
A = [ 1 3 4; -1 3 0; 6 -1 2]
C = [1 + i, 1 - i; 2i, 1 – i]
b = [1; 3; -1]
A(:,2)
A(1,:)
A(2,3)
M = [A,b]
M(end)
transpose(C) % diferente de C' se C for complexa
C'
A(3:6)
A(:,2) = [0; 0; 0] % insere o vetor da direita no lugar da
coluna 2](https://image.slidesharecdn.com/apostila20matlab-150520230752-lva1-app6892/85/Apostila-20-matlab-73-320.jpg)
![74
b) criando matrizes
>> D = ones(3)
>> Z = eye(3)
>> R = rand(3)
c) operações sobre matrizes e sobre elementos de matrizes
>> trace(A) % soma algébrica dos elementos da diagonal de A
>> [m,n] = size(A)
>> [L,U,P] = lu(A) % obtem a fatoração PLU de A
>> chol(A) % somente para matriz definida positiva
d) decomposição espectral
Y = [4+i, -1+i, -3-2i;-1+i, 3-i, -2+i;-3-2i, -2+i, 5+i]
[P,D] = eig(Y)
W = P*D*P^-1
Y-W
Z = inv(Y)
disp(' o produto tem que resultar na matriz identidade');
Z*Y
H = P^-1;
B = (D^-1)*H;
U = P*B
Z-U
07) Obtenha uma raiz da função unidimensional 1)( +−= −
xexf x
com estimativa inicial
8.0)0(
=x .
Solução:](https://image.slidesharecdn.com/apostila20matlab-150520230752-lva1-app6892/85/Apostila-20-matlab-74-320.jpg)
![75
>> fzero('exp(-x)-x+1',0.8) % obtem um zero da funcao
08) Dada a função de transferência
1
1
)(
)(
)(
+
==
ssR
sC
sT ,
determine a resposta do sistema ao degrau unitário,
s
sR 1)( = .
Solução:
>> clf
>> numg = [0 1];
>> deng = [1 1];
>> G = tf(numg,deng)
>> step(G)
>> title(' Amplitude versus tempo ')
pause
A resposta é como mostrada na Fig.12.2.
Fig. 12.2: Saída gráfica )(tc com entrada )()( tutr = , para 0≥t .](https://image.slidesharecdn.com/apostila20matlab-150520230752-lva1-app6892/85/Apostila-20-matlab-75-320.jpg)
![76
09) Obtenha 5 termos do desenvolvimento em Série de Taylor da função xxf cos)( = .
Solução:
>> syms x
>> taylor(cos(x),5)
ans =
1-1/2*x^2+1/24*x^4
10) Ao final de sua seção de trabalho no prompt salve-a com o comando save em um
arquivo com extensão .mat.
Solução:
>> save hoje.mat
Dessa forma,o comando save salva o workspace em um arquivo .mat.
Em seguida, utilize o comando clear all para limpar o conteúdo da memória. Através
do comando load hoje.mat é possível carregar o conteúdo da memória permitindo a
retomada do trabalho que estava sendo realizado.
11) Elabore um programa em arquivo .m que utilize a function do MATLAB.
Solução:
function [f] = fun2(a,b,x) % em arquivo .m separado
global f;
f = (b/a)*sqrt(a^2 - x.^2);
return;
% o conteudo a seguir em arquivo .m separado
global f;
a = input(' Valor de a: ');
b = input(' Valor de b: ');
N = input(' No. de simulacoes: ');
k = 0;](https://image.slidesharecdn.com/apostila20matlab-150520230752-lva1-app6892/85/Apostila-20-matlab-76-320.jpg)
![78
13 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01) Dada a matriz 33× , simétrica e definida positiva, −
−
=
610
141
016
A , e dado o vetor
de termos independentes,
−
=
2
1
1
b ,
a) use o comando chol(A)e obtenha a fatoração Cholesky da matriz A ;
b) verifique que CCA T
= usando o comando transpose;
c) a partir dos fatores Cholesky de A , calcule a solução T
xxxx ][ 321= de bAx = .
02) Dada a matriz literal 33× ,
−
−−
+
=
da
adaa
ada
A
0
0
, e dado o vetor de termos
independentes, também literal,
+
=
0
a
da
b , utilize os recursos da matemática simbólica
para obter a solução T
xxxx ][ 321= .
Primeiro aplique a função inv(A) para obter x . Em seguida, empregue as funções
simplify e pretty para melhorar a visualização da resposta.
03) Dados
−
−=
321
112
231
A e =
4
5
7
b , utilize o comando rref sobre a matriz
aumentada para obter forma escalonada reduzida e mostre que o sistema bAx = é
incompatível. Para maior clareza, sugere-se que, antes de empregar o comando rref,
declare os cálculos na forma de frações usando format rat.
04) Determine o zero da função transcendental xexf x
−= −4
)( utilizando a função
fzero com estimativa inicial 0.1. Confira no gráfico através de](https://image.slidesharecdn.com/apostila20matlab-150520230752-lva1-app6892/85/Apostila-20-matlab-78-320.jpg)
![79
>> ezplot('exp(-4*x)-x',0,1).
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
exp(-4*x)-x
05) Dada a equação diferencial 0)(2
)(
3
)(2
=++ tx
dt
tdx
dt
txd
, com 1)0( =x e 0
)0(
=
dt
dx
.
Utilize o comando dsolve para obter a solução )(tx . Em seguida, visualize o gráfico
da resposta obtida, )(tx , no intervalo 20 ≤≤ t .
06) Dados os binômios 1+x , 2−x e 4+x . Multiplique-os usando conv. A partir do
polinômio que resultou da multiplicação calcule as raízes usando roots.
07) Desejamos calcular a solução analítica do seguinte sistema de equações
=+
+=+
=+
1
)(21
1
22
2
22
ba
baxy
yx
.
Para tal, utilize o comando solve:
>> [b,x,y]=solve('x^2+y^2=1','1 +
2*x*y=(a + b)^2','a^2 + b^2=1').
As soluções esperadas são: ax = , by = ou ax −= , by −= .](https://image.slidesharecdn.com/apostila20matlab-150520230752-lva1-app6892/85/Apostila-20-matlab-79-320.jpg)
![80
[x,y] = meshgrid(-2:.2:2, -2:.2:2);
z = x .* exp(-x.^2 - y.^2);
[px,py] = gradient(z,.2,.2);
contour(z), hold on, quiver(px,py), hold off
08) Sabemos que a derivada primeira da função )()( xtgxf = é )(sec1 2
x
dx
df
+= , sendo
)cos(
1)sec( xx = . Verifique este fato usando o comando diff('sin(x)/cos(x)')
seguido logo após pelo comando simplify(ans).
09) Calcule a área sobe a curva da função
2
1
4
)(
x
xf
+
= no intervalo 10 ≤≤ x . Use o
comando int com limites de integração definidos.
10) No Curso de Cálculo Diferencial e Integral, o professor ensina que a seguinte
integral indefinida
)(
22 a
xtgarc
a
b
dx
xa
b
=
+
pode ser solucionada aplicando substituição trigonométrica. Comprove o resultado
mostrado anteriormente utilizando matemática simbólica e o comando int sem limites
de integração.
11) Utilize o comando pretty(diff(1/a*atan(x/a)*b,x)) e verifique que o
resultado do exercício 10 está correto.
12) Um importante conceito associado com a derivada de funções escalares
−n dimensionais é o gradiente. Digite a seqüência de instruções no prompt do
MATLAB:
Para entender melhor o que foi calculado com as instruções anteriores utilize
surf(x,y,z).](https://image.slidesharecdn.com/apostila20matlab-150520230752-lva1-app6892/85/Apostila-20-matlab-80-320.jpg)
![81
14 BIBLIOGRAFIA
[1] HANSELMAN, Duane e LITTLEFIELD, Bruce. "MATLAB 5 – Versão do Estudante,
Guia do Usuário”, Makron Books, São Paulo, 1999. 413 p. ISBN: 85-346-1058-4.
[2] ALVES, Antônio César Baleeiro. Notas de Aulas do Curso de Circuitos Elétricos da
EEEC/UFG.
[3] RESNICK, Robert e HALLIDAY, David, "Física 1," 3a
ed., Livros Técnicos e
Científicos Editora S.A., Rio de Janeiro, 1981, ISBN: 85-216-0076-3.
[4] CHAPMAN, S. J. “Programação em MATLAB para engenheiros”. Thomson Pioneira.
[5] MATSUMOTO, E. Y. "MATLAB 7”, Editora Érica.
[6] UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO (UERJ). “Curso de MATLAB
5.1: Introdução à solução de problemas de engenharia”. 2ª edição. 181p.
[7] VALLE, Walkíria Nascente. Notas de Aulas do Curso de Laboratório de Controle de
Processos do CMP/UCG.](https://image.slidesharecdn.com/apostila20matlab-150520230752-lva1-app6892/85/Apostila-20-matlab-81-320.jpg)
Apostila 20 matlab
- 1. UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS & UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS ESCOLA DE ENGENHARIA ELÉTRICA E DE COMPUTAÇÃO INTRODUÇÃO AO PROGRAMA "MATLAB" COM APLICAÇÕES Material elaborado por: Prof. Dr. Antônio César Baleeiro Alves (UCG/UFG) Prof. Dr. Enes Gonçalves Marra (UFG) Prof. Dr. José Wilson Lima Nerys (UFG) Goiânia – GO 2007
- 2. 2 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO 5 2 UTILIZANDO O MATLAB 9 2.1 INICIAR O PROGRAMA 9 2.2 PASTA DE TRABALHO 10 2.3 TELA DA LINHA DE COMANDO DO MATLAB 11 2.4 CRIAÇÃO DE ARQUIVOS NO MATLAB 11 2.5 LIMITAÇÕES DO MATLAB 13 3 OPERADORES, CONSTANTES E CARACTERES ESPECIAIS 14 3.1 OPERADORES ARITMÉTICOS 14 3.2 CARACTERES ESPECIAIS 16 3.3 OPERADORES LÓGICOS 18 3.4 OPERADORES RELACIONAIS 19 3.5 CONSTANTES OU VARIÁVEIS 19 3.5.1 INF 20 3.5.2 NAN 20 3.5.3 IEEE 20 3.6 RECURSOS DE APOIO DA TELA DE COMANDO DO MATLAB 20 3.6.1 MENU FILE 20 3.6.2 MENU EDIT 21 4 COMANDOS DE PROPÓSITO GERAL 22 4.1 COMANDOS DE INFORMAÇÃO 22 4.2 COMANDOS DE OPERAÇÃO COM A MEMÓRIA DA ÁREA DE TRABALHO (WORKSPACE) 23 4.3 COMANDOS DE OPERAÇÃO COM FUNÇÕES E COMANDOS 24 4.4 COMANDOS DE OPERAÇÃO COM O CAMINHO DE DIRETÓRIOS 25 4.5 COMANDOS DE OPERAÇÃO COM A JANELA DE COMANDO 26 4.6 COMANDOS DE OPERAÇÃO COM O SISTEMA OPERACIONAL 27 5 COMANDOS BÁSICOS PARA MANIPULAÇÃO DE MATRIZES 29 6 FUNÇÕES MATEMÁTICAS ELEMENTARES 32
- 3. 3 7 COMANDOS DE CONTROLE GRÁFICO 36 7.1 GRÁFICOS BIDIMENSIONAIS 36 7.2 GRÁFICOS TRIDIMENSIONAIS 38 8 OUTROS COMANDOS 39 8.1 FUNÇÕES LÓGICAS 39 8.2 FUNÇÕES DE CONTROLE DE FLUXO DE PROGRAMAÇÃO 40 8.3 FUNÇÕES DE CONTROLE DE BAIXO NÍVEL 44 8.4 FUNÇÕES ESPECIALIZADAS: MATEMÁTICAS, MATRICIAIS, ÁLGEBRA LINEAR 45 8.5 FUNÇÕES DE INTEGRAÇÃO, INTERPOLAÇÃO E TRATAMENTO DE DADOS 45 8.6 FUNÇÕES DE CONTROLE DE CORES, IMAGENS E CARACTERES 45 9 PROGRAMANDO EM ARQUIVOS .M 46 9.1 EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DE PROGRAMA '.M' 46 10 MATEMÁTICA SIMBÓLICA 51 10.1 USO DA MATEMÁTICA SIMBÓLICA 56 10.2 GRÁFICOS EM DUAS DIMENSÕES 57 10.3 GRÁFICOS EM TRÊS DIMENSÕES 58 11 SIMULINK 60 12 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 69 13 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 78 14 BIBLIOGRAFIA 81
- 4. 4
- 5. 5 1 INTRODUÇÃO O MATLAB (abreviatura de Matrix Laboratory) é um programa para desenvolvimento e implementação de algoritmos numéricos ou simbólicos que oferece ao usuário um ambiente interativo de programação para estudo e pesquisa nas diversas áreas das ciências exatas. Esse sistema comporta os recursos de linguagem procedural de programação assemelhados aos do FORTRAN, ANSI C e do Pascal, além de capacidade gráfica e a possibilidade de operar com instruções simbólicas. Um dos aspectos mais poderosos é o fato da linguagem MATLAB permitir construir suas próprias ferramentas reutilizáveis. Isto é feito através da escrita de suas próprias funções e programas especiais conhecidos como arquivos .m. A primeira versão do MATLAB foi escrita nas Universidades do Novo México e Stanford, na década de 1970, e destinava-se a cursos de teoria matricial, álgebra linear e análise numérica. Os pacotes para manipulação de sub-rotinas em FORTRAN, denominados LINPACK e EISPACK, foram os precursores do MATLAB. O MATLAB tem evoluído continuamente, com a contribuição e sugestões de inúmeros usuários. No meio universitário, o MATLAB tornou-se quase que uma ferramenta padrão em cursos introdutórios e avançados de Álgebra Aplicada, Processamento de Sinais, Sistemas de Controle, Estatística e inúmeras outras áreas do conhecimento. O MATLAB contempla ainda uma grande família de aplicações específicas, as quais são denominadas Toolboxes (caixas de ferramentas), como ilustrado na Fig. 1.1. Estes Toolboxes são conjuntos abrangentes de funções MATLAB cujo objetivo é resolver problemas de áreas específicas, tais como: Processamento de Sinais, Projeto de Sistemas de Controle, Simulação Dinâmica de Sistemas, Identificação de Sistemas, Redes Neuronais, Lógica Fuzzy (nebulosa ou difusa), Otimização de Sistemas, Wavelets, Cálculo Simbólico, e outras áreas. Os usos típicos incluem: • Cálculos matemáticos; • Desenvolvimento de algoritmos; • Modelagem, simulação e confecção de protótipos; • Análise, exploração e visualização de dados; • Gráficos científicos e de engenharia;
- 6. 6 • Desenvolvimento de aplicações, incluindo a elaboração de interfaces gráficas com o usuário Fig. 1.1: Diagrama de Blocos do MATLAB A Fig. 1.1 ilustra alguns componentes do sistema MATLAB. Cabe ressaltar, entretanto, que vários Toolboxes estão disponíveis e a cada nova versão do MATLAB novos Toolboxes são adicionados, incluindo as contribuições de usuários espalhados pelo mundo. O SIMULINK é um acessório que possui bibliotecas adicionais de blocos para aplicações especiais como comunicações e simulações de circuitos elétricos e eletrônicos. O MATLAB é disponibilizado para praticamente todos os sistemas operacionais atualmente em uso: Macintosh, Windows 95 e NT, Linux, UNIX da Sun, IBM e Open VMS. A empresa MathWorks é quem negocia/distribui o MATLAB. Seus endereços são: Internet: http://www.mathworks.com Telefone (ligação para os EUA): 00-1-508-647-7000 Toolbox Toolbox SIMULINK Biblioteca numérica Linguagem de programação DepuradorEditor de textos
- 7. 7 Para um contato com vistas ao uso do programa na área educacional, tente o endereço: A necessidade de utilizar um sistema de computação numérica, e a familiarização com os comandos e as funções do MATLAB vão gradualmente aumentando o potencial de quem programa em MATLAB. No entanto, a bibliografia existente pode ser de grande auxílio. Parte desta bibliografia é editada pela The MathWorks, como por exemplo: • MATLAB User’s Guide (Guia do usuário do MATLAB); • MATLAB Reference Guide (Guia de referência do MATLAB); • External Interface Guide (Guia de comunicação externa); • Installation Guide (Guia de Instalação); • SIMULINK User’s Guide (Guia do usuário do SIMULINK); • Online Help (Sistema de auxílio do programa MATLAB). Inúmeras outras referências podem ser encontradas para o MATLAB, para isto basta procurar nas diversas editoras disponíveis no mercado. Algumas destas referências (em português) para a área de controle podem ser: • Katsuhiko Ogata, Solução de Problemas de Engenharia de Controle com MATLAB. Prentice-Hall do Brasil, Rio de Janeiro, 1997, 330p. • Katsuhiko Ogata, Projeto de Sistemas Lineares com MATLAB. Prentice-Hall do Brasil, Rio de Janeiro, 1996, 202p. Na internet existem diversas listas de discussão a respeito do MATLAB. Inscrever-se em uma destas lista pode ser uma boa fonte de informação a respeito do MATLAB. Na página da The MathWorks Inc. é possível obter informação sobre The MathWorks, Inc. University Sales Department 24 Prime Park Way Natick, Massachusetts 01760-1500 Telefone: 00-1-508-647-7000 E-mail: info@mathworks.com
- 8. 8 algumas destas listas, bem como sobre o próprio MATLAB. O endereço desta página é: http://www.mathworks.com. Os endereços eletrônicos a seguir podem ser também utilizados para saber mais sobre o MATLAB: • Perguntas técnicas: tech@mathworks.com • Sugestões de melhoria: suggest@mathworks.com • Bug (erros) do MATLAB: bugs@mathworks.com • Erros nos manuais: doc@mathworks.com • Registro de produto (após a compra): register@mathoworks.com • Renovação de licença: service@mathworks.com • Compra, cotação e informações comerciais: info@mathworks.com
- 9. 9 2 UTILIZANDO O MATLAB O programa MATLAB pode ser executado em diversos sistemas operacionais, tais como: MS-DOS; Windows-95 ou superior; Unix; Linux; VAX/VMS; Solaris; X- Window System; Macintosh; e outros. Este curso está preparado para ser ministrado no sistema MS-DOS/Windows3.1x ou superior. No entanto, apenas o início do programa e as funções de baixo nível são afetados pelo tipo de máquina e sistema operacional utilizados. 2.1 Iniciar o Programa O programa MATLAB pode ser iniciado com um duplo clique no ícone do MATLAB na área de trabalho do windows (desktop), conforme indica a Fig. 2.1. Fig. 2.1: Ícone do MATLAB. Outra forma de iniciar o MATLAB é através do menu INICIAR do Windows95 ou superior. Seleciona-se: INICIAR / PROGRAMA / MATLAB. Os arquivos executáveis do MATLAB estão no diretório de instalação do MATLAB, no subdiretório “BIN”. O programa MATLAB é iniciado quando o arquivo MATLAB.exe, do subdiretório “BIN” é executado. Ao iniciar, o MATLAB invoca o arquivo “MATLABrc”, o qual é o arquivo de configuração inicial do MATLAB. Este arquivo pode estar no subdiretório “BIN”, ou no subdiretório “LOCAL”, ou ainda no subdiretório “...TOOLBOXLOCAL”. Isto dependerá da versão do MATLAB utilizada, ou da forma como o programa foi instalado. Durante o processo de início do programa, o arquivo “MATLABrc” estabelece o tamanho padrão de figuras, configurações, caminhos e parâmetros de controle do MATLAB. Neste
- 10. 10 arquivo pode-se incluir mensagens para os usuários, lembretes, ajustar configurações, etc. Ao ser executado, o arquivo “MATLABrc” verifica se existe um arquivo denominado “startup.m” no caminho padrão do MATLAB. Este arquivo “startup.m” pode ser empregado pelo usuário para configurar um caminho de sua preferência e executar comandos de sua escolha, sempre que o programa MATLAB for iniciado. Todos os arquivos de comando do MATLAB (arquivos que contém comandos) têm extensão “m”. Portanto, daqui por diante as referências aos arquivos do MATLAB serão feitas apenas pelo nome, fica implícito que a extensão sempre será “m”. Todos os arquivos de comando do MATLAB têm extensão “m” Uma sessão do programa MATLAB pode ser terminada com o comando “quit”; com as teclas de atalho ctrl+q; selecionando-se a opção “Exit MATLAB” (“Sair do MATLAB”) no menu “File” (“Arquivo”); ou ainda, clicando-se no botão fechar na tela da área de trabalho do MATLAB. Botão fechar do MATLAB: 2.2 Pasta de Trabalho Uma boa prática de utilização do MATLAB é manter todos os arquivos criados pelo usuário em uma pasta (ou diretório) próprio do usuário. Caso esta prática não seja adotada todos os arquivos criados serão armazenados no diretório “BIN” do diretório de instalação do MATLAB. Com o passar do tempo, à medida em que aumentam os arquivos criados pelos usuários, torna-se impossível identificar-se quais arquivos são próprios do MATLAB, e quais arquivos são arquivos do usuário. Isto pode ser ainda mais prejudicial no caso de utilização do MATLAB em ambientes de rede LAN. Nestes casos, a desordem causada nos arquivos do diretório “BIN” pode requerer até mesmo uma nova instalação do programa. Recomenda-se que o usuário crie a sua própria pasta de trabalho, fora da pasta de instalação do MATLAB (por exemplo, “c:fulanoMATLAB”). Ao iniciar o MATLAB, o usuário poderá redefinir a sua pasta de trabalho com o comando “cd”.
- 11. 11 cd Propósito: muda o diretório de trabalho Sintaxe: cd ou cd nome_do_diretorio Descrição: cd isoladamente imprime o caminho do diretório de trabalho na tela; cd diretório define a cadeia de caracteres (string) nome_do_diretorio como o novo diretório de trabalho. cd .. sobe um nível na hierarquia da cadeia de diretórios (pasta) Exemplo: cd c:usuariomarisamatab. Se o comando cd for parte integrante do arquivo “startup”, toda vez que o MATLAB for iniciado o diretório de trabalho será redefinido conforme a preferência do usuário. 2.3 Tela da Linha de Comando do MATLAB A tela da linha de comando do MATLAB (ou workspace) é a tela na qual o usuário recebe o sinal de pronto (prompt) do sistema MATLAB, podendo executar comandos MATLAB, escrevendo-os na linha de comando (ou command line). Na tela da linha de comando, o usuário fornece dados aos comandos do MATLAB, executa comandos, recebe os dados de saída do programa MATLAB, controla o fluxo de dados, inicia o modo de edição de arquivos, executa comandos gráficos, ou seja, interage com o programa MATLAB. Ao criar funções, comandos e variáveis no programa MATLAB é importante estar atento para o fato de que este programa é sensível a caracteres maiúsculos e minúsculos, portanto a variável “xqualquer” é diferente da variável “Xqualquer” para o MATLAB. O programa MATLAB é sensível a caracteres maiúsculos e minúsculos 2.4 Criação de Arquivos no MATLAB Existem basicamente duas formas de trabalhar no sistema MATLAB: 1) executando-se comando na linha de comando; ou 2) criando-se um arquivo de comandos do MATLAB.
- 12. 12 Para trabalhar na linha de comando do MATLAB basta digitar qualquer comando válido do MATLAB na linha de comando. Assim, é possível criar variáveis, executar comandos, visualizar gráficos, etc. Muitas vezes é necessário executar um número grande de comandos, e repeti-los sistematicamente. Nestes casos, utilizam-se os arquivos de lote, ou arquivos de comandos MATLAB. Conforme já citada anteriormente, a extensão de arquivos de comando do MATLAB é “m”. O MATLAB busca primeiramente o arquivo de comandos no seu diretório de trabalho (pasta) e posteriormente no seu caminho (path). Portanto, é necessário que o arquivos MATLAB esteja no diretório de trabalho ou no caminho do MATLAB. Os arquivos de comando do MATLAB devem estar no diretório de trabalho ou no caminho (path) para serem reconhecidos e executados Os arquivos do MATLAB podem ser criados através de qualquer editor que salva textos no formato ASCII (por exemplo bloco de notas, notepad, write, word, etc). Uma vez editados os arquivos devem ser gravados com extensão “m” antes de serem executados. Os arquivos MATLAB podem ser abertos ou criados através da opção arquivo (file), escolhendo-se a opção novo (new) ou abrir (open), conforme indicado na Fig. 2.2. Fig. 2.2: Criação de arquivos de comandos no MATLAB.
- 13. 13 O MATLAB já possui uma pré-definição de qual é o editor ASCII a ser utilizado na edição do arquivo de comandos. Esta pré-definição pode se modificada pelo próprio usuário do programa. As versões mais recentes do MATLAB já possuem um editor ASCII próprio do MATALAB, desenvolvido pela The MathWorks Inc. Exercício sugerido: criar um arquivo de comando denominado “caminho.m” que estabelece o diretório de trabalho do MATLAB. 2.5 Limitações do MATLAB As principais limitações do programa MATLAB são: 1) a execução de algoritmos em MATLAB é mais lenta que em linguagens de programação (C, Fortran, LISP, etc); 2) alguns procedimentos gráficos e de interação com o usuário são restritos aos comandos do MATLAB; 3) não é possível gerar arquivos executáveis com o MATLAB, ou seja, um arquivo MATLAB só poderá ser executado no ambiente MATALAB; e 4) o MATLAB é limitado para processamento de expressões matemáticas analíticas. Os principais concorrentes do MATLAB no mercado são o MATHEMATICA, o MATCAD e o MAPLE. Alguns destes programas apresentam melhor capacidade de processamento matemático analítico que o MATLAB, notadamente o MATCAD e o MATHEMATICA. um arquivo MATLAB só poderá ser executado no ambiente MATLAB
- 14. 14 3 OPERADORES, CONSTANTES E CARACTERES ESPECIAIS 3.1 Operadores aritméticos Operador + Propósito: executar soma de matrizes ou escalares. Sintaxe: v1+v2 ou plus(v1,v2). Descrição: Invoca a função PLUS. Caso seja soma de matrizes, as dimensões das matrizes devem ser iguais. Escalares podem ser somados com qualquer tipo de variável. Exemplos: a+b; plus(a,b); a+2. Operador - Propósito: executar subtração de matrizes ou escalares. Sintaxe: v1-v2 ou minus(v1,v2). Descrição: Invoca a função minus. Caso seja subtração de matrizes, as dimensões das matrizes devem ser iguais. Escalares podem ser subtraídos de qualquer tipo de variável. Exemplos: a-b; minus(a,b); a-2. Operador * Propósito: executar soma de matrizes ou escalares. Sintaxe: v1*v2 ou mtimes(v1,v2). Descrição: Invoca a função mtimes. Caso seja multiplicação de matrizes, o número de colunas da matriz v1 deve ser igual ao número de linhas da matriz v2. Escalares podem multiplicar qualquer tipo de variável. Exemplos: a*b (neste caso, o número de colunas de a é igual ao número de linhas de b); mtimes(a,b); a*2. Operador ^ (circunflexo) Propósito: executar potenciação de matrizes quadradas com expoente escalar ou de de escalares com matriz quadrada no expoente. Sintaxe: v1^v2 ou mpower(v1,v2).
- 15. 15 Descrição: Invoca a função mpower. Caso v1 seja matriz quadrada e v2 seja um inteiro, é realizada a multiplicação sucessiva das matrizes. Caso v1 seja matriz e v2 seja um real, ou ainda se v1 é um escalar e v2 uma matriz, é realizado o cálculo através dos autovalores e dos autovetores da matriz. Se v1 e v2 forem ambos matrizes, ou ainda se v1 ou v2 forem matrizes não quadradas, então haverá erro. Exemplos: a^b ou mpower(a,b) (neste caso, a é escalar e b é matriz quadrada; ou a é matriz quadrada e b é escalar; ou a e b são escalares). Operador / Propósito: executar divisão de escalares ou a multiplicação de uma matriz inversa por outra matriz (importante: na matemática não existe divisão de matrizes). É a chamada divisão direita. Sintaxe: v1/v2 ou mrdivide(v1,v2). Descrição: Invoca a função mrdivide. Esta operação é equivalente a v1*v2-1 (sendo v2-1 a matriz inversa da matriz v2). Para que esta operação seja possível é necessário que v2 seja inversível, ou seja, matriz não-singular (matriz quadrada com determinante não-nulo). Exemplos: a/b ou mrdivide(a,b). Operador Propósito: executar divisão de escalares ou a multiplicação de uma matriz inversa por outra matriz. É a chamada divisão esquerda. Sintaxe: v1v2 ou mldivide(v1,v2) Descrição: Invoca a função mldivide. Esta operação é equivalente a v1-1 * (sendo v1-1 a matriz inversa da matriz v1). Para que esta operação seja possível é necessário que v1 seja inversível, ou seja, matriz não-singular (matriz quadrada com determinante não-nulo). Observe que na álgebra matricial a multiplicação não é comutativa, ou seja a*b é diferente de b*a, portanto a/b equivale a a*b-1 , que por sua vez é diferente de ba, equivalente a b-1 *a. O operador executa a fatoração QR da matriz A ao resolver o sistema bAx = , para A de ordem nm× , para m não necessariamente igual a n .
- 16. 16 Exemplos: ab ou mldivide(a,b). Na matemática não existe operação de divisão com matrizes. Os operadores / e são apenas símbolos. A multiplicação na álgebra matricial não é comutativa, ou seja, a*b é diferente de b*a. Operador ‘ Propósito: executar a transposição de matrizes ou a declaração de uma cadeia de caracteres (string). Sintaxe: v1’ ou v2=’bom dia’ Descrição: v1’ produz a matriz v1*T (matriz transposta conjugada da matriz v1, troca de linhas por colunas dos conjugados dos números complexos da matriz v1). v2=’bom dia’ cria uma variável do tipo string, onde cada caractere ocupa 2 bytes na memória. Exemplos: a’*b ou salutation=’Hello!’. Cada caractere ocupa 2 bytes de memória RAM nas variáveis tipo string. Cada variável real (float) ou inteira ocupa 8 bytes de memória. Em uma matriz de strings, a área de memória ocupada em bytes, 2 vezes, o número de caracteres. Em uma matriz de reais ou inteiros, a área de memória ocupada, em bytes, é 8 vezes o número de elementos da matriz. 3.2 Caracteres Especiais caracter . Propósito: executar operações elemento-a-elemento (operações algébricas escalares (/,,^,*,’), não-matriciais); indexar campos em estruturas; ou ponto decimal. Sintaxe: a.*a; a./b; c.f; x.^2; x.^y para operações algébricas; ou est.campo Descrição: a.*b multiplica o elemento a(i,j) pelo elemento b(i,j). a.’.
- 17. 17 v1.opv2 executa a operação op de cada elemento de v1 com seu elemento correspondente em v2. No caso de operação entre matrizes, as matrizes devem possuir exatamente as mesmas dimensões. A operação com escalar pode ser realizada com matriz de qualquer dimensão. a.’ é a matriz transposta não conjugada da matriz a. est.camp seleciona o campo ‘camp’ da estrutura ‘est’. Exemplos: 2.^x é diferente de 2^x; x.*x é diferente de x*x. auto.peujeot seleciona o campo peujeot da estrutura auto. O caractere . produz a operação elemento-a-elemento entre matrizes com exatamente a mesma dimensão ou entre escalares e matrizes. caracter : Propósito: Criar varredura limitada pelos números à direita e à esquerda de :. Sintaxe: j:k; j:d:k. Descrição: j:k é o mesmo que [j j+1 j+2 ... k], j:k é vazio se k<j. j:d:k é o mesmo que [j j+d j+2*d ... k], j:d:k é vazio se k<j. d pode ser negativo, mas neste caso k deve ser menor que j. Exemplos: 1:10; 0:5:100; 100:-5:0. caracter = Propósito: executa atribuições Exemplos: x=[1 2 3; 4.5 6 7.5]; caracter , Propósito: separar elementos em uma matriz; indexar matrizes; separar argumento de uma função; separar comando em uma linha com vários comandos. Exemplos: 2*a(2,3); plot(x,y); x(i,j); mat=[a, b, c]; clear, disp(‘memória limpa’). caracter ; Propósito: usado em declaração de matrizes para separar linhas; ou usado para omitir a apresentação do resultado de uma operação na tela. Exemplos: x=[1 2 3; 9 8 7]; a=2+3;
- 18. 18 caracter ! Propósito: invoca comando do sistema operacional. Exemplos: ! mkdir novo. caracter % Propósito: torna o texto à direta de % um comentário. Exemplos: x=[1 2 3; 4.5 6 7.5]; %cria matriz x. caracteres .. Propósito: representa o primeiro diretório na hierarquia de diretórios. Exemplos: cd .. sobe um diretório na hierarquia. caracteres ... (três ou mais pontos) Propósito: representa continuação de linha. Exemplos: a=2+... 3 é o mesmo que a=2+3. caracteres ( ) Propósito: indicam precedência em operações matemáticas ou indexam matrizes. Exemplos: (a+b)^c, a soma é realizada antes da potenciação; x(3) é o terceiro elemento do vetor x; x([1 2 3]) são os três primeiros elementos do vetor x. caracter { } Propósito: são utilizadas para formar estruturas (conjunto de células), onde cada célula pode ser outra estrutura, uma matriz ou uma string. Funciona como os [ ], porém seus elementos podem ser outras matrizes. Podem também ser utilizadas para indexar estruturas e dar acesso aos seus campos. Exemplo: l={‘isto’ ‘é’ ‘uma’ ‘matriz linha:’ [1 2 24]}, l é uma estrutura com 5 campos. 3.3 Operadores Lógicos caracteres & | ~
- 19. 19 Propósito: realizam as operações lógicas e, ou e negação com os operadores &, | e ~, respectivamente. Sintaxe: a&b; A|c; ~d; os operandos a,b,c,d,A podem ser números reais (float), complexos (utiliza o módulo) ou strings (utiliza o valor da tabela ASCII). No MATLAB, 0 é considerado falso, e qualquer outro valor não-nulo é verdadeiro. O resultado destas operações será verdadeiro (1) ou falso (0). Exemplos: 5&-3 resulta em 1; ~10 resulta em 0; ‘alfa’|0 resulta em [1 1 1 1]. 3.4 Operadores relacionais caracteres < <= > >= == ~= Propósito: realizam as operações de comparação de valores lógicos do tipo menor, menor igual, maior, maior igual, igual e diferente com os operadores < <= > >= == ~=, respectivamente. O resultado é um valor lógico verdadeiro (1) ou falso (0). Sintaxe: v1opv2 testa o valor lógico v1 em relação ao valor lógico v2, com a operação relacional op. Exemplos: 3<4 resulta em 1; 3==4 resulta em 0; a>=b verifica se a é maior ou igual a b, resultando verdadeiro (1) ou falso (0). 3.5 Constantes ou Variáveis Alguns caracteres são constantes definidos pelo MATALAB. Estes valores podem ser alterados temporariamente através de atribuição. Constante pi Definição: é a constante π (3,1416...) Constantes i e j Propósito: caracteres reservados com a unidade imaginária 1− . Sintaxe: número seguido de i ou j, ou multiplicado por i ou j. Exemplos: 5+3i ou 5+3*i; 5+3j ou 5+ 3*j. ans
- 20. 20 Definição: é uma variável cujo valor é o resultado da última operação aritmética realizada pelo MATLAB. Operações de atribuição não são armazenadas em ans. Abreviatura para answer. 3.5.1 Inf Definição: é o resultado de uma operação aritmética cujo valor ultrapassa a maior capacidade de representação do MATALAB. Por exemplo, divisão por zero, ou 1.7977e+308^ 1.7977e+308. Abreviatura para infinite. 3.5.2 NaN Definição: é o resultado de uma operação aritmética indeterminada. Por exemplo, 0/0 Abreviatura para Not a Number. 3.5.3 ieee Definição: verifica se o computador em que o MATLAB está sendo executado possui aritmética padrão IEEE. Os computadores IBM-PC e compatíveis, Macintosh, estações UNIX e Linux possuem aritmética padrão IEEE. Os computadores VAX e Cray normalmente não utilizam aritmética IEEE. A função retorna 1 se o computador tem aritmética IEEE; caso contrário, retorna 0. Examine também: eps; isnan; isinf; isfinite; flops. 3.6 Recursos de Apoio da Tela de Comando do MATLAB A tela de comando do programa MATLAB apresenta uma série de recursos que podem auxiliar o usuário. Entre estes recursos destacam-se: 3.6.1 Menu File
- 21. 21 Neste Menu é possível abrir um arquivo MATLAB já existente (open); iniciar um novo arquivo com extensão m (new), através do editor ASCII do MATLAB; executar um arquivo com comandos MATLAB (run script); imprimir arquivos e seleções (print e print selection); carregar variáveis de um arquivo (load workspace); salvar variáveis do workspace (área de trabalho) em um arquivo; monitorar a memória da área de trabalho (show workspace); redefinir o caminho de diretórios do MATLAB (set path); alterar as configurações da área de trabalho, tais como cor de fundo, formato de variáveis, etc (preferences). 3.6.2 Menu Edit Aqui é possível cortar (cut), copiar (copy), colar (pate), limpar a tela da sessão de trabalho (clear session). Botões de Auxílio: 1o botão da figura: Voltar - cancela a última alteração; 2o botão da figura: Workspace browser - monitora as variáveis e a memória da área de trabalho; 3o botão da figura: Path browser - monitora e redefine os diretórios do caminho do MATLAB; 4o botão da figura: SIMULINK - invoca o programa SIMULINK; 5o Ajuda em tempo real - fornece auxílio para todos os comandos do MATLAB (invoca a função helpwin). A ordem destes botões pode ser alterada pelo usuário do MATLAB.
- 22. 22 4 COMANDOS DE PROPÓSITO GERAL 4.1 Comandos de Informação help Propósito: Ajuda em tempo real (on-line). O texto é apresentado na tela da linha de comando. Sintaxe: help nome-da-função. Descrição: fornece informações sobre a função especificada pelo nome-da- função. Exemplo: help plot. helpwin Propósito: Ajuda em tempo real (on-line). O texto é apresentado em uma janela de navegação separada. Sintaxe: helpwin. Descrição: é aberta um janela com opções para escolha do nome e categoria da função. ver Propósito: informa as versões do MATLAB, SIMULINK e toolboxes. Sintaxe: ver version Propósito: informa as versões do MATLAB Sintaxe: version demo Propósito: executa programas de demonstração desenvolvidos em ambiente MATLAB. Sintaxe: demo. whatsnew Propósito: Ajuda em tempo real (on-line). O texto é apresentado em uma janela de navegação separada.
- 23. 23 Sintaxe: whatsnew tipo-de-função. Descrição: apresenta as atualizações dos comandos tipo-de-função na tela da linha de comando. Exemplo: whatsnew MATLAB; whatsnew general. bench Propósito: executa um conjunto de funções MATLAB com a finalidade de avaliar o desempenho do processador atual utilizado em relação a outros processadores. Sintaxe: bench. 4.2 Comandos de Operação com a Memória da Área de Trabalho (workspace) who Propósito: lista as variáveis atuais. Sintaxe: who. whos Propósito: lista as variáveis atuais, suas dimensões e memória que cada uma ocupa. Sintaxe: whos. clear Propósito: limpa completamente a memória, função ou variável. Sintaxe: clear; clear arg. Descrição: clear limpa toda a memória da área de trabalho; clear arg exclui a função ou variável arg da memória da área de trabalho. Exemplo: clear; clear x1. pack Propósito: desfragmenta a memória da área de trabalho. Descrição: pack reúne todas as variáveis em um segmento ou páginas adjacentes na memória RAM com a finalidade de otimizar o uso da memória. Sintaxe: pack.
- 24. 24 save Propósito: salva as variáveis da memória da área de trabalho em arquivo. Sintaxe: save fname; save fname v1 v2 ... vn. Descrição: save fname salva todas as variáveis da área de trabalho no arquivo cujo nome e caminho são descritos em fname. save fname v1 v2 ... vn salva apenas as variáveis v1, v2 e vn. Exemplo: save a:hoje; save c:MATLABarq x y. load Propósito: carrega as variáveis de um arquivo para a memória da área de trabalho. Sintaxe: load fname; load fname v1 v2 ... vn. Descrição: load fname carrega todas as variáveis do arquivo cujo nome e caminho são descritos em fname para a memória da área de trabalho. laod fname v1 v2 ... vn carrega apenas as variáveis v1, v2 e vn. Exemplo: load a:hoje; load c:MATLABarq x y. quit Propósito: encerra a sessão de trabalho do MATLAB Sintaxe: quit. 4.3 Comandos de Operação com Funções e Comandos what Propósito: lista os nomes de arquivos de funções e comandos de um grupo específico do MATLAB. Sintaxe: what nome; var=what(‘nome’). Descrição: what nome lista todos os arquivos e funções do grupo descrito por nome. var=what(‘nome’) cria uma estrutura cujos campos descrevem os diversos arquivos relacionados com o grupo definido por nome. Exemplo: what general; w=what(‘signal’). type Propósito: lista o conteúdo de um arquivo de comandos do MATLAB. Sintaxe: type arq.
- 25. 25 Exemplo: type multi.m; type c:MATLABmarisaxtudo.m. edit Propósito: edita arquivo do MATLAB Sintaxe: edit; edit arq. Descrição: somente edit inicia a edição de um novo arquivo; edit arq abre a edição de um arquivo arq já existente. Exemplo: edit; edit figs.m. lookfor Propósito: busca a palavra-chave em todos os arquivos contidos no caminho do MATLAB. Sintaxe: lookfor palavra. Descrição: procura, em todos os arquivos do caminho, a palavra-chave contida na string palavra, e lista o nome dos arquivos nos quais existe a palavra-chave. Exemplo: lookfor matrix. Examine também os comandos: which; pcode; inmem; mex. 4.4 Comandos de Operação com o Caminho de Diretórios path Propósito: verifica ou define o caminho de diretórios. Sintaxe: path; path=caminho; v=path. Descrição: path lista na tela da linha de comando o caminho atual. path=caminho define o caminho atual como sendo a string contida em caminho. v=path carrega a string correspondente ao caminho atual em v. Exemplo: path; path=’c:usuarioMATLAB’; p1=path. addpath Propósito: adiciona diretórios ao caminho. Sintaxe: addpath nome. Descrição: adiciona o diretório descrito na string nome ao caminho atual. Exemplo: addpath ‘c:userpink’.
- 26. 26 rmpath Propósito: remove diretórios do caminho. Sintaxe: rmpath nome. Descrição: remove o diretório descrito na string nome ao caminho atual. Exemplo: rmpath ‘c:userpink’. Examine também os comandos: editpath. 4.5 Comandos de Operação com a Janela de Comando echo Propósito: habilita ou inibe a apresentação dos resultados de comando de um arquivo MATLAB na linha de comando. Sintaxe: echo on; echo off. Descrição: echo on habilita a apresentação e echo off desabilita. more Propósito: habilita ou inibe a paginação do texto na tela de comandos. Sintaxe: more on; more off. Descrição: echo on habilita a paginação e echo off desabilita. diary Propósito: salva todo o texto da sessão de trabalho em arquivo Sintaxe: diary on; diary off; diary(nome). Descrição: após diary on todo texto que aparece na janela de comando é também enviado para um arquivo nomeado automaticamente pelo MATLAB. diary off interrompe o salvamento em arquivo. diary(nome) salva o texto da janela de comando no arquivo cujo nome é descrito pela string nome. Exemplo: diary on; diary off; diary(‘31-8-00’). format Propósito: determina o formato no qual os dados serão expressos na janela de comando. Sintaxe: format opção.
- 27. 27 Descrição: expressa os dados conforme opção. opção: 1) short ou em branco: formato ponto decimal com 5 dígitos; 2) long: formato ponto decimal com 15 dígitos; 3) short e: formato ponto flutuante com 5 dígitos; 4) long: formato ponto flutuante com 15 dígitos; 5) short g: o MATALAB seleciona entre o formato ponto decimal com 5 dígitos ou ponto flutuante com 5 dígitos; 6) long g: o MATALAB seleciona entre o formato ponto decimal com 15 dígitos ou ponto flutuante com 15 dígitos; 7) hex: hexadecimal; 8) +: apresenta o sinal + ou – para os valores; 9) bank: formato bancário com $ e centavos; 10) rat: aproxima para a fração mais próxima do valor a ser expresso. 4.6 Comandos de Operação com o Sistema Operacional cd Propósito: altera o diretório de trabalho atual. Sintaxe: cd diretório. Exemplo: cd c:MATLABusuario. pwd Propósito: exibe o diretório de trabalho atual. Sintaxe: pwd. dir Propósito: lista os arquivos do diretório atual. Sintaxe: dir. delete Propósito: exclui arquivo do diretório. Sintaxe: delete arq. Exemplo: delete tarefa.m. dos Propósito: executa comando do MS-DOS. Sintaxe: dos comando. Exemplo: dos copy a:antigo.m a:novo.m.
- 28. 28 computer Propósito: definir o tipo de computador em uso. Sintaxe: computer. Descrição: retorna uma string com o tipo do computador em uso. web Propósito: abrir página na internet ou arquivo html com o browser padrão do sistema. Sintaxe: web arquivo; web endereço. Exemplo: web c:paginasinfo.htm; web http://www.mathworks.com. Examine também os comandos: getenv; unix; vms; realmax; realmin; clock; cputime; date; etime; tic; toc.
- 29. 29 5 COMANDOS BÁSICOS PARA MANIPULAÇÃO DE MATRIZES zeros Propósito: cria uma matriz esparsa (composta de zeros). Sintaxe: zeros(n); zeros(n,m); zeros(size(a)); Descrição: zeros(n) cria uma matriz quadrada composta de zeros; zeros(n,m) cria uma matriz n por m composta de zeros; zeros(size(a)) cria um matriz com as mesmas dimensões da matriz a, composta de zeros. Exemplo: zeros(4); zeros(2,3); zeros(size(a)). ones Propósito: cria uma matriz com elementos iguais a 1. Sintaxe: ones(n); ones(n,m); ones(size(a)); Descrição: ones(n) cria uma matriz quadrada composta de elementos iguais a 1; zeros(n,m) cria uma matriz n por m composta de elementos iguais a 1; zeros(size(a)) cria um matriz com as mesmas dimensões da matriz a, composta de elementos iguais a 1. Exemplo: ones(4); ones(2,3); ones(size(a)). eye Propósito: cria uma matriz identidade ou matriz com diagonal 1. Sintaxe: eye(n); eye(n,m); ones(size(a)); Descrição: eye(n) cria uma matriz quadrada composta de elementos iguais a 1 na diagonal principal e demais elementos nulos; eye(n,m) cria uma matriz n por m composta de elementos iguais a 1 na diagonal principal e demais elementos nulos; eye(size(a)) cria um matriz com as mesmas dimensões da matriz a, composta de elementos iguais a 1 na diagonal principal e demais elementos nulos. Exemplo: eye(4); eye(2,3); eye(size(a)). rand Propósito: cria uma matriz com elementos gerados aleatoriamente. Sintaxe: rand(n); rand(n,m); rand(size(a));
- 30. 30 Descrição: rand(n) cria uma matriz quadrada composta de elementos gerados aleatoriamente; rand(n,m) cria uma matriz n por m composta de elementos gerados aleatoriamente; rand(size(a)) cria um matriz com as mesmas dimensões da matriz a, composta de elementos gerados aleatoriamente. Exemplo: rand(4); rand(2,3); rand(size(a)). randn Propósito: o mesmo de rand, porém neste caso a distribuição segue o padrão normal, enquanto rand segue padrão uniforme. diag Propósito: extrai diagonais de matrizes e cria um vetor com estes elementos. Sintaxe: diag(m,k); diag(m); Descrição: diag(m) cria um vetor com a diagonal principal da matriz m. diag(m,k) cria um vetor com a k-ésima diagonal acima (k>0) ou abaixo (k<0) da diagonal principal. diag(m) equivale a diag(m,0). Exemplo: diag(a); diag(a,1). linspace Propósito: cria um vetor com elementos linearmente espaçados. Sintaxe: linspace(x1,x2);linspace(x1,x2,N). Descrição: linspace(x1,x2) gera um vetor com 100 pontos igualmente espaçados entre x1 e x2. linspace(x1,x2,N) gera um vetor com N pontos igualmente espaçados entre x1 e x2. Exemplo: linspace(5,25); linspace(10,1000,200). logspace Propósito: cria um vetor com elementos logaritmicamente espaçados. Sintaxe: logspace(x1,x2); logspace(x1,x2,N). Descrição: logspace(x1,x2) gera um vetor com 50 pontos logaritmicamente espaçados entre 10x1 e 10x2 . logspace(x1,x2,N) gera um vetor com N pontos logaritmicamente espaçados entre 10x1 e 10x2 . Exemplo: logspace(-1,100); logspace(10,1000,200).
- 31. 31 size Propósito: retorna a dimensão de uma matriz ou estrutura. Sintaxe: size(a). Descrição: retorna um vetor com as dimensões da matriz ou estrutura a. length Propósito: retorna o comprimento de um vetor. Sintaxe: size(a). Descrição: retorna o comprimento do vetor a. Se a for matriz, size(a) retorna a mair dimensão de a. tril ou triu Propósito: extrai a matriz triangular inferior (tril) ou a matriz triangular superior (triu). Sintaxe: tril(a) ou triu(a); tril(a,k) ou triu(a,k). Descrição: extrai a matriz triangular superior (triu) ou inferior (tril) à diagonal principal. Extrai a matriz triangular superior (triu) ou inferior (tril) à k-ésima linha acima (k>0) ou abaixo (k<0) da diagonal principal. tril(a) equivale a tril(a,0), e triu(a) equivale a triu(a,0). Exemplos: triu(x); tril(x,2). Examine também os comandos: meshgrid; :; ndims; reshape; find; end; sub2ind; ind2sub; fliplr; flipup; flipdim; rot90.
- 32. 32 6 FUNÇÕES MATEMÁTICAS ELEMENTARES abs Propósito: extrai o módulo (valor absoluto) de um valor algébrico real ou complexo. Sintaxe: abs(arg). acos Propósito: determina o valor inverso (arco) do cosseno em radianos. Sintaxe: acos(arg). acosh Propósito: determina o valor inverso (arco) do cosseno hiperbólico em radianos. Sintaxe: acosh(arg). angle Propósito: determina o ângulo em radianos de um número complexo. Sintaxe: angle(complexo). asin Propósito: determina o valor inverso (arco) do seno em radianos. Sintaxe: asin(arg). asinh Propósito: determina o valor inverso (arco) do asinh hiperbólico em radianos. Sintaxe: asinh(arg). atan Propósito: determina o valor inverso (arco) da tangente em radianos. Sintaxe: atan(arg). atanh Propósito: determina o valor inverso (arco) da tangente hiperbólico em radianos. Sintaxe: atanh(arg).
- 33. 33 atan2 Propósito: determina o valor inverso (arco) da tangente em radianos do ângulo de número complexo, nos quatro quadrantes. Sintaxe: atan2(parte-imag,parte-real) ceil Propósito: arredonda para o primeiro inteiro algebricamente superior. Sintaxe: ceil(arg). fix Propósito: arredonda para o inteiro mais próximo de zero. Sintaxe: fix(arg). round Propósito: arredonda para o inteiro mais próximo (arredondamento matemático convencional). Sintaxe: round(arg). sign Propósito: retorna 1 se o argumento é positivo e 0 se o argumento é negado. Sintaxe: sign(arg). imag Propósito: extrai a parte imaginária de um complexo. Sintaxe: imag(complexo). real Propósito: extrai a parte real de um complexo. Sintaxe: real(complexo). conj Propósito: extrai o conjugado de um complexo. Sintaxe: conj(complexo). cos Propósito: calcula o cosseno de um arco em radianos.
- 34. 34 Sintaxe: cos(arco). sin Propósito: calcula o seno de um arco em radianos. Sintaxe: sin(arco). tan Propósito: calcula a tangente de um arco em radianos. Sintaxe: tan(arco). cosh Propósito: calcula o cosseno hiperbólico de um arco em radianos. Sintaxe: cosh(arco). sinh Propósito: calcula o seno hiperbólico de um arco em radianos. Sintaxe: sinh(arco). tanh Propósito: calcula a tangente hiperbólica de um arco em radianos. Sintaxe: tanh(arco). exp Propósito: calcula o valor de earg . Sintaxe: exp(arg). pow2 Propósito: calcula o valor de 2arg . Sintaxe: pow2(arg). sqrt Propósito: calcula o valor da raiz quadrada de arg. Sintaxe: sqrt(arg). log Propósito: calcula o valor do logaritmo na base natural e (ln). Sintaxe: log(arg).
- 35. 35 log10 Propósito: calcula o valor do logaritmo na base 10. Sintaxe: log10(arg). log2 Propósito: calcula o valor do logaritmo na base 2. Sintaxe: log2(arg). rem Propósito: retorna o resto inteiro de uma divisão de x por y. Sintaxe: rem(x,y). Examine também os comandos: sec; sech; asec; asech; csc; csch; acsc; acsch; cot; coth; acot; acoth; nextpow2; unwrap; isreal; cplxpair; mod.
- 36. 36 7 COMANDOS DE CONTROLE GRÁFICO 7.1 Gráficos Bidimensionais plot Propósito: imprime o vetor em gráfico bidimensional. Sintaxe: plot(x,y,’cst’) Descrição: imprime o vetor y na ordenada em relação ao vetor x na abcissa. x e y devem obrigatoriamente ter as mesmas dimensões. A string ‘cst’ permite selecionar a cor (c=ymrcrgbwk), o tipo de símbolo (s=*.ox+sdv^<>ph), e o tipo de linha(t=--:-.--). Exemplo: plot(x,sin(x),’m*-.) plota seno de x em cor magenta, com símbolos * para cada ponto e linha tracejada e pontilhada. No comando plot os vetores de ordenada e abscissa devem ter as mesmas dimensões. subplot Propósito: divide uma figura em vários gráficos. Sintaxe: subplot(n,m,p) Descrição: subplot(n,m,p) divide a figura em uma matriz nxm de gráficos e seleciona o p-ésimo gráfico. p é contado da esquerda para a direita, continuando na linha de baixo. Exemplo: subplot(3,3,5) divide a figura em 9 gráficos, distribuídos em 3 linhas e 3 colunas, e seleciona o gráfico central. O comando subplot apenas seleciona um dos gráficos da matriz nxm, mas o comando plot é que executa a impressão. loglog Propósito: o mesmo que plot, porém agora as escalas de ordenadas e abscissas são do tipo logarítmicas. Sintaxe: loglog(x,y,’cst’)
- 37. 37 semilogx Propósito: o mesmo que plot, porém agora a escala da abscissa é do tipo logarítmica. Sintaxe: semilogx(x,y,’cst’) semilogy Propósito: o mesmo que plot, porém agora a escala da ordenada é do tipo logarítmica. Sintaxe: semilogy(x,y,’cst’) polar Propósito: desenha gráfico em formato polar. Sintaxe: polar(ang,raio,’cst’) Descrição: imprime cada elemento do vetor raio em relação ao elemento correspondente do vetor ang (ângulo). A string ‘cst’ permite selecionar a cor (c=ymrcrgbwk), o tipo de símbolo (s=*.ox+sdv^<>ph), e o tipo de linha(t=--:-.--). Ex.: polar((linspace(0:2*pi),4*ones(1,100)) plota uma circunferência de raio 4. axis Propósito: controla a aparência das escalas da abscissa e da ordenada. Sintaxe: axis([xmin xmax ymin ymax]). Descrição: ajusta a escala da abscissa para valores entre xmin e xmax, e a escala da ordenada para valores entre ymin e ymax. Exemplo: axis ([-3 4 0 10]) desenha o gráfico com escalas de –3 a 4 para o eixo da abscissa e 0 a 10 para o eixo da ordenada. grid Propósito: traça uma grade sobre o plot atual. Sintaxe: grid. hold Propósito: retém o estado do plot atual de modo a permitir que o próximo gráfico seja impresso sobre o atual. hold on liga o estado do comando e hold off desliga o estado do comando. Sintaxe: hold; hold on; hold off.
- 38. 38 title Propósito: Cria texto de título no plot atual. Sintaxe: title(‘texto’). xlabel Propósito: Cria texto para o eixo da abcissa. Sintaxe: xlabel(‘texto’). ylabel Propósito: Cria texto para o eixo da ordenada. Sintaxe: ylabel(‘texto’). gtext Propósito: Cria texto para ser posicionado com o mouse. Sintaxe: gtext(‘texto’). Examine também os comandos: plotyy; axes; box; legend; text; print; printopt; orient. 7.2 Gráficos Tridimensionais As funções de manipulação e controle de gráficos em três eixos e funções gráficas mais avançadas são dadas no quadro a seguir: Examine os comandos: plot3d; fill3; contour; contour3; clabel; contourc; pcolor; quiver; image; mesh; meshc; meshz; surf; surfc; surfl; waterfall; slice; view; viewmtx; hidden; shading axis; caxis; colormap; title; xlabel; ylabel; zlabel; text; gtext; grid; cylinder; sphere; figure; gcf; clf close; gca; caxis; hold; line; patch; text; surface; image; uicontrol; uimenu; set; ger; reset; delete; drawnow; print; printop; moviein; getframe; movie; ginput; ishold.
- 39. 39 8 OUTROS COMANDOS 8.1 Funções Lógicas exist Propósito: verifica se uma variável ou função existe no caminho do MATLAB. Sintaxe: exist(arg). Descrição: exist(arg) retorna 1 se existir a variável ou função arg; caso contrário retorna 0. Exemplo: exist(var1). any Propósito: verifica se um vetor possui um elemento diferente de zero. Sintaxe: any(vet). Descrição: any(vet) retorna 1 se existir um único elemento diferente de zero no vetor vet; caso contrário retorna 0. Exemplo: any(nomes). all Propósito: verifica se um vetor possui todos elementos diferentes de zero. Sintaxe: all(vet). Descrição: all(vet) retorna 1 se todos os elementos de vet forem diferentes de zero; caso contrário retorna 0. Exemplo: all(nomes). find Propósito: encontra os índices dos elementos não-nulos de uma matriz. Sintaxe: find(mat). Exemplo: find(rand(3)). isnan Propósito: verifica se há elementos do tipo NaN em uma matriz. Sintaxe: isnan(mat).
- 40. 40 Descrição: isnan(vet) retorna uma matriz onde os elementos são 1 na posição onda há um elemento NaN na matriz original e 0 nas demais posições. Exemplo: isnan(mat). isinf Propósito: verifica se há elementos do tipo inf em uma matriz. Sintaxe: isinf(mat). Descrição: isinf(mat) retorna uma matriz onde os elementos são 1 na posição onda há um elemento inf na matriz original e 0 nas demais posições. Exemplo: isinf(mat). finite Propósito: verifica se há elementos finitos em uma matriz Sintaxe: finite(mat). Descrição: finite(mat) retorna uma matriz onde os elementos são 1 na posição onda há um elemento diferente de NaN ou de Inf na matriz original e 0 nas demais posições. Exemplo: finite(mat). ischar Propósito: verifica se o argumento é uma cadeia de caracteres (string). Sintaxe: ischar(arg). Descrição: ischar(arg) retorna 1 se arg for uma cadeia de caracteres; caso contrário retorna 0. Exemplo: ischar(‘nome’) retornará 1. Examine também os comandos: isieee; isempty; issparse. 8.2 Funções de Controle de Fluxo de Programação if, else, elseif e end Propósito: testar condição e determinar sentenças a serem executadas. Sintaxe:
- 41. 41 IF exp1 stat1 ELSEIF exp2 stat2 ELSE stat3 END Descrição: testa exp1. Se exp1 for verdadeira executa as sentenças em stat1 e vai para end; caso contrário, testa exp2. Se exp2 for verdadeira executa as sentenças em stat2 e vai para end; caso contrário executa stat3. Exemplo: if I == J A(I,J) = 2; elseif abs(I-J) == 1 A(I,J) = -1; else A(I,J) = 0; end for, end Propósito: cria, incrementa e testa índice de controle para execução de sentenças. Sintaxe: FOR var = expr, stat1, stat2,..., statn END Descrição: enquanto a variável var for inferior ao limite estabelecido, as sentenças stat1, stat2 até statn serão executadas. Exemplo: FOR I = 1:N, FOR J = 1:N, A(I,J) = 1/(I+J-1); END END while, end Propósito: testa a expressão de controle para execução de outras sentenças.
- 42. 42 Sintaxe: WHILE exp stats END Descrição: enquanto a expressão exp for verdadeira, as sentenças stats serão executadas. Exemplo: E = 0*A; F = E + eye(size(E)); N = 1; while norm(E+F-E,1) > 0, E = E + F; F = A*F/N; N = N + 1; end swtch, end Propósito: testa expressão de controle e seleciona um caso para executar. Sintaxe: SWITCH switch_expr CASE case_expr, stat1, ..., stat1n CASE {case_expr1, case_expr2, case_expr3,...} stat2, ..., stat2n ... OTHERWISE, stat3, ..., stat3n END Descrição: Se switch_expr for igual a case_expr, então as sentenças stat1 até stat1n serão executadas, e terminado o comando. Se switch_expr for igual a case_expr1 ou case_expr2 ou case_expr3 ..., então as sentenças stat2 até stat2n serão executadas, e terminado o comando. Se switch_expr for diferente de todos as case_expr’s anteriores, então as sentenças stat3 até stat3n serão executadas, e terminado o comando.
- 43. 43 Exemplo: switch lower(METHOD) case {'linear','bilinear'}, disp('Method is linear') case 'cubic', disp('Method is cubic') case 'nearest', disp('Method is nearest') otherwise, disp('Unknown method.') end break Propósito: encerra a execução de comandos for ou while quando são encontrados. Sintaxe: break. input Propósito: exibe mensagem na tela e dá ao usuário um prompt para entrada de dados. Sintaxe: input(‘texto’); input(‘texto’,’s’). Descrição: input(‘texto’) exibe o texto na tela da linha de comando e retorna o valor digitado até que seja pressionado enter. input(‘texto’,’s’) é utilizado para entrada de strings. Exemplo: id=input(‘Digite sua idade’) guarda o número digitado em id; nom=input(‘Digite o seu nome’, ‘s’) guarda a string digitada em nom. disp Propósito: exibe texto na tela de comando. Sintaxe: disp(‘texto’). keyboard Propósito: invoca o teclado a partir de um arquivo MATLAB. Sintaxe: keyboard. pause Propósito: gera pause na execução de um arquivo MATALB. Sintaxe: pause; pause(n); pause on; pause off.
- 44. 44 Descrição: pause interrompe a execução até que o usuário aperte alguma tecla. Pause(n) interrompe a execução por n segundos. Pause on (off) liga (desliga) o modo de pausa dos comandos subseqüentes. Exemplo: pause; pause(5); pause on; pause off. Examine também os comandos: return, eval; feval; evalin; builtin; assignin; run; script functio; global; mfilename; lists exist; isglobal; nargchk; nargin; nargout; varargin; varargout; inputname; error; warning; lasterr; errortrap; fprintf; sprintf; uimenu; uicontrol; dbstop. 8.3 Funções de Controle de Baixo Nível fopen Propósito: abrir arquivo para leitura e/ou escrita. Sintaxe: fopen(‘nome-do-arq’,’permissão’) Descrição: abre arquivo com o nome especificado para as operações descritas em permissão. Exemplo: fopen(‘novo.m’,’r’) abre o arquivo novo.m para leitura. fclose Propósito: fechar arquivo. Sintaxe: fopen(‘nome-do-arq’). fopen Propósito: abrir arquivo para leitura e/ou escrita. Sintaxe: fopen(‘nome-do-arq’,’permissão’) Descrição: abre arquivo com o nome especificado para as operações descritas em permissão. Exemplo: fopen(‘novo.m’,’r’) abre o arquivo novo.m para leitura. Examine também os comandos: fread; fwrite; fscanf; fprintf; fgetl; fgets; ferror; fseek; ftell; sprintf; sscanf.
- 45. 45 8.4 Funções Especializadas: Matemáticas, Matriciais, Álgebra Linear São funções de cálculos algébricos com matrizes e cálculos de álgebra linear. Examine os comandos: cond; norm; rcond; rand; det; trace; null; orth; rref; chol; lu; qr; nnls; pinv; lscov; poly; hess; qz; rsf2csf; cdf2rddf; schur; balance; svd; expm; expm1; expm2; expm3; logm; log2m; sqrtm; funm; speye; sprandn; sprandsym; spdiags; sparse; full; spconvert; nnz; nonzeros; nzmax; spones; spalloc; issparse; spfun; spy; gplot; colmmd; symmmd; symrcm; colperm; tandperm; dmperm; normest; condest; sprank; symbfact; spparms; spaugment.; compan; hadamard; hankel; hilb; invhilb; pascal; rosser; toeplitz; vander; wilkinson. 8.5 Funções de Integração, Interpolação e Tratamento de Dados São funções úteis para solução de equações diferenciais; interpolação de curvas e tratamento de pontos. Examine os comandos: roots; poly; polyval; polyvalm; residue; polyfit; polyfit; polyder; conv; deconv; interp1; intep2; interpft; griddata; ode23; ode45; quad; quad8; fmin; fmins; fzero; fplot. 8.6 Funções de Controle de Cores, Imagens e Caracteres São funções úteis para o controle de cores, manipulação de imagens, animação e controle de gráficos. Examine os comandos: colormap; caxis; shading; hsv; gray; hot; cool; bone; copper; pink; flag; hsv2rgb; rgb2hsv; brighten; spinmap; rgbplot; surfl; pecular; diffuse; surfnorm; sound; saxis; auwrite; auread; mu2lin; lin2mu; string; abs; setstr; str2mat; strcomp; upper; lower; num2str; int2str; str2num; sprintf; sscanf; hex2num; hex2dec; dec2hex.
- 46. 46 9 PROGRAMANDO EM ARQUIVOS .m Podemos elaborar programas utilizando instruções assemelhadas aos comandos das linguagens procedurais, lançando dos arquivos .m do MATLAB. Para isto basta criar um arquivo com extensão .m no diretório /work ou /temp do seu computador. 9.1 Exemplos de Aplicação de Programa '.m' Exemplo 9.1: Programa raizes.m, que calcula as raízes de uma equação do 2º grau. % Objetivo: Calcular raizes de uma equação do 2o.grau % Prof. Baleeiro disp(' ==== Entre com a, b e c ==== '); a = input(' Coeficiente de x^2 '); b = input(' Coeficiente de x '); c = input(' Termo independente de x '); if a == 0. disp(' ==== A equacao nao e do segundo grau ==== '); a = input(' Coeficiente de x^2 - a <> 0 '); end delta = b^2-4.*a*c; delta if delta == 0. ch = 0; end if delta < 0. ch = -1; end if delta > 0. ch = 1; end x(1) = (-b + sqrt(delta))/(2.*a); x(2) = (-b - sqrt(delta))/(2.*a); x switch ch case 0, disp(' Raizes reais e iguais.') case -1, disp(' Raizes complexas conjugadas.') otherwise,disp(' Raizes reais e desiguais.') end % Fim
- 47. 47 Para executar este programa é preciso apenas digitar no ambiente do MATLAB (isto é, no prompt) o nome do programa sem a extensão: >>raizes < ENTER > As raízes de qualquer polinômio podem ser encontradas de maneira mais direta no ambiente de trabalho do MATLAB. O comando utilizado é denominado "roots", que tem o formato a seguir: >>roots([A B C]) < ENTER > Onde A é coeficiente do termo x^2, B é o coeficiente do termo x e C é o termo independente. Por exemplo, as raízes da equação do 2o x^2 - 5x + 6 = 0 são: Um outro exemplo de cálculo da raízes de um polinômio: Ou seja, as raízes do polinômio x^3-6x^2+11x-6 = 0 são: 1, 2 e 3. Obs.: O comando poly faz a operação inversa do comando roots, ou seja, tendo-se as raízes, obtém-se o polinômio correspondente. Assim, » poly([1 2 3]) ans = 1 -6 11 -6 (polinômio x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0) » roots([1 -6 11 -6]) ans = 3.0000 2.0000 1.0000 » roots([1 -5 6]) ans = 3 2
- 48. 48 Exemplo 9.2: Um outro exemplo de implementação de um código .m no MATLAB é mostrado a seguir em que a solução de um sistema algébrico linear é obtida pela aplicação do método iterativo de Jacobi. Denominaremos este programa de jacobi.m. % Metodo de Jacobi para solucionar Ax = b % Prof. Baleeiro A = [6 -1 0;-1 4 1;0 1 6] b = [-1; 1 ; 2] [n,n] = size(A); x = zeros(n,1); r = zeros(n,1); % vetor de residuos tol = 1e-2; % Matriz de iteracao: D = diag(diag(A)) L = tril(A)-D; U = triu(A)-D; E = -inv(D)*(L + U); F = inv(D)*b; % Autovalores de E eig(E) k = 0; maior = inf; while maior > tol x = E*x + F; r = A*x-b; maior = norm(r,inf) % norma infinita do vetor r pause k = k + 1; end; x k
- 49. 49 Para compreender o código mostrado anteriormente, segue uma breve descrição do método iterativo de Jacobi para solução de bAx = . O método iterativo de Jacobi quando aplicado para resolver um sistema de equações lineares algébricas simultâneas, do tipo bAx = baseia-se numa partição da matriz dos coeficientes, da seguinte forma DULA ++= , onde L e U são matrizes triangulares inferior e superior obtidas de A , respectivamente, excluindo-se os elementos da diagonal, e D é a matriz composta apenas dos elementos da diagonal da matriz A (observe que L , U e D não são matrizes resultantes da fatoração de A , trata-se apenas de uma partição). Dessa forma, o sistema original pode ser reescrito como a seguir: , )( FExx bxULDx bAx += ++−= = de modo que, bDFULDE 11 ),( −− =+−= . Designando E com a matriz de iteração, )(1 ULDE +−= − , dado )0( x e uma tolerância tol , o processo iterativo consiste em construir aproximações do vetor solução x do sistema algébrico, conforme a equação de iteração mostrada a seguir: FExx kk +=+ )()1( , para ,3,2,1,0=k . O processo iterativo deve continuar enquanto o critério de convergência não for alcançado. Uma forma que pode ser adequada para verificar a convergência é calcular a norma-infinita do vetor de resíduos, bAxr kk −= ++ )1()1( , isto é, se tolr k ≤ ∞ + )1( , então a )(k x é a uma aproximação aceitável para solucionar bAx = . Uma condição para convergência do método de Jacobi é que o maior módulo dos autovalores da matriz E seja inferior a 1. Os passos do algoritmo do método de Jacobi para solução de sistemas bAx = são apresentados a seguir:
- 50. 50 » A = [-1, 2, 0; 1/2, 9, 3; 2, 4, 5] A = -1.0000 2.0000 0 0.5000 9.0000 3.0000 2.0000 4.0000 5.0000 » b = [3; -2; 7] b = 3 -2 7 » x = Ab x = -6.1923 -1.5962 5.1538 Dados A , b , tol e )0( x Calcule ←D diag(diag(A)), ←L , tril(A) –D, ←U triu(A) – D )(1 ULDE +−= − bDF 1− = Verifique se 1|)(| <imáximo λ (use o comando eig(E)) Faça 0←k , maior ← ∞ Enquanto maior > tol faça FExx kk +←+ )()1( , maior |)(| )1( bAxmáximo k −← + , 1+← kk Fim ‘enquanto’ Saída x e k Exemplo 9.3: Solução de sistema de equações algébricas lineares −= − 7 2 3 542 39 021 3 2 1 2 1 x x x A solução do exemplo 9.3 é facilmente obtida informando ao MATLAB, no próprio prompt, a matriz A e o vetor independente b . A solução x procurada para o sistema é obtida com o comando x = Ab, como a seguir.
- 51. 51 10 MATEMÁTICA SIMBÓLICA Exemplo 10.1: Solução de integral definida dx x + 1 0 12 1 O exemplo 10.1, para ser resolvido, requer que seja informado ao MATLAB que há uma variável x , que deve ser tratada como um dado simbólico. Isto é feito através do comando: Os comandos seguintes mostram a finalização da solução do exemplo 10.1: Realmente, o valor resultante da integração da função 1 1 )( 2 + = x xf entre 0 e 1 é de fato 4 π . Exemplo 10.2: Sistema massa-mola. Este sistema será, também, analisado usando o Simulink, na seção 11 deste texto. Fig. 10.1: Sistema massa-mola. » syms x » int(1/(x^2 + 1),0,1) ans = 1/4*pi x m F m 0
- 52. 52 As equações do sistema massa-mola são dadas na seção 11 e, assim, passa-se diretamente ao programa .m desenvolvido e os resultados mais importantes. Selecionou-se para este exemplo os gráficos de energia versus deslocamento e velocidade versus deslocamento, que serão comparados com os resultados equivalentes, quando da utilização do Simulink. Observar que, no presente resultado, a velocidade mostrada é apenas no sentido do deslocamento negativo para o positivo. A velocidade no sentido inverso (que é mostrada no modelo do Simulink) é negativa. % Sistema massa-mola % Prof. José Wilson k =input('constante de elasticidade da mola (N/m)Ex.:700= '); xmax=input('deslocamento máximo da mola xmax (cm);Ex.: 20= '); m =input('massa do bloco ligado à mola (g); Ex.:500= '); xmax = xmax/100; m = m/1000; x = [-xmax:0.001:xmax]; Etotal = (1/2)*k*(xmax^2); % Energia total F = -k*x; % Força na mola Ep = (1/2)*k*(x.^2); % Energia potencial Ec = Etotal - Ep; % Energia cinética - Conservação de energia v = sqrt(2*Ec./m); % Velocidade da massa-Conservação de energia vmax = sqrt(2*Etotal/m); % Velocidade máxima figure(1) plot(x*100,Ep,'r') hold on plot(x*100,Ec,'k') plot(x*100,Etotal,'m') axis([-xmax*100 xmax*100 0 Etotal]) xlabel('deslocamento (cm)') ylabel('energia cinética, potencial e total (J)') grid on hold off figure(2) plot(x*100,v) axis([-xmax*100 xmax*100 0 vmax]) xlabel('deslocamento (cm)') ylabel('velocidade da massa (m/s)') grid on
- 53. 53 Fig. 10.2: Energia Cinética, Potencial e Total versus Deslocamento Fig. 10.3: Velocidade versus Deslocamento Exemplo 10.3: Lançamento de projétil. Neste exemplo entra-se com os dados de altura inicial, velocidade inicial, posição horizontal inicial e ângulo de lançamento. O programa calcula o tempo transcorrido até o projétil atingir o solo, a velocidade no momento em que toca o solo e a altura máxima atingida. -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 0 2 4 6 8 10 12 14 deslocamento (cm) energiacinética,potencialetotal(J) Energia Potencial Energia Cinética Energia Total -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 0 1 2 3 4 5 6 7 deslocamento (cm) velocidadedamassa(m/s)
- 54. 54 Fig. 10.4: Lançamento de projétil VOVOY VOX h d dO hO % Lançamento de projétil % Prof. José Wilson ho = input('Altura inicial ho (m) Ex.: 40 = '); vo = input('velocidade inicial vo (m/s) Ex.: 25 = '); alfa = input('ângulo de lançamento alfa (grau) Ex.: 45 = '); do = input('posição inicial do projétil (m) Ex.: 0 = '); alfa = alfa*pi/180; vxo = vo*cos(alfa); vyo = vo*sin(alfa); g = -9.8; % Aceleração da gravidade h = [0.5*g vyo ho]; % Para cálculo do tempo máximo tlimites = roots(h); % Cálculo do tempo limite - tem 2 valores if tlimites(1) > 0 tmax = tlimites(1); else tmax = tlimites(2); end t = [0:0.01:tmax]; vx = vxo; vy = vyo + g*t; thmax = abs(vyo/g); % tempo para atingir altura maxima d = do + vxo*t; h = ho + vyo*t + 0.5*g.*t.^2;
- 55. 55 Fig. 10.5: Altura do projétil versus alcance horizontal A altura máxima, a distância máxima e o tempo decorrido até atingir o solo são: hmax = 55,9 m dmax = 91,6 m tmax = 5,18 s hmax = ho + vyo*thmax + 0.5*g*thmax^2; % altura maxima vmax = vyo + g*tmax; % velocidade maxima dmax = do + vxo*tmax; % distancia maxima alcancada figure(1) plot(d,h) axis([0 dmax 0 hmax]) xlabel('distância horizontal (m)') ylabel('altura (m)') grid on figure(2) plot(t,h) axis([0 tmax 0 hmax]) xlabel('tempo (s)') ylabel('altura (m)') grid on figure(3) plot(t,d) axis([0 tmax 0 dmax]) xlabel('tempo (s)') ylabel('distância horizontal (m)') grid on 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 0 10 20 30 40 50 distância horizontal (m) altura(m)
- 56. 56 10.1 Uso da Matemática Simbólica O MATLAB possui um Toolbox que permite ao usuário operar com matemática simbólica. Sabemos que variáveis numéricas são usadas para armazenar valores numéricos (e.g., x = 2) e vetores de caracteres são usados para armazenar textos (e.g., s = ‘Jonas’). O Toolbox de Matemática Simbólica usa objetos simbólicos para representar variáveis e operações (e.g., x = sym( ‘x’ )). Neste tipo de aplicação não é necessário que as variáveis tenham um valor numérico predefinido. A matemática simbólica consiste da resolução de equações simbólicas (isto é, na forma literal) e da execução de operações de cálculo diferencial/integral e álgebra por meio da aplicação de regras conhecidas e identidades a determinados símbolos, exatamente como você aprendeu a resolvê-las nos cursos de cálculo e álgebra. Exemplo 10.4: Obter, de forma literal, a derivada em relação a x da função f(x) dada a seguir: bxaxxf += 2 )( É necessário, em primeiro lugar, informar ao MATLAB que x, a, b e f não são objetos simbólicos, ou seja, não possuem valores numéricos. Então: Em seguida, define-se a função e utiliza-se o comando diff para concluir a operação simbólica de derivação. » syms x a b f » f = a*x^2 + b*x f = a*x^2+b*x » diff(f,x) ans = 2*a*x+b
- 57. 57 Exemplo 10.5: Outro exemplo (mais complexo) do uso da matemática simbólica do MATLAB. Cálculo da área interna de uma elipse dada no sistema de coordenadas xy pela equação: 12 2 2 2 =+ b y a x Deseja-se obter uma fórmula para calcular sua área interna A dados a e b . A integral mostrada a seguir é usada no cálculo dessa área. dxxa a b A a −= 0 22 4 A solução deste problema é conhecida dos estudantes que fizeram cursos de cálculo diferencial e integral. O resultado é A=πab. Utilize a Toolbox de Matemática Simbólica para comprovar este resultado. No caso, você deverá lançar mão do comando int, que calcula integral de uma função dada em intervalo definido. 10.2 Gráficos em Duas Dimensões Embora existam várias formas para se fazer gráficos, nesta seção vamos nos ater apenas à exemplificação do emprego do comando plot. Esse comando já foi utilizado em alguns exemplos anteriores. Exemplo 10.6: Gráfico em duas dimensões Esse exemplo cria 30 pontos no intervalo 22 ≤≤− x para formar o eixo horizontal do gráfico e cria o vetor y contendo a exponencial 2 x e− dos pontos em x. O » x = linspace(-2,2,30); » y = exp(-x.^2); » plot(x,y)
- 58. 58 comando plot abre uma janela gráfica, ajusta os eixos para acomodar os dados, marca os pontos e conecta-os a linhas retas. O resultado é ilustrado na Fig. 10.6. Fig. 10.6: Saída gráfica obtida com os comandos indicados anteriormente. 10.3 Gráficos em Três Dimensões Para elaborar gráficos tridimensionais o MATLAB possui diversos comandos poderosos. Sugerimos que você tente as seqüências de comandos propostas nos exemplos que seguem. Exemplo 10.7: Use do comando plot3 para desenhar uma hélice, de acordo com a seqüência: -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 » t = linspace(0, 10*pi); » plot3(sin(t),cos(t),t)
- 59. 59 » x = -7.5:.5:7.5; » y = x; » [X,Y] = meshgrid(x,y); » R = sqrt(X.^2 + Y.^2) + eps; » Z = sin(R)./R; » mesh(X,Y,Z) Exemplo 10.8: Uso do comando mesh para gráficos tridimensionais. Use a seqüência de comandos para desenhar uma superfície. Fig. 10.7: Saída gráfica obtida com a seqüência de comandos do exercício 3.
- 60. 60 11 SIMULINK O SIMULINIK é um Programa de Simulação dinâmica de sistemas a partir de seu modelo no espaço de estados, do seu modelo no domínio da freqüência ou do seu modelo no domínio do tempo. O simulink é iniciado digitando-se simulink na linha de comando do MATLAB, ou ainda selecionando-se o botão de início do SIMULINK. Uma vez iniciado é apresentada a tela da figura a seguir: Fig. 11.1: Tela Inicial do Simulink Fig. 11.2: Funções disponíveis para a classe linear do Simulink.
- 61. 61 Os diversos blocos de simulação podem ser arrastados para o arquivo, com a finalidade de montar o modelo para simulação. Cada classe de funções possui uma janela própria (caixa), veja por exemplo os blocos disponíveis para as funções da classe linear na figura anterior. A seguir são dados alguns exemplos de emprego do Simulink em problemas de Matemática, Física, Circuitos Elétricos, Controle de Processos e Outros. Exemplo 11.1: Equação Diferencial de Primeira Ordem Considere .,),( RR ∈∈= tutuu Seja a equação diferencial de primeira ordem em )(tu , com valor inicial conhecido, .1)0( =u 02 =+ ut dt du (11.1) Analiticamente é fácil mostrar que uma solução dessa equação diferencial é: 22 )()0()( tt etueutu −− =∴= (11.2) Vamos resolver a equação diferencial (11.1) utilizando o Simulink e, ao final, obteremos a resposta na forma gráfica. Solução: PASSO 1: Inicialmente escreve-se a equação (11.1) de uma forma mais adequada para diagrama de blocos. Transpondo os termos, chega-se à forma indicada em (11.3): −= dtutu 2 (11.3) Ao fator –2 chamamos de ganho; o integrando é resultado de um produto de duas funções, t e u . Portanto, a resposta u é a resultante da saída de um integrador multiplicado pelo ganho –2.
- 62. 62 PASSO 2: A partir da janela mostrada na Figura 11.1, selecionamos os blocos necessários para expressar a relação (11.3). Fig. 11.3: Diagrama de blocos para resolver o Exemplo 11.1 A condição inicial é informada ao bloco integrador. O eixo dos tempos é representado pelos blocos ‘Clock’ e ‘To Workspace’. Em ambos os blocos ‘To Workspace’ é preciso definir o número de pontos e o tamanho do passo numérico (neste exemplo, tomamos 5000 e 0.01, respectivamente). PASSO 3: Para executar o arquivo criado, definido pelo diagrama de blocos, nos ícones da mesma janela, pressionamos Simulation e, em seguida, Start. Fig. 11.4: Para executar o arquivo de blocos. PASSO 4: Para visualizar o resultado, no prompt do MATLAB, digitamos o comando: A saída gráfica da resposta ttu ×)( é como ilustra a Fig. 11.5. » plot(t,u)
- 63. 63 Fig. 11.5: Gráfico de ttu ×)( para 0≥t . Finalizamos, desse modo, a solução da equação diferencial (11.1), que resultou na representação gráfica da função 2 t e− para 0≥t . Exemplo 11.2: Sistema Massa-Mola Fig. 11.6: Representação do Sistema Massa-Mola 0 2 4 6 8 10 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x m F m 0
- 64. 64 Equações básicas da Física: Aceleração: 2 2 dt xd dt dv a == ( 11.4 ) Velocidade: == adt dt dx v ( 11.5 ) Deslocamento: = vdtx ( 11.6 ) Equações básicas do Sistema massa-mola: Força: makxF =−= ∴ 2 2 dt xd mkx = ∴ x m k dt xd a −== 2 2 ( 11.7 ) Energia potencial: 2 2 1 kxEp = ( 11.8 ) Energia cinética : 2 2 1 mvEc = ( 11.9 ) Verifica-se das equações que a aceleração, no sistema massa-mola, é diretamente proporcional ao deslocamento 'x'. O fator de proporcionalidade é a constante '-k/m'. Essa é a informação inicial para começar o modelo dado na Fig. 11.7. Fig. 11.7: Modelo do Simulink para o Sistema Massa-Mola Para a simulação do sistema é necessário fornecer um valor inicial para um dos dois blocos de integração. Essa informação será, no caso, o limite para a variável de saída. Por exemplo, desejando-se limitar o deslocamento 'x'entre os valores -20 cm (-0.2 m) e 20 cm, fixa-se em 0.2 o valor inicial da segunda integral. Uma outra x va v velocidade t tempo x posição ac aceleração s 1 Integrator1 s 1 Integrator k/2 m/2 -k/m Ep En. Potencial Ec En. Cinetica Clock
- 65. 65 informação fundamental é o valor da constante de proporcionalidade 'k'e o valor da massa 'm'. Esses valores podem ser digitados diretamente no prompt (área de trabalho do MATLAB), como mostrado a seguir: As figuras que seguem são resultantes do modelo da Fig. 11.7. Fig. 11.8: Energia cinética e potencial versus deslocamento Fig. 11.9: Energia cinética e potencial versus velocidade -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0 5 10 15 posição (m) EnergiaCinéticaePotencial(J) Energia Cinética Energia Potencial -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 0 5 10 15 velocidade (m/s) EnergiaCinéticaePotencial(J) Energia Cinética Energia Potencial » k = 700; » m = 0.5;
- 66. 66 Fig. 11.10: Velocidade versus deslocamento Exemplo 11.3: Circuito RC Série Considere o circuito elétrico da Fig. 11.11, que possui um resistor e um capacitor em série alimentados por uma fonte constante. O capacitor possui uma tensão inicial Vv 10)0( = e deseja-se obter a resposta ttv ×)( para .0≥t Fig. 11.11: Circuito elétrico RC série com uma fonte de tensão contínua. -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 velocidade(m/s) posição
- 67. 67 Modelagem Matemática do Circuito A modelagem matemática do circuito é obtida aplicando-se a 2a Lei de Kirchhoff ao percurso fechado, e usando a forma genérica e , para expressar tensão: 0=−− vve R Por outro lado, sabemos relacionar a tensão no resistor e a tensão no capacitor com a corrente que os atravessam, )(ti : )(tRivR = dt dv Cti =)( ∴ 0)( =−− vtRie ou 0=−− v dt dv RCe Assim, a equação diferencial geral fica: e RC v RCdt dv 11 =+ Substituindo os valores de R = 1kΩ e C = 1mF e VEe 5== na equação anteriormente mostrada, resulta na equação mostrada a seguir: 5=+ v dt dv onde 10)0( =v . Solução do Circuito Utilizando o Simulink Para utilizar o Simulink devemos expressar a equação diferencial da seguinte maneira: −= dtve RC v )( 1 A expressão acima é conseguida facilmente apenas isolando o termo dt dv e depois aplicando a integração (que é a operação inversa da derivação). Essa forma é
- 68. 68 ideal para a simulação usando o Simulink. Constrói-se então o modelo mostrado na Fig. 11.12. Fig. 11.12: Diagrama de blocos do Simulink para o circuito elétrico da Fig. 11.11 Fig. 11.13: Saída gráfica ttv ×)( para 0≥t para o circuito elétrico da Fig. 11.11. 0 2 4 6 8 10 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10
- 69. 69 12 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 01) Considere a seguinte equação diferencial: )(323212 2 2 tuy dt dy dt yd =++ . Obter a solução y(t) supondo todas as condições iniciais iguais a zero, usando a transformada Laplace. A transformada Laplace é: s sYssYsYs 32 )(32)(12)(2 =++ A solução para )(sY é: ssssss sY 3212 32 )3212( 32 )( 232 ++ = ++ = Resolver a equação diferencial utilizando a função residue do MATLAB. Solução: >> numy = 32 >> deny = [1 12 32 0] >> [r p k] = residue(numy,deny) O resultado obtido é o seguinte: r = 1 -2 1 p = -8 -4 0 k = [] que se traduz em:
- 70. 70 )8( 1 )4( 21 )( + + + −= sss sY )21()( 84 tt eety −− +−= . 02) O movimento da massa, designado por )(ty , é descrito pela equação diferencial: ( ) ( ) ( ) ( )trtky dt tdy b dt tyd M =++ 2 2 onde: M = massa em kg, b = forca de atrito (amortecimento viscoso), k = constante de mola de uma mola ideal, r = força em Newton. A resposta dinâmica livre, )(ty , do sistema )21( 21 )0( )( θζω ζω ζ +− − − = tnsen tne y ty onde: ζ = relação de amortecimento = kM b 2 ωn = freqüência natural do sistema = M k e ζθ 1 cos− = . Fazendo-se )0(y = 0.15 m, M = 1kg, k = 2, para 1=b , simule no MATLAB para obter o gráfico referente a resposta natural do sistema e verifique que a resposta é subamortecida. Solução: >> y0 = 0.15; >> wn = sqrt(2); >> quisi = 1/(2*sqrt(2*1)); >> c1 = (y0/sqrt(1-quisi^2)); >> teta = acos(quisi); >> t=[0:0.1:10]; >> c2 = exp(-quisi*wn*t); >> c3 = sin(wn*sqrt(1-quisi^2)*t+teta); >> y=c1*c2.*c3; >> plot(t,y)
- 71. 71 O gráfico da resposta natural do sistema obtido com o MATLAB para os parâmetros dados é mostrado na Fig. 12.1. Fig. 12.1: Saída gráfica tty ×)( para 0≥t . 03) Dada a função de transferência, obtenha o que se pede: a) calcular zeros e pólos; b) exibir a função de transferência; c) obter o mapa dos zeros e pólos. 20030 7010 )( 2 ++ + = ss s sG Solução: >> numg = [10 70]; >> zeros = roots(numg) >> deng = [1 30 200] >> polos = roots(deng) >> tfout(numg,deng) >> sys = zp(zeros,polos,1); >> pzmap(sys)
- 72. 72 04) Um sistema dinâmico linear é representado no espaço de estados pelas seguintes equações matriciais: DuCxy BuAxx += += Obtenha a representação no espaço de estados sob a forma de variáveis de fase das seguintes funções de transferência usando a função tf2ss do MATLAB: 97 12 )( 21 ++ + = ss s sT Solução: >> num=[2 1] >> den=[1 7 9] >> [A,B,C,D]=tf2ss(num,den) As matrizes resultantes são: A = -7 -9 1 0 B = 1 0 C = 2 1 D = 0 05) Sejam as seguintes funções de transferência nos blocos em cascata: )14)(2)(5( )4)(2( )( −++ −− = sss ss sGR(s) U(s) Y(s) 2 500 1 )( s s sH + = Use a função series do MATLAB para transformá-las em uma só.
- 73. 73 Solução; >> n1=[1 -2] >> n2=[1 -4] >> ng=conv(n1,n2) >> d1=[1 5] >> d2=[1 2] >> d3=[1 -14] >> dg=conv(d1,conv(d2,d3)) >> nh=[1 1] >> dh=[500 0 0] >> [n,d]=series(ng,dg,nh,dh) A função de transferência resultante dos dois blocos em cascata é a seguinte: 2345 23 70000440003500500 825 ssss sss −−− ++− . 06) Analise a seqüência de comandos do MATLAB apresentada a seguir. a) extraindo e inserindo A = [ 1 3 4; -1 3 0; 6 -1 2] C = [1 + i, 1 - i; 2i, 1 – i] b = [1; 3; -1] A(:,2) A(1,:) A(2,3) M = [A,b] M(end) transpose(C) % diferente de C' se C for complexa C' A(3:6) A(:,2) = [0; 0; 0] % insere o vetor da direita no lugar da coluna 2
- 74. 74 b) criando matrizes >> D = ones(3) >> Z = eye(3) >> R = rand(3) c) operações sobre matrizes e sobre elementos de matrizes >> trace(A) % soma algébrica dos elementos da diagonal de A >> [m,n] = size(A) >> [L,U,P] = lu(A) % obtem a fatoração PLU de A >> chol(A) % somente para matriz definida positiva d) decomposição espectral Y = [4+i, -1+i, -3-2i;-1+i, 3-i, -2+i;-3-2i, -2+i, 5+i] [P,D] = eig(Y) W = P*D*P^-1 Y-W Z = inv(Y) disp(' o produto tem que resultar na matriz identidade'); Z*Y H = P^-1; B = (D^-1)*H; U = P*B Z-U 07) Obtenha uma raiz da função unidimensional 1)( +−= − xexf x com estimativa inicial 8.0)0( =x . Solução:
- 75. 75 >> fzero('exp(-x)-x+1',0.8) % obtem um zero da funcao 08) Dada a função de transferência 1 1 )( )( )( + == ssR sC sT , determine a resposta do sistema ao degrau unitário, s sR 1)( = . Solução: >> clf >> numg = [0 1]; >> deng = [1 1]; >> G = tf(numg,deng) >> step(G) >> title(' Amplitude versus tempo ') pause A resposta é como mostrada na Fig.12.2. Fig. 12.2: Saída gráfica )(tc com entrada )()( tutr = , para 0≥t .
- 76. 76 09) Obtenha 5 termos do desenvolvimento em Série de Taylor da função xxf cos)( = . Solução: >> syms x >> taylor(cos(x),5) ans = 1-1/2*x^2+1/24*x^4 10) Ao final de sua seção de trabalho no prompt salve-a com o comando save em um arquivo com extensão .mat. Solução: >> save hoje.mat Dessa forma,o comando save salva o workspace em um arquivo .mat. Em seguida, utilize o comando clear all para limpar o conteúdo da memória. Através do comando load hoje.mat é possível carregar o conteúdo da memória permitindo a retomada do trabalho que estava sendo realizado. 11) Elabore um programa em arquivo .m que utilize a function do MATLAB. Solução: function [f] = fun2(a,b,x) % em arquivo .m separado global f; f = (b/a)*sqrt(a^2 - x.^2); return; % o conteudo a seguir em arquivo .m separado global f; a = input(' Valor de a: '); b = input(' Valor de b: '); N = input(' No. de simulacoes: '); k = 0;
- 77. 77 for j = 1:N, x = a*rand; y = b*rand; fun2(a,b,x); if y <= f k = k + 1; end; end; area = 4.*a*b*k/N % o valor exato e pi*a*b
- 78. 78 13 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01) Dada a matriz 33× , simétrica e definida positiva, − − = 610 141 016 A , e dado o vetor de termos independentes, − = 2 1 1 b , a) use o comando chol(A)e obtenha a fatoração Cholesky da matriz A ; b) verifique que CCA T = usando o comando transpose; c) a partir dos fatores Cholesky de A , calcule a solução T xxxx ][ 321= de bAx = . 02) Dada a matriz literal 33× , − −− + = da adaa ada A 0 0 , e dado o vetor de termos independentes, também literal, + = 0 a da b , utilize os recursos da matemática simbólica para obter a solução T xxxx ][ 321= . Primeiro aplique a função inv(A) para obter x . Em seguida, empregue as funções simplify e pretty para melhorar a visualização da resposta. 03) Dados − −= 321 112 231 A e = 4 5 7 b , utilize o comando rref sobre a matriz aumentada para obter forma escalonada reduzida e mostre que o sistema bAx = é incompatível. Para maior clareza, sugere-se que, antes de empregar o comando rref, declare os cálculos na forma de frações usando format rat. 04) Determine o zero da função transcendental xexf x −= −4 )( utilizando a função fzero com estimativa inicial 0.1. Confira no gráfico através de
- 79. 79 >> ezplot('exp(-4*x)-x',0,1). 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x exp(-4*x)-x 05) Dada a equação diferencial 0)(2 )( 3 )(2 =++ tx dt tdx dt txd , com 1)0( =x e 0 )0( = dt dx . Utilize o comando dsolve para obter a solução )(tx . Em seguida, visualize o gráfico da resposta obtida, )(tx , no intervalo 20 ≤≤ t . 06) Dados os binômios 1+x , 2−x e 4+x . Multiplique-os usando conv. A partir do polinômio que resultou da multiplicação calcule as raízes usando roots. 07) Desejamos calcular a solução analítica do seguinte sistema de equações =+ +=+ =+ 1 )(21 1 22 2 22 ba baxy yx . Para tal, utilize o comando solve: >> [b,x,y]=solve('x^2+y^2=1','1 + 2*x*y=(a + b)^2','a^2 + b^2=1'). As soluções esperadas são: ax = , by = ou ax −= , by −= .
- 80. 80 [x,y] = meshgrid(-2:.2:2, -2:.2:2); z = x .* exp(-x.^2 - y.^2); [px,py] = gradient(z,.2,.2); contour(z), hold on, quiver(px,py), hold off 08) Sabemos que a derivada primeira da função )()( xtgxf = é )(sec1 2 x dx df += , sendo )cos( 1)sec( xx = . Verifique este fato usando o comando diff('sin(x)/cos(x)') seguido logo após pelo comando simplify(ans). 09) Calcule a área sobe a curva da função 2 1 4 )( x xf + = no intervalo 10 ≤≤ x . Use o comando int com limites de integração definidos. 10) No Curso de Cálculo Diferencial e Integral, o professor ensina que a seguinte integral indefinida )( 22 a xtgarc a b dx xa b = + pode ser solucionada aplicando substituição trigonométrica. Comprove o resultado mostrado anteriormente utilizando matemática simbólica e o comando int sem limites de integração. 11) Utilize o comando pretty(diff(1/a*atan(x/a)*b,x)) e verifique que o resultado do exercício 10 está correto. 12) Um importante conceito associado com a derivada de funções escalares −n dimensionais é o gradiente. Digite a seqüência de instruções no prompt do MATLAB: Para entender melhor o que foi calculado com as instruções anteriores utilize surf(x,y,z).
- 81. 81 14 BIBLIOGRAFIA [1] HANSELMAN, Duane e LITTLEFIELD, Bruce. "MATLAB 5 – Versão do Estudante, Guia do Usuário”, Makron Books, São Paulo, 1999. 413 p. ISBN: 85-346-1058-4. [2] ALVES, Antônio César Baleeiro. Notas de Aulas do Curso de Circuitos Elétricos da EEEC/UFG. [3] RESNICK, Robert e HALLIDAY, David, "Física 1," 3a ed., Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., Rio de Janeiro, 1981, ISBN: 85-216-0076-3. [4] CHAPMAN, S. J. “Programação em MATLAB para engenheiros”. Thomson Pioneira. [5] MATSUMOTO, E. Y. "MATLAB 7”, Editora Érica. [6] UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO (UERJ). “Curso de MATLAB 5.1: Introdução à solução de problemas de engenharia”. 2ª edição. 181p. [7] VALLE, Walkíria Nascente. Notas de Aulas do Curso de Laboratório de Controle de Processos do CMP/UCG.