Aula 08 - árvores
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O documento descreve conceitos básicos sobre árvores, incluindo suas estruturas, terminologias e operações. Aborda diferentes tipos de hierarquias representadas por árvores e formas de implementá-las.
Aula 08 - árvores
- 2. Introdução • As árvores são uma das estrutura de dados mais importantes da área da computação; • É utilizada em muitas aplicações do mundo real; • Os relacionamentos lógicos entre os dados representam alguma dependência de hierarquia ou composição entre os nodos; • Exite uma hierarquia de subordinação.
- 3. Conceitos Básicos • As linhas que unem 2 nodos representam os relacionamentos lógicos e as dependências de subordinação existentes entre eles; • A se relaciona somente com B, C e D e não com os demais; • B se relaciona somente com A e E. A GFE DCB H I J
- 4. Conceitos Básicos • Relacionamentos de subordinação, formando hierarquias, podem apresentar diferentes significados: • Hierarquias de especialização: representa classes e subclasses; • Hierarquias de composição: o nodo é composto por partes; • Hierarquias de dependência: representa um organograma.
- 5. Hierarquia de Especialização Veículo MotoCarroHelicópteroAvião Aéreo Terrestre Aquático Motor Vela Remo Navio Iate Lancha
- 6. Hierarquia de Composição Carro Chassis Motor Rodas
- 7. Hierarquia de Dependência Diretor Superintendente Diretor Administrativo Diretor Fábrica Diretor Comercial Departamento Cont. Qualidade Departamento Manutenção Departamento Produção
- 8. A GFE DCB H I J Representação Gráfica de uma Árvore
- 9. Terminologia • A terminologia não é padronizada; • Existem nomes diferentes para os mesmos conceitos em diferentes publicações.
- 10. Terminologia • Raiz: • Todos os outros nós da árvore são subordinados a ele; • O acesso a todos os nós é sempre a partir dele. • Nós descendentes: • Relação de dependência com o nó mais acima. Raiz Nós descendentes
- 11. Terminologia • Subárvore: • Conjunto de nós, sendo todos subordinados a um único nó, externo a esta subárvore. Subárvores
- 12. Terminologia • Grau de Um Nó: • Número de Subárvores que são subordinadas diretamente a esse nó. •Grau de uma Árvore: •É o maior valor dentre os graus de todos os seus nós. Grau de um Nó
- 13. Terminologia • Folha ou Terminal (externo): são os nós de grau zero. • Nó de derivação (interno): nós de grau maior do que zero e que apresentam uma subárvore. Folha Nó de Derivação
- 14. Terminologia • Nível de um Nó: número de ligações entre este nó e a raiz da árvore mais um. • Caminho: sequência de nós consecutivos distintos entre dois nós. • Comprimento do Caminho: Número de níveis entre os dois nós menos um. Caminho Nível 1 Nível 2 Nível 3 Nível 4 Comprimento = 3
- 15. Terminologia • Altura ou Profundidade: é o número de nós do maior caminho deste nó até um de seus descendentes - folha; • A altura de uma árvore é igual ao maior nível de seus nós; • Todos os nós folha tem altura 1.
- 16. Terminologia • Floresta: conjunto de zero ou mais árvores disjuntas. • Árvore ordenada: quando a ordem de suas subárvores é relevante para a aplicação que está sendo representada através desta estrutura de dados.
- 18. Terminologia • Árvore binária: quando apresentar no máximo grau 2 em cada nó; • Árvore n-ária: quando apresentar no máximo grau n em cada nó.
- 19. Terminologia • Árvores isomorfas: quando é possível que se tornem coincidentes através de uma permutação na ordem das subárvores de seus nós. • Árvores balanceadas: é aquela na qual existe uma distribuição equilibrada entre os nós da árvore, ou seja, existe uma diferença mínima entre todas as folhas e a raiz. • Uma árvore cheia ou completamente balanceada é aquela em que todas as folhas estão a uma distância igual da raiz.
- 20. Terminologia • Caso o número de nós seja diferente de zero, existe sempre uma raiz; • Caso o número de nós seja zero, é denominada vazia.
- 21. Operações Básicas • Criação de uma árvore; • Alocação das variáveis necessárias para a definição da árvore; • As demais operações são habilitadas depois disso. • Inserção de um novo nó: • Como raiz; • Como folha; • Como uma posição intermediária.
- 22. Operações Básicas • Exclusão de um Nó: • Quando não se realiza sobre uma folha, precisa reorganizar a árvore. • Acesso a um Nó; • Destruição de uma árvore.
- 23. Outras Operações • Pai: dado um determinado nó, retorna o endereço do nó imediatamente superior; • Tamanho: retorna o número total de nós de uma árvore; • Altura: retorna a altura da árvore.
- 24. Árvores Usando Contiguidade Física • Não é intuitiva como era no caso das Listas Lineares; A E DCB GF IH A(3) B(1) C(0) D(4) E(0) F(0) G(0) H(0) I(0) A(3) B(1) E(0) C(0) D(4) F(0) G(0) H(0) I(0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
- 25. Implementações A E DCB GF IH A(3) B(1) C(0) D(4) E(0) F(0) G(0) H(0) I(0) A(3) B(1) E(0) C(0) D(4) F(0) G(0) H(0) I(0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Por Níveis Por Profundidade
- 26. Desvantagens Usando Contiguidade Física • Implementação não constitui uma boa representação física de árvores; • Dificuldade de seguir a hierarquia implícita nestas estruturas ao manipular a árvore; • Inserção e Remoção demorada;
- 27. Vantagens Usando Contiguidade Física • É eficiente em termos de espaço ocupado, principalmente quando o grau não varia muito; • Implementação é mais simples se existir limitação do número de descendentes.
- 28. Árvore Ternária Usando Contiguidade Física A E DCB F G A B C D λ E λ λ λ λ λ F G ... 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
- 29. Árvores Implementadas por Encadeamento • O acesso se dá sempre pela raiz; • Os demais nós são alcançados somente pelos endereços dos elos; • A hierarquia de subordinação, implícita nas árvores, fica perfeitamente representada. • Todos os nós da árvore deve apresentar a mesma estrutura.
- 30. Árvore Implementada Através de Encadeamento A E DCB F G A C / / /B / / D / F / / /E / / / G / / /
- 31. Vantagens da Implementação por Encadeamento • É bastante Intuitiva; • Inserção e Remoção são simples, constituindo basicamente na atualização de endereços nos campos de elo de alguns nós.
- 32. Desvantagens da Implementação por Encadeamento • Árvores cujos nós têm grau variado apresentam geralmente muitos campos de elo ociosos; • O Acesso aos nós pode ser dificultado devido à necessidade de acessar qualquer nós sempre através da raiz.
- 33. Exercício • Considere a árvore com representação aninhada a seguir: ( A ( B ) ( C ( F ( H ) ( I ) )) ( D) ( E ( G ) ) ) • Represente a mesma árvore através de: • Diagrama de Inclusão; • Diagrama de barras; • Numeração por níveis; • Monte a árvore na grafia convencional. A ECB F G D IH
- 34. Exercício • Represente a mesma árvore através de: • Diagrama de Inclusão; • Diagrama de barras; • Numeração por níveis; • Representação aninhada. A I RQ W J S Y DD HH GGZ EE
- 35. Exercício • Para a árvore ao lado, responda às perguntas a seguir: • Quantas subárvores esta árvore contém? • Quais os nós-folha? • Qual o grau de cada nó? • Qual o grau da árvore? • Liste os ancestrais dos nós B, G e I. • Liste os nós de quem F é ancestral próprio. • Liste os nós de quem D é descendente próprio. • Dê o nível e a altura do nó F e A. • Qual a altura da árvore? A ECB F G D IH
- 36. Resposta • Quantas subárvores esta árvore contém? 4 • Quais os nós-folha? B, D, G, H e I • Qual o grau de cada nó? • A=4,B=0,C=1,D=0,E=1,F=2,G=0,H=0 e I=0 • Qual o grau da árvore? 4 • Liste os ancestrais dos nós B, G e I. • B=A; G=A e E; I=A, C e F • Liste os nós de quem F é ancestral próprio. H e I • Liste o nó de quem D é descendente próprio. A • Dê o nível e a altura do nó F e A. • F: Nível 3 e Altura 2 A: Nível 1 e Altura 4 • Qual a altura da árvore? 4 (maior caminho) A ECB F G D IH
- 37. A ECB G I D ML O RQ F KJ P TS H N Exercício Para a árvore ao lado, responda às perguntas a seguir: • Quantas subárvores o nó G contém? • Quais os nós-folha? • Qual o grau de cada nó? • Qual o grau da árvore? • Liste os ancestrais dos nós L, Q e U. • Liste os nós de quem P é ancestral próprio. • Liste os nós de quem G é descendente próprio. • Dê o nível e a altura do nó J, G, S, O e A. • Qual a altura da árvore? U
- 38. Inserção em Árvore AVL • https://www.cs.usfca.edu/~galles/ visualization/AVLtree.html