aula matematica resolução exercicios enem

(VUNESP – MODELO ENEM) – Se dobrarmos
convenientemente as linhas tracejadas da figura abaixo,
obteremos uma figura espacial cujo nome é:
a) pirâmide de base pentagonal
b) paralelogramo
c) octaedro
d) tetraedro
e) prisma

(VUNESP – MODELO ENEM) – O volume do ar contido
em um galpão com a forma e dimensões dadas pela
figura abaixo é:
a) 288
b) 384
c) 480
d) 360
e) 768

A área lateral de um prisma regular hexagonal é o triplo
da área da base desse prisma. Calcular o seu volume,
sabendo que a base do prisma tem 12 cm de perímetro.

Uma caixa-d'água, em forma de paralelepípedo
retângulo, tem dimensões de 1,8 m, 15 dm, e 80
cm. Sua capacidade é:
a) 2,16 litros
b) 21,6 litros
c) 216 litros
d) 1080 litros
e) 2160 litros

(UFPB 1998) Os algarismos “1” e “9” que compõem o número
1999, desenhado abaixo, foram confeccionados emendando-se
pequenos cubos de madeira de aresta 0,10 m.
Determine o volume total, em m3
, da madeira utilizada na
confecção do número 1999.
RESOLUÇÃO:
Observe que o número é composto por 41 cubinhos
de volume v = (0,1) 3
 V = 41 . (0,1) 3
V = 0,041 m 3
é igual a:

Prisma é um poliedro convexo tal que duas faces são polígonos congruentes
situados em planos paralelos e as demais faces são paralelogramos.
Capítulo 03. Prismas 1. Definição e Elementos
Na figura acima temos:
1o
) os triângulos ABC e A’B’C’
(polígonos congruentes
situados em planos paralelos)
são as bases do prisma.

Capítulo 03. Prismas
2o
) os paralelogramos ABB’A’, CBB’C’ e
ACC’A’ (demais faces) são as faces laterais
do prisma.

3o
) os lados dos polígonos que são as bases
do prisma, AB, BC, AC, A’B’, B’C’e A’C’, são
as arestas das bases do prisma.

4o
) os lados das faces laterais que têm uma
extremidade em cada base são as arestas
laterais do prisma.

5o
) a distância entre os planos das bases é a
altura do prisma.

Os prismas recebem nomes de acordo com os polígonos das bases.
• um prisma é triangular quando suas bases são triângulos;
• um prisma é quadrangular quando suas bases são
quadriláteros;
• um prisma é pentagonal quando suas bases são
pentagonais;
• um prisma é hexagonal quando suas bases são hexagonais.
Quando as arestas laterais de um prisma forem
perpendiculares aos planos das bases, o prisma é chamado de
reto; caso contrário, de oblíquo.
2. Nomenclatura e
Classificação

(UFPB 1998) Os algarismos “1” e “9” que compõem o número
1999, desenhado abaixo, foram confeccionados emendando-se
pequenos cubos de madeira de aresta 0,10 m.
Determine o volume total, em m3
, da madeira utilizada na
confecção do número 1999.
RESOLUÇÃO:
Observe que o número é composto por 41 cubinhos
de volume v = (0,1) 3
 V = 41 . (0,1) 3
V = 0,041 m 3
é igual a:
EXERCÍCIO EXTRA 01

Geometria espacial
Esta parte da matemática está relacionada
principalmente ao cálculo de volumes dos sólidos

PRISMA
Prisma é um sólido geométrico delimitado por
faces planas,
no qual as bases se situam em
planos paralelos.
Quanto à inclinação das arestas laterais,
os prismas podem ser
retos
ou
oblíquos.

NOMENCLATURA DO PRISMA
O nome do prisma depende de sua base
Prisma Base Esboço geométrico
Triangular triângulo
Quadrangular quadrado
Pentagonal pentágono

Vamos por partes:
PRISMA - è um sólido geométrico que
tem bases paralelas e faces laterais
retangulares
Face lateral
Aresta
lateral
Base

Bases: regiões poligonais
congruentes
Altura: distância entre as bases
Arestas laterais paralelas: mesmas
medidas
Faces laterais: paralelogramos
•Prisma reto
As arestas laterais têm o
mesmo comprimento.
As arestas laterais são
perpendiculares ao
plano da base.
As faces laterais são
retangulares.
Prisma oblíquo
As arestas laterais têm o
mesmo comprimento.
As arestas laterais são
oblíquas ao plano da
base.
As faces laterais não são
retangulares.
PRISMA
Prisma é um sólido geométrico delimitado por faces planas, no qual as bases se
situam em planos paralelos. Quanto à inclinação das arestas laterais, os prismas
podem ser retos ou oblíquos.

ÁREA LATERAL DO PRISMA SL
a
b
c
d
SL = ( a + b +c +d ) h
De uma forma geral : SL = P. h
Onde P = perímetro da base e h = altura

Seção transversal
É a região poligonal
obtida pela
interseção do prisma
com um plano
paralelo às bases,
sendo que esta região
poligonal é
congruente a cada
uma das bases.
ÁREA TOTAL ( St )
É a soma da área das duas
bases mais a área lateral
St = 2 Sb + S L
VOLUME ( v )
É o produto da área da
base pela altura do prisma
V = Sb .h

AT = Área total
V = Volume
D diagonal
Onde:

CILINDRO
O conceito de cilindro é muito importante. Nas cozinhas encontramos
aplicações intensas do uso de cilindros. Nas construções, observamos
caixas d'água, ferramentas, objetos, vasos de plantas, todos eles com
formas cilíndricas.
Aplicações práticas: Os cilindros abaixo recomendam alguma
aplicação importante em sua vida?

Num cilindro, podemos identificar vários elementos:
Base
É a região plana contendo a curva diretriz e todo o seu interior. Num cilindro
existem duas bases.
Eixo
É o segmento de reta que liga os centros das bases do "cilindro".
Altura
A altura de um cilindro é a distância entre os dois planos paralelos que contêm
as bases do "cilindro".
.
Área lateral
É a medida da superfície lateral do cilindro.
Área total
É a medida da superfície total do cilindro.
Seção meridiana de um cilindro
É uma região poligonal obtida pela interseção de um plano vertical que passa
pelo centro do cilindro com o cilindro.

O conceito de cone
Considere uma região plana limitada por uma curva suave (sem
quinas), fechada e um ponto P fora desse plano. Chamamos de cone
ao sólido formado pela reunião de todos os segmentos de reta que
têm uma extremidade em P e a outra num ponto qualquer da região.

• Base: A base do cone é a região plana contida
no interior da curva, inclusive a própria curva.
• Vértice: O vértice do cone é o ponto P.
• Eixo: Quando a base do cone é uma região que
possui centro, o eixo é o segmento de reta que
passa pelo vértice P e pelo centro da base.
• Geratriz: Qualquer segmento que tenha uma
extremidade no vértice do cone e a outra na
curva que envolve a base.
• Altura: Distância do vértice do cone ao plano
da base.
• Superfície lateral: A superfície lateral do cone
é a reunião de todos os segmentos de reta que
tem uma extremidade em P e a outra na curva
que envolve a base.
• Superfície do cone: A superfície do cone é a
reunião da superfície lateral com a base do
cone que é o círculo.
• Seção meridiana: A seção meridiana de um
cone é uma região triangular obtida pela
interseção do cone com um plano que contem o
eixo do mesmo.

pelo Teorema de Pitágoras, temos: g2
= h2
+ R2
A Área Lateral de um cone circular reto pode ser obtida em função de g
(medida da geratriz) e R (raio da base do cone):
ALat
= p R g
A Área total de um cone circular reto pode ser obtida em função de g
(medida da geratriz) e R (raio da base do cone):
ATotal
= p R g + p R2

VOLUME DO CONE
O volume do cone é 1/3 do volume do CILINDRO
V =1/3 p R2
. H
Em outras palavras: podemos considerar o cone
como se fosse uma pirâmide de base redonda

Uma garrafa de vidro e uma lata de alumínio, cada uma contendo 330
mL de refrigerante, são mantidas em um refrigerador pelo mesmo longo
período de tempo. Ao retirá-las do refrigerador com as mãos
desprotegidas, tem-se a sensação de que a lata está mais fria que a
garrafa.
É correto afirmar que:
a) a lata está realmente mais fria, pois a capacidade calorífica da garrafa
é
maior que a da lata.
b) a lata está de fato menos fria que a garrafa, pois o vidro possui
condutividade menor que o alumínio.
c) a garrafa e a lata estão à mesma temperatura,possuem a mesma
condutividade térmica, e a sensação deve-se à diferença nos calores
específicos.
d) a garrafa e a lata estão à mesma temperatura, e a sensação é devida
ao
fato de a condutividade térmica do alumínio ser maior que a do vidro.
e) a garrafa e a lata estão à mesma temperatura, e a sensação é devida
ao
fato de a condutividade térmica do vidro ser maior que a do alumínio.

Para resolver o problema proposto nessa questão, o
participante deveria mostrar ser capaz de selecionar
as variáveis relevantes que podem explicar o fenômeno
descrito pela sensação de a lata parecer mais fria
que a garrafa, a saber, temperatura e condutividade
térmica de diferentes materiais. Mais da metade
(66%) dos participantes assinalou a alternativa correta
e, possivelmente, a escolha dos distratores pode
ser entendida como compreensão errada da
condutividade
térmica do alumínio e do vidro.

Numa caixa de água em forma de paralelepípedo reto-
retângulo cujo comprimento é 6 m, a largura 5 m e a altura 10
m, coloca-se um sólido de forma irregular que afunda ficando
totalmente coberto pela água. Sabendo-se que o nível da água
eleva-se de 20 cm sem derramar, calcular o volume do sólido.
EXERCÍCIO 01

02. (ENEM) Em muitas regiões do estado do Amazonas, o
volume de madeira de uma árvore cortada é avaliado de
acordo com uma prática dessas regiões:
I. Dá-se uma volta completa em torno do tronco com um
barbante.
II. O barbante é dobrado duas vezes pela ponta e, em
seguida, seu comprimento é medido com fita métrica.
1ª dobra
2ª dobra

III. O valor obtido com essa medida é multiplicado por ele
mesmo e depois multiplicado pelo comprimento do tronco.
Esse é o volume estimado de madeira.
Outra estimativa pode ser obtida pelo cálculo formal do
volume do tronco, considerando-o um cilindro perfeito.
A diferença entre essas medidas é praticamente
equivalente às perdas de madeira no processo de corte
para comercialização.
Pode-se afirmar que essas perdas são da ordem de:
a) 30%
b) 22%
c) 15%
d) 12%
e) 5%

A resolução deste problema pressupõe a compreensão do
procedimento descrito no enunciado para a estimativa do volume, o
conceito básico de volume do cilindro como .área da base × altura.
e fórmulas simples, trabalhadas tradicionalmente nas escolas:
comprimento da circunferência e área da circunferência. Os
resultados, que mostram um pequeno percentual de acertos (15%),
podem ser possivelmente explicados pelo desconhecimento
dessas fórmulas ou pela não-compreensão do procedimento
descrito ou, ainda, pela dificuldade em associar corretamente a
diferença entre as duas estimativas e o percentual de perdas
(proporção).

03. No desenho a seguir, dois reservatórios de
altura H e raio R, um cilíndrico e outro cônico, estão
totalmente vazios e cada um será alimentado por
uma torneira, ambas de mesma vazão. Se o
reservatório cilíndrico leva 2 horas e meia para ficar
completamente cheio, o tempo necessário para que
isto ocorra com o reservatório cônico será de:
a) 2 h
b) 1 h e 30 min
c) 1 h
d) 50 min
e) 30 min
RESOLUÇÃO: O cone é como se fosse uma pirâmide de
base redonda. O seu volume é 1/3 do volume do CILINDRO
1/3 de 150 min = 50 min

04. ( Ufpe ) Um queijo tem a forma de um cilindro
circular reto com 40cm de raio e 30cm de altura.
Retira-se do mesmo uma fatia, através de dois cortes
planos contendo o eixo do cilindro e formando um
ângulo de 60°. Se V é o volume, em cm3
, do que
restou do queijo (veja a figura a seguir), determine
V/103
 . RESOLUÇÃO:
v =  r 2
. H
v =  40 2
. 30
v =  1600 . 30
v = 16 . 3 . 1000 
Volume restante = 5/6 do volume do queijo
v = 5/6 . 16 . 3 . 1000 
Resposta : 40
v = 40 . 1000  / 10 3

Por que 5/6 do volume do queijo?

A figura abaixo representa uma pirâmide regular de
base quadrada, de 8 cm de altura e aresta da base 12
cm Calcule sua área lateral e seu volume .
EXERCÍCIO 05
6
8
ap
ap2
= 62
+ 82
ap2
= 36 + 64
ap2
= 100
ap = 10 cm
Cálculo da área
lateral AL:
AL = 4 [ ap . 12] / 2
AL = 2 [ ap. 12] AL = 2 [ 10 . 12] AL = 240 cm 2

A figura abaixo representa uma pirâmide regular de
base quadrada, de 8 cm de altura e aresta da base 12
cm Calcule sua área lateral e seu volume .
EXERCÍCIO 05
ap
Cálculo do volume:
Ab  Área da base
V  volume
H  altura da pirâmide
3
).
( h
Ab
V 
3
8
).
12
.
12
(

V
3
384 cm
V 

06. A água de um reservatório na forma de um
paralelepípedo retângulo de comprimento 30m e largura
20m atingia a altura de 10m. Com a falta de chuvas e o
calor, 1800 metros cúbicos da água do reservatório
evaporaram. A água restante no reservatório atingiu a
altura de:
a) 2m.
b) 3m.
c) 7m.
d) 8m.
e) 9m.
V = 30 . 20 . h
30 . 20 . h =
1800
h = 1800 / 600
h = 3 m
R E S O L U Ç Â O :
Vamos calcular a altura da
água evaporada ( h ) 
altura restante = 10 – 3 = 7 m

07. ( UNEB – 2001 ) Um litro de leite está embalado em
uma caixa. Colocando-se 3/4 do conteúdo da caixa em
uma jarra em forma de um cilindro circular reto de raio da
base igual a 5 cm, a altura do nível de leite, no recipiente
cilíndrico, fica aproximadamente igual a
01) 4,25 cm
02) 5,00 cm
03) 7,80 cm
04) 9,55 cm
05) 11,20 cm
V =  r2
. H
3,14 . 52
. H = 750
H = 750 / 78,5
H = 9,55
RESOLUÇÃO:
Obs: 1 litro tem 1 000 cm 3
logo
¾ equivale a 750 cm3
.

08. De uma viga de madeira de seção quadrada de
lado l =10cm extrai-se uma cunha de altura h=15cm,
conforme a figura. O volume da cunha é:
a) 250 cm3
b) 500 cm3
c) 750 cm3
d) 1000 cm3
e) 1250 cm3
RESOLUÇÃO:
V = 750 cm 3
V = 10 .
10.15
2

O nível de 40m foi atingido quantas vezes neste período?
11. (Ufpe 95) No gráfico a seguir, temos o nível da água
armazenada em uma barragem, ao longo de três anos.
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5

08. Deseja-se construir um cone circular reto com 4cm
de raio da base e 3cm de altura. Para isso, recorta-se,
em cartolina, um setor circular para a superfície lateral
e um círculo para a base. A medida do ângulo central
do setor circular é:
EXERCÍCIO EXTRA 01
a) 144°
b) 192°
c) 240°
d) 288°
e) 336°
5  360
º
4  x
º
x = 4 . 360 / 5
x =
288º

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