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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
Aulas Virtuais: Aula 6
Prof. Vandenberg L. Vieira
UEPB
22/07/2021
Prof. Vandenberg L. Vieira (UEPB) CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 22/07/2021 1 / 19

Exemplos de Grá…cos de Funções de duas Variáveis
Example
A equação x2 + y2 + z2 = 25, quando resolvida em z, nos permite de…nir
funções com as seguintes regras:
z =
p
25 x2 y2 e z =
p
25 x2 y2.
Para a função z = f (x, y) =
p
25 x2 y2, nós já determinamos seu
domínio,
D(f ) = f(x, y) 2 R2
: x2
+ y2
25g.
Vejamos agora o seu grá…co. Notemos que o maior valor de z é 5, que
ocorre quando x = y = 0. Essas informações já são su…cientes para
considerarmos o grá…co de f

Este grá…co representa o hemisfério superior (norte), ou seja, ele está
sobre e acima da plano xy, com raio r = 5 e cujo centro está na origem.

Example
A função z = f (x, y) = x2 + y2, de…nida para todo plano, isto é,
D(f ) = R2, tem por grá…co um parabolóide de revolução em torno do
eixo-z. De fato, este grá…co é obtido por rotação, em torno do eixo-z, da
parábola z = y2, no plano Oyz. Podemos perceber isto de outra forma,
senão vejamos. O grá…co da superfície no plano xy pode ser encontrado
usando a equação z = 0, isto é, x2 + y2 = 0, que é a origem. Os traços
nos planos xz e yz são encontrados usando as equações y = 0 e x = 0,
respectivamente. Esses traços são as parábolas z = x2 e z = y2. Agora, a
secção transversal da superfície em um plano z = k, paralelo ao plano xy,
é uma circunferência de raio
p
k. À luz destas informações, obtemos o
seguinte grá…co:

Como já observamos, esboçar um grá…co de funções de duas variáveis é,
em geral, uma tarefa difícil. Entretanto, outro modo muito conveniente de
visualizar geometricamente um função de duas variáveis, z = f (x, y),
consiste em representar, no plano Oxy, as chamadas curvas de nível dessa
função.
De…nição
Consideremos a função z = f (x, y). Quando atribuímos a z um valor
constante k, o conjunto de dos pontos (x, y) que satisfazem a equação
f (x, y) = k formam, em geral, uma curva Ck , chamada curva de nível da
função f correspondente ao valor k. Um conjunto de curvas de nível é
chamado de mapa de cotorno.

Example
Consideremos a função z = f (x, y) = 8 x2 2y. Fazer um esboço do
grá…co de f e um mapa de cortono de f mostrando suas curvas de nível
para os seguintes valores:
k = 10, 8, 6, 4, 0, 2, 4 e 8.
Solução: Quando fazemos x = 0 em z = 8 x2 2y, obtemos a equação
z = 8 2y. Esta é a equação de uma reta (decrescente) no plano Oyz,
que passa pelos pontos P1(0, 0, 8) e P2(0, 4, 0). Por outro lado, pondo
y = 0, temos z = 8 x2, que é uma equação de uma parábola em x com
concavidade para baixo. Levando estas informações em consideração,
apresentamos um esboço do grá…co de f .

As curvas de nível de f são obtidas por meio da igualdade
8 x2 2y = k, ou melhor,
y =
1
2
x2 1
2
k + 4.
Para cada k, a equação obitda uma parábola em x. Sendo assim, para os
valores
k = 10, 8, 6, 4, 0, 2, 4 e 8,
obtemos o seguinte mapa de contorno:

Limite e Continuidade de Funções de Várias Variáveis
Quando estudamos funções de duas variáveis, seus domínios são conjuntos
de pontos (x, y) do plano, que podem ser o plano todo ou conjunto mais
restritos, como retângulos, círculos, elipse, etc. Quando lidamos com esses
domínios mais restritos, às vezes é necessário distinguir entre pontos
internos e pontos da fronteira do conjunto.
De…nição
Se P(x 1, x2, . . . , xn) e Q(y 1, y2, . . . , yn) são dois pontos em Rn, então, a
distância entre P e Q, denotada por kP Qk, é dada por
kP Qk =
q
(x1 y1)2 + (x2 y2)2 + + (xn yn)2.
Notemos que, por de…nição, kP Qk é um número real não negativo, isto
é, kP Qk 0.

Por exemplo, em R, R2 e R3, temos, respectivamente,
R = kP Qk = jx1 y1j ,
R2 = kP Qk =
p
(x1 y1)2 + (x2 y2)2
R3 = kP Qk =
p
(x1 y1)2 + (x2 y2)2 + (x3 y3)2.

De…nição
Se A é for um ponto em Rn e r for um número positivo, então, a bola
aberta B(A; r) será de…nida como o conjunto de todos os pontos P em
Rn, tais que
kP Ak < r.
Enquanto bola fechada B[A; r] será de…nida como o conjunto de todos os
pontos P em Rn, tais que
kP Ak r.

Figure: Bola fechada B[(x0, y0); r] em R2.

Assim, a bola fechada ou disco fechado B[(x0, y0); r] em R2 é o conjunto
de todos os pontos na bola aberta B((x0, y0); r) e sobre a circunferência
com centro (x0, y0) e raio r,
B((x0, y0); r) = (x, y) 2 R2
:
q
(x x0)2 + (y y0)2 < r .
Da mesma forma, se (x0, y0, z0) for um ponto em R3, então, a bola aberta
B((x0, y0, z0); r) em R3 consiste em todos os pontos no interior da região
limitada pela esfera, com centro (x0, y0, z0) e raio r,
((x0, y0); r) = (x, y, z) 2 R3
:
q
(x x0)2 + (y y0)2 + (z z0)2 < r
Também, a bola fechada B[(x0, y0, z0); r] em R3 consiste em todos os
pontos na bola B((x0, y0, z0); r) e sobre a esfera tendo seu centro em
(x0, y0, z0) e raio r.

Figure: Esfera de centro (x0, y0, z0) e raio r

Agora, já podemos apresentar a de…nição de limite de uma função de n
variáveis.
De…nição
Seja f uma função de n variáveis que está de…nida em uma bola aberta
B(A; r), exceto possivelmente no próprio A 2 Rn. Então, o limite de
f (x1, x2, . . . , xn) quando P tende a A é L, em símbolos
lim
P!A
f (x1, x2, . . . , xn) = L,
se para todo ε > 0, por menor que seja, existe δ > 0 tal que
0 < kP Ak < δ ) kf (P) Lk < ε,
em que P = (x1, x2, . . . , xn). Notemos que, em particuar, quando f for
uma função de uma variável, P = x e A = a 2 R, então, a de…nição
assegura que lim
P!a
f (x) = L quando:
0 < kx ak < δ ) kf (x) Lk < ε.

Por isso, a de…nição de limite de uma função de uma variável é um caso
particular da de…nição para uma função de n variáveis. Para uma função
de duas vaiáveis, com A = (x0, y0) e P = (x, y), temos:
De…nição
Seja f uma função de n variáveis que está de…nida em um disco aberto
B(A; r), exceto possivelmente no próprio A 2 Rn. Então, o limite de
f (x, y) quando (x, y) tende a (x0, y0), em símbolos
lim
P!A
f (x, y) = L,
se para todo ε > 0, por menor que seja, existe δ > 0 tal que
0 <
q
(x x0)2 + (y y0)2 < δ ) kf (x, y) Lk < ε.

Podemos dar a seguinte interpretação geometrica para a de…nição de
limite de um função de duas variávies:

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