Capitulo4 bombascentrifugas[1]

Máquinas Termohidráulicas de Fluxo 86

4. BOMBAS CENTRÍFUGAS (TURBOBOMBAS)

4.1. Teoria Monodimensional
Para bem projetar uma bomba, o engenheiro projetista parte, normalmente, de um
conjunto de hipóteses ideais e simplificadoras, para, posteriormente, transformar tais
condições ideais em reais pela introdução de fatores de correção.
Assim a teoria monodimensional (que é ideal e simplificadora), admite as seguintes
hipóteses:
1. A bomba será considerada como tendo um número infinito de palhetas.
2. As palhetas serão consideradas como sendo infinitamente delgadas, ou seja, sem
espessura.
A Figura (4.1) mostra dois cortes em uma bomba centrífuga, um corte radial A-B e o
corte longitudinal C-D.

2
2

1
1

Figura 4.1 – Cortes na bomba centrífuga.

Todas as hipóteses feitas no Capítulo II devem ser aplicadas neste tópico.

Definição
H th∞ : é a quantidade de energia cedida a 1 kg de fluido que atravessa uma bomba ideal;
H th : é a quantidade de energia cedida a 1 kg de fluido que atravessa uma bomba real.

07 de fevereiro de 2006 Alex N. Brasil


Evidentemente,

H th∞ > H th (4.1)

As formas da Equação de Euler são aplicáveis para as turbombombas, e a energia que
teoricamente a bomba cede à unidade de peso de fluido que passa pelo seu rotor é
positiva, e medida em metros:

1 ⎡ 2
H th∞ =
2g
( 2
) (
2 2 2
) (
⎣ V2 − V1 + U 2 − U1 + W1 − W2 ⎦
2
⎤ ) (4.2)

onde:
u - velocidade da pá do rotor (tangencial) u = ω ⋅r [ m s] ;
V - velocidade absoluta do fluido (vista por um observador estacionário) [ m s ] ;
W - velocidade relativa da corrente fluida (vista por um observador solidário às pás) [ m s ] .

A Equação (3.2) é chamada equação de Euler (escrita em sua forma mais geral) e
fornece o valor de H th∞ em função das velocidades componentes dos triângulos teóricos
à entrada e à saída do rotor.
Fazendo as simplificações possíveis a equação de Euler assume o aspecto apresentado
em (3.3).
1
H th∞ = (Vt 2 ⋅ u2 − Vt1 ⋅ u1 ) (3.3)
g

onde:
H th∞ : é a quantidade de energia cedida a 1 kg de fluido que atravessa uma bomba ideal [m];
u1 - velocidade tangencial de um ponto situado na entrada do rotor [ m s ] ;
u2 - velocidade tangencial de um ponto situado na saída do rotor [ m s ] ;
Vt1 - projeção do vetor V1 sobre a velocidade da pá u1 , à entrada do rotor [ m s ] ;
Vt 2 - projeção do vetor V2 sobre a velocidade da pá u2 , à saída do rotor [ m s ] .

Tal equação assume ainda características mais simples para o caso específico das
bombas com fluxo radial a entrada. Realmente:
Fluxo radial a entrada → α1 = 90º ;
α1 = 90º → cos α1 = 0 → Vt1 = V1 ⋅ cos α1 = 0 .

Para esse caso, a equação de Euler se resume a:

1
H th∞ = Vt 2 ⋅ u2 (3.4)
g



No rotor da bomba se dá a transferência de energia para o líquido - o fluido de trabalho.
As aletas do rotor impõem uma variação da quantidade de movimento angular do
escoamento de líquido, que reage exercendo um torque sobre o rotor. O rotor gira a
velocidade angular constante, o que implica na existência de uma potência disponível,
no movimento de rotação do rotor (isto é, no eixo da bomba), igual a

W = Tω (3.5)

onde T é o torque e ω é a velocidade angular do rotor (radiano/tempo), igual a (2πn)
sendo n a rotação, número giros na unidade de tempo. Se a rotação dos motores é dada
em rpm (rotações por minuto), como é freqüente, e a velocidade angular deve ser
calculada em (radianos por segundo), ela é obtida de (2πn / 60).

4.2. Triângulos de Velocidades
O vetor velocidade relativa do fluido de trabalho, W , é sempre tangente à aleta, em
qualquer ponto do escoamento através do rotor, desde a aresta de entrada até a aresta de
saída de cada um dos canais formados por aletas consecutivas. A Figura (4.2) ilustra
este escoamento relativo idealizado, no rotor de uma bomba que tem infinitas aletas de
espessura desprezível.
Para que se aplique a Equação de Conservação do Momento Angular, entretanto, é
necessário conhecer a velocidade absoluta do escoamento, V , (em relação a um
referencial inercial) em seu percurso através do rotor. Mas a velocidade relativa do
escoamento é conhecida (em direção e sentido), em qualquer posição radial entre as
arestas de entrada e saída do rotor. Também é conhecida a velocidade do rotor
(velocidade tangencial), u , em qualquer posição radial, desde que a velocidade angular
ω seja especificada, assim como as dimensões geométricas do rotor.
movimento relativo da partícula de fluido
aresta de saída

aleta

aresta de entrada

ω

centro de giro do rotor

Figura 4.2 – Corte radial do rotor de uma bomba centrífuga.



Figura 4.3 – Triângulos de velocidade de uma bomba centrífuga.

Consequentemente, a velocidade absoluta do fluido de trabalho, V , pode ser obtida da
composição vetorial das velocidades relativa, do fluido, e absoluta, do rotor, em
posições radiais genéricas. As composições vetoriais nas arestas de entrada e saída do
rotor estão mostradas na Fig. (4.4). Também estão indicadas nesta figura algumas
dimensões geométricas características: os raios r1 e r2 , das arestas de entrada e saída
do rotor, e a espessura δ da aleta.
w2

V2
δ r2

w1

r1 u2
V1

u1

Figura 4.4 – Corte radial do rotor - composição vetorial para determinar a velocidade absoluta do fluido.

Nestas composições denominou-se W a velocidade relativa do fluido de trabalho, V sua
velocidade absoluta. A região da aresta de entrada do rotor está indicada pelo subscrito
1 e a de saída, pelo subscrito 2 . Assim, u1 , W1 , e V1 , são as velocidades na entrada do
rotor (na entrada do V.C., para efeito de aplicação da Equação de Conservação do
Momento Angular), e u2 , W2 , e V2 , são as velocidades na saída do rotor (na saída do
V.C.). Denomina-se β o ângulo entre a velocidade relativa e a direção tangencial,



medido em sentido oposto ao giro do rotor, e α o ângulo entre a velocidade absoluta e
a direção tangencial. Esta composição vetorial forma os triângulos de velocidade do
escoamento na entrada e saída do rotor (isto é, nas regiões das arestas de entrada e saída
do rotor):

w1 v2 w2
w1 w2 v2

α1
β1 α1 β1 β2 α2 α2 β2

u1 u1 u2 u2

Figura 4.5 – Triângulos de velocidade nas arestas de entrada e saída do rotor

Da análise dos triângulos de velocidade de entrada e saída do rotor podemos obter as
seguintes relações trigonométricas:

Tabela 4.1 – Relações trigonométricas à entrada Tabela 4.2 – Relações trigonométricas à saída
do rotor. do rotor.

W12 = V12 − 2u1V1 cos α1 + u12 W22 = V22 − 2u2V2 cos α 2 + u2
2

Vt1 = V1 cos α1 Vt 2 = V2 cos α 2
Vr1 = W1senβ1 Vr 2 = W2senβ 2
Vr1 = V1senα1 Vr 2 = V2senα 2
Vr1 = Vt1 tan α1 Vr 2 = Vt 2 tan α 2

É interessante observar, a partir da definição dos ângulos α e β, que: o ângulo β,
nesta idealização do escoamento, está fixado a partir do momento em que se define a
curvatura (o desenho, isto é, o projeto mecânico do rotor) das aletas, da entrada até a
saída do rotor. O ângulo α, por seu lado, é função das características operacionais da
bomba (rotação e vazão, entre outras). Isto é, se há variação de rotação da bomba, há
variação do ângulo α, pois a alteração de u, a velocidade tangencial do rotor, altera o
triângulo de velocidades. O mesmo ocorre se a vazão da bomba é alterada (abrindo-se
ou fechando-se uma válvula do sistema de bombeamento ao qual a bomba está
conectada, por exemplo): como a vazão está relacionada com a magnitude da velocidade
absoluta do fluido (a Equação da Conservação da Massa será formulada a seguir), ela
também impõe variações nos triângulos de velocidades quando é alterada.
Com a definição das velocidades do escoamento, e os ângulos que elas formam, pode-se
então formular uma equação para o torque da bomba, T, em função das variáveis
operacionais e características de projeto do rotor da bomba. Neste momento convém
frisar que esta abordagem se aplica às máquinas de fluxo de maneira em geral: bombas
centrífugas, ventiladores e turbinas hidráulicas. Particularidades da formulação serão
destacadas assim que se apresentarem.



Assim, aplicando-se Equação da Conservação da Quantidade de Movimento Angular a
um V.C. delimitado pelas fronteiras do fluido de trabalho no interior do rotor de uma
bomba, da aresta de entrada à aresta de saída, num certo instante t, e considerando que o
escoamento é unidimensional e permanente, o torque T exercido pelo escoamento no
V.C. (consequentemente, no eixo do/a rotor/bomba), é:

(
Teixo = r2Vt2 − rVt1 m
1 ) (3.6)

A componente radial Vr 2 pode ser expressa em termos da vazão em volume que a
bomba descarrega, Q, aplicando-se a Equação de Conservação da Massa ao mesmo
V.C. ao qual foi aplicada a Equação de Conservação da Quantidade de Movimento
Angular. Para tanto, seja o desenho esquemático do corte radial do rotor de uma bomba
centrífuga radial, mostrado a seguir.

b2

canal do rotor aresta de saída

r2

r1
aresta de entrada
largura b1

eixo da bomba

Figura 4.5 – Corte axial do rotor de bomba centrífuga

A largura do rotor na aresta de entrada do rotor é b1 , e na saída, b2 . A Equação da
Conservação da Massa é assim escrita:
Q = 2π ⋅ r1 ⋅ b1 ⋅ Vr1 = 2π ⋅ r2 ⋅ b2 ⋅ Vr 2
Assim,
Q
Vr 2 = (3.7)
2π ⋅ r2 ⋅ b2

onde:
Q = vazão de fluido que passa pelo rotor, em ⎡ m3 s ⎤ ;
⎣ ⎦
Vr = velocidade radial (meridiana), em [ m s ] ;
r = raio da seção considerada, em [m];
b = largura do rotor na seção considerada, em [m].



→ →
→ → V w
Vr = wr
α β
→ →
Vt wt
→
u
Figura 2.40 – Triângulo de velocidades genérico.

Vr 2 u2 − Vt 2
tg β 2 = ⇒ cotg β 2 =
u2 − Vt 2 Vr 2

Vt 2 = u2 − (Vr 2 ⋅ cotg β 2 )

1 u2
H th∞ = ( u2 ⋅Vt 2 ) ⇒ H th∞ = ( u2 − Vr 2 ⋅ cotg β 2 )
g g

u2 ⎛ Q ⎞
H th∞ = ⎜ u2 − ⋅ cotg β 2 ⎟ (3.8)
g⎝ 2π ⋅ r2 ⋅ b2 ⎠

4.3. Altura Manométrica
Define-se a altura manométrica de um sistema elevatório como sendo a quantidade de
energia que deve ser absorvida por 1 (um) quilograma de fluido que atravessa a bomba,
energia esta necessária para que o mesmo vença o desnível da instalação, a diferença de
pressão entre os 2 (dois) reservatórios (caso exista) e a resistência natural que as
tubulações e acessórios oferecem ao escoamento dos fluidos (perda de carga).

Definição Altura Manométrica: é a energia específica que realmente a unidade de peso de um
fluido recebe quando passa pelo rotor de uma bomba.

A Figura (4.6) apresenta a altura manométrica ( H man ) de uma instalação com
reservatórios abertos ( pr = pa = patm ) .



Figura 4.6 – Altura manométrica de uma instalação com reservatórios abertos.

pr − pa
H man = H o + + ΔH (3.9)
γ

onde:
H man - altura manométrica, em [m];
H o - desnível geométrico, em [m];
pr - pressão no reservatório de recalque, em ⎡ kg m 2 ⎤ ;
⎣ ⎦
pa - pressão no reservatório de sucção, em ⎡ kg m ⎤ ;
⎣
2
⎦
γ - peso específico do fluido, em ⎡ kg m3 ⎤ ;
⎣ ⎦
ΔH - perda de carga nas tubulações e acessórios, em [m].

Quando ambos os reservatórios são abertos e sujeitos, portanto, à pressão atmosférica
( pr = pa = patm ) :

H man = H o + ΔH (3.10)

Normalmente as bombas centrífugas são as mais utilizadas nas instalações elevatórias
de líquidos, principalmente de água. A Figura (4.7) mostra um esquema de uma
instalação de bombeamento deste tipo, onde a bomba recalca um fluido, de um nível
mais baixo 0-0 a um nível mais alto 3-3.



pr
3 3

Hr

2 M 2 Ho
y
1 V 1

Ha
pa
0 0

Figura 4.7 – Esquema de uma instalação de bombeamento.

onde:
H o - desnível geométrico (altura total da instalação), em [m];
H a - altura de aspiração ou sucção, em [m];
H r - altura de recalque, em [m];
y - diferença de cota entre a saída e a entrada da bomba;
M - marcação de pressão relativa no manômetro;
V - marcação de pressão relativa no vacuômetro;
pr - pressão absoluta no reservatório de recalque, em ⎡ kg m 2 ⎤ ;
⎣ ⎦
pa - pressão absoluta no reservatório de sucção, em ⎡ kg m 2 ⎤ .
⎣ ⎦

H man = H o + ΔH

H man = H o + ( ΔH a + ΔH r ) (3.11)

As perdas de pressão (perdas de carga) ΔH a e ΔH r são devidas:
Atrito e turbilhonamento do fluido escoando no interior das tubulações;
Mudanças de direções nas curvas das tubulações, atrito e choque nos acessórios de
tubulação (válvulas, registros, etc.);
Variação de energia cinética devido às mudanças de seções nas tubulações.



4.3.1. Curva Característica do Sistema de Tubulações
A forma mais geral das perdas nas tubulações é do tipo:

(Q )
2

ΔH = K ' (3.12)
( Di )
5

Ou mais resumidamente:

ΔH = KQ 2 (3.13)

onde:
Q = vazão volumétrica do fluido, em ⎡ m3 s ⎤ ;
⎣ ⎦
Di = diâmetro interno das tubulações [m];
K ' = constante que depende do tipo de material, acabamento, velocidade de
escoamento, acessórios, etc.

K'
K= (3.14)
Di5

Nota-se que a Eq. (3.13) tem um acabamento parabólico com a vazão, se
esquematizarmos um diagrama ( H man , Q ) incluindo esta perda de carga teremos
aproximadamente a Fig. (4.8):

H

ΔH

Ho

Q
Figura 4.8 – Curva característica do sistema.
A figura (4.8) representa graficamente a Eq. (3.11) com as considerações da Eq. (3.13).



4.3.2. Medição Direta da Altura Manométrica
Numa instalação de bombeamento em funcionamento poderá haver a necessidade de
variar a vazão para atendimento do consumo. Esta variação da vazão, processada
através da variação da abertura do registro de recalque, torna, evidentemente, variável o
valor da altura manométrica (na expressão H man = H o + ΔH , vai variar a perda de
carga).
Através do que, a seguir, se exporá, mostraremos que, com a colocação de um
manômetro à saída da bomba e de um vacuômetro à entrada da mesma, é possível medir
diretamente a altura manométrica desenvolvida pela bomba, qualquer que seja a vazão
recalcada.

M
y
V

Figura 4.9 – Instalação típica com manômetro à saída da bomba e vacuômetro à entrada.

Na Figura (4.9) seja y o desnível entre o manômetro (saída da bomba) e o vacuômetro
(entrada da bomba) e sejam ainda:
1- índice referencial das grandezas relativas à entrada da bomba;
2- índice referencial das grandezas relativas à saída da bomba.
Desta forma, considerando que a altura manométrica é definida como sendo a
quantidade de energia absorvida por 1 kg de fluido que atravessa a bomba, podemos
escrever:

⎛P V ⎞ ⎛P V ⎞
H man = ⎜ 2 + 2 + y ⎟ − ⎜ 1 + 1 ⎟ (3.15)
⎝ γ 2g ⎠ ⎝ γ 2g ⎠

H man = E2 − E1



Consideradas as pressões p2 γ e p1 γ medidas em termos de pressões absolutas,
temos:

p2 patm
M= (abs ) − (abs ) (3.16)
γ γ

patm p1
V= (abs) − (abs) (3.17)
γ γ

Somando membro a membro as Eq. (3.16) e (3.17), teremos:

p2 p1
M +V = (abs ) − (abs) (3.18)
γ γ

⎡⎛ V 2 ⎞ ⎛ V 2 ⎞ ⎤
Como a variação de energia cinética ⎢⎜ 2 ⎟ − ⎜ 1 ⎟ ⎥ é desprezível, levando a Eq.
⎣⎝ 2 g ⎠ ⎝ 2 g ⎠ ⎦
(3.18) em (3.15).

H man = M + V + y (3.19)

Conclusão Numa instalação de bombeamento, a altura manométrica é igual à soma das leituras de
um manômetro (colocado à saída da bomba) e de um vacuômetro (colocado à entrada
da bomba) mais o desnível entre os aparelhos.

Quando os dois mostradores estiverem nivelados ( y = 0 ) Fig. (4.10).

Figura 4.10 – Bombas com manômetro e vacuômetro nivelados.



4.3.3. Natureza das Energias Cedidas por uma Bomba
A energia total cedida ao kg de fluido que atravessa uma bomba (ideal), H th∞ , pode-se
considerá-la como composta de 2 (duas) parcelas.

H th∞ = Hp + H din (3.20)
Onde:
Hp : energia de pressão;
H din : energia cinética.

p2 − p1 V22 − V12
H th∞ = + ΔH1→2 + Z 2 − Z1 +
γ 2g

Logo

V22 − V12
H din = (3.21)
2g

p2 − p1
Hp = + ΔH1→ 2 + Z 2 − Z1 (3.22)
γ

Por isto e com a finalidade de simplificar o raciocínio, consideremos o rotor de uma
bomba com as seguintes características:

O fluxo do fluido à entrada é radial (α1 = 90º ) . Assim, o triângulo de entrada será
retângulo e a equação de Euler assume o aspecto dado pela Eq. (3.4), ou seja:

1
H th∞ = Vt 2 ⋅ u2
g

As seções de entrada e saída dos canais formados pelas pás são iguais.
Consequentemente:
→ →
Vr 2 = Vr1

Nestas condições a Fig. (4.11) apresenta os triângulos teóricos à entrada e à saída
(superpostos):
→ →
→
→
V2
→
Vr 2 = Vr1
V1 w2
α1
α2 β2
→ →
u1 u2
→
Vt 2
Figura 4.11 – Triângulos teóricos superpostos.



Através da Fig. (4.11) conclui-se:

V22 − V12 V22
H din = = (3.23)
2g 2g

A partir da Eq. (3.22) tem-se:

p2 − p1 u2 − u12 w12 − w2
2 2
Hp = + ΔH1→2 + Z 2 − Z1 = +
γ 2g 2g

Porém, ainda pela Fig. (4.11):

w12 − u12 = V12

w2 − V12 = ( u2 − Vt 2 )
2 2

1 ⎡ 2
u2 − ( u2 − Vt 2 ) ⎤
2
Hp = (4.24)
2g ⎣ ⎦

Assim, de posse das equações abaixo, vamos mostrar a influência do perfil da palheta,
determinado pelo ângulo β 2 , na energia cedida ao kg de fluido ( H th∞ ) .

H th∞ = Hp + H din

1
H th∞ = Vt 2 ⋅ u2
g

V22
H din =
2g

1 ⎡ 2
⎣ 2 ( 2 t2 ) ⎦
u − u −V ⎤
2
Hp =
2g

Quanto à inclinação do perfil da palheta (Fig. 4.12), temos:

Figura 4.12 – Rotores com pás inclinadas para traz, com pás radiais à saída e com pás inclinadas para frente.



4.3.4. Influência do Perfil da Palheta na Curva ( H th∞ , Q ) .

Considerando uma bomba de fluxo radial à entrada para a qual:

1
H th∞ = Vt 2 ⋅ u2 (4.25)
g

Considerando o triângulo de velocidades à saída (Fig. 4.13) e aplicando a equação da
continuidade ao rotor da bomba, temos:
Vt 2 = u2 − Vr 2 ⋅ cot β 2 (4.26)

Q
Vr 2 = (4.27)
π d 2b2

→
→ →
u2
→
wr 2 = Vr 2
→ V2
w2
→
β2 α2 u2

→ → →
Vt 2 u2 − Vt 2
→
u2
Figura 4.13 – Triângulo de velocidades de saída.

Levando os valores de (4.26) e (4.27) em (4.25), esta assume o seguinte aspecto:

u2 ⎛ Q ⎞
H th∞ = ⎜ u2 − ⋅ cot β 2 ⎟ (4.28)
g⎝ π d 2b2 ⎠
Teremos, então:
O rotor tem pás radiais à saída ( β 2 = 90º )
Quando β 2 = 90º → cot β 2 é nula.
H th∞ independe da vazão, sendo sua representação gráfica uma reta paralela ao eixo
2
das vazões, passando por um ponto de ordenada igual a u2 g .

O rotor tem pás inclinadas para traz ( β 2 < 90º )
Quando β 2 < 90º → cot β 2 é positiva.
H th∞ decresce com o aumento da vazão, sendo sua representação gráfica uma reta
2
descendente, passando pela ordenada u2 g .

O rotor tem pás inclinadas para frente ( β 2 > 90º )
Quando β 2 > 90º → cot β 2 é negativa.



H th∞ cresce com o aumento da vazão, sendo sua representação gráfica uma reta
2
ascendente, passando pela ordenada u2 g .

Figura 4.14 – Influência do ângulo β2 na curva ( H th∞ , Q ) .

Assim, somado ao fato do rotor com pás inclinadas para frente ceder mais energia
cinética que energia de pressão, surge um outro fato que reafirma a inconveniência desta
concepção construtiva da palheta. Em decorrência da curva ( H th∞ , Q ) ser de natureza
ascendente, constata-se que, testada numa bancada de ensaios, a curva ( H man , Q )
apresenta-se também com um ramo ascendente na origem (Fig. 4.15). A análise desta
figura revela que, para certos valores de H man , é a bomba capaz de recalcar 2 vazões
diferentes: em certo instante recalca a vazão Q1 e, num instante posterior e sem que se
tenha atuado na instalação, passa a bomba a recalcar a vazão Q2 ≠ Q1 . A tal fenômeno
dá-se o nome de “instabilidade de funcionamento”.
Tal fato só no acontece quando esta bomba é posta a operar em instalações com
H man < H (na Fig. 4.15 corresponde a pontos do trecho de curva em negrito).

Figura 4.15 – Fenômeno da instabilidade de funcionamento (típico de rotores com β 2 > 90º ).



4.3.5. Influência do nº Finito de Palhetas. Correção.
Os experimentos têm revelado que entre H th∞ e H th existe a seguinte relação,
conhecida por coeficiente de Pfleiderer:

H th∞ = ΔPfl × H th (4.29)

onde:

ψ r22
ΔPfl = 1 + 2 ⋅ (4.30)
Z r22 − r12

Nesta expressão:
Z: número de palhetas;
r2 : raio externo do rotor;
r1 : raio interno do rotor;
ψ: coeficiente tabelado em função de β 2 , como mostra o gráfico da Fig. (4.16).

Como se vê pela Eq. (4.30), o fator de correção de Pfleiderer é um número maior que 1,
significando ser H th∞ , sempre maior que H th . A diferença entre ambos não é uma perda
energética real, mas uma conseqüência de H th∞ ser definido para uma bomba ideal e
H th para uma bomba real.

O gráfico da Fig. (4.17) dá, a seguir, o valor do coeficiente ψ em função do valor do
ângulo β 2 (ângulo que define a inclinação do perfil da palheta na saída).

Figura 4.17 – Variação de ψ em função de β2.

A análise deste gráfico nos mostra que a cada valor de β 2 corresponde uma gama de
valores para ψ .



Adotar valores elevados de ψ é, praticamente, trabalhar a favor da segurança, pois:
ψ : pequeno ↔ ΔPfl ≅ 1
ΔPfl ≅ 1 ↔ H th∞ ≅ H th

Admitir H th∞ ≅ H th é sinal de que estamos pressupondo que as condições reais são
quase idênticas às ideais, o que não é verdade, de vez que não se pode esperar de uma
máquina real aquilo de que é capaz a máquina ideal.
Tal exposição de fatos nos aconselha, então, a sempre adotar os maiores valores de ψ
dentro da faixa de variação considerada.

Nos rotores onde r2 = 2 ⋅ r1 , a expressão de ΔPf se simplifica para:

8 ψ
ΔPfl = 1 + (4.31)
3 Z

4.3.6. Influência da Espessura das Pás. Correção.
Consideremos o corte radial do rotor centrífugo apresentado na Fig. (4.18) e sejam no
mesmo considerado os seguintes pontos:

Figura 4.18 – Corte radial do rotor centrífugo.

0: ponto da corrente, situado imediatamente antes da entrada do canal móvel, fora da
influência da contração provocada pela espessura das pás.
1: ponto imediatamente após a entrada do canal.
2: ponto imediatamente antes da saída do canal.
3: ponto da corrente situada imediatamente após a saída do canal móvel.

Chamando de v1 de fator de correção devido à contração provocada pela espessura da
palheta, teremos:

Q = π d1 ⋅ b1 ⋅Vr1 ⋅ v1 (4.32)



onde:

S1 ⋅ Z
v1 = 1 − (4.33)
π ⋅ d1 ⋅ sen β1

Adotando o mesmo raciocínio para a saída do canal formado pelas palhetas em função
da nomenclatura adotada, teríamos:

Q = π d 2 ⋅ b2 ⋅Vr 2 ⋅ v2 (4.34)

Onde:

S2 ⋅ Z
v2 = 1 − (4.35)
π ⋅ d 2 ⋅ sen β 2

À saída do canal, todavia, tem o fabricante o costume de afilar as palhetas, o que
evidentemente torna dispensável o uso do fator de correção devido à ampliação da seção
( v2 ) .

4.4. Rendimentos a Considerar em uma Bomba
Rendimento Hidráulico (ηh)
O primeiro rendimento a ser definido é o que relaciona as energias específicas
representadas por H th energia cedida e H man energia realmente recebida, que no final
as diferenças, representam as perdas hidráulicas no interior da bomba ou mais
precisamente no rotor.
Leva em consideração o acabamento superficial interno das paredes do rotor e da
carcaça da bomba.
Representado por:
ηh : rendimento hidráulico da bomba;
H man : energia absorvida por 1 kg de fluido que atravessa a bomba;
H th : energia cedida a cada um dos kg de fluido que atravessam a bomba;
ΔH1− 2 : energia dissipada no interior da bomba (função do seu acabamento superficial
interno).
H th = H man + ΔH1− 2 (4.36)

H man
ηh = (4.37)
H th



H th − ΔH1− 2 ΔH1− 2
ηh = = 1− (4.38)
H th H th

Mostra, assim, a Eq. (4.38) que, quanto maior for ΔH1− 2 (perda de carga no interior da
bomba), tanto menor, para o mesmo valor de H th (energia cedida), será o rendimento
hidráulico (η h ) da bomba.

Rendimento Volumétrico (ηv)
Existem folgas dimensionais entre o rotor e a carcaça e também ao distribuidor.
Quando a bomba está operando, uma vazão (q) de recirculação fica girando nestes
espaços. Portanto para se obter uma vazão volumétrica Q, deve-se considerar uma
vazão Q + q , logo:

Q
ηv = (4.39)
Q+q

Leva em consideração a recirculação e o vazamento existente no estojo de gaxetas da
bomba.
Assim, sendo:
ηv : rendimento volumétrico da bomba;
Q : vazão recalcada pela bomba;
q : a recirculação e vazamento pelo estojo de gaxetas.

A Equação (4.39) mostra, então, que o rendimento volumétrico é a relação entre a vazão
recalcada (Q) e a vazão aspirada pela bomba ( Q + q ).

O rendimento volumétrico assume valores notavelmente elevados, tendo em vista a
recirculação e os vazamentos (q) constituírem um valor muito pequeno. Estes,
recirculação e vazamentos, constituem um valor maior em bombas que desenvolvem
grandes pressões.
Em termos médios, tem-se:

Tabela 4.1 – Faixa de valores de rendimento volumétrico.

Tipo de bomba Faixa de valores de ηv
Bomba de baixa pressão
H man < 15 m 93 % a 98 %
Bomba de média pressão
15 m ≤ H man ≤ 50 m 88 % a 93 %
Bomba de alta pressão
H man > 50 m 83 % a 88 %



Rendimento Mecânico (ηm)
A relação entre a potência necessária ao acionamento da bomba (N), e potência
dissipada em atrito nas gaxetas, mancais e ou rolamentos, etc.
Leva em consideração que, da potência necessária ao acionamento da bomba, apenas
uma parte é, efetivamente, empregada para o ato de bombeamento. Parcela desta
potência necessária será utilizada para vencer as resistências passivas da bomba.
Assim, representado por:
ηm : o rendimento mecânico da bomba.
N: a potência necessária ao acionamento.
ΔN : potência dissipada em atrito no estojo de gaxetas, nos mancais e/ou rolamentos,
nos anéis de desgaste e pelo atrito entre o rotor e o meio fluido no qual gira.
Teremos, por definição:

N − ΔN
ηm = (4.40)
N

Rendimento Total (η ou ηt)
Representado por:
η : rendimento total da bomba.

Teremos:

η = η h × η v ×η m (4.41)

4.5. Potência Necessária ao Acionamento das Bombas
A potência necessária ao acionamento de uma bomba, em kgm s , é dada pela Eq.
(4.42) :
γ ⋅ Q ⋅ H man
N= (4.42)
η
onde:
N : potência necessária ao acionamento, em [ kgm s ] ;
γ : peso específico d fluido, em ⎡ kg m3 ⎤ ;
⎣ ⎦
Q : vazão recalcada, em ⎡ m3 s ⎤ ;
⎣ ⎦
H man : altura manométrica, em [m];
η : rendimento total, em [%].



Para se ter a potência necessária ao acionamento, em CV, usa-se:

γ ⋅ Q ⋅ H man
N= (4.43)
75 ×η

Potência Instalada
Tendo em vista a fabricação dos motores em série, são os mesmos construídos em
potências determinadas (potências comerciais).
Num primeiro estágio, a potência instalada recomendável deve ser a potência do motor
comercial imediatamente superior à potência calculada (potência necessária ao
acionamento).
Assim procedendo, estar-se-á, inclusive, admitindo-se uma certa folga ou margem de
segurança que evitará que o motor venha, por razão qualquer, operar com sobrecarga.
A admissão desta folga ou margem de segurança é tão importante, a ponto, inclusive, de
alguns projetistas recomendarem que a mesma seja adotada nas seguintes proporções,
logo após o cálculo da potência necessária ao acionamento (tabela 4.2):

N
N motor = (4.44)
Rendimento do acoplamento

Tabela 4.2 – Faixa de valores de potência fornecida pelo motor elétrico.
Margem de segurança
Potência calculada
(recomendável)
até 2 cv 50%
de 2 a 5 cv 30%
de 5 a 10 cv 20%
de 10 a 20 cv 15%
acima de 20 cv 10%

Finalmente, para determinação da potência instalada, são os motores elétricos nacionais
normalmente fabricados com as seguintes potências, em CV (e até 250 CV):
14 11 71 25 50 150
2 2
13 30 60 200
2 10
12 3 12 35 80 250
34 5 15 40 100 -
6 20 45 125 -
1



4.6. Exercícios Propostos

1. Uma bomba radial centrífuga apresenta os seguintes dados:
d1 = 10 cm, d2 = 20 cm, b1 = 2cm, b2 = 1,4 cm, β 2 = 30º , η h = 0,8 , n = 1500 rpm,
Q = 40 l s , H man = 9 m. Considerar α1 = 90º .
Determinar:
a) O triângulo de entrada;
b) O triângulo de saída;
c) H th∞ ;
d) H th ;
e) ΔPfl .

2. O departamento técnico de uma indústria dispõe de uma bomba centrífuga, a qual
deverá ser posta a operar em uma instalação com 12 m de altura manométrica. Não
se dispondo das curvas características desta bomba, foi aberta a carcaça da mesma e,
após medições, constatou-se que: d2 = 100 mm, b2 = 8 mm, β 2 = 30º , entrada radial
e palhetas afiladas na cauda.
Presumindo-se que η h = 0, 7 e ΔPfl = 1, 2 , pede-se para prever qual a vazão fornecerá
esta bomba se o motor que a acionará é de 3400 rpm.

3. Uma bomba radial centrífuga tem: η h = 0, 75 , β 2 = 35º , d2 = 2d1 = 100 mm,
b2 = 5 mm. Verificar se os pontos abaixo indicados são compatíveis com o
funcionamento desta bomba.
Ponto H man [m] Q [l s]
A 10 10
B 15 5
C 20 5
n = 3600 rpm
Z = 8 palhetas

4. Uma bomba radial centrífuga tem: H man = 22 m , Q = 20 l s , n = 1500 rpm,
d2 = 2d1 = 27 cm, b2 = 1 cm , β 2 = 30º 30 ' , Z = 7 (nº de palhetas),
S1 = 3 mm (espessura da palheta), ηv = 0,95 , η m = 0,95 .
Pede-se:
a) Tipo de bomba;
b) η h ;
c) Potência.



5. Numa bomba radial centrífuga foram levantadas as seguintes medidas:
d1 = 180 mm , d 2 = 380 mm , b1 = 38 mm , b2 = 20 mm , β1 = 18º , β 2 = 20º , Z = 8 ,
S1 = S2 = 8 mm , ηv = 0,98 , η m = 0,95 .
Pede-se:
a) Vazão recalcada para n = 1150 rpm ;
b) Valor de H th para essa rotação (bomba com caixa espiral, sem difusor de pás
diretrizes);
c) Potência do motor;
d) Se H man = 35 m , qual o ηt (rendimento total) da bomba.

6. Mede-se no rotor de uma bomba radial centrífuga, palhetas afiladas na cauda:
d 2 = 10 mm , b2 = 8 mm , β 2 = 30º , η h = 0, 7 , ΔPfl = 1, 2 .
Qual a vazão proporcionada por essa bomba nas condições de máximo rendimento, se a
acoplamos em um motor de 3400 rpm, em uma instalação com 10 m de desnível ( H o )
e perdas de carga estimadas em 2 m.



4.7. Semelhança Mecânica Aplicada às Bombas
No cálculo e projeto de uma bomba interferem, via de regra, muitos fatores cujas
grandezas não são exatamente conhecidas, ficando os mesmos assim sujeitos a uma
certa insegurança.
Em se tratando de uma bomba de grande porte, tal insegurança pode redundar em um
fracasso e, assim, provocar grandes prejuízos econômicos para a fábrica.
A semelhança mecânica (ou teoria dos modelos) compreende um conjunto de leis e
conhecimentos através dos quais se torna possível prever o comportamento de uma
bomba de grande porte a partir da atuação ou desempenho de uma bomba menor e mais
econômica.
No seu sentido mais amplo, a semelhança mecânica permite aferir o comportamento de
um protótipo ou máquina industrial a partir do desempenho ou atuação de uma máquina
modelo, desde que entre uma e outra sejam cumpridos determinados requisitos.
Assim, para que haja semelhança mecânica entre duas bombas, torna-se necessário
sejam satisfeitos simultaneamente os seguintes requisitos:
Que haja semelhança geométrica.
Que haja semelhança cinemática.
Que haja semelhança dinâmica.

4.7.1. Semelhança Geométrica
Existe semelhança geométrica entre duas bombas, protótipo e modelo (Fig. 4.19),
quando entre as suas dimensões lineares homólogas existir sempre a mesma relação K,
dita “razão de semelhança geométrica”.
Desta forma, considerando duas bombas (Fig. 4.19), existirá semelhança geométrica
entre ambas, quando:

Fig. 4.19 – Semelhança geométrica.



d 2i d d l
= ai = bi = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ = i = K (4.45)
d 2 m d am d bm lm

4.7.2. Semelhança Cinemática
Há semelhança cinemática entre duas bombas, quando houver semelhança dos
triângulos de velocidade nos pontos homólogos.

Fig. 4.20 – Semelhança cinemática.

Assim, existirá semelhança cinemática quando:

V1i W1i u
= = 1i (4.46)
V1m W1m u1m

E quando:

V2i W2i u
= = 2i (4.47)
V2 m W2 m u2 m

4.7.3. Semelhança Dinâmica
Existe semelhança dinâmica entre um protótipo e um modelo (em se tratando de
máquinas hidráulicas), quando o número de Reynolds (característica do escoamento) for
o mesmo para o protótipo e modelo.

Rei = Re m

Onde:

VD
Re = (4.48)
ν



Onde:
V : Velocidade, em m/s;
D : Diâmetro, em m;
ν : viscosidade cinemática, em m 2 s .

4.7.4. Formulário de Semelhança Mecânica
Satisfeitos os requisitos de semelhança geométrica, cinemática e dinâmica dizem-se,
então, mecanicamente semelhantes as duas máquinas (protótipo e modelo). Nestas
circunstâncias, pode-se, a partir do funcionamento de uma delas (o modelo), aferir o
comportamento da outra (o protótipo), uma vez que:
O comportamento é idêntico em idênticas situações;
As perdas são proporcionais;
Os rendimentos são iguais;
O coeficiente de cavitação é o mesmo.

a) Duas máquinas semelhantes:
i - protótipo
m - modelo

di
K= → razão de semelhança geométrica entre protótipo e modelo.
dm

E sendo mecanicamente semelhantes, entre as grandezas que caracterizam os
comportamentos do protótipo e do modelo, existem as seguintes relações:

ni 1 Hi
= (4.49)
nm K Hm

Qi Hi
= K2 (4.50)
Qm Hm

32
Ni ⎛H ⎞
= K2 ⎜ i ⎟ (4.51)
Nm ⎝ Hm ⎠

Se os fluidos forem diferentes então no caso da relação entre as potências:
32
Ni ⎛H ⎞ γi
= K2 ⎜ i ⎟ (4.52)
Nm ⎝ Hm ⎠ γm

b) As máquinas são as mesmas funcionando em condições de rotação diferentes:
(Equações de Rateaux)



Se o protótipo e modelo forem iguais (duas máquinas trabalhando em situações
diferentes ou a mesma máquina trabalhando em situações diferentes), temos K = 1 e as
fórmulas fundamentais da semelhança mecânica são, então, chamadas de equações de
Rateaux.
A bomba anteriormente funcionava com n e Q e, passou para n’ e Q’, no mesmo fluido:

Q' n'
= (4.53)
Q n

H ' n '2
= 2 (4.54)
H n

N ' n '3
(Mesmo fluido) = 3 (4.55)
N n

Com fluidos diferentes: a bomba anteriormente funcionava com n, Q no fluido de peso
específico γ , e passou a funcionar com n’, N’ no fluido de peso específico γ’.

N ' γ ' n '3
(Fluidos diferentes) = × 3 (4.56)
N γ n

4.7.5. Velocidade Específica (ns)
É uma outra grandeza importantíssima no estudo das bombas, principalmente porque
define a geometria ou o tipo do rotor da bomba.
É também chamada, se bem que menos usualmente, de “número específico ou número
característico de rotação” e é assim definida: velocidade específica ( ns ) é a rotação na
qual deverá operar a bomba para recalcar a vazão de 1 m3 s em uma instalação com
1 m de altura manométrica, com o máximo rendimento.
Assim, considerando:
ni = n nm = ns
Qi = Q Qm = 1 m3 s
Hi = H Hm = 1 m
ηi = η ηm = η

Esta grandeza é usada para determinar o tipo de rotor da bomba a ser usada na
instalação.
A expressão:



n ⋅ Q1 2
ns = (4.57)
H3 4

Nesta expressão deveremos ter:

n: em rpm
Q: em m3 s Coordenadas do ponto de rendimento máximo
H: em m

O uso mais importante do conceito da velocidade específica diz respeito a classificação
dos vários tipos de rotores. Há, revela a experiência e a análise, uma íntima relação
entre o valor da velocidade específica e o tipo e dimensões do rotor, de forma tal que
cada tipo de rotor tem uma faixa definida de valores da velocidade específica e dentro
da qual apresentam (os rotores) um comportamento mais eficiente (conforme mostra a
Fig. 4.21).

Fig. 4.21 – Relação entre a velocidade específica e o tipo de rotor.

Entre a velocidade específica das bombas radiais e a rotação unitária da série de bombas
semelhantes (grandeza n11 ) chegou-se a uma equação experimental de muita utilidade.
Esta equação é:

n11 = 0,5 ⋅ ns + 75 (4.58)

Onde:

n⋅d
n11 = (4.59)
H

Na expressão, d é, então, o diâmetro ótimo que deverá ter o rotor e que é, assim,
perfeitamente determinável usando-se as Eq. (4.59) e (4.58). Em (4.58), o valor de ns é
no sistema métrico.



4.7.6. Exercícios Propostos

7. Uma bomba centrífuga recalcou 300 g.p.m. a uma altura de 16,5m quando a rotação
do motor era de 1.500 rpm. O diâmetro do rotor era de 318mm e desenvolvia 6 HP
de potência.
Uma bomba geométricamente semelhante de 380mm está girando a 1.750 rpm.
Considerando eficiências iguais, pede-se:
a) Qual a altura a ser desenvolvida?
b) Qual a vazão recalcada?
c) Qual a potência desenvolvida?

8. Uma bomba A, com rotor de diâmetro d A = 75mm e operadno a 3400 rpm, fornece
uma vazão de 60 m3 h e desenvolve uma altura manométrica de 20m, necessitando
para tal de uma potência de acionamento de 10 cv.
Pede-se determinar para uma bomba B, com rotor de diâmetro d B = 100mm e
mecanicamente semelhante à bomba A, operando sob uma altura manométrica de 30m:
a) Rotação;
b) Vazão fornecida;
c) Qual a potência desenvolvida?

9. Especificar o tipo de bomba para as condições abaixo e determinar, com base na
rotação unitária de sua série, o diâmetro externo ótimo do seu rotor:
a) Q = 75 m3 h ;
b) H = 22m ;
c) n = 1500rpm .

10. E necessário recalcar 73.548 l h a uma altura de 126 m a 3.600 rpm. Considerando
aceitável a eficiência da bomba para valores da velocidade específica do rotor entre
23 rpm e 78 rpm, quantos estágios deverá possuir a bomba a ser usada?

11. A fim de prever o comportamento de uma pequena bomba de óleo, foram feitos
testes em um modelo usando-se ar. A bomba de óleo deve ser acionada por um
motor de 1 20 HP a 1800 rpm , ao passo que o motor que acionará o modelo no
laboratório tem 1 4 de HP a 600 rpm . O óleo tem uma densidade relativa de 0,912
e o ar uma massa específica de 1, 23 kg m3 . Qual deve ser o tamanho do modelo a
ser construído?

12. Mostrar que a velocidade específica de uma bomba é função das dimensões e do
rendimento hidráulico e analisar a expressão encontrada.



4.8. Teoria da Semelhança e Escala Reduzida (Turbinas)
Grande parte do progresso da mecânica dos fluidos, tanto no que diz respeito aos
conhecimentos básicos como às aplicações em engenharia, é conseqüência da
experimentação, particularmente em modelos reduzidos.
A obtenção, por via experimental, de leis que relacionam as grandezas intervenientes
num fenômeno pode ser facilitada pela análise dimensional. A transposição para o
protótipo dos resultados obtidos sobre um modelo é regida pela teoria de semelhança,
que freqüentemente se trata em conjunto com a análise dimensional (Quintela, 1981).
Dois sistemas dizem-se fisicamente semelhantes relativamente a um conjunto de
grandezas quando há uma relação constante entre valores homólogos dessas grandezas
nos dois sistemas (protótipo e modelo), partindo da consideração de que turbomáquinas
geometricamente semelhantes funcionam em condições de semelhança desde que
tenham o mesmo rendimento (Quintela, 1981).
A teoria de semelhança compreende um conjunto de leis e conhecimentos através dos
quais se torna possível prever o comportamento de uma máquina de grande porte a
partir da atuação ou desempenho de uma máquina menor (Carvalho, 1982). Em seu
sentido mais amplo, a teoria de semelhança permite deduzir o comportamento de um
protótipo ou máquina industrial a partir do comportamento de uma máquina modelo,
desde que entre uma e outra sejam cumpridos determinados requisitos.
De acordo com Carvalho (1982) e Quintela (1981), para haver semelhança mecânica
entre duas turbinas, torna-se necessário que sejam satisfeitos os seguintes requisitos:
que haja semelhança geométrica;
que haja semelhança cinemática;
que haja semelhança dinâmica.

Semelhança Geométrica – existe semelhança geométrica entre duas turbinas, quando
entre as suas dimensões lineares homólogas existir sempre a mesma relação K, dita
“razão de semelhança” e quando os ângulos homólogos forem iguais.

Semelhança Cinemática – há semelhança cinemática entre duas turbinas, quando
houver semelhança dos triângulos de velocidade nos pontos homólogos, ou seja,
partículas homólogas descrevem percursos homólogos em tempos proporcionais.

Semelhança Dinâmica – existe semelhança dinâmica entre um protótipo e um modelo
de turbinas, quando o número de Reynolds (característica do escoamento) for o mesmo
para o protótipo e modelo. Este conceito se fundamenta nas características do
escoamento do fluido e não considera aspectos dinâmicos das partes sólidas.

Satisfeitos os requisitos de semelhança geométrica, cinemática e dinâmica, dizem-se,
então, mecanicamente semelhantes as duas máquinas (protótipo e modelo), ou seja, o
rendimento do protótipo é igual ao rendimento do modelo. Nestas circunstâncias, pode-
se, a partir do funcionamento de uma delas (o modelo), predizer o comportamento da
outra (o protótipo), uma vez que:



o comportamento é idêntico em idênticas situações;
as perdas são proporcionais;
os rendimentos são iguais;
o coeficiente de cavitação é o mesmo (Carvalho, 1982).

E sendo mecanicamente semelhantes, entre as grandezas que caracterizam os
comportamentos do protótipo e do modelo, existem as seguintes relações (Macintyre,
1983; Carvalho, 1982):

2 32 32
⎛ D' ⎞ ⎛ H ' ⎞ N' ⎛ H'⎞
N'= N ⋅⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟ ou = K 2 ⋅⎜ ⎟ (4.60)
⎝D⎠ ⎝H ⎠ N ⎝H⎠
12 12
D ⎛ H'⎞ n' 1 ⎛ H ' ⎞
n' = n ⋅ ⋅ ⎜ ⎟ ou = ⋅⎜ ⎟ (4.61)
D' ⎝ H ⎠ n K ⎝H⎠
2 12 12
⎛ D' ⎞ ⎛ H ' ⎞ Q' ⎛ H'⎞
Q' = Q ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ou = K 2 ⋅⎜ ⎟ (4.62)
⎝D⎠ ⎝H ⎠ Q ⎝H⎠
3
⎛ D' ⎞ H ' M' H'
M '= M ⋅⎜ ⎟ ⋅ ou = K3 ⋅ (4.63)
⎝D⎠ H M H

Nestas expressões:
• K: razão de semelhança geométrica entre protótipo e modelo;
• H, Q, N, M, n: grandezas relativas ao modelo;
• H´, Q´, N´, M´, n´: grandezas relativas ao protótipo.

Com o auxílio dessas equações ensaios de laboratórios podem ser realizados com
modelos de turbinas em escala reduzida, utilizando uma queda H, uma descarga Q e um
número de rotações por minuto n, e determinar as dimensões da turbina que irá ser
instalada para funcionar com a queda H’, a descarga Q’ e a velocidade n’ (Macintyre,
1983).
A semelhança geométrica estende-se à rugosidade superficial efetiva do modelo e do
protótipo. Se o modelo tem um décimo do tamanho do protótipo em cada uma de suas
dimensões lineares, então a altura de suas asperezas deve manter a mesma relação de
um para dez. Para que as pressões dinâmicas mantenham a mesma relação em pontos
correspondentes do modelo e do protótipo, as relações entre os vários tipos de força
devem ser as mesmas em pontos correspondentes do modelo e do protótipo. Logo, para
haver semelhança dinâmica completa, os números de Mach e Reynolds devem assumir
os mesmos valores tanto no modelo como no protótipo (Streeter e Wylie, 1980).
A experiência mostra que duas turbomáquinas hidráulicas, geometricamente
semelhantes, têm rendimentos diferentes, desde que seja elevada a relação entre
comprimentos homólogos (escala geométrica). Tal fato deve-se ao efeito da viscosidade
que provoca perdas de carga que não variam com o quadrado da velocidade do
escoamento, originando o que se designa por efeito escala (Quintela, 1981).



Na aplicação das leis de similaridade mostradas anteriormente, é considerado que todos
os critérios de semelhança dinâmica são satisfeitos. Isto, entretanto, não é verdade no
que diz respeito aos grupos adimensionais representados pelos número de Reynolds,
número de Mach e pela rugosidade relativa (Douglas et al, 1985).
O estudo da similaridade entre modelo e protótipo não leva em consideração a
viscosidade e, portanto, o número de Reynolds, que seria exigido para que além da
semelhança geométrica se tenha perfeita semelhança hidrodinâmica. Se a viscosidade
fosse considerada, chegar-se-ia a velocidades quase impraticáveis para os modelos
(Macintyre, 1983). Então temos,

ρVD
Re =
μ

onde:
Re - número de Reynolds
ρ - massa específica
μ - viscosidade
D - diâmetro do eixo
O número de Mach é importante somente nos compressores axiais e turbinas a gás
(Streeter e Wylie, 1980).
Considere agora o efeito da rugosidade relativa. Esta novamente deve ser mantida
constante, devido à similaridade geométrica, a qual é a condição primária para manter as
leis de modelo. Então, qualquer mudança sobre o tamanho da máquina envolve uma
⎛ε ⎞
mudança da rugosidade relativa ⎜ ⎟ , onde ε representa a rugosidade superficial
⎝D⎠
(Douglas et al, 1985).
Um modelo pode ser construído em rigorosa semelhança geométrica com a turbina, no
que diz respeito ao contorno banhado. Esta semelhança geométrica, porém, não pode
estender à rugosidade relativa das paredes. Tanto maior é a razão de semelhança K entre
a turbina industrial e a modelo, tanto melhor deve ser o polimento desta em relação ao
daquela. Como se sabe, é prudente fazer o mais lisas possível as palhetas das turbinas
sujeitas à cavitação, a fim de se evitar o risco de sobre-velocidades localizadas.
Para que fosse completa a semelhança geométrica, a altura das asperezas da turbina
modelo deveria ser K vezes menor do que a da turbina industrial. Isto representa uma
falha porque teria que dar aos modelos um polimento superior ao que se consegue obter.
Por isso convém executar experiências sobre modelos de uma mesma turbina com
diferentes diâmetros, a fim de se ter uma indicação sobre a influência da variação da
rugosidade relativa sobre o rendimento hidráulico da turbina (cada modelo terá uma
rugosidade relativa diferente). Então, com uma extrapolação, pode-se calcular o
rendimento que corresponderia à rugosidade relativa da turbina industrial (Macintyre,
1983).
De acordo com Streeter e Wylie (1980), os efeitos do número de Reynolds (chamados
efeitos de escala, porque é impossível manter o mesmo número de Reynolds em
unidades homólogas) podem causar discrepâncias de 2 a 3 por cento entre o rendimento
do modelo e do protótipo.



Por outro lado, Macintyre (1983), relata que devido à dificuldade em se manter perfeita
semelhança hidrodinâmica, os modelos terão rendimentos bem inferiores aos que serão
alcançados com o protótipo. Assim, o rendimento do modelo pode ser de 60%, enquanto
que o da turbina protótipo alcançaria mais de 80%. Os rendimentos das turbinas de
potências muito elevadas, de mais de 100.000 cv, ultrapassam 90%.
Como já mencionado, nas experiências em modelos não se tem rigorosa semelhança
geométrica (rugosidade relativa) nem tampouco hidrodinâmica (número de Reynolds).
Segundo Gregorig (1961), para melhor avizinhar ao rendimento da turbina industrial são
necessárias extrapolações e hipóteses teóricas (fórmulas de correção). Estas fórmulas
utilizadas para o cálculo do rendimento hidráulico de uma turbina industrial conhecido o
rendimento do modelo, são válidas para fluxos em que não há destacamento de corrente
e, em particular, se aplicam nos pontos de máximo rendimento.
Abaixo, têm-se as principais fórmulas para o cálculo da variação do rendimento
hidráulico entre a turbina modelo e a industrial (Macintyre, 1983; Gregorig, 1961):

η > ηm ,

sempre que

D
>1
Dm

a) A fórmula de Moody I

Esta fórmula é a mais simples e considera apenas a influência da rugosidade relativa,
supondo igual, na industrial e no modelo, a rugosidade absoluta (aspereza das
superfícies).
15
⎛D ⎞
η = 1 − (1 − η m ) ⋅ ⎜ m ⎟ (4.64)
⎝ D ⎠
onde:
η - rendimento hidráulico máximo da turbina industrial;
η m - rendimento hidráulico máximo da turbina modelo;
D e Dm - diâmetro do rotor à entrada, na turbina industrial e na modelo,
respectivamente.

b) Fórmula de Ackeret

A fórmula de Ackeret supõe que metade das perdas de carga que se verificam na turbina
seguem a lei quadrática (independentes de Re) e, a outra metade depende do Re.

⎛ Dm ⋅ H m ⎞
η = 1 − 0,5 ⋅ (1 − η m ) ⋅ ⎜1 + 5
⎜
⎟ (4.65)
D⋅ H ⎟
⎝ ⎠



4.8.1. Velocidade Específica (ns) para Turbinas Hidráulicas

Duas turbinas geometricamente semelhantes funcionam em condições de semelhança
dinâmica e, portanto, com o mesmo rendimento (a menos do efeito de escala), se as
velocidades de rotação, n e n’, as quedas úteis, H e H’, e as potências, N e N’, estão
relacionadas por (Macintyre, 1983)
1 5
n ⎛ N'⎞2 ⎛ H ⎞4
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ (4.66)
n' ⎝ N ⎠ ⎝ H ' ⎠

A velocidade específica de uma dada turbina é determinada no seu ponto de eficiência
máxima e define-se por
1
⎧ n [rpm]
N2 ⎪
ns = n 5 ⎨ N [cv] (4.67)
4 ⎪ H [m]
H ⎩

e representa, de acordo com a teoria de semelhança, a velocidade de uma turbina
geometricamente semelhante à primeira que, funcionando com igual rendimento,
fornece uma potência unitária sob queda útil unitária. É um parâmetro de grande
utilidade no estudo de turbinas e, tal como n, é expresso em rotações por minuto; o seu
valor depende das unidades utilizadas para a queda e para a potência (Quintela, 1981).
A um certo valor de ns faz-se corresponder uma turbina com determinada geometria, de
modo tal que todas as turbinas geometricamente semelhantes, trabalhando com n, H e N
de máximo rendimento, deverão ter o mesmo ns.
A Tabela (4.1) apresenta a velocidade específica para os principais tipos de turbinas, de
acordo com Carvalho (1982).

Tabela 4.1 – Valores das velocidades específicas e suas referentes turbinas (Carvalho, 1982)

ns Tipo de Turbina
3 a 30 Pelton – 1 jato
30 a 60 Pelton – 2 jatos
50 a 120 Francis lenta
120 a 220 Francis normal
220 a 350 Francis rápida
350 a 450 Francis extra-rápida
350 a 700 Hélice
400 a 1200 Kaplan



4.8.2. Exercícios Propostos

1. Uma usina hidrelétrica empregará turbinas Francis, e os dados da instalação indicam:
a) Descarga Q = 312 m3 s ;
b) Queda disponível H = 80 m ;
c) Diâmetro de entrada do receptor D1 = 6,850 m ;
d) Número de rotações por minuto do gerador n = 112,5 ;
e) Potência útil N = 299.500 cv .
No laboratório de ensaios, dispõe-se de um reservatório de nível constante com queda
disponível de H’ = 6,5 m e pode-se usar uma descarga de até 0,085 m3 s .
Pretende-se projetar e ensaiar um modelo reduzido no laboratório. Qual deverá ser o
diâmetro de entrada do receptor no modelo? Com que número de rotações deverá ser
realizado o ensaio e qual a potência a ser absorvida pelo freio dinamométrico?

2. No Laboratório de Máquinas Hidráulicas do Centro Técnico-Científico da PUC/RJ,
no ensaio de uma turbina Francis, doada pela J.M. Voith, obtiveram-se os seguintes
valores:
H = 6,1 m (desnível obtido com um reservatório de nível constante);
Q = 0,077 m3 s ;
n = 800 rpm;
N = 5 cv.
Calcular os valores de Q, n e N que seriam obtidos para valores da queda de 4 m e de
20 m .

3. Um receptor de turbina Francis com diâmetro d2 = 127 cm foi projetado para as
seguintes condições:

N = 1000 cv H = 33 m n = 200 rpm Q = 2,83 m3 s
Desejando-se projetar uma turbina semelhante para funcionar com uma queda
H 2 = 50 m , fornecendo 3000 cv e com o mesmo rendimento, quais deverão ser os
valores do diâmetro d '2 , do número de rotações n’ e da vazão Q’?



4.9. Curvas Características das Bombas
Ao se projetar uma bomba, visa-se, especificamente, o recalque de determinada vazão
em certa altura manométrica. Evidentemente, para estas condições, o projeto se
desenvolve de modo a obter-se o máximo rendimento possível para a bomba.
Entretanto, esta bomba poderá, dentro de faixa determinada pela economia, ser posta a
recalcar vazões maiores ou menores que aquela para a qual foi projetada, mudando,
porém, com a variação da vazão:
a pressão desenvolvida (altura manométrica);
a potência necessária ao acionamento;
o rendimento da bomba.
Conclui-se, desta forma, que cada bomba tem um certo campo de aplicação em termos
das grandezas que interferem em seu funcionamento, sendo de extrema utilidade
precisar ou delimitar esse campo de uso, dentro de uma faixa de rendimentos
considerada econômica.
O objetivo é atingido, num primeiro estágio, através dos gráficos de seleção e, num
estágio posterior, através das curvas características da bomba.
As curvas características das bombas representam a performance prevista para uma
determinada condição de funcionamento.
Tais curvas características são diagramas que retratam o comportamento de uma bomba,
mostrando o relacionamento de interdependência existente entre as grandezas que
caracterizam o seu funcionamento.

Fig. 4.21 – Curvas características de uma bomba radial ou centrífuga pura (rotação de acionamento
constante).



São obtidas nas bancadas de ensaios dos fabricantes e as principais curvas
características são:
( H man , Q ) : retrata a variação da altura manométrica desenvolvida em função da
vazão recalcada;
(η , Q ) : mostra a variação do rendimento em função da vazão;
( N,Q) : espelha o relacionamento existente entre a potência necessária ao
acionamento e a vazão recalcada;
( NPSH req , Q ) : variação do NPSH requerido com a vazão.
O aspecto destas curvas depende do tipo de rotor, conforme mostram as Figs. (4.21,
4.22 e 4.23).
Do conhecimento e análise destas curvas (Figs. 4.21, 4.22 e 4.23), poderá o engenheiro
ou usuário tirar informações da maior utilidade relativas a campo de emprego e a forma
de operação das bombas.

Fig. 4.22 – Curvas características de uma bomba axial (rotação de acionamento constante).

Fig. 4.23 – Forma comum de apresentação das principais curvas características das bombas pelos
fabricantes.



Variando a rotação de acionamento, muda a curva característica da bomba: a cada ponto
( H , Q ) da curva de uma bomba a rotação n correspondente, em semelhança mecânica, a
um outro ponto ( H ', Q ' ) , sob rotação n’, tal que:

Q' n' H ' n '2 N ' n '3
= = 2 = 3
Q n H n N n

É importante ressaltar que tais equações somente são válidas para pontos homólogos, o
que significa dizer, para pontos onde a bomba opera com o mesmo rendimento.
Conhecida a característica de uma bomba a rotação n, pode-se facilmente traçar a
característica da bomba em nova rotação n’.
Assim, é comum o fabricante, para ampliar o campo de emprego de uma bomba,
levantar as curvas características em várias rotações. Para simplificar o uso destas
curvas, ao invés de apresentar as curvas (η , Q ) para várias rotações, o fabricante une
sobre as curvas ( H , Q ) todos os pontos de mesmo rendimento, formando as chamadas
parábolas de iso-eficiência (Fig. 4.24).

Fig. 4.24 – Curvas (H,Q) em várias rotações juntamente com as parábolas de isso-eficiência.

Dentro de certos limites, a variação de diâmetro tem sobre as curvas características a
mesma influência que a variação de rotação (ambas influem linearmente na velocidade
tangencial do rotor).



Fig. 4.25 – Curvas características de uma bomba com rotores de vários diâmetros.

Assim, ao invés de lançar mão da variação de rotação para ampliar o campo de emprego
de uma bomba, o fabricante constrói a carcaça da bomba de forma tal que a mesma
possa receber, em seu interior, rotores de vários diâmetros, sem afetar sensivelmente a
hidráulica do conjunto. As curvas características têm o aspecto mostrado na Fig. (4.25).

4.9.1. Curva Característica da Bomba × Curva Característica
do Sistema
A interpretação do comportamento de uma turbobomba exige a associação, no plano
( H , Q ) , da curva característica da bomba com a curva característica do sistema.
Assim, levando-se em conta que:
altura manométrica da bomba: quantidade de energia que o quilograma de
fluido absorve ao passar pela bomba (função das dimensões da bomba, da
rotação de acionamento e do acabamento interno). É definido pela equação:

ηH 1 ⎛ 2 Q⋅n ⎞
H man ( B ) = ⋅ ⎜ u2 − co tgβ 2 ⎟ (4.68)
ΔPfl g ⎝ 60b2 ⎠



altura manométrica do sistema: quantidade de energia que o quilograma de
fluido precisa absorver para vencer o desnível da instalação, a diferença de
pressão entre os dois reservatórios (caso exista) e a perda de carga nas
tubulações e acessórios do sistema. É definida pela equação:

pr − pa
H man = H o + + ΔH (4.69)
γ

Na Eq. (4.69):

K ' Q2
ΔH = (4.70)
D5
Onde:
K ' : característica que depende, entre outros, da natureza do regime de escoamento;
D : diâmetro da tubulação;
Q : vazão.

Em um determinado sistema, considerando-se constante o diâmetro e supondo que a
natureza do regime de escoamento permaneça invariável (no bombeamento o
escoamento é sempre turbulento), teremos:

K'
=K (4.71)
D5

onde K é chamado de característica do sistema ou da tubulação.
Logo, a Eq. (4.69) pode ser escrita assim:

pr − pa
H man = H o + + K ⋅ Q2 (4.72)
γ

Representando graficamente as Eqs. (4.68 e 4.69), teremos o que se mostra na Fig.
(4.26).

Fig. 4.26 – Representação gráfica das curvas características da bomba e do sistema.



A interseção das duas curvas características define o Ponto de Operação, onde, para a
vazão Q, temos a altura manométrica desenvolvida pela bomba igual à altura
manométrica exigida no sistema.

4.10. Bombas em Série e em Paralelo
As bombas podem ser associadas:
Em paralelo;
Em série.

Fig. 4.27 – Esquemas típicos de associação em paralelo e em série.

A associação em paralelo comparece com freqüência no abastecimento de água de
cidades, bem como em serviços industriais e tem sempre a finalidade de aumentar a
vazo recalcada e dar ao sistema uma maior flexibilidade em termos de atendimento da
demanda, através da retirada ou colocação das unidades em funcionamento.
Esta retirada de unidades em funcionamento para atendimento da demanda permitirá,
inclusive, a existência de uma manutenção preventiva (programada até) de reflexos
altamente positivos.
A associação em série é, por sua vez, o arranjo que resolve o problema de instalações de
alturas relativamente elevadas, quando se torna, então, necessário o desenvolvimento de
grandes pressões.
Tanto a associação em paralelo como a associação em série podem se processar através
do emprego de unidades independentes ou através da associação, seja em paralelo ou
em série, de rotores dentro de uma única carcaça.
No caso da associação em paralelo, teremos a bomba de dupla sucção (justaposição de
dois rotores pelo costado), com a vantagem do equilíbrio dos empuxos axiais (obtido
através da equalização das pressões de sucção e descarga, de um lado e outro do rotor).
No caso da associação em série teremos a bomba multicelular (bomba de vários
estágios), com a vantagem de eliminar a multiplicação das casas de bombas e de



unificar as unidades de acionamento e controle, propiciando melhor rendimento e custos
mais baixos.
A favor da associação de bombas independentes em paralelo, deve-se realçar, pesa a
flexibilidade do sistema em termos de se poder variar a vazão para atendimento do
consumo através do desligamento de uma ou mais unidades, (o que pode permitir,
inclusive, a manutenção das unidades que não estejam em funcionamento).
A Figura (4.28) mostra a associação de duas bombas iguais em paralelo. Inicialmente
se conhece a curva característica da bomba A e a curva característica do sistema S em
( H ,Q) .

Fig. 4.28 – Associação de duas bombas iguais em paralelo.

É o caso mais recomendado e comum de associação em paralelo. Para a obtenção da
curva de duas bombas iguais associadas em paralelo, basta marcar o dobro da vazão
para cada altura:
AB = BC A ' B ' = B 'C '
Ou seja, para se obter a curva de duas bombas A colocadas em paralelo, construímos a
curva 2A, onde para cada valor de H dobramos a vazão. Por exemplo, para a altura H A
na curva A correspondente a QA ; na curva 2ª o ponto é P’ e Qt é igual a 2QA .

Associadas em paralelo duas bombas A, o ponto de operação será P’ (interseção da
curva característica das bombas (2A) com a curva característica do sistema), onde se lê a
altura manométrica H A e a vazão Qt .

Na associação em paralelo, para se saber o que cada bomba está fazendo
individualmente, devemos projetar P’, horizontalmente até encontrar a curva da bomba
A.

Assim, cada bomba fornecerá, por serem iguais, uma vazão QA igual à metade da vazão
total Qt , desenvolvendo a mesma pressão H A .



Isoladamente, qualquer uma das bombas trabalhará com vazão Q ' e altura manométrica
H ' A , o que nos leva às seguintes observações:

Posta a operar isoladamente no sistema, a bomba recalca uma vazão maior do
que quando associada em paralelo ( Q ' > QA ) e requer uma potência de acionamento
maior, o que implica na necessidade de seleção de um motor capaz do atendimento
desse ponto (caso de bombas radiais).
Igualmente importante é observar que o NPSH requerido na operação isolada é
maior que o NPSH requerido quando do funcionamento em paralelo
( NPSH 'r > NPSH r ) . Assim, se o NPSH requerido, na operação isolada, passar a ser
maior que o NPSH disponível no sistema, a bomba entrará em regime de cavitação.
Como já se frisou, no início deste tópico, a associação em série é o arranjo que resolve o
problema de instalações com alturas manométricas elevadas, quando, então, se torna
necessário o desenvolvimento de grandes pressões.
A Figura (4.29) mostra a associação de duas bombas em série.

Fig. 4.29 – Curva (H,Q) resultante da associação de bombas em série.

Para se obter a curva característica resultante da associação de duas bombas em série,
sejam elas iguais ou diferentes, basta somar, para cada valor da vazão, as alturas
manométricas correspondentes a ambas as bombas.

Assim, para a vazão Qt , temos:

Ht = H A + H B (4.73)

Observar que a associação de rotores em série numa mesma carcaça apresenta, sobre a
associação em série de bombas, a vantagem da não multiplicação de casas de bombas,
dos órgãos de acionamento e dos órgãos de comando e controle de operação.
Na associação de bombas (propriamente ditas) em série, observar se o flange de sucção
da segunda agüenta a pressão de descarga da primeira e ainda se a carcaça da segunda
suporta a pressão de descarga total.
Neste caso a vazão das duas bombas é um pouco maior que a vazão de uma bomba.


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