![II
Características do Polinômio:
No polinômio f ( x) = a4 x + a3 x + a2 x + a1 x + a0 desejamos calcular f(x) para um determinado valor.
4 3 2
Torna-se mais simples calcular f(x) pela teoria de Divisão de Polinômios do que fazendo as substituições diversas
onde se terá maior trabalho quanto as aperações de multiplicação.
Dado o polinômio f ( x ) = a4 x + a3 x + a2 x + a1 x + a0 ⇒
4 3 2
f ( x ) − f ( x1 ) = a 4 x 4 + a3 x 3 + a 2 x 2 + a1 x + a 0 − a 4 x14 − a3 x13 − a 2 x12 − a1 x1 − a 0 , evidenciando (x-x1) teremos:
f ( x ) − f ( x1 ) = ( x − x1 )[a 4 ( x − x1 )( x 2 − x12 ) + a3 ( x 2 + xx1 + x12 ) + a 2 ( x − x1 ) + a1 ]
O sublinhado é um Polinômio de 3º grau
f ( x ) = ( x − x1 )[a 4 ( x − x1 )( x 2 − x12 ) + a3 ( x 2 + xx1 + x12 ) + a 2 ( x − x1 ) + a1 ] + f ( x1 )
logo f ( x) = ( x − x1 )Q( x ) + f ( x1 ) onde Q(x) é um polinômio de 3º grau e tambem é o quociente da divisão de f(x)
por (x-x1), ficando f(x1) o resto (R) desta divisão.
Chamamos agora o polinômio de 3º grau de: b3 x + b2 x + b1 x + b0 , teremos:
3 2
( x − x1 )(b3 x 3 + b2 x 2 + b1 x + b0 ) = b3 x 4 + x 3 (b2 − b3 x1 ) + x 2 (b1 − b2 x1 ) + x (b0 − b1 x1 ) + b0 x , logo
b3 = a4 , b2 = b3 x1 + a3 , b1 = b2 x1 + a2 , b0 = a1 + b1 x e R = a0 + b0 x1
a4 a3 a2 a1 a0
b3 x1 b2 x1 b1 x1 b0 x1
b3 b2 = b3 x1 + a3 b1 = b2 x1 + a 2 b0 = b1 x1 + a1 R = b0 x1 + a 0
Exemplo: Dada a equação f ( x) = 1,8 x 4 − 3,10 x 3 + 1,5 x 2 − 2,6 desejamos calcular f(2,7) pelo processo acima.
a 4 = 1,8 a3 = −3,10 a 2 = 1,5 a1 = 0 a 0 = −2,6
b3 x1 b2 x1 b1 x1 b0 x1
1,8 1,76 6,252 16,8804 R = 42,97708
Observação:
Por substituição iremos fazer 7 operações de multiplicação e 5 de adição, neste processo fizemos 4
operações de multiplicação e 4 de adição. Este método é valido para quaisquer polinômios ( n graus).
Interpolação entre Intervalos não Equidistantes e Tabela de Diferenças Divididas:
É utilizado quando os pontos conhecidos de uma função não estão em Progressão Aritimética (PA), e
mesmo que estejam, este fato não é considerado. Seja f(x) em sua forma tabelada, os valores x0, x1, x2, ..., xn da
variável independente {f(x0), f(x1), f(x2), ... , f(xn)}, chamar-se-á Diferença Dividida as expressões:
f ( xi ) − f ( xi +1 )
a) f ( xi , xi +1 ) = ⇒ (Diferença Dividida de 1ª ordem) ⇒ (D1)
xi − xi +1
f ( xi , xi +1 ) − f ( xi +1 , xi + 2 )
b) f ( xi , xi +1 , xi + 2 ) = ⇒ (Diferença Dividida de 2ª ordem) ⇒ (D2)
xi − xi + 2
f ( xi , xi +1 , xi + 2 ) − f ( xi +1 , xi + 2 , xi + 3 )
c) f ( xi , xi +1 , xi + 2 , xi + 3 ) = ⇒ (Diferença Dividida de 3ª ordem) ⇒ (D3)
xi − xi + 3
f ( x0 , x1 ,..., xn −1 ) − f ( x1 , x2 ,..., xn )
d) f ( x0 , x1 ,..., xn ) = ⇒ (Diferença Dividida de Enézima ordem) ⇒ (Dn)
x0 − xn](https://image.slidesharecdn.com/clinterpolao-110506083233-phpapp02/85/Cl-interpolao-2-320.jpg)
![III
f ( x0 , x1 ,..., xn −1 ) − f ( x1 , x2 ,..., xn )
Resumindo teremos f ( x0 , x1 ,..., xn ) = como a interpolação entre intervalos não
x0 − xn
equidistantes.
Exemplo: Para uma tabela dada, a Interpolação parabólica progressiva pode ser dada como:
x f (x ) f ( x, x ) f ( x, x, x ) f ( x, x, x, x )
0 63
5,2
5 89 0,213
8,4 0,0045
15 173 0,347
17,07
30 429
Pelo processo das Diferenças Divididas, temos exatamente ⇒
63 − 89 5,2 − 8,4 0,213 − 0,347
D1 = 5,2 = , D2 = 0,213 = e D3 = 0,0045 =
0−5 0 − 15 0 − 30
A Interpolação será dada pela equação f ( x) = 63 + 5,2( x − 0) + 0,213x( x − 5) + 0,00045 x( x − 5)( x − 15)
Método de Newton
Chamamos o polinômio que interpola f(x) em x0 , x1 , ... , xn (pontos distintos) de: Pn(x), que será dado por:
Pn( x) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) f ( x0 , x1 ) + ( x − x0 )( x − x1 ) f ( x0 , x1 , x2 ) + ( x − x0 )( x − x1 )( x − x2 ) f ( x0 , x1 , x2 , x3 ) + ... +
( x − x0 )( x − x1 )...( x − xn −1 ) f ( x0 , x1 , x2 , x3 ,..., xn )
Onde se terá um erro associado igual a ∆f ( x) = f ( x) − Pn( x)
Exemplo 1:
Determinar o polinômio interpolador que passe nos pontos (0,2), (1,11), (3,71), (5,227).
x f (x) f ( x, x ) f ( x, x, x ) f ( x, x, x, x )
0 2
⇒9
1 11 ⇒7
30 ⇒1
3 71 12
78
5 227
Para os 4 pontos o polinômio interpolador será dado por:
Pn( x) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) f ( x0 , x1 ) + ( x − x0 )( x − x1 ) f ( x0 , x1 , x2 ) + ( x − x0 )( x − x1 )( x − x2 ) f ( x0 , x1 , x2 , x3 ) =
Pn( x) = 2 + ( x − 0)[9] + ( x − 0)( x − 1)[7] + ( x − 0)( x − 1)( x − 3)[1] =
Pn( x) = 2 + 9 x + 7 x( x − 1) + x ( x − 1)( x − 3) = 2 + 9 x + 7 x 2 − 7 x + x 3 − 4 x 2 + 3 x
Resposta: Pn( x) = 2 + 5 x + 3 x 2 + x 3](https://image.slidesharecdn.com/clinterpolao-110506083233-phpapp02/85/Cl-interpolao-3-320.jpg)
![IV
Exemplo 2:
Determinar o polinômio interpolador que passe nos pontos (0,6), (1,10), (2,22), (3,54), (5,226), (7,622).
x f (x) f ( x, x ) f ( x, x, x ) f ( x, x, x, x ) f ( x, x, x , x , x ) f ( x, x, x , x , x , x )
0 6
⇒4
1 10 ⇒4
12 ⇒2
2 22 10 ⇒0
32 2 ⇒0
3 54 18 0
86 2
5 226 28
198
7 622
Para os 6 pontos o polinômio interpolador será dado por:
Pn( x) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) f ( x0 , x1 ) + ( x − x0 )( x − x1 ) f ( x0 , x1 , x2 ) + ( x − x0 )( x − x1 )( x − x2 ) f ( x0 , x1 , x2 , x3 ) +
( x − x0 )( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) f ( x0 , x1 , x2 , x3 , x4 ) + ( x − x0 )( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 )( x − x4 ) f ( x0 , x1 , x2 , x3 , x4 , x5 )
f(x,x,x,x,x) = 0 e também f(x,x,x,x,x,x) = 0 , logo o polinômio Pn(x) poderá ser resumido na forma:
Pn( x) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) f ( x0 , x1 ) + ( x − x0 )( x − x1 ) f ( x0 , x1 , x2 ) + ( x − x0 )( x − x1 )( x − x2 ) f ( x0 , x1 , x2 , x3 )
Pn( x) = 6 + ( x − 0)[4] + ( x − 0)( x − 1)[4] + ( x − 0)( x − 1)( x − 2)[2]
Pn( x) = 6 + 4 x + 4 x( x − 1) + 2 x( x 2 − 3 x + 2) = 6 + 4 x + 4 x 2 − 4 x + 2 x 3 − 6 x 2 + 4 x = 6 + 4 x − 2 x 2 + 2 x 3
Resposta: Pn( x) = 6 + 4 x − 2 x 2 + 2 x 3
Método de Lagrange
Seja a função polinomial substituta Pn(x):
Pn( x) = a0 ( x − x1 )( x − x2 )...( x − xn ) + a1 ( x − x0 )( x − x2 )...( x − xn ) + ... + an ( x − x0 )( x − x1 )...( x − xn −1 )
Pelo teorema fundamental da Interpolação, teremos:
Para x = x0
f ( x0 )
⇒ Pn( x0 ) = f ( x0 ) ⇒ f ( x0 ) = a0 ( x0 − x1 )( x0 − x2 )...( x0 − xn ) ⇒ a0 =
( x0 − x1 )( x0 − x2 )...( x0 − xn )
Para x = x1
f ( x1 )
⇒ Pn( x1 ) = f ( x1 ) ⇒ f ( x1 ) = a1 ( x1 − x0 )( x1 − x2 )...( x1 − xn ) ⇒ a1 =
( x1 − x0 )( x1 − x2 )...( x1 − xn )
.........................
Para x = xn
f ( xn )
⇒ Pn( xn ) = f ( xn ) ⇒ f ( xn ) = an ( xn − x0 )( xn − x1 )...( xn − xn −1 ) ⇒ an =
( xn − x0 )( xn − x1 )...( xn − xn −1 )](https://image.slidesharecdn.com/clinterpolao-110506083233-phpapp02/85/Cl-interpolao-4-320.jpg)
Cl interpolao
- 1. I Cálculo Numérico Interpolação Introdução: O problema da interpolação consiste em substituir funções intricadas por um conjunto de funções mais simples, de tal forma que muitas operações comuns, como a diferenciação e a integração, possam ser realizadas mais facilmente. A interpolação consiste basicamente em encontrar uma função que seja a expressão lógica de determinados pontos de uma função desconhecida, ou seja, conhecendo-se (x1 , y1), (x2 , y2).....(xn , yn) de uma função desconhecida poderemos calcular o valor numérico intermediário da função num ponto não tabelado com certo grau de erro. Erro = ∆f ( x) = g ( x) − f ( x) Pontos de Amarração: Os pontos de amarração são os pontos em que a função substituta conterá da função tabela, no qual será construída uma função para um respectivo intervalo. Para se fazer escolha de uma infinidade de funções que venham assumir determinados pontos faz-se na verdade a escolha de uma função onde se possa trabalhar com simplicidade, deste modo a função mais simples um polinômio. Obs: Nos pontos de amarração f(x) é igual a g(x), g(x) pode ser chamada função substituta. A Interpolação polinomial: As funções polinomiais são de maior aproveitamento para as interpolações por serem de mais fácil operação com derivação e integração dando também resultados na forma de polinômios. 2 pontos (polinômio de 1º grau) 3 pontos (polinômio de 2º grau) 4 pontos (polinômio de 3º grau) Para (n+1) pontos, existe um e somente um polinômio de grau não superior a n. Teorema Fundamental da Interpolação Polinomial: Uma função f(x) é contínua num determinado intervalo, esta função poderá ser substituida no interior deste intervalo por um polinômio de grau não superior a “n”, conforme a seguinte expressão: n n f ( x ) = ∑a0 + a1 x + a2 x 2 +... + an x n = ∑ai x i i =0 i =0
- 2. II Características do Polinômio: No polinômio f ( x) = a4 x + a3 x + a2 x + a1 x + a0 desejamos calcular f(x) para um determinado valor. 4 3 2 Torna-se mais simples calcular f(x) pela teoria de Divisão de Polinômios do que fazendo as substituições diversas onde se terá maior trabalho quanto as aperações de multiplicação. Dado o polinômio f ( x ) = a4 x + a3 x + a2 x + a1 x + a0 ⇒ 4 3 2 f ( x ) − f ( x1 ) = a 4 x 4 + a3 x 3 + a 2 x 2 + a1 x + a 0 − a 4 x14 − a3 x13 − a 2 x12 − a1 x1 − a 0 , evidenciando (x-x1) teremos: f ( x ) − f ( x1 ) = ( x − x1 )[a 4 ( x − x1 )( x 2 − x12 ) + a3 ( x 2 + xx1 + x12 ) + a 2 ( x − x1 ) + a1 ] O sublinhado é um Polinômio de 3º grau f ( x ) = ( x − x1 )[a 4 ( x − x1 )( x 2 − x12 ) + a3 ( x 2 + xx1 + x12 ) + a 2 ( x − x1 ) + a1 ] + f ( x1 ) logo f ( x) = ( x − x1 )Q( x ) + f ( x1 ) onde Q(x) é um polinômio de 3º grau e tambem é o quociente da divisão de f(x) por (x-x1), ficando f(x1) o resto (R) desta divisão. Chamamos agora o polinômio de 3º grau de: b3 x + b2 x + b1 x + b0 , teremos: 3 2 ( x − x1 )(b3 x 3 + b2 x 2 + b1 x + b0 ) = b3 x 4 + x 3 (b2 − b3 x1 ) + x 2 (b1 − b2 x1 ) + x (b0 − b1 x1 ) + b0 x , logo b3 = a4 , b2 = b3 x1 + a3 , b1 = b2 x1 + a2 , b0 = a1 + b1 x e R = a0 + b0 x1 a4 a3 a2 a1 a0 b3 x1 b2 x1 b1 x1 b0 x1 b3 b2 = b3 x1 + a3 b1 = b2 x1 + a 2 b0 = b1 x1 + a1 R = b0 x1 + a 0 Exemplo: Dada a equação f ( x) = 1,8 x 4 − 3,10 x 3 + 1,5 x 2 − 2,6 desejamos calcular f(2,7) pelo processo acima. a 4 = 1,8 a3 = −3,10 a 2 = 1,5 a1 = 0 a 0 = −2,6 b3 x1 b2 x1 b1 x1 b0 x1 1,8 1,76 6,252 16,8804 R = 42,97708 Observação: Por substituição iremos fazer 7 operações de multiplicação e 5 de adição, neste processo fizemos 4 operações de multiplicação e 4 de adição. Este método é valido para quaisquer polinômios ( n graus). Interpolação entre Intervalos não Equidistantes e Tabela de Diferenças Divididas: É utilizado quando os pontos conhecidos de uma função não estão em Progressão Aritimética (PA), e mesmo que estejam, este fato não é considerado. Seja f(x) em sua forma tabelada, os valores x0, x1, x2, ..., xn da variável independente {f(x0), f(x1), f(x2), ... , f(xn)}, chamar-se-á Diferença Dividida as expressões: f ( xi ) − f ( xi +1 ) a) f ( xi , xi +1 ) = ⇒ (Diferença Dividida de 1ª ordem) ⇒ (D1) xi − xi +1 f ( xi , xi +1 ) − f ( xi +1 , xi + 2 ) b) f ( xi , xi +1 , xi + 2 ) = ⇒ (Diferença Dividida de 2ª ordem) ⇒ (D2) xi − xi + 2 f ( xi , xi +1 , xi + 2 ) − f ( xi +1 , xi + 2 , xi + 3 ) c) f ( xi , xi +1 , xi + 2 , xi + 3 ) = ⇒ (Diferença Dividida de 3ª ordem) ⇒ (D3) xi − xi + 3 f ( x0 , x1 ,..., xn −1 ) − f ( x1 , x2 ,..., xn ) d) f ( x0 , x1 ,..., xn ) = ⇒ (Diferença Dividida de Enézima ordem) ⇒ (Dn) x0 − xn
- 3. III f ( x0 , x1 ,..., xn −1 ) − f ( x1 , x2 ,..., xn ) Resumindo teremos f ( x0 , x1 ,..., xn ) = como a interpolação entre intervalos não x0 − xn equidistantes. Exemplo: Para uma tabela dada, a Interpolação parabólica progressiva pode ser dada como: x f (x ) f ( x, x ) f ( x, x, x ) f ( x, x, x, x ) 0 63 5,2 5 89 0,213 8,4 0,0045 15 173 0,347 17,07 30 429 Pelo processo das Diferenças Divididas, temos exatamente ⇒ 63 − 89 5,2 − 8,4 0,213 − 0,347 D1 = 5,2 = , D2 = 0,213 = e D3 = 0,0045 = 0−5 0 − 15 0 − 30 A Interpolação será dada pela equação f ( x) = 63 + 5,2( x − 0) + 0,213x( x − 5) + 0,00045 x( x − 5)( x − 15) Método de Newton Chamamos o polinômio que interpola f(x) em x0 , x1 , ... , xn (pontos distintos) de: Pn(x), que será dado por: Pn( x) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) f ( x0 , x1 ) + ( x − x0 )( x − x1 ) f ( x0 , x1 , x2 ) + ( x − x0 )( x − x1 )( x − x2 ) f ( x0 , x1 , x2 , x3 ) + ... + ( x − x0 )( x − x1 )...( x − xn −1 ) f ( x0 , x1 , x2 , x3 ,..., xn ) Onde se terá um erro associado igual a ∆f ( x) = f ( x) − Pn( x) Exemplo 1: Determinar o polinômio interpolador que passe nos pontos (0,2), (1,11), (3,71), (5,227). x f (x) f ( x, x ) f ( x, x, x ) f ( x, x, x, x ) 0 2 ⇒9 1 11 ⇒7 30 ⇒1 3 71 12 78 5 227 Para os 4 pontos o polinômio interpolador será dado por: Pn( x) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) f ( x0 , x1 ) + ( x − x0 )( x − x1 ) f ( x0 , x1 , x2 ) + ( x − x0 )( x − x1 )( x − x2 ) f ( x0 , x1 , x2 , x3 ) = Pn( x) = 2 + ( x − 0)[9] + ( x − 0)( x − 1)[7] + ( x − 0)( x − 1)( x − 3)[1] = Pn( x) = 2 + 9 x + 7 x( x − 1) + x ( x − 1)( x − 3) = 2 + 9 x + 7 x 2 − 7 x + x 3 − 4 x 2 + 3 x Resposta: Pn( x) = 2 + 5 x + 3 x 2 + x 3
- 4. IV Exemplo 2: Determinar o polinômio interpolador que passe nos pontos (0,6), (1,10), (2,22), (3,54), (5,226), (7,622). x f (x) f ( x, x ) f ( x, x, x ) f ( x, x, x, x ) f ( x, x, x , x , x ) f ( x, x, x , x , x , x ) 0 6 ⇒4 1 10 ⇒4 12 ⇒2 2 22 10 ⇒0 32 2 ⇒0 3 54 18 0 86 2 5 226 28 198 7 622 Para os 6 pontos o polinômio interpolador será dado por: Pn( x) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) f ( x0 , x1 ) + ( x − x0 )( x − x1 ) f ( x0 , x1 , x2 ) + ( x − x0 )( x − x1 )( x − x2 ) f ( x0 , x1 , x2 , x3 ) + ( x − x0 )( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) f ( x0 , x1 , x2 , x3 , x4 ) + ( x − x0 )( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 )( x − x4 ) f ( x0 , x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) f(x,x,x,x,x) = 0 e também f(x,x,x,x,x,x) = 0 , logo o polinômio Pn(x) poderá ser resumido na forma: Pn( x) = f ( x0 ) + ( x − x0 ) f ( x0 , x1 ) + ( x − x0 )( x − x1 ) f ( x0 , x1 , x2 ) + ( x − x0 )( x − x1 )( x − x2 ) f ( x0 , x1 , x2 , x3 ) Pn( x) = 6 + ( x − 0)[4] + ( x − 0)( x − 1)[4] + ( x − 0)( x − 1)( x − 2)[2] Pn( x) = 6 + 4 x + 4 x( x − 1) + 2 x( x 2 − 3 x + 2) = 6 + 4 x + 4 x 2 − 4 x + 2 x 3 − 6 x 2 + 4 x = 6 + 4 x − 2 x 2 + 2 x 3 Resposta: Pn( x) = 6 + 4 x − 2 x 2 + 2 x 3 Método de Lagrange Seja a função polinomial substituta Pn(x): Pn( x) = a0 ( x − x1 )( x − x2 )...( x − xn ) + a1 ( x − x0 )( x − x2 )...( x − xn ) + ... + an ( x − x0 )( x − x1 )...( x − xn −1 ) Pelo teorema fundamental da Interpolação, teremos: Para x = x0 f ( x0 ) ⇒ Pn( x0 ) = f ( x0 ) ⇒ f ( x0 ) = a0 ( x0 − x1 )( x0 − x2 )...( x0 − xn ) ⇒ a0 = ( x0 − x1 )( x0 − x2 )...( x0 − xn ) Para x = x1 f ( x1 ) ⇒ Pn( x1 ) = f ( x1 ) ⇒ f ( x1 ) = a1 ( x1 − x0 )( x1 − x2 )...( x1 − xn ) ⇒ a1 = ( x1 − x0 )( x1 − x2 )...( x1 − xn ) ......................... Para x = xn f ( xn ) ⇒ Pn( xn ) = f ( xn ) ⇒ f ( xn ) = an ( xn − x0 )( xn − x1 )...( xn − xn −1 ) ⇒ an = ( xn − x0 )( xn − x1 )...( xn − xn −1 )
- 5. V Logo: ( x − x1 )( x − x2 )...( x − xn ) ( x − x0 )( x − x2 )...( x − xn ) ( x − x0 )( x − x1 )...( x − xx−1 ) Pn( x) = f ( x0 ). + f ( x1 ). + ... + f ( xn ). ( x0 − x1 )( x0 − x2 )...( x0 − xn ) ( x1 − x0 )( x1 − x2 )...( x1 − xn ) ( xn − x0 )( xn − x1 )...( xn − xn−1 ) n n (x − x j ) Resumindo teremos: ∑π i =0 j =0 ( xi − x j ) . f ( xi ) para i≠ j O erro associado é o mesmo do processo usado por Newton. Exemplo 1: Ache o polinômio interpolador para os seguintes pontos (0 , 2), (1 , 7), (2 , 24) x f (x) 0 2 1 7 2 24 O polinômio interpolador será dado por: ( x − x1 )( x − x 2 ) ( x − x 0 )( x − x 2 ) ( x − x0 )( x − x1 ) Pn( x) = f ( x0 ). + f ( x1 ). + f ( x 2 ). ( x 0 − x1 )( x 0 − x 2 ) ( x1 − x 0 )( x1 − x 2 ) ( x 2 − x0 )( x 2 − x1 ) ( x − 1)( x − 2) ( x − 0)( x − 2) ( x − 0)( x − 1) Pn( x) = 2. + 7. + 24. (0 − 1)(0 − 2) (1 − 0)(1 − 2) (2 − 0)(2 − 1) 2 7 24 Pn( x) = .( x 2 − 3 x + 2) + .( x 2 − 2 x) + .( x 2 − x) = x 2 − 3 x + 2 − 7 x 2 + 14 x + 12 x 2 − 12 x 2 −1 2 Pn( x) = 6 x − x + 2 ⇒ Como prova temos Pn(0) = 2, Pn(1) = 7 e Pn(2) = 24 2 Exemplo 2: Ache o polinômio interpolador para os seguintes pontos (1 , 1), (8 , 2), (27 , 3) ( x − x1 )( x − x 2 ) ( x − x 0 )( x − x 2 ) ( x − x0 )( x − x1 ) Pn( x) = f ( x0 ). + f ( x1 ). + f ( x 2 ). ( x 0 − x1 )( x 0 − x 2 ) ( x1 − x 0 )( x1 − x 2 ) ( x 2 − x0 )( x 2 − x1 ) ( x − 8)( x − 27) ( x − 1)( x − 27) ( x − 1)( x − 8) Pn( x) = 1. + 2. + 3. desta forma chega-se ao polinômio na (1 − 8)(1 − 27) (8 − 1)(8 − 27) (27 − 1)(27 − 8) forma Pn( x) = −0,003470213 x 2 + 0,174089068 x + 0,829381145 temos que a expressão polinomial satisfaz as respectivas coordenadas, podendo-se entre os intervalos (intervalos não equidistantes) calcular por exemplo, a raiz cúbica com um certo grau de erro. Bibliografia: * Cálculo Numérico Y Gráfico de Manuel Sadosky (Buenos Aires), pág.: 223, 224, 225 * Cálculo Numérico e Gráficos de Antônio Lopes Pereira (Rio de Janeiro), pág.: 25 e 26 Na Internet, em sites de busca em Português como Yahoo, Cade, Catar, Aonde, procurando pelo assunto respectivo com as expressões: Polinômios e Interpolação ⇒ gerando mais de 7.000 itens.