Comparison between heuristic algorithms for graph otimization

Universidade de São Paulo
Instituto de Ciências Matemáticas de São Carlos
Departamento de Ciências de Computação e Estatística
Um Estudo das Técnicas Heurísticas Simulated
Annealing e Tabu Search para a resolução de
Problemas de Otimização
Aluno: Ivan Jeukens
Orientador: Prof. Dr. Jóse Francisco F. Ribeiro
Monografia apresentada ao Departamento de Ciências de Computação e
Estatística do ICMSCUSP, como parte dos requisitos para o Exame final da
disciplina SCE191Projeto de Graduação

1 Introdução
1.1 Considerações iniciais
Este trabalho procura estudar, de forma breve, métodos heurísticos para a solução
de problemas de otimização combinatorial. Dentre inúmeras técnicas foram escolhidas
duas: simulated annealing e tabu search. A primeira foi escolhida por ser uma técnica já
bem estudada e importante, e a segunda por ser uma técnica nova e apresentar resultados
acadêmicos favoráveis.
Este item descreve primeiramente alguns conceitos relacionados com otimização.
Em seguida são apresentados três problemas utilizados neste trabalho como forma de
testar e estudar as duas técnicas de otimização.
1.2 Otimização
Um problema de otimização combinatorial é descrito por um par (Ω, fc), onde Ω
representa o conjunto de todas as soluções para o problema e fc é uma função definida do
conjunto de soluções para o conjunto de números reais não negativos. O número real
associado a cada solução através de fc é denominado de custo. Para o dado problema,
procurase uma solução com o menor custo entre todas as soluções do conjunto Ω. Essa
solução é denominada de ótimo global (não necessariamente único). Qualquer ótimo
global apresenta a propriedade: fc(og) ≤ fc(s), og ∈ Ω e ∀s ∈ Ω.
Devido a complexidade computacional[] associada à vários problemas de
otimização, algoritmos exatos, ou seja, que obtêm um ótimo global para a dada instância
do problema, são geralmente praticáveis apenas para instâncias de tamanho limitado, não
encontrados na prática. Dessa forma, é necessário pesquisar por algoritmos que
encontrem uma solução o mais próximo possível do ótimo com um tempo limitado,
denominados de heurísticas.
Muitas heurísticas são baseadas no conceito de vizinhança de uma solução. Dada
uma solução s, a vizinhança N(s, σ) dessa solução é constituída por todas as soluções que
poder ser encontradas a partir de s, utilizando σ como função de transformação. A
definição da função σ irá depender de cada problema, e para um mesmo problema,
poderemos ter várias funções σ.
Com base no conceito de vizinhança, podemos definir um algoritmo relativamente
simples, que obtêm uma solução com custo menor ou igual ao custo de uma solução
inicial dada. Temos o pseudocódigo:
Dada uma solução inicial s0;

s := s0;
Repita
  Escolha uma sn ∈ N(s, σ)  tal que fc(sn) < fc(s);
              Substitua s por sn;
Até que fc(sn) > fc(s)  ∀sn ∈ N(s, σ);
            Solução Final := s;
O algoritmo acima sempre seleciona uma solução com custo menor que a atual.
Isso faz com que o algoritmo seja facilmente “preso” em um ótimo local. Um ótimo local
é a solução com o melhor custo em um porção limitada do conjunto de soluções. No caso
acima, a porção é a vizinhança da solução atual. Uma forma de melhorar a qualidade da
solução seria utilizar uma vizinhança maior. Entretanto, isso faria com que o algoritmo
fosse degradando para uma busca por exaustão, tornandoo impraticável. A figura 1.1
apresenta uma ilustração típica do algoritmo acima:
Figura 1.1 Otimização Local
Notase que caso a qualidade da solução final é determinada principalmente pela
solução inicial. Se o algoritmo tiver a solução A como ponto inicial, o ótimo local B será
encontrado pelo algoritmo. Se o algoritmo tiver a solução D como ponto inicial, um
ótimo local de melhor qualidade será encontrado. Esse fato leva a propor que o algoritmo
fosse executado com diferentes soluções iniciais. Entretanto, na prática isso dificilmente
irá melhorar a qualidade da solução obtida, além de aumentar o tempo computacional.
Um ponto fundamental nas heurísticas a serem estudadas é que ambas apresentam
métodos para efetuar hill climbing, ou seja, permitir que uma solução com custo pior que

a da atual seja aceita, com o intuito de escapar de ótimos locais. Isso deve ser feito de
forma criteriosa, pois do contrário o algoritmo pode acabar “andando em círculos”.
1.3 Exemplos de problemas
1.3.1 Traveling Salesperson
O problema do Traveling Salesperson (caixeiro viajante) constitui, em um dado
grafo, encontrar uma seqüência de nós de menor custo. Nessa seqüência, cada nó deve
aparecer uma única vez. Nesse trabalho, foi utilizado a versão simétrica do problema, ou
seja, a distancia de um nó i para um nó j é igual a distancia do nó j para o nó i. Além
disso, como modo de testar os algoritmos utilizase a biblioteca TSPLIB95[], um
conjunto de instancias para o problema TSP.
Para o problema TSP, a estrutura de vizinhança foi definida com base na
transformação 2opt proposta por Lin[]. Através dessa transformação, uma nova solução é
gerada escolhendose aleatoriamente duas cidades da solução atual é invertendose a
seqüência de cidades entre elas. Como a versão utilizada é a simétrica, podemos efetuar a
variação do custo da solução e a transformação da solução de forma eficiente. Temos
abaixo os respectivos pseudocódigos:
custo_inversão(dist, sol, n1, n2)
início
  se n1 == número_de_cidades 1 e n2 == 0 então
     retorna 0;
              se n1 == número_de_cidades 1 então
   n3 := 0;
  senão
   n3 := n1 + 1;
  se n2 == 0 então
   n4 := número_de_cidades 1;
  custo := dist[sol[n4]][sol[n2]] + dist[sol[n1]][sol[n3]]
    dist[sol[n4]][sol[n1]] dist[sol[n2]][sol[n3]];
  retorna custo;
fim
inverte(sol, n1, n2)
início
  i := n1;
  j := n2;

enquanto i  j faça
                aux := sol[i];
    sol[i] := sol[j];
    sol[j] := aux;
    i = i 1;
    j = j + 1;
  fim
fim
Os números n1 e n2 são gerados de forma aleatória com probabilidade uniforme
entre 0 e o número de cidades do problema 1. Assumese que o valor de n1 é maior que
n2.
Outra transformação considerada foi a troca de posição entre duas cidades, sem
efetuar a inversão da seqüência entre as mesmas. Com base nessa transformação, foi
criado um algoritmo greedy. Nessa algoritmo, uma cidade é colocada em cada posição da
seqüência atual. A melhor posição para a cidade é registrada, e caso o custo da solução
obtida com tal troca for melhor que a melhor solução encontrada até o momento, a troca é
concretizada. Isso se repete para todas as cidades uma única vez. Temos o pseudocódigo:
tsp_greedy(sol, dist)
início
  melhor_custo := custo_atual;
  para i := 0 até número_de_cidades 1 faça
    melhor_posição := 1;
    para j := 0 até número_de_cidades 1 faça
      se i = j continue;
      variação := custo_troca(dist, sol, j, i);
      se custo_atual + variação < melhor_custo então
       melhor_custo := custo_atual + variação;
       melhor_posição := j;
      j += 1;
    fim
    se melhor_posicão ≠ 1 então
     troca(sol, melhor_posição, i);
     custo_atual := melhor_custo;
    i += 1;
  fim
fim
A figura 1.2 mostra a evolução do custo por iteração do algoritmo greedy para o
problema lin105 (105 cidades). Notase que, conforme mencionado no item anterior, o
custo é sempre descendente.

Figura 1.2 Lin105 : solução greedy
A tabela 1.1 Lista alguns resultados do mesmo algoritmo:
Instancia Número de Cidades Custo
Inicial
Custo Final(Ótimo) Tempo(s)1
dantzig42 42 2977.8 1259.4 0.002
lin105 105 124483 44230.4 0.015
tsp255 255 40287 14089.8 0.082
att532 532 512377.4 144217.8 0.55
pcb1173 1173 1405734.2 421106.2 2.96
Tabela 1.1 TSP: Otimização Local
A partir dos dados da tabela 1.1 podese perceber que o algoritmo greedy é
extremamente veloz, mas produz soluções com qualidade insatisfatória. A principal
utilidade do algoritmo é que ele é utilizado por uma técnica que diminui o tempo
computacional gasto pela heurística simulated anneling.
1
Todas as medidas desse trabalho foram feitas em um Pentium 200Mhz com 64Mbtyes utilizando o
sistema operacional Linux K2.0.0 e o compilador C gcc com opção O3.

1.3.2 Quadratic Assignment Problem
O Quadratic Assignment Problem(QAP) constitui em minimizar o custo da
seguinte função:
f  f = ∑
i=0
N−1
∑
j=0
N−1
aij b f i f  j 
,onde N é o tamanho do problema. As soluções são todas as possíveis
permutações φ do intervalo inteiro [0, N 1]. A entrada para o problema são as matrizes
A e B, onde a matriz A representa uma matriz de distância entre duas localidades i e j, e a
matriz B representa uma matriz de fluxo entre duas localidades i e j.Dessa forma, o
problema QAP consiste em minimizar o produto de distância por fluxo. A versão do
problema utilizada nesse trabalho foi a simétrica, ou seja, a matriz A é simétrica.
A estrutura de vizinhança é determinada com base na transformação que efetua a
troca de dois números da permutação. A variação do custo pode então ser determinada
eficientemente como mostrado no pseudocódigo abaixo:
custo_troca(sol, dimensão, A, B, numero1, m, n)
início
  variação_custo := 0;
  para k := 0 até k < dimensão faça
       se k != m e k != n então
      variação_custo += (A[n][k] A[m][k])*(B[sol[n]][sol[k]] B[sol[m]][sol[k]]);
    k += 1;
  fim
             variação_custo = 2 * variação_custo;
fim
Similarmente ao problema TSP, um algoritmo greedy foi definido com base na
estrutura de vizinhança descrita. Os resultados para algumas instâncias podem ser vistos
na tabela 1.2.
Instancia N Custo Inicial Custo Final(Ótimo) Tempo(s)
chr15a 15 54663.2 17726(9869) 0.0006
chr25a 25 21367.2 7852(3796) 0.003
tai50 50 5911030 5284871.6
([3854359, 4941410]2
)
0.03
tai100 100 24099888.8 22140872.8
([15824355,21125314])
0.23
2
O ótimo esta no intervalo dado.

Tabela 1.2 QAP: Otimização Local
1.3.3 Placement
A entrada para o problema de placement é um hipergrafo onde cada nó
deve ser associado a uma posição em um array bidimensional. Existem dois tipos de nós:
os internos(clbs) e os periféricos(input e output). Os nós periféricos só podem ser
associados à posições contidas no retângulo que circula o array de posições, enquanto
que os nós internos só podem ser associados à posições do array. As dimensões do array
são limitadas pelo número de nós, dado por:
tmp=⌈
numerodeclbs
aspectratio
⌉ ,
tmp2=⌈
numerodeinputs
numerodeoutputs
2∗ioratio∗1aspectratio 
⌉ ,
dy=MAX tmp ,tmp2 ,
dx=⌈dy∗aspectratio⌉
,onde io_rat é uma constante que indica quantos nós periférios podem ocupar uma
posição periférica e aspect_ratio é uma constante que determina a relação entre os lados
do array. O valor 1 é utilizado nesse trabalho, ou seja, o array é um quadrado. A figura
1.3 ilustra os conceitos descritos até o momento.

Figura 1.3 Um exemplo de instância do problema de placement
Cada aresta do hipergrafo é denominada de net. O custo de uma solução é a soma
do custo de cada net. O custo de uma net é calculado com base no semiperímetro do
retângulo que contêm todos os nós da dada net.
A estrutura de vizinhança é determinada escolhendose aleatoriamente um nó e
uma posição, com base no tipo de nó. Se um nó já estiver nessa posição, uma troca é
efetuada. Do contrário apenas o nó escolhido tem sua posição modificada.
Da mesma forma com que foram definidos algoritmos greedy para os dois
problemas anteriores, foi definido para esse problema. Nele, temos que um nó é escolhido
e testado em todas as posições válidas para ele. Caso a variação do custo obtido com a
melhor posição para o tal nó for menor que a melhor solução encontrada até o momento,
a troca é concretizada. Isso é repetido para todos os nós do grafo. A tabela 1.3 mostra

alguns resultados e a figura 1.4 mostra o resultado obtido após a execução do algoritmo
greedy para a mesma instância da figura 1.3.
Instância Nós Int. Nós Perif. N° Nets Custo Ini. Custo
Final.
Tempo(s)
i1 24 41 49 3.6390 2.0961 0.535
alu2a 135 16 145 22.9441 15.3015 1.78
C880a 131 86 191 29.756 17.607 2.0
cordic 498 25 521 145.52 82.731 7.0
exp5 1064 71 1072 425 231.1 25.6
Figura 1.4 Instância i1 após a otimização local

O problema descrito aqui é um modelo para o problema de placement de circuitos
do tipo reprogramável por memória ram. Nesse trabalho será utilizado como base uma
ferramenta disponível ao público chamada de Versatile Place and Route(VPR). Nela,
uma das técnicas descritas adiante está implementada.

2 Simulated Annealing
Descrevese nesse item o algoritmo de otimização simulated annealing.
Inicialmente será apresentado a origem do algoritmo e suas características básicas. Em
seguida, será descrito de forma sucinta as várias decisões a respeito do algoritmo
conhecidas como cooling shecudule e uma técnica para diminuir o tempo computacional
do algoritmo será apresentada. Finalmente, resultados experimentais referentes aos
problemas propostos no item 1 serão relatados.
2.2 Características básicas
O algoritmo simulated annealing foi desenvolvido independentemente por
Kirkpatrick et al. [] e Cerny[] no início da década de 80. Na sua forma original, ele é
baseado na analogia entre a simulação do esfriamento de sólidos e a resolução de
problemas de otimização combinatorial.
A palavra annealing denota o processo físico onde um sólido é submetido à um
banho térmico que eleva sua temperatura a um valor máximo, onde já no estado líquido,
suas moléculas se dispõem randomicamente no material. A partir desse estado, a
temperatura do banho térmico é lentamente diminuída. Dessa forma, todas as partículas
se organizam em grupos com mínima energia. Entretanto, para que isso ocorra, a
diminuição da temperatura deve ser feita de forma apropriada. A cada temperatura, o
sólido deve poder alcançar o equilíbrio térmico, que é caracterizado pela probabilidade
dele estar em um estado de energia e dado pela distribuição de Boltzmann:
P E=e=
1
Z T 
.exp−
e
kb T

,onde Z(T) é um fator de normalização, chamado de função de partição, que
depende da temperatura T, e kb é a constante de Boltzmann. Conforme a temperatura é
diminuída, a distribuição de Boltzmann se concentra em estados de menor energia, até
que com a temperatura próxima de zero, apenas os estados de energia mínima possuem
uma probabilidade diferente de zero de ocorrer.
Com o intuito de simular o comportamento de um sólido evoluindo para o
equilíbrio térmico a uma dada temperatura, Metropolis et al. [] propuseram o método de
Monte Carlo. Este método gera uma seqüência de estados que eventualmente irão atingir
o equilíbrio térmico. Um novo estado é determinado a partir do estado atual, que é
caracterizado pelo posicionamento das partículas do sólido, provocandose de forma
aleatória uma pequena perturbação em uma partícula selecionada aleatoriamente. A
diferença entre a energia do novo estado e do estado atual é determinada. Caso essa seja
negativa, o novo estado é aceito, ou seja, ele passa a ser o estado atual. Caso contrário, a
probabilidade do novo estado ser aceito é dado por:

exp−
DE
kb T
 .
Essa regra de aceitação é denominada de critério de Metropolis.
O algoritmo desenvolvido por Metropolis pode ser utilizado na resolução
de problemas de otimização combinatorial. Nesse caso, os vários estados do sólido
representam soluções factíveis do problema de otimização. A temperatura é denominada
de parâmetro de controle, a constante de Boltzmann não é utilizada e a energia do sistema
é representada pela função de custo do problema de otimização. A tabela 2.1 lista a
analogia entre os parâmetros do processo físico e do algoritmo de otimização.
Processo Físico Otimização Combinatorial
Estados do sólido Soluções factíveis
Energia Custo
Mudança de estado Solução vizinha
Temperatura Parâmetro de controle
Estado de “congelamento” Solução heurística
Tabela 2.1 : Analogia
O algoritmo simulated annealing pode então ser descrito como uma seqüência de
execuções do algoritmo de Metropolis, com o parâmetro de controle sendo diminuindo a
cada execução. Temos então, genericamente, o seguinte pseudocódigo para o algoritmo:
PROCEDURE SA
início
  Inicializações;
  Iter := 0;
  t := temperatura_inicial;
  repita
    repita
      Perturbe(configuração_atual, ∆C);
      Se o critério de Metropolis for satisfeito  então
        Aceite a nova configuração;
                até estar próximo do equilíbrio;
                titer + 1 := f(titer);
                iter := iter + 1;
  até criterio_de_parada = verdadeiro;
fim.

Primeiramente são executadas uma série de inicializações relacionadas ao
problema a ser resolvido, como a determinação de uma solução inicial aleatória, calculo
do seu custo, etc. Em seguida determinase o valor inicial do parâmetro de controle. O
algoritmo constituise basicamente de dois nested loops. O loop interno corresponde ao
algoritmo de Metropolis onde a solução atual é perturbada, a variação do valor da função
de custo é calculado, e a solução é aceita ou rejeitada com base no critério de Metropolis.
O critério de Metropolis é dado por:
∆C < 0 ou rand0,1exp
−DC
t

,onde ∆C é o custo da solução perturbada subtraído do custo da solução atual e
rand(0,1) gera um número real no intervalo (0,1). Como já mencionado anteriormente, a
constante de Boltzmann não é utilizada, pois a temperatura é apenas um parâmetro de
controle, sem conotação física. A justificativa para a utilização desse critério. Uma vez
que a solução esteja em equilíbrio térmico, o loop interno é encerrado. Então, a
temperatura é atualizada e todo o processo é repetido. Isso se dá até que um dado critério
de parada seja alcançado.
É importante notar duas características do pseudocódigo acima. Primeiramente,
ele descreve o algoritmo de forma genérica, ou seja, várias decisões como qual será a
temperatura inicial, como diminuila, quando terminar os loops, etc, não foram
especificadas. Essas decisões são denominadas de cooling schedule, e serão descritas
posteriormente.
Outra característica do algoritmo é o critério de Metropolis que aceita não
somente soluções que melhorem o custo da solução atual, mas também soluções que
piorem o custo da solução atual. É dessa forma que o algoritmo pretende escapar de
ótimos locais, tentando assim alcançar soluções com melhor qualidade. A figura 2.1
ilustra a execução do algoritmo para a mesma instância do problema TSP mostrado na
figura 1.2.

Figura 2.1 Evolução do custo para o problema Lin105.
Notase que o custo da solução é muito variável nas primeiras iterações, devido ao
fato da temperatura ser relativamente alta e soluções de pior custo serem aceitas com
maior probabilidade. Conforme o algoritmo progride, essa probabilidade diminui,
fazendo com que a variação do custo seja menor.
2.3 Cooling schedule
A parte fundamental para o sucesso da heurística simulated annealing é a
determinação dos parâmetros conhecidos como cooling schedule. Os parâmetros a serem
determinados são:
• valor da temperatura inicial;
• função de diminuição da temperatura;
• número de perturbações a cada temperatura; e
• critério de parada.
Existem dois tipos de cooling schedule: estático e dinâmico. O tipo estático
determina os parâmetros de forma imutável durante a execução do algoritmo. O tipo

dinâmico especifica os parâmetros com base em dados coletados durante a execução do
algoritmo.
Abaixo temos a descrição dos parâmetros utilizados nesse trabalho para os
problemas TSP e QAP. O problema de placement utiliza os parâmetros determinados em
[].
2.3.1 A temperatura inicial
Uma regra geral para determinação da temperatura inicial é utilizar uma
temperatura em que praticamente todas as soluções de uma cadeia sejam aceitas. Alguns
estudos determinaram que esse valor é maior ou igual ao desvio padrão dos custos sobre
todas as soluções do espaço de soluções (σ∞). Como é impraticável determinar esse valor
de forma exata, uma boa aproximação é obtida analisandose 1000 soluções
aleatoriamente[]. Para ambos os tipos de schedule a temperatura inicial será igual a σ∞.
2.3.2 A função de diminuição da temperatura
O schedule estático, originário em [], utiliza uma função de diminuição da
temperatura cujos parâmetros são determinados de forma fixa. O caso mais comum de
função é dado por:
tk = tini . αk
O parâmetro α é geralmente 0.95. Um valor menor para esse parâmetro faz com
que a temperatura final seja mais rapidamente alcançada. Consequentemente o tempo de
execução diminui a custo da qualidade da solução. O contrário ira acontecer com um
valor maior para esse parâmetro, uma vez que a diminuição da temperatura é mais lenta
O schedule dinâmico utiliza a seguinte função:
tk=tk−1.1
tk−1.ln1d 
3sk−1
−1
,onde σk1 é o desvio padrão das soluções geradas na temperatura tk1, e δ é uma
constante com valor positivo e pequeno, geralmente 0.085[]. A derivação da equação
acima pode ser encontrada em [].
2.3.3 O número de perturbações
O número de perturbações, ou soluções a serem geradas em uma dada
temperatura, afeta diretamente a qualidade da solução obtida, bem como o tempo de
execução. Ele também está diretamente relacionado com a função de redução da

temperatura, uma vez que o mais rápido a temperatura é diminuída, maior terá que ser o
número de soluções geradas para que o equilíbrio seja alcançado.
Um valor que foi determinado como sendo apropriado para o número de
perturbações é |N(x, σ)|, ou seja, a cardinalidade do conjunto de soluções vizinhas de uma
dada solução. Ambos os tipos de schedule utilizam essa regra.
2.3.4 Critério de parada
A critério de parada é baseado no fato de que quando a melhora na qualidade da
solução é sucessivamente pequena, o algoritmo deve ser interrompido. O schedule
estático interrompe a execução do algoritmo quando três soluções sucessivas obtiverem o
mesmo valor. Já o schedule dinâmico utiliza a seguinte expressão:
s f
2
t f .m0−m f 
q
,onde θ é uma constante pequena e positiva, geralmente 0.00001 e µk a média dos
custos das soluções geradas na temperatura k. A derivação da equação acima pode ser
encontrada em [].
2.4 Acelerando o algoritmo
Um dos principais problemas da heurística simulated annealing é seu alto tempo
de execução, comparado à outras heurísticas. Em [] e [] foi proposta uma técnica eficiente
para reduzir o tempo gasto pela heurística. Em linhas gerais, o método constitui em
inicialmente executar uma heurística do tipo otimização local para o problema dado. Em
seguida, a partir da solução obtida pela heurística, uma temperatura é calculada com base
no custo desse solução. Essa temperatura tenta aproximar a temperatura que o algoritmo
annealing estaria com tal solução. Dessa forma, o algoritmo annealing seria executado
com temperatura inicial e solução inicial dadas pela temperatura calculada e pela solução
da primeira heurística. Essa técnica e denominada de twostage simulated annealing
(TSSA).
O principal ponto da técnica TSSA é o cálculo da temperatura relacionado à
solução da primeira heurística. Uma temperatura muito alta faz com que muitas soluções
com custo pior sejam aceitas, e consequentemente, o trabalho feito pela primeira
heurística seja perdido. Uma temperatura muito baixa faz com que o algoritmo não
consiga escapar do ótimo local e a qualidade da solução não é comparável a do algoritmo
annealing tradicional.

Descrevese então o método, proposto por Varanelli em [], para efetuar o cálculo
da temperatura da solução heurística de forma eficaz e independente do problema sob
estudo.
O Método de Varanelli
Vários autores fizeram estudos a respeito do comportamento típico do algoritmo
annealing. Todos os estudos concluíram que o custo esperado (Ek) e o desvio padrão (σk)
das soluções geradas na temperatura k podem ser dados por:
Ek »E¥ −
s¥
2
tk
 ,
σk ≈ σ∞,
,onde E∞ é a média do custo de todas as soluções do espaço de soluções e σ∞ é o
desvio padrão dessas soluções. Tais equações são válidas para todas as temperaturas
exceto aquelas próximas do valor do ótimo global. Esses mesmos estudos concluíram que
a distribuição do custo para todas as soluções pode ser aproximada pela distribuição
normal.
As equações acima poderiam ser utilizadas para calcular a temperatura da solução
da primeira heurística caso esta correspondesse a uma solução em equilíbrio. Entretanto
isso é praticamente impossível de ocorrer na prática, uma vez que a heurística inicial teria
que se comportar como o algoritmo annealing. Assumese então, que a solução obtida
pela primeira heurística é a melhor solução encontrada (bsf) até uma dada temperatura(tk).
Em [], Varanelli observou que a melhor forma para estudar o comportamento das
soluções bsf é normalizar o valor da solução bsf em unidades de desvio padrão (σ∞) com
relação ao custo estimado (E∞) de todas as soluções. Temos então as equações:
bsf norm=
 E¥ −bsf 
s¥
,
tnorm=
tk
t0
,
onde t0 é a temperatura inicial do algoritmo annealing. A figura 2.2 mostra o
comportamento do custo bsf normalizado com relação ao custo esperado.

Figura 2.2 Custo Esperado vs. Custo Bsf (lin318)
Podese observar que a curva do custo bsf está deslocada à direita da curva do
custo esperado. Isso mostra que o custo esperado é algumas unidades de desvio padrão
maior que o custo bsf. Para obtermos um valor correto para a temperatura temos então
que calcular esse deslocamento(γ∞). A partir desse valor, podemos calcular a temperatura
da solução por:
tbsf »
s¥
2
E¥ −bsf −g¥ s¥
.
Em [], Varanelli demonstra que o desvio γ∞ pode ser calculado de forma
probabilística, utilizandose a seguinte equação:
P[E∞ γ∞σ∞ < X < E∞ + γ∞σ∞] ≈ 1 |número_de_perturbações|1
.
Temos então, um método eficaz para calcular a temperatura da solução da
primeira heurística, independentemente do problema sendo resolvido.
2.5 Resultados experimentais

Abaixo temos alguns resultados experimentas referentes aos três problemas
propostos no item 1 desse texto.
2.5.1 TSP
Instância Custo Final Tempo(s) Acima do Ótimo
dantzig42 709.8 0.356 0.015%
brazil58 25411 0.973 0.0006%
kroA100 21568.2 3.147 0.01%
lin105 14556.2 3.477 0.01%
d198 15939.6 16.68 0.01%
tsp225 4012.4 21.06 0.02%
rd400 15633.8 92.83 0.02%
Tabela 2.1 Schedule estático sem a técnica TSSA
dantzig42 702.8 1.436 0.005%
brazil58 25492.2 4.055 0.003%
kroA100 21460.2 18.48 0.008%
lin105 14444.8 21.77 0.004%
d198 15891.4 147.8 0.007%
tsp225 3947.4 188.5 0.009%
rd400 15552 1004 0.01%
Tabela 2.2 Schedule dinânmico sem a técnica TSSA
dantzig42 701.6 0.2772
brazil58 25502.8 0.7450
kroA100 21610 2.193
lin105 14546.2 2.400
d198 16021.6 11.08
tsp225 3976.8 12.57
rd400 15773.6 54.14
Tabela 2.3 Schedule estático com a técnica TSSA
2.5.2 QAP
Instância Custo Final Tempo(s)
15086 0.046339
4914.8 0.145339
3721.6 0.012613
6350.6 0.065133

3248142.8 0.415824
5115602.8 0.468601
12160787.2 2.768244
21578483.2 7.613026
15243.5 0.140428
5141.2 0.315190
3721 0.105598
6924.8 0.216762
3239803.2 0.532601
5094001.6 1.403622
12184668.4 3.783508
21615316 9.243220
2.5.3 Placement

4  Referências Bibliográficas
[]  E. H. L. Aarts e P. J. M. van Laarhoven, “A New PolynomialTime Cooling
Schedule”, Proc. IEEE ICCAD85, Santa Clara, CA, 206208, 1985.
[]  V. Benz e J. Rose,”VPR: A New Packing, Placement and Routing Tool for FPGA
Research”, International Workshop on Field Programmable Logic, 1997.
[] V. Cerny, “Thermodynamical Approach to the Traveling Salesman Problem: An
Efficient Simulation Algorithm”, J. Optimization Th. and Appl., vol. 45, 4151, 1985.
[]  M. R. Garey e D. S. Johnson, “Computers and Intractability: A Guide to the Theory of
NPCompleteness”, W. H. Freeman and Co., San Francisco, CA, 1979.
[]  L. K. Grover, “Standard Cell Placement Using Simulated Sintering”, Proc. 24th
ACM/IEEE DAC, Miami Beach, Fl, 5659, 1987.
[]  S. Kirkpatrick, C. D. Gelatt, e M. P. Vecchi. “Optimization by Simulated Annealing”.
Science, vol. 220, 4554, 1983.
[]  S. Lin, “Computer Solutions of the Traveling Salesman Problem”, Bell System Tech.
J., vol. 44, 22452269, 1965.
[]  C. R. Reeves, “Modern Heuristic Techniques for Combinatorial Problems”, John
Wiley & Sons Inc, 1993.
[]  G. Reinelt, “TSPLIB 95”, Universität Heidelberg.
[]  F. Romeo e A. SangiovanniVicentelli, “A Theoretical Framework for Simulated
Annealing”, Algorithmica, vol. 6, 302345, 1991.
[]  J. S. Rose, W. M. Snelgrove, e Z. G. Vranesic, “Parallel Standard Cell Placement with
Quality Equivalent to Simulated Annealing”, IEEE Trans. CADICS, vol. 7, 387396,
1988.
[]  J. M. Varanelli, “On the Acceleration of Simulated Annealing”, PhD Dissertation,
University of Virginia, 1996.

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