Computacao grafica: transformadas geometricas - Parte 1

TRANSFORMAÇÕES
GEOMÉTRICAS
Prof.ª M.ª Elaine Cecília Gatto
10/03/2018Prof.ªM.ªElaineCecíliaGatto1

Introdução
• Transformações Geométricas (TG) são a base de
inúmeras aplicações gráficas. Podem estar em:
– Programas para representar layouts de circuitos
eletrônico
– Programas de planejamento de cidades, onde pode-se
usar movimentos de translação para colocar os
símbolos que definem edifícios e árvores em seus
devidos lugares, rotações para orientar corretamente
esses símbolos, e alteração de escala para adequar o
tamanho desses símbolos
– Sistemas de software sofisticados que permitem a
construção de cenas realistas.
10/03/2018
Prof.ªM.ªElaineCecíliaGatto
2

Introdução
• Definição: Transformação geométrica é uma
aplicação bijectiva entre duas figuras
geométricas, no mesmo plano ou em planos
diferentes, de modo que, a partir de uma
figura geométrica original se forma outra
geometricamente igual ou semelhante à
primeira

Introdução
• As transformações geométricas podem ser
classificadas da seguinte forma:
– Geometria Projetiva:
• Projeção Ortogonal
• Projeção Perspectiva
– Geometria Afim:
• Variação de Tamanho (scaling – escala)
• Cisalhamento (shearing)
– Geometria Euclidiana:
• Translação
• Rotação
• Reflexão

Introdução
• Podemos classificar as transformações
geométricas euclidianas da seguinte forma:
– Isométricas
• Reflexão
• Rotação
• Translação
– Não Isométricas
• Homotetia

Aplicações das Transformações
Geométricas
• Operações de modelagem:
– Transformações afins
– Modelagem de um objeto em uma cena
• Operações de posicionamento
– Transformações euclidianas
– Posicionamento e movimento de objetos em um
cenário
• Operações de visualização
– Transformações projetivas
– Montagem de cenário

ISOMETRIA
• Definição: Uma Isometria é uma transformação
geométrica que preserva distância entre
pontos e amplitude dos ângulos, isto é, a figura
inicial e o seu transformado são congruentes
(idêntico ou correspondente na constituição,
forma ou estrutura).

TRANSLAÇÃO
• Pode ser entendida como sendo o resultado de
um deslocamento, sem giro, de uma figura de
uma posição à outra.
• Uma translação fica determinada por uma
direção, um sentido e uma distância.
• Transladar um ponto significa desloca-lo de
uma quantidade de movimento linear

TRANSLAÇÃO
• A translação define a posição do modelo no
universo.
• As translações conservam a direção e o
comprimento de segmentos de reta, e as
amplitudes dos ângulos
• Uma translação fica determinada por uma
direção, um sentido e uma distância.
• Assim basta um vetor AB para definir uma
translação.

TRANSLAÇÃO

TRANSLAÇÃO
• Pode-se efetuar a Translação de pontos no
plano (x,y) adicionando-se quantidades
inteiras às suas coordenadas.
• Assim, cada ponto P(x, y) pode ser movido por
dx unidades em relação o ao eixo x, e por dy
unidades em relação ao eixo y.
• Logo, o ponto P’(x’, y’), pode ser escrito como:

TRANSLAÇÃO
x’ = x + dx
y’ = y + dy
• É importante ressaltar, pelas características da
fórmula, que o ponto do modelo que estiver
sobre a origem do sistema de coordenadas
será transferido, após a translação, para o
ponto (x’, y’) do universo.

TRANSLAÇÃO
• Esta característica é muito importante, e em
geral, é considerada na criação de modelos
com o objetivo de que se possa posicioná-los
no universo da melhor forma possível.
• Assim temos as seguintes definições
matemáticas:

TRANSLAÇÃO
𝒙′
𝒚′
=
𝒙
𝒚 +
𝒅𝒙
𝒅𝒚
𝑷 =
𝒙
𝒚 𝑷′ =
𝒙′
𝒚′
𝑻 =
𝒅𝒙
𝒅𝒚
𝑷′ = 𝑷 + 𝑻
Ponto P original Ponto P’ final Translação
Ponto P final = Ponto P Original + Pontos da Translação
Ponto (x, y) final = Ponto (x, y) Original + Pontos (dx, dy) da Translação

TRANSLAÇÃO
• EXEMPLO DE EXERCÍCIO
• Considere o ponto original P(x,y) como
P(15,20). Aplique a translação nesse ponto
com os valores T(dx,dy) como T(35,45). Qual o
valor do ponto final P’(x’,y’)?
x’ = x + dx = 15 + 35 = 50
y’ = y + dy = 20 + 45 = 65
PORTANTO: P’(x’,y’) = P’(50,65)

TRANSLAÇÃO
• EXEMPLO DE
EXERCÍCIO
• Considere a imagem
apresentada Figura 1.
Aplique uma translação
T(3,-4) nos pontos e
desenhe a imagem
resultante.

TRANSLAÇÃO
• Os pontos originais são:
P(4,5)
P(7,5)
• Aplicando a translação:
P(4,5)
x’ = x + dx = 4 + 3 = 7
y’ = y + dy = 5 + (-4) =
1
P’(x’,y’) = (7,1)

TRANSLAÇÃO
• Os pontos originais são:
P(4,5)
P(7,5)
• Aplicando a translação:
P(7,5)
x’ = x + dx = 7 + 3 = 10
y’ = y + dy = 5 + (-4) =
1
P’(x’,y’) = (10,1)

TRANSLAÇÃO
• Os pontos resultantes
são:
P(4,5)  P’(7,1)
P(7,5)  P’(10,1)

ROTAÇÃO
• Uma rotação fica determinada por um sentido
(horário ou anti-horário) e por um ângulo de
giro.
• A rotação define a orientação do modelo no
universo.
• Nas fórmulas deve-se dar especial atenção ao
fato de que a maioria das linguagens possuem
funções trigonométricas operando em radianos.

ROTAÇÃO
• Rotacionar um ponto P(x,y) de um ângulo
relativamente à origem significa encontrar
outro ponto Q(x’,y’) sobre uma circunferência
centrada na origem que passa pelos dois
pontos
𝑥′
= 𝑥 . cos ɵ − y . sin ɵ
𝑦′
= 𝑥 . sin ɵ + y . cos ɵ

ROTAÇÃO
• A Rotação de pontos
através de um ângulo
qualquer também é feita
a partir da origem.
• Pode ser no sentido
positivo, quando se move
ao contrário do sentido
dos ponteiros do relógio,
ou no sentido negativo,
quando se move no
mesmo sentido dos
ponteiros dos relógios.

ROTAÇÃO
• Os ângulos positivos são definidos quando a
rotação é feita no sentido contrário aos do
ponteiro do relógio, e ângulos negativos
quando a rotação é feita no sentido dos
ponteiros do relógio. Lembremos que
sin(−θ) = −sin(θ)
cos(− θ) = cos(θ)

ROTAÇÃO
• Desenvolvendo as equações matemáticas:
𝑃′
= 𝑅·𝑃
𝑥′
𝑦′
=
cos θ − sin θ
sin θ − cos θ
.
𝑥
𝑦

ROTAÇÃO
• Desenvolvendo as equações matemáticas:
𝑥 = 𝑟 . cos ∅
𝑥′
= 𝑟 . cos ∅ + 𝜃
𝑥′
= 𝑟 . cos ∅ . cos 𝜃 − 𝑟 . sin ∅ . sin 𝜃
𝑥′
= 𝑥 . cos 𝜃 − 𝑦 . sin 𝜃
𝑦 = 𝑟 . sin ∅
𝑦′
= 𝑟 . sin(∅ + 𝜃)
𝑦′
= 𝑟 . cos ∅ . sin 𝜃 + 𝑟 . sin ∅ . cos 𝜃
𝑦′
= 𝑥 . sin 𝜃 + 𝑦 . cos 𝜃

ROTAÇÃO
• Representação matricial:
𝑥′
𝑦′
=
cos 𝜃 − sin 𝜃
sin 𝜃 cos 𝜃
.
𝑥
𝑦
x’ é uma combinação linear de x e y
y’ é uma combinação linear de x e y

ROTAÇÃO
• Exemplo de exercício:
• Dada a imagem na figura
ao lado com os pontos
P1(5,2) e P2(9,2). Aplique
uma transformação
geométrica de rotação
com ângulo de 45º

ROTAÇÃO
• Exemplo de exercício: (usar
a calculadora científica)
x’ = 5 * cos 45 – 2 * sin 45
= 2,1
y’ = 5 * sin 45 – 2 * cos 45
= 4,9

ROTAÇÃO
• Exemplo de exercício: (usar
a calculadora científica)
x’ = 9 * cos 45 – 2 * sin 45
= 4,9
y’ = 9 * sin 45 + 2 * cos 45
= 7,8

ESCALA
• Coordenadas são multiplicadas pelos fatores
de escala
• Pode-se efetuar Mudanças de Escala (ou
apenas Escala) de um ponto pelo eixo x(sx), ou
pelo eixo y(sy), através das multiplicações
𝑦′ = 𝑠𝑦 . 𝑦
𝑥′
= 𝑠𝑥 . 𝑥

ESCALA
• Tipos de Escala
– Uniforme: sx = sy
– Não-Uniforme: sx <> sy
• Escala é uma multiplicação de matrizes:
𝑥′
𝑦′
=
𝑠𝑥 0
0 𝑥𝑦
.
𝑥
𝑦 =
𝑥. 𝑠𝑥 + 0. 𝑦
0. 𝑥 + 𝑦. 𝑠𝑦
=
𝑥. 𝑠𝑥
𝑦. 𝑠𝑦

ESCALA
aplicar uma escala de 1/2
para x e ¼ para y
• P1(4,5)
x’ = (1/2) * 4 = 2
y’ = (1/4) * 5 = 1,25 ou 5/4
PORTANTO P1’(2, 1.25)

ESCALA
aplicar uma escala de 1/2
para x e ¼ para y
• P2(7,5)
x’ = (1/2) * 7 = 3,5 ou 7/2
y’ = (1/4) * 5 = 1,25 ou 5/4
PORTANTO: P2’(3.5, 1.25)

REFLEXÃO
• Ao longo do eixo x
1 0
0 −1
.
𝑥
𝑦 =
𝑥
−𝑦

REFLEXÃO
• EXEMPLO: Considere uma reta desenhada nos
pontos x1=1, y1=1, x2=1, y2=5.
1 0
0 −1
.
1
1
=
𝑥
−𝑦
X = (1 * 1) + ( 0 * 1) = 1 + 0 = 1
-Y = (0 * 1) + (-1 * 1) = 0 + (-1) = -1
PORTANTO: x1 = 1, Y1 = -1

REFLEXÃO
pontos x1=1, y1=1, x2=1, y2=5.
1 0
0 −1
.
1
5
=
𝑥
−𝑦
X = (1 * 1) + ( 0 * 5) = 1 + 0 = 1
-Y = (0 * 1) + (-1 * 5) = 0 + (-5) = -5
PORTANTO: x2 = 1, Y2 = -5

REFLEXÃO
• Ao longo do eixo y
−1 0
0 1
.
𝑥
𝑦 =
−𝑥
𝑦

REFLEXÃO
pontos x1=1, y1=1, x2=1, y2=5.
−1 0
0 1
.
1
1
=
−𝑥
𝑦
X = (-1 * 1) + ( 0 * 1) = -1 + 0 = -1
-Y = (0 * 1) + (1 * 1) = 0 + 1 = 1
PORTANTO: x1 = -1, Y1 = 1

REFLEXÃO
pontos x1=1, y1=1, x2=1, y2=5.
−1 0
0 1
.
1
5
=
−𝑥
𝑦
X = (-1 * 1) + ( 0 * 5) = -1 + 0 = -1
-Y = (0 * 1) + (1 * 5) = 0 + 5 = 5
PORTANTO: x1 = -1, Y1 = 5

REFLEXÃO
• Ao longo do eixo XY
−1 0
0 −1
.
𝑥
𝑦 =
−𝑥
−𝑦

REFLEXÃO
pontos x1=1, y1=1, x2=1, y2=5.
−1 0
0 −1
.
1
1
=
−𝑥
−𝑦
X = (-1 * 1) + ( 0 * 1) = -1 + 0 = -1
-Y = (0 * 1) + (-1 * 1) = 0 + -1 = -1
PORTANTO: x1 = -1, Y1 = -1

REFLEXÃO
pontos x1=1, y1=1, x2=1, y2=5.
−1 0
0 −1
.
1
5
=
−𝑥
−𝑦
X = (-1 * 1) + ( 0 * 1) = -1 + 0 = -1
-Y = (0 * 1) + (-1 * 5) = 0 + -5 = -5
PORTANTO: x1 = -1, Y1 = -5

Deslizamento
• Distorce o objeto ao longo do eixo X
•
1 𝑆ℎ𝑥
0 1
.
𝑥
𝑦 =
𝑥 + 𝑆ℎ𝑥. 𝑦
𝑦

Deslizamento
• Distorce o objeto ao longo do eixo X
•
1 0
𝑆ℎ𝑦 1
.
𝑥
𝑦 =
𝑥
𝑆ℎ𝑥. 𝑥 + 𝑦

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