Dissertacao geilson

VERIFICAÇÃO SIMULTÂNEA DOS ESTADOS LIMITES
ÚLTIMOS E DE SERVIÇO EM ANÁLISES NÃO-LINEARES
DE PEÇAS DE CONCRETO ARMADO SUBMETIDAS À
FLEXÃO PURA
Geilson Márcio Albuquerque de Vasconcelos
Dissertação apresentada à Escola de
Engenharia de São Carlos da
Universidade de São Paulo, como
parte dos requisitos para obtenção do
título de Mestre em Engenharia de
Estruturas.
Orientador: Prof. Associado Márcio Roberto Silva Corrêa
São Carlos
2005

Ficha catalográfica preparada pela Seção de Tratamento
da Informação do Serviço de Biblioteca - EESC/USP
Vasconcelos, Geilson Márcio Albuquerque de
V331v Verificação simultânea dos estados limites últimos e de
serviço em análises não-lineares de peças de concreto
armado submetidas à flexão pura / Geilson Márcio
Albuquerque de Vasconcelos. –- São Carlos, 2005.
Dissertação (Mestrado) –- Escola de Engenharia de São
Carlos-Universidade de São Paulo, 2005.
Área: Engenharia de Estruturas.
Orientador: Prof. Assoc. Márcio Roberto Silva Corrêa.
1. Análise não-linear física. 2. Segurança das
estruturas 3. Estruturas de concreto armado. 4. Estados
limites. I. Título.

ii
DDEEDDIICCAATTÓÓRRIIAA
Ao Senhor meu Deus pela força que me proporciona a cada dia e a minha
Mãezinha do Céu pelo amor, carinho e entusiasmo durante toda minha vida.
Aos meus familiares que contribuíram para minha formação pessoal e
profissional. Pelo carinho e amor em mim depositado durante todo esse tempo e que se
motivam e se orgulham das minhas vitórias.
À minha esposa Lena Betânia Teixeira A. de Vasconcelos, pela imensa
compreensão, carinho, confiança e amor nestes dois anos de mestrado em que fiquei
distante de casa. Muito obrigado amor!
À minha filha Laís Regina. Amo-te demais filha. Pelas alegrias e satisfações
passadas nos períodos de retorno à família. Foram momentos que me fortaleceram a
continuar o mestrado, mesmo com a sofrida distância.
Aos meus pais Gilberto Teixeira de Vasconcelos e Margarida Maria de
Albuquerque Vasconcelos; em especial à minha mamãe pelo amor, carinho, garra e
dedicação na criação da nossa família e em minha formação. Muito obrigado Mamãe
por tudo que tens feito por mim.
Aos meus irmãos Gilverlan e Gilciran pelo carinho e afeto.
À minha tia Maria Regina, que me proporcionou tantos ensinamentos.
Obrigado por ter contribuído para minha formação profissional e pessoal. Amo-te muito
titia.

iii
AAGGRRAADDEECCIIMMEENNTTOOSS
Ao professor e orientador Márcio Roberto Silva Corrêa, pelos ensinamentos e
amizade desfrutados durante este período; pelo empenho e satisfação em transmitir seus
conhecimentos.
Aos professores que compõem o Departamento de Engenharia de Estrutura da
EESC/USP: gostaria de firmar meus sinceros agradecimentos ao professor José Samuel
Giongo pelas sugestões e contribuições dadas durante o desenvolvimento deste trabalho
e por sua amizade.
Ao professor Jasson Rodrigues de Figueiredo Filho da Universidade Federal de
São Carlos – UFSCar pelas contribuições prestadas no exame de qualificação e na
defesa do mestrado.
À professora Ruth de Gouvêa Duarte pelas sugestões e correções no texto do
presente trabalho.
Aos funcionários do Departamento de Engenharia de Estruturas, em especial a
Rosi Jordão, Maria Nadir Minatel e “Toninho” pela presteza em servir.
À CAPES – Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Ensino Superior,
pela bolsa que propiciou minha formação no mestrado.
Ao conterrâneo e amigo Edson Costa de Assis Júnior pelo convívio nestes dois
anos. Sou bastante grato pelas contribuições dadas ao trabalho e pela amizade e
conversas compartilhadas neste período tão importante para nós dois. Ao amigo
alagoano Jefferson Lins da Silva pela companhia e amizade neste último ano.
Aos demais alagoanos que fizeram ou fazem parte do convívio neste período:
Alexandre “Topó”, André Dória, Eduardo Toledo, Fábio Lopes, Gustavo Codá,
Jerônymo Pereira, Márcio Felix, Rafael Piatti, Saulo Almeida, Valber Pedrosa e Walter
Oliveira.

iv
Aos amigos da turma e do Departamento de Engenharia de Estruturas, não irei
agradecer individualmente, porque poderia deixar de citar alguém. Obrigado a todos
pelo convívio e amizade conquistada.
Ao Projeto Universidades Renovadas (PUR) e aos amigos do Grupo de
Perseverança e Partilha GPP – São Carlos, que durante o convívio deste a graduação
ajudaram em minha formação como profissional do Reino de Deus.
Aos professores e amigos da Universidade Federal de Alagoas – UFAL que
contribuíram para minha formação profissional e pessoal; em especial ao professor João
Carlos Cordeiro Barbirato pelo convívio durante a graduação e incentivo à pesquisa
científica. Aos companheiros do Programa Especial de Capacitação de Discentes de
Engenharia Civil – PEC/Eng. Civil durante o tempo de convívio.

v
“Trabalha como se tudo dependesse de ti e confia como se tudo
dependesse de Deus”.
Santo Inácio de Loyola
(1491-1552)

vi
RREESSUUMMOO
VASCONCELOS, G.M.A. (2005). Verificação simultânea dos estados limites
últimos e de serviços em análises não-lineares de peças de concreto armado
submetidas à flexão pura. Dissertação (Mestrado) – Escola de Engenharia de São
Carlos, Universidade de São Paulo.
Neste trabalho foram discutidos os aspectos de dimensionamento e verificação
da segurança de elementos estruturais de concreto armado considerando a não-
linearidade dos materiais. O estudo abordou uma nova proposta para a verificação
simultânea dos estados limites últimos (ELU) e dos estados limites de serviço (ELS)
para elementos de concreto armado submetidos à flexão, voltada especialmente para
aplicações considerando a não-linearidade física utilizando o método dos elementos
finitos. As propostas alternativas apresentadas na consideração de coeficientes
minoradores das resistências dos materiais, trataram da utilização de valores médios
para as relações tensão-deformação e para as resistências dos materiais; valores de
referência que permitiram a composição de coeficientes globais de segurança, que
independem da ruptura ser causada por esgotamento da capacidade resistente do
concreto ou do aço e, finalmente, valores médios para as relações tensão-deformação no
aço e no concreto, com limitação das resistências em seus valores de projeto. Foram
analisadas seções transversais retangulares e do tipo “T” submetidas à flexão pura, com
o uso das propostas alternativas. Foram, também, estudadas vigas isostáticas e
hiperestáticas incluindo a verificação das reservas da capacidade resistente da estrutura,
sendo que foi considerada a redistribuição dos esforços internos no caso hiperestático.
As análises realizadas serviram de base para assumir-se que a terceira proposta
anteriormente citada, é a mais adequada e a que atendeu, simultaneamente, às
verificações dos ELU e ELS; o que a torna viável para aplicações práticas.
Palavras-chave: Análise não-linear física, segurança das estruturas, estruturas de
concreto armado, estados limites.

vii
AABBSSTTRRAACCTT
VASCONCELOS, G.M.A. (2005). Simultaneous verification of the ultimate limit
states and of serviceability in nonlinear analysis of reinforced concrete beams
subjected to pure bending. M.Sc. Dissertation – Engineering School at São Carlos,
São Paulo University, São Carlos.
The present work deals with dimensioning and verification of the safety
conditions of reinforced concrete structural elements, taking into account the material
non-linearity. It includes a new proposal for the simultaneous verification of the
ultimate limit states (ULS) and the serviceability limit states (SLS) for reinforced
concrete bending elements, enhancing Finite Element applications with physical non-
linearities. The alternative proposals for the material safety factors include the use of
mean values for the stress-strain relationships and the strength of materials; reference
values that allow the composition of global safety coefficients that do not dependent on
the type of failure, brittle in the concrete or ductile in the steel and, finally, means
values for the concrete and steel stress-strain relationships, keeping the stresses always
lower than the design strength values. Rectangular and T-type cross-sectional areas in
pure bending were analyzed, using the alternative proposals. Statically determinate and
hyperstatic beams were also studied to verify the safety conditions, including the
redistribution of the internal forces in the hyperstatic cases. According to the analyses
performed it is apparent that the third proposal is the most adequate and satisfies
simultaneously the ULS and SLS verifications, being viable for practical applications.
Keywords: Physical non-linear analysis, safety of the structures, reinforced concrete
structures, limit states.

viii
LLIISSTTAA DDEE FFIIGGUURRAASS
Figura 2.1 – Elemento finito tridimensional de barra. ....................................................09
Figura 2.2 – Elemento finito de seção transversal retangular estratificada.....................10
Figura 2.3 – Diagrama tensão-deformação para compressão axial do concreto, CEB-FIP
MC90. .............................................................................................................................12
Figura 2.4 – Diagrama tensão-deformação para tração axial do concreto, Figueiras
(1983)..............................................................................................................................14
Figura 2.5 – Diagrama tensão-deformação para o aço – elastoplástico perfeito. ...........15
Figura 2.6 – Diagrama tensão-deformação para o aço – elastoplástico com encruamento.
.........................................................................................................................................15
Figura 3.1 – Formação de fissuras: a) sistemática e b) assistemática, Mollica Júnior
(1986) [adaptada]. ...........................................................................................................28
Figura 3.2 – Diagrama tensão-deformação do aço..........................................................33
Figura 3.3 – Diagrama tensão-deformação do concreto C30, CEB-FIP MC90..............33
Figura 3.4 – Razão ente os momentos resistentes com diferentes resistência dos
materiais – König et al. (1997) e Ahner & Tue (1997) [adaptada].................................38
Figura 3.5 – Razão ente os momentos resistentes da seção retangular submetida à flexão
simples. ...........................................................................................................................39
Figura 3.6 – Seção transversal submetida à flexão: a) retangular e b) do tipo “T”.
Medidas em cm. ..............................................................................................................42
Figura 3.7 – Seção retangular submetida à flexão: a) sem armadura de compressão e b)
armadura de compressão ( )2 6,30mmφ . .........................................................................42
Figura 3.8 – Seção retangular submetida à flexão: a) taxa de armadura de compressão
0,25%ρ = e b) taxa de armadura de compressão 0,50%ρ = ......................................43
Figura 3.9 – Seção do tipo “T” submetida à flexão: a) sem armadura de compressão e b)
armadura de compressão ( )2 6,30mmφ . .........................................................................43

ix
Figura 3.10 – Seção do tipo “T” submetida à flexão: a) taxa de armadura de compressão
0,25%ρ = e b) taxa de armadura de compressão 0,50%ρ = ......................................44
Figura 4.1 – Segurança da seção transversal – flexão simples. ......................................49
Figura 4.2 – Placa biapoiada – Wittek e Meiswinkel (2000)..........................................50
Figura 4.3 – Discretização da placa biapoiada e estratificação da seção transversal......51
Figura 4.4 – Fator de carga vs. deslocamento – análises com valores médios e de
referência.........................................................................................................................51
Figura 4.5 – Fator de carga vs. deslocamento: a) análise com valores médios e b) análise
com valores de referência................................................................................................52
referência realizadas no presente trabalho. .....................................................................53
Figura 4.7 – Viga contínua com dois vãos – Wittek e Meiswinkel (2000).....................53
Figura 4.8 – Disposições das armaduras na viga contínua..............................................54
Figura 4.9 – Discretização da viga contínua e estratificação da seção transversal.........55
referência.........................................................................................................................56
Figura 4.11 – Fator de carga vs. deslocamento: a) análise com valores médios e b)
análise com valores de referência. ..................................................................................56
referência realizadas no presente trabalho. .....................................................................57
Figura 4.13 – Viga biapoiada..........................................................................................60
Figura 4.14 – Discretização da viga biapoiada e estratificação da seção transversal. ....61
Figura 4.15 – Fator de carga vs. deslocamento no meio do vão da viga biapoiada........62
Figura 4.16 – Viga apoiada-engastada............................................................................64
Figura 4.17 – Disposições das armaduras na viga apoiada-engastada............................65
Figura 4.18 – Discretização da viga apoiada-engastada e estratificação da seção
transversal. ......................................................................................................................66

x
Figura 4.19 – Fator de carga vs. deslocamento no vão da viga apoiada-engastada sem
redistribuição...................................................................................................................66
Figura 4.20 – Fator de carga vs. deslocamento no vão da viga apoiada-engastada com
redistribuição...................................................................................................................70
Figura 4.21 – Viga biengastada.......................................................................................73
Figura 4.22 – Disposição das armaduras ao longo da viga biengastada.........................74
Figura 4.23 – Discretização da viga biengastada e estratificação da seção transversal..74
Figura 4.24 – Fator de carga vs. deslocamento no vão da viga biengastada sem
redistribuição...................................................................................................................75
Figura 4.25 – Fator de carga vs. deslocamento no vão da viga biengastada: a) com
redistribuição de 0,88δ = e b) com redistribuição de 0,75δ = ....................................79
Figura 4.26 – Capacidade de rotação de rótulas plásticas, NBR 6118:2003 [adaptada].80

xi
LLIISSTTAA DDEE TTAABBEELLAASS
Tabela 3.1 – Coeficientes ponderadores de ações variáveis, NBR 6118:2003...............23
Tabela 3.2 – Coeficientes 1 3f f fγ γ γ= ⋅ , NBR 8681:2003. ...........................................24
Tabela 3.3 – Valores do coeficientes de cγ e sγ , NBR 6118:2003................................26
Tabela 3.4 – Limites de fissuração, NBR 6118:2003. ....................................................27
Tabela 3.5 – Limites para deslocamentos, NBR 6118:2003...........................................29
Tabela 4.1 – Segurança das seções transversais críticas da viga contínua......................54
Tabela 4.2 –Resistência dos materiais. ...........................................................................61
Tabela 4.3 – Flechas da viga biapoiada. .........................................................................63
Tabela 4.4 – Momentos fletores máximos na viga apoiada-engastada sem redistribuição
para análise não-linear.....................................................................................................67
Tabela 4.5 –Flechas da viga apoiada-engastada. ............................................................68
Tabela 4.6 – Momentos fletores máximos na viga apoiada-engastada com redistribuição
para análise não-linear.....................................................................................................71
Tabela 4.7 – Flechas da viga apoiada-engastada com redistribuição ( )0,93δ = ...........71
Tabela 4.8 – Resultados das análises com ou sem redistribuição dos esforços solicitantes
da viga apoiada-engastada...............................................................................................72
Tabela 4.9 – Momentos fletores máximos na viga biengastada sem redistribuição para
análise não-linear. ...........................................................................................................76
Tabela 4.10 – Flechas da viga biengastada.....................................................................76
Tabela 4.11 – Momentos fletores e armaduras da viga biengastada com redistribuição.
.........................................................................................................................................78
Tabela 4.12 – Limite da capacidade de rotação da rótula plástica para os apoios..........81
Tabela 4.13 – Rotações das rótulas plásticas para as análises não-lineares....................81
Tabela 4.14 – Aberturas de fissuras na viga biengastada................................................82

viii
SSUUMMÁÁRRIIOO
RESUMO ...........................................................................................VI
ABSTRACT.....................................................................................VII
LISTA DE FIGURAS ................................................................... VIII
LISTA DE TABELAS ......................................................................XI
1 INTRODUÇÃO............................................................................01
1.1 Considerações iniciais............................................................................. 01
1.2 Objetivo.................................................................................................... 02
1.3 Justificativa.............................................................................................. 03
1.4 Metodologia ............................................................................................. 04
2 NÃO-LINEARIDADE FÍSICA ..................................................06
2.2 Breve histórico......................................................................................... 06
2.3 Método numérico utilizado .................................................................... 08
2.4 Campo de aplicação ................................................................................ 11
2.5 Modelos constitutivos dos materiais...................................................... 11
2.5.1 Aplicado ao concreto........................................................................... 12
2.5.2 Aplicado ao aço................................................................................... 14
3 ABORDAGENS NORMATIVAS E NOVA CONSIDERAÇÃO DE
SEGURANÇA ...................................................................................16
3.2 Métodos de dimensionamento................................................................ 16
3.2.1 Método determinístico ........................................................................ 17
3.2.2 Método semi-probabilístico ................................................................ 19
3.2.3 Método probabilístico ......................................................................... 21
3.3 Prescrições normativas........................................................................... 22
3.3.1 Coeficientes de ponderação das ações ................................................ 22
3.3.2 Ponderadores das resistências dos materiais....................................... 26

ix
3.3.3 Verificação do estado limite de fissuração.......................................... 26
3.3.4 Verificação do estado limite de deformação excessiva....................... 29
3.4 Proposta de dimensionamento ............................................................... 32
3.5 Proposta para uma nova consideração de segurança.......................... 34
4 EXEMPLOS E APLICAÇÕES ..................................................46
4.1 Considerações gerais............................................................................... 46
4.2 Comparação entre resultados – aferição do programa ....................... 47
4.2.1 Seção transversal................................................................................. 48
4.2.2 Placa biapoiada – Wittek e Meiswinkel (2000) .................................. 49
4.2.3 Viga contínua com dois vãos - Wittek e Meiswinkel (2000).............. 53
4.3 Exemplos aplicados à NBR 6118:2003 .................................................. 58
4.3.1 Viga biapoiada .................................................................................... 60
4.3.2 Viga apoiada-engastada ...................................................................... 64
4.3.3 Viga biengastada................................................................................. 73
5 CONCLUSÃO E SUGESTÃO ...................................................83
5.1 Sobre o trabalho...................................................................................... 83
5.2 Sugestão para trabalhos futuros............................................................ 84
REFERÊNCIAS ................................................................................85
APÊNDICE A ...................................................................................93
APÊNCIDE B .................................................................................114

11 IINNTTRROODDUUÇÇÃÃOO
11..11 CCoonnssiiddeerraaççõõeess iinniicciiaaiiss
Nos últimos anos, o meio científico tem desenvolvido importantes avanços na
análise não-linear de estruturas de concreto, particularmente aquelas ligadas diretamente
ao concreto armado, material largamente empregado na construção civil. Porém, tal
avanço ainda não foi incorporado ao meio técnico, em especial no que se refere à
análise estrutural – em virtude das dificuldades inerentes ao processo – e, também, ao
descompasso ainda existente entre os procedimentos de análise estrutural e os de
dimensionamento, principalmente no que tange aos coeficientes de ponderação de ações
e de resistências.
Sabe-se que o modelo elástico-linear normalmente é utilizado para representar
o comportamento dos materiais, em virtude da relativa simplicidade em sua formulação
e, conseqüentemente, em seu equacionamento, quando comparado a modelos de cálculo
mais refinados, como é o caso da análise estrutural considerando a não-linearidade dos
materiais.
As formulações do comportamento não-linear conduzem a problemas
matemáticos mais complexos, com soluções praticamente impossíveis sem o auxílio de
computadores com configuração que proporcione boa capacidade de trabalho. Por este
motivo, o emprego da não-lineariadade, como ferramenta usual de projeto, foi adiado
por algum tempo, como também o foram os métodos numéricos, dentre eles, Método
Capítulo

Capítulo 1 – Introdução 2
das Diferenças Finitas (MDF), Método dos Elementos Finitos (MEF) e Método dos
Elementos de Contorno (MEC).
O estudo da não-linearidade física tem evoluído bastante, tanto no aspecto das
formulações teóricas quanto na melhoria da qualidade das implementações
computacionais. Melhorias nos modelos não-lineares, como otimizações nas rotinas de
cálculo, agilizam o processamento de estruturas usuais de concreto, cujas rotinas de
cálculo podem se tornar viáveis para uso nos escritórios de projeto de estruturas, sob a
forma de programas computacionais.
11..22 OObbjjeettiivvoo
O objetivo deste trabalho é fazer análises de elementos de concreto armado
submetidas a solicitações normais de flexão pura empregando o comportamento não-
linear físico. Nestas análises foram considerados os valores médios para as relações
tensão-deformação no aço e no concreto, limitando suas resistências nos valores de
cálculo, para que se possa satisfazer tanto aos estados limites últimos quanto aos estados
limites de serviço.
O presente trabalho irá avaliar também a formulação de uma nova proposta
para verificação dos estados limites que, independente do critério de ruptura do
elemento se dar por esgotamento da resistência do aço ou do concreto, tenha um mesmo
coeficiente global de segurança.
O presente estudo compreendeu as atividades listadas a seguir.
Verificação do comportamento de vigas de concreto armado submetidas à
flexão pura, dimensionadas para resistir a esforços solicitantes, empregando a análise
elástico-linear e não-linear física.
Avaliação de propostas alternativas de dimensionamento para o regime não-
linear físico considerando valores médios, valores de cálculo ou valores de referência
das resistências dos materiais, aço e concreto.
Elaboração de rotinas no software MathCad para dimensionamento de peças de
concreto armado, verificação da capacidade resistente de seção transversal, formação de
abertura máxima de fissuras e deformações excessivas, para proporcionar maior rapidez
em tais verificações.

Análise das propostas apresentadas, aplicadas aos estados limites últimos e de
serviço de elementos de concreto armado que proporcionem peças seguras de acordo
com as recomendações da NBR 6118:2003.
11..33 JJuussttiiffiiccaattiivvaa
A consideração de soluções estruturais cada vez mais audaciosas e ao mesmo
tempo mais econômicas, envolvendo técnicas mais complexas, conduzem à necessidade
de utilizar modelos que descrevam o mais real possível comportamento da estrutura
durante as várias fases da construção dando, assim, fornecendo ao projetista, de forma
rápida e viável, um valor adequado da segurança revelado pela estrutura em estudo,
(HENRIQUES, 1991).
Na análise e no dimensionamento de estruturas de concreto armado são
conhecidas algumas limitações exibidas pelos métodos clássicos, baseados no modelo
de comportamento elástico-linear dos materiais. Desta forma, a freqüente consideração
de simplificações pode conduzir a acréscimos no custo da edificação, sobretudo quando
se lida com casos poucos correntes.
Normalmente, as normas regulamentadoras de estruturas de concreto
recomendam o emprego de análises não-lineares físicas por serem mais consistentes,
mesmo que de forma simplificada, pois, em alguns casos, a análise não-linear torna-se
inviável em virtude de fatores como necessidade de computadores com maior
capacidade de processamento, tempo computacional elevado, entre outros.
No dimensionamento dos elementos de concreto armado são determinados os
esforços solicitantes considerando a teoria da elasticidade independentemente do
comportamento do material. Posteriormente, dimensiona-se o elemento para as seções
mais solicitadas, majorando-se os esforços e minorando-se as resistências dos materiais
por meio dos coeficientes ponderadores estabelecidos por normas regulamentadoras.
Segundo Henriques (1998), esta metodologia pode ser considerada aceitável
para análises lineares; entretanto, deixa de ser válida quando a capacidade resistente das
estruturas é verificada com técnicas não-lineares incrementais e iterativas. Neste caso,
as relações constitutivas consideradas nas análises e na verificação da segurança não
podem ser consideradas independentes.
De acordo com a NBR 6118:2003 e o CEB-FIP MC90, os métodos de análise
não-lineares podem ser empregados tanto para os estados limites últimos (ELU) quanto

para os estados limites de serviço (ELS), desde que satisfaçam às condições de
equilíbrio e de compatibilidade.
O CEB-FIP MC90 propõe que verificada a segurança considerando a não-
linearidade, seja empregado o valor médio da resistência dos materiais na estrutura.
Dessa forma, a segurança da estrutura ou da seção crítica dependeria do critério de
ruptura a que estivesse submetida, seja ela frágil (esgotamento da capacidade resistente
do concreto) ou dúctil (esgotamento da capacidade resistente do aço), podendo resultar
em margens de segurança diferentes, como relatado nos trabalhos de Lourenço et al.
(1992), Camara et al. (1994) e Eibl et al. (1995).
Entretanto, König et al. (1997) propõem alterações na consideração dos valores
médios das resistências dos materiais ao empregar a análise não-linear, proporcionando
a mesma margem de segurança da estrutura, independentemente do critério de ruptura
do elemento. Vários trabalhos foram realizados nesta linha e proporcionaram resultados
satisfatórios; Tue (1996), König et al. (1997) e Ahner e Tue (1997).
As mudanças e adaptações propostas por König et al. (1997) foram também
estudas por Oliveira (2001), empregando os parâmetros da NBR 6118:2003 apenas na
avaliação da segurança de seções transversais de concreto armado. No presente trabalho
serão avaliados, além de seções transversais de concreto armado, elementos de viga
isostáticas e hiperestáticas submetidas à flexão pura.
11..44 MMeettooddoollooggiiaa
Estudar as alternativas de verificação da segurança das estruturas de concreto
armado considerando coeficientes de segurança para a seção transversal crítica e para a
estrutura, propostas pelo CEB-FIP MC90 ao empregar a não-linearidade física quando
se utilizam os valores das resistências médias e de referência para o concreto e para o
aço. Fazer as necessárias adaptações destas propostas à NBR 6118:2003, em virtude da
diferença entre o coeficiente de minoração da resistência característica à compressão do
concreto utilizado pela NBR 6118:2003 e pelo CEB-FIP MC90, analisando e
verificando os fatores favoráveis e desfavoráveis.
Considerar vigas de concreto armado para fundamentar a idéia da proposta em
que considera o valor médio das resistências dos materiais, limitando-as aos seus
valores de projeto. Aplicar os conceitos às vigas isostáticas e hiperestáticas, variando

parâmetros tais como geometria, carregamento, taxas de armaduras e resistência dos
materiais.
O dimensionamento dos elementos de concreto é feito para o ELU utilizando
programa desenvolvido pelo autor no software MathCad disponível no Departamento de
Estrutura da EESC/USP. Além deste, foram desenvolvidos programas para verificação
das seções resistentes e dos ELS – estado de formação de fissuração e de deformação
excessiva.
Analisar as vigas submetidas à flexão pura, para verificação das propostas do
coeficiente global de segurança e da consideração dos valores médios da resistência dos
materiais, limitando-as no valor de cálculo, e comparar seus resultados com análises
desenvolvidas por autores que trabalharam nesta mesma linha de pesquisa. As análises
não-lineares físicas são realizadas utilizando o programa ANPAV, desenvolvido por
Oliveira (2001), sendo feitas algumas adaptações no código original.
Comparar os resultados obtidos, sob o ponto de vista dos critérios de segurança
estabelecidos pela NBR 6118:2003.

22 NNÃÃOO--LLIINNEEAARRIIDDAADDEE FFÍÍSSIICCAA
Nos últimos anos, os centros de pesquisa acadêmica vêem desenvolvendo
importantes avanços nos estudos do comportamento não-linear das estruturas de
concreto armado. Apesar desses avanços serem pouco empregados no meio técnico, em
virtude da complexidade de sua fundamentação teórica e da necessidade de uso de
recursos computacionais em suas aplicações, os códigos normativos buscam tratar,
mesmo que de forma simplificada, os aspectos da não-linearidade.
Esses procedimentos são muito utilizados em projetos de pesquisa, na busca de
formas simplificadas que possam ser empregadas na prática, reproduzindo o
comportamento não-linear físico e geométrico das estruturas de concreto armado.
Neste capítulo mostra-se o avanço das pesquisas quanto à não-linearidade
física, bem como, alguns conceitos e aproximações empregadas no presente trabalho.
22..22 BBrreevvee hhiissttóórriiccoo
Vários pesquisadores trabalharam com o intuito de obter e aprimorar os
modelos representativos do comportamento não-linear físico em diferentes áreas do
conhecimento.
Capítulo

Capítulo 2 – Não-linearidade física 7
Na década de 60 ocorreu substancial desenvolvimento de computadores de
grande porte e grandes avanços nas linguagens e programas computacionais. Em virtude
desse crescimento, os métodos numéricos passaram a ser aplicados na Engenharia e em
demais áreas do conhecimento.
Ngo e Scordelis (1967) e Nilson (1968) utilizaram o Método dos Elementos
Finitos (MEF) em estudos das estruturas de concreto armado. A partir dessa época
intensificou-se o uso de análises não-lineares aplicadas a esse material. Zienckiewicz
(1969), fez várias generalizações das relações constitutivas, aplicando o método dos
elementos finitos a problemas elastoplásticos. Cervenka (1970)1
apud Proença (1988),
fez uma proposta para aplicação da teoria da plasticidade tendo em vista a não-
linearidade do concreto à compressão, utilizando critérios semelhantes aos usualmente
empregados às estruturas metálicas.
Vários trabalhos foram desenvolvidos no âmbito das formulações numéricas
para o procedimento computacional. Entretanto, alguns pesquisadores conduziram
trabalhos para o campo das relações constitutivas do concreto. Dentre eles podem ser
destacados os trabalhos de Chen e Chen (1975), Bazant e Bhat (1976) e Cedolin e
Deipoli (1977). Segundo Owen e Hinton (1980), outros pesquisadores proporcionaram
grandes contribuições não apenas aos modelos constitutivos, como também ao
desenvolvimento de técnicas numéricas mais acuradas, buscando a melhoria da
eficiência do MEF.
Owen e Hinton (1980) desenvolveram modelos constitutivos com aplicação
computacional, baseados no MEF para análise de estruturas de concreto. Proença (1988)
desenvolveu estudos acerca dos principais modelos matemáticos normalmente
empregados na análise do concreto armado para compreensão do comportamento global
não-linear das estruturas.
El Matwally et al. (1990) fizeram estudos de pilares de concreto armado
considerando a não-linearidade física e geométrica, com o emprego da técnica do MEF
e compararam suas análises com ensaios laboratoriais de Abel-Sayed (1975), Goyal e
Jackson (1971) e Drysdale e Huggins (1971) e as análises numéricas de Cranston
(1982), obtendo resultados bastante semelhantes. Sathurappan et al. (1992)
desenvolveram um modelo com componente de integral discreta utilizando o MEF
1
CERVENKA, V. (1970) Inelastic finite element analysis of reinforced concrete panels under in plane
loads. Ph. D. thesis, University of Colorado.

aplicado às placas e cascas de concreto armado e protendido, empregando a não-
linearidade dos materiais. Os autores aferiram seu programa com ensaios experimentais
de lajes de concreto armado submetida a carregamento monotônico crescente
uniformemente distribuídos onde avaliaram as deformações e deslocamentos
provocados pela aplicação das cargas, alcançando resultados próximos aos dos ensaios
realizados.
No Departamento de Engenharia de Estrutura da EESC/USP, vários trabalhos
foram desenvolvidos nesta linha de pesquisa; Ballarotti (1981) analisou o
comportamento elastoplástico em pórticos planos retangulares submetidos a
carregamento monotônico crescente. Proença (1988) desenvolveu estudos acerca dos
modelos representativos da não-linearidade física do concreto. Corrêa (1991)
desenvolveu um sistema computacional para análise de pavimentos de edifício
considerando lajes e vigas integradas ao mesmo modelo, com tratamento não-linear
físico. Oliveira (1997), apresentou uma proposta à análise de pavimentos de edifícios de
concreto armado empregando a não-linearidade dos materiais, com base na relação
momento-curvatura. Sanches Júnior (1998) estudou o comportamento de pavimentos de
concreto armado de edifícios utilizando modelos não-lineares para os materiais. Oliveira
(2001) em estudo mais detalhado aprimorou a modelagem desenvolvida em 1997, com
proposta de metodologia para a aplicação a projetos. Propôs, também, uma nova forma
de dimensionamento e verificação da segurança de estruturas de concreto armado,
considerando o coeficiente global de segurança, motivado por trabalhos desenvolvidos
por pesquisadores alemães, com destaque para G. König, N. V. Tue, C. Ahner e J. Eibl.
22..33 MMééttooddoo nnuumméérriiccoo uuttiilliizzaaddoo
O método numérico utilizado para fazer as análises considerando o
comportamento não-linear dos materiais foi o Método dos Elementos Finitos (MEF),
empregado no programa utilizado nas análises.
O sistema ANSER (ANálise de Sistemas Estruturais Reticulados),
desenvolvido por Ramalho (1990) e Corrêa (1991) e implementado por Oliveira (2001),
inclui, em sua biblioteca um elemento de barra tridimensional, com nós em suas
extremidades e seis graus de liberdade por nó, conforme Figura 2.1. Essa nova versão
do sistema computacional, desenvolvida por Oliveira para a análise não-linear de

pavimentos de concreto armado, será designada por ANPAV, sendo que os elementos
utilizados no presente estudo são a seguir descritos.
j
iL
i
x
y
z
Figura 2.1 – Elemento finito tridimensional de barra.
sendo:
xu translação segundo o eixo local x;
yu translação segundo o eixo local y;
zu translação segundo o eixo local z;
xθ Rotação em torno do eixo local x;
yθ Rotação em torno do eixo local y;
zθ Rotação em torno do eixo local z;
iL comprimento do elemento finito.
A seção transversal do elemento pode ser considerada estratificada. Para os
elementos não-estratificados, a seção transversal apresenta geometria constante ao longo
do elemento, composta por um único material. Considerar a seção transversal
estratificada implica na extensão do domínio de integração também sobre essa seção.
Assim, a integração sobre a seção transversal é obtida pelo somatório discreto da
contribuição de cada uma das camadas que a compõe.
Novotny et al. (1994) realizaram uma investigação sobre métodos de
integração mais empregados na previsão dos deslocamentos de elementos estruturais,
considerando um comportamento elastoplástico. Os autores concluíram que a integração
por camadas pode ser considerada suficiente no emprego da análise não-linear. Os
autores fizeram estudos variando o número de camadas e/ou pontos de integração de

Gauss. Concluíram que empregando um número de camadas superior a oito (8), o erro
de integração torna-se praticamente desprezível.
Nos exemplos analisados, foram utilizadas dez (10) camadas nas seções
transversais estratificadas. A Figura 2.2 mostra um elemento de seção retangular com
estratificação da seção transversal.
bw
2
bw
2
h
h
c
z
y
x
iL
Figura 2.2 – Elemento finito de seção transversal retangular estratificada.
De acordo com Oliveira (2001), a seção transversal estratificada, além de
permitir a aplicação dos modelos constitutivos dos materiais aço e concreto, abre espaço
à implementação consistente da relação de interação entre as camadas compostas por
diferentes materiais.
A não-linearidade do modelo constitutivo decorre do fato de, genericamente, a
cada instante o material poder sofrer um carregamento plástico ou um descarregamento
elástico, dificultando o cálculo da deformação plástica total. Assim, a não-linearidade é
resolvida numericamente por um procedimento incremental-iterativo. Vários são os
procedimentos incremental-iterativo utilizados, dentre eles pode-se citar: Newton-
Raphson Pleno, Newton-Raphson Modificado (KTO, KT1, KT2) e Método da Matriz
Secante. O procedimento incremental-iterativo utilizado neste trabalho foi o método
Newton-Raphson Pleno, que considera a atualização da matriz de rigidez do sistema a
cada iteração de todo incremento de carga.

22..44 CCaammppoo ddee aapplliiccaaççããoo
Teoricamente, não há restrições no campo de aplicação da análise não-linear
física às estruturas, com exceção de algumas estruturas esbeltas, nas quais a capacidade
resistente é reduzida pelos efeitos de segunda ordem. Neste caso, a não-linearidade
geométrica é determinante na redistribuição dos momentos e forças internas antes de ser
atingido o ELU, conforme Bulletin d`Information 227 do CEB (1995).
Uma das limitações da não-linearidade é não possibilitar o uso do princípio da
superposição de efeitos, o que pode limitar o emprego deste procedimento para grandes
estruturas submetidas a múltiplas condições de carregamento.
A análise não-linear é um procedimento que descreve melhor o comportamento
da resposta estrutural. Deste modo, deve ser considerado, sempre que possível, como
método de referência para aferir resultados obtidos com outras aproximações, como o
cálculo linear com ou sem redistribuição e o modelo plástico.
Uma das vantagens importantes do emprego da não-linearidade física é o uso
na redistribuição dos esforços solicitantes, o que torna possível explorar as eventuais
reservas de resistência da estrutura, este fato ocorre, exclusivamente, em estruturas
hiperestáticas.
Os centros de pesquisas têm empregado cada vez mais a não-linearidade em
seus trabalhos para melhor representar o comportamento dos materiais, bem como dos
sistemas estruturais.
22..55 MMooddeellooss ccoonnssttiittuuttiivvooss ddooss mmaatteerriiaaiiss
Os modelos constitutivos para os materiais empregados neste trabalho foram
considerados de forma a representar os parâmetros mais importantes envolvidos nos
problemas em questão.
Será apresentado apenas o estado uniaxial para ambos os materiais empregados
no concreto armado. Para a aplicação das relações constitutivas na análise de elementos
finitos uniaxiais, como é o caso das vigas (elemento utilizado nas análises), exige-se a
utilização uniaxial para a representação do comportamento mecânico dos materiais.

22..55..11 AApplliiccaaddoo aaoo ccoonnccrreettoo
O concreto apresenta propriedades mecânicas dependentes da intensidade de
solicitação. Comporta-se como material frágil quando submetido a tensões de tração.
Por outro lado, apresenta comportamento que pode ser admitido como plástico sob
compressão.
A literatura técnica apresenta várias possibilidades para esses comportamentos;
porém neste trabalho foram abordadas as propostas apresentadas pelo Código Modelo
do CEB-FIP MC90 para o concreto à compressão e o modelo de Figueiras (1983) para a
tração.
O CEB-FIP MC90 apresenta diagrama tensão-deformação tanto para a
compressão quanto para a tração sob solicitações uniaxiais do concreto, porém no
presente estudo será mostrado apenas o comportamento à compressão, pois o modelo
para o comportamento à tração do concreto considerado no trabalho é o proposto por
Figueiras (1983). Percebe-se no diagrama, relacionado à compressão do concreto,
Figura 2.3, o comportamento não-linear; observa-se que o segundo trecho estende-se
além do ponto correspondente à deformação última do concreto ( )cuε , representando o
comportamento do concreto pós-esmagamento. Estas curvas são propostas para
carregamento de curta duração.
Εc
c1Ε
Trecho 2
Trecho 1
2
cmf
fcm
εc1 cuε εc
cσ
Figura 2.3 – Diagrama tensão-deformação para compressão axial do concreto, CEB-FIP MC90.
As equações que regem a relação entre tensão de compressão e deformação do
concreto são expressas a seguir.

2
1 1 1
1 1
para
1 2
c c c
c c c
c cm c cu
c c
c c
E
E
f
E
E
ε ε
ε ε
σ ε ε
ε
ε
 
⋅ − 
 = − ⋅ <
 
+ − ⋅ 
 
(2.1)
1
2
2
1 1
1 1
1
1 2 4
parac c
c cm c cu
cu cuc ccu
c c
c
f
ε ε
σ ξ ξ ε ε
ε εε εε
ε εε
−
             = − ⋅ − ⋅ + − ⋅ ⋅ >                   
(2.2)
Com a razão entre as deformações e o parâmetro adimensional dados na eq.
(2.3) e eq.(2.4), respectivamente.
2
1 1 1
1 1 1 1 1
1 1
2 2 4 2 2
cu c c
c c c
E E
E E
ε
ε
    
 = ⋅ + + ⋅ ⋅ + −   
     
(2.3)
2
1 1 1 1
2
1 1
4 2 2
2 1
cu c cu c
c c c c
cu c
c c
E E
E E
E
E
ε ε
ε ε
ξ
ε
ε
    
 − + −        =
  
⋅ − +  
  
(2.4)
sendo:
cσ tensão normal de compressão do concreto;
cmf resistência à compressão do concreto;
cE módulo tangente do concreto;
1cE módulo secante da origem ao pico de compressão do concreto;
cε deformação específica de compressão do concreto;
1cε deformação específica corresponde à cmf ;
cuε deformação última do concreto;
ξ parâmetro adimensional.
Na região tracionada do concreto, Figura 2.4, observa-se que o comportamento
sob tração é representado por dois segmentos de reta. O modelo considerado por

Figueiras (1983) contempla o enrijecimento à tração2
do concreto. Desse modo, tem-se
a contribuição do concreto íntegro entre duas fissuras, com isso tornando-se mais
realístico na representação do comportamento do concreto submetido a esforços de
tração.
σc
tε
tf
εm cε
Εc
α.ft
Figura 2.4 – Diagrama tensão-deformação para tração axial do concreto, Figueiras (1983).
sendo:
tf resistência à tração no concreto;
mε deformação específica limite do concreto à tração ( )0,0020mε = ;
α coeficiente que impõe o grau de enrijecimento ( )0,5 0,7α≤ ≤ .
22..55..22 AApplliiccaaddoo aaoo aaççoo
O aço utilizado na construção civil tem comportamento dúctil, por apresentar
um patamar de escoamento, sendo bastante semelhante quer na tração quer na
compressão. Um modelo elastoplástico pode ser considerado para representação de seu
comportamento mecânico. Sob a ação de esforços combinados, esse comportamento é
bem representado pelo critério de escoamento de Von Mises.
O comportamento mecânico das barras de aço, empregado nos modelos dos
elementos estruturais, foi representado por um modelo constitutivo uniaxial
elastoplástico perfeito, ilustrado na Figura 2.5.
2
Enrijecimento à tração, designa a contribuição do concreto íntegro, entre duas fissuras sucessivas, que
exerce sobre a rigidez de um elemento de concreto armado fletido ou tracionado no estádio II.

fy
σs
sε
Εs
εys smaxε
Figura 2.5 – Diagrama tensão-deformação para o aço – elastoplástico perfeito.
Alternativamente o modelo para o aço poderia ser considerado com o fez Pinto
(2002) que admitiu diagrama bilinear, porém com possibilidade de encruamento
positivo, conforme Figura 2.6.
εsmaxysε
sΕ
εs
sσ
yf Ε's
Figura 2.6 – Diagrama tensão-deformação para o aço – elastoplástico com encruamento.
sendo:
sσ tensão normal de tração do aço;
yf resistência de escoamento do aço ( )210000sE MPa= ;
sE módulo de elasticidade do aço;
'
sE módulo de elasticidade do aço após escoamento;
sε deformação específica de tração do aço;
ysε deformação específica do aço correspondente à resistência de
escoamento;
maxsε deformação específica máxima permitida para o aço ( )0
0010yuε = .

33 AABBOORRDDAAGGEENNSS NNOORRMMAATTIIVVAASS EE NNOOVVAA
CCOONNSSIIDDEERRAAÇÇÃÃOO DDEE SSEEGGUURRAANNÇÇAA
Neste capítulo são abordados os métodos de dimensionamento e verificação da
segurança utilizados nos projetos de cálculo das estruturas, bem como o método
empregado na norma brasileira NBR 6118:2003 em vigor e uma possível proposta de
dimensionamento e verificação da segurança das estruturas de concreto armado,
considerando coeficiente global de segurança e valores médios da resistência dos
materiais limitando-os aos valores de projeto.
33..22 MMééttooddooss ddee ddiimmeennssiioonnaammeennttoo
Nas obras de engenharia, a principal preocupação é manter a integridade
estrutural das construções. Porém, dois aspectos fundamentais devem ser considerados,
o de segurança e da economia. Segurança que proporcione à estrutura capacidade de
suportar as variadas ações que possam solicitá-las durante a vida útil, assim como as
condições de funcionalidade a que foi destinada.
Para que a segurança e a economia das estruturas fossem asseguradas, vários
métodos passaram a ser utilizados nos projetos estruturais, cujos estudos têm avançado
constantemente, na busca de melhores resultados.
Capítulo

Capítulo 3 – Abordagens normativas e nova consideração de segurança 17
Segundo Zagottis (1974), o primeiro método empregado poderia ser
denominado método intuitivo, no qual a segurança das construções era obtida pelas
concepções baseadas na intuição dos projetistas e construtores, que podia ser pura ou,
mais comumente, condicionada por sucessos e insucessos de construções anteriores.
De acordo com o desenvolvimento da mecânica estrutural, foram criadas
teorias quantitativas que progressivamente reproduziam melhor os diversos
comportamentos estruturais. Essas melhorias ocorreram nas definições reológicas dos
materiais, na determinação dos esforços solicitantes, deformações e deslocamentos
provocados por determinado carregamento ou na definição de critérios de resistência
dos materiais.
Os métodos considerados nos projetos estruturais podem ser o método
empírico (comentado acima), o método determinístico, o semi-probabilístico e o
probabilístico. Estes métodos serão brevemente comentados a seguir.
33..22..11 MMééttooddoo ddeetteerrmmiinnííssttiiccoo
De acordo com Zagottis (1974), o método determinístico significa que, para
um mesmo corpo, com as mesmas vinculações, a aplicação de uma solicitação, de
acordo com determinada lei de variação ao longo do tempo, se pudesse ser repetida
diversas vezes, produziria em todas elas os mesmos esforços internos, as mesmas
deformações e os mesmos deslocamentos.
Um método determinístico bastante conhecido é o método das tensões
admissíveis, cujo dimensionamento estrutural, para garantir a segurança exige que, em
estado de serviço, a máxima tensão atuante não ultrapasse determinado valor,
considerado como admissível, (FUSCO, 1985).
Assim, para o caso de solicitações normais, como em flexão de vigas, a
condição descrita acima, pode ser representada da seguinte forma:
max admσ σ≤ (3.1)
Sabe-se que os primeiros valores atribuídos às tensões admissíveis dos
materiais foram normalizados em função de experiências práticas dos projetos
realizados na época. O método das tensões admissíveis foi um pequeno avanço do
método intuitivo, até então empregado.

Ao longo do tempo, procurou-se introduzir um critério mais racional na
definição das tensões admissíveis. Para tanto, considerou-se o coeficiente de segurança
interno impondo-se que a maior tensão proveniente da utilização da estrutura não
ultrapassasse o valor correspondente às tensões de ruptura ou escoamento dos materiais,
dividida por iγ , (ZAGOTTIS, 1974). Desse modo a eq.(3.1) passa a ser:
max adm
i
f
σ σ
γ
≤ = (3.2)
sendo:
f resistência obtida em ensaio padronizado;
iγ coeficiente de segurança.
Os coeficientes de segurança internos também eram determinados
empiricamente e os valores atribuídos conforme o sucesso das estruturas em uso. Os
coeficientes poderiam ser alterados, permitindo um progresso gradativo e seguro nos
critérios de projeto, de forma a atender aspectos econômicos e de segurança.
Segundo Zagottis (1974), o método das tensões admissíveis procura estabelecer
uma medida da segurança das estruturas e uma sistemática para introdução da segurança
nos projetos estruturais; porém, esta medida pode ser bastante deficiente. De acordo
com o autor, o coeficiente de segurança deve justificar, além de outros fatores, a
variabilidade das resistências dos materiais, que são maiores com o crescimento das
dispersões correspondentes.
Com relação à sistemática na introdução da segurança nos projetos estruturais,
podem ser feitas algumas críticas do emprego deste método. Primeiramente, o aspecto
de haver apenas uma preocupação com o estabelecimento da “distância” conveniente
entre a situação de uso e aquela correspondente à ruína (desagregação do material) ou
colapso (perda da capacidade portante) da estrutura. Assim, o método das tensões
admissíveis não considera a verificação de outras condições que possam invalidar a
utilização da estrutura como, por exemplo, a sua deformação excessiva.
Entretanto, o método das tensões admissíveis foi o primeiro a ser incorporado à
normalização brasileira, no ano de 1940 com a primeira versão da NB-1, dando origem
à ABNT (Associação Brasileira de Normas Técnicas). Em 1960 foi editada a NB-1,
considerando o método dos coeficientes de segurança internos e externos, sendo os
internos referentes à resistência dos materiais e o externo às solicitações na estrutura.

Apenas em 1978 a NB-1, denominada NBR 6118:1978, passou a utilizar o método dos
estados limites, que será comentado posteriormente.
Castro et al. (1997), salientam que a transposição de uma norma inicialmente
baseada em tensões admissíveis para estados limites é feita de maneira a não afetar de
forma significativa os resultados globais. Assim, apesar da mudança brusca na parte
conceitual embutida nos métodos, os resultados não devem divergir significativamente
quando o projetista dimensiona a estrutura utilizando uma ou outra versão.
33..22..22 MMééttooddoo sseemmii--pprroobbaabbiillííssttiiccoo
O método semi-probabilístico é fundamentado em análise estatística com
coeficientes ponderadores aplicados tanto às ações quanto às resistências dos materiais,
porém admitindo o comportamento estrutural como determinístico. Por esse fato é
chamado semi-probabilístico. O método mais utilizado nas estruturas de concreto é o
dos estados limites, que é um método semi-probabilístico.
Este método, semelhante aos demais, considera que a segurança da estrutura
deve ser verificada em relação às situações que possam trazer riscos à integridade da
própria estrutura ou para uso normal da construção.
As normas brasileiras em vigor, que tratam dos critérios de segurança a serem
verificados no projeto estrutural são: a NBR 6118:2003 – Projeto de estruturas de
concreto e a NBR 8681:2003 – Ações e segurança nas estruturas, que atribuem os
requisitos exigíveis na verificação da segurança das estruturas de concreto usuais da
construção civil. A Norma de Ações e Segurança faz distinção entre os estados limites
últimos e os estados limites de serviço.
Estados Limites Últimos (ELU) são aqueles correspondentes ao esgotamento
da capacidade portante da estrutura, estando relacionados ao colapso ou outra forma de
ruína parcial ou total da estrutura, que paralise o uso da mesma.
Estados Limites de Utilização ou de Serviço (ELS) são aqueles
correspondentes às exigências funcionais, aparências, conforto dos usuários e
durabilidade da estrutura. Os ELS decorrem de ações cujas combinações podem ter
diferentes tempos de permanência na estrutura, como: combinações quase permanentes,
combinações freqüentes e combinações raras. As expressões que regem tais
combinações serão mostradas posteriormente.

Apesar de avanços nas pesquisas, ainda não se dispõe de uma metodologia
totalmente fundamentada, que possa ser usada nas normas de projetos considerando o
comportamento não-linear que verifique simultaneamente o ELU e o ELS. Portanto,
duas metodologias procuram preencher essa lacuna. A primeira, liderada pelo
pesquisador Macchi (1995) defende a permanência do método semi-probabilístico,
porém sem descartar a necessidade de algumas adaptações. A segunda, conduzida por
Eibl (1995) e König (1997) defende o conceito de um único coeficiente de segurança
global relativo à resistência dos materiais, que será comentada no item 3.5 deste
trabalho.
No Bulettin d´Information nº 229 do CEB (1995), Macchi (1995) defende a
permanência do método semi-probabilístico, pelo largo conhecimento adquirido até
então; não descartando a possibilidade de algumas alterações que poderiam ser feitas
para atender às novas necessidades e contemplar os novos conhecimentos. O autor
acrescenta que os novos métodos de dimensionamento necessitariam ser calibrados por
análise de confiabilidade e, ainda, ser aplicados em casos de estruturas reais,
considerando as variáveis que influenciam a segurança. O pesquisador tece críticas ao
método dos coeficientes globais de segurança, proposto por König et al. (1997), com
relação à real capacidade de modelagem de ruína, principalmente de estruturas
complexas.
Conforme Macchi (1995), a probabilidade de falha (ruína) de uma estrutura é
mais bem avaliada pelos estudos das funções de distribuição aleatórias das variáveis
envolvidas, tais como carregamento, geometria, resistências dos materiais, de acordo
com a análise de confiabilidade. Porém, esta análise ainda inviabiliza sua utilização
corrente, favorecendo a adoção usual de uma metodologia determinística.
Segundo o Bulettin d´Information nº 229 do CEB (1995), os membros do
comitê afirmam que o modelo não-linear é o mais apropriado a ser considerado nas
análises, de modo que este deveria ser utilizado na calibração dos novos procedimentos
de dimensionamento e verificação da segurança dos elementos estruturais. Este trabalho
considera a análise não-linear física para a nova proposta de dimensionamento e
verificação de estruturas de concreto armado.

33..22..33 MMééttooddoo pprroobbaabbiillííssttiiccoo
A análise probabilística lida com as incertezas do problema em questão, tanto
para as ações, as resistências e para o comportamento estrutural. Segundo Fusco (1976),
as incertezas relacionadas aos problemas de engenharia decorrem da variabilidade
inerente aos fenômenos naturais, da falta de dados suficientes ou da falta de
entendimento completo de todas as causas e de todos os efeitos relacionados aos
sistemas materiais.
Os métodos probabilísticos de avaliação da segurança de estruturas consistem
na determinação da probabilidade de falha da estrutura, em condições reais de
funcionamento, utilizando técnicas baseadas na teoria da confiabilidade estrutural.
De acordo com Henriques (1998), a utilização de métodos probabilísticos na
prática corrente de projetos de engenharia civil, tem sido mais empregada no ramo da
engenharia marítima e hidráulica; especificamente utilizada na avaliação de chuvas de
bacias hidrográficas, ou na avaliação dos picos máximos de redes de água no
saneamento. Segundo o referido autor, na engenharia de estruturas a aplicação deste
método encontra-se restrito a situações bastante particulares, como plataformas off
shore, ações do vento e do tráfego em pontes de grandes vãos e em outros poucos casos.
No dimensionamento de qualquer elemento estrutural é necessário que a
resistência (R) seja maior que os esforços solicitantes (S), atuantes durante toda a vida
útil da estrutura. No entanto, durante as análises surgem incertezas ligadas à resistência
ou ao carregamento. Assim, sempre irá existir uma probabilidade de ruína associada a
um elemento ou à estrutura como um todo. Deste modo, a confiabilidade de uma
estrutura ou elemento pode ser avaliada quanto à probabilidade de falha ( )( )P R S< ou
quanto à probabilidade de sobrevivência ( )( )P R S> , (ANG e TANG, 1984).
O problema básico da confiabilidade estrutural considera a resistência R e a
solicitação S, cada uma descrita pelas respectivas funções de densidade de
probabilidade Rf e Sf , respectivamente. Portanto, a probabilidade de ruptura fp pode
ser definida conforme as equações abaixo.
( ) ( )0 1f
R
p P R S P R S P
S
 
= ≤ = − ≤ = ≤ 
 
(3.3)

( ). ,f R S
D
p f r s drds= ∫∫ (3.4)
Vários pesquisadores têm se dedicado aos estudos do método probabilístico por
ser um procedimento que trata das variáveis aleatórias envolvidas nos problemas, assim,
representando melhor o sistema estrutural como um todo. Porém, as aplicações ao meio
técnico ocorrerão em futuro não muito próximo.
Algumas pesquisas foram desenvolvidas no Departamento de Engenharia de
Estruturas – EESC/USP empregando o procedimento do método probabilístico, para
verificar a confiabilidade estrutural, assim como, a otimização de estruturas de concreto
armado; pode-se citar os trabalhos de Bernardo (1999) em que avaliou a segurança e
confiabilidade em pavimentos de edifícios, introduzindo conceitos probabilísticos e
estatísticos aplicados a um modelo de comportamento não-linear para o concreto
armado, Chaves (2004), desenvolveu um programa computacional para a determinação
da seção transversal de pilares de concreto armado com o custo mínimo e a
determinação do índice de confiabilidade desta estrutura para um estado limite e Neves
(2004), desenvolveu novas técnicas aproximadas de análise de confiabilidade para
grelhas de concreto armado levando-se em consideração os vários modos importantes
de probabilidades de falha.
33..33 PPrreessccrriiççõõeess nnoorrmmaattiivvaass
A seguir são apresentadas as prescrições adotadas pela normalização brasileira,
empregadas no presente trabalho.
33..33..11 CCooeeffiicciieenntteess ddee ppoonnddeerraaççããoo ddaass aaççõõeess
Os coeficientes de ponderação aqui relacionados estão de acordo com as
recomendações das normas NBR 6118:2003 e NBR 8681:2003. O valor de cálculo das
ações é obtido a partir dos respectivos valores característicos, multiplicando-os pelo
coeficiente de ponderação fγ , que se desdobra em três outros coeficientes, como
mostra a eq.(3.5).
1 2 3f f f fγ γ γ γ= ⋅ ⋅ (3.5)

O coeficiente 1fγ leva em consideração a variabilidade das ações, 3fγ
considera os possíveis erros de avaliação dos efeitos das ações, seja por problemas
construtivos, seja por deficiência do método de cálculo empregado. Por fim, o
coeficiente 2fγ leva em conta a ocorrência simultânea das ações, sendo substituído por
fatores de combinação ou de redução ( )iψ , como mostra a Tabela 3.1, de acordo com a
combinação de ações empregada ou o estado limite analisado, segundo a
NBR 6118:2003.
Tabela 3.1 – Coeficientes ponderadores de ações variáveis, NBR 6118:2003.
2fγ
Cargas acidentais de edifícios
0ψ 1ψ 2ψ
Locais em que não há predominância de pesos de
equipamentos que permanecem fixos por longos períodos
de tempo, nem de elevadas concentrações de pessoas.
0,5 0,4 0,3
Locais em que não há predominância de pesos de
equipamentos que permanecem fixos por longos períodos
de tempo, ou de elevada concentração de pessoas.
0,7 0,6 0,4
Biblioteca, arquivos, oficinas e garagens. 0,8 0,7 0,6
O fator ponderador fγ , considerando-se a análise linear, pode ser aplicado
tanto na majoração das ações quanto nos seus efeitos, pois o resultado não será alterado.
De acordo com a NBR 8681:2003, se os cálculos dos esforços solicitantes atuantes
forem feitos em regime elástico linear, o coeficiente fγ pode ser multiplicado tanto no
carregamento característico quanto diretamente ao esforço característico, pois
independe da ordem de aplicação do coeficiente, conforme as expressões abaixo.
( )d f kS S Fγ= ⋅ (3.6)
( )d f k f kS S S Fγ γ= ⋅ = ⋅ (3.7)
sendo:
kF ação característica;
,d kS esforço solicitante de cálculo ou característico.

Entretanto, se o cálculo dos esforços solicitantes for feito por um processo não-
linear, o coeficiente fγ deverá ser aplicado à ação característica, conforme eq.(3.8),
devido à inexistência de proporcionalidade entre causas e efeitos.
( )d f kS S Fγ= ⋅ (3.8)
A NBR 8681:2003 estabelece os coeficientes de ponderação das ações no ELU,
para cargas permanentes e para a carga variável principal, como mostra a Tabela 3.2,
que considerou-se o valor de 2 1,0fγ = , resultando 1 3f f fγ γ γ= ⋅ . Porém, para a
combinação das demais cargas variáveis, toma-se 2f iγ ψ= , cujos respectivos valores
foram mostrados na Tabela 3.1.
Tabela 3.2 – Coeficientes 1 3f f fγ γ γ= ⋅ , NBR 8681:2003.
Ações
Permanentes ( g fγ γ= ) Variáveis ( q fγ γ= )
Combinações de
ações
Desfavorável Favorável Geral Temporária
Normais 1,4 1,0 1,4 1,2
Especiais ou de
construção
1,3 1,0 1,2 1,0
Excepcionais 1,2 1,0 1,0 0
Neste trabalho serão analisadas as condições de projeto para elementos
estruturais de concreto armado submetidos às condições usuais, empregando-se apenas
as combinações normais na verificação do ELU, expressa pela eq.(3.9). Não foram
consideradas as ações indiretas permanentes, como retração e variáveis térmicas.
1 0
2
n
d g gk q q k j qik
j
F F F Fγ γ ψ
=
 
= ⋅ + ⋅ + ⋅ 
 
∑ (3.9)
sendo:
gkF valor característico das ações permanentes diretas;
1q kF valor característico da ação variável principal;

qjkF valor característico das demais ações variáveis;
0 jψ fator de combinação das cargas variáveis.
Na consideração dos estados limites de serviço, os coeficientes de ponderação
das ações são tomados com valor 1 3 1,0f fγ γ⋅ = , portanto 2f fγ γ= , em que o valor de
2fγ é variável de acordo com a análise que se deseja fazer, conforme Tabela 3.1.
2 1,0fψ = para combinações raras;
2 1fψ ψ= para combinações freqüentes;
2 2fψ ψ= para combinações quase permanentes.
De acordo com a NBR 6118:2003, o estado limite de serviço (ELS) deve ser
verificado com uma das combinações mostradas abaixo. Nos exemplos apresentados no
capítulo 4 deste trabalho, foram utilizadas as combinações quase-permanentes e
combinações freqüentes.
Combinações Quase Permanentes (CQP)
Nestas combinações as ações podem atuar durante grande parte do período de
vida da estrutura e sua consideração é necessária na verificação do estado limite de
deformações excessivas, segundo a eq.(3.10).
, , 2 ,d ser gi k j qj kF F Fψ= +∑ ∑ (3.10)
Combinações Freqüentes (CF)
Nestas combinações, as ações se repetem várias vezes durante o período de
vida da estrutura e sua consideração é necessária para verificar o estado limite de
formação de fissuras, de abertura de fissuras e vibrações, conforme a eq.(3.11).
, , 1 1, 2 ,d ser gi k q k j qj kF F F Fψ ψ= + +∑ ∑ (3.11)
Combinações Raras (CR)
Nestas combinações as ações algumas vezes ocorrem durante o período de vida
da estrutura e sua consideração é necessária na verificação do estado limite de formação
de fissuras, de acordo com a eq.(3.12).

, , 1, 1 ,d ser gi k q k j qj kF F F Fψ= + +∑ ∑ (3.12)
33..33..22 PPoonnddeerraaddoorreess ddaass rreessiissttêênncciiaass ddooss mmaatteerriiaaiiss
Os coeficientes ponderadores aplicados aos materiais que fazem parte da
estrutura têm suas resistências características minoradas pelo parâmetro mγ , segundo o
método semi-probabilístico. De acordo com a NBR 6118:2003, os valores dos
coeficientes das resistências nos estados limites últimos são indicados na Tabela 3.3
Tabela 3.3 – Valores do coeficientes de cγ e sγ , NBR 6118:2003.
Combinações
Concreto
cγ
Aço
sγ
Normais 1,4 1,15
Especiais ou de construção 1,2 1,15
Excepcionais 1,2 1,0
Para os coeficientes de ponderação das resistências nos estados limites de
serviço, a NBR 6118:2003 indica a não necessidade de minoração, portanto, 1,0mγ =
para os materiais que compõem a estrutura. Assim, emprega-se a própria resistência
característica dos materiais.
33..33..33 VVeerriiffiiccaaççããoo ddoo eessttaaddoo lliimmiittee ddee ffiissssuurraaççããoo
Em estruturas de concreto armado, a fissuração ocorre quando as tensões de
tração excedem a resistência dos elementos. Nestes elementos, as fissuras são
inevitáveis, em virtude da baixa resistência do concreto à tração, devendo-se limitar as
suas aberturas. Sabe-se que a fissuração permite a entrada de agentes agressivos capazes
de desencadear a maioria de seus mecanismos de degradação, comprometendo a
utilização dos elementos tanto na redução da durabilidade quanto no prejuízo que pode
trazer ao seu funcionamento e à sua estética.
A verificação de aberturas de fissuras é feita para o estado limite de serviço sob
ação das combinações freqüentes. No ELS as estruturas trabalham parcialmente nos

Estádios I e II. A separação entre esses dois estádios em peças fletidas é definida pelo
momento de fissuração.
A NBR 6118:2003 estabelece valores de abertura máxima característica das
fissuras em função da classe de agressividade ambiental, conforme apresentado na
Tabela 3.4, apenas para elementos estruturais de concreto armado.
Tabela 3.4 – Limites de fissuração, NBR 6118:2003.
Classe de Agressividade
Ambiental (CAA)
Exigência à fissuração
Combinação de ação em
serviço
CAA I 0,4kw mm≤
CAA II a CAA III 0,3kw mm≤
CAA IV 0,2kw mm≤
Combinação freqüente
A NBR 6118:2003 apresenta duas expressões que determinam a abertura
característica das fissuras em elementos de concreto, eq.(3.13) e eq.(3.14), para
formação sistemática e assistemática das fissuras, respectivamente.
4
45
12,5
s
k
i s r
w
E
σφ
η ρ
 
= ⋅ ⋅ + 
⋅  
(3.13)
3
12,5
s s
k
i s ctm
w
E f
σ σφ
η
⋅
= ⋅ ⋅
⋅
(3.14)
sendo:
φ diâmetro da barra ou do conjunto de barras tracionadas;
iη
coeficiente de conformação superficial da armadura considerada, para
barra com alta aderência 1 2,25η = ;
sE módulo de elasticidade do aço;
sσ tensão de tração no centro de gravidade da armadura, calculada no
estádio II;
rρ
taxa geométrica de armadura, sendo s
r
cr
A
A
ρ = - taxa de área das
barras relativa à área do concreto envolvente;
ctmf resistência média à tração do concreto.

O limite para aberturas de fissuras ( )kw determinadas com as expressões
acima deve ser o menor valor entre eles.
Segundo Mollica Júnior (1986), a formação sistemática de fissuras ocorre
quando a resultante de tração na barra de aço for maior ou igual à resultante de tração
no concreto; elas são caracterizadas pela uniformidade de espaçamento e de abertura. A
formação assistemática de fissuras ocorre quando a taxa geométrica de armadura é
menor que a razão entre a resistência à tração do concreto e a tensão na armadura na
seção fissurada. Assim, a fissuração assistemática ocorre nas peças com baixas taxas de
armadura, apresentando falta de uniformidade no espaçamento e na abertura das
fissuras. As referidas formações são ilustradas na Figura 3.1.
Rst stR
(a)
RststR
(b)
Figura 3.1 – Formação de fissuras: a) sistemática e b) assistemática, Mollica Júnior (1986) [adaptada].
Leggerini e Campos Filho (2004) desenvolveram um programa com interface
gráfica para automatizar os procedimentos de verificação do estado limite de serviço de
abertura das fissuras em seções retangulares e do tipo “T” para peças de concreto
armado submetidas à flexão simples, de acordo com as recomendações da
NBR 6118:2003.
No presente estudo foi desenvolvido um programa no software MathCad para a
verificação de abertura de fissuras em elementos de concreto armado, baseado nestas
expressões.

33..33..44 VVeerriiffiiccaaççããoo ddoo eessttaaddoo lliimmiittee ddee ddeeffoorrmmaaççããoo eexxcceessssiivvaa
De acordo com NBR 6118:2003, o estado limite de deformações excessivas é o
estado em que as deformações atingem os limites estabelecidos para uso normal da
edificação.
De acordo com Carvalho e Figueiredo Filho (2004), na verificação dos estados
limites de deformações excessivas devem ser analisadas, além das combinações de
ações a que os elementos estão submetidos, as propriedades geométricas das seções, os
efeitos da fissuração e da fluência do concreto e as flechas-limite, sendo estas últimas
diretamente ligadas ao tipo ou à destinação do elemento estrutural.
A verificação dos valores limites estabelecidos pela NBR 6118:2003 para a
deformação da estrutura, mais apropriadamente rotações e deslocamentos em elementos
lineares, analisados isoladamente e submetidos a combinações de ações, deve ser
realizada por modelos que considerem a rigidez efetiva das seções da peça estrutural.
Com isso, leva-se em consideração a presença das armaduras, a existência de fissuras no
concreto e as deformações diferidas no tempo.
Os deslocamentos limites são valores práticos utilizados para verificações em
serviço do estado limite de deformações excessivas da estrutura, definidos pela
NBR 6118:2003. Os limites da Tabela 3.5 são alguns limites para deslocamentos
estabelecidos pela NBR 6118:2003. Neste caso apresentam-se apenas os relacionados à
aceitabilidade sensorial, por este ser o tipo de efeito tratado neste trabalho.
Tabela 3.5 – Limites para deslocamentos, NBR 6118:2003.
Razão da
limitação
Exemplo
Deslocamento
a considerar
Deslocamento
limite
Visual
Deslocamentos visíveis em
elementos estruturais
Total 250
l
Outro Vibrações sentidas no piso
Devido a cargas
acidentais 350
l
Observações: * Todos os valores limites de deslocamentos supõem elementos de vão l suportados em
ambas as extremidades por apoios que não se movem. Quando se tratar de balanços, o vão equivalente a
ser considerado deve ser o dobro do comprimento do balanço.
* Deslocamentos excessivos podem ser parcialmente compensados por contra-flechas.

Nos elementos de concreto armado, o cálculo da rigidez e, conseqüentemente
dos deslocamentos, torna-se mais complexo, pois além da existência da armadura,
acentuando a heterogeneidade do material, existe a possibilidade de regiões dos
elementos terem parte do concreto fissurado, o que diminui a rigidez das seções nessas
regiões.
Sabe-se que as seções de uma viga de concreto armado trabalham nos estádios
I e II, quando solicitadas pelas ações de serviço e sua rigidez é substancialmente afetada
pelo momento e pelo grau de fissuração atuante no concreto. Desse modo, para não
introduzir a variação da inércia na peça de concreto, é necessário utilizar uma inércia
equivalente que contemple tal situação de maneira aproximada.
O modelo proposto por Branson (1968), na avaliação de flechas em elementos
de concreto armado, admite para todo o elemento uma única inércia que representa os
trechos fissurados e não fissurados.
Para a avaliação aproximada da flecha imediata em vigas de concreto a
NBR 6118:2003 considera a expressão proposta por Branson (1968), para o cálculo da
rigidez equivalente, como mostra a eq.(3.15)
( )
3 3
1r r
cs c II cs ceq
a a
M M
EI E I I E I
M M
      
 = ⋅ + − ⋅ ≤ ⋅    
       
(3.15)
sendo:
cI momento de inércia da seção bruta de concreto;
III
momento de inércia da seção fissurada de concreto no estádio II,
calculada com s
e
cs
E
E
α = ;
aM
momento fletor na seção crítica do vão considerado, momento
máximo no vão para vigas biapoiadas ou contínuas e no apoio para
balanços, para a combinação de ações considerada nessa avaliação;
rM momento de fissuração do elemento estrutural;
csE módulo de elasticidade secante do concreto.
O momento de fissuração é definido como o momento fletor que a seção
transversal é capaz de resistir sem a colaboração das barras das armaduras, sendo
determinado pela eq.(3.16), considerando as hipóteses das seções homogêneas da
Resistência dos Materiais.

ctm c
r
t
f I
M
y
α
⋅
= ⋅ (3.16)
sendo:
α
Fator que correlaciona aproximadamente a resistência à tração na
flexão com a resistência à tração direta, sendo 1,2 para seções do tipo
“T” ou duplo “T” e 1,5 para seções retangulares;
ty distância do centro de gravidade da seção à fibra mais tracionada;
ctmf resistência à tração direta do concreto -
2
3
0,30 em MPactm ckf f= ⋅ .
O deslocamento imediato ou instantâneo (sem considerar a fluência) em vigas
de concreto armado é determinado pelas expressões da Mecânica Clássica, que depende
do tipo de condição estática do sistema e do tipo de ações atuantes, utilizando-se a
rigidez equivalente conforme a eq.(3.15).
Considera-se que as deformações provenientes da fluência sejam oriundas das
ações permanentes. Porém, para calculá-las utiliza-se a combinação quase permanente,
pois parte da carga acidental atua durante grande parcela do período de vida da
estrutura, conforme sugere a NBR 6118:2003.
Na verificação do comportamento dos elementos estruturais considerando a
não-linearidade física para o efeito de fluência ( )ϕ , o programa desenvolvido por
Oliveira (2001) – ANPAV, emprega a metodologia utilizada por Fusco (1981), que
considera a decalagem do diagrama tensão-deformação para o concreto entre os
instantes 0t e t , na qual esta translação do diagrama tem razão ϕ paralelamente ao eixo
de cε .
Segundo a NBR 6118:2003, a flecha adicional diferida no tempo para vigas de
concreto armado pode ser calculada de maneira aproximada pela multiplicação da
flecha imediata pelo fator fα dado pela eq.(3.17).
1 50 '
f
ξ
α
ρ
∆
=
+ ⋅
(3.17)
sendo:
'ρ taxa geométrica de armadura de compressão
'
' sA
b d
ρ
 
= 
⋅ 
;

ξ∆
variação do coeficiente função do tempo,
onde ( ) ( )0t tξ ξ ξ∆ = −
( )
( ) 0,32
0,68 0,996 para 70 meses
2 para 70 meses
t
t t
t
t
ξ
 ⋅ ⋅ ≤
= 
>
t – tempo em meses;
0t – idade, em meses, relativa à data de aplicação da carga de longa
duração.
Portanto, o valor da flecha total no tempo infinito, segundo a NBR 6118:2003,
para uma viga de concreto armado é determinado conforme a eq.(3.18)
( )0 1 fa a α∞ = ⋅ + (3.18)
sendo:
a∞ flecha final no tempo infinito;
0a flecha imediata em virtude das cargas permanentes.
No presente estudo foi desenvolvido um programa no software MathCad para
o cálculo de flechas em elementos de concreto armado, baseado nestas expressões.
33..44 PPrrooppoossttaa ddee ddiimmeennssiioonnaammeennttoo
Neste estudo é apresentada uma proposta de dimensionamento considerando os
valores médios para as relações tensão-deformação no aço e no concreto, limitando-se
as suas resistências aos valores de cálculo ( df ). Esta proposta apesar de denominada
proposta de dimensionamento ela vem contemplar a verificação simultânea dos estados
limites últimos e de serviços de peças de concreto armado.
A definição de uma relação constitutiva para o aço é mais simples, em virtude
da invariabilidade do seu módulo de deformação longitudinal, como mostra a Figura
3.2.

smaxε
=
sΕ
ε
σ
ykf
fyd
fym
Figura 3.2 – Diagrama tensão-deformação do aço.
A definição de uma relação constitutiva para o concreto torna-se mais
complexa, dada a variabilidade do seu módulo de deformação longitudinal. Ao limitar a
tensão ao valor da resistência de projeto alteram-se, além da capacidade resistente
teórica, as relações constitutivas do material. A curva tensão-deformação
correspondente aos valores médios é substituída por uma relação elastoplástica perfeita
até que seja atingida a deformação última do concreto a partir do que volta a considerar
a relação média, na fase final do amolecimento, como mostra a Figura 3.3. A curva
tensão-deformação do concreto à compressão considerada corresponde à proposta pelo
CEB-FIP MC90.
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005
5 .10
6
1 .10
7
1.5 .10
7
2 .10
7
2.5 .10
7
3 .10
7
3.5 .10
7
4 .10
7
Valor médio
Valor de projeto
Proposta de dimensionamento
Deformação
0
1.36 εcu⋅0 εc
Deformação (ε)
Tensão(Pa)
Figura 3.3 – Diagrama tensão-deformação do concreto C30, CEB-FIP MC90.

33..55 PPrrooppoossttaa ppaarraa uummaa nnoovvaa ccoonnssiiddeerraaççããoo ddee
sseegguurraannççaa
O cálculo de estruturas de concreto armado e protendido, considerando o ELU,
deve satisfazer em cada seção transversal a condição de os esforços solicitantes serem
menores ou iguais à capacidade resistente nesta região, conforme a eq.(3.19).
d dS R≤ (3.19)
Sabe-se que a determinação dos esforços internos e externos de cálculo
atuantes na seção transversal usualmente é feita de forma independente. Porém, esta
separação é inconsistente para estruturas hiperestáticas do ponto de vista mecânico, em
virtude da redistribuição dos esforços solicitantes que depende da rigidez relativa dos
componentes estruturais.
Em estruturas isostáticas, a distribuição dos esforços solicitantes é determinada
apenas pelas condições de equilíbrio. Alcançada a capacidade resistente da seção
transversal, um novo estado de equilíbrio da seção tornar-se-ia impossível. Portanto,
acrescido o carregamento, é inadmissível aumentar a capacidade resistente em qualquer
seção transversal da estrutura. Assim, a margem de segurança da seção transversal
crítica é igual à margem de toda estrutura.
No caso de estruturas hiperestáticas, é possível um acréscimo no carregamento
depois de alcançada a capacidade resistente em uma ou mais seções transversais, pois a
distribuição dos esforços solicitantes é determinada simultaneamente pelas condições de
equilíbrio e de compatibilidade, caso exista capacidade de deformação plástica de pelo
menos uma seção transversal crítica. Portanto, as capacidades resistentes da seção
transversal e da estrutura não são as mesmas.
Segundo Tue (1996), König et al. (1997), a margem de segurança da seção
transversal de concreto armado pode ser descrita pela razão entre a capacidade resistente
teórica determinada com os valores médios e os valores de projeto das resistências dos
materiais.
O tratamento da margem de segurança das estruturas de concreto novamente
está em sendo abordado no âmbito acadêmico, pela larga utilização de procedimentos
não-lineares. De acordo com o Bulettin d´Information nº 229 do CEB (1995), a proposta

dos membros do CEB-Commission 1 é criar um conceito de segurança consistente,
utilizando a não-linearidade física para todos os tipos de modelos de estruturas. Porém,
os membros do grupo deixam claro que a probabilidade de ruína pode ser avaliada pela
abordagem probabilística, em virtude da variabilidade das resistências dos materiais e
das ações. Entretanto, a avaliação probabilística aplicada às estruturas ainda não é viável
para o uso prático.
A nova proposta para dimensionamento de estruturas de concreto que pode ser
implantada consiste no emprego do método dos coeficientes globais. Esta proposta, de
acordo com o Bulettin d´Information nº 239 do CEB (1997), tem como finalidade
estabelecer uma metodologia consistente capaz de ser utilizada para qualquer tipo de
modelo e de estrutura. A eq.(3.20) expressa o método dos coeficientes globais.
( ) sys
q g
gl
R
S Q Gγ γ
γ
⋅ + ⋅ ≤ (3.20)
sendo:
S esforços solicitantes;
qγ fator de segurança parcial para ações variáveis;
Q ações variáveis;
gγ fator de segurança parcial para ações permanentes;
G ações permanentes;
sysR capacidade resiste da estrutura;
glγ fator de segurança global para resistência da estrutura.
A grande dificuldade está na definição do valor do coeficiente global a ser
utilizado. O coeficiente pode variar de acordo com o mecanismo de ruína da estrutura,
pelo concreto ou pelo aço. Definindo-se as resistências médias3
dos materiais de forma
simplificada conforme a eq.(3.21):
1,10cm ckf f= ⋅
1,10ym ykf f= ⋅
(3.21)
3
As resistênciass médias descritas não são as médias obtidas por meio de análise estatística.

De acordo com as resistências dos materiais definidas acima, o coeficiente
global ( )glγ para uma seção transversal situa-se aproximadamente entre 1,65, quando
ocorre o esgotamento da capacidade resistente do concreto e 1,265 quando esgota a
capacidade resistente do aço, ao serem utilizados coeficientes de minoração das
resistência de 1,5cγ = e 1,15sγ = para o concreto e para o aço, respectivamente,
conforme CEB-FIP MC90. Estes valores podem ser calculados de forma analítica
apresentados por König et al. (1997), como mostra a eq.(3.22) e eq.(3.23) para o
concreto e para o aço.
1,10 1,10 1,15 1,265
1,15
yk ym
yd ym yk
yd
f f
f e f f
f
= = ⋅ ⇒ = ⋅ = (3.23)
Os coeficientes de segurança são diferentes se a ruptura ocorrer no concreto ou
no aço, como comentado no parágrafo anterior. Caso a ruptura seja mista, há uma
lacuna no procedimento, não sendo determinado o coeficiente de segurança nesses
casos, o que dificulta a definição de uma metodologia única para a verificação das
estruturas. Sabe-se que, normalmente, as vigas são projetadas para um estado limite
último definido para deformação excessiva das armaduras de flexão, enquanto os
pilares, pelo esmagamento do concreto.
Segundo König et al. (1997), um possível caminho para uma investigação
determinística do coeficiente global de segurança é a modificação na resistência média
do concreto; sendo a solução encontrada pelo referido autor e pelos membros do CEB-
Commission 1 para adaptar o valor da resistência média do concreto, desse modo
substituindo-a por um valor convencional de referência. Pesquisas realizadas por König
et al. (1997)4
apud. Bulettin d´Information nº 239 do CEB (1997) afirmam que a
resistência média do concreto, medida in-situ, é cerca de 85% do respectivo valor da
resistência característica à compressão, podendo ser expresso conforme a eq.(3.24).
4
König G., Soukov D., Jungwirth F. (1997) – Sichere Betonproduktion für Stahlbetontragwerke,
intermediate report 2, March 1997.
1,10 1,10 1,5 1,650
1,5
ck cm
cd cm ck
cd
f f
f e f f
f
= = ⋅ ⇒ = ⋅ = (3.22)

0,85cm
ck
f
f
= (3.24)
No entanto, as considerações feitas para o diagrama parabólico da tensão-
deformação para o concreto e o diagrama bi-linear para o aço foram mantidas
inalteradas.
Considerando válida a eq.(3.24), os valores médios da resistência do concreto e
do aço para determinação do comportamento de estruturas de concreto armado, podem
ser redefinidos conforme a eq.(3.25), sendo neste texto denominados valores de
referência das resistências dos materiais, para não serem confundidos com valores
médios anteriormente definidos.
0,85cR ckf f= ⋅
1,10yR ykf f= ⋅
(3.25)
Portanto, aceita a validade da eq. (3.25), os coeficientes globais de segurança
referidos aos dois tipos de ruptura (frágil ou dúctil) tornam-se bastante próximos,
podendo ser considerados iguais a 1,27. Lembrando que os coeficientes ponderadores
da resistência do concreto ( )cγ e do aço ( )sγ , estão de acordo com CEB-FIP MC90. A
verificação analítica do coeficiente para o concreto e o aço é mostrada abaixo.
1,10 1,10 1,15 1,265
1,15
yk yR
yd yR yk
yd
f f
f e f f
f
= = ⋅ ⇒ = ⋅ = (3.27)
Para comprovar as considerações acima, König et al. (1997) e Anher e Tue
(1997) fizeram algumas análises para verificar a capacidade resistente de uma seção
transversal de concreto armado submetida à flexão pura. A Figura 3.4 mostra os
resultados das análises nos quais foram empregados valores diferentes para as
resistência dos materiais, com valores médios e de referência conforme a eq.(3.21) e a
eq.(3.25), respectivamente.
0,85 0,85 1,5 1,275
1,5
ck cR
cd cR ck
cd
f f
f e f f
f
= = ⋅ ⇒ = ⋅ = (3.26)

A mudança na resistência média adotada para os materiais segundo a eq.(3.25)
influencia na determinação da capacidade resistente da seção transversal, como pode-se
perceber na Figura 3.4. Observa-se pequena variação do coeficiente global de segurança
( )glγ entre os momentos resistentes com o acréscimo da taxa de armadura, quando são
utilizadas as resistências de referência, tornando-se praticamente constante. No entanto,
empregando-se os valores médios da resistência dos materiais esta variação é bastante
significativa. Assim, torna-se bastante favorável para o emprego do coeficiente global
de segurança único em estruturas de concreto.
Figura 3.4 – Razão ente os momentos resistentes com diferentes resistência dos materiais – König et al.
(1997) e Ahner & Tue (1997) [adaptada].
sendo:
plM momento resistente obtido com as resistências médias e de referência,
segundo a eq.(3.21) e eq.(3.25);
,pl dM momento resistente obtido com as resistências de cálculo.
Com o intuito de confirmar os resultados apresentados acima, foram feitas no
presente trabalho algumas análises para uma seção transversal com largura de 15 cm e
altura de 60 cm, submetida à flexão pura considerando resistência característica à
compressão do concreto de 25 MPa e resistência característica à tração do aço de 500
MPa, como mostra a Figura 3.5. Nestas análises foram empregados os valores dos
coeficientes ponderadores segundo o CEB-FIP MC90 ( 1,5 e 1,15c sγ γ= = ).

Figura 3.5 – Razão ente os momentos resistentes da seção retangular submetida à flexão simples.
Os valores da relação entre os momentos resistentes permaneceram
praticamente constantes quando utilizados os valores de referência das resistências dos
materiais, enquanto para os valores médios ocorreu grande variação à medida que se
aumentava a taxa de armadura. A pequena mudança com os valores de referência
ocorreu quando o elemento passou para o domínio 4, domínio este não recomendado
para dimensionamento de peças de concreto armado, em virtude do subaproveitamento
do aço e por ocorrer ruptura frágil dos materiais.
A Figura 3.5 confirma a pequena variabilidade do coeficiente global, tornado-
se bastante favorável para o emprego de um coeficiente de segurança praticamente
constante.
Alguns trabalhos foram desenvolvidos com o intuito de verificar o
comportamento das estruturas de concreto, considerando a análise não-linear e as
relações das resistências médias e de referência dos materiais, mostrados acima.
Ahner (1999), mostrou a expressiva vantagem dos métodos não-lineares, bem
como a diferença do comportamento utilizando-se a resistência de cálculo, média e de
referência, com um ganho na rigidez dos elementos quando utilizadas as resistências
médias e de referência. O autor analisou um pórtico plano para verificar a influência do
efeito de segunda ordem, cujos resultados foram satisfatórios empregando os valores de

referência que proporcionam um coeficiente de segurança de 1,30, independente do
critério de ruptura.
Ahner (2000) fez análise de pilares esbeltos submetidos à compressão
excêntrica, tendo observado que o índice de confiabilidade ( )β utilizando-se a
resistência de referência dos materiais em análise não-linear conduz a valor
relativamente uniforme para diferentes situações de projeto. Na maioria das vezes o
índice de confiabilidade encontrado era maior que 4,70 , com uma probabilidade de
ruptura de aproximadamente 6
10−
, valor este considerado satisfatório em elementos
estruturais de vigas de concreto armado submetidos à flexão.
Wittek e Meiswinkel (2000) analisaram a carga última de projeto em peças
fletidas e constataram que a segurança do sistema pode ser realizada com análise não-
linear física, admitindo-se valores de referência para o ELU.
Henriques et al. (2002) desenvolveram um método bastante semelhante ao
proposto pelo Bulettin d´Information nº 239 do CEB (1997), utilizando resistência
média dos materiais, em que o coeficiente global varia de acordo com a posição da linha
neutra e a resistência do concreto, praticamente constante para uma profundidade da
linha neutra de 0,35
x
d
= . Os dois métodos, König et al. (1997) e Henriques et al.
(2002) proporcionaram resultados semelhantes, com pequena diferença quando se
empregam maiores taxas de armaduras de tração.
Admitidas como válidas as considerações feitas quanto às resistências médias
dos materiais propostas por König et al. (1997), cabe adaptá-las à normalização
brasileira. Sabe-se que o coeficiente de minoração da resistência aplicado ao aço
( )1,15sγ = é o mesmo tanto para CEB-FIB MC90 quanto para a NBR 6118:2003.
Porém, o coeficiente aplicado ao concreto ( )cγ é diferente, com o valor de 1,4cγ =
utilizado pela NBR 6118:2003. Assim, o coeficiente global de segurança pode ser
determinado analiticamente conforme a eq.(3.28).
Como a idéia é manter um mesmo coeficiente de segurança, independente do
tipo de ruptura, seja por esmagamento do concreto ou por alongamento excessivo da
0,85 0,85 1,4 1,19cm
cm ck
cd
f
f f
f
= ⋅ ⇒ = ⋅ = (3.28)

armadura, deve-se determinar um valor para que a resistência do aço proporcione um
coeficiente de segurança igual ao do concreto, conforme mostra a eq.(3.29).
Percebe-se que, para obtenção da resistência média do aço, os coeficientes são
diferentes. O Bulettin d´Information nº 239 do CEB (1997) não justifica a consideração
do valor 1,10 para a resistência média e algumas pesquisas realizadas com objetivo de
definir esse valor não obtiveram sucesso. Tem-se conhecimento que o critério de
produção do aço é mais rigoroso que o do concreto, por isso, o valor de 10% da
resistência característica para o aço parece estar excessivo.
Segundo Oliveira (2001), resultados obtidos no laboratório do Departamento
de Engenharia de Estruturas da EESC/USP, não divulgados formalmente, sugerem
resistências médias bem próximas do valor característico da resistência de escoamento
do aço. Assim, a bem da consistência, parece razoável adotar a razão entre o valor
médio e o valor característico da resistência do aço em 1,035, com acréscimo de 3,5% .
Portanto, a resistência média dos materiais, adaptada à normalização brasileira será dada
pela eq.(3.30), também denominada resistência de referência.
Com o intuito de verificar-se o comportamento do método do coeficiente
global de segurança, foram realizadas algumas análises para a avaliação da capacidade
resistente de seções transversais submetidas à flexão pura, conforme mostra a Figura
3.6. Nestas análises considerou-se o diagrama parábola-retângulo para o concreto e bi-
linear para o aço, verificando o estado limite último da seção.
1,19 1,19 1,035
1,15
ym yk
ym ym yk
yd
f f
f f f
f
= ⇒ = ⋅ ⇒ = ⋅ (3.29)
0,85
1,035
cR ck
yR yk
f f
f f
= ⋅
= ⋅
(3.30)

M
M
(a) (b)
Figura 3.6 – Seção transversal submetida à flexão: a) retangular e b) do tipo “T”. Medidas em cm.
Os resultados obtidos para a seção retangular à flexão simples em que se variou
a taxa de armadura e a classe de concreto são mostrados na Figura 3.7 e Figura 3.8.
(a) (b)
Figura 3.7 – Seção retangular submetida à flexão: a) sem armadura de compressão e b) armadura de
compressão ( )2 6,30mmφ .

(a) (b)
Figura 3.8 – Seção retangular submetida à flexão: a) taxa de armadura de compressão 0,25%ρ = e b)
taxa de armadura de compressão 0,50%ρ = .
Os resultados obtidos para a seção do tipo “T” são mostrados na Figura 3.9 e
Figura 3.10.
(a) (b)
Figura 3.9 – Seção do tipo “T” submetida à flexão: a) sem armadura de compressão e b) armadura de
compressão ( )2 6,30mmφ .

(a) (b)
Figura 3.10 – Seção do tipo “T” submetida à flexão: a) taxa de armadura de compressão 0,25%ρ = e
b) taxa de armadura de compressão 0,50%ρ = .
De forma geral, os diagramas mostraram boa uniformidade do coeficiente
global de segurança, em torno do valor esperado ( )1,19glγ = , indicando que o método
pode ser empregado na verificação de estruturas de concreto. Entretanto, devem ser
realizadas algumas análises e estudos mais minuciosos.
Nas seções transversais retangulares, o menor valor do coeficiente global de
segurança foi de 1,154 para seção sem armadura de compressão. Quando considerada
armadura de compressão, o coeficiente global teve pequenas variações com o menor
valor em torno de 1,162.
As seções do tipo “T” tiveram um melhor comportamento do coeficiente global
em razão da contribuição da mesa comprimida de concreto. No entanto, seu menor valor
em todos os casos, foi 1,177 , com ou sem armadura de compressão.
Percebe-se que em todos os casos (seções retangulares e do tipo “T”) houve
menor variabilidade do coeficiente global quando empregadas classes de concreto
maiores, o que é uma tendência natural. Em todas as análises, a mudança do coeficiente
global de segurança ocorreu à medida que a profundidade da linha neutra passou para o
domínio 4 (seção superarmada), usualmente evitado em virtude da possível ruptura
frágil.

Em resumo, o método dos coeficientes globais de segurança mostrou-se útil
para o emprego na verificação de estruturas de concreto armado, considerada a não-
linearidade física, conforme será visto nos exemplos do capítulo seguinte.
Apesar desta proposta ser interessante por uniformizar os coeficientes parciais
considerando um único coeficiente global de segurança, ela não contempla o
dimensionamento de estruturas de concreto armado para o ELU. Tornando-se
conveniente a introdução de uma nova proposta, neste caso a proposta de
dimensionamento comentada no item 3.4 do presente trabalho, em que considera os
valores médios das resistências dos materiais limitados aos valores de cálculo.

44 EEXXEEMMPPLLOOSS EE AAPPLLIICCAAÇÇÕÕEESS
44..11 CCoonnssiiddeerraaççõõeess ggeerraaiiss
Neste capítulo são apresentados alguns exemplos com o intuito de fixar as
idéias propostas ao dimensionamento e verificação da segurança de estruturas de
concreto armado. Nas análises não-lineares físicas são empregadas as resistências
médias e de referência dos materiais.
A verificação da segurança em regime não-linear é dependente das taxas de
armaduras e da geometria das seções transversais pré-estabelecidas segundo um
dimensionamento em regime elástico-linear. Portanto, nesse regime, a verificação é um
processo iterativo de ajuste das dimensões e das taxas de armadura dos elementos. As
plastificações às quais os elementos estão submetidos podem ser induzidas pelo
projetista tanto na diminuição das taxas de armaduras longitudinais quanto nas
dimensões das seções transversais (altura e largura) e, também, na combinação conjunta
das soluções, desde que satisfaçam às exigências normativas.
Os dois primeiros exemplos foram comparados com o trabalho de Wittek e
Meiswinkel (2000) para verificar e aferir o programa desenvolvido por Oliveira (2001)
e adaptado no presente trabalho. Wittek e Meiswinkel consideram o diagrama tensão-
deformação semelhante ao do CEB-FIP MC90 para o concreto e, para o aço, como um
modelo elastoplástico com encruamento. Nestes exemplos foram considerados os
coeficientes ponderadores das resistências, os módulos de deformações longitudinais
Capítulo

tangente do aço e do concreto, de acordo com o CEB-FIP MC90, cujas expressões serão
mostradas posteriormente.
Na análise do ELU foram consideradas diferentes propriedades mecânicas para
os materiais, verificando-se o comportamento para as resistências de projeto, médias e
de referência.
44..22 CCoommppaarraaççããoo eennttrree rreessuullttaaddooss –– aaffeerriiççããoo ddoo
pprrooggrraammaa
Os exemplos realizados nesta seção foram estudados por Wittek e Meiswinkel
(2000), nos quais foram considerados os mesmos parâmetros adotados pelos autores
para melhor avaliar os resultados obtidos com o programa desenvolvido por Oliveira
(2001) – ANPAV. No primeiro exemplo é verificada a segurança da seção transversal
crítica com os valores médios e de referência da resistência dos materiais, utilizando o
programa desenvolvido pelo autor no software MathCad. Cabe ressaltar que aferições
do programa, reproduzindo a comparação entre resultados teóricos e experimentais
foram apresentadas por Oliveira (2001).
Os dois exemplos seguintes, placa biapoiada e viga contínua, foram analisados
considerando a não-linearidade dos materiais com o programa ANPAV. Foram
escolhidos estes exemplos para aferir o programa com os resultados de Wittek e
Meiswinkel. No entanto, foram feitas algumas modificações no programa ANPAV com
relação à deformação última do aço, onde foi considerado o valor adotado pelo CEB-
FIP MC90 ( 0
0025yuε = ), e também o encruamento no aço. Desta forma, o modelo para
o aço tornou-se elastoplástico com encruamento, ao invés de elastoplástico perfeito
como adotado no programa original. Estas mudanças foram feitas para melhor
representar os resultados. A resistência última do aço, considerando o encruamento, é
representada pela eq.(4.1).
1,08tu yf f= ⋅ (4.1)
sendo:
tuf resistência última do aço;
yf resistência de escoamento do aço.

Os coeficientes ponderadores da resistência dos materiais aplicados aos
exemplos foram os propostos pelo CEB-FIP MC90, ou seja, 1,5cγ = para o concreto e
1,15sγ = para o aço. Os valores da resistência média (índice m) e de referência (índice
R) do concreto e do aço estão mostrados na eq.(4.2).
( )
( )
8 em MPa a
b
cm ck
ym yk
f f
f f
= +
=
( )
( )
0,85 c
1,10 d
cR ck
yR yk
f f
f f
= ⋅
= ⋅
(4.2)
Nas análises não-lineares os módulos de elasticidade longitudinais tangentes
iniciais do concreto e do aço foram considerados segundo o CEB-FIP MC90, expressos
pela eq.(4.3).
( )
1
3
ack
c e
cmo
f f
E
f
α
 + ∆
= ⋅ 
 
( )210000 bsE MPa=
(4.3)
sendo:
4
2,15 10ea MPa= ×
8f MPa∆ =
10cmof MPa=
44..22..11 SSeeççããoo ttrraannssvveerrssaall
Neste exemplo foi verificada a segurança da seção transversal submetida à
flexão pura. A seção transversal tem medidas de 100 cm de largura e 18 cm de altura,
com cobrimento da armadura de 2,5 cm. Não foi considerada armadura de compressão
na seção.
Os valores das resistências características dos materiais foram de
25 MPa (C25) para o concreto à compressão e de 500 MPa (CA-50) para o aço. A
segurança da seção transversal crítica é mostrada na Figura 4.1.

Figura 4.1 – Segurança da seção transversal – flexão simples.
Assumindo os valores médios para a resistência dos materiais, a influência da
taxa de armadura é bastante considerável, de maneira que a segurança da seção
transversal varia entre 1,15 e 1,30 para valores da profundidade da linha neutra (LN)
entre os domínios 2 e 3. A segurança da seção aumenta consideravelmente a partir da
taxa de armadura de 1,5% . Nos domínios 2 e 3, a segurança da seção transversal
permanece praticamente constante e igual a 1,27 ( 1,27ST
γ = ) considerando os valores
de referência para a resistência dos materiais, o que satisfaz a consideração do
coeficiente global de segurança.
Percebe-se uma pequena variação na segurança da seção quando a
profundidade da linha neutra passa para o domínio 4, domínio no qual não é
recomendado para o dimensionamento de peças de concreto, por permitir a ocorrência
de ruptura frágil dos materiais.
44..22..22 PPllaaccaa bbiiaappooiiaaddaa –– WWiitttteekk ee MMeeiisswwiinnkkeell ((22000000))
Neste exemplo foi analisada uma placa apoiada em duas extremidades,
estudada por Wittek e Meiswinkel (2000). A placa biapoiada está submetida à carga
uniformemente distribuída, sendo que sua seção transversal tem 100 cm de largura e
18 cm de altura, como mostra a Figura 4.2.

(kN/m )q=γg.G + γq.Q = 13,58 2
Medidas em cm
Figura 4.2 – Placa biapoiada – Wittek e Meiswinkel (2000).
Dimensionou-se a estrutura em regime elástico-linear atendendo ao ELU,
utilizando a rotina de cálculo desenvolvida pelo autor no software MathCad. Foram
considerados os valores dos coeficientes ponderadores das resistências dos materiais
segundo o CEB-FIP MC90, sendo 1,5cγ = (concreto) e 1,15sγ = (aço). Os valores das
resistências características à compressão do concreto de 25 MPa e à tração do aço de
500 MPa.
a) Regime elástico-linear
42,44dM kNm m= ; 18 15h cm d cm= → =
portanto, 2
7,05sA cm=
O coeficiente de segurança da seção transversal ST
u
d
M
M
γ = 
 
foi de
1,18ST
γ = considerados os valores médios e 1,27ST
γ = para os valores de referência,
praticamente os mesmos valores encontrados por Wittek e Meiswinkel (2000), que
foram de 1,19 (valores médios) e 1,27 (valores de referência). Os valores médios e de
referência da resistência dos materiais utilizados pelos referidos autores neste exemplo
estão expressos na eq.(4.2).
b) Regime não-linear físico
Nesta análise foi considerada a armadura dimensionada com o regime elástico-
linear, descrito acima. O elemento estrutural foi discretizado em 13 nós e 12 elementos,
com maior discretização na região de momento máximo, com seção transversal
estratificada em 10 camadas, como mostra a Figura 4.3.

(1) (2) (3) (4) (5) (7) (9) (10) (11) (12) (13)(6) (8)
z
X
... ... ...
Medidas em cm
Figura 4.3 – Discretização da placa biapoiada e estratificação da seção transversal.
Os resultados das análises são apresentados nas figuras seguintes considerando
os valores médios e de referência das resistências dos materiais. A Figura 4.4 mostra as
curvas do fator de carga ( )qλ ⋅ versus deslocamento da estrutura no meio do vão,
considerando os valores médios e de referência da resistência dos materiais. Os
incrementos de carga atribuídos na análise não-linear foram definidos nos gráficos
como fator de carga ( )λ . Quando for atribuído o carregamento total, para o qual a peça
foi dimensionada, o fator de carga é igual a 1 ( )1,0λ = ; quando ultrapassar este valor,
indica que a estrutura está suportando um maior carregamento do que o inicialmente
projetado, tendo com isso uma reserva de carga.
Figura 4.4 – Fator de carga vs. deslocamento – análises com valores médios e de referência.
Percebe-se que as análises com o programa ANPAV proporcionaram
resultados semelhantes aos da referência utilizada, Wittek e Meiswinkel (2000),
indicando que pode ser utilizado para análises de outros elementos. Porém, ocorreu uma
pequena diferença após a fissuração da peça de concreto, com menores deslocamentos

nas análises realizadas com o programa ANPAV, provavelmente em virtude do modelo
considerado no programa contemplar a contribuição do concreto íntegro entre fissuras.
A Figura 4.5 mostra, em detalhes, os resultados das análises realizadas neste
trabalho comparado-os com os de Wittek e Meiswinkel (2000). Os valores dos
coeficientes globais da estrutura foram os mesmos encontrados pelos autores, sendo
1,21uλ = para os valores médios e 1,28uλ = com os valores de referência das
propriedades dos materiais.
(a) (b)
Figura 4.5 – Fator de carga vs. deslocamento: a) análise com valores médios e b) análise com valores de
referência.
Na Figura 4.6 são mostrados apenas os resultados da análise desta
investigação. O valor do fator de carga último considerando os valores médios foi de
1,21uλ = , enquanto para os valores de referência foi de 1,28uλ = , praticamente iguais
aos das análises do coeficiente de segurança da seção transversal, que foram de
1,18ST
γ = e 1,27ST
γ = , respectivamente.

Figura 4.6 – Fator de carga vs. deslocamento – análises com valores médios e de referência realizadas no
presente trabalho.
Como a placa biapoiada é uma estrutura isostática, resultando um único estado
de equilíbrio, os valores dos coeficientes de segurança ficaram bastante próximos aos da
análise não-linear física e da verificação da seção resistente, como era esperado.
44..22..33 VViiggaa ccoonnttíínnuuaa ccoomm ddooiiss vvããooss -- WWiitttteekk ee MMeeiisswwiinnkkeell ((22000000))
Neste exemplo foi analisada a viga contínua com dois vãos estudada por
Wittek e Meiswinkel (2000). A viga contínua está submetida à carga uniformemente
distribuída, com seção transversal de 20 cm de largura e 70 cm de altura, como mostra a
Figura 4.7.
q=γg.G + γq.Q = 81,00 (kN/m)
Medidas em cm
Figura 4.7 – Viga contínua com dois vãos – Wittek e Meiswinkel (2000).

Foram utilizadas as mesmas armaduras empregadas pelos autores Wittek e
Meiswinkel (2000). Nesta estrutura foi considerada a redistribuição dos esforços
solicitantes. Dessa forma, ocorreu uma redução do momento fletor no apoio central e,
conseqüentemente, um aumento dos momentos nos vão da estrutura para que ocorresse
equilíbrio da estrutura.
As disposições das armaduras estão mostradas na Figura 4.8, sendo a armadura
da face inferior disposta ao longo de todo o elemento e a armadura na face superior,
junto ao apoio. As resistências características à compressão do concreto e à tração do
aço foram de 25 MPa (C25) e 500 MPa (CA-50), respectivamente.
Medidas em cm
As
As
-
As
Figura 4.8 – Disposições das armaduras na viga contínua.
As armaduras das seções transversais têm área de 2
19,70sA cm−
= para o
momento negativo – junto ao apoio e 2
16,60sA cm= nos vãos do elemento. Com os
valores das áreas das armaduras longitudinais foram calculados os coeficientes de
segurança das seções críticas transversais ( )ST
γ (vão e apoio) utilizando o programa de
verificação de seção resistente desenvolvido pelo autor no software MathCad, cujos
valores são mostrados na Tabela 4.1.
Tabela 4.1 – Segurança das seções transversais críticas da viga contínua.
Apoio Vão
Caso
VM VR VM VR
Presente trabalho 1,15 1,26 1,27 1,27
Wittek e Meiswinkel (2000) 1,17 1,25 1,25 1,27
VM – Valores médios
VR – Valores de referência

Os valores dos coeficientes de segurança das seções transversais críticas foram
praticamente iguais aos valores encontrados pelos autores.
As análises, considerando a não-linearidade física, foram realizadas e
comparadas com as da referência citada, alterando-se os valores da resistência dos
materiais (médio e de referência). Os módulos de elasticidade longitudinal tangente do
concreto e do aço foram calculados de acordo com a eq.(4.3).
A viga contínua foi discretizada em 31 nós e 30 elementos e a seção transversal
estratificada em 10 camadas, Figura 4.9. Está sendo mostrado apenas um vão da viga,
por ter sido utilizada a sua simetria, diminuindo com isso o tempo de processamento.
(1)
z
(2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16)X
... ... ...
Medidas em cm
Figura 4.9 – Discretização da viga contínua e estratificação da seção transversal.
Os resultados das análises são apresentados nas figuras seguintes, considerando
os valores médios e de referência das resistência dos materiais. As análises realizadas
com o programa ANPAV (modificado) proporcionaram bons resultados para a viga
hiperestática comparando-os com os de Wittek e Meiswinkel (2000), tanto para os
valores médios quanto para os valores de referência da resistência dos materiais, como
mostra a Figura 4.10.

Figura 4.10 – Fator de carga vs. deslocamento – análises com valores médios e de referência.
Na Figura 4.11(a) e Figura 4.11(b) são mostrados em detalhe os resultados das
análises, para melhor visualização, comparando-os com os da referência citada
considerando os valores médios e de referência. Os resultados foram praticamente
iguais ao longo de todos os incrementos de carga.
(a) (b)
Figura 4.11 – Fator de carga vs. deslocamento: a) análise com valores médios e b) análise com valores de
referência.
A Figura 4.12 mostra os resultados do presente trabalho. O fator de carga foi
maior que o valor do coeficiente de segurança da seção transversal, tanto para valores

médios ( 1,48 1,27STuλ γ= > = ) quanto para os valores de referência
( 1,52 1,27STuλ γ= > = ). As análises realizadas indicam a segurança da estrutura para a
quantidade de armadura longitudinal considerada. Os esforços solicitantes no apoio
ainda podem ser reduzidos empregando-se a redistribuição dos esforços e conseqüente
redução da taxa de armadura neste apoio; entretanto, faz-se necessária a inclusão de
verificações adicionais, tais como fissuração e capacidade máxima da rótula plástica,
que serão mostradas nos exemplos seguintes.
Figura 4.12 – Fator de carga vs. deslocamento – análises com valores médios e de referência realizadas no
presente trabalho.
O escoamento da armadura ocorreu primeiro no apoio, Figura 4.12, em virtude
da redistribuição do momento fletor (diminuindo o momento no apoio e aumentando no
vão), como era de se esperar. Esta informação é obtida no arquivo de saída de resultados
fornecida pelo programa ANPAV. Desta forma, ocorreu redução da taxa geométrica de
armadura negativa e aumento da positiva. Aumentado-se o carregamento, ocorreu o
escoamento da armadura no vão e, posteriormente, foi formada a segunda rótula
plástica, agora no vão. Assim, a estrutura se tornou hipostática, chegando ao colapso
com escoamento do aço e ruptura do concreto no apoio e no vão.

44..33 EExxeemmppllooss aapplliiccaaddooss àà NNBBRR 66111188::22000033
Nos exemplos seguintes foram utilizados os parâmetros recomendados pela
NBR 6118:2003, porém, com a consideração do diagrama tensão-deformação proposto
pelo CEB-FIP MC90 para o concreto e o diagrama tensão-deformação para o aço, como
um comportamento elastoplástico perfeito, com deformação última 0
0010suε = .
A NBR 6118:2003 considera a resistência característica inferior do concreto
como aquele valor que tem apenas 5% de probabilidade de não ser atingindo. Assim, a
NBR 12655:1996 sugere que o valor médio da resistência do concreto possa ser
expresso pela eq.(4.4).
1,65cm ck df f s= + ⋅ (4.4)
sendo:
cmf resistência média à compressão;
ckf resistência característica à compressão;
ds desvio-padrão.
Quando não for realizado ensaio laboratorial, o desvio padrão pode ser adotado
em função da condição de preparo do concreto. De acordo com a NBR 12655:1996 para
condição A∗
, o desvio padrão é de 4,0MPa . Porém, não se tem recomendação alguma
para o aço. No presente trabalho, será adotada a proposta de Oliveira (2001) que
considera a resistência média do aço igual à resistência característica. Esta proposta
torna-se condizente em virtude da invariabilidade do módulo de deformação
longitudinal do aço e resistência com pequeno desvio-padrão. Oliveira (2004) em
ensaios laboratoriais de barras ( )5,0 12,5φ φ− encontrou resultados de resistência média
de escoamento bem maiores que os valores das resistências características estabelecidas
pelas NBR 6118:2003 e NBR 7480:1996.
O carregamento considerado nos exemplos é composto apenas por cargas
uniformemente distribuídas, com parcela permanente de 25,00 kN m e variável de
∗
Condição A – aplicável às classes C10 até C80, o cimento e os agregados são medidos em massa, a água
de amassamento é medida em massa ou volume com dispositivo dosador e corrigida em função da
umidade dos agregados.

5,00 kN m . A composição dos carregamentos de cálculo para as análises dos ELU e
ELS, as combinações de ações e os fatores de combinação estão resumidos na Tabela
3.3 e Tabela 3.2, do capítulo anterior deste trabalho. Os valores para os respectivos
estados de verificação são mostrados a seguir. Na eq.(4.6) utiliza-se a combinação
quase-permanente e na eq.(4.7) a combinação freqüente, ambas para a verificação dos
ELS.
ELU: , 1,4 25 1,4 5,0d uF = ⋅ + ⋅
, 42,00 kNd uF m= (4.5)
ELS (CQP): , 1,0 25 0,3 5,0d serF = ⋅ + ⋅
, 26,50 kNd uF m= (4.6)
ELS (CF): , 1,0 25 0,4 5,0d serF = ⋅ + ⋅
, 27,00 kNd uF m= (4.7)
Nas análises não-lineares, os módulos de elasticidade longitudinais dos
materiais e a resistência à tração média do concreto considerada pela NBR 6118:2003,
estão expressos na eq.(4.8).
Considerou-se, também, a armadura de porta estribos ( )2 6,30mmφ e
cobrimento da armadura de 2,5 cm, adequado para a classe de agressividade ambiental
tipo I (CAA I).
1
2
5600c ckE f= ⋅
210000sE MPa=
2
3
, 0,3ct m ckf f= ⋅
(4.8)

44..33..11 VViiggaa bbiiaappooiiaaddaa
A viga biapoiada com seção transversal de 15 cm de largura e 50 cm de altura
submetida a carga uniformemente distribuída é mostrada na Figura 4.13. Esse exemplo
foi originalmente estudado por Oliveira (2001).
q=γg.G + γq.Q (kN/m)
Medidas em cm
Figura 4.13 – Viga biapoiada.
A viga biapoiada foi dimensionada em regime elástico-linear atendendo ao
ELU, utilizando programa elaborado pelo autor no software MathCad considerando o
valor do carregamento distribuído expresso pela eq.(4.5). Os coeficientes ponderadores
das resistências dos materiais foram 1,4cγ = (concreto) e 1,15sγ = (aço). Foram
considerados os valores das resistências características do concreto à compressão de
30 MPa e à tração para o aço de 500 MPa.
a) Regime elástico-linear
189,00dM kN m= ⋅ ; 50 47h cm d cm= → =
portanto, 2
11,59 Domínio 3sA cm= →
A verificação da seção resistente e as análises não-lineares foram realizadas
com as resistências médias, de referência e de cálculo dos materiais, expressas na
Tabela 4.2.

Tabela 4.2 –Resistência dos materiais.
Média Referência Cálculo
Material
Expressão
Valor
(MPa)
Expressão
Valor
(MPa)
Expressão
Valor
(MPa)
Concreto 1,65ck df s+ ⋅ 36,60 0,85 ckf⋅ 25,50
1,4
ckf 21,43
Aço ykf 500,00 1,035 ykf⋅ 517,50
1,15
ykf
434,78
O coeficiente de segurança da seção transversal ST
u
d
M
M
γ = 
 
foi de
1,24ST
γ = considerando os valores médios e 1,19ST
γ = para os valores de referência.
b) Regime não-linear
Nesta análise foi considerada a armadura dimensionada com o regime elástico-
linear, mostrado acima. A viga foi discretizada em 15 nós e 14 elementos, com maior
densidade na região de momento máximo e seção transversal estratificada em 10
camadas, como mostra a Figura 4.14.
X
z
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (11) (12) (13) (14) (15)(7) (8) (9) (10)
... ... ...
Medidas em cm
Figura 4.14 – Discretização da viga biapoiada e estratificação da seção transversal.
Os resultados das análises são apresentados na Figura 4.15 considerando os
valores médios, de referência das propriedades dos materiais e com a proposta de
dimensionamento apresentada neste trabalho. Observe-se que 1,0λ = corresponde a
42,00 kNq m= . No caso, a obtenção de 1,0λ > na análise não-linear indica a
existência de uma reserva de segurança teórica.

Figura 4.15 – Fator de carga vs. deslocamento no meio do vão da viga biapoiada.
A Figura 4.15 mostra as curvas do fator de carga ( )qλ ⋅ versus deslocamento
da viga biapoiada no meio do vão. O valor último do fator de carga, considerando os
valores médios das resistência dos materiais, foi de 1,24uλ = , representando um
acréscimo de 24% no valor do carregamento para o regime elástico-linear, enquanto
para os valores de referência o fator de carga último foi de 1,21uλ = , suportando 21% a
mais da carga original. Observe-se que esses resultados são praticamente iguais aos
valores das análises do coeficiente de segurança da seção transversal.
O fator último de carga considerando a proposta de dimensionamento deste
trabalho – consideração dos valores médios da resistência dos materiais e limitando-os
nos valores de projeto – foi de 1,00uλ = satisfazendo ao ELU, Figura 4.15.
Percebe-se que o elemento estrutural, quando considerada a proposta de
dimensionamento, representou a rigidez de forma adequada, ou seja, com valores
praticamente iguais aos médios, o que é desejável. As pequenas alterações ocorrem nas
proximidades do fim do carregamento, pois o modelo proposto atende às condições de
dimensionamento, isto é, limita as tensões aos valores de projeto das resistências. Essa
transição do valor médio ao valor de projeto se dá de forma suave e consistente. Assim,
percebe-se que esta proposta contempla simultaneamente as verificações do ELU e do
ELS em comportamento não-linear.

Para confirmar que esta proposta de dimensionamento satisfaz também ao ELS
foram verificados estes estados quanto a deformação excessiva e aberturas de fissuras.
A verificação das flechas para o ELS (combinação quase permanente – CQP),
conforme valor da eq.(4.6), foi realizado no regime não-linear avaliando a proposta de
dimensionamento feita neste trabalho e, de forma simplificada, como prescreve a
NBR 6118:2003. Na análise não-linear física a flecha foi determinada tanto para o
instante do carregamento quanto para o carregamento ao longo do tempo, considerando
o efeito da fluência do concreto.
A flecha elástica máxima, segundo a Resistência dos Materiais para uma viga
biapoiada, é expressa pela eq.(4.9). As expressões para o cálculo da rigidez equivalente,
bem como da flecha diferida no tempo segundo a norma brasileira NBR 6118:2003
estão mostrados no capítulo 3 deste trabalho.
( )
4
5
384
o
eq
q L
a
EI
⋅
= ⋅ (4.9)
Os resultados das flechas imediatas e finais estão mostrados na Tabela 4.3.
Tabela 4.3 – Flechas da viga biapoiada.
Valor (cm)
Flecha
Análise não-linear NBR 6118:2003
Imediata 1,54 1,57
Final 2,32 3,58
A flecha final é o somatório da flecha imediata (instante da aplicação do
carregamento) e a flecha diferida no tempo. A flecha imediata na análise não-linear foi
bastante próxima à calculada com os quesitos da NBR 6118:2003.
O valor da flecha final, considerando um tempo de recorrência para a avaliação
da flecha diferida de 70 meses, calculada segundo a prescrição normalizada, não satisfez
a flecha limite para aceitabilidade sensorial estabelecido pela NBR 6118:2003 para
elementos estruturais de concreto armado ( )250 2,40L cm= . Assim os valores das
dimensões da seção transversal ou armaduras longitudinais deveriam ser alterados ou
poderiam ser utilizadas contra-flechas para satisfazer a este critério.

Na análise não-linear, foi feito um novo processamento no programa ANPAV,
considerando agora o valor do coeficiente de fluência de ( , ) 1,84t toϕ = para o mesmo
tempo de recorrência (70 meses), em que a flecha final resultou em 2,32 , Tabela 4.3.
Portanto, satisfazendo o limite de aceitabilidade sensorial estabelecido pela
NBR 6118:2003.
A verificação da abertura característica de fissuras para o ELS (combinação
freqüente – CF) foi realizada segundo as prescrições da NBR 6118:2003. As expressões
e os limites de abertura máxima de fissuras foram mostrados no capítulo 3 deste
trabalho. Foi desenvolvida uma rotina no software MathCad para verificação de
aberturas de fissuras. Na análise numérica considerou-se 16,00 mmφ = para as
armaduras longitudinais tracionadas dispostas em duas camadas e classe de
agressividade ambiental tipo I (CAA I); assim, a abertura máxima de fissuras no vão
para a viga biapoiada foi de 0,11 mm. A NBR 6118:2003 recomenda uma abertura
máxima de fissuras de 0,40 mm para a classe de agressividade tipo I. Desta forma, a
abertura máxima das fissuras encontradas para a viga biapoiada satisfez a prescrição
normalizada ( 0,11 0,40ap kw w mm= ≤ = ).
44..33..22 VViiggaa aappooiiaaddaa--eennggaassttaaddaa
A viga apoiada-engastada com seção transversal de 15 cm de largura e 50 cm
de altura, submetida à carga uniformemente distribuída, é mostrada na Figura 4.16.
Medidas em cm
(kN/m)q=γg.G + γq.Q
Figura 4.16 – Viga apoiada-engastada.
A viga foi dimensionada em regime elástico-linear atendendo ao ELU
utilizando o programa no software MathCad considerando o valor do carregamento
distribuído expresso pela eq.(4.5). Adotaram-se os valores das resistências

características à compressão do concreto de 30 MPa e resistência característico à tração
do aço de 500 MPa.
a) Regime elástico-linear sem redistribuição
a.1) Vão
106,30dM kN m= ⋅ ; 55 51h cm d cm= → =
portanto, 2
a.2) Engaste
189,00dM kN m= ⋅ ; 55 51h cm d cm= → =
portanto, 2
As armaduras longitudinais principais foram arranjadas conforme a Figura
4.17, sendo a armadura da face inferior disposta na região de momento positivo e a
armadura na face superior disposta na região de momento negativo junto ao engaste.
Sob o ponto de vista prático, parte da armadura inferior deveria ser prolongada até o
apoio. Isso não foi considerado no exemplo, por não modificar os conceitos envolvidos.
As
Medidas em cm
-
As
Figura 4.17 – Disposições das armaduras na viga apoiada-engastada.
Os coeficientes de segurança das seções transversais críticas (engaste e vão) e
as análises não-lineares, foram realizadas com as resistências médias, de referência e de
cálculo dos materiais, expressas na Tabela 4.2. A seção do engaste teve coeficiente de
segurança da seção transversal de 1,22 (valores médios) e 1,19 (valores de referência),
enquanto a seção crítica do vão de 1,18 (valores médios) e 1,19 (valores de referência).

b) Regime não-linear sem redistribuição
Nas análises não-lineares a viga foi discretizada em 17 nós e 16 elementos,
com maior discretização nas regiões de maiores momentos (vão e engaste), sendo a
seção transversal estratificada em 10 camadas, Figura 4.18.
(17)(15)(14)(4)(3)(2)(1)
z
X(5) (6) (7) (8) (9) (10) (16)(11) (12) (13)
...... ...
Medidas em cm
Figura 4.18 – Discretização da viga apoiada-engastada e estratificação da seção transversal.
Os resultados das análises estão ilustrados na Figura 4.19 considerando os
valores médios, de referência e a proposta de dimensionamento deste trabalho.
A Figura 4.19 mostra as curvas do fator de carga (λ ) versus deslocamento no
vão da viga apoiada-engastada. O fator de carga igual a 1,0 indica que a carga original,
neste caso majorada ( 42,00 kNq m= ), foi totalmente aplicada à estrutura; caso este
fator seja maior que 1,0, representa que a estrutura ainda tem reserva de capacidade
resistente teórica, desse modo, absorvendo maiores cargas que a originalmente
projetada.
Figura 4.19 – Fator de carga vs. deslocamento no vão da viga apoiada-engastada sem redistribuição.

Os fatores de carga foram maiores do que os coeficientes de segurança das
seções transversais críticas tanto para os valores médios ( 1,26uλ = ) quanto para os de
referência ( 1,25uλ = ) das resistências dos materiais. Como a viga apoiada-engastada é
hiperestática já era esperada a diferença entre os coeficientes de segurança da seção
transversal e da estrutura. Isto ocorre pelo fato das forças internas serem determinadas
simultaneamente pelas condições de equilíbrio e de compatibilidade.
O fator de carga empregando a proposta de dimensionamento deste trabalho foi
de 1,07uλ = , satisfazendo ao ELU. Percebe-se que o elemento estrutural, quando
considerada a proposta de dimensionamento, representou a rigidez de forma adequada,
ou seja, com valores praticamente iguais aos médios, o que é desejável. Com pequenas
alterações nas proximidades do fim do carregamento, pois o modelo proposto atende às
condições de dimensionamento. Neste caso, viga hiperestática, a proposta mostrou,
mesmo que pequena (7%), uma reserva de carregamento. Confirmando que esta
proposta contempla simultaneamente as verificações do ELU e do ELS em
comportamento não-linear.
Os esforços solicitantes das análises não-lineares com o programa ANPAV
estão mostrados na Tabela 4.4 para as três verificações realizadas. Percebe-se que os
momentos fletores foram todos maiores que os valores correspondentes ao regime
elástico-linear.
Tabela 4.4 – Momentos fletores máximos na viga apoiada-engastada sem redistribuição para análise não-
linear.
Momento fletor máximo( )kN m⋅
Resistência dos materiais
Vão Engaste
Regime elástico-linear 106,30 189,00
Valores médios 126,30 243,00
Valores de referência 128,50 241,80
Proposta de dimensionamento 116,60 198,70
Entretanto, devem ser verificados os ELS quanto à deformação excessiva da
viga e aberturas de fissuras. A verificação das flechas para o ELS (combinação quase
permanente - CQP), conforme valor da eq.(4.6), foi realizado no regime não-linear,

avaliando-se a proposta de dimensionamento feita neste trabalho e de forma
simplificada como prescreve a NBR 6118:2003.
A flecha elástica máxima, segundo a Resistência dos Materiais para a viga
apoiada-engastada, é expressa pela eq.(4.10). As expressões para o cálculo da rigidez
equivalente, bem como das flechas imediata e diferida no tempo segundo a norma
brasileira estão mostradas no capítulo 3 deste trabalho.
( )
4
5
72 3
o
eq
q L
a
EI
⋅
= ⋅
⋅
(4.10)
Os resultados das flechas imediatas e finais estão na Tabela 4.5.
Tabela 4.5 –Flechas da viga apoiada-engastada.
Valor (cm)
Flecha
Imediata 0,59 1,20
Final 0,89 2,74
A flecha imediata na análise não-linear foi bem menor, praticamente a metade
do valor considerando a rigidez equivalente estabelecida por norma. O valor da flecha
final, Tabela 4.5, considerando um tempo de recorrência de 70 meses para o cálculo da
flecha diferida no tempo e do coeficiente de fluência ( )( , ) 1,84t toϕ = , não satisfez o
limite de aceitabilidade sensorial estabelecido pela NBR 6118:2003
( )250 2,40L cm= , quando verificado com as suas prescrições. No entanto, em um
novo processamento para a análise não-linear com o programa ANPAV considerando o
coeficiente de fluência ( )( , ) 1,84t toϕ = , este critério foi atendido.
A verificação da abertura máxima de fissuras para o ELS (combinação
freqüente – CF) foi realizada segundo as prescrições da NBR 6118:2003. Na análise
numérica considerou-se 16,0 mmφ = dispostas em duas camadas para as armaduras
longitudinais tracionadas e classe de agressividade ambiental tipo I (CAA I). O valor da
abertura máxima de fissuras foi de 0,21 mm no vão e 0,12 mm no engaste. A NBR
6118:2003 recomenda abertura máxima de fissuras de 0,40 mm para a classe de

agressividade especificada. Desta forma, as aberturas máximas das fissuras encontradas
para a viga apoiada-engatada com as respectivas armaduras transversais satisfizeram a
prescrição normativa.
Na análise acima não foi considerada a redistribuição dos esforços solicitantes.
Entretanto, a NBR 6118:2003 permite redução dos momentos fletores sobre os apoios
em até 10% para estruturas de nós moveis e 25% para outros casos.
A NBR 6118:2003 indica, ainda, que no caso de reduzir-se o momento fletor
de M para Mδ ⋅ em uma determinada seção transversal, a razão entre o coeficiente de
redistribuição ( )δ e a profundidade da linha neutra na seção ( )x
d
deve obedecer à
seguinte expressão.
( )
( )
0,44 1,25 35
0,56 1,25 35
ck
ck
x para f MPa a
d
x para f MPa b
d
δ
δ
≥ + ⋅ ≤
≥ + ⋅ >
(4.11)
A norma brasileira recomenda, ainda, que a posição da linha neutra, no ELU,
deve satisfazer os limites estabelecidos na eq.(4.12) para melhorar a ductilidade das
estruturas nas regiões de apoio das vigas ou de ligações com outros elementos
estruturais, mesmo quando não forem feitas redistribuições de esforços solicitantes.
( )
( )
0,50 35
0,40 35
ck
ck
x para f MPa a
d
x para f MPa b
d
≤ ≤
≤ >
(4.12)
Na seção do engaste, a profundidade da linha neutra foi de 20,03 cm , ou seja,
0,39 0,50x
d
= < satisfazendo a condição da eq.(4.12). De acordo com a eq.(4.11) o
coeficiente de redistribuição é de 0,93δ = , permitindo redistribuição dos esforços
solicitantes, ocorrendo uma redução do momento negativo de 7% .
A viga apoiada-engastada será dimensionada para os novos esforços
solicitantes provenientes da redistribuição.

c) Regime elástico-linear com redistribuição ( )0,93δ =
c.1) Vão
111,33dM kN m= ⋅ ; 55 51h cm d cm= → =
portanto, 2
c.2) Engaste
175,77dM kN m= ⋅ ; 55 51h cm d cm= → =
portanto, 2
d) Regime não-linear com redistribuição ( )0,93δ =
Na análise não-linear física, considerando a redistribuição dos esforços
solicitantes, as armaduras longitudinais principais foram dispostas da mesma forma que
no caso anterior, Figura 4.17, bem como a discretização da viga mostrada na Figura
4.18. Os resultados das análises estão ilustrados na Figura 4.20.
Figura 4.20 – Fator de carga vs. deslocamento no vão da viga apoiada-engastada com redistribuição.
Na Figura 4.20 percebe-se que os fatores de carga foram maiores que os
coeficientes de segurança da seção transversal. Os fatores de carga, considerando a
redistribuição dos esforços, foram iguais aos das análises sem redistribuição. Esperava-

se redução da margem de segurança (fator de carga) da estrutura pelo fato de ter sido
realizada a redistribuição dos esforços solicitantes; isto, porém, não aconteceu,
provavelmente, em virtude da baixa redistribuição dos esforços, no caso apenas 7% .
A Tabela 4.6 mostra os esforços solicitantes para as análises não-lineares
considerando a redistribuição. Os momentos fletores obtidos no regime não-linear
foram maiores que os calculados quando se utilizou a redistribuição dos esforços
solicitantes; sendo maiores, também, para todas as análises, sem considerar a
redistribuição – exceto para a proposta de dimensionamento de estados limites que ficou
bastante próximo do valor elástico no engaste.
Tabela 4.6 – Momentos fletores máximos na viga apoiada-engastada com redistribuição para análise não-
linear.
Vão Engaste
A flecha elástica máxima para uma viga apoiada-engastada é expressa pela
eq(4.10). Os resultados das flechas imediatas e finais estão mostrados na Tabela 4.7.
Tabela 4.7 – Flechas da viga apoiada-engastada com redistribuição ( )0,93δ = .
Valor (cm)
Flecha
Imediata 0,59 1,16
Final 0,89 2,66
O valor da fecha na análise não-linear considerando a redistribuição dos
esforços solicitantes, foi o mesmo para a análise sem considerar a redistribuição; não
houve variação em virtude da pequena redistribuição, satisfazendo o critério de
aceitabilidade sensorial estabelecido pela norma brasileira.

Na verificação da flecha, segundo as prescrições normativas, ocorreu pequena
variação, praticamente desprezível em relação à análise anterior. Nesta análise também
foi ultrapassado o limite máximo estabelecido pela NBR 6118:2003.
Para a verificação de abertura máxima de fissuras, as armaduras longitudinais
dispostas em duas camadas, com bitola das barras de 16,0 mmφ = , e classe de
agressividade ambiental tipo I (CAA I) – o valor da abertura máxima de fissuras foi de
0,19 mm no vão e 0,14 mm no engaste. Os valores foram menores que os
recomendados na NBR 6118:2003 que é de 0,40 mm para a classe de agressividade
especificada. Assim, as aberturas máximas das fissuras encontradas para a viga apoiada-
engatada, considerando redistribuição dos esforços solicitantes, satisfizeram a
prescrição normativa.
Os resultados das análises considerando ou não a redistribuição dos esforços
solicitantes estão mostrados na Tabela 4.8.
Tabela 4.8 – Resultados das análises com ou sem redistribuição dos esforços solicitantes da viga apoiada-
engastada.
Caso
Armaduras
( 2
cm )
Abertura de fissuras
kw - ( mm ) glγ
sA sA−
Vão Engaste
Sem redistribuição 5,25 10,19 0,21 0,12 1,07
Com redistribuição 5,52 9,32 0,19 0,14 1,07
Pelo fato da redistribuição dos esforços solicitantes ter sido pequena, apenas
7%, as diferenças nas áreas das armaduras também foram insignificantes. Nos dois
casos analisados, a estrutura mostrou-se segura e com reserva de carga, satisfazendo
tanto o ELU como o ELS.
As aberturas de fissuras apresentaram valores diferentes para os dois casos. A
situação mais desfavorável foi para o caso sem redistribuição dos esforços, com uma
abertura de 0,21 no vão em virtude da menor taxa de armadura em relação às demais
seções.

44..33..33 VViiggaa bbiieennggaassttaaddaa
A Figura 4.21 mostra a viga biengastada com seção transversal de 15 cm de
largura, 40 cm de altura e 600 cm de comprimento submetida a carga uniformemente
distribuída. Foi considerada altura inferior à do exemplo anterior objetivando estudar os
efeitos de plastificação no apoio.
q=γg.G + γq.Q (kN/m)
Medidas em cm
Figura 4.21 – Viga biengastada.
Foram considerados os mesmos valores característicos da resistência dos
materiais que os exemplos anteriores, com resistências características à compressão do
concreto de 30 MPa e à tração do aço de 500 MPa. O dimensionamento da viga no ELU
considerando o valor do carregamento distribuído de 42,00 kNq m= sem considerar a
redistribuição dos esforços solicitantes é mostrado a seguir.
a) Regime elástico-linear sem redistribuição
a.1) Vão
63,00dM kN m= ⋅ ; 40 37h cm d cm= → =
portanto, 2
a.2) Engaste
126,00dM kN m= ⋅ ; 40 37h cm d cm= → =
portanto, 2
A Figura 4.22 mostra a disposição das armaduras principais longitudinais da
viga biengastada. As armaduras na face superior foram dispostas nas regiões dos apoios,
e, conseqüentemente, as armaduras da face inferior nas regiões de momento positivo.

Sob o ponto de vista prático, parte da armadura inferior deveria ser prolongada até o
apoio. Isso não foi considerado no exemplo, por não modificar os conceitos envolvidos.
As
-
Medidas em cm
As
-
As
Figura 4.22 – Disposição das armaduras ao longo da viga biengastada.
Foram calculados os coeficientes de segurança das seções transversais críticas;
neste caso, na seção do engaste e do vão. O coeficiente de segurança na seção do
engaste foi de 1,26 , considerando os valores médios da resistência dos materiais, e 1,19
para os valores de referência. Na seção crítica do vão, o valor foi de 1,19 tanto para os
valores médios quanto para os valores de referência. As expressões e os respectivos
valores das resistência médias e de referência dos materiais são as mesmas mostradas na
Tabela 4.2.
b) Regime não-linear sem redistribuição
Nas análises não-lineares realizadas com o programa ANPAV, a viga foi
discretizada em 25 nós e 24 elementos, cujos elementos foram considerados com
comprimentos constantes de 25 cm cada, Figura 4.23. As seções transversais foram
estratificadas em 10 camadas.
Medidas em cm
...
X
z
(1) (2) (24) (25)
...... ...
Figura 4.23 – Discretização da viga biengastada e estratificação da seção transversal.
Na Figura 4.24 são mostrados os resultados das análises realizadas com as
propostas alternativas para verificação da segurança das estruturas de concreto armado.

Figura 4.24 – Fator de carga vs. deslocamento no vão da viga biengastada sem redistribuição.
Percebe-se que para o ELU as propostas satisfizeram tal verificação. Os fatores
de carga foram maiores que os coeficientes de segurança das seções transversais, tanto
para os valores médios quanto para os valores de referência das propriedades dos
materiais. Pelo fato da viga biengastada ser uma estrutura hiperestática, neste caso com
dois graus de hiperasticidade, os valores dos fatores de carga foram superiores aos do
coeficiente de segurança das seções críticas. Como explicado anteriormente, isto ocorre
em virtude das estruturas hiperestáticas terem várias configurações de equilíbrio e,
também, pelo fato das forças internas serem verificadas simultaneamente pelas
equações de equilíbrio e de compatibilidade nas várias seções críticas.
Na proposta de dimensionamento, o fator de carga foi de 1,04uλ = , indicando
que a estrutura suportou um acréscimo de 4% além da carga original prevista,
satisfazendo o ELU. Foram verificados, também, os estados limites de serviço para a
deformação excessiva da viga e aberturas de fissuras.
Os esforços solicitantes das análises não-lineares estão mostrados na Tabela
4.4 para as três verificações realizadas. Nos casos analisados, os momentos fletores das
seções críticas foram maiores que os do regime elástico-linear, menos na seção do apoio
quando se considerou a proposta de dimensionamento, apesar desta diferença ter sido
pequena, apenas 1,90% .

Tabela 4.9 – Momentos fletores máximos na viga biengastada sem redistribuição para análise não-linear.
Vão Engaste
Para a verificação dos ELS procedeu-se do mesmo modo que nos casos
anteriormente estudados. A combinação utilizada é a quase permanente – CQP com o
valor do carregamento descrito apresentado na eq.(4.6). As verificações foram feitas
com a proposta de dimensionamento e de forma simplificada como prescreve a
NBR 6118:2003.
De acordo com a Resistência dos Materiais a flecha elástica máxima para uma
viga biengastada é expressa pela eq.(4.13). As expressões para o cálculo da rigidez
equivalente e da flecha diferida no tempo prescrito pela NBR 6118:2003 já foram
apresentadas no capítulo 3.
( )
4
1
384
o
eq
q L
a
EI
⋅
= ⋅ (4.13)
Os resultados das flechas imediatas e finais estão na Tabela 4.10.
Tabela 4.10 – Flechas da viga biengastada.
Valor (cm)
Flecha
Imediata 0,55 1,08
Final 1,03 2,45
A flecha imediata na análise não-linear foi bem menor, praticamente a metade
do valor calculado com as prescrições estabelecidas pela norma brasileira. O valor da
flecha final, Tabela 4.10, com tempo de recorrência de 70 meses que resulta no

coeficiente de fluência de 1,84 ( )( , ) 1,84t toϕ = , não satisfez o limite estabelecido pela
NBR 6118:2003 ( )250 2,40L cm= quando verificada com as suas prescrições. No
entanto, em um novo processamento para a análise não-linear com o programa ANPAV
considerando o coeficiente de fluência ( )( , ) 1,84t toϕ = , este critério foi satisfeito.
A verificação de abertura máxima de fissuras, combinação freqüente (CF), foi
realizada segundo as prescrições da NBR 6118:2003 e considerada a mesma bitola
( )16,0 mmφ = e classe de agressividade ambiental (CAA I) dos exemplos anteriores. O
valor da abertura máxima de fissuras foi de 0,21 mm no vão e 0,11 mm no engaste,
satisfazendo a prescrição da NBR 6118:2003 que é de 0,40 mm para abertura máxima
de fissuras para a classe de agressividade considerada.
Nas análises referidas acima não foi considerada a redistribuição dos esforços
solicitantes. Entretanto, nas verificações seguintes foi introduzida a redistribuição dos
esforços.
Nos apoios, a profundidade da linha neutra foi de 19,81 cm ; com isso
0,54 0,50x
d
= > não satisfaz a condição da eq.(4.12) e, assim, não permite a análise
linear com redistribuição, pois 1,12δ = , conforme eq.(4.11).
Entretanto, a NBR 6118:2003 refere-se que pode ser adotada redistribuição
fora dos limites por ela estabelecidos, desde que a estrutura seja verificada mediante o
emprego de análise não-linear ou de análise plástica, com averiguação explícita da
capacidade de rotação de rótulas plásticas.
No exemplo da viga biengastada foram estipuladas diminuições dos momentos
fletores nos apoios de 12% e 25% ,ou seja, os coeficientes de redistribuição foram
0,88δ = e 0,75δ = .
c) Regime elástico-linear
Os momentos e armaduras provenientes da redução dos momentos são
mostrados na Tabela 4.11. As disposições das armaduras e discretização dos elementos
foram as mesmas consideradas no caso sem redistribuição, Figura 4.22 e Figura 4.23,
respectivamente.

Tabela 4.11 – Momentos fletores e armaduras da viga biengastada com redistribuição.
Apoios VãoCoeficiente
de
redistribuição
Momento fletor
( )kN m⋅
As
( )2
cm
Momento fletor
( )kN m⋅
As
( )2
cm
1,00δ = 126,00 10,08 63,00 4,34
0,88δ = 110,88 8,48 78,12 5,53
0,75δ = 94,50 6,94 94,50 6,94
d) Regime não-linear com redistribuição
Para as análises não-lineares considerou-se a mesma discretização e
estratificação da seção transversal do caso sem redistribuição, Figura 4.23. Os
resultados das análises são mostrados na Figura 4.25.
Nas análises com redução de 12% nos momentos dos apoios ( 0,88δ = ) as três
verificações satisfizeram o ELU da estrutura, apesar de proporcionar uma diminuição
nos fatores de carga e, portanto, uma diminuição em sua margem de segurança, Figura
4.25(a). Verifica-se que a proposta de dimensionamento resultou em um coeficiente
igual a 1,00, indicando que a carga inicialmente projetada foi absorvida pela estrutura.
Considerando um coeficiente de redistribuição de 0,75, Figura 4.25(b), as
propostas satisfizeram ao ELU, com exceção da proposta de dimensionamento que
resultou em um fator de carga de 0,93. Desse modo, para essa proposta podem ser
absorvidos apenas 93% da carga original.

(a)
(b)
Figura 4.25 – Fator de carga vs. deslocamento no vão da viga biengastada: a) com redistribuição de
0,88δ = e b) com redistribuição de 0,75δ = .
Nota-se que o comportamento da viga biengastada, quando considerada a
proposta de dimensionamento, representou a rigidez de forma adequada, ou seja, com
valores praticamente iguais aos médios até próximo a 70% da carga para as duas
análises, com coeficientes de redistribuição de 0,88δ = e 0,75δ = , o que é desejável.
As pequenas alterações ocorrem nas proximidades do fim do carregamento, pois o

modelo proposto atende às condições de dimensionamento, isto é, limita as tensões aos
valores de projeto das resistências.
Em vista das análises apresentadas foi possível concluir-se que a segurança da
estrutura depende do coeficiente de redistribuição: quanto maior a redistribuição dos
esforços solicitantes, menor o fator de segurança, como esperado.
Como comentando anteriormente, é obrigatória a verificação das rotações nas
rótulas plásticas, correspondentes aos mecanismos adotados, que não podem superar a
capacidade de rotação plástica das seções nos apoios. O limite estabelecido pela
NBR 6118:2003 em função da profundidade da linha neutra da seção para o momento
fletor considerado na rótula, deve ser determinado através da Figura 4.26, para razão
a
d
igual a 6. Para outras relações de a
d
, deve-se multiplicar os valores obtidos na
Figura 4.26 por
( )
6
a d
. Onde a é a distância entre pontos de momento nulo da
região que contém a seção plastificada, neste caso junto aos engastes.
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45
0
5
10
15
20
25
30
x
d
1000 plθ⋅
Figura 4.26 – Capacidade de rotação de rótulas plásticas, NBR 6118:2003 [adaptada].
Os limites da capacidade de rotação das rótulas plásticas, estabelecidos pela
NBR 6118:2003, estão mostrados na Tabela 4.12 para os dois casos de redistribuição
dos esforços solicitantes.
Ruptura pelo
concreto
Ruptura
pelo aço

Tabela 4.12 – Limite da capacidade de rotação da rótula plástica para os apoios.
Coeficiente de
redistribuição
Posição da linha
neutra( )x
d
,limplθ
( )3
10−
0,88δ = 0,45 6,70
0,75δ = 0,37 9,60
As rotações da rótula plástica para as análises considerando a não-linearidade,
estão mostradas na Tabela 4.13. Nesta verificação considerou-se o carregamento
elástico original, isto é, de fator de carga igual a 1,0. Nota-se que nas análises as
rotações foram menores que os limites estabelecidos pela NBR 6118:2003, satisfazendo
a verificação dos ELU.
Tabela 4.13 – Rotações das rótulas plásticas para as análises não-lineares.
Rotações plásticas - plθ ( )3
10−
Coeficiente de
redistribuição Valores médios
Valores de
referência
Proposta de
dimensionamento
0,88δ = 4,72 5,40 6,00
0,75δ = 4,80 5,70 5,60
No ELS a verificação de abertura máxima de fissuras, para combinação
freqüente (CF), foi realizada de acordo com as prescrições da NBR 6118:2003,
considerada a mesma bitola ( )16,0 mmφ = e classe de agressividade ambiental (CAA I)
dos exemplos anteriores. O valor das aberturas de fissuras para as três situações
analisadas, com ou sem redistribuição dos esforços solicitantes, constam da Tabela 4.14.

Tabela 4.14 – Aberturas de fissuras na viga biengastada.
Armaduras
( 2
cm )
Abertura de fissuras
kw - ( mm )
Coeficiente de
redistribuição
sA sA−
Vão Engaste
1,00δ = 4,34 10,08 0,22 0,11
0,88δ = 5,53 8,48 0,14 0,15
0,75δ = 6,94 6,94 0,09 0,21
Como pode ser observado, as maiores aberturas das fissuras ( )0,22 mm
aconteceram no vão sem a consideração de redistribuição dos esforços e no engaste de
( )0,21 mm com a consideração do coeficiente de redistribuição de 0,75. Essas aberturas
ocorreram em virtude da pequena taxa de armadura existente nas respectivas seções. As
aberturas de fissuras foram praticamente iguais na consideração do coeficiente de
redistribuição de 0,88, com menores valores de aberturas quer no vão quer no engaste
ao se comparar com os outros dois casos de redistribuição.
A proposta de dimensionamento, no qual o valor médio na relação tensão-
deformação teve as propriedades dos materiais limitadas ao valor de projeto,
proporcionou resultados bastante satisfatórios na verificação dos estados limites últimos
e estados limites de serviços, para os elementos submetidos à flexão analisados neste
trabalho. Percebe-se que o modelo proposto representa bem ao valor médio das
propriedades dos materiais em serviço e atende aos valores de projeto, para efeitos de
dimensionamento, além de permitir uma verificação explícita da capacidade de rotação
das rótulas plásticas, estando a favor da segurança em suas estimativas.

55 CCOONNCCLLUUSSÃÃOO EE SSUUGGEESSTTÃÃOO
55..11 SSoobbrree oo ttrraabbaallhhoo
Nas análises realizadas para o dimensionamento e verificação da capacidade
resistente das estruturas de concreto armado, essencialmente submetidas à flexão pura,
considera-se que os objetivos inicialmente propostos neste trabalho foram plenamente
atingidos.
Sabe-se que a necessidade de considerar valores médios para as propriedades
dos materiais na representação da rigidez e de valores reduzidos de projeto no
dimensionamento de peças de concreto armado, leva naturalmente a uma inconsistência,
ao se considerar a evolução do carregamento. Buscando superar o problema, foram
analisadas algumas alternativas de modelos para melhor representar o comportamento
das estruturas de concreto armado, que pudessem atender simultaneamente aos ELU e
ELS.
As alternativas analisadas consideraram os valores médios para a relação
tensão-deformação e para as resistências dos materiais, valores de referência que
permitem a composição de coeficientes globais de segurança independentemente da
ruptura ser provocada pelo esgotamento da capacidade resistente do aço ou do concreto
e uma terceira, em que se consideraram os valores médios para a relação tensão-
deformação até que as tensões atingissem os valores reduzidos de projeto, o que ocorre
nas etapas finais do carregamento. Esta última alternativa mostrou-se a mais adequada
Capítulo

Capítulo 5 – Conclusão e sugestão 84
em todos os casos analisados, constituindo-se na posposta estabelecida pelo presente
trabalho.
Em estruturas isostáticas, em que a configuração de equilíbrio é única, o
método dos coeficientes globais, em que se consideram os valores de referência para as
propriedades dos materiais, não produz inconsistências, pois há apenas uma seção
crítica a ser verificada. Nas estruturas hiperestáticas, em que há várias configurações
alternativas de equilíbrio, em virtude das possíveis redistribuições dos esforços
solicitantes, pode-se chegar a vários coeficientes globais de segurança, desse modo não
estabelecendo qual o valor a ser considerado. Entretanto, não se descarta seu emprego
para avaliação da segurança das estruturas, por ser uma metodologia que contempla um
único coeficiente global para toda a estrutura, independentemente da ruptura ser causada
pelo aço ou pelo concreto, o que constitui uma grande qualidade.
Com base nas análises realizadas, a proposta mais adequada para o
dimensionamento e verificação da segurança de peças de concreto por ter atendido
simultaneamente às verificações dos estados limites últimos e do estados limites de
serviço é a que considera os valores médios para a relação tensão-deformação dos
materiais, limitando as tensões atuantes aos valores reduzidos de resistência de projeto.
Neste trabalho ela foi denominada simplificadamente de proposta de dimensionamento.
No estudo de vigas isostáticas esta proposta mostrou-se satisfatória para a verificação de
ELU e ELS. No caso de estruturas hiperestáticas, em que se considera a redistribuição
dos esforços solicitantes há a necessidade de verificação explícita da capacidade de
rotação das rótulas plásticas, o que não inviabiliza a sua utilização. No presente trabalho
essa verificação foi feita posteriormente, com base nos resultados produzidos pelas
análises realizadas, embora pudesse ser embutida no modelo proposto.
55..22 SSuuggeessttããoo ppaarraa ttrraabbaallhhoo ffuuttuurrooss
Estender o presente estudo às lajes de concreto armado e às barras submetidas
à flexão composta.
Com o modelo estendido, estudar o comportamento de pavimentos de edifícios
de concreto armado, avaliando-se simultaneamente os ELU e ELS.
Estudar pórticos planos com introdução destas propostas para avaliar o
comportamento dos elementos quanto ao efeito de segunda ordem e sua influência na
capacidade de rotação de rótulas plásticas.

RREEFFEERRÊÊNNCCIIAASS
ABDEL-SAYED, S.I.; GARDER, N.J. (1975). Design of symmetric square slender
reinforced concrete columns under biaxially eccentric loads. ACI Symposium, Detroit,
p.149-164.
AHNER, C. (1999). Results of deterministic investigations of reinforced concrete
structures for the safety of non-linear calculations. (Leipzig Annual Civil
Engineering Report, 4). Disponível em:<http://www.uni-
leipzig.de/~massivb/institut/lacer/lacer04/l04_37.pdf>. Acesso em: 5 May 2004.
______. (2000). Reliability of slender columns. (Leipzig Annual Civil Engineering
Report, 5). Disponível em:<http://www.uni-
leipzig.de/~massivb/institut/lacer/lacer05/l05_35.pdf>. Acesso em: 5 May 2004.
AHNER, C.; TUE, N.V. (1997). A new safety format for the design of reinforced
concrete structures with non-linear behaviour of materials. (Leipzig Annual Civil
Engineering Report, 2). Disponível em:<http://www.uni-
leipzig.de/~massivb/institut/lacer/lacer02/l02_30.pdf >. Acesso em: 10 Apr. 2004.
ANG, A.H-S.; TANG, W.H. (1984). Probability concepts in engineering planning
and design. New York: John Wiley.
ASSAN, A.E. (1994). Análise não-linear de arcos de concreto armado. In:
CONGRESSO IBERO LATINO-AMERICANO SOBRE MÉTODOS
COMPUTACIONAIS PARA ENGENHARIA, 15., 1994, Belo Horizonte. Anais…
Belo Horizonte: CILAMCE. v.2, p.1386-1394.

Referências 86
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (1996). NBR 12655:
Concreto – preparo, controle e recebimento. Rio de Janeiro.
______. (2003). NBR 6118: Projeto de estruturas de concreto – procedimento. Rio de
Janeiro.
______. (2003a). NBR 8661: Ações e segurança nas estruturas - procedimento. Rio de
Janeiro.
BALLAROTI, C. (1981). Análise elastoplástica de pórticos planos retangulares.
Dissertação (Mestrado) – Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São
Paulo, São Carlos. 1981.
BAZANT, Z.P.; BHAT, P. (1976). Endochronic theory of inelasticity and failure of
concrete. Journal of Engineering Mechanics Division, New York, v.102, n.4, p.701-
722, Aug.
BERNARDO, T.R.R. (1999). Contribuição à análise da confiabilidade em
pavimentos de edifícios de concreto armado. Dissertação (Mestrado) – Escola de
Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos. 1999.
BRANSON, D.E. (1968). Design procedures for computing deflections. ACI
Structural Journal, Detroit, v.65, p.730-742, Sept.
CAMARA, J.; VINAGRE, J.; PINTO, A. (1994). Metodologia para verificação da
segurança em análises não-lineares. In: ENCONTRO NACIONAL BETÃO
ESTRUTURAL, 1994, Porto. Anais... Porto: FEUP. p.373-383.
CARVALHO, R.C.; FIGUEIREDO FILHO, J.R. (2004). Cálculo e detalhamento de
estruturas usuais de concreto armado. 2.ed. São Carlos: EdUFSCar.
CASTRO, L.A.; MALITE, M.; SÁLES, J.J. (1997). Introdução da segurança no projeto
de estruturas: método dos estados limites. In: JORNADAS SUL-AMERICANAS DE
ENGENHARIA ESTRUTURAL, 28., 1997, São Carlos. Anais... São Carlos:
Departamento de Engenharia de Estruturas/EESC/USP; Associação Sulamericana de
Engenharia Estrutural. v.3, p.1217-1226.

Referências 87
CHAVES, I.A. (2004). Otimização de pilares de concreto armado mediante
uniformização do índice de confiabilidade. Dissertação (Mestrado) – Escola de
CHEN, A.C.T.; CHEN, W.F. (1975). Constitutive equations and puch-indentation of
concrete. Journal of the Engineering Mechanics Division, New York, v.101, n.6,
p.889-906, Dec.
CEB BULLETIN D’INFORMATION (1990). Lausanne, n.203/204, July.
CEB BULLETIN D’INFORMATION (1995). Lausanne, n.227, Aug.
CORRÊA, M.R.S. (1991). Aperfeiçoamento de modelos usualmente empregados no
projeto de sistemas estruturais de edifícios. Tese (Doutorado) – Escola de
CRANSTON, W.R. (1982). Analysis of slender biaxially loaded restrained columns.
Cement and Concrete Association, Research report, London.
DRYSDALE, R.G.;HUGGINS, M.W. (1971). Sustained biaxial load on slender
concrete columns, ASCE, ST5, p.1423-1443.
EIBL, J.; SCHMIDT-HURTIENNE, B. (1995). General outline of a new safety format.
CEB Bulletin d’Information, Lausanne, n.229, p.33-48, Aug..
ELIGEHAUSEN, R.; FABRITIUS, E. (1991). Steel quality and static analysis. In:
COLLOQUIUM ON THE CEB-FIB MC90, 1991, Rio de Janeiro. Proceedings… Rio
de Janeiro: COPPE/UFRJ, p. 61-102.
EL-METWALLY, S.E.; EL-SHAHHAT, A.M.; CHEN, W.F. (1990). 3-D nonlinear
analysis of R/C slender columns. Computers & Structures, New York, v.37, n.5,
p.863-872.

Referências 88
FIGUEIRAS, J.A. et al. (1983). Ultimate load analysis of anisotropic and reinforced
concrete plates and shells. Swansea. Ph.D. Thesis, Depart. Of Civil Engeneering,
University College of Swansea.
FIGUEIRAS, J.A. et al. (1994). A consistent procedure for the design of concrete shell
structures. In: INTERNATIONAL CONFERENCE COMPUTER MODELLING OF
CONCRETE STRUCTURES, 1994, Innsbruck. Proceedings… Mumbles: Pineridge.
v.2, p.955-963.
FUSCO, P.B. (1976). Introdução ao projeto estrutural. São Paulo: McGraw-Hill do
Brasil.
______. (1985). Estruturas de concreto - introdução ao projeto estrutural. São Paulo:
Escola Politécnica/USP.
GOYAL, B.B.; JACKSON, N. (1975). Slender concrete columns under sustained load.
ASCE, ST11, p. 2751-2750.
GIONGO, J.S. (1990). Argamassa armada: dimensionamento de perfis submetidos à
flexão. Fundamentos e experimentação. Tese (Doutorado) – Escola de Engenharia de
São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos. 1990.
GRAUBNER, C.-A.; SIX, M. (1999). Consistent safety format for non-linear analysis
of concrete structures. In: EUROPEAN CONFERENCE ON COMPUTATIONAL
MODELING, 1999, Munich. Proceedings... Munich: ECCM. 1 CD-ROM.
HENRIQUES, A.A.R. (1991). Análise não-linear de estruturas planas de betão pré-
esforçado. Dissertação (Mestrado) – Faculdade de Engenharia, Universidade do Porto,
Porto. 1992.
______. (1998). Aplicação de novos conceitos de segurança no dimensionamento
do betão estrutural. Tese (Doutorado) – Faculdade de Engenharia, Universidade do
Porto, Porto. 1998.
HENRIQUES, A.A.R.; CALHEIROS, F.; FIGUEIRAS, J.A. (1994). A structural safety
approach applied to non-linear methods of analysis. In: INTERNATIONAL

Referências 89
CONFERENCE COMPUTER MODELLING OF CONCRETE STRUCTURES, 1994,
Innsbruck. Proceedings… Mumbles: Pineridge. v.2, p.975-986.
______. (2002). Safety format for the design for concrete frames. Engineering
Computations, Swansea, v.19, n.3, p.246-363.
KIM, J.K.; LEE, T.G. (1992). Nonlinear analysis of reinforced concrete beams with
softening. Computers & Structures, New York, v.44, n.3, p.567-573, July.
KÖNIG, G.; TUE, N.V.; AHNER, C. (1997). Consistent safety format. CEB Bulletin
d’Information, Lausanne, n.239, p.1-16, May.
KWARK, H.G.; FILIPPOU, F.C. (1997). Nonlinear fe analysis of R/C structures under
monotonic loads. Computers & Structures, New York, v.65, n.1, p.1-16, Oct.
LABBANE, M.; NRIPENDRA, K.S.; TING, E.C. (1993). Yield criterion and loading
function for concrete plasticity. International Journal Solids Structures, New York,
v.30, n.9, p.1269-1288.
LAGGERINI, M.R.C.; CAMPOS FILHO, A. (2004). Estado limite de serviço de
aberturas de fissuras em seções de concreto armado submetida à flexão simples. In:
JORNADAS SUDAMERICANAS DE INGENIERÍA ESTRUTURAl, 31., 2004,
Mendonza. Anais... Mendonza: IMERIS/Universidade de Cuyo/ASAEE. 1 CD-
ROOM.
LOPATIC, J.; SAJE, F. (1994). Modelling of elasto-plastic response of concrete
structures. In: INTERNATIONAL CONFERENCE COMPUTER MODELLING OF
CONCRETE STRUCTURES, 1994, Innsbruck. Proceedings… Mumbles: Pineridge.
v.2, p.765-774.
LOURENÇO, P.B.; PÓVOAS, R.H.C.F.; FIGUEIRAS, J.A. (1992). Compared study
of non-linear finite element analysis and the strut-and-tie model for concrete strutctures:
a designer perspective. In: INTERNATIONAL CONFERENCE ON EDUCATION,
PRACTICE AND PROMOTION OF COMPUTATIONAL METHODS IN
ENGINEERING USING SMALL COMPUTERS, 4., 1992, Dalian. Proceedings…
Dalian: Dalian University of Technology Press. p.660-667.

Referências 90
MACCHI, G. (1995). Non-linear analysis. CEB Bulletin d’Information, Lausanne,
n.229, p.7-12, Aug.
MACHADO, E.R.; FREITAS, M.S.R.; DINIZ, S.M.C. (2001). Avaliação da segurança
de vigas projetadas segundo a NBR 6118. In: CONGRESSO BRASILEIRO DO
CONCRETO, 43., 2001, Foz do Iguaçu. Anais... Foz do Iguaçu: IBRACON. 1 CD-
ROM.
MALITE, M.; GIONGO, J.S. (1999). Segurança nas estruturas em concreto armado. In:
SANCHEZ FILHO, E.S. (Org.). Normalização brasileira para o concreto
estrutural. Rio de Janeiro: Interciência. Cap.5, p.71-101
MOLLICA JÚNIOR, S. (1986). O uso da tela soldada no combate à fissuração. São
Paulo: IBTS.
NEVES, R.A. (2004). Desenvolvimento de modelos mecânico – probabilísticos para
estruturas de pavimentos de edifícios. Tese (Doutorado) – Escola de Engenharia de
São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos. 2004.
NGO, D.; SCORDELIS, A.C. (1967). Finite element analysis of reinforced concrete
beams. ACI Structural Journal, Detroit, v.64, n.3, p.152-163, Mar.
NILSON, A.H. (1968). Nonlinear analysis of reinforced concrete by the finite element
method. ACI Structural Journal, Detroit, v.65, n.9, p.757-766, Sept.
NOVOTNY, A.A. et al. (1994). Análise comparativa entre alguns procedimentos de
integração na espessura para problemas elastoplásticos em placas semi-espessas. In:
CONGRESSO IBERO LATINO-AMERICANO SOBRE MÉTODOS
COMPUTACIONAIS PARA ENGENHARIA, 15., 1994, Belo Horizonte. Anais…
Belo Horizonte: CILAMCE. v.2, p.1569-1579.
OLIVEIRA, R.S. (1997). Análise de pavimentos de edifícios de concreto armado
com a consideração da não-linearidade física. Dissertação (Mestrado) – Escola de
______. (2001). Análise de pavimentos de edifícios de concreto armado com a
consideração da não-linearidade física – modelagem e metodologia de aplicação a

Referências 91
projetos. Tese (Doutorado) – Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São
OLIVEIRA, W.L.A. (2004). Análise teórica e experimental de pilares de concreto
armado sob a ação de força centrada com resistência média à compressão do
concreto de 40 MPa. Dissertação (Mestrado) – Escola de Engenharia de São Carlos,
Universidade de São Paulo, São Carlos. 2004.
OWEN, D.R.J.; HINTON, E. (1980). Finite elements in plasticity: theory and
practice. Swansea: Pineridge Press.
PINTO, R.S. (2002). Análise não-linear das estruturas de contraventamento de
edifícios em concreto armado. Tese (Doutorado) – Escola de Engenharia de São
Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos. 2002.
PINTO, R.S.; RAMALHO, M.A.; CORRÊA, M.R.S. (1999). Consideração
simplificada da não-linearidade física no projeto de edifícios de concreto armado. In:
CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO, 41., 1999, Salvador. Anais...
Salvador: IBRACON.
PRADO, J.F.M.A.; GIONGO, J.S.S. (1997). Redistribuição de momentos fletores em
vigas de edifícios. In: JORNADAS SUL-AMERERICANAS DE ENGENHARIA
ESTRUTURAL, 28., 1997, São Carlos. Anais... São Carlos: Departamento de
Engenharia de Estruturas/EESC/USP; Associação Sulamericana de Engenharia
Estrutural. v.4, p.1555-1563.
PROENÇA, S.P.B. (1988). Sobre modelos matemáticos do comportamento não
linear do concreto: análise crítica e contribuições. Dissertação (Mestrado) - Escola de
RAMALHO, M.A. (1990). Sistema para análise de estruturas considerando
interação com o meio elástico. Tese (Doutorado) – Escola de Engenharia de São
Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos. 1990.
SAENZ, L.P. et al. (1964). Discussion of “equation for the stress-strain curve of
concrete” paper by P.Desayi; S.Krishnan. Journal of the american Concrete
Institute, Detroit, v.1, n.3/9, Mar./Sept.

Referências 92
SANCHES JÚNIOR, F. (1998). Cálculo de esforços e deslocamentos em pavimentos
de edifícios considerando-se modelos próprios para o concreto armado.
Dissertação (Mestrado) – Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São
SANTOS, L.M. (1983). Cálculo de concreto armado: segundo a nova NB-1 e o CEB.
2.ed. São Paulo: LMS. v.1.
SATHURAPPAN, G.; RAJAGOPALAN, N.; KRISHNAMOORTHY, C.S. (1992).
Nonlinear finite element analysis of reinforced and prestressed concrete slabs with
reinforcement (inclusive of prestressing steel) modelled as discrete integral components.
Computers & Structures, New York, v.44, n.3, p.575-584, July.
TUE, N.V. (1996). Relationship between the bearing capacity of cross section and
the bearing capacity of whole structure. (Leipzig Annual Civil Engineering Report,
1). Disponível em:<http://www.uni-
leipzig.de/~massivb/institut/lacer/lacer01/l01_21.pdf >. Acesso em: 5 May 2004.
WITTEK, U.; MEISWINKEL, R. (2000). Ultimate load design concept of RC
structures considerering cross-sectional safeties. In: ASCE SPECIALTY
CONFERENCE ON PROBABILISTIC MECHANICS AND STRUTURAL
RELIABILITY, 8., 2000. Proceedings… Disponível
em:<http://www.usc.edu/dept/civil_eng/johnsone/pmc2000/sessions/papers/p039.pdf>.
Acesso em: 10 June 2004.
WONG, K.W.; WARNER, R.F. (1999). Non-linear design of reinforced concrete
structures: safety considerations. In: EUROPEAN CONFERENCE ON
COMPUTATIONAL MECHANICS, 1999, Munich. Proceedings… Munich: ECCM.
1 CD-ROM.
ZAGOTIS, D. (1974). A introdução da segurança no projeto estrutural. Construção
Pesada, São Paulo, ano 4, n.36, p.22-25, jan.
ZIENCKIEWICZ, O.C.; VALLIAPAN, S.; KING, I.P. (1969). Elasto-plastic solutions
on engineering problems – ‘initial stress’ finite element approach. International
Journal for Numerical Methods in Engineering, London, v.1, n.1, p.75-100.

AA DDIIMMEENNSSIIOONNAAMMEENNTTOO DDEE SSEEÇÇÃÃOO
RREETTAANNGGUULLAARR EE DDOO TTIIPPOO ““TT””
AA..11 CCoonnssiiddeerraaççõõeess ggeerraaiiss
Neste apêndice estão expressas as equações empregadas no dimensionamento
de peças de concreto armado submetidas a esforços de flexão normal simples utilizadas
para implementar o programa computacional no software MathCad.
No dimensionamento, como o nome sugere, dados os esforços internos
solicitantes, procuram-se as dimensões da seção transversal e a armadura necessária.
Todo dimensionamento baseia-se em três tipos de equações: equações de equilíbrio, de
compatibilidade e constitutivas.
A seção encontra-se equilibrada quando os esforços resistentes contrapõem-se
aos esforços internos solicitantes, de modo tal que o conjunto forme um sistema
equivalente a zero. As equações de compatibilidade, no caso de estruturas de concreto
armado, baseiam-se na hipótese de NAVIER-BERNOULLI, afirmando que as
deformações são compatíveis entre si quando se distribuem linearmente ao longo da
altura da seção. Por fim, as equações constitutivas relacionam as tensões com as
deformações ou vice-versa, de acordo com os diagramas σ ε− dos materiais que
compõem a seção.
Apêndice

Apêndice A – Dimensionamento de seção retangular e do tipo “T” 94
No dimensionamento das seções retangulares e do tipo “T” considerou-se a
hipótese de distribuição parábola-retângulo de tensões de compressão para o concreto e
para o aço um diagrama bilinear com patamar de escoamento, Figura A.1.
ydf
σ
ε10‰
Εs
cε
σc
σcdcdσ
3,5‰
σc
cε2‰
(a) (b)
Figura A.1 – Diagramas tensão-deformação: a) concreto à compressão e b) aço.
Até o valor de deformação de 0
002cε = , a tensão no concreto ( )cσ varia
segundo uma parábola do 2o
grau, conforme eq. (A.1).
2
4
c
c cd c
ε
σ σ ε
 
= ⋅ − 
 
(A.1)
onde cε é dado em 0
00 , e cdσ é expresso pela eq.(A.2).
0,85cd cdfσ = ⋅ (A.2)
Para 0
002cε ≥ até o encurtamento convencional de ruptura 0
003,5cε = , cσ
permanece constante e igual a cdσ .
O programa de dimensionamento desenvolvido no software MathCad permite
que a seção retangular ou do tipo “T” possua ou não armadura dupla.
As figuras deste apêndice com as necessárias adaptações são SANTOS (1983).

AA..22 DDiimmeennssiioonnaammeennttoo ddee sseeççããoo rreettaanngguullaarr
A seção transversal, o diagrama de deformações e o diagrama de tensõs são
mostrados na Figura A.2.
Figura A.2 – Seção retangular, diagrama de deformações e tensões de compressão no concreto.
A distribuição de tensões na zona comprimida de concreto pode ter um
diagrama exclusivamente parabólico ou parábola-retângulo. Desse modo, tem-se dois
casos para efeito de estabelecer o equacionamento para o dimensionamento. Para tanto,
foram necessário considerar três casos:
1o
caso: correspondente ao sub-domínio 2a;
2o
caso: correspondente ao sub-domínio 2b;
3o
caso: correspondente aos domínios 3 e 4.
As expressões que governam estes casos são mostradas a seguir.
AA..22..11 CCáállccuulloo ddaa rreessuullttaannttee iinntteerrnnaa ddee ccoommpprreessssããoo ddoo ccoonnccrreettoo
ee sseeuu cceennttrroo ddee ggrraavviiddaaddee
AA..22..11..11 SSuubb--ddoommíínniioo 22aa
O diagrama de tensões de compressão do concreto é parabólico. Esta situação
ocorre quando 0
002cε ≤ simultaneamente com 0
0010stε = , estado limite último de
deformação plástica excessiva. Seja x a profundidade da linha neutra real e ν a

distância a ela de uma fibra genérica, onde atua a tensão 'cσ , como mostra a Figura
A.3.
cc cd
ε'cx
<
dν
ν
10‰
<
ν
σ'c
2‰
Figura A.3 – Diagrama de tensão e deformação do concreto no sub-domínio 2a.
As relações que governam tal comportamento são mostradas a seguir:
( )
( )
( )
2
0
' a
'
' ' b
4
' c
c c
c
c cd c
x
cc w c
x
R b d
ν
ε ε
ε
σ σ ε
σ ν
= ⋅
 
= ⋅ − 
 
= ⋅ ⋅∫
(A.3)
Substituindo as expressões acima e integrando, decorre o valor da resultante
interna de compressão do concreto em:
( )
( )
2
2
5 3 8
3
w cd
cc
b x d x
R
d x
σ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅
=
⋅ −
(A.4)
Verificando agora o centro de gravidade da área hachurada de modo a localizar
a posição de ccR em relação à profundidade da linha neutra, Figura A.4.

σ'c
ν
<
x
σc σcd
Rcc
z'G
zG
Figura A.4 – Centro de gravidade da força ccR : sub-domínio 2a.
As expressões para determinar a área hachurada e, conseqüentemente, o
centróide são mostrados a seguir:
( )
( )
( )
( )
2
2
' 0
5 3 8
a
3
'
b
cd
hachurada
x
cd
G
rachurada
x d x
A
d x
d
z
A
σ
σ ν ν
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅
=
⋅ −
⋅ ⋅
=
∫
(A.5)
Considerando as relações anteriores, na eq.(A.6) resulta o valor de 'Gz . Assim,
o centro de gravidade da resultante das forças internas do concreto à compressão é
expressa pela eq.(A.7).
( )
( )
8 23
'
4 3 8
G
x d x
z
d x
⋅ ⋅ − ⋅
=
⋅ ⋅ − ⋅
(A.6)
'G Gz x z= − (A.7)
AA..22..11..22 SSuubb--ddoommíínniioo 22bb
O diagrama das tensões de compressão do concreto torna-se parábolo-
retângulo. Neste sub-domínio, o encurtamento do concreto ( )cε varia entre 0
002 e
0
003,5 , Figura A.5. A profundidade da linha neutra no domínio 2b torna-se:
'x a x= + (A.8)

2‰
d-x
x'
a
x
a
cd2‰ < c <3,5‰
x'
10‰
Figura A.5 – Diagrama de tensão e deformação do concreto no sub-domínio 2b.
Do diagrama de deformações, Figura A.5, as seguintes relações podem ser
realizadas:
( )
( )
2
a
10
b
5
a
d x
d x
a
=
−
−
=
(A.9)
O valor da profundidade da linha neutra será:
( )
( )
5 '
a
6
6
' b
5
x d
x
x d
x
⋅ +
=
⋅ −
=
(A.10)
Dessa forma, a resultante da força interna do concreto à compressão é expressa
abaixo.
( )
( ) ( )
6 2
a
5 3 5
16 b
15
cc w cd cd
w cd
cc
x d d x
R b b
b
R x d
σ σ
σ
⋅ − −   
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅   
   
⋅
= ⋅ ⋅ −
(A.11)

Verificando o centro de gravidade da área hachurada, de modo a encontrar o
ponto de atuação da força interna de compressão do concreto, Figura A.6, a posição do
centro de gravidade da área hachurada, Figura A.6, é determinado pela expressão:
a
x'
x Rcc
σcd
zG
z'G
x'/2
x'/2
5a_
8
8
_3a
Figura A.6 – Centro de gravidade da força ccR : sub-domínio 2b.
2
' 2 3
'
2 3 8
cc G w cd w cd
x
R z b b a a xσ σ
 
⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + 
 
(A.12)
O centro de gravidade é expresso pela eq.(A.13).
( ) ( ) ( )
23 1
6 9
10 4
16
G
x d d x x d
z
x d
⋅ ⋅ − + ⋅ − ⋅ ⋅ −
=
⋅ −
(A.13)
'G Gz x z= − (A.14)
AA..22..11..33 DDoommíínniiooss 33 ee 44
Nestes domínios a deformação do concreto é constante e igual a 0
003,5
( )0
003,5cd cteε = = . Assim, decorrem da Figura A.7 as seguintes relações:
( )
( )
( )
( )
2 3,5
a
' b
4
c
7
3
' d
7
a x
a x x
a x
x x
=
+ =
= ⋅
= ⋅
(A.15)

x'
3,5‰
a
x
d-x
2‰
εsd
Figura A.7 – Diagrama de deformação do concreto nos domínios 3 e 4.
A resultante interna das forças de compressão do concreto, substituindo as
expressões anteriores, torna-se igual a eq.(A.16).
( )
( )
2
' a
3
17
b
21
cc w cd cd
cc w cd
R b x b a
R b x
σ σ
σ
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅
(A.16)
A posição do centro de gravidade da força ccR é determinada conforme a
Figura A.6 e a eq.(A.12). Levando em conta os valore de 'x e de a , mostrados na
eq.(A.15), têm se:
( )
( )
2
G
33
a
98
33
z b
98
cc G w cd
w cd
cc
R z b
b x
R
σ
σ
⋅ = ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
=
⋅
(A.17)
2
G
99
z
238
x= ⋅ (A.18)
Gz' Gx z= − (A.19)

AA..22..22 EEqquuaaççõõeess ddee eeqquuiillííbbrriioo
São duas as equações de equilíbrio. Uma exprime as forças internas resultantes,
tanto do concreto quanto do aço; a outra os momentos dessas forças em relação a
profundidade da linha neutra e o momento externo atuante na seção transversal.
( )
( ) ( ) ( )' '
0 a
0 b
st cc sc
LN
st sc cc G
N R R R
M M R d x R x d R z
= → = +
= → = ⋅ − + − + ⋅
∑
∑
(A.20)
sendo:
st s stR A σ= ⋅ força resistente da armadura tracionada;
'
sc s scR A σ= ⋅ força resistente da armadura comprimida;
st s stEσ ε= ⋅ tensão na armadura tracionada;
sc s scEσ ε= ⋅ tensão na armadura comprimida;
M momento externo atuante na seção transversal.
AA..22..33 PPrrooggrraammaa nnoo ssooffttwwaarree MMaatthhCCaadd
Com as expressões aqui mostradas, foi desenvolvido o programa para
dimensionamento de seção retangular no software MathCad para facilitar as análises, o
qual ficará disponível no Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC/USP. O
programa é mostrado a seguir.
Rotina de dimensionamento - FLEXÃO SIMPLES
SEÇÃO TRANSVERSAL RETANGULAR
Rotina de dimensionamento de seção retangular de concreto armado submetida a
flexão simples.
Foi considerado diagrama parábolo-retângulo para o concreto e diagrama bilinear para o
aço.
Domínios de verificação 2 - 3 - 4.
Obs: Os valores que estão destacados em verdesão atribuidos ao dimensionamento e
em amarelo os calculados.
Autor: Geilson Márcio Albuquerque de Vasconcelos
Engenheiro Civil
Mestrando em Engenharia de Estruturas
Escola de Engenharia de São Carlos - EESC
Universidade de São Paulo - USP

Orientador: Márcio Roberto Silva Corrêa
Data: Junho de 2004
Nsc 0:=
Diâmetro da barra da armadura comprimida Dsc 6.3mm:=
Momento atuante•
Momento atuante na seção transversal M 189.00kN m⋅:=
Cálculo da área da armadura
Área da armadura comprimida (porta estribo) Aspe 0cm
2
=
Dimensionamento da armadura
Coeficientes ponderadores das resistências (γc e γs ou γcR e γsR)•
Concreto γc 1.40:=
Aço γs 1.15:=
Propriedades dos Materiais
Equacionamento
Dados de entrada
Transformação de unidades
Resistência característica à compressão do concreto fck 30MPa:=
Resistência característica do aço fyk 500MPa:=
Altura da seção transversal retangular h 50cm:=
Altura útil da seção transversal retangular d 47cm:=
Largura da seção transversal retangular bw 15cm:=
Distância do centróide da armadura comprimida
à face da região comprimida
d1 3cm:=
Cobrimento da armadura c 2.5cm:=
Módulo de Elasticidade do aço Es 210000MPa:=
Armadura comprimida (porta estribos)•
Número de barras da armadura comprimida

εyd 2.07 10
3−
×=Deformação na tensão de escoamento
da armadura tracionada
εsc x( ) 0=Armadura comprimida
εst x( ) 3.724 10
3−
×=Armadura tracionada
εcc x( ) 3.5 10
3−
×=Concreto
Deformação nos materiais•
Ruptura "Ruptura do concreto e escoamento do aço"=
Dominio "Dominio 3 - Seção subarmada"=
Limites dos domínios
x 22.77cm=As 11.583cm
2
=
Resolução do sistema
As 1cm
2
:=x 1cm:=
Estimativa Inicial
AA..33 DDiimmeennssiioonnaammeennttoo ddee sseeççããoo ddoo ttiippoo ““TT””
A seção do tipo “T” é caso freqüente em concreto armado, particularmente nas
estruturas de edifícios, em virtude da colaboração prestada pela laje à viga. É claro que,
se o momento atuante for negativo, isto é, se comprimir a nervura e não a mesa, a viga é
considerada como viga retangular. Ainda que o momento seja positivo, se a
profundidade da linha neutra for menor que a altura da mesa, tratar-se-á também como
seção retangular.
A seção transversal e as respectivas notações são mostradas na Figura A.8.

εc
Rst
Rsc
σcd
Rccεsc
εst
c
Ast
Asc
bw
h d
x
hf
b
Rcc = Rccf + Rccn
Figura A.8 – Seção do tipo “T”, diagrama de deformações e tensões de compressão no concreto.
O processo de cálculo consiste em subdividir a seção do tipo “T” em duas
seções retangulares, como mostra a Figura A.9.
b
x
h
bw
Asc
Ast Ast
bw
hf
x
bw
f nAst
Ascn
b-bw
fAsc
M Mf nM
Figura A.9 – Subdivisão da seção do tipo “T”.
Percebe-se que o momento resistente total M é dividido em duas parcelas,
uma referente à contribuição da mesa ( )fM e outra referente à contribuição da nervura
( )nM , conforme:
f nM M M= + (A.21)
Para efeito do cálculo algébrico, pode-se pensar em três casos para o
dimensionamento, sendo eles:
1o
Caso: O diagrama das tensões de compressão na mesa é parabólico;
2o
Caso: O diagrama das tensões de compressão na mesa é parábolo-retângulo;
3o
Caso: O diagrama das tensões de compressão na mesa é retangular.

As expressões mostradas a seguir são referentes apenas à contribuição da mesa
na resistência da seção, visto que, a contribuição da nervura é tratada como viga
retangular, mostrada anteriormente.
AA..33..11 CCáállccuulloo ddaa rreessuullttaannttee iinntteerrnnaa ddee ccoommpprreessssããoo ddoo ccoonnccrreettoo
ee sseeuu cceennttrroo ddee ggrraavviiddaaddee
AA..33..11..11 11ºº CCaassoo
O diagrama das tensões de compressão na mesa é parabólico, Figura A.10.
Desse modo, a deformação é 0
002 2cε ≤ e a tensão de compressão 2c cdσ σ≤ .
b-bw
fh
bw
x
σ'c
ν
<
10‰
ν
<
ε'c
σc σcdεc 2‰2
εc3
σc3
zG
z'G
Rccf
Figura A.10 – Diagrama das tensões de compressão na mesa parabólico.
Este caso ocorre sempre que a condição abaixo for satisfeita.
6
f
d
h x< ≤ (A.22)
Seja ν a distância à linha neutra de uma fibra genérica da mesa, com
deformação 'cε e tensão de compressão 'cσ . A tensão 'cσ está em função da
deformação 'cε por meio da eq.(A.3). Do diagrama de deformação, Figura A.10,
decorrem as relações mostradas na eq.(A.23) e eq.(A.24).

2'c c
x
ν
ε ε= (A.23)
( )0
002
10
c
x
d x
ε
⋅
=
−
(A.24)
A largura a ser considerada é a diferença entre a largura da mesa e da nervura
( )wb b− . Assim, a resultante de compressão do concreto na mesa ( )ccfR é dada por:
( ) '
f
x
ccf w cx h
R b b dσ ν
−
= − ⋅ ⋅∫ (A.25)
Substituindo a eq.(A.23) e a eq.(A.24) na eq.(A.3) e o valor resultante de 'cσ
na eq.(A.25) e integrando, o valor resultante das forças internas de compressão do
concreto atuante na mesa é expresso pela eq.(A.26). A posição de ccfR é determinada
pela eq.(A.27),
( )
( ) ( )
( )2 2
5 5
2 3 3
3
cd w f
ccf f f f
b b h
R x h x x h h
d x d x
σ  ⋅ ⋅ − ⋅
= ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + 
− ⋅ − 
(A.26)
( )' '
f
x
ccf Gf w cx h
R z b b dσ ν ν
−
⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅∫ (A.27)
Desenvolvida a integral e considerando as relações anteriores, chega-se à
seguinte expressão:
( ) ( )
( )
( )
( )
2 2 3 2 2 3
2 2
2 5
3 3 4 6 4
3 4
'
5
2 3 3
3
f f f f f
Gf
f f f
x x h h x x h x h h
d x
z
x h x x h h
d x
⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ −
⋅ −
=
⋅ − − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ +
⋅ −
(A.28)
O centro de gravidade ccfR em relação a fibra mais comprimida é expresso pela
eq.(A.29).
'Gf Gfz x z= − (A.29)

O diagrama das tensões de compressão na mesa é parábolo-retângulo, Figura
A.11.
ν
x
bw
hf
b-bw
εsfd
x'< hf
εc2 >2‰
x
d-x
2‰
εc3
σc2 = σcd
σc3
Figura A.11 – Diagrama das tensões de compressão na mesa parábolo-retângulo.
Este caso será sub-dividido em dois outros.
2o
Caso a: Se x estiver no intervalo 0,259
6
d
x d< < ⋅ , a deformação no aço stε
continuará valendo 0
0010 . Considerando 'x a altura parcial da mesa onde a distribuição
das tensões se tornou retangular, Figura A.11, do diagrama de deformações resulta a
seguinte relação:
( )
( )
'
a
2 10
6
' b
5
x x d x
x d
x
− −
=
⋅ −
=
(A.30)
No limite com o 3o
caso (diagrama de tensões retangular na mesa), tem-se
' fx h= de modo que os limites do caso 2 serão dados pelas desigualdades mostradas na
eq.(A.31).
0,833
6 6
f
d d
x h< < + ⋅ (A.31)

Conforme a Figura A.11 e supondo que se atenda à eq.(A.31), as relações da
eq.(A.30) e eq.(A.24) são válidas. Deste modo, a resultante ccfR é expressa por:
( ) ( )
'
' '
f
x x
ccf w c w cdx h
R b b d b b xσ ν σ
−
−
= − ⋅ ⋅ + − ⋅∫ (A.32)
Integrando a equação acima, onde 'cσ é dado pela eq.(A.3), 'cε pela eq.(A.23)
e 2cε eq.(A.24), o valor de ccfR resulta em:
( )
( )
( )
( ) ( )
2 2
3 3 2 2 2
2
5
' ' 2 '
25
' 3 ' 3 '
3
f f
ccf w cd
f f f
x x x h x h
d x
R b b
h x x x h x h x
d x
σ
  + ⋅ + ⋅ − − −  − 
= − ⋅ ⋅ 
  − ⋅ − + ⋅ − + ⋅ − ⋅ −  
(A.33)
Para a determinação da posição de ccfR , tomando os momentos em relação à
posição da linha neutra, tem-se:
( ) ( )
' '
' ' '
2f
x x
ccf Gf w c w cdx h
x
R z b b d b b x xσ ν ν σ
−
−
 
⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅ − 
 
∫ (A.34)
Desenvolvendo a eq.(A.34), encontra-se a distância 'Gfz que é expressa por:
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2 3 3
3 2 2 2 3 3 4 4
2
3 3 2 2
2 2
2 2
' 10
' 3 ' 3 '
2 3
'
25
4 ' 6 ' 4 ' '
4
' 3 '5 25
' ' 2 '
3 3 '
f f f
Gf
f f f f
f f
f f
f
x
x x x h x x x h h x
d x
z
x h x x x h x h x x h
d x
h x x x h
x x x h x h
d x d x x h x
    − + − + − + − −   −  
= ÷ 
  − − + − + − + −  − 
  − + − +   ÷ + + − − −  −  − −  




(A.35)
2o
Caso b: Se 0,259x d≥ ⋅ , a deformação stε será menor que 0
0010 , mas 2cε
tornar-se-á constante e igual a 0
003,5 , Figura A.11. Resulta do diagrama de
deformações a relação expressa a seguir:

( )
( )
'
a
2 3,5
3
' b
7
x x x
x x
−
=
= ⋅
(A.36)
No limite com o 3o
caso, ' fx h= , virá:
7
3
fx h= ⋅ . Portanto, estará também no
caso 2 quando a eq.(A.37) for satisfeita.
7
0,259
3
fd x h⋅ ≤ < ⋅ (A.37)
Conforme Figura A.11, supondo que se atenda à eq.(A.37), são válidas as
relações da eq.(A.36), uma vez que 0
002 3,5c cteε = = . No trecho parabólico 'cσ é dado
pela eq.(A.3). A resultante ccfR é dada pela eq.(A.32) e sua posição pela eq.(A.34),
levando em conta a eq.(A.38) os valores de ccfR e 'Gfz são mostrados a seguir:
( )0
002' 3,5c c
x x
ν ν
ε ε= ⋅ = ⋅ (A.38)
( )
( )
( ) ( )
2 2
2
3 3 2 2 2
2
3,5
' ' 2 '
2
3,5
' 3 ' 3 '
12
f f
ccf w cd
f f f
x x x h x h
x
R b b
h x x x h x h x
x
σ
  + ⋅ + ⋅ − − −   
= − ⋅ ⋅ 
  − ⋅ − + ⋅ − + ⋅ −   
(A.39)
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
2 2 2 3 3
3
3 2 2 2 3 3 4 4
2
3 3 2 2
2 2
2 2
' 3,5
' 3 ' 3 '
2 3
'
3,5
4 ' 6 ' 4 ' '
16
' 3 '3,5 3,5
' ' 2 '
2 12 3 '
f f f
Gf
f f f f
f f
f f
f
x
x x x h x x x h h x
x
z
x h x x x h x h x x h
x
h x x x h
x x x h x h
x x x h x
    − + − + − + − −     
= ÷ 
  − − + − + − + −   
  − + − +   ÷ + + − − −    − 



 
(A.40)
O diagrama das tensões de compressão na mesa é retangular.

σc2 = σcd
εc3
d-x
x
εc2 >2‰
εsfd
b-bw
fh
bw
x σc3 = σcd
Figura A.12 – Diagrama das tensões de compressão na mesa retangular.
De acordo com o exposto, este caso ocorre quando a eq.(A.41) é satisfeita.
0,833 0,259
6
f
d
h x d+ ⋅ < < ⋅ (A.41)
A resultante ccfR e sua respectiva posição são dadas pelas seguintes
expressões:
( )ccf w cd fR b b hσ= − ⋅ ⋅ (A.42)
'
2
f
Gf
h
z x= − (A.43)
AA..33..22 EEqquuaaççõõeess ddee eeqquuiillííbbrriioo
São duas as equações de equilíbrio, uma referente às forças internas solicitantes
e a outra aos momentos dessas forças em relação a profundidade da linha neutra. As
forças internas atuantes na seção do tipo “T”, Figura A.8, com a respectiva ação externa
atuante; neste caso, momento fletor, resultam nas seguintes equações de equilíbrio.

( )
( ) ( ) ( )
0 a
0 ' ' ' b
st ccf ccn sc
LN
st sc ccf Gf ccn G
N R R R R
M M R d x R x d R z R z
= → = + +
= → = ⋅ − + − + ⋅ + ⋅
∑
∑ (A.44)
sendo:
ccfR força resistente à compressão do concreto proveniente da contribuição
da mesa;
ccnR força resistente à compressão do concreto proveniente da contribuição
da nervura, calculada conforme a seção retangular;
AA..33..33 PPrrooggrraammaa nnoo ssooffttwwaarree MMaatthhCCaadd
Com as expressões mostradas acima foi desenvolvido o programa para
dimensionamento de seção “T” no software MathCad, mostrado a seguir.
h 50cm:=Altura da seção transversal "T"
fyk 500MPa:=Resistência característica do aço
fck 30MPa:=Resistência característica à compressão do concreto
Dados de entrada
Rotina de dimensionamento de seção T de concreto armado submetida a flexão
simples.
Foi considerado diagrama parábolo-retângulo para o concreto e diagrama bilinear para o
aço.
Obs: Os valores que estão destacados em verdesão atribuidos ao dimensionamento e
em amarelo os calculados.
Engenheiro Civil
Data: Junho de 2004
SEÇÃO T
Rotina de dimensionamento - FLEXÃO SIMPLES

Cálculo da área de armadura
Armadura comprimida (porta estribo) Aspe 1.247cm
2
=
Dimensionamento da armadura
Coeficientes ponderadores das resistências (γc, γs ou γcR e γsR)•
Concreto γc 1.40:=
Aço γs 1.15:=
Características Mecânicas
Equacionamento
Estimativa Inicial
x 1cm:= As 1cm
2
:=
As 9.604cm
2
= x 4.821cm=
Dominio "Dominio 2"= LN "Linha Neutra na MESA"=
Altura da mesa da seção transversal "T" hf 12cm:=
Altura do útil da seção transversal "T" d 47cm:=
Largura da mesa da seção transversal "T" b 100cm:=
Largura da nervura (alma) da seção transversal "T" bw 15cm:=
Distância do centróide da armadura comprimida
d1 3cm:=
Módulo de Elasticidade do aço Es 210000MPa:=
OBS: Para o progrma fazer uma análise como seção retangular deve-se considerar:
Largura da mesa do elemento estrutural (b) igual a largura da nervura (bw) -> b = bw.•
Número de barras da armadura comprimida Nsc 4:=
Momento atuante•
Momento atuante na seção transversal M 189.00kN m⋅:=

Ruptura "Ruptura do aço sem ruptura à compressão do concreto"=
Concreto εcc x( ) 1.143 10
3−
×=
Armadura tracionada εst x( ) 0.01=
Armadura comprimida εsc x( ) 4.318 10
4−
×=
Deformação na tensão de escoamento
εyd 2.07 10
3−
×=

BB VVEERRIIFFIICCAAÇÇÃÃOO DDAA CCAAPPAACCIIDDAADDEE
RREESSIISSTTEENNTTEE DDEE SSEEÇÇÃÃOO
RREETTAANNGGUULLAARR EE DDOO TTIIPPOO ““TT””
BB..11 CCoonnssiiddeerraaççõõeess ggeerraaiiss
Neste apêndice são mostrados os programas que verificam a capacidade
resistente de seção retangular e seção do tipo “T” de peças de concreto armado. O
equacionamento, as hipóteses e considerações empregadas para o seu desenvolvimento
são as mesmas que o apêndice de dimensionamento (Apêndice A), portanto, não foram
mostradas. Assim, o programa desenvolvido no software MathCad para verificação da
capacidade resistente de peças de concreto armado submetidas a esforços de flexão
normal simples é apresentado sem muitos comentários.
No dimensionamento, como comentado anteriormente, dados os esforços
internos solicitantes, procuram-se as dimensões da seção transversal e a armadura
necessária. Na verificação resistente, ao contrário, tanto as armaduras como as
dimensões da seção são conhecidas, procurando-se os esforços internos solicitantes
últimos ou admissíveis.
Apêndice

Apêndice B – Verificação da capacidade resistente de seção retangular e do tipo “T” 115
BB..22 VVeerriiffiiccaaççããoo ddaa ccaappaacciiddaaddee rreessiisstteennttee ddee sseeççããoo
rreettaanngguullaarr
A nomenclatura utilizada foi a mesma que no apêndice de dimensionamento. O
programa desenvolvido no software MathCad de verificação da capacidade resistente
para seção retangular é mostrada a seguir. O programa é apresentado de forma
explicativa, de modo que, não proporcione dúvidas ao usuário.
Es 210000MPa:=Módulo de Elasticidade do aço
d1 3.0cm:=Distância do centróide da armadura comprimida
bw 15cm:=Largura da seção transversal retangular
d 47cm:=Altura do útil da seção transversal retangular
h 50cm:=Altura da seção transversal retangular
fck 30.0MPa:=Resistência característica à compressão do concreto
Dados de entrada
Rotina de cálculo que determina o valor do momento resistente de seção retangular
de concreto armado submetida a flexão simples.
Foi considerado diagrama parábolo-retângulo para o concreto e diagrama bilinear
para o aço.
Obs: Os valores que estão destacados em verdesão atribuidos ao
dimensionamento e em amarelo os calculados.
Engenheiro Civil
Data: Junho de 2004
SEÇÃO RETANGULAR
Rotina de verficação da capacidade resistente - FLEXÃO SIMPLES

Propriedades Mecânicas
Equacionamento
Estimativa Inicial
x 1cm:= M 1kN m⋅:=
M 229.923kN m⋅= x 17.597cm=
Dominio "Dominio 3 - Seção subarmada"=
Ruptura "Ruptura do concreto e escoamento do aço"=
Deformação dos materiais•
3−
×=
Armadura tracionada εst x( ) 5.848 10
3−
×=
3−
×=
εyd 2.381 10
3−
×=
Armadura tracionada (arm. principal)•
Número de barras da armadura tracionada Nst 4.0:=
Diâmetro da barra da armadura tracionada Dst 19.150mm:=
Cálculo das áreas das armaduras
Armadura tracionada (arm. principal) As 11.521cm
2
=
2
=
Verificação do Momento Resistente
Concreto γc 1.00:=
Aço γs 1.00:=

BB..33 VVeerriiffiiccaaççããoo ddaa ccaappaacciiddaaddee rreessiisstteennttee ddee sseeççããoo ““TT””
O programa de verificação da capacidade resistente de seção do tipo “T” é
mostrado a seguir. Este programa permite também que se analise uma seção retangular.
Para isso, a largura da mesa deve ser igual a largura da nervura.
Es 210000MPa:=Módulo de Elasticidade do aço
d1 3cm:=Distância do centróide da armadura comprimida
bw 15cm:=Largura da nervura (alma) da seção transversal "T"
b 100cm:=Largura da mesa da seção transversal "T"
d 47cm:=Altura do útil da seção transversal "T"
hf 12cm:=Altura da mesa da seção transversal "T"
h 50cm:=Altura da seção transversal "T"
fck 30MPa:=Resistência característica à compressão do concreto
Dados de entrada
Rotina de cálculo que determina o valor do momento resistente de seção T de
concreto armado submetida a flexão simples.
Foi considerado diagrama parábolo-retângulo para o concreto e diagrama bilinear
para o aço.
Obs:Os valores que estão destacados em verdesão atribuidos ao
dimensionamento e em amarelo os calculados.
Engenheiro Civil
Data: Junho de 2004
SEÇÃO T
Rotina de verficação da capacidade resistente - FLEXÃO SIMPLES

Propriedades Mecânicas
Equacionamento
Estimativa Inicial
x 1cm:= M 1kN m⋅:=
M 236.147kN m⋅= x 5.497cm=
Dominio "Dominio 2"= LN "Linha Neutra na MESA"=
Ruptura "Ruptura do aço sem ruptura à compressão do concreto"=
OBS: Para o progrma fazer uma análise como seção retangular deve considerar:
Largura da mesa do elemento estrutural (b) igual a largura da nervura (bw) -> b = bw.•
Armadura tracionada (arm. principal)•
Número de barras da armadura tracionada Nst 6:=
Diâmetro da barra da armadura tracionada Dst 16.0mm:=
Cálculo das áreas das armaduras
Armadura tracionada (arm. principal) As 12.064cm
2
=
2
=
Veficação do momento resistente
Concreto γc 1.40:=
Aço γs 1.15:=

3−
×=
Armadura tracionada εst x( ) 0.01=
4−
×=
εyd 2.07 10
3−
×=

Dissertacao geilson

Mais conteúdo relacionado

Último (20)

Destaque (20)

Dissertacao geilson