![Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
Exercícios Resolvidos: Teorema de Rolle
Contato: nibblediego@gmail.com
Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 14/12/2014 - Atualizado em 19/03/2017
O que eu preciso saber?
Dada uma função ƒ() continua com domínio em [, b] o teorema de Rolle diz
que se as três seguintes condições ocorrem:
ƒ() é continua em [, b];
ƒ() é derivável em (, b);
ƒ() = ƒ(b).
então existe pelo menos um valor d no intervalo (, b) tal que ƒ (d) = 0. Ou em
outras palavras, existe um ponto da função ƒ em que a inclinação da reta tangente
neste ponto é igual a zero.
ATENÇÃO! Não se pode afirmar que d é abscisa de um ponto critico de uma
função ƒ() que passe pelo teorema de Rolle. A função constante (ƒ() = ), por
exemplo, cumpre todos os três critérios mas não têm ponto critico.
Outro fato importante é que o teorema de Rolle não garante a unicidade de d.
Exemplo 1: Dada a função ƒ() = 43 − 92 + 5 verifique se existe algum ponto
de ƒ() em [0, 1] cuja reta tangente tenha inclinação nula.
Solução:
Funções polinomiais são continuas em todo R, logo ƒ() é continua em [0, 1].
A derivada de ƒ() é ƒ () = 122 − 18 + 5 que existe para todo o intervalo (0,
1).
Como ƒ(0) = 0 e ƒ(1) = 0 então ƒ(0) = ƒ(1) = 0.
Logo pelo teorema de Rolle existe pelo menos um ponto de ƒ() em [0,1] tal
que ƒ () = 0.
Se desejarmos determinar o(s), ponto(s) basta fazer ƒ () = 0 e descobrir o(s)
valore(s) de . Que no caso será(ão) a(s) abscisa(s) do(s) ponto(s).
1](https://image.slidesharecdn.com/principal7-181116034416/85/Exercicios-Resolvidos-Teorema-de-Rolle-1-320.jpg)
![Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA
ƒ () = 122 − 18 + 5 = 0
122 − 18 + 5 = 0 ⇔ = 1.13 ou = 0.36
Assim temos dois pontos: (1.13, -0.07 ) e (0.36, 0.82).
Mas, como o ponto deve pertencer ao intervalo [0,1] então o ponto em questão
é (0.36, 0.82).
Exemplo 2: Dada a função ƒ() = 43−92+5 verifique se é possível encontrar
algum ponto (a, b) em que ƒ () = 0 com ∈ 1,
5
2
através do Teorema de Rolle.
Solução:
Para saber se o teorema de Rolle pode ser aplicado vamos testar cada uma dos
seus três requisitos.
Funções polinomiais são continuas em todo R, logo ƒ() é continua em 1,
5
2
.
A derivada de ƒ() é ƒ () = 122 − 18+ 5 que também é uma função polinomial
e portanto, contínua em todo R. Assim a função é derivável no intervalo 1,
5
2
.
Como ƒ(1) = 0 e ƒ
5
2
=
75
4
então ƒ(0) = ƒ
5
2
.
Logo neste caso não é possível aplicar o teorema de Rolle.
2](https://image.slidesharecdn.com/principal7-181116034416/85/Exercicios-Resolvidos-Teorema-de-Rolle-2-320.jpg)
Exercícios Resolvidos: Teorema de Rolle
- 1. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Exercícios Resolvidos: Teorema de Rolle Contato: nibblediego@gmail.com Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 14/12/2014 - Atualizado em 19/03/2017 O que eu preciso saber? Dada uma função ƒ() continua com domínio em [, b] o teorema de Rolle diz que se as três seguintes condições ocorrem: ƒ() é continua em [, b]; ƒ() é derivável em (, b); ƒ() = ƒ(b). então existe pelo menos um valor d no intervalo (, b) tal que ƒ (d) = 0. Ou em outras palavras, existe um ponto da função ƒ em que a inclinação da reta tangente neste ponto é igual a zero. ATENÇÃO! Não se pode afirmar que d é abscisa de um ponto critico de uma função ƒ() que passe pelo teorema de Rolle. A função constante (ƒ() = ), por exemplo, cumpre todos os três critérios mas não têm ponto critico. Outro fato importante é que o teorema de Rolle não garante a unicidade de d. Exemplo 1: Dada a função ƒ() = 43 − 92 + 5 verifique se existe algum ponto de ƒ() em [0, 1] cuja reta tangente tenha inclinação nula. Solução: Funções polinomiais são continuas em todo R, logo ƒ() é continua em [0, 1]. A derivada de ƒ() é ƒ () = 122 − 18 + 5 que existe para todo o intervalo (0, 1). Como ƒ(0) = 0 e ƒ(1) = 0 então ƒ(0) = ƒ(1) = 0. Logo pelo teorema de Rolle existe pelo menos um ponto de ƒ() em [0,1] tal que ƒ () = 0. Se desejarmos determinar o(s), ponto(s) basta fazer ƒ () = 0 e descobrir o(s) valore(s) de . Que no caso será(ão) a(s) abscisa(s) do(s) ponto(s). 1
- 2. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA ƒ () = 122 − 18 + 5 = 0 122 − 18 + 5 = 0 ⇔ = 1.13 ou = 0.36 Assim temos dois pontos: (1.13, -0.07 ) e (0.36, 0.82). Mas, como o ponto deve pertencer ao intervalo [0,1] então o ponto em questão é (0.36, 0.82). Exemplo 2: Dada a função ƒ() = 43−92+5 verifique se é possível encontrar algum ponto (a, b) em que ƒ () = 0 com ∈ 1, 5 2 através do Teorema de Rolle. Solução: Para saber se o teorema de Rolle pode ser aplicado vamos testar cada uma dos seus três requisitos. Funções polinomiais são continuas em todo R, logo ƒ() é continua em 1, 5 2 . A derivada de ƒ() é ƒ () = 122 − 18+ 5 que também é uma função polinomial e portanto, contínua em todo R. Assim a função é derivável no intervalo 1, 5 2 . Como ƒ(1) = 0 e ƒ 5 2 = 75 4 então ƒ(0) = ƒ 5 2 . Logo neste caso não é possível aplicar o teorema de Rolle. 2
- 3. Exercícios Resolvidos Diego Oliveira - Vitória da Conquista/BA Este trabalho está licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição-NãoComercial- CompartilhaIgual 4.0 Internacional. Esse documento está sujeito a constante atualização ou mesmo correções, por isso, certifique se que o que você têm em mãos é de fato a última versão do mesmo. Para saber, bem como ter acesso a vários outros exercícios resolvidos de matemática, acesse: www.number890.wordpress.com Para aulas particulares, digitação de texto em LATEXe resolução de listas de exer- cícios entre em contato. nbbedego@gm.com .ƒcebook.com/theNmberType .nmber890.ordpress.com 3