Funcoes Logicas, Portas-Logicas circuitos
- 1. José Augusto Baranauskas Departamento de Computação e Matemática – FFCLRP- USP augusto@usp.b r http://dcm.fmrp.usp.br/~augu sto Funções Lógicas e Portas Lógicas ❑ Nesta apresentação será fornecida uma introdução ao sistema matemático de análise de circuitos lógicos, conhecido como Álgebra de Boole ❑ Serão vistos os blocos básicos e suas equivalências
- 2. Históric o ❑ Em meados do século XIX o matemático inglês George Boole desenvolveu um sistema matemático de análise lógica ❑ Em meados do século XX, o americano Claude Elwood Shannon sugeriu que a Álgebra Booleana poderia ser usada para análise e projeto de circuitos de comutação George Boole (1815- 1864) 2 Claude Elwood Shannon (1916- 2001)
- 3. Históric o 3 ❑ Nos primórdios da eletrônica, todos os problemas eram solucionados por meio de sistemas analógicos ❑ Com o avanço da tecnologia, os problemas passaram a ser solucionados pela eletrônica digital ❑ Na eletrônica digital, os sistemas (computadores, processadores de dados, sistemas de controle, codificadores, decodificadores, etc) empregam um pequeno grupo de circuitos lógicos básicos, que são conhecidos como portas e, ou, não e flip-flop ❑ Com a utilização adequadas dessas portas é possível implementar todas as expressões geradas pela álgebra de Boole
- 4. Álgebra Booleana 4 ❑ Na álgebra de Boole, há somente dois estados (valores ou símbolos) permitidos ▪Estado 0 (zero) ▪Estado 1 (um) ❑ Em geral ▪O estado zero representa não, falso, aparelho desligado, ausência de tensão, chave elétrica desligada, etc ▪O estado um representa sim, verdadeiro, aparelho ligado, presença de tensão, chave ligada, etc
- 5. Álgebra Booleana 5 ❑ Assim, na álgebra booleana, se representarmos por 0 uma situação, a situação contrária é representada por 1 ❑ Portanto, em qualquer bloco (porta ou função) lógico somente esses dois estados (0 ou 1) são permitidos em suas entradas e saídas ❑ Uma variável booleana também só assume um dos dois estados permitidos (0 ou 1)
- 6. Álgebra Booleana 6 ❑ Nesta apresentação trataremos dos seguintes blocos lógicos ▪ E (AND) ▪ OU (OR) ▪ NÃO (NOT) ▪ NÃO E (NAND) ▪ NÃO OU (NOR) ▪ OU EXCLUSIVO (XOR) ❑ Após, veremos a correspondência entre expressões, circuitos e tabelas verdade ❑ Por último, veremos a equivalência entre blocos lógicos
- 7. Função E (AND) ❑ Executa a multiplicação (conjunção) booleana de duas ou mais variáveis binárias ❑ Por exemplo, assuma a convenção no circuito ▪Chave aberta = 0; Chave fechada = 1 ▪Lâmpada apagada = 0; Lâmpada acesa = 1 A 7 B
- 8. Função E (AND) ❑ Situações possíveis: A=0 B=0 S=0 A=1 B=0 S=0 A=0 8 B=1 S=0 A=1 B=1 S=1
- 9. Função E (AND) 9 ❑ Se a chave A está aberta (A=0) e a chave B aberta (B=0), não haverá circulação de energia no circuito, logo a lâmpada fica apagada (S=0) ❑ Se a chave A está fechada (A=1) e a chave B aberta (B=0), não haverá circulação de energia no circuito, logo a lâmpada fica apagada (S=0) ❑ Se a chave A está aberta (A=0) e a chave B fechada (B=1), não haverá circulação de energia no circuito, logo a lâmpada fica apagada (S=0) ❑ Se a chave A está fechada (A=1) e a chave B fechada (B=1), haverá circulação de energia no circuito e a lâmpada fica acesa (S=1) ❑ Observando todas as quatro situações possíveis (interpretações), é possível concluir que a lâmpada fica acesa somente quando as chaves A e B estiverem simultaneamente fechadas (A=1 e B=1)
- 10. Função E (AND) 10 ❑ Para representar a expressão ▪S = A e B ❑ Adotaremos a representação ▪S = A.B, onde se lê S = A e B ❑ Porém, existem notações alternativas ▪S = A & B ▪S = A, B ▪S = A ∧ B
- 11. Tabela Verdade 11 ❑ A tabela verdade é um mapa onde são colocadas todas as possíveis interpretações (situações), com seus respectivos resultados para uma expressão booleana qualquer ❑ Como visto no exemplo anterior, para 2 variáveis booleanas (A e B), há 4 interpretações possíveis ❑ Em geral, para N variáveis booleanas de entrada, há 2N interpretações possíveis
- 12. Tabela Verdade da Função E (AND) 12 A B A.B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1
- 13. Porta Lógica E (AND) ❑ A porta E é um circuito que executa a função E ❑ A porta E executa a tabela verdade da função E ▪Portanto, a saída será 1 somente se ambas as entradas forem iguais a 1; nos demais casos, a saída será 0 ❑ Representação Porta E (AND) Entrada A Saída S Entrada B 13
- 14. Porta Lógica E (AND) A B S=A.B A B S=A.B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 A B S=A.B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 A B S=A.B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 A B S=A.B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 14 1
- 15. Porta Lógica E (AND) ❑ É possível estender o conceito de uma porta E para um número qualquer de variáveis de entrada ❑ Nesse caso, temos uma porta E com N entradas e somente uma saída ❑ A saída será 1 se e somente se as N entradas forem iguais a 1; nos demais casos, a saída será 0 A B 15 S=A.B.C…N C N …
- 16. Porta Lógica E (AND) ❑ Por exemplo, S=A.B.C.D A B S=A.B.C.D 16 C D A B C D S 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1
- 17. Função OU (OR) ❑ Executa a soma (disjunção) booleana de duas ou mais variáveis binárias ❑ Por exemplo, assuma a convenção no circuito ▪Chave aberta = 0; Chave fechada = 1 ▪Lâmpada apagada = 0; Lâmpada acesa = 1 B A 17
- 19. Função OU (OR) 19 ❑ Se a chave A está aberta (A=0) e a chave B aberta (B=0), não haverá circulação de energia no circuito, logo a lâmpada fica apagada (S=0) ❑ Se a chave A está fechada (A=1) e a chave B aberta (B=0), haverá circulação de energia no circuito e a lâmpada fica acesa (S=1) ❑ Se a chave A está aberta (A=0) e a chave B fechada (B=1), haverá circulação de energia no circuito e a lâmpada fica acesa (S=1) ❑ Se a chave A está fechada (A=1) e a chave B fechada (B=1), haverá circulação de energia no circuito e a lâmpada fica acesa (S=1) ❑ Observando todas as quatro situações possíveis, é possível concluir que a lâmpada fica acesa somente quando a chave A ou a chave B ou ambas estiverem fechadas
- 20. Função OU (OR) 20 ❑ Para representar a expressão ▪S = A ou B ❑ Adotaremos a representação ▪S = A+B, onde se lê S = A ou B ❑ Porém, existem notações alternativas ▪S = A | B ▪S = A; B ▪S = A ∨ B
- 21. Tabela Verdade da Função OU (OR) 21 ❑ Observe que, no sistema de numeração binário, a soma 1+1=10 ❑ Na álgebra booleana, 1+1=1, já que somente dois valores são permitidos (0 e 1) A B A+B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
- 22. Porta Lógica OU (OR) ❑ A porta OU é um circuito que executa a função OU ❑ A porta OU executa a tabela verdade da função OU ▪ Portanto, a saída será 0 somente se ambas as entradas forem iguais a 0; nos demais casos, a saída será 1 ❑ Representação Porta OU (OR) Entrada A Saída S Entrada B Entrada A Saída S Entrada B 22
- 23. Porta Lógica OU (OR) A B S=A+B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 A B S=A+B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 A B S=A+B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 A B S=A+B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 A 23 B S=A+B
- 24. Porta Lógica OU (OR) ❑ É possível estender o conceito de uma porta OU para um número qualquer de variáveis de entrada ❑ Nesse caso, temos uma porta OU com N entradas e somente uma saída ❑ A saída será 0 se e somente se as N entradas forem iguais a 0; nos demais casos, a saída será 1 A B 24 S=A+B+C+…+N C N …
- 25. Porta Lógica OU (OR) ❑ Por exemplo, S=A+B+C+D A B C D S 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 A B S=A+B+C+D C D 25
- 26. Função NÃO (NOT) 26 ❑ Executa o complemento (negação) de uma variável binária ▪Se a variável estiver em 0, o resultado da função é 1 ▪Se a variável estiver em 1, o resultado da função é 0 ❑ Essa função também é chamada de inversora
- 27. Função NÃO (NOT) ❑ Usando as mesmas convenções dos circuitos anteriores, tem-se que: ▪Quando a chave A está aberta (A=0), passará corrente pela lâmpada e ela acenderá (S=1) ▪Quando a chave A está fechada (A=1), a lâmpada estará em curto-circuito e não passará corrente por ela, ficando apagada (S=0) S=1 A=0 S=0 A=1 27
- 28. Função NÃO (NOT) 28 ❑ Para representar a expressão ▪ S = não A ❑ Adotaremos a representaçã o ▪ S = Ā, onde se lê S = não A ❑ Notações alternativas ▪ S = A’ ▪ S = ¬ A ▪ S = Ã ❑ Tabela verdade da função NÃO (NOT) A Ā 0 1 1 0
- 29. Porta Lógica NÃO (NOT) ❑ A porta lógica NÃO, ou inversor, é o circuito que executa a função NÃO ❑ O inversor executa a tabela verdade da função NÃO ▪ Se a entrada for 0, a saída será 1; se a entrada for 1, a saída será 0 ❑ Representaçã o Entrada A Saída S Porta NÃO (NOT) Após um bloco lógico 29 Antes de um bloco lógico Alternativament e,
- 30. Porta Lógica NÃO (NOT) 0 1 A S=Ā A S=Ā 0 1 1 0 1 0 A S=Ā 0 1 1 0 30
- 31. Função NÃO E (NAND) ❑ Composição da função E com a função NÃO, ou seja, a saída da função E é invertida ❑ S = (A.B) = A.B = (A.B)’ = ¬(A.B) ❑ Tabela verdade A B S=A.B 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 31
- 32. Porta NÃO E (NAND) ❑ A porta NÃO E (NE) é o bloco lógico que executa a função NÃO E, ou seja, sua tabela verdade ❑ Representação A B S=A.B A B S=A.B 32
- 33. Porta NÃO E (NAND) ❑ Como a porta E, a porta NÃO E pode ter duas ou mais entradas ❑ Nesse caso, temos uma porta NÃO E com N entradas e somente uma saída ❑ A saída será 0 se e somente se as N entradas forem iguais a 1; nos demais casos, a saída será 1 A B 33 S=A.B.C…N C N …
- 34. Função NÃO OU (NOR) ❑ Composição da função OU com a função NÃO, ou seja, a saída da função OU é invertida ❑ S = (A+B) = A+B = (A+B)’ = ¬(A+B) ❑ Tabela verdade A B S=A+B 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 34
- 35. Porta NÃO OU (NOR) ❑ A porta NÃO OU (NOU) é o bloco lógico que executa a função NÃO OU, ou seja, sua tabela verdade ❑ Representação A B S=A+B S=A+B A B 35
- 36. Porta NÃO OU (NOR) ❑ Como a porta OU, a porta NÃO OU pode ter duas ou mais entradas ❑ Nesse caso, temos uma porta NÃO OU com N entradas e somente uma saída ❑ A saída será 1 se e somente se as N entradas forem iguais a 0; nos demais casos, a saída será 0 A B 36 S=A+B+C+…+N C N …
- 37. Função OU Exclusivo (XOR) 37 ❑ A função OU Exclusivo fornece ▪1 na saída quando as entradas forem diferentes entre si e ▪0 caso contrário ❑ S = A ⊕ B = Ā.B + A.B ❑ Tabela verdade A B S=A⊕B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0
- 38. Porta OU Exclusivo (XOR) como Bloco Básico A B S=A⊕B ⊕ A B S=A⊕B | Simbologia adotada A Outros símbolos utilizados B 38 S=A⊕B
- 39. Porta OU Exclusivo (XOR) como Circuito Combinacional A B 39 S=A⊕B
- 40. Resumo dos Blocos Lógicos Básicos Nome Símbolo Gráfico Função Algébrica Tabela Verdade E (AND) S=A.B S=AB OU (OR) S=A+B NÃO (NOT) Inversor S=Ā S=A’ S= ¬ A NE (NAND) S=A.B S=(A.B)’ S= ¬(A.B) NOU (NOR) S=A+B S=(A+B)’ S= ¬(A+B) A B S=A.B A B S=A+B A S=Ā A B S=A.B A B S=A+B A B S=A.B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 A B S=A+B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 A S=Ā 0 1 1 0 A B S=A.B 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 A B S=A+B 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 XOR A B S=A⊕B S=A⊕B A B S=A⊕B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 41
- 41. Correspondência entre expressões, circuitos e tabelas verdade 42 ❑ Todo circuito lógico executa uma expressão booleana ❑ Um circuito, por mais complexo que seja, é composto pela interligação dos blocos lógicos básicos ❑ Veremos, a seguir, como obter as expressões booleanas geradas por um circuito lógico
- 42. Expressões Booleanas Geradas por Circuitos Lógicos ❑ Seja o circuito: A B S 43 C
- 43. Expressões Booleanas Geradas por Circuitos Lógicos ❑ Vamos dividi-lo em duas partes (1) e (2) ▪No circuito (1), a saída S1 contém o produto A.B, já que o bloco é uma porta E ▪Portanto, S1 = A.B A B 44 S C (1) (2) S1
- 44. Expressões Booleanas Geradas por Circuitos Lógicos ❑ No circuito (2), note que a saída S1 é utilizada como uma das entradas da porta OU ❑ A outra entrada da porta OU corresponde à variável C, o que nos leva à: ▪S = S1 + C A B S=S1+C 45 C (1) (2) S1=A.B
- 45. Expressões Booleanas Geradas por Circuitos Lógicos ❑ Para obter a expressão final em relação às entradas A, B e C basta substituir a expressão S1 na expressão de S, ou seja: ▪(1) S1 = A.B ▪(2) S = S1 + C ▪Obtém-se S = S1 + C = (A.B) + C A B S=S1+C 46 C (1) (2) S1=A.B
- 46. Expressões Booleanas Geradas por Circuitos Lógicos ❑ Portanto, a expressão que o circuito executa é: ▪S = (A.B) + C = A.B + C A B S=A.B+C 47 C (2) A.B
- 47. Exercíci o ❑ Escreva a expressão booleana executada pelo circuito S A B C D 48
- 49. Exercíci o ❑ Determinar a expressão booleana característica do circuito A B S 50 C D
- 51. Circuitos Gerados por Expressões Booleanas 52 ❑ Até o momento, vimos como obter uma expressão característica a partir de um circuito ❑ Também é possível obter um circuito lógico, dada uma expressão booleana ❑ Nesse caso, como na aritmética elementar, parênteses têm maior prioridade, seguidos pela multiplicação (função E) e, por último, pela soma (função OU)
- 52. Circuitos Gerados por Expressões Booleanas 53 ❑ Seja a expressão • S = (A+B).C.(B+D) ❑ Vamos separar as subfórmulas da expressão, ou seja: • S = (A+B) . C . (B+D)
- 53. Circuitos Gerados por Expressões Booleanas ❑ Seja a expressão • S = (A+B).C.(B+D) ❑ Vamos separar as subfórmulas da expressão, ou seja: • S = (A+B) . C . (B+D) ❑ Dentro do primeiro parêntese temos a soma booleana S1=(A+B), portanto o circuito que executa esse parêntese será uma porta OU ❑ Dentro do segundo parêntese temos a soma booleana S2=(B+D). Novamente, o circuito que executa esse parêntese será uma porta OU A B S1=(A+B) B 54 D S2=(B+D)
- 54. Circuitos Gerados por Expressões Booleanas ❑ Seja a expressão • S = (A+B).C.(B+D) ❑ Vamos separar as subfórmulas da expressão, ou seja: • S = (A+B) . C . (B+D) ❑ Dentro do primeiro parêntese temos a soma booleana S1=(A+B), portanto o circuito que executa esse parêntese será uma porta OU ❑ Dentro do segundo parêntese temos a soma booleana S2=(B+D). Novamente, o circuito que executa esse parêntese será uma porta OU ❑ Portanto, temos: • S = S1 . C . S2 ❑ Agora temos uma multiplicação booleana e o circuito que a executa é uma porta E A B S1=(A+B) B D S2=(B+D) S1 C 55 S S2
- 55. Circuitos Gerados por Expressões Booleanas ❑ O circuito completo é: A 56 B S1=(A+B) D S2=(B+D) C S = (A+B).C.(B+D)
- 56. Exercíci o 57 ❑ Desenhe o circuito lógico que executa a seguinte expressão booleana ▪S = (A.B.C) + (A+B).C
- 57. Soluçã o A B (A+B).C C C A+B S=(A.B.C)+(A+B).C ❑ É importante lembrar que as entradas que representam a mesma variável estão interligadas ❑ Contudo o desenho sem interligações facilita a interpretação do circuito A A.B.C B 58
- 58. Exercíci o ❑ Desenhe o circuito lógico cuja expressão característica é ▪S = (A.B + C.D)’ 59
- 60. Expressões ou Circuitos representados por Tabelas Verdade 61 ❑ Uma forma de estudar uma função booleana consiste em utilizar sua tabela verdade ❑ Como visto anteriormente, há uma equivalência entre o circuito lógico e sua expressão característica ▪Podemos obter um circuito a partir de sua expressão ▪Podemos obter expressões a partir dos circuitos ❑ Uma tabela verdade representa o comportamento tanto do circuito como de sua expressão característica
- 61. Como obter a Tabela Verdade a partir de uma Expressão 62 ❑ Colocar todas as possibilidades (interpretações) para as variáveis de entrada ▪Lembrar que para N variáveis, há 2N possibilidades ❑ Adicionar colunas para cada subfórmula da expressão ▪Preencher cada coluna com seus resultados ❑ Adicionar uma coluna para o resultado final ▪Preencher essa coluna com o resultado final
- 62. Exempl o 63 ❑ Considere a expressão ▪ S = A.B.C + A.D + A.B.D ❑ Como há 4 variáveis de entrada (A, B, C, D), há 24=16 interpretações ▪ Variação 1 zero, 1 um A B C D 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
- 63. Exempl o 1 1 64 ❑ Considere a expressão ▪ S = A.B.C + A.D + A.B.D ❑ Como há 4 variáveis de entrada (A, B, C, D), há 24=16 interpretações ▪ Variação 1 zero, 1 um ▪ Variação 2 zeros, 2 um A B C D 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0
- 64. Exempl o 1 1 1 65 ❑ Considere a expressão ▪ S = A.B.C + A.D + A.B.D ❑ Como há 4 variáveis de entrada (A, B, C, D), há 24=16 interpretações ▪ Variação 1 zero, 1 um ▪ Variação 2 zeros, 2 um ▪ Variação 4 zeros, 4 um A B C D 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0
- 65. Exempl o 1 1 1 1 66 ❑ Considere a expressão ▪ S = A.B.C + A.D + A.B.D ❑ Como há 4 variáveis de entrada (A, B, C, D), há 24=16 interpretações ▪ Variação 1 zero, 1 um ▪ Variação 2 zeros, 2 um ▪ Variação 4 zeros, 4 um ▪ Variação 8 zeros, 8 um A B C D 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0
- 66. Exempl o ❑ S = A.B.C + A.D + A.B.D ❑ A seguir, adicionar uma coluna para cada subfórmula de S, além de uma coluna para o resultado final S ▪ A.B.C ▪ A.D ▪ A.B.D A B C D A.B.C A.D A.B.D S 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 67
- 67. Exempl o ❑ S = A.B.C + A.D + A.B.D ❑ A seguir, adicionar uma coluna para cada subfórmula de S, além de uma coluna para o resultado final S ▪ A.B.C ▪ A.D ▪ A.B.D ❑ Preencher cada coluna com seu respectivo resultado A B C D A.B.C A.D A.B.D S 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 68
- 68. Exempl o ❑ S = A.B.C + A.D + A.B.D ❑ A seguir, adicionar uma coluna para cada subfórmula de S, além de uma coluna para o resultado final S ▪ A.B.C ▪ A.D ▪ A.B.D ❑ Preencher cada coluna com seu respectivo resultado A B C D A.B.C A.D A.B.D S 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 69
- 69. Exempl o ❑ S = A.B.C + A.D + A.B.D ❑ A seguir, adicionar uma coluna para cada subfórmula de S, além de uma coluna para o resultado final S ▪ A.B.C ▪ A.D ▪ A.B.D ❑ Preencher cada coluna com seu respectivo resultado A B C D A.B.C A.D A.B.D S 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 70
- 70. Exempl o ❑ S = A.B.C + A.D + A.B.D ❑ A seguir, adicionar uma coluna para cada subfórmula de S, além de uma coluna para o resultado final S ▪ A.B.C ▪ A.D ▪ A.B.D ❑ Preencher cada coluna com seu respectivo resultado A B C D A.B.C A.D A.B.D S 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 71
- 71. Exempl o ❑ S = A.B.C + A.D + A.B.D ❑ A seguir, adicionar uma coluna para cada subfórmula de S, além de uma coluna para o resultado final S ▪ A.B.C ▪ A.D ▪ A.B.D ❑ Preencher cada coluna com seu respectivo resultado A B C D A.B.C A.D A.B.D S 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 72
- 72. Exempl o ❑ S = A.B.C + A.D + A.B.D ❑ A seguir, adicionar uma coluna para cada subfórmula de S, além de uma coluna para o resultado final S ▪ A.B.C ▪ A.D ▪ A.B.D ❑ Preencher cada coluna com seu respectivo resultado A B C D A.B.C A.D A.B.D S 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 73
- 73. Exempl o 74 ❑ S = A.B.C + A.D + A.B.D ❑ A seguir, adicionar uma coluna para cada subfórmula de S, além de uma coluna para o resultado final S • A.B.C • A.D • A.B.D ❑ Preencher cada coluna com seu respectivo resultado ❑ Por último, preencher a coluna do resultado final A B C D A.B.C A.D A.B.D S 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
- 74. Exempl o 75 ❑ S = A.B.C + A.D + A.B.D ❑ A seguir, adicionar uma coluna para cada subfórmula de S, além de uma coluna para o resultado final S • A.B.C • A.D • A.B.D ❑ Preencher cada coluna com seu respectivo resultado ❑ Por último, preencher a coluna do resultado final A B C D A.B.C A.D A.B.D S 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
- 75. Exercíci o 76 ❑ Encontre a tabela verdade da expressão ▪S = Ā+B+A.B.C’
- 76. Exercíci o ❑ Encontre a tabela verdade da expressão ▪S = Ā+B+A.B.C’ A B C Ā C’ A.B.C’ 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 S 77
- 77. Soluçã o 78 ❑ Encontre a tabela verdade da expressão ▪S = Ā+B+A.B.C’ A B C Ā C’ A.B.C’ S 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1
- 78. Exercíci o 79 ❑ Montar a tabela verdade da expressão ▪S = A.B.C + A.B’.C + A’.B’.C + A’.B’.C’
- 79. Exercíci o 80 ❑ Montar a tabela verdade da expressão ▪S = A.B.C + A.B’.C + A’.B’.C + A’.B’.C’ A B C A’ B’ C’ A.B.C A.B’.C A’.B’.C A’.B’.C’ S 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0
- 80. Soluçã o 81 ❑ Montar a tabela verdade da expressão ▪S = A.B.C + A.B’.C + A’.B’.C + A’.B’.C’ A B C A’ B’ C’ A.B.C A.B’.C A’.B’.C A’.B’.C’ S 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1
- 81. Equivalência de Expressões Booleanas por Tabela Verdade 82 ❑ Sejam S1 e S2 duas expressões booleanas ❑ S1 e S2 são equivalentes se e somente se para todas as interpretações possíveis (linhas) na tabela verdade ocorre S1=S2 ❑ Se S1≠S2 em pelo menos uma interpretação, então S1 e S2 não são equivalentes
- 82. Exercíci o 83 ❑ Verifique, usando tabela verdade, se as expressões S1 e S2 são equivalentes • S1 = A • S2 = A.(A+B) A B A+B S1 S2 0 0 0 1 1 0 1 1
- 83. Soluçã o 84 ❑ Verifique, usando tabela verdade, se as expressões S1 e S2 são equivalentes • S1 = A • S2 = A.(A+B) ❑ Como S1=S2 em todas as interpretações possíveis na tabela verdade, as expressões são equivalentes • A.(A+B) = A ❑ Como veremos mais adiante, esta é uma propriedade, conhecida como absorção A B A+B S1 S2 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
- 84. Exercíci o 85 ❑ Verifique, usando tabela verdade, se as expressões S1, S2, S3 são equivalentes entre si • S1 = A • S2 = A.(1 + B) • S3 = A + A.B A B 1+B A.B S1 S2 S3 0 0 0 1 1 0 1 1
- 85. Soluçã o 86 ❑ Verifique, usando tabela verdade, se as expressões S1, S2, S3 são equivalentes entre si • S1 = A • S2 = A.(1 + B) • S3 = A + A.B ❑ Como S1=S2=S3 em todas as interpretações possíveis na tabela verdade, as expressões são equivalentes • A + A.B = A.(1+B) = A ❑ Como veremos mais adiante, esta é uma propriedade, conhecida como absorção A B 1+B A.B S1 S2 S3 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
- 86. Exercíci o ❑ Verifique, usando tabela verdade, se as expressões S1 e S2 são equivalentes • S1 = A.(B + C) • S2 = A.B + A.C A B C B+C A.B A.C S1 S2 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 87
- 87. Soluçã o 88 ❑ Verifique, usando tabela verdade, se as expressões S1 e S2 são equivalentes • S1 = A.(B + C) • S2 = A.B + A.C ❑ Como S1=S2 em todas as interpretações possíveis na tabela verdade, as expressões são equivalentes • A.(B + C) = A.B + A.C ❑ Como veremos mais adiante, esta é a propriedade distributiva da multiplicação booleana A B C B+C A.B A.C S1 S2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
- 88. Exercíci o ❑ Verifique, usando tabela verdade, se as expressões S1 e S2 são equivalentes • S1 = A+(B.C) • S2 = (A+B) . (A+C) A B C B.C A+B A+C S1 S2 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 89
- 89. Soluçã o 90 ❑ Verifique, usando tabela verdade, se as expressões S1 e S2 são equivalentes • S1 = A+(B.C) • S2 = (A+B) . (A+C) ❑ Como S1=S2 em todas as interpretações possíveis na tabela verdade, as expressões são equivalentes • A+(B.C) = (A+B) . (A+C) ❑ Como veremos mais adiante, esta é a propriedade distributiva da adição booleana A B C B.C A+B A+C S1 S2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
- 90. Exercíci o 91 ❑ Verifique, usando tabela verdade, se as expressões S1 e S2 são equivalentes • S1 = (Ā.B) • S2 = (A.B)’ A B A’ B’ A.B S1 S2 0 0 0 1 1 0 1 1
- 91. Soluçã o 92 ❑ Verifique, usando tabela verdade, se as expressões S1 e S2 são equivalentes • S1 = (Ā.B) • S2 = (A.B)’ ❑ Como S1≠S2 em pelo menos uma interpretação (de fato, em 2 das 4 possíveis) na tabela verdade, as expressões não são equivalentes ❑ Portanto, • (Ā.B) ≠ (A.B)’ A B A’ B’ A.B S1 S2 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0
- 92. Resumo de Algumas Propriedades provadas por Tabelas Verdade 93 ❑ Absorção ▪A + (A.B) = A ▪A . (A+B) = A ❑ Distributiva ▪A.(B+C) = A.B + A.C ▪A+(B.C) = (A+B) . (A+C)
- 93. Obtendo a Tabela Verdade a partir de um Circuito 94 ❑ De forma análoga, é possível estudar o comportamento de um circuito por meio da sua tabela verdade ❑ Dado um circuito, é necessário extrair sua expressão característica; a partir dela é possível montar a tabela verdade correspondente
- 94. Exempl o ❑ A partir do circuito: S A B B C 95
- 95. Exempl o ❑ A partir do circuito: ❑ Extraímos sua expressão característica ▪S = (A+B) . (B.C) S=(A+B).(B.C)’ A B B C (A+B) (B.C)’ 96
- 96. Exempl o ❑ A partir da expressão ▪ S = (A+B) . (B.C) ❑ Obtém-se a tabela verdade, como anteriormente explicado A B C A+B B.C (B.C)’ S 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 97
- 97. Equivalência de Blocos Lógicos 98 ❑ Qualquer bloco lógico básico pode ser obtido utilizando outro bloco qualquer e inversores ❑ Inversores podem ser obtidos a partir de portas NAND e NOR ❑ Veremos a seguir essas equivalências entre determinados blocos ❑ Tais equivalências podem ser provadas pela tabelas verdades correspondentes da seguinte forma ▪ Seja S1 a expressão característica do primeiro bloco B1 ▪ Seja S2 a expressão característica do segundo bloco B2 ▪ Se para todas as interpretações possíveis de B1 e B2, sempre ocorrer que S1=S2, então B1 é equivalente a B2
- 98. Inversor a partir de porta NAND ❑ Inverso r ❑ Ao interligar as entradas de uma porta NAND, obtém- se um inversor A S=Ā A B S=Ā A S 0 1 1 0 A B S 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 A B S=A.B A B S 0 0 1 1 1 0 Note que, para cada interpretação possível, os resultados são equivalentes 99
- 99. Inversor a partir de porta NOR ❑ Inverso r ❑ Ao interligar as entradas de uma porta NOR, obtém- se um inversor A S=Ā A S 0 1 1 0 A B S 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 A B S 0 0 1 1 1 0 A B S=Ā A B S=A+B 100
- 100. Porta NOU a partir de porta E e inversores ❑ Porta NOU ❑ Porta E e inversores Ā A B B A B S A B S=A+B A B Ā B S A B S=A+B 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 101
- 101. Equivalência de Blocos Lógicos 102 ❑ De maneira similar, a equivalência entre os blocos mostrados a seguir pode ser verificada
- 103. Exercíci o ❑ Prove, usando tabela verdade, que os seguintes blocos lógicos são equivalentes A B S1=A+B A B S2=(Ā.B) 104
- 104. Soluçã o A B Ā B Ā.B S1= A+B S2= Ā.B 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 A B S1=A+B A B S2=(Ā.B) ≡ 105
- 105. Copyright© Apresentação 2012 por José Augusto Baranauskas Universidade de São Paulo Professores são convidados a utilizarem esta apresentação da maneira que lhes for conveniente, desde que esta nota de copyright permaneça intacta. Slides baseados em: ❑Idoeta, I.V. & Capuano, F.G.; Elementos de Eletrônica Digital, 12ª. edição, Érica, 1987. ❑E. Mendelson; Álgebra booleana e circuitos de chaveamento, McGraw- Hill, 1977. 106