Funções - Revisão
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O capítulo resume as características e resolução de equações e inequações racionais e irracionais, incluindo operações com funções racionais como soma, diferença, produto, quociente e função composta. Explica também como determinar se uma função tem inversa e como construir a expressão analítica da inversa.
Funções - Revisão
- 1. Cap. I Fun¸oes Racionais c˜ 1- Caracter´ ısticas Defini¸˜o: Uma fun¸ao f (x) ´ uma fun¸ao racional se ca c˜ e c˜ f (x) = p(x) q(x) tal que p(x) e q(x) s˜o polin´mios. a o Dom´ ınio: O dom´ ınio de uma fun¸ao racional f (x) = c˜ p(x) q(x) ´: e Df = {x ∈ IR : q(x) = 0} 2- Equa¸oes Racionais c˜ Para resolver uma equa¸˜o deste tipo basta seguir os seguintes passos: ca Passar tudo para um dos membros da equa¸ao; c˜ Colocar tudo ao mesmo denominador e simplificar a express˜o. Fica do tipo a p(x) =0 q(x) As solu¸oes da equa¸ao s˜o todos os valores que anulam o numerador e n˜o anulam o c˜ c˜ a a denominador, isto ´: e p(x) = 0 ∧ q(x) = 0 3- Inequa¸oes Racionais c˜ A resolu¸ao de uma inequa¸˜o racional tem as seguintes etapas: c˜ ca Passar tudo para um dos membros da inequa¸ao; c˜ Colocar tudo ao mesmo denominador e simplificar a express˜o. Fica do tipo a p(x) ≥0 q(x) (O sinal ≥ serve apenas como exemplo pode tamb´m ser >, < ou ≤); e Calcular as raizes do numerador e denominador; Introduzir as raizes obtidas por ordem crescente na primeira linha dum quadro de sinais. Nas segunda e terceira introduz-se a p(x) e q(x) respectivamente. E na ultima linha a fun¸˜o ´ ca p(x) ; q(x) Preencher adequadamente o quadro de sinais obedecendo `s caracteristicas das fun¸oes a c˜ p(x) e q(x) tal como `s regras de sinais na divis˜o. a a Para terminar, basta observar os sinais da ultima linha e escolher o intervalo solu¸˜o ´ ca com base na desigualdade obtida no segundo passo. Cap. II Fun¸˜es Irracionais co 1- Caracter´ ısticas Defini¸˜o:Uma fun¸˜o f (x) ´ uma fun¸˜o irracional se ca ca e ca f (x) = 1 n p(x)
- 2. tal que p(x) ´ um polin´mio. e o Dom´ ınio: O dom´ ınio de uma fun¸ao irracional f (x) = c˜ Df = IR se n for ´ ımpar; Df = {x ∈ IR : p(x) ≥ 0} se n for par; n p(x) ´: e 2- Equa¸oes Irracionais c˜ Para resolver uma equa¸˜o deste tipo basta seguir os seguintes passos: ca Passar a express˜o com raiz para um dos membros da equa¸ao e o resto para o outro a c˜ membro; Elevar ao quadrado ambos os membros e resolver a equa¸˜o resultante; ca Deve-se substituir as solu¸oes obtidas na equa¸ao inicial de modo a confirmar se s˜o c˜ c˜ a v´lidas. a Cap. III Opera¸oes com Fun¸oes c˜ c˜ 1- Definir fun¸˜es e Dom´ co ınios Sempre que se define uma fun¸˜o deve-se indicar o seu dom´ e tamb´m a sua express˜o ca ınio e a analitica: f : Dom´ ınio −→ IR x → express˜o a Obs.: Recorde que s˜o duas as situa¸oes em que ´ necess´rio o c´lculo de dom´ a c˜ e a a ınios: •Denominadores diferentes de zero; •Express˜es dentro de ra´ de ´ o ızes ındice par maiores ou iguais que zero. 2- Soma, Diferen¸a, Produto e Quociente de Fun¸oes c c˜ Soma: Quanto ` express˜o anal´ a a ıtica (f + g)(x) = f (x) + g(x); e o dom´ ınio Df +g = Df ∩ Dg . Diferen¸a: Quanto ` express˜o anal´ c a a ıtica (f − g)(x) = f (x) − g(x); e o dom´ ınio Df −g = Df ∩ Dg . Produto: Quanto ` express˜o anal´ a a ıtica (f × g)(x) = f (x) × g(x); e o dom´ ınio Df ×g = Df ∩ Dg . Quociente: Quanto ` express˜o anal´ a a ıtica ( f )(x) = g f (x) ; g(x) e o dom´ ınio D f = Df ∩ Dg ∩ {x ∈ IR : g(x) = 0}. g Obs.: Resumindo, para o c´lculo do dom´ a ınio da Soma, Diferen¸a e Produto basta interc ceptar os dom´ ınios das fun¸oes. No caso do Quociente ´ ainda necess´rio retirar todos os c˜ e a zeros da fun¸ao do denominador. c˜ 3- Fun¸˜o Composta ca Para obter a express˜o anal´ a ıtica de f og basta substituir x por g(x) na fun¸ao de f : c˜ f og(x) = f (g(x)) O dom´ ınio calcula-se interceptando os pontos do dom´ ınio da fun¸ao g (de dentro) com os c˜ valores de g(x) que pertencem ao dom´ ınio de f (de fora): 2
- 3. Df og = {x ∈ IR : x ∈ Dg ∧ g(x) ∈ Df } Duas fun¸oes f e g s˜o ditas permut´veis se f og = gof (os dom´ c˜ a a ınios e as express˜es o anal´ ıticas s˜o iguais). a 4- Fun¸˜o Inversa ca Uma fun¸ao f tem inversa se for injectiva, ou seja, se a duas abcissas (x) distintas c˜ corresponderem duas ordenadas (y) distintas. Analiticamente f ´ injectiva se f (x1 ) = f (x2 ) e ao simplificar as express˜es se obt´m e o e x1 = x2 . Para provar que uma fun¸˜o n˜o ´ injectiva basta que tenha dois valores disitintos ca a e de x com a mesma imagem. Graficamente o teste das rectas horizontais permite testar se um uma fun¸ao ´ injectiva. c˜ e Se n˜o existir uma unica recta horizontal que ”toque”na fun¸ao mais que uma vez ent˜o esta a ´ c˜ a ´ injectiva. e Não Injectiva Injectiva Passos para a constru¸˜o da express˜o da inversa f −1 de uma fun¸˜o f : ca a ca Igualar a fun¸˜o f a y; ca Isolar x; Trocar x por y. Obs.: O contradom´ ınio de uma fun¸˜o f ´ igual ao dom´ ca e ınio da sua inversa f −1 (e viceversa). Para obter o gr´fico da inversa de uma fun¸ao f basta fazer uma simetria do gr´fico de f a c˜ a em rela¸ao ` bissectriz dos quadrantes ´ c˜ a ımpares y = x. Cap. IV Tipos de Inequa¸oes c˜ Essencialmente existem trˆs tipos de inequa¸oes a considerar: e c˜ Inequações Grau 1 Grau 2 Outras −tal como as equações −isolar a expressão num dos membros −isolar a expressão num dos membros −calcular zeros com fórmula resolvente −passar ao mesmo denominador e simplificar −calcular zeros do numerador e denominador −desenhar a parábola −construir quadro de sinais 3